FISICA MATEMATICA II

Version del 14 de julio de 2011

Prefacio

Este apunte se confecciono con contribuciones de Guillermo Rubilar, Oscar Fuentealba,y parte del codigo LATEX de los apuntes de Sean Mauch [1].

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“...Ası, nosotros los mortales, somos inmortales en lo que creamos en comun.”

Albert Einstein.

i

Indice general

Prefacio I

1. Analisis de Fourier 11.1. Resumen: Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3. Relacion de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Cambio de Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1. Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. La transformada de Fourier 52.1. Generalizacion a mayores dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Propiedades de la Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1. Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2. Transformada de Fourier de la derivada de una funcion . . . . . . . 62.2.3. Teorema de Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.4. Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Ecuaciones Diferenciales parciales de la Fısica 93.1. Clasificacion de E.D.P. lineales de segundo orden y Condiciones de Borde . 10

3.1.1. Condiciones de Borde y condiciones suficientes para determinar so-luciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. El Metodo de Separacion de Variables 12

5. Funciones de Legendre 145.1. E.D.O. Asociada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.1.1. E.D.O de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.1.2. Expresiones explıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.1.3. Formula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.1.4. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.2. Relacion de ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2.1. Series de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3. Solucion en serie de Potencia (Metodo de Frobenius) . . . . . . . . . . . . . 175.3.1. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3.2. Caso Q = n(n + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.4. Funciones de Legendre de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4.1. Relaciones de Recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4.2. Expresiones explıcitas para Qn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

ii

5.5. Funciones asociadas de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5.1. Ecuacion diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5.2. Ecuacion diferencial (forma de Sturm-Liouville) . . . . . . . . . . . . 275.5.3. Formula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5.4. Funcion generadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5.5. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.5.6. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.6. Funciones Armonicas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6. Funciones de Bessel 306.1. Ecuacion de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.2. Solucion en serie en torno a z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.3. Relaciones de Recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.3.1. Representacion integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3.2. Forma asintotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3.3. Ceros de las funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3.4. Relaciones de Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.4. Funciones de Bessel de orden entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.4.1. Funcion generadora de Funciones de Bessel de orden entero . . . . . 396.4.2. Representacion integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.4.3. Sumatorias de funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.5. Funciones de Bessel de orden semi-entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.6. Funciones de Bessel de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.6.1. Representacion integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.6.2. Relaciones de Recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.7. Funciones de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.8. Funciones modificadas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.8.1. Funciones Modificadas de Bessel de segunda especie . . . . . . . . . 476.9. Funciones Esfericas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.9.1. Relaciones de Recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.9.2. Expresiones explıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.9.3. Relaciones de Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.9.4. Funciones esfericas de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.9.5. Forma asintotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.9.6. Funciones modificadas esfericas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . 51

7. Funciones de Green 537.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2. Generalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.3. Simetrıa de la funcion de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.4. Expresiones explıcitas de algunas funciones de Green . . . . . . . . . . . . . 56

7.4.1. Operador Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.4.2. Operador de Helmoltz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8. Tensores 608.1. Tensores Cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.2. Bases ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.3. Convencion de suma de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.4. Transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.5. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

iii

8.6. Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.7. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.8. Operaciones con Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.8.1. Adicion de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.8.2. Multiplicacion por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.8.3. Permutacion de ındices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.8.4. Producto (“tensorial”) de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.8.5. Contraccion de ındices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.8.6. Tensores simetricos y antisimetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.9. Sımbolo de Levi-Civita y pseudo-tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.9.1. (Pseudo)-tensor dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.10. Analisis tensorial cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.10.1. Campo tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.10.2. Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.10.3. Divergencia, rotor, Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.10.4. Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A. Otras funciones especiales 77A.1. Funciones de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.2. Funciones de Laguerre asociadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.3. Funciones de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.4. Polinomios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

B. La Delta de Dirac 84B.1. La funcion δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

B.1.1. Derivada de la delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85B.2. Delta de Dirac evaluada en una funcion y cambios de variable . . . . . . . . 85

B.2.1. Otras identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.2.2. Representacion integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.2.3. La delta de Dirac tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

C. Coordenadas curvilineas 88C.1. Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88C.2. Coordenadas Cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.3. Coordenadas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1

Capıtulo 1

Analisis de Fourier

1.1. Resumen: Series de Fourier

1.1.1. Propiedades Generales

Si f(θ) es una funcion (real o compleja) periodica, de periodo 2π, su serie de Fourieres dada por

f(θ) =a0

2+

∞∑

n=1

(an cos(nθ) + bn sen(nθ)

). (1.1)

Recuerde que las funciones cos(nθ), sen(nθ)∞n=0 forman una base completa para el espaciode las funciones periodicas de periodo 2π [2].

Usando las relaciones de ortogonalidad∫ π

−πcos(mθ) cos(nθ) dθ =

∫ π

−πsen(mθ) sen(nθ) dθ = πδmn, (1.2)

∫ π

−πcos(mθ) sen(nθ) dθ = 0, (1.3)

podemos encontrar las expresiones para los coeficientes de Fourier an y bn1:

an =1π

∫ π

−πf(θ) cos(nθ) dθ, n = 0, 1, 2, · · · . (1.4)

bn =1π

∫ π

−πf(θ) sen(nθ) dθ n = 0, 1, 2, · · · . (1.5)

Equivalentemente, f(θ) puede expandirse en terminos proporcionales a las funciones einθ,con n = 0,±1,±2, · · · :

f(θ) =∞∑

n=−∞cneinθ, (1.6)

donde los coeficientes cn estan dados por

cn =12π

∫ π

−πf(θ)e−inθ dθ. (1.7)

Lo anterior puede ser verificado a partir de (1.1), (1.4) y (1.5) usando la relacion einθ =cos(nθ) + i sen(nθ), o directamente a partir de la relacion de ortogonalidad

∫ π

−πeinθe−imθ dθ = 2πδnm. (1.8)

1Es conveniente definir b0 := 0, tal como se incluye en (1.5).

1

Los coeficientes de la series (1.1) y (1.6) estan relacionados por

cn =

12(an − ibn) para n ≥ 0,12(a−n + ib−n) para n ≤ −1,

(1.9)

o bien,an = cn + c−n, bn = i(cn − c−n), n = 0, 1, 2, · · · . (1.10)

Si f(θ) es una funcion real entonces sus respectivos coeficientes complejos cn satisfacenla relacion

c∗n =12π

∫ π

−πf(θ)(e−inθ)∗ dθ =

12π

∫ π

−πf(θ)einθ dθ = c−n (1.11)

donde z∗ representa el complejo conjugado de z.

1.1.2. Convolucion

c(1·2)n =

12π

∫ π

−πf1(θ)f2(θ)e−inθ dθ (1.12)

=12π

∑m

∫ π

−πf1(θ)C(2)

m eimθe−inθ dθ (1.13)

=12π

∑m

C(2)m

∫ π

−πf1(θ)e−i(n−m)θ dθ (1.14)

=∑m

C(2)m C

(1)n−m (1.15)

c(1·2)n =

∑m

C(2)m C

(1)n−m. (1.16)

1.1.3. Relacion de Parseval

Si elegimos f1(θ) = f∗(θ), f2(θ) = f(θ) y n = 0 en (1.16), encontramos∫ π

−π|f(θ)|2 dθ = 2π

∑n

|Cn|2 . (1.17)

1.1.4. Convergencia

Una sucesion Sn(x) de funciones definidas en el intervalo x ∈ [−π, π] converge enmedia a una funcion f(x) si

lımn→∞

∫ π

−π[f(x)− Sn(x)]2 dx = 0. (1.18)

“La sucesion Sn converge a f(x) excepto en un conjunto de medida cero”

Una sucesion Sn(x) de funciones converge uniformemente a una funcion f(x) si paratodo ε > 0 existe un N > 0 tal que

|f(x)− Sn(x)| < ε, ∀n > N, (1.19)

para cada x (N independiente de x).2

Teorema [3]: Si f(x) es una funcion es “muy suave por tramos” (es decir, si la funcion, suprimera y segunda derivadas son continuas por tramos) en el intervalo (−π, π) entonces suserie de Fourier converge a

12

[f(x− 0) + f(x + 0)] , x ∈ (−π, π), (1.20)

12

[f(−π + 0) + f(π − 0)] , x = ±π. (1.21)

La convergencia es uniforme en cada subintervalo cerrado donde f(x) es continua.Teorema [3]: Si una funcion definida en un intervalo cerrado [a, b] satisface las con-

diciones de Dirichlet (es decir, si a) f(x) es continua por tramos, y b) el intervalo (a, b)puede ser dividido en un numero finito de subinteralos donde f(x) es monotona) entoncestambien se satisfacen las propiedades de convergencia del Teorema 1.

Teorema [3]: Si la funcion f(x) es cuadrado-integrale en (−π, π) (f ∈ L2(−π, π), esdecir, si

∫ π−π |f(x)|2dx es finito) entonces su serie de Fourier converge en media a f(x).

Esto no cubre todas las posibilidades de covergencia! Ej. f(x) = ln(cos(x/2)) (Butkov,pag. 168)

1.2. Cambio de Intervalo

Es simple extender los resutados anteriores al caso de funciones periodicas de periodoarbitrario. Si f(t) es una funcion de periodo T = b− a entonces

g(θ) := f(a +T

2πθ) (1.22)

es una funcion de periodo 2π en la variable θ. Por lo tanto, podemos expandir g(θ) en seriede Fourier,

g(θ) =∞∑

n=−∞cneinθ, cn =

12π

∫ π

−πg(θ)e−inθ dθ. (1.23)

Usando (1.22), y realizando el cambio de variable de integracion a t := a+Lθ/2π, podemosexpresar los coeficientes cn como

cn =12π

∫ π

−πg(θ)e−inθ dθ (1.24)

=12π

∫ π

−πf(a +

T

2πθ)e−inθ dθ (1.25)

=12π

∫ b+T/2

a−T/2f(t)e−in 2π

T(t−a) 2π

Tdt (1.26)

=1T

e2πina

T

∫ b

af(t)e−

2πinT

t dt. (1.27)

Definimos la frecuencia fundamenal ω1 := 2π/T y las frecuencias armonicas ωn := nω1,n = 0,±1,±2, · · · . Entonces, la funcion original f(t) = g(2π(t − a)/L) puede escribirsecomo

f(t) =∑

n

fn eiωnt, (1.28)

donde

fn :=1T

∫ b

af(t)e−iωnt dt. (1.29)

3

1.2.1. Delta de Dirac

Podemos encontrar una representacion de la delta de Dirac δ(t) (ver apendice B paramas detalles). En este caso, los coeficientes fn se reducen a:

fn =1T

∫ b

aδ(t)e−iωnt dt (1.30)

=1T

. (1.31)

Por lo tanto,

δ(t) =1T

∑n

eiωnt =1T

[1 + 2

∞∑

n=1

cos(

2πnt

T

)](1.32)

4

Capıtulo 2

La transformada de Fourier

Las series de Fourier permiten representar una funcion periodica como superposicionde funcioes seno y coseno (o exponenciales de argumento imaginario). Es posible extendermetodo de expansion de Fourier al caso de funciones no-periodicas, resultando las llamadasintegrales de Fourier. Podemos entender estas integrales de Fourier como el lımite contınuode las series de Fourier.

Consideremos una funcion f(t) de periodo T , y como intervalo fundamantal a (−T/2, T/2).Entonces, usando (1.28) y (1.29) podemos escribir

f(t) =∞∑

n=−∞

[1T

∫ T/2

−T/2f(ξ)e−iωnξ dξ

]eiωnt. (2.1)

Equivalentemente, podemos expresar la suma en (2.1) en terminos de la frecuencias ωn yla diferencia (en este caso, constante) entre ellas ∆ω := ωn+1 − ωn = 2π/T :

f(t) =∞∑

ωn=−∞

[12π

∫ T/2

−T/2f(ξ)e−iωnξ dξ

]eiωnt∆ω. (2.2)

En el lımite T → ∞, (y por lo tanto ∆ω → 0), la funcion f(t) puede considerarse comouna funcion no-periodica arbitraria definida en todo el intervalo (−∞,∞). Por otro lado,la suma se transforma en una integral1. Por lo tanto, en este lımite obtenemos la identidad

f(t) =∫ ∞

−∞

[12π

∫ ∞

−∞f(ξ)e−iωξ dξ

]eiωt dω, (2.3)

a partir de la cual podemos definir la transformada de Fourier de la funcion f(t) como

f(ω) =1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−iωt dt, (2.4)

de modo que la “transformada inversa” resulta ser

f(t) =1√2π

∫ ∞

−∞f(ω)eiωt dω. (2.5)

Observaciones:

Cuidado! La derivacion anterior es “heurıstica” (e.d. no rigurosa).

1Recuerde la definicion de integral de Riemann:R b

af(x) dx := lım∆xi→0

Pxi

f(xi)∆xi.

5

Otras notaciones: f(ω) = g(ω) = F(f(t)).

El factor 1/√

2π en las definiciones (2.4) y (2.5) es hasta cierto punto convencional.Lo importante es la identidad (2.3). Por ejemplo, en lugar de estos factores, podrıaintroducirse α en (2.4) y 1/2πα en (2.5), con una constante α arbitraria. Algunaselecciones populares son α = 1 y α = 1/2π.

Note que en (2.5) la integral se extiende sobre “frecuencias positivas y negativas”.

Compare (2.4) con la definicion de la transformada de Laplace: F (s) :=∫∞0 f(t)e−stdt.

En Fısica es costumbre denotar, en el caso en que se considere una funcion de laposicion f(t) → f(x), a denotar usar el numero de onda k en lugar de la frecueciaω, de modo que la expansion adopta la forma f(x) = (1/

√2π)

∫∞−∞ f(k)eikx dk.

2.1. Generalizacion a mayores dimensiones

2.2. Propiedades de la Transformada de Fourier

2.2.1. Delta de Dirac

F [δ(x− ξ)] =1√2π

∫ ∞

−∞δ(x− ξ)e−iωx dx (2.6)

=1√2π

e−iωξ (2.7)

δ(x− ξ) =12π

∫ ∞

−∞eiω(x−ξ) dω. (2.8)

2.2.2. Transformada de Fourier de la derivada de una funcion

F [f ′(t)] =1√2π

∫ ∞

−∞f ′(t)e−iωt dt (2.9)

=[

1√2π

f(t)e−iωx

]∞

−∞− 1√

2π

∫ ∞

−∞(−iω)f(t)e−iωt dt (2.10)

=[

1√2π

f(t)e−iωx

]∞

−∞+ iω

12π

∫ ∞

−∞f(t)e−iωt dt (2.11)

= iωF [f(t)] +[

1√2π

f(t)e−iωx

]∞

−∞. (2.12)

Entonces si la funcion f(t) se anula en el infinito, es decir si lımt→±∞ f(t) = 0, entonces

F [f ′(t)

]= (iω)F [f(t)]. (2.13)

Aplicacion sucesiva de esta relacion, bajo las mismas condiciones, conduce a

F[f (n)(t)

]= (iω)nF [f(t)]. (2.14)

6

Ejemplo:

H(t− c) =

0 para t < c,

1 para t > c(2.15)

F [δ(t− c)] = iωF [H(t− c)]1√2π

e−icω = iωF [H(t− c)]

F [H(t− c)] =1

2πiωe−icω (2.16)

2.2.3. Teorema de Convolution

F [f1(t)f2(t)] =1√2π

∫ ∞

−∞f1(t)f2(t)e−iωt dt (2.17)

=12π

∫ ∞

−∞f1(t)

(∫ ∞

−∞f2(ω′)eiω′t dω′

)e−iωt dt (2.18)

=12π

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞f1(t)e−i(ω−ω′)t dt

)f2(ω′) dω′ (2.19)

=1√2π

∫ ∞

−∞f1(ω − ω′)f2(ω) dω′ (2.20)

f1·2(ω) =1√2π

∫ ∞

−∞f1(ω − ω′)f2(ω) dω′. (2.21)

Analogamente

F−1[f1(ω)f2(ω)] =1√2π

∫ ∞

−∞f1(ξ)f2(t− ξ) dξ (2.22)

Ejemplo: Usando el teorema de convolucion podemos encontrar la transformada deFourier de

f(x) =1

x4 + 5x2 + 4. (2.23)

f(x) =1

(x2 + 1)(x2 + 4)(2.24)

F[

2c

x2 + c2

]= e−c|ω| for c > 0. (2.25)

F [f(x)] = F[18

2x2 + 1

4x2 + 4

](2.26)

=18

(∫ ∞

−∞e−|η|e−2|ω−η| dη

)(2.27)

=18

(∫ 0

−∞eηe−2|ω−η| dη +

∫ ∞

0e−ηe−2|ω−η| dη

)(2.28)

7

Si ω > 0.

F [f(x)] =18

(∫ 0

−∞e−2ω+3η dη +

∫ ω

0e−2ω+η dη +

∫ ∞

ωe2ω−3η dη

)(2.29)

=18

(13e−2ω + e−ω − e−2ω +

13e−ω

)(2.30)

=16e−ω − 1

12e−2ω (2.31)

Si ω < 0.

F [f(x)] =18

(∫ ω

−∞e−2ω+3η dη +

∫ 0

ωe2ω−η dη +

∫ ∞

0e2ω−3η dη

)(2.32)

=18

(13eω − e2ω + eω +

13e2ω

)(2.33)

=16eω − 1

12e2ω (2.34)

We collect the result for positive and negative ω.

F [f(x)] =16e−|ω| − 1

12e−2|ω| (2.35)

Otra forma de encontrar la transformada de

f(x) =1

x4 + 5x2 + 4(2.36)

es expandir la funcion en fracciones parciales:

f(x) =1/3

x2 + 1− 1/3

x2 + 4(2.37)

F [f(x)] =16F

[2

x2 + 1

]− 1

12F

[4

x2 + 4

](2.38)

=16e−|ω| − 1

12e−2|ω| (2.39)

2.2.4. Teorema de Parseval

∫ ∞

−∞|f(t)|2 dt =

∫ ∞

−∞|f(ω)|2 dω (2.40)

8

Capıtulo 3

Ecuaciones Diferenciales parcialesde la Fısica

En fısica es comun encontrar ecuaciones diferenciales parciales, entre las mas frecuentesdestacan las siguientes:

Ecuacion de Laplace:∇2Ψ = 0. (3.1)

Esta ecuacion aparece en el estudio de:

• Electrostatica, magnetostatica, electrodinamica.

• Hidrodinamica.

• Gravitacion.

Ecuacion de Poisson∇2Ψ = g(~x). (3.2)

Ecuacion de Helmholtz:∇2Ψ± k2Ψ = 0. (3.3)

Esta ecuacion, conocida tambien como la ecuacion de difusion independiente de tiem-po, aparece en el estudio de

• Ondas elasticas en solidos.

• Acustica.

• Ondas electromagneticas.

• Reactores nucleares.

Ecuacion de difusion dependiente del tiempo (α = difusividad termica)

∇2Ψ− 1α

∂Ψ∂t

= 0. (3.4)

Ecuacion de la onda dependiente del tiempo

∇2Ψ− 1v2

∂2Ψ∂t2

= 0. (3.5)

9

Ecuacion de Klein-Gordon:

¤Ψ− m2c2

~2Ψ = 0. (3.6)

Ecuacion de Schrodinger:

Ecuaciones diferenciales acopladas de Maxwell

Observaciones:

Todas estas ecuaciones son lineales en la funcion desconocida.

Las ecuaciones fundamentales de la fısica atmosferica son no lineales asi como tambienlas ecuaciones involucradas en los problemas de turbulencia,

Las ecuaciones son casi todas de segundo orden excepto las ecuaciones de Maxwell yde Dirac que son de primer orden.

Las tecnicas generales para resolver ecuaciones diferenciales lineales que consideraremosen este curso son:

1. Metodo de separacion de variables: La ecuacion diferencial parcial es desdoblada enecuaciones diferenciales ordinarias.

2. Metodo de las transformadas integrales.

3. Metodo de las funciones de Green.

3.1. Clasificacion de E.D.P. lineales de segundo orden y Con-diciones de Borde

Una E.D.P. lineal de segundo orden de la forma [4]

m∑

j=1

aj(~x)∂2Ψ∂x2

j

+ F(~x,Ψ, ~∇Ψ

)= 0, (3.7)

o que pueda reducirse a (3.7) por medio de algun cambio de variables, puede clasificarseen los siguientes tres tipos:

Elıpticas en ~x0: si en el punto ~x0 todos los coeficientes aj(~x0) son no-nulos y tienenel mismo signo. Ejemplo clasico: Ec. de Laplace.

Ultrahiperbolicas en ~x0: si en el punto ~x0 todos los coeficientes aj(~x0) son no-nulos,pero no tienen el mismo signo. Si solo uno de los coeficientes tiene signo diferentedel resto, la E.D.P. es hiperbolica. Ejemplo clasico: Ec. de onda.

Parabolica en ~x0: si en el punto ~x0 al menos uno de los coeficientes aj(~x0) se anula.Ejemplo clasico: Ec. de difusion del calor.

Si una E.D.P. de segundo orden es de un tipo dado en todos los puntos de su dominio, sedice simplemente que es de ese tipo (es decir, el tipo no cambia de punto a punto). Estoocurre, en particular con las E.D.P.’s de segundo orden con coeficientes constantes.

10

3.1.1. Condiciones de Borde y condiciones suficientes para determinarsoluciones

E.D.P. elıpticas: C.d.B. tipo Dirichlet o Neumann sobre una (hiper)superficie cerrada.

E.D.P. hiperbolica: C.d.B. tipo Cauchy sobre una (hiper)superficie abierta.

E.D.P. parabolica: C.d.B. tipo Dirichlet o Neumann sobre una (hiper)superficie abier-ta.

