Matemática Superior en Matlab

1. Funciones

1.1 Tipos de funciones

Funciones linealesf(x)=mx+bm=3; b=2f= @(x) m*x+b fplot(f,[0 5]) f(5) fzero(f,0) %raíz de f

Funciones potencialf(x) = xn

n=2f= @(x) x^nfplot(f,[-2 2])f(2)

Funciones de raíz

f(x)=n√ xn=2f= @(x) x^(1/n)fplot(f,[0 5])f(5)

Funciones recíprocasf(x)=1/xn

Función valor absolutof(x)=|x| f= @(x) abs(x) fplot(f,[-1 1])

Función entero máximof(x)=‖x‖f= @(x) ceil(x)fplot(f,[0 5])

Funciones exponenciales syms xf=2^xfplot(char(f),[-10 10])

Ejemplo 5. Peso de un astronauta, Si un astronauta pesa 130 libras en la superficie de la Tierra, entonces su peso cuando está h millas arriba de la Tierra se expresa mediante la función [1]

w (h )=( 39603960+h )2

a) ¿Cuál es su peso cuando está 100 millas sobre la Tierra?syms hw=130*(3960/(3960+h))^2subs(w,h,100)

b) Construya una tabla de valores para función w que dé el peso a alturas de 0 a 500 millas. ¿Qué concluye de la tabla?

Por serie de datos

h=0:100:500;f=eval(w);format bank[h;f]'plot(h,f)title('w(h)=130*(3960/(3960+h))^2')xlabel('h (millas de la Tierra)')ylabel('w = f(h) (peso del astronauta)')axis([0 500 100 130])grid on

limitesclear hsyms hsubs(w,h,100)subs(w,h,-h)limit(w,inf)

Por serie de datos y expresión

w=@(h) 130*(3960/(3960+h))^2fplot(w,[0 500],'r')f=inline(subs(w,h,h))h=0:100:500;hold onplot(h,f(h))

w='130*(3960/(3960+h))^2'fplot(w,[0 500],'r')f=inline(subs(w,'h','h'))h=0:100:500;hold onplot(h,f(h))

Por expresión de caracter

syms hw=130*(3960/(3960+h))^2fplot(char(w),[0 500])h=0:100:500;f=eval(w);hold onplot(h,f,'r')

syms hw=130*(3960/(3960+h))^2ezplot(w,[0 500])h=0:100:500;f=eval(w);hold onplot(h,f,'r')

1.2. Desplazamiento de funciones

Tabularsyms xf=x^2x=-10:1:10;[x' eval(f)']set(ezplot(f,[-10 10]), 'Color','r') g=f-3 h=f+3hold onezplot(g,[-10 10])set(ezplot(h,[-10 10]), 'Color','k')

Con uso de caracteressyms xf=x^2x=-10:1:10;[x' eval(f)']plot(x,eval(f))hold ong=char(f-3)fplot(g,[-10 10],'r')h=char(f+3)fplot(h,[-10 10],'k')

Con uso de cadenassyms xf=@(x) x.^2x=-10:1:10;[x' f(x)']plot(x,f(x),'r')g=f(x)-3;h=f(x)+3;hold onplot(x,g,'b')plot(x,h,'k')

Con uso de cadenassyms xf=inline(x^2)x=-10:1:10;[x' f(x)']g=f(x)-3;h=f(x)+3; plot(x,f(x),x,g,'r',x,h,'k')

syms xf=(x-10)^2g=(x+10)^2x=-20:1:20;[x' eval(f)']set(ezplot(f,[-20 20]), 'Color','r')hold onezplot(g,[-20 20])

syms xf=inline((x-10)^2)g=inline((x+10)^2)x=-20:1:20;[x' f(x)' g(x)']plot(x,f(x),x,g(x),'r')

1.3 Operaciones en funcionesDespejar una variablesyms x ysolve(y-(x-2)^(1/2),y)solve(y-(x-2)^(1/2),x)

Graficar asíntotassyms xf=(3*x^2-2*x-1)/((2*x-1)*(x+2))fplot(char(f),[-20 20])x=-20:0.3:20;plot(x,eval(f))

Figuras compuestas en trozosf1= @(x) xf2= @(x) x^2figurefplot(f1,[-4 0])hold ongrid onfplot(f2,[0.0001 4])title('Función compuesta')axis([-5 5 -5 5])

Funciones pares e imparessyms xf=x^5+xg=subs(f,x,-x)r=f/g %Si r=-1 es impar, r=1 es par, r≠1 no es par ni imparezplot(f,[-4 4])hold onezplot(g,[-4 4])F=char(f)G=char(g)fplot(F,[-4 4])hold onfplot(G,[-4 4])