11

Capıtulo 4

El Metodo de Separacion deVariables

Coordenadas Esfericas

En coordenadas esfericas, la ecuacion de Laplace Helmholtz (modificada) adopta laforma:

1r2

∂

∂r

(r2 ∂Ψ

∂r

)+

1r2 sen θ

∂

∂θ

(sen(θ)

∂Ψ∂θ

)+

1r2 sen2 θ

∂2

∂ϕ2Ψ + αΨ = 0. (4.1)

Buscaremos soluciones separables de la forma

Ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ). (4.2)

Introduciendo (4.2) en (4.1), multiplicando por r2 sen2 θ y dividiendo por (RΘΦ), se obtiene

sen2 θ

[1R

d

dr

(r2 dR

dr

)+

1Θ sen θ

d

dθ

(sen θ

dΘdθ

)+ αr2

]+

1Φ

d2Φdϕ2

= 0. (4.3)

De esta forma, podemos realizar la primera separacion, ya que necesariamente

1Φ

d2Φdϕ2

= const. = −m2. (4.4)

Las soluciones univaluadas, e.d. que satisfacen Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ), son

Φ(ϕ) = e±imϕ, m = 0,±1,±2, · · · . (4.5)

sen2 θ

[1R

d

dr

(r2 dR

dr

)+

1Θ sen θ

d

dθ

(sen θ

dΘdθ

)+ αr2

]−m2 = 0. (4.6)

1R

d

dr

(r2 dR

dr

)+ αr2 +

1Θ sen θ

d

dθ

(sen θ

dΘdθ

)− m2

sen2 θ= 0. (4.7)

d

dr

(r2 dR

dr

)+

(αr2 −Q

)R = 0, (4.8)

1sen θ

d

dθ

(sen θ

dΘdθ

)+

(Q− m2

sen2 θ

)Θ = 0. (4.9)

12

Caso α = 0, ecuacion de Laplace

La primera ecuacion es una ecuacion tipo Euler y puede ser resuelta con la substitucionr := et , y = U(r) = U(et) o con el Ansatz

U(r) = rl, l = const (4.10)

Reemplazando esta solucion en la ecuacion encontramos la condicion l(l − 1) = λ. Lasolucion general de la ecuacion para U(r) es entonces

U(r) = A · rl+1 + B · r−l, (4.11)

donde A y B son constantes arbitrarias.

13

Capıtulo 5

Funciones de Legendre

5.1. E.D.O. Asociada de Legendre

Substituyendo x := cos θ tendremos que la funcion Θ(θ) se transforma en y(x) =Θ(cos θ). Con esto, la ecuacion diferencial para y(x) es

d

dx

((1− x2)

dy

dx

)+

[Q− m2

1− x2

]· y(x) = 0, x ∈ [−1, 1]. (5.1)

5.1.1. E.D.O de Legendre

En el caso m = 0, la ecuacion (5.1) es llamada ecuacion diferencial de Legendre:

d

dx

[(1− x2

) dy

dx

]+ Qy = 0 (5.2)

o, equivalentemente(1− x2)y′′ − 2xy′ + Qy = 0, (5.3)

En la seccion 5.3 estudiaremos la solucion general de esta ecuacion, para valores arbi-trarios de la constante Q. Verificaremos que (5.2) solo posee soluciones finitas en los puntosextremos (±1) si y solo si

Q = n(n + 1), n = 0, 1, 2, · · · , (5.4)

es decir, solo si Q = 0, 2, 6, 12, 20, 30, · · · . En este caso las soluciones finitas son los Polino-mios de Legendre de orden n.

Antes de abordar el problema mas general, introduciremos los polinomios de Legendrepor medio de su funcion generadora. Para esto, consideramos el siguiente argumento:

La funcion (en coordenadas esfericas (r, θ, ϕ))

Ψ(r, θ) =1√

r2 + a2 − 2ar cos θ(5.5)

es una solucion axialmente simetrica (e.d. independiente de ϕ) de la ecuacion de Lapla-ce. Esto puede verificarse facilmente a partir del potencial electrostatico que genera unacarga puntual de magnitud q ubicada sobre el eje z, a una distancia a del origen, que esdeterminado por la ley de Coulomb. Este potencial es precisamente φ = (q/4πε0)Ψ(r, θ).

14

Expandiendo (5.5) en potencias de t := a/r, para r > a, obtenemos

Ψ(r, θ) =1√

r2 + a2 − 2ar cos θ(5.6)

=1r

1√1 + t2 − 2xt

(5.7)

=1r

∞∑

n=0

Pn(x)tn (5.8)

=1a

∞∑

n=0

Pn(x)tn+1, (5.9)

donde hemos introducido nuevamente x := cos θ. De esta forma, tenemos una solucionfinita para todo t < 1 que consiste en una superposicion de soluciones separables Pn(x)y tn+1. Comparando esta solucion con (4.11) vemos que esta solucion corresponde al casoparticular en que Q = n(n+1). Por lo tanto, esperamos que las funciones Pn(x) satisfaganla ecuacion (5.2) en este caso.

Con esta motivacion, podemos definir las funciones de Legendre de orden n, Pn(x), comolos coeficientes de la expansion en serie de Taylor de la “funcion generadora” g(t, x) :=(1− 2xt + t2)−1/2, tal que

g(t, x) :=1√

1− 2xt + t2=

∞∑

n=0

Pn(x)tn. (5.10)

Equivalentemente, tenemos entonces que

Pn(x) =1n!

[∂ng(t, x)

∂tn

]∣∣∣∣t=0

. (5.11)

(1− x2)−1/2 =∞∑

n=0

(2n)!22n(n!)2

xn (5.12)

(a + b)n =∞∑

k=0

n!k!(n− k)!

an−kbk (5.13)

g(t, x) =∞∑

n=0

(2n)!22n(n!)2

(2xt− t2)n (5.14)

=∞∑

n=0

(2n)!22n(n!)2

tn(2x− t)n (5.15)

=∞∑

n=0

(2n)!22n(n!)2

tn∞∑

k=0

n!k!(n− k)!

(2x)n−k(−t)k (5.16)

=∞∑

n=0

∞∑

k=0

(−1)k(2n)!2n+kn!k!(n− k)!

xn−ktn+k (5.17)

(5.18)

Pn(x) =[n/2]∑

k=0

(−1)k(2n− 2k)!2nk!(n− k)!(n− 2k)!

xn−2k (5.19)

15

5.1.2. Expresiones explıcitas

Los primeros cuatro polinomios son

P0(x) = 1, P1(x) = x,

P2(x) =12(3x2 − 1), P3(x) =

12(5x3 − 3x).

Los polinomios de Legendre satisfacen las siguientes propiedades:

NormalizacionPn(1) = 1. (5.20)

En otras palabras, los Pn son normalizados de modo que para x = 1 ellos asumensiempre el valor 1.

SimetrıaPn(−x) = (−1)nPn(x) (5.21)

Los polinomios Pn son funciones simetricas si n es par y antisimetricas si n es impar

Completitud: Los polinomios de Legendre Pn forman un conjunto completo de fun-ciones.

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

Figura 5.1: Primeros cinco polinomios de Legendre.

5.1.3. Formula de Rodrigues

Pn(x) =1

2nn!dn

dxn(x2 − 1)n (5.22)

5.1.4. Relaciones de recurrencia

nPn−1(x) + (n + 1)Pn+1(x) = (2n + 1)xPn(x), (5.23)(2n + 1)Pn(x) = P ′

n+1(x)− P ′n−1(x). (5.24)

16

5.2. Relacion de ortogonalidad

d

dx

[(1− x2)P ′

n

]+ n(n + 1)Pn,

d

dx

[(1− x2)P ′

m

]+ m(m + 1)Pm. (5.25)

[n(n + 1)−m(m + 1)]∫ 1

−1Pn(x)Pm(x) dx = 0 (5.26)

∫ 1

−1Pn(x)Pm(x) dx = 0, n 6= m. (5.27)

∫ 1

−1Pn(x)Pm(x) dx =

22n + 1

δmn (5.28)

5.2.1. Series de Legendre

Es posible expandir una funcion f(x), definida en el intervalo x ∈ [−1, 1] y continuapor tramos, en una serie de Legendre, es decir, en una suma de polinomios de Legendre,de la forma

f(x) =∞∑

n=0

anPn(x), (5.29)

en el sentido que la serie coverge en media a la funcion f(x) para todo x en [−1, 1]

5.3. Solucion en serie de Potencia (Metodo de Frobenius)

Primero escribimos la E.D.O. en su forma estandar(1− x2

)y′′ − 2xy′ + Qy = 0, (5.30)

y′′ − 2x

1− x2y′ +

α(α + 1)1− x2

y = 0. (5.31)

Como los coeficientes de y′ y y son funciones analıticas en la vencindad de x = 0, podemosencontrar una solucion en serie de Taylor en torno a ese punto:

y =∞∑

k=0

akxk,

y′ =∞∑

k=0

kakxk−1,

y′′ =∞∑

k=2

(k − 1)kakxk−2,

=∞∑

k=0

(k + 1)(k + 2)ak+2xk.

Sustituyendo estas series en 5.30 y obtenemos

∞∑

k=0

(k + 1)(k + 2)ak+2xk −

∞∑

k=0

(k − 1)kakxk − 2

∞∑

k=0

kakxk + Q

∞∑

k=0

akxk = 0, (5.32)

17

∞∑

k=0

[(k + 1)(k + 2)ak+2 − ((k − 1)k + 2k −Q) ak] xk = 0. (5.33)

Igualando los coeficientes de cada termino xk obtenemos las relaciones de recurrencia

ak+2 =k(k + 1)−Q

(k + 1)(k + 2)ak, k = 0, 1, 2, · · · . (5.34)

A partir de ellas, podemos encontrar todos los coeficientes ak, con k ≥ 2 a partir de a0 ya1:

ak =

a0

k!

k−2∏

l=0l par

(l(l + 1)−Q) , k par,

a1

k!

k−2∏

l=1l impar

(l(l + 1)−Q) , k impar.

(5.35)

Por lo tanto, la solucion general sera una combinacion lineal de la forma

y(x) = a0y1(x) + a1y2(x), (5.36)

donde y1(x) es una funcion par en x e y2(x) es una funcion impar en x, dadas por

y1(x) =∞∑

m=0

1(2m)!

2m−2∏

l=0l par

(l(l + 1)−Q)

x2m =:

∞∑

m=0

bmx2m, (5.37)

y2(x) =∞∑

m=0

1(2m + 1)!

2m−1∏

l=1l impar

(l(l + 1)−Q)

x2m+1 =:

∞∑

m=0

cmx2m+1. (5.38)

En general, tanto y1(x) como y2(x) seran series infinitas, ya que los correspondientes coe-ficientes de cada xk, dados por un producto de factores, seran no nulos excepto si existeun valor de l tal que l(l + 1)−Q = 0. Esto solo ocurrira si la constante Q es de la formaQ = n(n + 1), con algun valor de n = 0, 1, 2, · · · . Si este es el caso, entonces una de lasseries se “truncara”, reduciendose a un polinomio.

5.3.1. Convergencia

Analicemos primero el caso generico en que Q 6= n(n + 1). Como dijimos, las dos solu-ciones l.i. y1(x) e y2(x) seran series infinitas, debiendo por tanto analizar su convergencia.

Consideramos primero el test de D’Alambert1. Para el caso de y1(x) tenemos quey1(x) =

∑∞m=0 um, con

um =x2m

(2m)!

2m−2∏

l=0l par

(l(l + 1)−Q) = a2mx2m, (5.39)

1Tambien llamado “Cauchy ratio test”: Si lımn→∞ |un+1/un| < 1 entoncesP∞

n=0 un es una serie con-vergente. Si lımn→∞ |un+1/un| > 1 la serie es divergente. Si lımn→∞ |un+1/un| = 1 el test de Cauchy nosuministra informacion. Ver, por ejemplo, [2], seccion 5.2.

18

y entonces

lımm→∞

∣∣∣∣um+1

um

∣∣∣∣ = lımm→∞

∣∣∣∣bm+1x

2m+2

bmx2m

∣∣∣∣ = lımm→∞

∣∣∣∣a2m+2

a2m

∣∣∣∣x2 (5.40)

= lımm→∞

∣∣∣∣(2m(2m + 1)−Q)(2m + 1)(2m + 2)

∣∣∣∣x2 = x2. (5.41)

Por lo tanto, podemos afirmar que y1(x) es convergente para |x| < 1. Para analizar laconvergencia cuando x = ±1 podemos usar el test de Gauss2. En nuestro caso (um > 0para m suficientemente grande) y

um

um+1=

(2m + 1)(2m + 2)(2m(2m + 1)−Q)

=[1 +

1m

+Q

8m2

(2 +

1m

+ O(1

m2))]

. (5.42)

Por lo tanto, h = 1 y entonces y1(x) es una serie divergente en x = ±1.Analogamente, puede verificarse que las mismas conclusiones son validas para y2(x).

En resumen, si Q 6= n(n + 1) las soluciones de la ec. de Legendre son divergentes en losextremos del intervalo considerado, e.d. x = ±1.

5.3.2. Caso Q = n(n + 1)

Analicemos ahora con mas detalle el caso en que Q = n(n + 1), puesto que aquı ob-tendremos series truncadas (es decir, polinomios) que naturalmente son funciones finitasen todo el intervalo considerado, incluyendo los extremos. De (5.34) vemos que an+2 = 0,y por consiguiente todos los coeficientes de orden superior de la forma an+2p seran nulos,con p = 1, 2, · · · . Por lo tanto, si n es par entonces sera la serie y1(x) la que se truncara,mientras que y2(x) continuara siendo una serie infinita. Por otro lado, si n es impar y1(x)tendra infinitos terminos, mientras que y2(x) se reduce a un polinomio. El orden del co-rrespondiente polinomio truncado es n en ambos casos (an es el ultimo termino no nulo).Esperamos por lo tanto que estos polinomios sean proporcionales a los polinomios de Le-gendre de orden n. A partir de (5.37) e (5.38), y usando l(l+1)−n(n+1) = (l−n)(l+n+1)encontramos que

y1,n(x) =n/2∑

m=0

bmx2m, bm =1

(2m)!

2m−2∏

l=0l par

(l − n)(l + n + 1), n par, (5.43)

y2,n(x) =(n−1)/2∑

m=0

cmx2m+1, cm =1

(2m + 1)!

2m−1∏

l=1l impar

(l−n)(l+n+1), n impar. (5.44)

Luego de algo de algebra, podemos verificar que

bm =(−1)m

(2m)!(n + 2m)![(n/2)!]2

n!(n/2−m)!(n/2 + m)!, (5.45)

y con ello, podemos escribir la solucion y1,n como

y1,n(x) =[(n/2)!]2

n!

n/2∑

m=0

(−1)m

(2m)!(n + 2m)!

(n/2−m)!(n/2 + m)!x2m. (5.46)

2Si un > 0 ∀n y un/un+1 = 1+h/n+B(n)/n2 donde h es una constante y B(n) una funcion acotada den para n →∞ entonces la serie

Pn un converge si h > 1 y diverge si h ≤ 1. Ver, por ejemplo, [2], seccion

5.2.

19

Finalmente, cambiando ındice de suma desde m hasta k := n/2 −m, de modo que 2m =n− 2k, entonces

y1,n(x) =[(n/2)!]2

n!

n/2∑

k=0

(−1)n/2−k

(n− 2k)!(2n− 2k)!k!(n− k)!

xn−2k (5.47)

= (−1)n/2 [(n/2)!]2

n!

n/2∑

k=0

(−1)k

(n− 2k)!(2n− 2k)!k!(n− k)!

xn−2k (5.48)

= (−1)n/2 [(n/2)!]2

n!2nPn(x), n = 0, 2, 4, · · · . (5.49)

En el ultimo paso hemos identificado la serie de potencias (5.19) de los polonomios deLegendre.

Analogamente, para n impar podemos expresar los coeficientes cm como

cm =(−1)m

(2m + 1)!(n + 2m)![

(n−1

2

)!]2

n!(

n−2m−12

)!(

n+2m−12

)!, (5.50)

de modo que

y2,n(x) =(n−1)/2∑

m=0

(−1)m

(2m + 1)!(n + 2m)![

(n−1

2

)!]2

n!(

n−2m−12

)!(

n+2m−12

)!x2m+1 (5.51)

=[(

n−12

)!]2

n!

(n−1)/2∑

m=0

(−1)m

(2m + 1)!(n + 2m)!(

n−2m−12

)!(

n+2m−12

)!x2m+1 (5.52)

Cambiamos ahora ındice de suma, definiendo k tal que 2m + 1 = n− 2k, y encontramos

y2,n(x) =[n/2]!2

n!

(n−1)/2∑

k=0

(−1)n−2k−1

2

(n− 2k)!(2n− 2k − 1)!k!(n− k − 1)!

xn−2k (5.53)

=[n/2]!2

n!(−1)(n−1)/2

[n/2]∑

k=0

(−1)k

(n− 2k)!(2n− 2k)!(2n− 2k)

1k!

(n− k)(n− k)!

xn−2k (5.54)

=[n/2]!2

n!(−1)[n/2]

2

[n/2]∑

k=0

(−1)k

(n− 2k)!(2n− 2k)!k!(n− k)!

xn−2k (5.55)

=[n/2]!2

n!(−1)[n/2]2n−1Pn(x), n = 1, 3, 5, · · · . (5.56)

En resumen, usando una notacion algo mas compacta, podemos escribir:

Pn(x) := (−1)[n/2]2−2[n/2] n![n/2]!2

×

y1,n(x), n pary2,n(x), n impar.

(5.57)

5.4. Funciones de Legendre de segunda especie

Como hemos visto, en el caso en que Q = n(n + 1) una de las series (y1 si n es par,y2 si n es impar) se trunca, reduciendose (salvo factores constantes) a los polinomios deLegendre. Existen por lo tanto siempre, para cada n, un segundo conjunto de solucionesde la ec. de Legendre, que quedan expresadas como series infinitas que convergen para

20

x ∈ (−1, 1) pero son divergentes en x = ±1. Estas funciones son llamadas las funcionesde Legendre de segunda especie, Qn(x), que por conveniencia definiremos usando factoresanalogos a aquellos encontrados en (5.49) y (5.49):

Qn(x) :=

(−1)n/2 [(n/2)!]2

n! 2n y2,n(x), n par

(−1)(n+1)/2 [(n−12 )!]2n! 2n−1 y1,n(x), n impar.

(5.58)

5.4.1. Relaciones de Recurrencia

A partir de las definiciones (5.58) es posible verificar la siguiente importante propiedad:Las funciones de Legendre de segunda especie satisfacen las mismas relaciones de recurren-cia que los polinomios de Legendre. Como consecuencia, todas las relaciones de recurrenciaque derivamos para los polinomios de Legendre son validas para las correspondientes fun-ciones de segunda especie. Podemos verificar nuevamente a partir de estas identidades quecada Qn(x) satisface la E.D.O. de Legendre.

En particular, se demostraran las siguientes relaciones (a partir de las cuales puedenderivarse todas las otras):

nQn−1(x) + (n + 1)Qn+1(x) = (2n + 1)xQn(x), (5.59)(2n + 1)Qn(x) = Q′

n+1(x)−Q′n−1(x). (5.60)

En este caso, las soluciones adoptan la forma (ver (5.37) y (5.37), comparar con (5.43)y (5.44)):

y1,n(x) =+∞∑

m=0

bmx2m, bm =1

(2m)!

2m−2∏

l=0l par

(l − n)(l + n + 1), b0 = 1, (5.61)

y2,n(x) =+∞∑

m=0

cmx2m+1, cm =1

(2m + 1)!

2m−1∏

l=1l impar

(l − n)(l + n + 1), c0 = 1. (5.62)

A partir de las definiciones en (5.58), podemos escribir:

Qn−1(x) :=

(−1)n2

[(n−22

)!]2

(n−1)! 2n−2 y1,n−1(x), n par

(−1)n−1

2[(n−1

2 )!]2(n−1)! 2n−1 y2,n−1(x), n impar,

(5.63)

Qn+1(x) :=

(−1)n+2

2[(n

2)!]2

(n+1)!2n y1,n+1(x), n par

(−1)n+1

2[(n+1

2 )!]2(n+1)! 2n+1 y2,n+1(x), n impar.

(5.64)

Por lo tanto,

nQn−1(x) + (n + 1)Qn+1(x)

=

(−1)n2

[(n2)!]2

(n)! 2n [y1,n−1(x)− y1,n+1] , n par

(−1)n+1

2[(n−1

2 )!]2(n)! 2n−1

[−n2y2,n−1(x) + (n + 1)2y2,n+1

], n impar.

(5.65)

21

Para evaluar el lado derecho de (5.65) usamos las expresiones en serie (5.61) y (5.62).Para y1,n(x) tenemos que

y1,n−1(x) =+∞∑

m=0

1(2m)!

2m−2∏

l=0l par

(l − n + 1)(l + n) x2m, (5.66)

y1,n+1(x) =+∞∑

m=0

1(2m)!

2m−2∏

l=0l par

(l − n− 1)(l + n + 2)x2m. (5.67)

Reescribimos ahora ambas expresiones como

y1,n−1(x) =+∞∑

m=0

1(2m)!

2m−1∏

l=1l impar

(l − n)(l + n− 1)x2m, (5.68)

y1,n+1(x) =+∞∑

m=0

1(2m)!

2m−1∏

l=1l impar

(l − n− 2)(l + n + 1)x2m. (5.69)

Luego, ya que

2m−1∏

l=1l impar

(l + n− 1) = n2m−1∏

l=3l impar

(l + n− 1) = n2m−3∏

l=1l impar

(l + n + 1), (5.70)

2m−1∏

l=1l impar

(l − n− 2) = −(n + 1)2m−1∏

l=3l impar

(k − n− 2) = −(n + 1)2m−3∏

l=1l impar

(l − n), (5.71)

tenemos que (5.68) y (5.69) son equivalentes a:

y1,n−1(x) = n+∞∑

m=0

1(2m)!

2m−3∏

l=1l impar

(l + n + 1)(l − n)(2m− 1− n)x2m, (5.72)

y1,n+1(x) = −(n + 1)+∞∑

m=0

1(2m)!

2m−1∏

l=1l impar

(l − n)(l + n + 1)(2l + n) x2m. (5.73)

Entonces,

y1,n−1(x)− y1,n+1(x) = (2n + 1)+∞∑

m=1

1(2m− 1)!

2m−3∏

l=1l impar

(l − n)(l + n + 1)x2m (5.74)

= (2n + 1)+∞∑

m=0

1(2m + 1)!

2m−1∏

l=1l impar

(l − n)(l + n + 1)x2m+2(5.75)

= (2n + 1)x y2,n(x). (5.76)

22

Por otro lado, de la expresion en serie (5.62) para y2,n(x), y siguiendo el mismo recienempleado, tenemos que

y2,n+1(x) =+∞∑

m=0

1(2m + 1)!

2m−1∏

l=1l impar

(l − n− 1)(l + n + 2)x2m+1 (5.77)

=+∞∑

m=0

1(2m + 1)!

2m−2∏

l=1l par

(l − n)(l + n + 3)x2m+1 (5.78)

=1

n + 1

+∞∑

m=0

(2m + n + 1)(2m + 1)!

2m−2∏

l=0l par

(l − n)(l + n + 1)x2m+1. (5.79)

Similarmente,

y2,n−1(x) =+∞∑

m=0

1(2m + 1)!

2m−1∏

l=1l impar

(l − n + 1)(l + n)x2m+1 (5.80)

=+∞∑

m=0

1(2m + 1)!

2m−2∏

l=0l par

(l − n + 2)(l + n + 1)x2m+1 (5.81)

= − 1n

+∞∑

m=0

(2m− n)(2m + 1)!

2m−2∏

l=0l par

(l − n)(l + n + 1)x2m+1. (5.82)

De este modo, usando (5.79) y (5.82), encontramos que

(n + 1)2y2,n+1(x)− n2y2,n+1(x) = (2n + 1)+∞∑

m=0

1(2m)!

2m−2∏

l=0l par

(l − n)(l + n + 1)x2m+1(5.83)

= (2n + 1)x y1,n(x). (5.84)

Finalmente, reemplazamos (5.76) y (5.84) en (5.65), y obtenemos

nQn−1(x) + (n− 1)Qn+1(x) =

(−1)n2

[(n2)!]2

(n)! 2n (2n + 1)xy2,n(x), n par

(−1)n+1

2[(n−1

2 )!]2(n)! 2n−1 (2n + 1)x y1,n(x), n impar

(5.85)

= (2n + 1)x

(−1)n2

[(n2)!]2

(n)! 2n y2,n(x), n par

(−1)n+1

2[(n−1

2 )!]2(n)! 2n−1 y1,n(x), n impar

(5.86)

= (2n + 1)xQn(x), (5.87)

demostrando ası la identidad (5.59).Para demostrar la segunda relacion de recurrencia, (5.59), calculamos:

Q′n+1(x)−Q′

n−1(x) (5.88)

=

(−1)n2

[(n2)!]2

(n)! 2n[− 1

n+1y′1,n+1(x)− 1ny′1,n−1

], n par

(−1)n+1

2[(n−1

2 )!]2(n)! 2n−1

[(n + 1)y′2,n+1(x) + ny′2,n−1

], n impar.

(5.89)

23

Usamos nuevamente las expresiones en serie de las funciones y1,n(x), y entonces

y′1,n+1(x) =+∞∑

m=1

1(2m− 1)!

2m−2∏

l=0l par

(l − n− 1)(l + n + 2)x2m−1 (5.90)

=+∞∑

m=0

1(2m + 1)!

2m∏

l=0l par

(l − n− 1)(l + n + 2)x2m+1 (5.91)

= −(n + 1)+∞∑

m=0

2m + n + 2(2m + 1)!

2m−1∏

l=1l impar

(l − n)(l + n + 1)x2m+1. (5.92)

Analogamente,

y′1,n−1(x) =+∞∑

m=1

1(2m− 1)!

2m−2∏

l=0l par

(l − n + 1)(l + n) x2m−1 (5.93)

=+∞∑

m=0

1(2m + 1)!

2m∏

l=0l par

(l − n + 1)(l + n) x2m+1 (5.94)

= n

+∞∑

m=0

(2m− n + 1)(2m− 1)!

2m+1∏

l=1l impar

(l − n)(l + n + 1)x2m+1. (5.95)

A partir de (5.92) y (5.95) podemos escribir

− 1(n + 1)

y′1,n+1(x)− 1n

y′1,n−1 =+∞∑

m=0

(2n + 1)(2m + 1)!

2m−1∏

l=1l impar

(l − n)(l + n + 1)x2m+1(5.96)

= (2n + 1) y2,n(x). (5.97)

Por otro lado,

y′2,n+1(x) =+∞∑

m=0

1(2m)!

2m−1∏

l=1l impar

(l − n− 1)(l + n + 2) x2m (5.98)

=1

n + 1

+∞∑

m=0

(2p + n + 1)(2m)!

2m−2∏

l=0l par

(l − n)(l + n + 1)x2m, (5.99)

y similarmente,

y′2,n−1(x) =+∞∑

m=0

1(2m)!

2m−1∏

l=1l impar

(l − n + 1)(l + n)x2m (5.100)

= − 1n

+∞∑

m=0

(2p− n)(2m)!

2m−2∏

l=0l par

(l − n)(l + n + 1)x2m. (5.101)

24

Ademas, (5.99) y (5.101) implican que

(n + 1)y′2,n+1(x) + ny′2,n−1(x) =+∞∑

m=0

(2n + 1)(2m)!

2m−2∏

l=0l par

(l − n)(l + n + 1)x2m (5.102)

= (2n + 1) y1,n(x) (5.103)

Finalmente, reemplazando (5.97) y (5.103) en (5.89) llegamos a

Q′n+1(x)−Q′

n−1(x) =

(−1)n2

[(n2)!]2

(n)! 2n (2n + 1) y2,n(x), n par

(−1)n+1

2[(n−1

2 )!]2(n)! 2n−1 (2n + 1) y1,n(x), n impar

(5.104)

= (2n + 1)Qn(x), (5.105)

que es precisamente la segunda relacion de recurrencia (5.59).

5.4.2. Expresiones explıcitas para Qn(x)

Afortunadamente, es posible encontrar expresiones para las funciones Qn(x) en termi-nos de funciones conocidas. Para esto, primero calculamos Q0(x):

Q0(x) = y2,0(x) =∞∑

m=0

1(2m + 1)!

2m−1∏

l=1l impar

l(l + 1)x2m+1, (5.106)

Pero,2m−1∏

l=1l impar

l(l + 1) = 1 · 2 · 3 · 4 · · · (2m− 1)(2m) = (2m)!. (5.107)

Por lo tanto,

Q0(x) =∞∑

m=0

(2m)!(2m + 1)!

x2m+1 =∞∑

m=0

x2m+1

(2m + 1). (5.108)

Esta serie es conocida, ya que vimos que

ln(

1 + x

1− x

)= 2

∞∑

m=0

x2m+1

(2m + 1), (5.109)

y con esto encontramos finalmente que

Q0(x) =12

ln(

1 + x

1− x

). (5.110)

Analogamente, para n = 1 tenemos que

Q1(x) = −y1,1(x) =∞∑

m=0

1(2m)!

2m−2∏

l=0l par

(l − 1)(l + 2) x2m, (5.111)

En este caso, el producto puede escribirse como

2m−2∏

l=0l par

(l− 1)(l +2) = −1 · 2 · 1 · 4 · 3 · · · (2m− 5)(2m− 2)(2m− 3)(2m) = − (2m)!2m− 1

. (5.112)

25

Entonces,

Q1(x) =∞∑

m=0

x2m

(2m− 1)= −1 +

∞∑

m=1

x2m

(2m− 1)(5.113)

= −1 +∞∑

n=0

x2n+2

(2n + 1)= −1 + x

∞∑

n=0

x2n+1

(2n + 1). (5.114)

Por lo tanto,

Q1(x) =x

2ln

(1 + x

1− x

)− 1. (5.115)

Conociendo Q0(x) y Q1(x) podemos encontrar expresiones para las funciones de Qn(x)de orden superior usando las relaciones de recurrencia (5.59), ya que

Qn+1(x) =1

(n + 1)[(2n + 1)xQn(x)− nQn−1(x)] . (5.116)

Por ejemplo,

Q2(x) =12

[3xQ1(x)−Q0(x)] (5.117)

=12

[−3x +

32x2 ln

(1 + x

1− x

)− 1

2ln

(1 + x

1− x

)](5.118)

= −14(1− 3x2) ln

(1 + x

1− x

)− 3

2x. (5.119)

Analogamente, encontramos que

Q3(x) =14(5x3 − 3x) ln

(1 + x

1− x

)− 5

2x2 +

23. (5.120)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1

Figura 5.2: Primeras cinco funciones de Legendre de segunda especie.

Propiedades de las funciones Qn(x)

Paridad:Qn(−x) = (−1)n+1Qn(x) (5.121)

26

Valor en el origen:

Qn(0) =

0, n par

(−1)(n+1)/2 [(n−12 )!]2n! 2n−1, n impar.

(5.122)

Valor en extremo del intervalo:

lımx→1

Qn(x) = +∞. (5.123)

5.5. Funciones asociadas de Legendre

5.5.1. Ecuacion diferencial

(1− x2)d2y

dx2− 2x

dy

dx+

[n(n + 1)− m2

1− x2

]y = 0 (5.124)

5.5.2. Ecuacion diferencial (forma de Sturm-Liouville)

d

dx

[(1− x2

) dy

dx

]+

[n(n + 1)− m2

1− x2

]y = 0 (5.125)

Si m > 0

Pml (x) = (1− x2)m/2 dm

dxmPl(x). (5.126)

Si m < 0 entonces las soluciones son dadas por

P−ml (x) = (−1)m (l −m)!

(l + m)!Pm

l (x), m = 0, 1, 2, · · · . (5.127)

Sin embargo, estas soluciones imponen algunas condiciones sobre m. Ya que Pl es unpolinomio de grado l y ya que en (5.127) involucra derivadas de orden m, entonces m puedeasumir como maximo el valor l (de modo de suministrar soluciones no triviales):

m = 0,±1,±2,±3, . . . ,±l ⇔ |m| ≤ l. (5.128)

Es decir, existen 2l + 1 valores permitidos de m para cada l.

5.5.3. Formula de Rodrigues

Pmn (x) =

12nn!

(1− x2)m/2 dm+n

dxm+n(x2 − 1)n. (5.129)

5.5.4. Funcion generadora

(2m)! (1− x2)m/2

2m m! (1− 2tx + t2)m+1/2=

∞∑

n=0

Pmn+m(x) tn (5.130)

27

5.5.5. Relaciones de recurrencia

(2n + 1)xPmn = (n + m)Pm

n−1 + (n + m + 1)Pmn+1 (5.131)

5.5.6. Ortogonalidad

∫ 1

−1Pm

n (x)Pmn′ (x) dx =

22n + 1

(n + m)!(n−m)!

δn,n′ . (5.132)

5.6. Funciones Armonicas Esfericas

Volvemos ahora al problema original de encontrar las soluciones de la ecuacion deLaplace para el potencial. Usando (4), (4.11) y (5.127) podemos expresar el potencialcomo

Ψ ∝ R(r)Pml (cos θ)eimϕ. (5.133)

Las funciones Y ml (θ, ϕ) son llamadas funciones armonicas esfericas que, incorporando una

normalizacion conveniente, son definidas por:

Y ml (θ, ϕ) := (−1)m

√2l + 1

4π·√

(l −m)!(l + m)!

· Pml (cos θ) · eimϕ. (5.134)

En la tabla 5.1 se presentan los casos mas usados.

l m Y ml l m Y m

l

0 0 Y 00 = 1√

4π2 2 Y 2

2 = 14

√152π sen2 θe2iϕ

1 0 Y 01 =

√34π cos θ 3 0 Y 0

3 =√

74π (5

2 cos3 θ − 32 cos θ)

1 1 Y 11 = −

√38π sen θeiϕ 3 1 Y 1

3 = −14

√214π sen θ(5 cos2 θ − 1)eiϕ

2 0 Y 02 =

√54π (3

2 cos2 θ − 12) 3 2 Y 2

3 = 12

√1052π sen2 θ cos θe2iϕ

2 1 Y 12 = −

√158π sen θ cos θeiϕ 3 3 Y 3

3 = −14

√354π sen3 θe3iϕ

Cuadro 5.1: Algunas funciones armonicas esfericas comunmente usadas (l, m = 0, . . . , 3).

Ademas, las funciones armonicas esfericas satisfacen las siguientes utiles propiedades:

Simetrıa:

Y −ml = (−1)m(Y m

l )∗. (5.135)

Ortonormalidad :∫

Y ml (θ, ϕ)·(Y m′

l′ )∗(θ, ϕ) dΩ =∫ 2π

0

∫ π

0Y m

l (θ, ϕ)·(Y m′l′ )∗(θ, ϕ) sen θdθdϕ = δll′δmm′ ,

(5.136)donde dΩ = sen θdθdϕ es el elemento de angulo solido.

Las funciones Y ml forman un sistema completo de funciones. Toda funcion f(θ, ϕ)

que satisface ∫|f(θ, ϕ)|2dΩ < ∞, (5.137)

28

pueden ser desarrollados en terminos de funciones armonicas esfericas:

f(θ, ϕ) =∞∑

l=0

l∑

m=−l

almY ml (θ, ϕ). (5.138)

La completitud de Y ml se expresa por:

∞∑

l=0

l∑

m=−l

(Y ml )∗(θ, ϕ)Y m

l (θ′, ϕ′) = δ(ϕ− ϕ′)δ(cos θ − cos θ′). (5.139)

Las funciones armonicas esfericas satisfacen

L2(θ, ϕ)Y ml = l(l + 1)Y m

l , (5.140)

donde L2 es el operador definido por

− L2(θ, ϕ) =1

sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂

∂θ

)+

1sen2 θ

∂2

∂ϕ2. (5.141)

En otras palabras, las funciones Y ml son funciones propias del operador L2 (con valor

propio l(l + 1)). En terminos de L2, podemos escribir el operador de Laplace como:

∇2 =1r

∂2

∂r2(r·)− 1

r2L2(θ, ϕ). (5.142)

29

Capıtulo 6

Funciones de Bessel

6.1. Ecuacion de Bessel

Consideraremos aquı la ecuacion diferencial de Bessel con argumento complejo, z ∈C, ya que sus soluciones suminitraran funciones que satisfacen la E.D.O. de Bessel convariables reales y la E.D.O. modificada de Bessel. Finalmente, buscaremos soluciones de laecuacion con un coeficiente ν2 real y positivo, pero no necesariamente entero.

En resumen, buscamos soluciones de la ecuacion

zd

dz

(zdy

dz

)+ (z2 − ν2)y(z) = 0, (6.1)

que puede ser escrita como

y′′ +1zy′ +

(1− ν2

z2

)y = 0. (6.2)

6.2. Solucion en serie en torno a z = 0

Buscaremos soluciones en serie de potencias de (6.1). Es conveniente encontrar una serieen torno a z = 0 (el “punto mas simetrico de la ecuacion”). Sin embargo, este punto es unpunto singular de la ecuacion, por lo que en general no es posible expresar la solucion comouna serie de la forma y(z) =

∑∞n=0 anzn. Para entender esto mas claramente, recuerde que

los coeficientes an serıan entonces proporcionales a la n−esima derivada de la soluciony(z), evaluada en z = 0. Por lo tanto, encontrar la solucion de esta forma es equivalente arequerir que cada una de las derivadas de la solucion sean finitas en z = 0. Como la E.D.O.es de segundo orden, se requieren dos condiciones iniciales, que pueden elegirse como y(0)e y′(0). Las derivadas superiores quedan determinadas por la E.D.O. Sin embargo, vemosde (6.2) que y′′(0) (y las derivadas superiores) sera en general divergente, aun en el casoen que se elija y′(0), debido al termino (ν2/z2)y(z).

Afortunadamente, sı es posible encontrar soluciones de la forma1

y(z) = zα∞∑

n=0

anzn =∞∑

n=0

anzn+α, (6.3)

1Una forma alternativa de verificar que este es el caso es realizar el cambio de variable y(z) := xαf(z)y ajustar la constante α de modo que la E.D.O. resultante para la funcion f(z) sı pueda expresarse comouna serie de potencias de la forma f(z) =

P∞n=0 bnzn.

30

donde α es una constante (no necesariamente un ento) que sera elegida convenientemente.Asumiendo (6.3), las derivadas de y(z) adoptan la forma siguiente:

y′ =∞∑

n=0

(n + α)anzn+α−1, y′′ =∞∑

n=0

(n + α)(n + α− 1)anzn+α−2. (6.4)

Substituyendo estas expansiones en (6.2) encontramos

0 = z2y′′ + zy′ +(z2 − ν2

)y (6.5)

=∞∑

n=0

(n + α)(n + α− 1) anzn+α +∞∑

n=0

(n + α) anzn+α +∞∑

n=0

anzn+α+2 − ν2∞∑

n=0

anzn+α

(6.6)

=∞∑

n=0

[(n + α)2 − ν2

]anzn+α +

∞∑

n=2

an−2zn+α (6.7)

= (α2 − ν2)a0 zα +[(α + 1)2 − ν2

]a1 zα+1 +

∞∑

n=2

[((n + α)2 − ν2

)an + an−2

]zn+α.

(6.8)

Por lo tanto, los coeficientes deben satisfacer las siguientes condiciones:

(α2 − ν2)a0 = 0,[(α + 1)2 − ν2

]a1 = 0,

((n + α)2 − ν2

)an + an−2 = 0. (6.9)

Encontramos ası una relacion de recurrencia entre an y an−2, que permite entonces expresartodos los coeficientes an con n par en terminos de a0 y todos los con n impar en terminosde a1.

Como buscamos soluciones no nulas, asumimos primero que a0 6= 0. Entonces la primeracondicion en (6.9) implica que α = ±ν. En este caso la segunda condicion en (6.9) se reducea (1 + 2α)a1 = 0. Analizaremos primero el caso generico en que α 6= −1/2. Entoncesnecesariamente a1 = 0 y solo los coefientes pares, de la forma a2k, k = 0, 1, 2, · · · , seran nonulos. De la relacion de recurrencia en (6.9) obtenemos

an = − an−2

n(n + 2α). (6.10)

Aplicacion sucesiva de (6.10) conduce a

a2k =a0(−1)k

22kk!1

(1 + α)(2 + α)(3 + α) · · · (k + α)(6.11)

=a0(−1)k

22kk!Γ(1 + α)

Γ(k + α + 1), k = 0, 1, 2, · · · . (6.12)

Aquı hemos introducido la funcion Gamma. Por lo tanto, para α = ν hemos encontradouna solucion de la forma

yν(z) = a0

∞∑

k=0

(−1)k

22kk!Γ(1 + ν)

Γ(k + ν + 1)z2k+ν , (6.13)

donde a0 es una constante arbitraria. Es conveniente definir las funciones de Bessel deprimera especie y orden ν, Jν(z), como las soluciones correspondientes al caso en quea0 := 1/2νΓ(ν + 1), de modo que

Jν(z) =∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + ν + 1)

(z

2

)2k+ν. (6.14)

31

Expandiendo los primeros terminos, encontramos:

Jν(z) =1

Γ(ν + 1)

(z

2

)ν− 1

Γ(ν + 2)

(z

2

)ν+2+ · · · (6.15)

=1

Γ(ν + 1)

(z

2

)ν[1− 1

(ν + 1)

(z

2

)2+ · · ·

]. (6.16)

Como la E.D.O. de Bessel (6.1) depende del cuadrado de ν, tendremos que

J−ν(z) =∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k − ν + 1)

(z

2

)2k−ν, (6.17)

es tambien una solucion (que equivale al caso α = −ν).Si ν es positivo, pero no es entero, entonces tanto Γ(k+ν+1) como Γ(k−ν+1) asumen

valores finitos y por lo tanto Jν y J−ν estan bien definidas para todo z. Para valores de zcercanos a cero tendremos entonces que Jν ≈ (z/2)ν/Γ(1 + ν) y J−ν ≈ (z/2)−ν/Γ(1− ν).Por lo tanto, Jν(0) = 0 mientras que J−ν(0) es divergente. Por otro lado, J0(0) = 1. Enparticular, esto muestra que Jν y J−ν son linealmente independientes si ν no es entero. Eneste caso la solucion general de (6.1) es de la forma

y(z) = c1Jν(z) + c2J−ν(z). (6.18)

Por razones historicas y de conveniencia futura se definen adicionalmente las funciones deBessel de segunda especie de orden ν, tambien llamadas funciones de Neumann de ordenν, Nν(z), por

Nν(z) :=cos(πν)Jν(z)− J−ν(z)

sen(πν). (6.19)

Entonces la solucion general de (6.1) puede expresarse como una combinacion lineal de lafuncion de Bessel y de Neumann correspondiente:

y(z) = c3Jν(z) + c4Nν(z). (6.20)

Caso en que α2 6= ν2

Asumiendo ahora que α2 6= ν2, entonces a0 = 0 con lo cual a2k = 0, con esto a1 6= 0luego (α + 1)2 − ν2 = 0. Reemplazando esto utlimo en (6.9), se tiene que

an = − an−2

(n− 1)(n + 1 + 2α)(6.21)

Aplicando sucesivamente (6.21), se tiene que

a2k+1 =(−1)ka1

22kk!1

(α + 2)(α + 3)(α + 4) · · · (α + k + 1)(6.22)

=(−1)ka1

22kk!Γ(α + 2)

Γ(α + k + 2)(6.23)

Ası, para α = ν − 1 se tiene que la solucion toma la forma

yν(z) = a1

∞∑

k=0

(−1)k

22kk!Γ(1 + ν)

Γ(k + ν + 1)z2k+ν (6.24)

Eligiendo a1 = 1/(2νΓ(1 + ν)), se obtiene nuevamente la funcion de Bessel de primeraespecie, dada por (6.14)

32

Caso en que α = −12

En este caso a0 6= 0 y a1 6= 0, de (6.9) se tiene la siguiente relacion de recurrencia

an = − an−2

n(n− 1)(6.25)

Si n es par entonces

a2k =(−1)ka0

(2k)!(6.26)

Si n es impar entonces

a2k+1 =(−1)ka1

(2k + 1)!(6.27)

Ası, en la solucion se tiene los siguiente

y(z) = z−1/2

(+∞∑

k=0

a2kz2k +

+∞∑

k=0

a2k+1z2k+1

)(6.28)

= z−1/2

(a0

+∞∑

k=0

(−1)k

(2k)!z2k + a1

+∞∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)!z2k+1

)(6.29)

Por lo tanto, la solucion de la E.D.O. de Bessel en este caso toma la siguiente forma

y(z) = z−1/2 (a0 cos(z) + a1 sen(z)) (6.30)

Funcion Gamma

Γ(z) := lımn→∞

1 · 2 · 3 · · ·nz(z + 1)(z + 2) · · · (z + n)

nz, (6.31)

Γ(z) :=∫ ∞

0e−ttz−1dt, <(z) > 0, (6.32)

1Γ(z)

:= zeγz∞∏

n=1

(1 +

z

n

)e−z/n, (6.33)

donde γ = 0,577216 · · · es la constante de Euler-Mascheroni2.