1.4 Límitessyms tv=10000/(5+1245*exp((-.97*t)))t=0:0.1:10;plot(t,eval(v))clear tsyms tformat banklimit(v,inf)subs(v,t,10)

2. Ajuste lineal polinomial y exponencial

2.1 Ajuste de curva lineal y polinomial

d=[2.5 4 6 8 9 9.5 12.5 15.5];t=[15 24 32 56 49 76 90 89];plot(t,d)e=polyfit(t,d,1)syms td=poly2sym(e,t)hold onfplot(char(d),[15 89],'r')subs(d,t,18)

t=[0 4 8 12 16];h=[5 3.1 1.9 0.8 0.2];plot(t,h)e= polyfit(t,h,2)syms xp=poly2sym(e,x)hold onfplot(char(p),[0 16],'r')

2.2 Función polinomial

Función polinomial Raíces de un polinomiox = (0: 0.1: 2.5)'y = erf(x)p = polyfit(x,y,6)x = (0: 0.1: 5)'y = erf(x)f = polyval(p,x)plot(x,y,'o',x,f,'-')axis([0 5 0 2])

syms xf=x^3 -6*x^2 -72*x -27p=sym2poly(f)r = roots(p)fplot(char(f),[-6 13])grid onfzero(char(f),0)

syms xf=x^3 -6*x^2 -72*x -27F=char(f)[x]=eval(solve(f,'x'))real(x) fplot(F,[-6 13])

T=[55 58 64 68 70 75 80 84];N=[340 335 410 460 450 610 735 780];h=plot(T,N,'r')set(h,'LineWidth',2);e1=polyfit(T,N,1)e2=polyfit(T,N,2)e3=polyfit(T,N,3)syms xf1=poly2sym(e1,x)f2=poly2sym(e2,x)f3=poly2sym(e3,x)hold onfplot(char(f1),[55 84],'--')hold onfplot(char(f2),[55 84],'--r')hold onfplot(char(f2),[55 84],'+k')

A=1920:10:2000L=[54.1 59.7 62.9 68.2 69.7 70.8 73.7 75.4 76.9]h=plot(A,L,'r')set(h,'LineWidth',2);e1=polyfit(A,L,1)e2=polyfit(A,L,2)e3=polyfit(A,L,3)syms xf1=poly2sym(e1,x)f2=poly2sym(e2,x)f3=poly2sym(e3,x)hold onfplot(char(f1),[1920 2000],'--')subs(f1,x,2004)hold onfplot(char(f2),[1920 2000],'--r')subs(f2,x,2004)hold onfplot(char(f3),[1920 2000],'k')subs(f3,x,2004)

2.3 Ajuste exponencial

La constitución de Estados unidos requiere un censo cada 10 años los datos del censo para 1790 -2000 se dan en la tabla.

Año

Pobl

ació

n (m

illon

es)

Año

Pobl

ació

n (m

illon

es)

Año

Pobl

ació

n (m

illon

es)

Año

Pobl

ació

n (m

illon

es)

Año

Pobl

ació

n (m

illon

es)

1790 3.9 1840 17.1 1890 63.0 1940 132.2 1990 248.71800 5.3 1850 23.2 1900 76.2 1950 151.3 2000 281.41810 7.2 1860 31.4 1910 92.2 1960 179.31820 9.6 1870 38.6 1920 106.0 1970 203.31830 12.9 1880 50.2 1930 123.2 1980 226.5(a) Construya un diagrama de dispersión de los datos(b) Use la computadora para halla un modelo exponencial de los datos

(c) Use un modelo para predecir un censo en el 2010.(d) Emplee su modelo para estimar la modelación en 1965(e) Compare sus respuestas de los incisos a) y d) con los valores de la tabla. ¿Considera que es apropiado un modelo exponencial para estos datos?

t=1790:10:2000;h=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 63 76.2 92.2 106 .... 123.2 132.2 151.3 179.3 203.3 226.5 248.7 281.4];plot(t,h)e=polyfit(t,log(h),1)syms th=exp(poly2sym(e,t))hold onfplot(char(h),[1790 2000],'r')subs(h,t,2010)subs(h,t,1965)