Γ(z + 1) = zΓ(z), (6.34)

Γ(1 + n) = n!, n = 0, 1, 2, · · · , (6.35)

Γ(z)Γ(1− z) =π

sen(zπ). (6.36)

Γ(−n) → ±∞, n = 0, 1, 2, · · · . (6.37)

Γ(1/2) =√

π. (6.38)2γ := lımn→∞ (1 + 1/2 + 1/3 + · · · 1/n− ln n).

33

-6

-4

-2

0

2

4

6

-4 -2 0 2 4

Figura 6.1: La funcion Γ con argumento real.

6.3. Relaciones de Recurrencia

Las funciones de Bessel Jν(z) satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia:

Jν−1(z) + Jν+1(z) =2ν

zJν(z), (6.39)

Jν−1(z)− Jν+1(z) = 2J ′ν(z). (6.40)

34

Podemos verificar estas relaciones usando directamente la expresion en serie de potencias(6.14). En efecto,

Jν−1(z) + Jν+1(z) =∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + ν)

(z

2

)2k+ν−1+

∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + ν + 2)

(z

2

)2k+ν+1(6.41)

=2z

[ ∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + ν)

(z

2

)2k+ν+

∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + ν + 2)

(z

2

)2k+ν+2]

(6.42)

=2z

[ ∞∑

k=0

(−1)k(k + ν)k!Γ(k + ν + 1)

(z

2

)2k+ν

+∞∑

k=1

(−1)k−1

(k − 1)!Γ(k + ν + 1)

(z

2

)2k+ν]

(6.43)

=2z

[ ∞∑

k=0

(−1)k(k + ν)k!Γ(k + ν + 1)

(z

2

)2k+ν+

∞∑

k=1

(−1)k−1

Γ(k + ν + 1)k

k!

(z

2

)2k+ν]

(6.44)

=2z

∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + ν + 1)[(k + ν)− k]

(z

2

)2k+ν(6.45)

=2ν

x

∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + ν + 1)

(z

2

)2k+ν(6.46)

=2ν

zJν(z). (6.47)

De manera completamente analoga, realizando ahora la resta de Jν−1(z y Jν+1(z) obtene-mos (ver (6.41) y (6.45)):

Jν−1(z)− Jν+1(z) =∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + ν)

(z

2

)2k+ν−1−

∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + ν + 2)

(z

2

)2k+ν+1(6.48)

=2z

∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + ν + 1)[(k + ν) + k]

(z

2

)2k+ν(6.49)

=∞∑

k=0

(−1)k

kΓ(k + ν + 1)(2k + ν)

(z

2

)2k+ν−1(6.50)

=d

dz

∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + ν + 1)

(z

2

)2k+ν(6.51)

= J ′ν(z). (6.52)

A partir de las relaciones (6.39) y (6.40) podemos derivar otras relaciones. Por ejemplo,sumando (6.39) y (6.40) llegamos a

Jν−1(z) = J ′ν(z) +ν

zJν(z) (6.53)

= z−ν d

dz[zνJν(z)] . (6.54)

35

Similarmente, la suma de (6.39) y (6.40) conduce a

Jν+1(z) = −J ′ν(z) +ν

zJν(z) (6.55)

= −zν d

dz

[z−νJν(z)

]. (6.56)

Finalmente, podemos verificar que estas relaciones implican que las funciones Jν(z) satis-facen la ecuacion de Bessel. A partir de (6.53) tenemos que zJ ′ν = zJν−1− νJν . Derivandoy multiplicando por z esta relacion, tenemos que

zd

dz(zJ ′ν) = z

(Jν−1 + zJ ′ν−1 − νJ ′ν

)(6.57)

= zJν−1 + z2J ′ν−1 − νzJ ′ν . (6.58)

Usando (6.55) (reemplazando ν por ν − 1) para reescribir el segundo termino de (6.58) ynuevamente (6.53) en el ultimo termino, llegamos a

zd

dz(zJ ′ν) = zJν−1 + z [(ν − 1)Jν−1 − zJν ]− ν(zJν−1 − νJν) (6.59)

= −(x2 − ν2)Jν , (6.60)

que es equivalente a la ecuacion (6.1).

6.3.1. Representacion integral

Las funciones de Bessel de orden ν y argumento real pueden expresarse como la siguienteintegral en el plano completo

Jν(x) = 2πi

∫

Ce(x/2)(t−t−1)t−ν−1dt, (6.61)

donde t ∈ C esta integrado sobre el contorno C indicado en la figura.Podemos probar esta relacion a partir de la siguiente representaciond de la funcion

Gamma (ver, por ejemplo, la expresion (11.21) [4]):

1Γ(z)

=1

2πi

∫

Cett−zdt. (6.62)

Primero, reescribimos el integrando de (6.61) como

e(x/2)(t−t−1)t−ν−1 = ext/2e−x/2tt−ν−1 (6.63)

= ext/2

[ ∞∑

k=0

1k!

(−x

2t

)k]

t−ν−1 (6.64)

=∞∑

k=0

(−1)k

k!

(x

2

)kext/2t−k−ν−1. (6.65)

Entonces, integrando esta relacion sobre C, encontramos

∫

Ce(x/2)(t−t−1)t−ν−1dt =

∞∑

k=0

(−1)k

k!

(x

2

)k∫

Cext/2t−k−ν−1dt. (6.66)

36

αm,n m = 0 m = 1 m = 2 m = 3n = 1 2,4048 3,8317 5,1356 6,3802n = 2 5,5201 7,0156 8,4172 9,7610n = 3 8,6537 10,1735 11,6198 13,0152n = 4 11,7915 13,3237 14,7960 16,2235n = 5 14,9309 16,4706 17,9598 19,4094

Cuadro 6.1: Las primeras raıces αm,n de Jm(x), m = 0, 1, 2, 3, 4.

Finalmente, realizando el cambio de variable x′ := xt/2 y usando (6.62) reescribimos alultima integral como

∫

Cext/2t−k−ν−1dt =

2x

∫

Cet′

(2t′

x

)−k−ν−1

dt′ (6.67)

=(

2x

)−k−ν ∫

Cet′t′−k−ν−1dt′ (6.68)

=(

2x

)−k−ν 2πi

Γ(k + ν + 1). (6.69)

Sustituyendo (6.69) en (6.65) llegamos directamente al resultado deseado, luego de inden-tificar la expansion en serie de potencias (6.14) de la funcion Jν(x).

A partir de (6.61) podemos encotrar la expresion alternativa:

Jν(x) =1π

∫ π

0cos(νθ − x sen θ)dθ − sen(νπ)

π

∫ ∞

0e−νt−x senh tdt. (6.70)

6.3.2. Forma asintotica

A partir de la representacion integral (6.61) es posible encontrar una expresion asintoti-ca para las funciones de Bessel, valida para valores “grandes” de x:

Jν(x) ≈√

2πx

cos(x− νπ

2− π

4

), x À

∣∣∣∣ν2 − 14

∣∣∣∣ . (6.71)

6.3.3. Ceros de las funciones de Bessel

Frecuentemente, es necesario evaluar las raices, o ceros, de las funciones de Bessel. Lafuncion de Bessel Jν(x) tiene infinitas raices (ver, por ejemplo, figura 6.2). Denotaremosαν,n a la n-esima raiz de la funcion Jν(x), es decir, tal que Jν(αν,n) = 0 y αν,n+1 < αν,n,n = 1, 2, · · · . Los valores de estas raices son calculadas numericamente a partir, por ejemplo,de la expresion en serie (6.14) para las funciones de Bessel. En la tabla 6.1 se muestranalgunas de estos ceros3:

Es tambien frecuente requerir calcular las raices de las derivadas de las funciones deBessel. Estas seran denotadas por βν,n y entonces satisfacen J ′ν(βν,n) = 0 y βν,n+1 < αβ,n,n = 1, 2, · · · . La tabla 6.2 resume algunos de estos valores:

3Un sitio donde puede calcular en lınea los ceros es: http://cose.math.bas.bg/webMathematica/

webComputing/BesselZeros.jsp.

37

βm,n m = 0 m = 1 m = 2 m = 3n = 1 3,8317 1,8412 3,0542 4,2012n = 2 7,0156 5,3314 6,7061 8,0152n = 3 10,1735 8,5363 9,9695 11,3459

Cuadro 6.2: Las primeras raıces βm,n de J ′m(x), m = 0, 1, 2, 3, 4.

6.3.4. Relaciones de Ortogonalidad

∫ a

0Jν

(αν,n

aρ)

Jν

(αν,m

aρ)

ρ dρ = δn,ma2

2[Jν+1(αν,n)]2 (6.72)

∫ a

0Jν

(βν,n

aρ

)Jν

(βν,m

aρ

)ρ dρ = δn,m

a2

2

(1− ν2

β2ν,n

)[Jν(βν,n)]2 . (6.73)

6.4. Funciones de Bessel de orden entero

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20

Figura 6.2: Primeros cinco funciones de Bessel de orden entero.

Consideremos las soluciones enteras de orden n = 0, 1, 2, · · · , entonces (6.14) se reducea

Jn(z) =∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + n + 1)

(z

2

)2k+n, (6.74)

y como Γ(k +n+1) tiene argumento entero, coincide con el factorial (k +n)!. Por lo tanto,

Jn(z) =∞∑

k=0

(−1)k

k!(k + n)!

(z

2

)2k+n. (6.75)

38

Por otro lado, reemplazando ν = −n, con n = 0, 1, 2, · · · , en (6.14) (o, equivalentementeν = n en (6.15)), obtenemos

J−n(z) =∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k − n + 1)

(z

2

)2k−n. (6.76)

Aquı hay que mirar cuidadosamente el caso en que (k − n + 1) asume valores enterosnegativos, puesto que en esos casos la funcion Γ(k − n + 1) diverge. Los casos en quek − n + 1 = 0, 1, 2, · · · se presentan cuando k = n− 1, n− 2, · · · , 0 respectivamente. Como1/Γ(k−n+1) → 0 en estos casos4, entonces los coeficientes de la suma en (6.76) tenderana cero para todo k = 0, 1, · · · , n−1. Por lo tanto, solo contribuiran los terminos con k ≥ n.Entonces (6.76) se reduce a

J−n(z) =∞∑

k=n

(−1)k

k!Γ(k − n + 1)

(z

2

)2k−n(6.77)

=∞∑

k=0

(−1)k+n

(k + n)!Γ(k + 1)

(z

2

)2k+n(6.78)

= (−1)n∞∑

k=0

(−1)k

(k + n)!k!

(z

2

)2k+n(6.79)

= (−1)nJn(z). (6.80)

Note ademas que, como puede verse de su expresion en serie, que las funciones Jn(z)tienen paridad n, es decir,

Jn(−z) = (−1)nJn(z). (6.81)

6.4.1. Funcion generadora de Funciones de Bessel de orden entero

Consideramos la funcion g(t, z) definida por

g(t, z) :=∞∑

n=−∞Jn(z)tn, t, z ∈ C. (6.82)

De esta forma, podemos entender a g(t, z) como la funcion generadora de las funciones deBessel de orden entero, por medio de la expansion (de Laurent) en potencias de t.

Para determinar la forma explıcita de g(t, z) podemos proceder como sigue. Derivamos(6.82) con respecto a z y usamos la relacion de recurrencia (6.40) para expresar J ′n(z) en

4En otras palabras, estamos considerando (o definiendo) J−n como el lımite de J−ν cuando ν se acercaal entero n: J−n(z) := lımν→n J−ν(z).

39

terminos de Jn−1(z) y Jn+1(z). Con esto, podemos escribir:

∂g

∂z=

∞∑n=−∞

J ′n(z)tn (6.83)

=12

∞∑n=−∞

(Jn−1(z)− Jn+1(z)) tn (6.84)

=12

[t

∞∑n=−∞

Jn−1(z)tn−1 − t−1∞∑

n=−∞Jn+1(z)tn+1

](6.85)

=12

(t− t−1

) ∞∑n=−∞

Jn(z)tn (6.86)

=12

(t− t−1

)g(t, z). (6.87)

Podemos encontrar una expresion para la funcion generadora a partir de esta relacion,considerandola como una ecuacion diferencial para g(t, z). La solucion es necesariamentede la forma

g(t, z) = f(t) ez2(t−t−1). (6.88)

Finalmente, la funcion f(t) puede determinarse evaluando (6.82) para z = 0 y luego com-parando con (6.88):

g(t, 0) = f(t) =∞∑

n=−∞Jn(0)tn = J0(0) = 1. (6.89)

Aquı usamos el hecho que todas las funciones de Bessel de orden entero se anulan en z = 0,excepto para n = 0, ya que J0(0) = 1.

g(t, z) = ez2(t−t−1) =

∞∑n=−∞

Jn(z)tn. (6.90)

6.4.2. Representacion integral

Substituyendo t = eiθ en (6.90) encontramos,

g(t, eiθ) = eiz sen θ =∞∑

n=−∞Jn(z)einθ. (6.91)

Esto significa que las funciones de Bessel son los coeficientes de la expansion en serie deFourier de la funcion eiz sen θ. Por lo tanto,

Jn(z) =12π

∫ 2π

0eiz sen θe−inθ dθ. (6.92)

Equivalentemente, ya que el integrando es periodico de periodo 2π, podemos desplazar elintervalo de integracion a [−π, π], y escribir

Jn(z) =12π

∫ π

−πei(z sen θ−nθ) dθ. (6.93)

40

Como ei(z sen θ−nθ) = cos(z sen θ−nθ)+i sen(z sen θ−nθ), vemos que el integrando se divideen una contribucion par y otra impar en θ. Por lo tanto,

Jn(z) =1π

∫ π

0cos(z sen θ − nθ) dθ. (6.94)

En particular,

J0(z) =12π

∫ π

−πeiz sen θ dθ =

1π

∫ π

0cos(z sen θ) dθ. (6.95)

6.4.3. Sumatorias de funciones de Bessel

Adicionalmente, de la relacion (6.91) podemos escribir,

eiz sen θ = J0(z) +∞∑

n=1

(Jn(z)einθ + J−n(z)e−inθ

)(6.96)

= J0(z) +∞∑

n=1

(Jn(z)einθ + (−1)nJn(z)e−inθ

)(6.97)

= J0(z) +∞∑

n=1n impar

Jn(z)(einθ − e−inθ

)+

∞∑

n=2n par

Jn(z)(einθ + e−inθ

)(6.98)

= J0(z) + 2i∞∑

n=1n impar

Jn(z) sen(nθ) + 2∞∑

n=2n par

Jn(z) cos(nθ) (6.99)

= J0(z) + 2i∞∑

n=1

J2n−1(z) sen[(2n− 1)θ] + 2∞∑

n=1

J2n(z) cos(2nθ). (6.100)

Si el argumento de las funciones es real (z = x) entonces, igualando la parte real e imagi-naria de ambos lados de la igualdad, obtenemos

cos(x sen θ) = J0(x) + 2∞∑

n=1

J2n(x) cos(2nθ), (6.101)

sen(x sen θ) = 2∞∑

n=1

J2n−1(x) sen[(2n− 1)θ]. (6.102)

En particular, si θ = 0, obtenemos la relacion

J0(x) + 2∞∑

n=1

J2n(x) = 1. (6.103)

41

6.5. Funciones de Bessel de orden semi-entero

J1/2(z) =∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + 1/2 + 1)

(z

2

)2k+1/2(6.104)

=∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + 3/2)

(z

2

)2k+1/2(6.105)

=(

2πz

)1/2 ∞∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)!z2k+1 (6.106)

=(

2πz

)1/2

sen z. (6.107)

Aquı hemos usado

Γ(k +32) = (k +

12)Γ(k +

12) (6.108)

= (k +12)(k − 1

2)Γ(k − 1

2) (6.109)

= (k +12)(k − 1

2)(k − 3

2)Γ(k − 3

2) (6.110)

= · · · (6.111)

= (k +12)(k − 1

2)(k − 3

2)12Γ(

12) (6.112)

=√

π

2k+11 · 3 · 5 · · · (2k − 1)(2k + 1)︸ ︷︷ ︸

k+1 terminos

(6.113)

=√

π

22k+1

(2k + 1)!k!

. (6.114)

Analogamente,

J−1/2(z) =∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k − 1/2 + 1)

(z

2

)2k+1/2(6.115)

=∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + 1/2)

(z

2

)2k+1/2(6.116)

=(

2πz

)1/2 ∞∑

k=0

(−1)k

(2k)!z2k (6.117)

=(

2πz

)1/2

cos z, (6.118)

ya que

Γ(k +12) =

Γ(k + 32)

(k + 12

) (6.119)

=√

π

22k+1

(2k + 1)!(k + 1

2)k!(6.120)

=√

π

22k

(2k)!k!

. (6.121)

42

Podemos encontrar las otras funciones de Bessel de orden semi-entero usando las rela-ciones de recurrencia (6.39) y (6.40). Por ejemplo

J3/2(z) =(1/2)

zJ1/2(z)− J ′1/2(z) (6.122)

=12z

(2π

)1/2

z−1/2 sen z −(−1

2

)(2π

)1/2

z−3/2 sen z −(

2π

)1/2

z−1/2 cos z

(6.123)

= 2−1/2π−1/2z−3/2 sen z + 2−1/2π−1/2z−3/2 sen z − 2−1/2π−1/2 cos z (6.124)

=(

2π

)1/2

z−3/2 sen z −(

2π

)1/2

z−1/2 cos z (6.125)

=(

2π

)1/2 (z−3/2 sen z − z−1/2 cos z

). (6.126)

6.6. Funciones de Bessel de segunda especie

Como hemos ya discutido en la seccion 6.2, cuando ν no es un entero, las funcionesde Bessel de segunda especie, tambien llamadas funciones de Neumann Nν(z) (o Yν(z)),definidas por

Nν(z) :=Jν(z) cos(νπ)− J−ν(z)

sen(νπ), ν 6= n = 0,±1,±, 2, · · · , (6.127)

son soluciones linealmente independientes de Jν(z) de ecuacion de Bessel. Esta combinacionlineal particular es util puesto que, entre otras cosas, suministra una expresion complemen-taria a las funciones Jν(z) en lo que respecta a su forma asintotica. En efecto, a partir de(6.71) encontramos que

Nν(x) ≈√

2πx

sen(x− νπ

2− π

4

), x À

∣∣∣∣ν2 − 14

∣∣∣∣ . (6.128)

Ademas, puede usarse la misma expresion (6.127) en el caso en que ν es entero (ν = n).Sabemos que en este caso, J−n(z) no es linealmente independiente de J−n(z) ya que secumple que J−n(z) = (−1)nJn(z). No obstante, podemos usar (6.127) para encontrar lasegunda solucion linealmente independiente Nn(z), como el lımite de (6.127) cuando elparametro ν se acerca al entero n, es decir,

Nn(z) := lımν→n

Jν(z) cos(νπ)− J−ν(z)sen(νπ)

, n = 0,±1,±, 2, · · · . (6.129)

Note que los coeficientes de la combinacion lineal (6.127) son tales que el lımite es notrivial, ya que tanto el numerador como el denominador tienden a cero cuando ν tiende an. Por esto, usando la regla de L’Hopital, encontramos que

Nn(z) =1π

[∂Jν(z)

∂ν− (−1)n ∂J−ν(z)

∂ν

]

ν=n

. (6.130)

Puede (hagalo!) verificarse que la funcion definida por (6.130), efectivamente satisface laecuacion de Bessel (6.1). Ademas, de (6.130) se sigue, usando (∂Jν/∂ν)ν=−n = −(∂J−ν/∂ν)ν=n,que

N−n(z) = (−1)nNn(z). (6.131)43

Por otro lado, de la expansion (6.15) obtenemos que cerca de z = 0, y para ν > 0,

Nν(z) ≈ − 1sen(νπ)

1Γ(1− ν)

(2z

)ν

= − 1π

Γ(ν)(

2z

)ν

. (6.132)

Aquı hemos usamos la identidad (6.36). Por lo tanto, para ν → n, obtenemos

Nn(z) ≈ − 1π

(n− 1)!(

2z

)n

, z ≈ 0, n > 0, (6.133)

de donde vemos que estas funciones divergen en el origen origen. Note que incluso N0(z)diverge en z = 0, ya que5

N0(z) ≈ 2π

[ln

(z

2

)+ γ

], z ≈ 0, (6.135)

donde γ = −Ψ0(1) es la constante de Euler-Mascheroni, γ = 0,5772 · · · .