2.4 Ajuste trigonométrico

t=[0 2 4 6 8 10 12 14];y=[2.1 1.1 -0.8 -2.1 -1.3 0.6 1.9 1.5];[t' y']plot(t,y)A=(max(y)-min(y))/2B=(max(y)+min(y))/2w=2*pi/12syms cc=solve(y(1)-A*sin(w*t(1)+c)-B,c)syms ty=A*sin(w*t+c)+Bhold onfplot(char(y),[0 14],'r')

t=[0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350];y=[190 175 155 125 110 95 105 120 140 165 185 200 195 185 165];[t' y']plot(t,y)A=(max(y)-min(y))/2B=(max(y)+min(y))/2w=2*pi/250syms cc=solve(y(1)-A*cos(w*t(1)-c)-B,c)syms ty=A*cos(w*t-c(1))+Bhold onfplot(char(y),[0 350],'r')

syms sf=s^3+3*s^2+2*sFactoreofactor(f) Agruparcollect(f)Simplificarsimplify(f)Expandirexpand(f)

Fracciones parcialessyms sY=(2*s^3+5*s^2+3*s+6)/(s^3+6*s^2+11*s+6)num=numden(Y)den=num/Ycoefnum=sym2poly(num)coefden=sym2poly(den)[r,p,k]=residue(coefnum,coefden)n=length(r)for i=1:n Y(1,i)=r(i,1)/(s-p(i,1))endif k~=0 Y=[Y,k]endY=sum(eval(Y))pretty(Y)

3.- VectoresA=[3 -1 -4];B=[-2 4 -3];C=[1 2 -1];D=2*A-B+3*C;norm(A+B+C);dot(A,B);cross(B,C);dot(A,cross(B,C));norm(cross(A,cross(B,C)));E=[A;B;C];det(E)

En la siguiente figura ABCD es un paralelogramo con los puntos P y Q en la mitad de los lados BC y CDpruebe que APy AQ dividen a la diagonal BD en tres segmentos iguales.

syms x y z BP QD CD BC k%x=DE,y=EF,z=FBAB=-CD;CD=2*QD;DA=-BC;BC=2*BP;%proyección h=DA•(-CD)/|CD|%b=-2*(BP•QD)/|QD|%ΔOBC h^2+b^2=(2BP)^2%h=sqrt((2BP)^2-b^2))%ΔOBD h^2+(b+2*QD)^2=(x+y+z)^2%x+y+z=sqrt((2BP)^2-b^2+(b+2*QD)^2)=kf1=x+y+z-k;%ΔADF semejante ΔBPFf2=-2*x+y+z;%ΔDEQ semejante ΔABEf3=x+y-2*z;[x y z]=solve(f1,f2,f3)

Demostrar que (A x B)·(C x D) +(B x C)·(A x D)+(C x A)·(B x D)=0

syms a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 d1 d2 d3A=[a1 a2 a3];B=[b1 b2 b3];C=[c1 c2 c3];D=[d1 d2 d3];simplify(dot(conj(cross(A,B)),cross(C,D))+...dot(conj(cross(B,C)),cross(A,D))+...dot(conj(cross(C,A)),cross(B,D)))

Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares.

syms AB BC CD AC BD DAAC=AB+BC;BD=BC+CD;AB=-CD;BC=-DA;DA=norm(CD);eval(eval(expand(AC*BD)))

Calcular(a) Demuestre que los vectores A=3 i + j – 2 k, B=-i + 3 j+ 4 k, C=4 i – 2 j – 6 k pueden ser los lados de un triángulo. (b) Encuentre la longitud de las medianas del triángulo.A=[3 1 -2];B=[-1 3 4];C=[4 -2 -6];%Si (AxB)•C=0 es un triágulodot(cross(A,B),C)%∡A+∡B+∡C=180SAT=acosd(dot(-B,-A)/(norm(-B)*norm(-A)))+...acosd(dot(-A,-C)/(norm(-A)*norm(-C)))+...acosd(dot(C,-B)/(norm(C)*norm(-B)))M1=norm(C/2+A)M2=norm(A/2+C)M3=norm(B/2+C)

4. Diferenciales

syms tR=[exp(-t) log(t^2+1) -tan(t)]T=diff(R,t)M=diff(diff(R,t),t)norm(T)norm(M)

syms tA=[t^2 -t (2*t+1)];B=[(2*t-3) 1 -t];C=diff(B,t)E=cross(A,C)F=diff(E,t)subs(F,t,1)

Si A=x2yz i - 2xz3 j + xz2 k y B=2z i + y - x2 k encontrar las derivadas δ2

δxδy( AxB ) en el punto

(1,0,-2)

syms x y zA=[x^2*y*z -2*x*z^3 x*z^2];B=[2*z y x^2];subs(diff(diff(cross(A,B),x),y),[x y z],{1 0 -2})

4.1 Divergencia

syms x y zA=[2*x^2, -3*y*z, x*z^2];divergencia=diff(A(1,1),x)+....diff(A(1,2),y)+diff(A(1,3),z)

Divergencia con lazo forfunction [f,v]= divg(f,v)n=length(v);for i=1:n Divg(1,i)=diff(f(1,i),v(1,i));enddivg=sum(Divg)

4.2 Gradiente

syms x y z fFhi=2*x*z^4-x^2*y;v=symvar(Fhi)n=length(v)Grad=f*ones(1,n)for i=1:n Grad(1,i)=diff(Fhi,v(1,i))endsubs(Grad,v,[2 -2 -1])

syms x y zA=[18*z,12,3*y]f=2*x+3*y+6*z-12grad=[diff(f,x), diff(f,y), diff(f,z)]n=grad/norm(eval(grad))dot(conj(A),n)

Gradiente con lazo forfunction [f,v]= grad(f,v)n=length(v);F=f*ones(1,n);for i=1:n Grad(1,i)=diff(F(1,i),v(1,i));end

syms x y z fr=[x y z];n=length(r)F=(norm(r))^3Grad=f*ones(1,n)for i=1:n Grad(1,i)=diff(F,r(1,i))end

Dado los puntos P(2,1,3) Q(1,2,1) R(-1,-2,-2) S(1,-4,0) encontrar la distancia más corta entre las líneas PQ y RS.syms x y z c1 c2 c3r=[x y z];C=[c1 c2 c3];P=[2 1 3];Q=[1 2 1];R=[-1 -2 -2];S=[1 -4 0];PQ=Q-P;RS=S-R;N=cross(PQ,RS)n=N/norm(N)

ft1=dot(n,r-P)ft2=dot(n,r-S)g1=[diff(ft1,x) diff(ft1,y) diff(ft1,z)]g2=[diff(ft2,x) diff(ft2,y) diff(ft2,z)]n1=g1/sqrt(sum(g1.^2))n2=g2/sqrt(sum(g2.^2))C=[0.5, 0.5, 0, -1.5];x=-1;y=-2;z=-2;d1=abs(C(1,1)*x+C(1,2)*y+C(1,3)*z+... C(1,4))/sqrt(sum(C(1:3).^2))

Encontrar la ecuación de la tangente al plano de la superficie xz2+x2 y = z-1 en el punto (1,-3,2)syms x y zf=x*z^2+x^2*y-z+1;r=[x y z]ro=[1 -3 2]F=[diff(f,x) diff(f,y) diff(f,z)]n=subs(F,r,ro)dot(n,(r-ro))

Si F = (3x2y-z) i + (xz3+y4) j - 2x3z2 k encontrar el gradiente de la divergencia de F en el punto (2,-1,0)syms x y zF=[(3*x^2*y-z) (x*z^3+y^4) -2*x^3*z^2];f=diff(F(1,1),x)+diff(F(1,2),y)+diff(F(1,3),z);gradiente=subs([diff(f,x) diff(f,y) diff(f,z)],[x,y,z],{2,-1,0})

4.3 Rotacional

syms x y zA=[2*x^2 -3*y*z+x*z^2];rotacio=[diff(A(1,3),y)...-diff(A(1,2),z),...diff(A(1,1),z)-diff(A(1,3),x),...diff(A(1,2),x)-diff(A(1,1),y)]

Rotacional con funcionfunction [f,v]= rot(f,v);Rot(1,1)=diff(f(1,3),v(1,2))-...diff(f(1,2),v(1,3));Rot(1,2)=diff(f(1,3),v(1,1))-...diff(f(1,1),v(1,3));Rot(1,3)=diff(f(1,2),v(1,1))-...diff(f(1,1),v(1,2));Rot

Comprobar que u=i+j-k y v=i-j son perpendiculares.

a) Determinar w, de tal manera que u, v y w formen una triada de giro positivo.b) Determinar la matriz de transformación entre los ejes u, v y w y i, j, k

syms a1 a2 a3w=[a1 a2 a3];u=[1 1 -1];v=[1 -1 0];f1=2*a2-a3f2=dot(u,w)

f3=dot(v,w)a=solve(f1,f2,f3,a1,a2,a3)W=subs([a.a1 a.a2 a.a3],'z',1)uw=W/norm(W)uv=v/norm(v)uu=u/norm(u)i=[1 0 0]j=[0 1 0]k=[0 0 1]F=[ dot(uw,i) dot(uw,j) dot(uw,k);.... dot(uv,i) dot(uv,j) dot(uv,k);.... dot(uu,i) dot(uu,j) dot(uu,k)]acosd(F)

Determinar la matriz de transformación entre los ejes u⃑ = i⃑ + j⃑ - k⃑ , v⃑ = i⃑ - j⃑ y

w=( 16 )1 /2

( i⃑+ j⃑+2 k⃑ ) y las direcciones i,j,k.