6.6.1. Representacion integral

Nn(x) =1π

∫ π

0sen(x sen θ − nθ) dθ − 1

π

∫ ∞

0

[ent + (−1)ne−nt

]e−x senh t dt. (6.136)

6.6.2. Relaciones de Recurrencia

A partir de la definicion (6.129) y las relaciones de recurrencia para las funciones deBessel (6.39) y (6.40), puede verificarse que las funciones de Bessel de segunda especiesatisfacen las mismas relaciones de recurrencia que las de primera especie:

Nν−1(z) + Nν+1(z) =2ν

zNν(z), (6.137)

Nν−1(z)−Nν+1(z) = 2N ′ν(z). (6.138)

5A partir de (6.130), se encuentra, usando la funcion digamma Ψ0(z) := Γ′(z)/Γ(z), que:

N0(z) =2

π

„∂Jν

∂ν

«

ν=0

=2

π

»−Ψ0(ν + 1)

Γ(ν + 1)

“z

2

”ν

+1

Γ(ν + 1)

“z

2

”ν

ln“z

2

”+ · · ·

–

ν=0

=2

π

h−Ψ0(1) + ln

“z

2

”+ · · ·

i.

(6.134)

44

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

0 5 10 15 20

Figura 6.3: Primeras cinco funciones de Bessel de segunda especie (funciones de Neumann)de orden entero.

6.7. Funciones de Hankel

En muchas aplicaciones fısicas (especialmente cuando se estudian soluciones de la ecua-cion de onda) es conveniente introducir otro par de funciones linealmente independientes,llamadas funciones de Hankel y denotadas por H

(1)ν y H

(2)ν , definidas por

H(1)ν (z) := Jν(z) + iNν(z), (6.139)

H(2)ν (z) := Jν(z)− iNν(z) (6.140)

Las funciones de Hankel son linealmente independientes para todo ν, y satisfacen las mis-mas relaciones de recurrencia que las funciones de Bessel. La utilidad de su definicionresulta clara al considerar su forma asintotica. Usando (6.71) y (6.128) se encuentra que

H(1)ν (x) ≈

√2

πxei(x−νπ/2−π/4), H(2)

ν (x) ≈√

2πx

e−i(x−νπ/2−π/4), x À∣∣∣ν2 − π

4

∣∣∣ .

(6.141)

6.8. Funciones modificadas de Bessel

La ecuacion modificada de Bessel es

y′′ +1x

y′ −(

1 +ν2

x2

)y(x) = 0. (6.142)

Las soluciones finitas en x = 0 de esta ecuacion son de la forma y(x) = Jν(ix). Como esta-mos especialmente interesados en el caso en que tanto x como y son reales, es convenientedefinir las funciones modificadas de Bessel de primera especia y orden ν:

Iν(x) = i−νJν(ix). (6.143)45

La funcion Iν(x) ası definida es real. En efecto, de la expansion en serie (6.14)

Iν(x) = i−νJν(ix) (6.144)

= i−ν∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + ν + 1)

(ix

2

)2k+ν

(6.145)

= i−ν∞∑

k=0

(−1)kiνi2k

k!Γ(k + ν + 1)

(x

2

)2+ν. (6.146)

Por lo tanto,

Iν(x) =∞∑

k=0

1k!Γ(k + ν + 1)

(x

2

)2k+ν. (6.147)

Nuevamente, Iν y I−ν son linealmente independientes, excepto si ν es entero, ya que eneste ultimo caso se satisface que

I−n(x) = In(z) (6.148)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figura 6.4: Primeras cinco funciones modificadas de Bessel (de primera especie) de ordenentero.

La correspondiente forma asintotica de las funciones modificadas de Bessel Iν(x) es

Iν(x) ≈ 1√2πx

ex, x À∣∣∣∣ν2 − 1

4

∣∣∣∣ . (6.149)

Las funciones Iν(x) satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia, que se siguen apartir de (6.39), (6.40) y (6.143):

Iν−1(x) + Iν+1(x) = 2I ′ν(x), (6.150)

Iν−1(x)− Iν+1(x) =2ν

xIν(x). (6.151)

46

6.8.1. Funciones Modificadas de Bessel de segunda especie

En analogıa con lo visto en la seccion 6.6, es conveniente introducir las funciones desegunda especie, ahora denotadas por Kν(x), y definidas de la forma siguiente:

Kν(x) :=π

2

[I−ν(x)− Iν(x)

sen(νπ)

], ν 6= n = 0,±1,±2, · · · . (6.152)

Note que como consecuencia de esta definicion K−ν(x) = Kν(x), por lo que es suficienteconsiderar ν ≥ 0. Con estas definiciones, Iν y Kν son l.i. para todo ν, y su forma asintoticaes nuevamente “complementaria” ya que

Kν(x) ≈√

π

2xe−x (6.153)

En el caso de ν entero, la definicion se realiza como el lımite ν → n, es decir,

Kn(x) := lımν→n

π

2

[I−ν(x)− Iν(x)

sen(νπ)

], n = 0, 1, 2, · · · . (6.154)

Usando nuevamente la regla de L’Hopital, podemos escribir

Kn(x) =(−1)n

2

[∂I−ν(x)

∂ν− ∂Iν(x)

∂ν

]

ν=n

. (6.155)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figura 6.5: Primeras cinco funciones modificadas de Bessel de segunda primera especie yorden entero.

Las funciones Kν(x) satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia

Kν−1(x) + Kν+1(x) = −2K ′ν(x), (6.156)

Kν−1(x)−Kν+1(x) = −2ν

xKν(x), (6.157)

como puede verificarse a partir de (6.150), (6.151), (6.152) y (6.155). Note la diferenciade signo de estas relaciones con respecto a las correspondientes a las funciones de primeraespecie, (6.150) y (6.151).

47

6.9. Funciones Esfericas de Bessel

Como vimos, en coordenadas esfericas la ecuacion radial proveniente de la separacionde variables de la ecuacion de Helmholtz es (4.8). Ademas, las soluciones finitas en θ = 0 yθ = π (es decir, sobre el eje z) de (4.9) requieren que Q = n(n + 1). La ecuacion resultantetiene entonces soluciones de la forma

Rn(r) =un(kr)√

r, (6.158)

donde k =√|α| y un(x) es solucion de la ecuacion (modificada, si α < 0) de Bessel de

orden semientero, ν = n + 1/2.En el caso en que α > 0, las soluciones u(x) seran entonces combinaciones de funciones

de Bessel de primera y segunda especie. Por esto, es conveniente definir las funcionesesfericas de Bessel (de primera y segunda especie) por:

jn(x) :=√

π

2xJn+1/2(x), (6.159)

nn(x) :=√

π

2xNn+1/2(x) = (−1)n+1

√π

2xJ−n−1/2(x). (6.160)

El factor√

π/2 es incluido por conveniencia, ya que entonces (ver (6.107) y (6.118)) lasprimeras funciones resultan ser simples:

j0(x) =senx

x, n0(x) = − cosx

x. (6.161)

Podemos encontrar una expresion en serie simple a partir6 de (6.14),

Jn+1/2(x) =∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + n + 3/2)

(x

2

)2k+n+1/2(6.162)

=√

x

2

∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + n + 3/2)

(x

2

)2k+n(6.163)

=√

x

2

∞∑

k=0

(−1)k

k!22k+2n+1Γ(k + n + 1)π1/2Γ(2k + 2n + 2)

(x

2

)2k+n(6.164)

=

√2x

π22n

∞∑

k=0

(−1)k

k!22k(k + n)!

(2k + 2n + 1)!

(x

2

)2k+n(6.165)

=

√2x

π2nxn

∞∑

k=0

(−1)k

k!(k + n)!

(2k + 2n + 1)!x2k. (6.166)

Por lo tanto,

jn(x) = 2nxn∞∑

k=0

(−1)k

k!(k + n)!

(2k + 2n + 1)!x2k. (6.167)

Analogamente, para la funcion esferica de segunda especie, encontramos

nn(x) =(−1)n+1

2nxn+1

∞∑

k=0

(−1)k(k − n)!k!(2k − 2n)!

x2k. (6.168)

6y usando la “formula de duplicacion de Legendre”, ver por ejemnplo ec. (10.66b) de [2]: Γ(z + 1)Γ(z +1/2) ≡ 2−2zπ1/2Γ(2z + 1), con z = k + n + 1/2.

48

6.9.1. Relaciones de Recurrencia

A partir de las relaciones de recurrencia para Jν y Nν , ver (6.39), (6.40), (6.137) y(6.138), podemos derivar directamente las correspondientes relaciones para las funcionesesfericas, obteniendo:

jn−1(x)+ jn+1(x) =2n + 1

xjn(x), njn−1(x)− (n+1)jn+1(x) = (2n+1)j′n(x). (6.169)

Similarmente (6.54) y (6.56) implican que

jn−1(x) = x−n−1 d

dx

[xn+1jn(x)

](6.170)

jn+1(x) = −xn d

dx

[x−njn(x)

](6.171)

Aplicando sucesivamente (6.171) obtenemos una expresion en terminos de la funcion j0(x):

jn(x) = (−x)n

(1x

d

dx

)n

j0(x), (6.172)

Similarmente,

nn(x) = (−x)n

(1x

d

dx

)n

n0(x). (6.173)

6.9.2. Expresiones explıcitas

De este modo, usando (6.161) encontramos las siguientes utiles expresiones:

jn(x) = (−x)n

(1x

d

dx

)n sen x

x, (6.174)

nn(x) = −(−x)n

(1x

d

dx

)n cosx

x. (6.175)

De este modo, podemos calcular explıcitamente las funciones que necesitemos. Por ejemplo:

j0(x) =sen x

x, (6.176)

j1(x) =sen x

x2− cosx

x, (6.177)

j2(x) =(

3x2− 1

)senx

x− 3 cosx

x2, (6.178)

j3(x) =(

15x3− 6

x

)senx

x−

(15x2− 1

)cosx

x, (6.179)

n0(x) = −j−1(x) = − cosx

x, (6.180)

n1(x) = j−2(x) = − cosx

x2− senx

x, (6.181)

n2(x) = −j−3(x) =(− 3

x2+ 1

)cosx

x− 3 sen x

x2, (6.182)

n3(x) = j−4(x) =(−15

x3+

6x

)cosx

x−

(15x2− 1

)sen x

x. (6.183)

49

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 5 10 15 20

Figura 6.6: Primeras cinco funciones esfericas de Bessel y Neumann de orden entero.

6.9.3. Relaciones de Ortogonalidad

Nuevamente, podemos encontrar relaciones validas para las funciones esfericas a partirde aquellas derivadas para las funciones de Bessel Jν . A partir de (6.72) se sigue directa-mente que

∫ a

0jn

(αn,m

ar

)jn

(αn,m′

ar

)r2 dr = δm,m′

a3

2[jn+1(αn,m)]2 , (6.184)

donde αn,m denota la m-esima raiz de la la funcion esferica jn(x). Ya que jn es proporcionala Jn+1/2, entonces αn,m = αn+1/2,m.

6.9.4. Funciones esfericas de Hankel

h(1)n (x) = jn(x) + inn(x), (6.185)

h(2)n (x) = jn(x)− inn(x). (6.186)

h(1)n (x) = (−i)n+1 eix

x

n∑

m=0

im

m!(2x)m

(n + m)!(n−m)!

(6.187)

6.9.5. Forma asintotica

Para x ¿ 1,

jn(x) ≈ 2nn!(2n + 1)!

xn, (6.188)

nn(x) ≈ −(2n)!2nn!

1xn+1

. (6.189)

50

Para x À n(n + 1),

jn(x) ≈ 1x

sen(x− nπ

2

), (6.190)

nn(x) ≈ −1x

cos(x− nπ

2

), (6.191)

h(1)n (x) ≈ − i

xei(x−nπ/2) = (−i)n+1 eix

x, (6.192)

h(2)n (x) ≈ i

xe−i(x−nπ/2) = (i)n+1 e−ix

x. (6.193)

6.9.6. Funciones modificadas esfericas de Bessel

in(x) := i−njn(ix) =√

π

2xIn+1/2(x), kn(x) := −inh(1)(ix) =

√π

2xKn+1/2(x).

(6.194)

Relaciones de Recurrencia

in−1(x)− in+1(x) =2n + 1

xin(x), (6.195)

nin−1(x) + (n + 1)in+1(x) = (2n + 1)i′n(x). (6.196)

kn−1(x)− kn+1(x) = −2n + 1x

kn(x), (6.197)

nkn−1(x) + (n + 1)kn+1(x) = −(2n + 1)k′n(x). (6.198)

in+1(x) = xn d

dx(x−nin), kn+1(x) = −xn d

dx(x−nkn). (6.199)

Formas asintoticas

in(x) ≈ 2nn!(2n + 1)!

xn, kn(x) ≈ (2n)!2nn!

x−n−1, x ¿ 1, (6.200)

in(x) ≈ ex

2x, kn(x) ≈ −ex

x, x À n(n + 1)

2. (6.201)

Expresiones explıcitas

in(x) = xn

(1x

d

dx

)n senhx

x, kn(x) = (−1)nxn

(1x

d

dx

)n e−x

x, (6.202)

51

i0(x) =senh(x)

x, (6.203)

i1(x) =senh(x)

x− cosh(x), (6.204)

i2(x) =cosh(x)

x− senh(x)

x2, (6.205)

i3(x) =senh(x)

x+

3 senh(x)x3

− 3 cosh(x)x2

, (6.206)

i4(x) = −6 senh(x)x2

− 15 senh(x)x4

+cosh(x)

x+

15 cosh(x)x3

, (6.207)

k0(x) =e−x

x, (6.208)

k1(x) =e−x

x+

e−x

x2, (6.209)

k2(x) =e−x

x+

3 e−x

x2+

3 e−x

x3, (6.210)

k3(x) =e−x

x+

6 e−x

x2+

15 e−x

x3+

15 e−x

x4, (6.211)

k4(x) =e−x

x+

10 e−x

x2+

45 e−x

x3+

105 e−x

x4+

105 e−x

x5. (6.212)

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5

Figura 6.7: Primeras cinco funciones esfericas modificadas de Bessel y Neumann de ordenentero.

52

Capıtulo 7

Funciones de Green

7.1. Motivacion

El metodo de las funciones de Green1 permite reducir el problema de encontrar unasolucion de una E.D.P. lineal inhomogenea a una forma estandar.

Por ejemplo, en electrostatica, el potencial satisface la ecuacion de Poisson (3D):

∇2φ = −ρ(x)ε0

. (7.1)

Ademas, sabemos que para una carga puntual ubicada en el punto con coordenadas ~x′

φ(~x) =1

4πε0

q

|~x− ~x′| , (7.2)

y que el potencial producido por una distribucion continua de carga con densidad ρ(~x) es

φ(~x) =1

4πε0

∫

V

ρ(~x′)|~x− ~x′|dV ′. (7.3)

En ambos casos se eligio el potencial nulo en el infinito. Vemos entonces que en la soluciongeneral (7.5) aparece la funcion

G(~x, ~x′) = − 14π

1|~x− ~x′| . (7.4)

de modo que

φ(~x) =∫

VG(~x, ~x′)

(−ρ(~x′)

ε0

)dV ′. (7.5)

La funcion (7.4) satisface∇2G(~x′, ~x) = δ(3)(~x− ~x′). (7.6)

Como veremos a continuacion, la propiedad (7.6) es la que permite encontrar solucionesde la ecuacion inhomogenea (7.1).

∇2φ(~x) = ∇2

∫

VG(~x, ~x′)

(−ρ(~x′)

ε0

)dV ′ (7.7)

=∫

V

[∇2G(~x, ~x′)](−ρ(~x′)

ε0

)dV ′ (7.8)

=∫

Vδ(~x− ~x′)

(−ρ(~x′)

ε0

)dV ′ (7.9)

= −ρ(~x)ε0

. (7.10)

1George Green (1793-1841): matematico britanico. Ver http://es.wikipedia.org/wiki/George_Green.

53

7.2. Generalizacion

Consideremos la E.D.P. lineal inhomogenea de la forma (en d-dimensiones)

LΨ = f(~x), (7.11)

donde f(~x) es una funcion “fuente” conocida, y L es el operador lineal definido por

LΨ = ~∇ ·[p(~x)~∇Ψ

]+ q(~x)Ψ, (7.12)

y p(~x) y q(~x) son funciones conocidas.Para solucionar la E.D.P. (7.11) buscamos primero la funcion de Green G(~x, ~x′) asociada

al operador L, definida como la funcion que satisface

LG(~x′, ~x) = δ(~x− ~x′). (7.13)

La utilidad de introducir la funcion de Green es que, conociendo una solucion de (7.11), esposible escribir la solucion del problema inhomogeneo general (7.11) como

Ψ(~x) =∫

VG(~x, ~x′)f(~x′)dV ′ +

∮

∂Vp(~x′)

[Ψ(~x′)~∇′G(~x, ~x′)−G(~x, ~x′)~∇′Ψ(~x′)

]· d~S′.

(7.14)Aquı V denota el dominio en el que la solucion Ψ es valida (es decir, ~x ∈ V ) y ∂V sufrontera.

Para probar (7.14) partimos desde la integral sobre ∂V en el en lado derecho de (7.14),que luego podemos escribir como una integral de volumen, por medio del teorema de Gauss:

I =∮

∂Vp(~x′)

[Ψ(~x′)~∇′G(~x, ~x′)−G(~x, ~x′)~∇′Ψ(~x′)

]· d~S′ (7.15)

=∫

V

~∇′ ·[p(~x′)Ψ(~x′)~∇′G(~x, ~x′)− p(~x′)G(~x, ~x′)~∇′Ψ(~x′)

]dV ′ (7.16)

=∫

V

[Ψ(~x′)~∇′ ·

(p(~x′)~∇′G(~x, ~x′)

)−G(~x, ~x′)~∇′ ·

(p(~x′)~∇′Ψ(~x′)

)]dV ′ (7.17)

=∫

V

[Ψ(~x′)

(L′G(~x, ~x′)

)−G(~x, ~x′)

(L′Ψ(~x′)

)]dV ′ (7.18)

=∫

V

[Ψ(~x′)δ(~x− ~x′)−G(~x, ~x′)f(~x′)

]dV ′ (7.19)

= Ψ(~x)−∫

VG(~x, ~x′)f(~x′)dV ′. (7.20)

En el ultimo paso, hemos asumido que el punto ~x ∈ V para evaluar la integral que involucrala delta de Dirac. El resultado (7.14) se sigue de igualar (7.15) y (7.20).

La solucion de la ecuacion (7.13) queda determinada, ademas de la funcion fuente f(~x),por las condiciones de borde del problema. Tıpicamente, estas condiciones de borde se ex-presan como condiciones que la solucion debe satisfacer en la frontera ∂V . Esta informacionmodifica la solucion a traves de los terminos de borde en (7.14). Sin embargo, la integralsobre ∂V en (7.14) depende tanto del valor de la incognita como de su derivada normal,y usualmente no se conoce simultaneamente estos dos valores. Mas aun, en general puedeser inconsistente imponer simultaneamente el valor de Ψ y de su derivada normal en ∂V .

Si las condiciones de Borde son tipo Dirichlet, es decir, la funcion Ψ es conocida en∂V , entonces el primer termino en la integral sobre ∂V en (7.14) es queda determinado

54

luego de encontrar la funcion de Green, no ası el segundo termino. Por esta razon,en estos casos es conveniente elegir una funcion de Green que satisfaga condicionesde borde tipo Dirichlet homogeneas en ∂V , es decir

G(~x, ~x′) = 0, ∀ ~x′ ∈ ∂V. (7.21)

Entonces la solucion se reduce a

Ψ(~x) =∫

VG(~x, ~x′)f(~x′)dV ′ +

∮

∂Vp(~x′)Ψ(~x′)~∇′G(~x, ~x′) · d~S′ (7.22)

=∫

VG(~x, ~x′)f(~x′)dV ′ +

∮

∂Vp(~x′)Ψ(~x′)

∂G(~x, ~x′)∂n′

dS′. (7.23)

Si las condiciones de borde son tipo Neumann, es decir se conoce ∂Ψ/∂n = n ·~∇Ψ sobre ∂V , entonces es conveniente escoger una funcion de Green que satisfagacondiciones de Neumann homogeneas en la frontera:

∂G(~x, ~x′)∂n′

= 0, ∀ ~x′ ∈ ∂V. (7.24)

Entonces, la solucion es dada por

Ψ(~x) =∫

VG(~x, ~x′)f(~x′)dV ′ −

∮

∂Vp(~x′)G(~x, ~x′)~∇′Ψ(~x′) · d~S′ (7.25)

=∫

VG(~x, ~x′)f(~x′)dV ′ −

∮

∂Vp(~x′)G(~x, ~x′)

∂Ψ(~x′)∂n′

dS′. (7.26)

Note que, sin embargo, dependiendo del operador L puede no ser posible elegir lafuncion de Green tal que n · ~∇′G(~x, ~x′) = 0 sobre toda la frontera ∂V . Esto ocurre, en elimportante caso del operador Laplaciano, L = ∇2.