u=[1 1 -1];v=[1 -1 0];w=((1/6)^2)*[1 1 2]i=[1 0 0]j=[0 1 0]k=[0 0 1]uu=u/norm(u);uv=v/norm(v);A=[dot(uu,i),dot(uu,j),dot(uu,k)];B=[dot(uv,i),dot(uv,j),dot(uv,k)];C=[dot(w,i),dot(w,j),dot(w,k)];D=[A;B;C]norm(D(:,1))

5. Tensoressyms h n1 n2 n3Tik=[1 0 0;0 2 3;0 3 4]Tki=Tik'Sik=0.5*(Tik+Tki)Tik=0.5*(Tik-Tki)H=[1-h 0 0;0 2-h 3;0 3 4-h]n=[n1 n2 n3]F=H*conj(n)'F=subs(F,h,'k')f4=n1^2+n2^2+n3^2-1f=det(H)[h]=eval(solve(f))j=length(h);for i=1:j k=h(i,1); f(1:3,:)=eval(F); [n1 n2 n3]=solve(f(1,:),f(3,:),f4); syms z disp( ' n1 n2 n3') n=eval([n1 n2 n3]) syms n1 n2 n3

endsyms n1 n2 n3f1=(1-h(2,1))*n1+0*n2+0*n3;f2=0*n1+(2-h(1,1))*n2+3*n3;f3=0*n1+3*n2+(4-h(3,1))*n3;[n1 n2 n3]=solve(f1,f3,f4); disp( ' n1 n2 n3') n=eval([n1 n2 n3])

4.1 InvariantesA=[1 3 5;2 6 9;-3 -2 -8];S=0.5*(A+A')[V,D]=eig(A)det(A) det(D)Ad=diag(A)sum(Ad)(A(2,2)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,2))... +(A(1,1)*A(2,2)-A(2,1)*A(1,2))... +(A(1,1)*A(3,3)-A(1,3)*A(3,1))V=diag(D)V(1,1)*V(2,1)+V(1,1)*V(3,1)+V(2,1)*V(3,1)

T=[5 -1 3;1 -6 -6;-3 -18 1][V,J]=jordan(T)S=0.5*(T+T')[V,D]=eig(S)

Determinar para el tensor simétrico Tik =(7 3 03 7 40 4 7) los valores principales y las

direcciones de los ejes principales.

Tik=[7 3 0;3 7 4;0 4 7]Tki=Tik'Sik=0.5*(Tik+Tki)[V,D]=eig(Sik)C=diag(D)format bank%Primer invariante suma de las diagonalesIS=sum(diag(Sik)) %invariante del tensor simétricoID=sum(C) %invariante del tensor valores propios%Segundo invariante: determinante de los mínimos valoresIIS=det(Sik(2:3,2:3))+det(Sik(1:2,1:2)).... +det([Sik(1,1) Sik(1,3);Sik(3,1) Sik(3,3)]) %invariante del tensor simétricoIID=C(1,1)*C(2,1)+C(1,1)*C(3,1)+C(2,1)*C(3,1) %invariante del tensor valores propios%Tercer invariante:IIIS=det(Sik) %invariante del tensor simétricoIIID=C(1,1)*C(2,1)*C(3,1) %invariante del tensor valores propios

[V,D]=eig(Tik)

Hallar la raíz cuadrada del tensor Dik =(3 2 02 3 00 0 9)

D=[3 2 0;2 3 0;0 0 9];sqrt(D)

6. Sistemas de ecuacionesA=[1 -1 3 -3 3;-5 2 -5 4 -5;... -3 -4 7 -2 7;2 3 1 -1 1][L,U]=lu(A)a=[1 -1 3 -3;-5 2 -5 4;... -3 -4 7 -2;2 3 1 -1]b=[3 -5 7 1]c=inv(a)c*b'syms w x y z[w,x,y,z]=solve(w-x+3*y-3*z-3,... -5*w+2*x-5*y+4*z+5,... -3*w-4*x+7*y-2*z-7,... 3*w+3*x+y-z-1)

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x+2y+z+3u+v+w=2-x+y-z+u-v+w=42y+2u+2w=-7

x-z+u+4v+9w=82x-3y+u+5v-3w=1

3x+7y+2z+u+2v+8w=3

%Matriz inversaA=[1 2 1 3 1 1 ;-1 1 -1 1 -1 1;0 2 0 2 0 2;1 0 -1 1 4 9;...2 -3 0 1 5 -3;3 7 2 1 2 8 ];B=[2 4 -7 8 1 3];%Forma 1xi=inv(A)*B'%Forma 2x=A\B'%Variablessyms x y z u v w[x,y,z,u,v,w]=solve(x+2*y+z+3*u+v+w-2,...-x+y-z+u-v+w-4,2*y+2*u+2*w+7,...x-z+u+4*v+9*w-8,2*x-3*y+u+5*v-3*w-1,...3*x+7*y+2*z+u+2*v+8*w-3);disp( 'x y z u v w')[x,y,z,u,v,w]

%Reducción de GaussC=[A,B'];

[L,U]=lu(C)soluci=rref(C)

7. Integrales

Integrales simplesIntegral numérica con uso de función encadenada>> f = @(x) x.*sin(4*log(x))>> quad(f,0.2,3)

Integral numérica transformando a función encadenada>> syms x>> f=x*sin(4*log(x))>> F=inline(f)>> quad(F,0.2,3)

Integral simbólica>> syms x>> f=x*sin(4*x)>> F=int(f,x)>> y=char(f)>> Y=char(F)>> fplot(y,[0 10])>> hold on>> fplot(Y,[0 10])

Integrales doblesIntegral numérica doble con uso de función encadenada>> f = @(x,y) 1./(1+x.^2+y^2)>> dblquad(f,-1,1,0,1)

Integral numérica transformando a función encadenada>> syms x y>> f = 1/(1+x^2+y^2)>> F=inline(f)>> dblquad(F,-1,1,0,1)

Integral doble simbólica>> syms x y>> f = (1+x^2+y^2)>> F=int(int(f,y),x)>> t=char(f)>> T=char(F)>> ezsurf(t)>> hold on>> ezsurf(T)

Integrales triplesIntegral numérica triple con uso de función encadenada>> f=@(x,y,z) x.*sin(x)+z*cos(y)*cos(x)>> triplequad(f,0,1,0,1,0,1)

Integral numérica transformando a función encadenada>> syms x y z>> f=x*sin(x)+z*cos(y)*cos(x)>> F=inline(f)>> triplequad(F,0,1,0,1,0,1)

Integral triple simbólica>> syms x y z>> f = (1+x^2+y^2+z^2)>> F=int(int(int(f,z),y),x)>> t=solve(f,z)>> T=solve(F,z)>> u=char(t)>> U=char(T)>> ezsurf(u(1,1))>> hold on>> ezsurf(U(1,2))

syms a b c x y zA=[a*x b*y c*z];V=x*y*z;div=diff(A(1,1),x)+diff(A(1,2))+diff(A(1,3));F=int(int(int(div,x),y),z)subs(F,x*y*z,V)

syms uA=[3*sin(u) 2*cos(u) 0]n=length(A)for i=1:n if A(1,i)~=0 f=inline(A(1,i)) R(1,i)=quad(f,0,pi/2) else R(1,i)=0 endend

syms tA=[t -t^2 (t-1)];B=[2*t^2 0 6*t];n=length(A)C=cross(A,B)for i=1:n if C(1,i)~=0 f=inline(C(1,i)) R(1,i)=quad(f,0,2) else R(1,i)=0 endendS=int(C,0,2)S=eval(S)

syms uA=[3*sin(u) 2*cos(u) 0]n=length(A)for i=1:n if A(1,i)~=0 f=inline(A(1,i)) R(1,i)=quad(f,0,pi/2) else R(1,i)=0 endend

syms tA=[t -t^2 (t-1)];B=[2*t^2 0 6*t];n=length(A)C=cross(A,B)for i=1:n if C(1,i)~=0 f=inline(C(1,i)) R(1,i)=quad(f,0,2) else R(1,i)=0 endendS=int(C,0,2)S=eval(S)

syms t x y z dx dy dzA=[(2*y+3) x*z (y*z-x)]x=2*t^2;y=t;z=t^3;dx=diff(x,t);dy=diff(y,t);dz=diff(z,t);dr=[dx dy dz]fhi=expand(dot(conj(A),dr))format bankFr=int(fhi,t)R=int(fhi,0,1)R=subs(Fr,t,1)-subs(Fr,t,0)

Calcule

a) ∬S

❑

(∇ xF ) ∙nds

b) ∬S

❑

∅ nds

Si F = (x+2y) i - 3z j + x k, ø = 4x + 3y - 2z y S es la superficie de 2x + y + 2z = 6 limitada por x=0, x=1, y=0, y=2.syms x y zF=[(x+2*y),-3*z,x];fp=2*x+y+2*z-6;Fr=[diff(F(1,3),y)-diff(F(1,2),z),... diff(F(1,1),z)-diff(F(1,3),x),... diff(F(1,2),x)-diff(F(1,1),y)]gradp=eval([diff(fp,x),diff(fp,y),diff(fp,z)])n=gradp/norm(gradp)f=(dot(Fr,n));k=[0 0 1];fkn=dot(k,n);Solu1=int(int(f/fkn,x,0,1),y,0,2)z=(6-y-2*x)/2;fi=4*x+3*y-2*z;fi=eval(fi)fn=simple(fi*n)Solu2=int(int(fn/fkn,x,0,1),y,0,2)