7.3. Simetrıa de la funcion de Green

En el caso particular en el que el operador L es el operador Laplaciano, vemos que lafuncion de Green (7.4) es simetrica bajo intercambio de argumentos, es decir, G(~x, ~x′) =G(~x′, ~x). Puede verificarse que esta propiedad puede implementarse en casos mas generales,siempre que se satisfagan ciertas condiciones de contorno. Para ver esto, usamos el resultadogeneral (7.14) en el caso particular en que elegimos Ψ(~x) = G(~x′′, ~x), con ~x′ ∈ V , y entoncesf(~x) = δ(~x′′ − ~x). En este caso, encontramos que

G(~x′′, ~x) =∫

VG(~x, ~x′)δ(~x′′ − ~x′)dV ′

+∮

∂Vp(~x′)

[G(~x′′, ~x′)~∇′G(~x, ~x′)−G(~x, ~x′)~∇′G(~x′′, ~x′)

]· d~S′ (7.27)

= G(~x, ~x′′) +∮

∂Vp(~x′)

[G(~x′′, ~x′)~∇′G(~x, ~x′)−G(~x, ~x′)~∇′G(~x′′, ~x′)

]· d~S′. (7.28)

Por lo tanto, la funcion de Green es simetrica si la integral del segundo termino en (7.28)se anula. Esto puede ocurrir, tıpicamente, si la funcion de Green se anula en la frontera:

G(~x, ~x′) = 0, ∀ ~x′ ∈ ∂V (7.29)

55

7.4. Expresiones explıcitas de algunas funciones de Green

La funcion de Green definida por la ecuacion (7.13) no es unica. Si G1(~x, ~x′) es solucion,entonces G2(~x, ~x′) := G1(~x, ~x′) + H(~x, ~x′) tambien es solucion, si H(~x, ~x′) es solucion delproblema homogeneo asociado,

LH(~x, ~x′) = 0. (7.30)

Este hecho permite considerar soluciones soluciones particulares simples como base paraotras funciones de Green, que pueden obtenerse agregando una solucion de la ecuacionhomogenea de modo que la funcion resultante satisfaga las condiciones de borde que sim-plifiquen el problema.

7.4.1. Operador Laplaciano

En este caso p(~x) = 1 y q(~x) = 0. En Fısica, usualmente se busca la funcion de Green que“respete la homogeneidad e isotropıa del espacio”. La primera condicion (homogeneidad)significa que G funcion que depende de ~x y ~x′ solo a traves de su diferencia ~x − ~x′. Lasegunda condicion (isotropıa=invariancia bajo rotaciones) implica que G solo depende delmodulo de ~x − ~x′. Esto reduce la funcion de Green basicamente a una funcion de unavariable, ya que entonces

G(~x, ~x′) = G(|~x− ~x′|). (7.31)

D = 3

En coordenadas esfericas centradas en ~x′

∇2G =1r2

d

dr

(r2 dG

dr

)= δ(3)(r) (7.32)

por lo tanto1r2

d

dr

(r2 dG

dr

)= 0, r 6= 0. (7.33)

La solucion para r 6= 0 se encuentra entonces rapidamente integrando esta ecuacion, obte-niendo

G(r) = α +β

r. (7.34)

Por otro lado, la condicion (7.32) implica, usando el teorema de Gauss, que∫

∂V

~∇G · d~S =∫

∂V

dG

drr2dΩ = 1, (7.35)

que requiere entonces que −4πβ = 1. Finalmente, en la mayorıa de los problemas esconveniente elegir una funcion de Green que se anule para distancias muy grandes, es decir,tal que lımr→∞G(r) = 0. Esta condicion impone que α = 0 (note que, equivalentemente,esta condicion implica agregar la solucion homogenea H = −α a la funcion de Greenoriginal), y por lo tanto

G(~x− ~x′) = − 14π

1|~x− ~x′| . (7.36)

56

D = 2

En coordenadas polares (ρ, ϕ) centradas en ~x′, con G = G(ρ)

∇2G =1ρ

d

dρ

(ρdG

dρ

)= δ(2)(ρ). (7.37)

Integrando la ecuacion para ρ 6= 0, es decir,1ρ

d

dρ

(ρdG

dρ

)= 0, (7.38)

encontramos queG(ρ) = α + β ln ρ. (7.39)

Nuevamente, el teorema de Gauss (version 2D),∫

∂S

~∇G · d~S =∮

dG

dρρ dϕ = 2πβ = 1. (7.40)

De esto modo, eliminando el termino constante (que es una solucion de la ecuacion ho-mogenea), encontramos

G(~x− ~x′) =12π

ln |~x− ~x′|. (7.41)

7.4.2. Operador de Helmoltz

En el caso del operador de Helmholtz L = ∇2 + k2, que corresponde al caso p(~x) = 1y q(~x) = k2.

En cada caso, buscaremos las funciones de Green de la forma G(~x, ~x′) = G(|~x− ~x′|)

D = 3

En coordenadas esfericas centradas en ~x′

(∇2 + k2)G =1r2

d

dr

(r2 dG

dr

)+ k2G = δ(3)(r), (7.42)

por lo tanto1r2

d

dr

(r2 dG

dr

)+ k2G = 0, r 6= 0. (7.43)

Para solucionar (7.43) realizamos el cambio de variable G(r) = u(r)/r, que conduce ar2dG/dr = ru′ − u. Con esto, (7.43) se reduce a u′′ + k2u = 0. Por lo tanto, las solucionesson de la forma

G(r) = αeikr

r+ β

e−ikr

r. (7.44)

Con esta solucion, valida para r 6= 0, retornamos a la ecuacion (7.42) que, luego de integrarsobre una esfera de radi R centrada en r = 0 y usando el teorema de Gauss, implica que

1 =∮

∂V

~∇G · d~S + k2

∫

VGdV (7.45)

=∮

∂V

dG

drr2dΩ + k2

∫

VGr2 drdΩ (7.46)

= 4πG′R2 + 4πk2

∫ R

0Gr2 dr (7.47)

= 4π[α (ikR− 1) eikR − β (ikR + 1) e−ikR

]+ 4πk2

∫ R

0

[αeikr + βe−ikr

]r dr (7.48)

= −4π(α + β). (7.49)

57

De esta forma encontramos las condicion

α + β = − 14π

, (7.50)

que permite escribir la solucion (7.44) como

G(r) = − 14π

eikr

r− iβ

sen(kr)r

. (7.51)

Note que el segundo termino es una solucion de la ecuacion de Helmholtz homognenea (esproporcional a la funcion esferica de Bessel j0(kr)). Por lo tanto, es posible elegir

G+(~x, ~x′) = − 14π

eik|~x−~x′|

|~x− ~x′| , (7.52)

que corresponde a la eleccion β = 0. Analogamente, podeomos considerar la funcion deGreen

G−(~x, ~x′) = − 14π

e−ik|~x−~x′|

|~x− ~x′| , (7.53)

que se encuentra en el caso en que β = −1/4π.

D = 2

En coordenadas polares (ρ, ϕ) centradas en ~x′, con G = G(ρ)

(∇2 + k2)G =1ρ

d

dρ

(ρdG

dρ

)+ k2G = δ(2)(ρ). (7.54)

Para ρ 6= 0,1ρ

d

dρ

(ρdG

dρ

)+ k2G = 0. (7.55)

Definiendo x := kρ esta ecuacion se reduce a

xd

dx

(x

dG

dx

)+ x2G(x) = 0, x 6= 0, (7.56)

que es la ecuacion de Bessel de orden ν = 0, ver (6.1). Por lo tanto, su solucion general esde la forma

G(ρ) = αJ0(kρ) + βN0(kρ) = αH(1)0 (kρ) + βH

(2)0 (kρ). (7.57)

Nuevamente, retornando a la ecuacion original (7.54) e integrando sobre un cırculo S deradio R centrado en ρ = 0, obtenemos

1 =∮

∂S

~∇G · d~S + k2

∫

SGdS (7.58)

= 2π

[R

dG

dρ(kR) + k2

∫ R

0Gρdρ

](7.59)

= 2π

[kR

(αH

′(1)0 (kR) + βH

′(2)0 (kR)

)+

∫ kR

0

(αH

(1)0 (x) + βH

(2)0 (x)

)x dx

]. (7.60)

58

Usando las identidades H′(1)0 (x) = −H

(1)1 (x) y xH

(1)0 (x) = d[xH

(1)1 (x)]/dx y similarmente

para H′(2)0 y H

′(2)1 , evaluamos la expresion anterior, obteniendo

1 = −2π lımx→0

(αxH

(1)1 (x)− βxH

(2)1 (x)

)(7.61)

= 2π

[α

2i

π− β

2i

π

](7.62)

= 4i(α− β). (7.63)

Con esto, la solucion adopta la forma

G(ρ) = − i

4H

(1)0 (kρ) + β

(H

(1)0 (kρ) + H

(2)0 (kρ)

)(7.64)

= − i

4H

(1)0 (kρ) + 2βJ0(kρ). (7.65)

Tal como en el caso anterior, el termino proporcional a β es una solucion del problemahomogeneo. Si elegimos β = 0, encontramos la siguiente funcion de Green:

G(1)(~x, ~x′) = − i

4H

(1)0 (k|~x− ~x′|). (7.66)

Alternativamente, si se elige α = 0, se encuentra

G(2)(~x, ~x′) =i

4H

(2)0 (k|~x− ~x′|). (7.67)

59

Capıtulo 8

Tensores

8.1. Tensores Cartesianos

En muchas areas de la Fısica es util, y frecuentemente necesario, definir objetos conmultiples componentes respecto a un sistema de coordenadas. En general, los valores de lascomponentes de estos objetos cambian al ser calculados respecto de otro sistema de coor-denadas. En particular, es posible clasificar este tipo de objeto de acuerdo a como cambiansus componentes bajo una transformacion de coordenadas. Esta clasificacion permite enparticular definir tensores como conjunto de cantidades (las “componentes del tensor”)tales su relacion al cambiar de sistema de coordenadas es sencilla (en particular, linealy homogenea). En este tipo de construccion es importante recordar que la definicion devectores y tensores depende del tipo de transformacion (en general, de coordenadas) bajoconsideracion. Esto se debe a que, algunas cantidades pueden formar tensores respecto aun tipo de transformacion, pero no serlo respecto a otro tipo de transformaciones. En otraspalabras, la definicion de tensores es relativa a la transformacion considerada. En distintoscontextos y teorıas fısicas es conveniente considerar transformaciones de distinto tipo (queen general estan relacionadas con la invariancia de las leyes fısicas respectivas bajo esetipo de transformacion). Por ejemplo, en mecanica de Newton (y en general, en teorıasno-relativistas) es conveniente asegurar que las leyes fısicas consideradas sean validas in-dependientemente de la orientacion de los ejes cartesianos elegidos para un determinadocalculo. En otras palabras, es necesario considerar como cambian las diversas cantidadesbajo rotaciones. Para esto, es util definir cantidades que sean vectores y tensores respectoa rotaciones (transformaciones ortogonales de coordenadas). Por otro lado, en la teorıa deRelatividad Especial se considera que (ct, x, y, z) como las cuatro coordenadas asociadas aun evento dado, respecto aun Sistema de Referencia Inercial (SRI). Las transformacionesde las coordenadas del mismo evento entre dos SRI’s son en ese caso las transformacio-nes de Lorentz, que puede expresarse como una transformacion lineal de las coordenadas(ct, x, y, z). En este contexto es util entonces considerar (definir) cantidades que transfor-men como “cuadritensores bajo transformaciones de Lorentz. Note sin embargo que unvector respecto a transformaciones ortogonales de coordenadas no define necesariamenteun vector bajo transformaciones de Lorentz.

Analizaremos primero la definicion, propiedades basicas y la utilidad practica de lostensores respecto a transformaciones ortogonales de coordenadas.

60

8.2. Bases ortogonales

Considere un espacio Euclideano n-dimensional (En), donde cada punto de En tienecoordenadas xi, i = 1, · · · , n, con respecto a un sistema de coordenadas ortogonales (SCO)K.

Considere un vector ~A conectando dos puntos de En. Podemos definir ademas una baseortonormal ei i = 1, · · · , n, de modo que

ei · ej = δij , (8.1)

donde δij denota la Delta de Kronecker, definida como los n2 valores dados por

δij :=

1, si i = j

0, si i 6= 0. (8.2)

Note que esta Delta de Kronecker puede ser representada matricialmente por la matrizidentidad n× n.

En el sistema ortogonal de coordenadas (SOC) definido por la base ei, permite descom-poner el vector ~A en sus respectivas componentes,

~V =n∑

i=1

viei (8.3)

La eleccion de la base ortonormal a usar es, sin embargo, arbitraria. Es posible usarotra base ortonormal e′i y descomponer ~V en esta nueva base,

~V =n∑

i=1

v′ie′i (8.4)

Ademas, es posible relacionar las bases ei y e′i ya que, por ejemplo, cada vector e′i puedeescribirse como una combinacion lineal de los vectores base ei, esto es,

e′i =n∑

j=1

aij ej . (8.5)

8.3. Convencion de suma de Einstein

Es conveniente introducir la convencion de suma de Einstein, que establece que en todaexpresion donde se repitan dos ındices iguales, se subentiende que existe una suma sobretodo el rango de variacion del ındice. De esta forma, (8.3), (8.4) y (8.5) pueden abreviarsede la forma siguiente,

~V = viei, (8.6)

~V = v′ie′i, (8.7)

e′i = aij e′j . (8.8)

61

8.4. Transformaciones ortogonales

Figura 8.1: Una transformacion ortogonal (rotacion) de coordenadas.

La condicion que tanto ei como e′i son bases ortonormales se traduce en una condicionpara los coeficientes (la “matriz”) de transformacion aij . En efecto,

δij = e′i · e′j (8.9)

= (aikek) · (ajlel) (8.10)= aikajl (ek · el) (8.11)= aikajl δkl (8.12)= aikajk, (8.13)

y por lo tanto,aikajk = δij . (8.14)

En notacion matricial,A · (A>) = I. (8.15)

Al calcular el determinante de (8.15) encontramos que

(detA)2 = 1, (8.16)

por lo que necesariamente detA = 1 o bien detA = −1. Si detA = 1 decimos que la TOCes una transformacion propia, mientras que si detA = −1 ella es impropia. En todo casodetA 6= 0, de modo que la inversa A−1 existe y es unica. De (8.15) vemos entonces que lamatriz inversa de una transformacion ortogonal coincide con su transpuesta,

A−1 = A>, (8.17)

y por lo tanto se satisface ademas que

(A>) · A = I, (8.18)

o, en notacion de ındices,akiakj = δij . (8.19)

Puede verificarse a partir de estas propiedades basicas que el conjunto de todas lastransformaciones ortogonales en un espacio Euclideano n-dimensional forman un grupo, elgrupo ortogonal n-dimensional, O(n).

62

8.5. Vectores

Como vimos, un vector ~V puede ser descompuesto tanto en una base ortonormal Kcomo en otra K ′. A partir de esto, podemos encontrar la forma en que estan relacionadaslas componentes de ~V respecto a dos SOC’s. Usando (8.6) y (8.7) encontramos que

vj = v′iaij . (8.20)

Multiplicando esta expresion por akj y usado (8.8) encontramos

v′i = aijvj . (8.21)

Esta propiedad puede ser usada como la definicion de (las componentes de) un vector:

Definicion: Diremos que el conjunto de n numeros v1, v2, · · · , vn, definidoen cada SCO, son las componentes de un vector (afın) si, bajo una transforma-cion ortogonal (e.d., definida por una matriz A que satisface (8.17)), sus valoresestan relacionados por

v′i = aijvj . (8.22)

Note que en un espacio Euclideano las coordenadas xi de un punto de En transformancomo

x′i = aijxj , (8.23)

y pueden ser consideradas como las componentes de un vector (del “vector posicion” ~x)1.Otro ejemplo de vector es la velocidad de una partıcula (moviendose en En). Si xi(t)

son las coordenadas de la trayectoria de la partıcula en funcion del tiempo t entonces lavelocidad instantanea transforma (“es”) un vector bajo TOC’s. En efecto, la velocidad ins-tantanea es definida, en cada SOC, por vi := dxi/dt. Entonces, en un SOC K ′ relacionadocon K por medio de (8.23), tendremos que las “nuevas” componentes de la velocidad seran

v′i :=dx′idt

=d

dt(aijxj) = aij

dxj

dt= aijvj . (8.24)

De forma analoga, la aceleracion es tambien un vector bajo TOC’s.Note que no toda coleccion de n-valores definida en cada SOC forman las componentes

de un vector. Por ejemplo, la densidad ρ de un cuerpo, su temperatura T , y la componentez de su momentum pz, son cantidades que pueden definirse en cada SOC, sin embargo,el conjunto de 3 cantidades Ai = (ρ, T, pz) no forman las componentes de un vector,simplemente porque sus valores no estan relacionados bajo TOC’s de la forma (8.22).

8.6. Escalares

Un escalar es una cantidad que no cambia su valor al rotar el SOC, es decir, una canti-dad que permanece invariante bajo TOC’s. Ejemplos de cantidades escalares en MecanicaClasica son: la masa de un cuerpo, el volumen de un cuerpo, el coeficiente de roce entre

1El hecho que las coordenadas transformen como componentes de un vector no es un resultado general.Al considerar la definicion de vectores y tensores respecto a transformaciones generales de coordenadas, oen particular bajo transformaciones no-lineales, no es posible considerar las coordenadas de los puntos delespacio como componentes de un vector, simplemente porque su ley de transformacion difiere de la ley validapara los objetos definidos como vectores. En estos casos se define un vector por la ley de transformacion

v′i =∂x′i∂xj

vj , que en el caso de transformaciones lineales coindice con (8.22), ya que ∂x′i/∂xj = aij .

63

dos superficies, la temperatura, la energıa cinetica, etc. En terminos matematicos, si φ esuna cantidad definida en cada SCO, entonces ella es un escalar si y solo si

φ′ = φ. (8.25)

Otro ejemplo de una cantidad escalar bajo TOC’s es el producto escalar entre vectores. SiAi y Bi son las componentes de dos vectores afines ~A y ~B respectivamente, entonces suproducto escalar permanece invariante:

A′iB′i = (aijAj)(aikBk) (8.26)= (aijaik)AjBk (8.27)= δjkAjBk (8.28)= AjBj (8.29)= AiBi. (8.30)

8.7. Tensores

Tanto en Mecanica, como en Electrodinamica, es habitual encontrar cantidades conmas de un ındice, del tipo Tij , Aijk, etc.

Por ejemplo, en Mecanica, el momentum angular de un cuerpo en rotacion es descrito engeneral por el tensor momento de inercia Iij . En efecto, considere un cuerpo caracterizadopor su densidad ρ(xi), contenido en una region V , rotando rıgidamente respecto a un ejecaracterizado por la direccion ω, con velocidad angular ω. Entonces su momentum angularrespecto al origen del SCO, ubicado sobre el eje de rotacion, es dado por

~L =∫

V~x× d~p (8.31)

=∫

Vρ(x)~x× ~v dV (8.32)

=∫

Vρ(x)~x× (~ω × ~x) dV. (8.33)

Usando la identidad ~A× ( ~B × ~C) ≡ ~B( ~A · ~C)− ~C( ~A · ~B), podemos escribir

~L =∫

Vρ(x) [~ω(~x · ~x)− ~x(~ω · ~x)] dV, (8.34)

o, en terminos de componentes,

Li =∫

Vρ(x) [ωi(xkxk)− xi(ωjxj)] dV (8.35)

=∫

Vρ(x) [(δijωj)(xkxk)− xi(ωjxj)] dV (8.36)

=(∫

Vρ(x) [δij(xkxk)− xixj ] dV

)ωj , (8.37)

es decir,Li = Iij ωj , (8.38)

con

Iij :=∫

Vρ(x) [δij(xkxk)− xixj ] dV. (8.39)

64

Note que este resultado expresa el hecho que, en general, el momentum angular de uncuerpo en rotacion no es necesariamente paralelo al eje de rotacion.

Analizemos ahora como cambian las componentes Iij cuando ellas son calculadas enotro SOC. Si analizamos el movimiento respecto a un SOC rotado respecto al primero, demodo que las coordenadas de cada punto son ahora dadas por (8.23), entonces tendremosque las componentes I ′ij estaran dadas por

I ′ij :=∫

Vρ′(x′)

[δij(x′kx

′k)− x′ix

′j

]dV ′ (8.40)

=∫

Vρ(x) [δij(xkxk)− (ailxl)(ajmxm)]

∣∣∣∣∂x′

∂x

∣∣∣∣ dV (8.41)

=∫

Vρ(x) [(ailajl)(xkxk)− (ailxl)(ajmxm)] |det(A)| dV (8.42)

=∫

Vρ(x) [(ailajmδlm)(xkxk)− (ailxl)(ajmxm)] dV (8.43)

= ailajm

∫

Vρ(x) [δlm(xkxk)− xlxm] dV (8.44)

= ailajm Ilm. (8.45)

En resumen,I ′ij = ailajm Ilm. (8.46)

De esta forma, vemos que las n2 cantidades2 Iij cambian los valores de sus componentesal ser calculados en distintos SOC, pero sus componentes estan relacionadas de una forma(relativamente) simple. Las cantidades cuyas componentes transforman de la forma (8.46)son llamadas tensores de rango 2 (o de segundo orden).

Definicion: Diremos que el conjunto de n2 numeros Tij , con i, j = 1, . . . , n,definidos en cada SOC, son las componentes de un tensor (afın) de rango 2 si,bajo una TOC, sus valores estan relacionados por

T ′ij = aikajl Tkl. (8.47)

Note que la relacion inversa es dada por

Tij = akialjT′kl. (8.48)

Es simple verificar usando (8.46) y el hecho que ωi son componentes de un vector, que Li

dado por (8.38) efectivamente satisface la ley de transformacion de un vector.Similarmente al caso del momentum angular, podemos analizar la energıa cinetica del

2De las cuales solo n(n + 1)/2 son linealmente independientes, debido a que Iij = Iji.

65

cuerpo rotando rıgidamente,

K =12

∫

V~v2 dm (8.49)

=12

∫

Vρ~v2 dV (8.50)

=12

∫

Vρ (~ω × ~x)2 dV (8.51)

=12

∫

Vρ

[~ω2~x2 − (~ω · ~x)2

]dV (8.52)

=12

∫

Vρ

[(ωiωi)(xkxk)− (ωixi)2

]dV (8.53)

=12

∫

Vρ [(ωiωjδij)(xkxk)− ωixiωjxj ] dV (8.54)

=12ωiωj

[∫

Vρ [δijxkxk − xixj ] dV

], (8.55)

es decir,

K =12Iij ωiωj . (8.56)

Podemos verificar que, como es de esperar, la ley de transformacion del tensor de inerciay del vector velocidad angular bajo TOC’s aseguran que la energıa cinetica es un escalar.

Note que si definimos las n2 cantidades Ωij := ωiωj (en cada SOC), entonces Ωij

forman las componentes de un tensor de rango 2. En terminos de este tensor, la energıacinetica puede escribirse como K = IijΩij/2. Vemos entonces que “contracciones” (es decir,sumas de productos de componentes) entre tensores de rango 2 y dos vectores, ası comoentre dos tensores de segundo rango pueden definir cantidades escalares. Analogamente,puede verificarse que la contraccion Iijωj transforma como un vector. Estas propiedadescorresponden a operaciones generales posibles entre tensores, la multiplicacion de tensoresdefine nuevos tensores (de rango superior), la contraccion de tensores con vectores puededefinir nuevos vectores o escalares. Note, sin embargo, que la contraccion Iiiωi = I11ω1 +I22ω2 + · · · Innωn no es un escalar. Por otro lado, dado un tensor de rango 2 Aij y unvector Bi podemos definir las nuevas n3 cantidades Cijk := AijBk, que transformara dela forma siguiente C ′

ijk := ailajmakpClmp. Claramente, este tipo de construccion puede sergeneralizada a objetos con mas ındices (componentes).

Definicion: Diremos que el conjunto de nr numeros Ti1···ır , definidos encada SOC, son las componentes de un tensor (afın) de rango r si, bajo unaTOC, sus valores estan relacionados por

T ′i1i2···ir = ai1j1ai2j2 · · · ainjn Tj1j2···jr . (8.57)

Algunas observaciones:

Si r = 2 recuperamos la definicion de tensores de orden 2.

Si r = 1 recuperamos la definicion de un vector. Por lo tanto, un vector es un tensorde rango 1.

Podemos extender la definicion general al caso r = 0, de modo que se reduzca aT ′ = T , y ası poder considerar a los escalares como tensores de orden 0.

66

La transformacion inversa a (8.57) es Ti1i2···ir = aj1i1aj2i2 · · · ajnin T ′j1j2···jr.

Si todas las componentes de un tensor se anulan en un SOC, entonces ellas se anularanen todo SOC. Esta propiedas es una de las que hace el uso de tensores de gran utilidad,puesto que la anulacion de un tensor es entonces una propiedad intrınseca de este,independiente del SOC usado. La Fısica busca encontrar y expresar las leyes de lanaturaleza de una forma que asegure su validez (al menos) en todo SOC. Si una leyFısica puede expresarse usando tensores (por ejemplo Ti1···ir = Qi1···ir) entonces estaley sera valida con la misma forma en todo SCO (T ′i1···ir = Q′

i1···ir).

La Delta de Kronecker δij puede ser considerada como un tensor de rango 2, ya quesatisface δij = aikajl δkl para TOC’s. Es, sin embargo, un tensor espacial, puesto quetiene la propiedad que asume los mismos valores (1 o 0) en cada SOC. Este tipoespecial de tensores son llamados tensores invariantes.

8.8. Operaciones con Tensores

8.8.1. Adicion de tensores

Esta operacion es valida entre tensores del mismo rango. El tensor suma tiene comocomponentes la suma de las componentes correspondientes a cada tensor sumando. SiAi1···ir y Bi1···ir son tensores de rango r, y definimos las nr cantidades

Ci1···ir := Ai1···ir + Bi1···ir , (8.58)

en cada S.O.C., entonces Ci1···ir son las componentes de un tensor de rango r.

8.8.2. Multiplicacion por escalar

Si λ es un escalar (tensor de orden 0), entonces

Ci1···ir := λAi1···ir , (8.59)

es tambien un tensor de orden r.Observacion: Las dos propiedades anteriores implica que el conjunto de todos los ten-

sores de un rango r dado forma un espacio vectorial lineal (de dimension nr).

8.8.3. Permutacion de ındices

La operacion de permutar dos componentes de un tensor, define un nuevo tensor delmismo rango. Por ejemplo, si Aijk son las componentes de un tensor de rango 3, entonces

Cijk := Akji, (8.60)

son componentes de un nuevo tensor.En general, si Ai1···is−1isis+1···it−1itit+1···ir son las componentes de un tensor de rango r

entonces el arreglo de nr cantidades definidas por la permutacion de la is-esima componentecon la it-esima componente,

Ci1···is−1isis+1···it−1itit+1···ir := Ai1···is−1itis+1···it−1isit+1···ir , 1 ≤ s ≤ r, 1 ≤ t ≤ r,(8.61)

son tambien componentes de un tensor de orden r.

67

8.8.4. Producto (“tensorial”) de tensores

Si Ai1···ir y Bi1···is son las componentes de dos tensores de rango r y s respectivamente,entonces las nr+s cantidades definidas por

Ci1···ir+s := Ai1···ir ·Bir+1···ir+s , (8.62)

son las componentes de un tensor de rango r + s.Observacion: Note que la posicion de los ındices en la definicion del nuevo tensor es

relevante. Por ejemplo, el tensor Cij := AiBj es en general diferente de Dij := AjBi. Vemostambien que estos tensores estaran relacionados por una (o mas) permutaciones de ındices:Dij = Cji.

8.8.5. Contraccion de ındices

Si Ai1···ir es un tensor dfe rango r, entonces

Ci1···ir−2 := Ai1···is−1jis···it−1jit···ir−2 , 1 ≤ s ≤ r, 1 ≤ t ≤ r, (8.63)

son las componentes de un tensor de rango r − 2.Por ejemplo, si Aijklm son las componentes de un tensor de rango 5 entonces Cijk :=

Ailjlk son componentes de un tensor de orden 3. Ademas, K = Iijωiωj/2 es un escalar,v2 = vivi es un escalar, Li = IijLj es un vector, δii = 3 es un escalar, etc.

8.8.6. Tensores simetricos y antisimetricos

Un tensor de rango 2, Tij , se dice simetrico si y solo si

Tij = Tji, ∀ i, j = 1, . . . , n. (8.64)

Similarmente, un tensor de rango 2 Tij se dice antisimetrico si y solo si

Tij = −Tji, ∀ i, j = 1, . . . , n. (8.65)

Las propiedades de simertrıa y antisimetrıa son independientes del S.O.C. usado, es decir,son propiedades intrınsecas del tensor. En efecto, si Tij = ±Tji entonces T ′ij = ±T ′ji paratoda transformacion aij , respectivamente.

Observacion: Todo tensor de rango 2 puede ser descompuesto en una suma de un tensorsimetrico y uno antisimetrico:

Tij = Sij + Aij , (8.66)

conSij := T(ij) :=

12

(Tij + Tji) = Sji, (8.67)

Aij := T[ij] :=12

(Tij − Tji) = −Aji. (8.68)

Esta descomposicion es “irreducible” con respecto a transformaciones lineales, ya queS(ij) ≡ Sij , A[ij] ≡ Aij , S[ij] ≡ A(ij) ≡ 0.

Similarmente, un tensor de rango r ≥ 2 se dice (anti-)simetrico con respecto a lapermutacion de dos 0indices dados is y it si y solo si

Ti1···is···it···ir = (−)Ti1···it···is···ir . (8.69)

Por ejemplo, Aijkl es (anti-) simetrico respecto al primer y tercer ındice si Aijkl = (−)Akjil,∀ i, j, k, l.

68

Tambien puede definirse la operacion de (anti-)simetrizacion con respecto a cualquierpar de ındices:

Ti1···(is|···|it)···ir :=12

(Ti1···is···it···ir + Ti1···it···is···ir) , (8.70)

Ti1···[is|···|it]···ir :=12

(Ti1···is···it···ir − Ti1···it···is···ir) . (8.71)

Por ejemplo,

Ai(j|k|l)m :=12

(Aijklm + Ailkjm) , Ai[j|k|l]m :=12

(Aijklm −Ailkjm) . (8.72)

Es posible extender el proceso de (anti-)simetrizacion a mas ındices, de modo que eltensor resultante sea (anti-)simetrico respecto a la permutacion de cada par de ındices. Porejemplo

T(ijk) :=16

(Tijk + Tjik + Tjki + Tkji + Tkij + Tikj) (8.73)

=13

(T(ij)k + T(jk)i + T(ki)j

), (8.74)

T[ijk] :=16

(Tijk − Tjik + Tjki − Tkji + Tkij − Tikj) (8.75)

=13

(T[ij]k + T[jk]i + T[ki]j

). (8.76)

Un tensor completamente simetrico de rango r, Si1···ir = A(i1···ir), tiene (n+r−1)!/(n−1)!r! componentes linealmente independientes.

Similarmente, un tensor completamente antisimetrico de rango r, Ai1···ir = A[i1···ir],tiene n!/(n−r)!r! componentes linealmente independientes. En particular, un tensor total-mente antisimetrico de rango r = n, es decir de “rango maximo”, tiene solo una componentelinealmente indepdendiente. Por ejemplo, en E3, podemos expresar todas las componentesen terminos de A123:

A213 = −A123, A231 = A123, A112 = 0, (8.77)

etc.

8.9. Sımbolo de Levi-Civita y pseudo-tensores

Es util definir, en En, el sımbolo de Levi-Civita3, εi1···in , como un objeto con n ındices (esdecir, tantos como la dimension del espacio Euclideano en el que esta definido), totalmenteantisimetrico, es decir,

εijkl··· = −εjikl··· = −εkjil··· = −εljki··· = · · · , (8.78)

tal que, en todo sistema de coordenadas,

ε123···n := 1. (8.79)3Tullio Levi-Civita: (1873-1941), matematico italiano. Ver http://es.wikipedia.org/wiki/Tullio_

Levi-Civita.

69

Esta definicion es equivalente a

εi1···in =

1, si i1 · · · in es una permutacion par de 12 · · ·n−1, si i1 · · · in es una permutacion impar de 12 · · ·n

0, en otro caso. (8.80)

Un importante resultado es que un tensor totalmente antisimetrico de rango maximo,es decir r = n, puesto que tienen solo una componente linealmente independiente, debenecesariamente ser proporcional al sımbolo de Levi-Civita correspondiente. Esto permiteescribir, por ejemplo,

Ai1i2···in = A12···n εi1i2···in . (8.81)

Una pregunta natural es si las componentes del sımbolo de Levi-Civita pueden serconsideradas como componentes de un tensor, es decir, si satisfacen la relacion

ε′i1···in?= ai1j1 · · · ainjn εj1···jn . (8.82)

Ya que por definicion εi1···in tiene los mismos valores (±1 o 0) en todo sistema coordenado,ε′i1···in = εi1···in , y por lo tanto debemos verificar si

εi1···in?= ai1j1 · · · ainjn εj1···jn . (8.83)

Es directo verificar que el lado derecho de la expresion anterior el totalmente antisimetrico.Por lo tanto, solo necesitamos calcular una componente, por ejemplo, a1j1a2j2 · · · anjn εj1···jn ,ya que, de acuerdo con (8.81),

ai1j1 · · · ainjn εj1···jn = (a1j1a2j2 · · · anjn εj1···jn) εi1···in . (8.84)

Realizaremos el calculo explıcito en el caso en que n = 3:

a1ia2ja3k εijk = · · · (8.85)= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 (8.86)

+ a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 (8.87)

=

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣(8.88)

= det(A) (8.89)=: a. (8.90)

Este resultado es general. En un espacio de dimension n cualquiera, se tiene que

a1j1a2j2 · · · anjn εj1j2···jn ≡ det(A) =: a. (8.91)

Con esto podemos ver que en general no se satisface la relacion (8.83), sino que

εi1···in = a−1ai1j1 · · · ainjn εj1···jn . (8.92)

Por lo tanto, el sımbolo de Levi-Civita no es un tensor, ya que su ley de transformacionno es la de un tensor. Recuerde que en el caso de transformaciones ortogonales los valoresposibles de a son a = ±1 para transformaciones propias o impropias, respectivamente.Note ademas que debido a esto es posible reemplazar en (8.92) a−1 por a para TOC’s.

70

No obstante lo anterior el sımbolo de Levi-Civita es muy util. Por ejemplo, en tresdimensiones, el tradicional producto vectorial entre vectores ~C := ~A× ~B puede escribirseusando este sımbolo. Es simple verificar que las componentes de ~C pueden expresarse como

Ci = εijkAjBk. (8.93)

Note que, como consecuencia del resultado anterior, si Ai y Bi son las componentes de dosvectores bajo TOC’s, entonces los tres valores Ci dados por (8.93) no forman un vector.En efecto, usando (8.93), (8.93) y la ley de transformacion para las componentes de los dosvectores involucrados, obtenemos que

C ′i = a aijCj . (8.94)

Verificamos ası que las componentes Ci no transforman, para transformaciones TOC ge-nerales, como las componentes de un vector. En particular, si la transformacion definidapor aij es impropia, tendremos que

C ′i = − aijCj , (8.95)

mientras que para transformaciones propias la ley sera la misma que para tensores. Con-juntos Ci de cantidades que bajo una transformacion ortogonal cualquiera transformen deacuerdo a (8.94) son llamados pseudo-vectores. De las propiedades aquı analizadas es claroque la diferencia entre un vector y un pseudo-vector solo se manifiesta al estudiar comocambian sus componentes bajo TOC’s impropias. En otras palabras, si solo se requieretomar en cuenta transformaciones propias (rotaciones), entonces no es necesario distinguirentre vectores y pseudo-vectores, puesto que ambos tipos de cantidades tienen en ese casoidenticas propiedades.

La existencia de pseudo-vectores motiva (y cierto sentido hace inevitable) definir otrotipo de objetos bajo TOC’s, los pseudo-tensores.

Definicion: Diremos que el conjunto de nr numeros Ti1···ır , definidos encada SOC, son las componentes de un pseudo-tensor (afın) de rango r si, bajouna TOC, sus valores estan relacionados por

T ′i1i2···ir = a ai1j1ai2j2 · · · ainjn Tj1j2···jr . (8.96)

Observaciones:

La suma (diferencia) de pseudo-tensores del mismo rango es un pseudo-tensor delmismo rango.

El producto (tensorial) de dos pseudo-tensores es un tensor (respecto a T.O.C.).

El producto (tensorial) de un pseudo-tensor y un tensor es un pseudo-tensor.

La contraccion de dos ındices de un pseudo-tensor, define un nuevo pseudo-tensor.

Un pseudo-escalar (r = 0) es una cantidad que cambia de signo bajo una SOCimpropia (con a = −1).

71

Algunas identidades

En el caso tridimensional (n = 3) es simple verficar que el pseudo-tensor de Levi-Civitapuede escribirse como

εijk =

∣∣∣∣∣∣

δi1 δi2 δi3

δj1 δj2 δj3

δk1 δk2 δk3

∣∣∣∣∣∣. (8.97)

Usando esta identidad podemos calcular el producto de dos sımbolos de Levi-Civita:

εijkεlmp =

∣∣∣∣∣∣

δi1 δi2 δi3

δj1 δj2 δj3

δk1 δk2 δk3

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

δl1 δl2 δl3

δm1 δm2 δm3

δp1 δp2 δp3

∣∣∣∣∣∣(8.98)

=

∣∣∣∣∣∣

δi1 δi2 δi3

δj1 δj2 δj3

δk1 δk2 δk3

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

δl1 δm1 δp1

δl2 δm2 δp2

δl3 δm3 δp3

∣∣∣∣∣∣(8.99)

= det

δi1 δi2 δi3

δj1 δj2 δj3

δk1 δk2 δk3

δl1 δl2 δl3

δm1 δm2 δm3

δp1 δp2 δp3

(8.100)

= det

δiqδlq δiqδmq δiqδpq

δjqδlq δjqδmq δjqδpq

δkqδlq δkqδmq δkqδpq

(8.101)

=

∣∣∣∣∣∣

δil δim δip

δjl δjm δjp

δkl δkm δkp

∣∣∣∣∣∣. (8.102)

Note que, en (8.99) hemos reemplazado, en el segundo factor, el determinante de la matrizpor el de la matriz transpuesta. Desarrollando el determinante podemos escribir el resultadoanterior como

εijk εlmp ≡ δilδjmδkp + δjlδkmδip + δklδimδjp

− δklδjmδip − δjlδimδkp − δilδkmδjp (8.103)= 3! δ[i|lδ|j|mδ|k]p. (8.104)

Contrayendo dos ındices en la identidad (8.103) encontramos

εijk εlmk ≡ δilδjm − δimδjl. (8.105)

Si seguimos contrayendo, llegamos a

εijk εljk ≡ 2 δil, (8.106)

y, finalmente,εijk εijk ≡ 6. (8.107)

Estas identidades son muy utiles. Por ejemplo, usando (8.105) podemos demostrar que

( ~A× ~B) · (~C × ~D) ≡ ( ~A · ~C)( ~B · ~D)− ( ~A · ~D)( ~B · ~C). (8.108)

72

8.9.1. (Pseudo)-tensor dual

Un (pseudo-)tensor totalmente antisimetrico de rango r en n dimensiones tiene el mismonumero de componentes linealmente independientes (n!/(n− r)!r!) que un (pseudo-)tensortotalmente antisimetrico de rango n− r. Debido a esto, es posible definir un pseudo-tensorantisimetrico de rango n− r asociado a cada tensor antisimetrico de rango r, y viceversa.En otras palabras, existe una relacion uno a uno entre pseudo-tensores antisimetricos derango n− r y tensores antisimetricos de rango r.

Si Ai1···ir es un tensor totalmente antisimetrico de rango r, entonces podemos definir elpseudo-tensor dual

Ai1···in−r :=1r!

εi1···in−rj1···jrAj1···jr . (8.109)

La relacion inversa a (8.109) es

Ai1···ir :=1

(n− r)!εi1···irj1···jn−rAj1···jn−r . (8.110)

En particular, en un espacio euclideano 3-dimensional, tenemos que a cada tensor de rango3 totalmente antisimetrico, Aijk, puede asociase un pseudo-escalar dual A tal que

A :=13!

εijkAijk, Aijk := εijkA. (8.111)

Similarmente, todo tensor antisimetrico ~Aij tiene asociado un pseudo-tensor Ai tal que

Ai :=12εijkAjk, Aij := εijkAk. (8.112)

Ademas, a cada vecor Ai puede asociarse un pseudo-tensor totalmente antisimetrico Aij ,tal que

Aij := εijkAk, Ai :=12εijkAjk. (8.113)

Finalmente, a cada escalar A puede asociarse un pseudo-tensor totalmente antisimetricoAijk, tal que

Aijk := εijkA, A :=13εijkAijk. (8.114)

Como estas relaciones son uno a uno, un tensor antisimetrico dado contiene la mismainformacion que su pseudo-tensor dual asociado, de modo que es posible elegir representaruna cantidad fısica descrita por (pseuso-)tensores totalmente antisimetricos por el mismotensor o por su dual. Un ejemplo de esto es el momento multipolar magnetico de orden 1,Mij = −Mji que puede representarse alternativamente usando el (pseudo-)vector momentomagnetico µi = εijkMjk/2.

8.10. Analisis tensorial cartesiano

8.10.1. Campo tensorial

En Fsica, es comun describir sistemas fısicos usando campos tensoriales, es decir, ten-sores definidos en cada punto del espacio.

x ∈ En → Tensor de rango r, (8.115)xi → Ti1···ir(xi). (8.116)

Si r = 0 hablamos de un campo escalar (por ejemplo, el potencial electrostatico φ(x)), sir = 1 hablamos de un campo vectorial (por ejemplo, el campo magnetico Bi(x)), r = 2hablamos de un campo tensorial de rango 2 (por ejemplo, el tensor dielectrico εij(x)).

73

8.10.2. Derivacion

Dado que un tensor de rango r consta de nr cantidades definidas en cada punto de En,es posible derivar cada una de estas cantidades respecto a las n coordenadas de las quedepende, en cada SOC. Esto permite calcular nuevas nr+1 cantidades: las nr+1 derivadasparciales

∂Ti1···ir∂xj

. (8.117)

En general, adoptaremos la notacion

∂jTi1···in :=∂Ti1···ir

∂xj. (8.118)

Ahora probaremos que las nr+1 derivaras ∂jTi1···ir forman un tensor de rango r + 1 bajoTOC’s.

En efecto, si denotamos Aji1···ir := ∂jTi1···ir , entonces en otro SOC xi = aijxj tendremosque

A′ji1···ir =∂T ′i1···ir

∂x′j(8.119)

=∂

∂x′j(ai1j1 · · · airjrTj1···jr) (8.120)

= ai1j1 · · · airjr

∂

∂x′j(Tj1···jr) . (8.121)

Usamos ahora la regla de la cadena para expresar las derivadas de Tj1···jr respecto a las“nuevas” coodenadas x′i en funcion de sus derivadas respecto a las coordenadas “antiguas”xi. Usando la convencion de suma de Einstein, tenemos que, para cualquier funcion φ, sesatisface

∂φ

∂x′j=

∂φ

∂xk

∂xk

∂x′j. (8.122)

En nuestro caso, es decir, para transformaciones ortogonales, tenemos que la transformacioninversa esta dada por xi = ajix

′j y por lo tanto,

∂xk

∂x′j= ajk. (8.123)

Con esto, al substituir (8.122) en (8.121) obtenemos

A′ji1···ir = ai1j1 · · · airjr

∂Tj1···jr

∂xk

∂xk

∂x′j(8.124)

= ajkai1j1 · · · airjr

∂Tj1···jr

∂xk(8.125)

= ajkai1j1 · · · airjrAkj1···jr , (8.126)

es decir, que ∂jTi1···in es un tensor de rango r + 1 bajo TOC’s.