Si A=2yzi-(x+3y-2)j+(x2+z)k. Calcular ∬S

❑

(∇ xA ) ∙nds sobre la superficie de

intersección de los cilindros x2 + y2 = a2 y x2 + z2 = a2 en el primer octante.syms x y z aA=[2*y*z -(x+3*y-2) (x^2+z)]fp=y-z;Ar=[diff(A(1,3),y)-diff(A(1,2),z),... diff(A(1,1),z)-diff(A(1,3),x),... diff(A(1,2),x)-diff(A(1,1),y)]gradp=eval([diff(fp,x),diff(fp,y),diff(fp,z)])z=y;un=gradp/sqrt(sum((gradp.^2)))%vector unitario de la normalf=eval(dot(conj(Ar),un))Solu=int(int(f/cosd(45),x,0,sqrt(a^2-y^2)),y,0,a)n=[0 1 -1];k=[0 0 1];nk=dot(n,k)/(norm(n)*norm(k)) %nk=cos(alfa)Solu=int(int(f/nk,x,0,sqrt(a^2-y^2)),y,0,a)

Ecuaciones diferenciales de primer orden

a) simple(dsolve('Dy=x*(1+y^2)/(y*(1+x^2))','x'))dsolve('x*(1+y^2)-y*(1+x^2)*Dy','x')

b) dsolve('Dy=y/x','x')

c) simple(dsolve('x*(1+y^2)-y*(1+x^2)*Dy','x'))

d) f=dsolve('Dx=4*t*sqrt(x)','x(1)=1','t')fplot(char(f(1,1)),[-10 10])hold onfplot(char(f(2,1)),[-10 10])

e) f=dsolve('Dy=2*x+y','y(0)=4','x')f=@(x,y) x*y^3+x^2;[x,y]=ode45(f,[0:0.1:1],[0])plot(x,y,'r')r=polyfit(x,y(:,1),2)syms th=poly2sym(r,t)hold onfplot(char(h),[0 1])

p=dsolve('Dy=x+y^2','y(0)=0','x')fplot(char(p),[0 1])hold onf=@(x,y) x+y^2[x,y]=ode45(f,[0:0.1:1],[0])plot(x,y,'r')

f=@(x,y) x*y^3+x^2;p=dsolve('Dy=x*y^3+x^2','y(0)=0','x')[x,y]=ode45(f,[0:0.1:1],[0])plot(x,y)r=polyfit(x,y(:,1),2)syms th=poly2sym(r,t)hold onfplot(char(h),[0 1])

Ecuacion ;y=x*y’-y’’

%y=x*y’-y’’%Por Runge KuttaF=@(x,z) [(-x+sqrt(x.^2+4*z(1)))/2;(-x-sqrt(x.^2+4*z(1)))/2][X Y]=ode45(F,[2:0.1:3],[-1 -1]);fprintf(' x y1 y2');[X Y]plot(X,Y(:,1),'--k',X,Y(:,2),'--k')%Por diferencias finitassyms Y zh=0.2;x=2:0.2:3;n=length(x);y=Y*ones(2,n);for k=1:n-1 for i=1:2 y(i,1)=-1; f(i,k)=x(k)*(y(i,k+1)-y(i,k))/h+((y(i,k+1)-y(i,k))/h)^2-y(i,k); resul=eval(solve(f(i,k))); y(i,k+1)=resul(i,1); endendfprintf(' x y1 y2');solucion=[x' eval(y)']hold onplot(x,y(1,:),'+',x,y(2,:),'-o')F1=-z+1F2=-z^2/4hold onfplot(char(F1),[2 3],'+g')

hold onfplot(char(F2),[2 3],'+g')p1=eval(polyfit(x,y(1,:),1))p2=eval(polyfit(x,y(2,:),2))syms xf1=poly2sym(p1,x)f2=poly2sym(p2,x)

Tanque de almacenamientoQ=500;%m^3/sA=1200;%m^2a=300;%Por Runge KuttaF=@(t,y) 3*Q*((sin(t))^2)/A-a*((1+y)^(1.5))/A [t,y]=ode45(F,[0:0.1:10],[0])plot(t,y,'r')syms Ydt=0.1t=0:dt:10;n=length(t)y=Y*ones(1,n)y(1)=0%Por diferencias finitasfor i=1:n-1f(i+1)=eval((3*Q*((sin(t(i)))^2)/A-a*((1+y(i))^(1.5))/A)*dt+y(i))y(i+1)=f(i+1)endy=eval(y)hold onplot(t,y)