8.10.3. Divergencia, rotor, Laplaciano

A partir del hecho que la derivacion de un tensor de rango r suministra un nuevo tensorde rango r + 1 es posible operar sobre este nuevo tensor con las operaciones disponibles(addicion, multiplicacion por escalar, contraccion, permutacion de ındices, etc.).

74

Por ejemplo, dado un vector con componentes Ai, podemos calcular ∂iAj que es untensor de orden 2, y luego la contraccion ∂iAi que sera entonces un escalar bajo TOC’s.Es facil verificar que el escalar ∂iAi corresponde a la divergencia del vector Ai, ya que

∂iAi = ∂1A1 + ∂2A2 + · · · ∂nAn. (8.127)

Por otro lado, dado un campo escalar φ, entonces ∂iφ es el campo vectorial gradiente delcampo φ. Ademas, la divergencia del gradiente de φ, es decir, el Laplaciano de φ (que esun escalar bajo TOC’s) puede entonces escribirse en notacion de componentes como

∇2φ = ∂i∂iφ = ∂1∂1φ + · · · ∂n∂nφ = ∂21φ + · · · ∂2

nφ, (8.128)

o, simplemente, en termino de operadores ∇2 = ∂i∂i.En tres dimensiones (n = 3) podemos expresar el rotor ~C := ~∇ × ~A de un campo

vectorial ~A comoCi = εijk∂jAk, (8.129)

relacion que en algunas ocasiones denotaremos

(~∇× ~A)i = εijk∂jAk. (8.130)

Observacion: Note que el rotor de un vector es en realidad un pseudo-vector.

8.10.4. Integracion

Otra operacion comunmente requerida es la integracion de tensores, ya sea sobre unalınea, superficie o volumen. A continuacion probaremos que estas operaciones definen nue-vos tensores bajo TOC’s.

Integrales de lınea

Si Ti1···ir(x) es un campo tensorial de rango r entonces, dada una curva C parametrizadapor xi = xi(λ), es posible definir las siguientes n integrales de lınea por cada una de lascomponentes del tensor original:

Cji1···ir :=∫

CTi1···ir(x) dxj , (8.131)

o, mas explıcitamente,

Cji1···ir :=∫ λ2

λ1

[Ti1···ir(x(λ))][dxj

dλ(λ)

]dλ. (8.132)

Entonces, en otro SOC, tendremos que

C ′ji1···ir =

∫ λ2

λ1

[T ′i1···ir(x(λ))

] [dx′jdλ

(λ)]

dλ. (8.133)

=∫ λ2

λ1

[ai1j1 · · · airjrTj1···jr(x(λ))][d(ajkxk)

dλ(λ)

]dλ (8.134)

= ajkai1j1 · · · airjr

∫ λ2

λ1

[Tj1···jr(x(λ))][dxk

dλ(λ)

]dλ (8.135)

= ajkai1j1 · · · airjrCkj1···jr . (8.136)

75

Integrales de superficie

Similarmente, podemos definir integrales de superficie. Si ni(x) es un vector unitarionormal a la superficie S en el punto xi podemos definir las nr+1 cantidades

Cji1···ir :=∫

STi1···ir(x) dSj , dSj := njdS. (8.137)

Note que aquı dS denota el elemento de superficie que, por definicion, es un escalar, esdecir, dS′ = dS.

Tal como en el caso de las integrales de lınea, es directo demostrar que estas nuevascantidades son componentes de un tensor de rango r + 1:

C ′ji1···ir :=

∫

ST ′i1···ir(x) n′j dS′ (8.138)

:=∫

S

[ai1j1 · · · airjrTj1···jr(x

′)]

(ajknk) dS (8.139)

:= ajkai1j1 · · · airjr

∫

STj1···jr(x) nk dS (8.140)

:= ajkai1j1 · · · airjrCkj1···jr . (8.141)

Integrales de volumen

Finalmente, consideraremos la definicion de nuevos tensores por medio de la integra-cion en un volumen (n-dimensional). A partir del campo tensorial de rango r, Ti1···ir(x),definimos

Ci1···ir :=∫

VTi1···ir(x) dnx, (8.142)

que son componentes de un nuevo tensor de rango r respecto a TOC’s, ya que

C ′i1···ir =

∫

VT ′i1···ir(x) dnx′ (8.143)

=∫

V[ai1j1 · · · airjrTj1···jr(x)]

∣∣∣∣∂x′

∂x

∣∣∣∣ dnx (8.144)

= ai1j1 · · · airjr

∫

VTj1···jr(x) |a| dnx (8.145)

= ai1j1 · · · airjr

∫

VTj1···jr(x) dnx (8.146)

= ai1j1 · · · airjr Cj1···jr . (8.147)

Teorema de Gauss y Stokes

El teorema fundamental del calculo (en varias variables) adopta, en notacion tensorial,la forma ∫ B

C,A(∂kTi1···ir) dxk = Ti1···ir(B)− Ti1···ir(A). (8.148)

En tres dimensiones (n = 3), tenemos que la forma general del Teorema de Green es∮

V∂kTi1···k···ir(x) dV =

∫

∂VTi1···k···ir(x) dSk. (8.149)

Por otro lado, el teorema de Stokes, adopta la forma∮

Sεijk∂jTi1···k···ir dSi =

∫

∂STi1···k···ir dxk. (8.150)

76

Apendice A

Otras funciones especiales

A.1. Funciones de Laguerre

Graficos

−10

−5

0

5

10

15

20

−5 0 5 10 15 20

Laguerre Polynomials

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

Ln(x)

x

Figura A.1: Funciones de Laguerre

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Laguerre_poly.svg

Ecuacion diferencial

xd2y

dx2+ (1− x)

dy

dx+ ny = 0 (A.1)

Ecuacion diferencial (forma de Sturm-Liouville)

d

dx

[(xe−x

) dy

dx

]+ ne−xy = 0 (A.2)

77

Formula de Rodrigues

Ln(x) =ex

n!dn

dxn(xne−x) (A.3)

Funcion generadora

e−xt

1−t

(1− t)=

∞∑

n=0

Ln(x)n!

tn (A.4)

Relaciones de Recurrencia

(n + 1)Ln+1(x) = (2n + 1− x)Ln(x)− n2Ln−1(x) (A.5)

Ortogonalidad

∫ ∞

0Lm(x)Ln(x)e−x dx = δmn (A.6)

78

A.2. Funciones de Laguerre asociadas

Ecuacion diferencial

xd2y

dx2+ (k + 1− x)

dy

dx+ ny = 0 (A.7)

Ecuacion diferencial (forma de Sturm-Liouville)

d

dx

[(xk+1e−x

) dy

dx

]+ ne−xxky = 0 (A.8)

Formula de Rodrigues

Lkn(x) =

exx−k

n!dn

dxn(xn+ke−x) (A.9)

Funcion generadora

(−1)k tke−

xt1−t

(1− t)k+1=

∞∑

n=0

Lkn(x)n!

tn (A.10)

Relaciones de Recurrencia

n− k + 1n + 1

Lkn+1(x) +

(x + m− 2n− 1

)Lm

n (x) + n2Lmn−1(x) = 0 (A.11)

Ortogonalidad

∫ ∞

0Lk

m(x)Lkn(x)e−xxk dx =

Γ(n + k + 1)!n!

δmn (A.12)

Aplicacion en Fısica

Solucion radial de ecuacion de Schrodinger en potencial de Coulomb (atomo hidro-genoide).

79

A.3. Funciones de Hermite

Graficos

Figura A.2: Funciones de Hermite

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Hermite_poly_phys.svg

Ecuacion diferencial

d2y

dx2− 2x

dy

dx+ 2ny = 0 (A.13)

Ecuacion diferencial (forma de Sturm-Liouville)

d

dx

[(e−x2

) dy

dx

]+ 2ne−x2

y = 0 (A.14)

Formula de Rodrigues

Hn(x) = (−1)nex2 dn

dxne−x2

(A.15)

Funcion generadora

e2tx−t2 =∞∑

n=0

Hn(x)n!

tn (A.16)

Relaciones de Recurrencia

Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x) (A.17)

80

Ortogonalidad

∫ ∞

−∞Hm(x)Hn(x)e−x2

dx = 2nn!√

πδmn (A.18)

Aplicacion en Fısica

Oscilador armonico cuantico

81

A.4. Polinomios de Chebyshev

Graficos

Figura A.3: Polinomios de Chebyshev

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Chebyshev_Polynomials_of_the_1st_Kind_(n%3D0-5,_x%3D(-1,1)).svg

Ecuacion diferencial

(1− x2)d2y

dx2− x

dy

dx+ n2y = 0 (A.19)

Ecuacion diferencial (forma de Sturm-Liouville)

d

dx

[(√1− x2

) dy

dx

]+

n2

√1− x2

y = 0 (A.20)

Formula de Rodrigues

Tn(x) =(−1)n

√1− x2

(2n− 1)(2n− 3) · · · 1dn

dxn(1− x2)n− 1

2 (A.21)

Funcion generadora

1− tx

1− 2tx + t2=

∞∑

n=0

Tn(x)tn (A.22)

Relaciones de Recurrencia

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x) (A.23)

82

Ortogonalidad

∫ 1

−1

Tm(x)Tn(x)√1− x2

dx =

π m = n = 0π2 δmn m = n = N ∈ N (A.24)

Aplicacion en Fısica

??

83

Apendice B

La Delta de Dirac

B.1. La funcion δ

Decimos que δ(x) es una delta de Dirac, si

δ(x− a) = 0 ∀x 6= a, (B.1)

donde a ∈ R, pero∫ c

bf(x)δ(x− a)dx =

0 si x /∈ (b, c),

f(a) si x ∈ (b, c),(B.2)

para toda funcion f de clase C1.La nocion general de una delta de Dirac es que esta se anula para todo punto, excepto

en x = a, y que allı “asume un valor divergente”, pero tal que∫ ∞

−∞δ(x− a)dx = 1. (B.3)

La delta de Dirac, que en realidad no es una funcion en sentido estricto, puede ser entendidacomo el lımite de una sucesion de funciones. Por ejemplo, si definimos

Dn(x− a) :=√

n

π· e−n(x−a)2 , n = 1, 2, 3, . . . , (B.4)

entonces es posible probar que ∫ ∞

−∞Dn(x)dx = 1, (B.5)

y ademas

lımn→∞Dn(x) =

0 ∀x 6= a,∞ para x = a.

(B.6)

lımn→∞

∫ c

bDn(x)f(x)dx =

0 si x /∈ (b, c),

f(a) si x ∈ (b, c).(B.7)

Por lo tanto, escribimoslım

n→∞Dn(x) = δ(x− a). (B.8)

Una descripcion matematicamente consistente de la delta de Dirac puede ser dada en elmarco de la teorıa de distribuciones.

84

Otros ejemplos de sucesiones de funciones que convergen a una Delta de Dirac δ(x)son:

Dn(x) =n

π

11 + n2x2

, (B.9)

Dn(x) =1

nπ

sen2(nx)x2

. (B.10)

B.1.1. Derivada de la delta de Dirac

Considerando la funcion δ como si fuese una funcion normal, encontramos, integrandopor partes, que

∫ ∞

−∞δ′(x− a)︸ ︷︷ ︸:= d

dxδ(x−a)

f(x)dx = [δ(x− a)f(x)]∞−∞︸ ︷︷ ︸=0

−∫ ∞

−∞δ(x− a)f ′(x)dx = −f ′(a), (B.11)

es decir, ∫ ∞

−∞δ′(x− a)f(x)dx = −f ′(a). (B.12)

B.2. Delta de Dirac evaluada en una funcion y cambios devariable

Por otro lado, de las reglas de cambio de variables, obtenemos

δ(g(x)) =∑

i

δ(x− xi)|g′(x)| , (B.13)

donde xi son las soluciones nulas (simples!) de g, e.d., que satisfacen g(x) = 0.Por ejemplo,

δ(ax) =1| a |δ(x). (B.14)

Esto puede probarse de la forma siguiente: Si a > 0 el cambio de variable de integraciony = ax conduce a

∫ ∞

−∞δ(ax)f(x) dx =

∫ ∞

−∞δ(y)f(

y

a) dy =

1af(0) =

∫ ∞

−∞

1aδ(x)f(x) dx. (B.15)

Si a < 0, entonces el mismo cambio de variable conduce a∫ ∞

−∞δ(ax)f(x) dx =

∫ −∞

∞δ(y)f(

y

a) dy = −1

af(0) = −

∫ ∞

−∞

1aδ(x)f(x) dx. (B.16)

Estos dos resultados son equivalentes a la identidad (B.14).Como caso particular, si a = −1 (B.14), encontramos

δ(−x) = δ(x), (B.17)

e.d., la funcion δ es una funcion par.

85

B.2.1. Otras identidades

La identidads(x + a)δ(x) = s(a)δ(x), (B.18)

donde s(x) es una funcion continua y a una constante, se sigue de∫ ∞

−∞s(x + a)δ(x)f(x) dx = s(a)f(0) =

∫ ∞

−∞s(a)δ(x)f(x) dx. (B.19)

Un caso particular de (B.18) esxδ(x) = 0. (B.20)

B.2.2. Representacion integral

La expresion

δ(x) =12π

∫ ∞

−∞eikx dk (B.21)

puede ser derivada de la siguiente forma: La transformada de Fourier f(k) de una funcionf(x) es definida por

f(x) =12π

∫ ∞

−∞eikxf(k) dk, (B.22)

dondef(k) :=

∫ ∞

−∞e−ikxf(x) dx. (B.23)

Para f(x) = δ(x) obtenemos

f(k) :=∫ ∞

−∞e−ikxδ(x) dx = e−ikx

∣∣∣x=0

= 1, (B.24)

de modo que (B.22) se reduce a (B.21).

B.2.3. La delta de Dirac tridimensional

La definicion de la delta de Dirac tridimensional δ(3)(~x− ~a) es analoga a aquella de laversion unidimensional:

δ(3)(~x− ~a) = 0, ∀ ~x 6= ~a, (B.25)

pero ∫

Vδ(3)(~x− ~a)f(~x) dV =

0 si ~a /∈ V,

f(~a) si ~a ∈ V.(B.26)

Esta definicion puede ser usada, por ejemplo, para describir la densidad de carga de unacarga puntual situada en ~x′:

ρ(~x) = q δ(3)(~x− ~x′), (B.27)

de modo que ∫

R3

ρ(~x) dV = q. (B.28)

Ademas, la siguiente identidad es de mucha utilidad:

∇2 1|~x− ~x′| = −4π δ3(~x− ~x′). (B.29)

86

Para probar esta identidad, debe mostrarse que: a) ∇2 1|~x−~x′| = 0, ∀ ~x 6= ~x′, lo que puede ser

directamente comprobado calculando las derivadas respectivas, y b)∫V f(~x)∇2 1

|~x−~x′| dV =−4πf(~x′) para cualquier funcion de clase C1 en el volumen V , que contiene el punto ~x′.Para probar esto ultimo, es conveniente usar coordenadas esfericas centradas en el punto~x′, de modo que 1

|~x−~x′| = 1r . Ademas, como la propiedad a) es valida es posible reemplazar

el dominio de integracion V (que incluye el punto ~x′) por una esfera E de radio R, centradaen ~x′, de modo que

∫

Vf(~x)∇2 1

rdV =

∫

Ef(~x)∇2 1

rdV (B.30)

=∫

Ef(~x)~∇ ·

(~∇1

r

)dV (B.31)

=∫

E

[~∇ ·

(f ~∇1

r

)− ~∇f · ~∇1

r

]dV (B.32)

=∮

∂E

(f ~∇1

r

)· d~S −

∫

E

~∇f · ~∇1r

dV (B.33)

= −∮

∂Ef

1r2

(r · d~S) +∫

E(~∇f · r) 1

r2dV (B.34)

= −∮

∂Ef

1r2

dS +∫

E

∂f

∂r

1r2

dV (B.35)

= −∮

∂Ef dΩ +

∫

E

∂f

∂rdrdΩ. (B.36)

Si f es una funcion de clase C1, ambos terminos son finitos y su suma es independiente deR. En el lımite R → 0, el primer termino tiende a −f |r=0

∮dΩ = −4πf(~x′), mientras que

el segundo tiende a cero debido a la integral sobre la variable r, desde r = 0 hasta r = R.De este modo, obtenemos

∫

Vf(~x)∇2 1

rdV = lım

R→0

[−

∮

∂Ef dΩ +

∫

E

∂f

∂rdrdΩ

](B.37)

= −4πf(~x′) + 0. (B.38)

87

Apendice C

Coordenadas curvilineas

C.1. Coordenadas Cartesianas

Vector

~A = Axx + Ayy + Az z (C.1)

Gradiente:

~∇Ψ =∂Ψ∂x

x +∂Ψ∂y

y +∂Ψ∂z

z (C.2)

Divergencia

~∇ · ~A =∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z(C.3)

Rotor:

~∇× ~A =(

∂Az

∂y− ∂Ay

∂z

)x +

(∂Ax

∂z− ∂Az

∂x

)y +

(∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

)z (C.4)

Laplaciano

∇2Ψ =∂2Ψ∂x2

+∂2Ψ∂y2

+∂2Ψ∂z2

(C.5)

Desplazamiento:

d~x = dxx + dyy + dzz (C.6)

Elemento de superficie:

d~S = dy dz x + dx dz y + dx dy z (C.7)

Elemento de volumen:

dV = dx dy dz (C.8)

88

C.2. Coordenadas Cilındricas

Definicion:x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, z = z (C.9)

ρ =√

x2 + y2, ϕ = arctan (y/x), z = z (C.10)

Vector~A = Aρρ + Aϕϕ + Az z (C.11)

Gradiente:

~∇Ψ =∂Ψ∂ρ

ρ +1ρ

∂Ψ∂ϕ

ϕ +∂Ψ∂z

z (C.12)

Divergencia

~∇ · ~A =1ρ

∂ (ρAρ)∂ρ

+1ρ

∂Aϕ

∂ϕ+

∂Az

∂z(C.13)

Rotor:

~∇× ~A =(

1ρ

∂Az

∂ϕ− ∂Aϕ

∂z

)ρ +

(∂Aρ

∂z− ∂Az

∂ρ

)ϕ

+1ρ

(∂ (ρAϕ)

∂ρ− ∂Aρ

∂ϕ

)z (C.14)

Laplaciano

∇2Ψ =1ρ

∂

∂ρ

(ρ∂Ψ∂ρ

)+

1ρ2

∂2Ψ∂ϕ2

+∂2Ψ∂z2

(C.15)

(C.16)

Desplazamiento:

d~x = dρρ + ρdϕϕ + dzz (C.17)

Elemento de superficie:

d~S = ρ dϕdz ρ + dρ dz ϕ + ρ dρ dϕ z (C.18)

Elemento de volumen:

dV = ρ dρ dϕ dz (C.19)

C.3. Coordenadas Esfericas

Definicion:x = r sin θ cosϕ, y = r sin θ sinϕ, z = r cos θ (C.20)

r =√

x2 + y2 + z2, θ = arc cos(z

r) = arctan

√x2 + y2

z, ϕ = arctan (y/x) (C.21)

Vector

~A = Arr + Aθθ + Aϕϕ (C.22)

89

Gradiente:

~∇Ψ =∂Ψ∂r

r +1r

∂Ψ∂θ

θ +1

r sin θ

∂Ψ∂ϕ

ϕ (C.23)

Divergencia

~∇ · ~A =1r2

∂(r2Ar

)

∂r+

1r sin θ

∂

∂θ(Aθ sin θ) +

1r sin θ

∂Aϕ

∂ϕ(C.24)

Rotor:

~∇× ~A =1

r sin θ

(∂

∂θ(Aϕ sin θ)− ∂Aθ

∂ϕ

)r

+1r

(1

sin θ

∂Ar

∂ϕ− ∂

∂r(rAϕ)

)θ +

1r

(∂

∂r(rAθ)− ∂Ar

∂θ

)ϕ (C.25)

Laplaciano

∇2Ψ =1r2

∂

∂r

(r2 ∂Ψ

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Ψ∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2Ψ∂ϕ2

(C.26)

Desplazamiento:

d~x = drr + rdθθ + r sin θdϕϕ (C.27)

Elemento de superficie:

d~S = r2 sin θ dθ dϕ r + r sin θ dr dϕ θ + r dr dθ ϕ (C.28)

Elemento de volumen:

dV = r2 sin θ dr dθ dϕ (C.29)

Solucion general (finita) de la Ecuacion de Laplace:

Ψ(r, θ, ϕ) =∞∑

l=0

l∑

m=−l

[Alm · rl + Blm · r−(l+1)

]· Ylm(θ, ϕ). (C.30)

90

Bibliografıa

[1] Sean Mauch, Introduction to Methods of Applied Mathematics or Advanced Mathema-tical Methods for Scientists and Engineers (2004), http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html.

[2] G. Arfken and H.Weber, Mathematical Methods for Physicists, Fifth Edition, Acade-mic Press, (2001).

[3] E. Butkov, Mathematical Physics, Addison-Wesley (1968).

[4] S. Hassani. Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations, Springer(1999).

[5] L. Santalo, Vectores y Tensores con sus aplicaciones, Editorial Universitaria de BuenosAires, Septima Edicion (1969).

91