Ecuaciones diferenciales de segundo ordensyms xp=dsolve('D2y-6*Dy+5*y=0','y(0)=1','y(2)=1','x')fplot(char(p),[0 2])

F=@(x,y) [y(2);y(1)];f=dsolve('D2y-y=0','y(0)=0','y(1)=-4','x')fplot(char(f),[0 1])hold on[x,y]=ode45(F,[0:0.1:1],[0 -4])plot(x,y(:,1),'r')

Encontrar la distribución de temperaturas de una placa rectangular de acero, si los extremos están a las temperaturas T0, T1 , T2, T3

To 0 °CT1 0 °CT2 0 °CT3 300 °C

syms Tn=4;

dx=0.5;dy=dx;U=T*ones(n,n)U = sym('T', [n n])U(:,1)=0;U(:,4)=0;U(1,:)=300;U(4,:)=0for i=2:3 for j=2:3f(i,j)=(U(i+1,j)-2*U(i,j)+U(i-1,j))/dy^2+(U(i,j+1)-2*U(i,j)+U(i,j-1))/dx^2; endend[T2_2 T2_3 T3_2 T3_3]=solve(f(2,2),f(2,3),f(3,2),f(3,3))

Encontrar la distribución de temperaturas de una placa rectangular de acero si en uno de sus extremos tenemos un flujo qo de entrada y si los extremos están a las temperaturas T0, T1 , T2.

To -100 °CT1 0 °CQo -100WT2 100°C

syms Tformat compactQ=-100;qo=Q/3; h=0.25;k=60.5;n=5;T=T*ones(n+1,n+1)T = sym('T', [n+1 n+1])T(:,1)=-100;T(:,5)=100;T(5,:)=0for i=2:n f(i,1)=3*T(1,i)-4*T(2,i)+T(3,i)-2*h*qo/(3*k)endfor i=2:n for j=2:n F(i,j)=T(i+1,j)+T(i-1,j)+T(i,j+1)+T(i,j-1)-4*T(i,j) endendF(n,:)=[]F(:,n)=[]H=symvar(F);[T1_2 T1_3 T1_4 T2_2 T2_3 T2_4 T3_2 T3_3 T3_4 T4_2 T4_3 T4_4]=solve(f(2,1),f(3,1),f(4,1),F(2,2),F(2,3),F(2,4),F(3,2),F(3,3),F(3,4),F(4,2),F(4,3),F(4,4))

[conj(H)' eval(H')]

Análisis transitorio del telegrafo

n=4a=5e-6;%m/sc=0.0046dx=1/3;dt=dx/(2*c)U = sym('U', [n n])U(:,1)=0;U(1,:)=0;U(4,:)=0for i=2:3 for j=2:3f(i,j)=2*dt^2*c^2*(U(i+1,j)-2*U(i,j)+U(i-1,j))-........ 2*dx^2*(U(i,j+1)-2*U(i,j)+U(i,j-1))-.... dx^2*dt*(U(i,j+1)-U(i,j-1))-..... 2*dx^2*dt^2*U(i,j) endendf1=U(2,4)-U(2,3);f2=(U(3,4)-U(3,3))/dt-0.25;V=symvar(f)[U2_2 U2_3 U2_4 U3_2 U3_3 U3_4]=solve(f(2,2),f(2,3),f(3,2),f(3,3),f1,f2);format shorteval([U2_2 U2_3 U2_4 U3_2 U3_3 U3_4]')

Transformada de Laplace

syms t Y1k=1000; %N/mc=2;%Ns/mm=10;%kgv=1;%m/sh=0.4;%mL=2;%my1=sym('y1(t)');y2=sym('y2(t)');dy1=sym('diff(y1(t),t)');dy2=sym('diff(y2(t),t)');d2y1=diff(dy1,t);f1=-k*(y1-y2)-c*(dy1-dy2)-m*d2y1;t1=(L/v);y2=(h/t1)*t-(h/t1)*heaviside(t - t1)*(t - t1)dy2=diff(y2,t);Ly2=laplace(y2)Lf1=laplace(f1)

Fs=subs({Lf1},{'y1(0)','y2(0)','D(y1)(0)','laplace(y1(t), t, s)','laplace(y2(t), t, s)'},{0,0,0,'Y1',Ly2})f1=solve(Fs,Y1)iLf1=ilaplace(f1)fplot(char(iLf1),[0 10])hold onfplot(char(y2),[0 10],'r')