ámbito científico-tecnológicoFORMACIÓN DE PERSONAS ADULTAS

MATEMÁTICAS y Resúmenes y fórmulas de los conceptos básicos

APÉNDICE DEL LIBRO

M. GRANDE

Apéndice

2

El sistema decimal

Nuestro sistema de numeración es decimal y posicional. Es decir, dispone de solo 10 cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), cuyo valor depende de la posición que ocupan en el número.

unidades de millar centenas decenas UNIDADES décimas centésimas milésimas

1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Propiedades de las operaciones

Propiedad conmutativa. En una suma o en una multiplica­ción, el orden de los factores no altera el resultado.

a b b aa b b a

Propiedad asociativa. El resultado de una suma o de una multiplicación con tres o más factores no depende de cómo se agrupen.

a (b c) (a b) ca (b c) (a b) c

Propiedad distributiva. El producto de un número por una suma o una resta es igual a la suma de los productos del número por cada sumando.

a (b c) a b a ca (b c) a b a c

Sacar factor común. La suma o resta de productos que tienen un factor común es igual al producto de este factor por la suma o la resta de los otros factores.

a b a c a (b c) a b a c a (b c)

Existencia del elemento neutro. El elemento neutro es aquel número que, al intervenir en una operación con cual­quier otro número, lo deja invariable. El elemento neutro de la suma (y de la resta) es el 0, mientras que el elemento neutro de la multiplicación (y de la división) es el 1. a 0 a a 1 a a 0 0 a : 1 a

Regla de los signos

() () () () () () () ()

() : () () : () () : () () : ()

Jerarquía de las operaciones

Para resolver operaciones combinadas hay que seguir estos pasos:

1. Paréntesis. Si después de observar la operación en conjunto vemos que hay algún paréntesis, ante todo hay que resolver las operaciones que contenga. Hecho esto, se escribe de nuevo toda la operación pero sustituyendo los paréntesis por los resultados correspondientes.

2. Multiplicaciones y divisiones. El segundo paso consiste en identificar las multiplicaciones y divisiones y resolverlas. A continuación, se vuelve a escribir la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes.

3. Sumas y restas. Finalmente, hay que resolver las sumas y restas, que se pueden calcular en el orden en que aparezcan en la operación combinada inicial.

múltiplos cifra de referencia submúltiplos

3

Criterios de divisibilidad

Divisible por 2 Si es par, es decir, si termina en 0, 2, 4, 6 u 8.

Divisible por 3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Divisible por 4 Si sus dos últimas cifras son divisibles por 4 o termina en 00.

Divisible por 5 Si termina en 0 o 5.

Divisible por 6 Si es divisible por 2 y 3 a la vez.

Divisible por 7 Se elimina la última cifra; del número que queda se resta el doble de las unidades; se repite el mismo proceso con la diferencia obtenida hasta llegar a 0 o un múltiplo de 7, en cuyo caso se puede afirmar que el número es divisible por 7.

Divisible por 8 Si las tres últimas cifras son divisibles por 8 o terminan en 000.

Divisible por 9 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Divisible por 10 Si termina en 0.

Divisible por 11Si la diferencia entre las sumas de las cifras que ocupan posiciones impares y las que ocupan posiciones pares es 0, 11 o múltiplo de 11.

Divisible por 12 Si es divisible por 3 y 4 a la vez.

Máximo común divisor Mínimo común múltiplo

El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el divisor más grande que tienen en común. Para hallarlo hay que seguir estos pasos:

1. Descomponer los diferentes números en factores primos y expresarlos como producto de estos factores.

2. Tomar solo los factores comunes a todos los números, ele­vados al exponente más pequeño.

3. Multiplicar los factores comunes seleccionados.

El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el múltiplo más pequeño que tienen en común. Para ha­llarlo hay que seguir estos pasos:

1. Descomponer los diferentes números en factores primos y expresarlos como producto de estos factores.

2. Tomar todos los factores, comunes o no comunes, eleva­dos al mayor exponente.

3. Multiplicar los factores seleccionados.

Apéndice

4

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Es decir, si el cociente del numerador por el denomina­dor es igual.

ab

cd

a b c d= ↔ =: :

Si multiplicamos o dividimos el numerador y el denominador de una fracción por un número, obtenemos una fracción equivalente.

ac

a kc k

=⋅⋅

ac

akck

=

Si dos fracciones son equivalentes, el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Es decir, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a

bcd

a d b c= ↔ ⋅ = ⋅

Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones con igual denominador. Se deja el denominador y se suman o restan los numeradores.

ac

bc

a bc

+ =+

ac

bc

a bc

− =−

Suma y resta de fracciones con distinto denominador. Se calcula el m. c. m. de los numeradores y se suman o restan las fracciones equivalentes con denominador común.

ac

bd

a bc d

+ =+' '

m.c.m.( , )

ac

bd

a bc d

− =−' '

m.c.m.( , )

Multiplicación de fracciones. Se multiplican por separado los numeradores y los denominadores.

ac

bd

a bc d

⋅ =⋅⋅

División de fracciones. Se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

ac

bd

ac

db

a dc b

: ···

= =

Aproximaciones

Los números decimales tienen a menudo muchas cifras decimales, por lo cual es fácil incurrir en errores ya que no siempre las podemos escribir todas. Hay varias maneras de escribir un número decimal para que se aproxime al máximo a su valor real.

redondeo truncamiento

Para redondear un número decimal, debemos fijarnos en la cifra siguiente a la que queremos redondear:• Si es menor que 5, eliminamos todas las cifras de orden

inferior a la cifra considerada.• Si es mayor o igual que 5, eliminamos todas las cifras de or­

den inferior a la considerada y la aumentamos una unidad.

Para truncar un número, eliminamos las cifras de orden infe­rior a la que consideramos.

Cálculo de errores

Dado que cuando redondeamos un número decimal siempre introducimos un pequeño error, debemos valorar la importancia del error cometido. Hay dos maneras de hacerlo: mediante el cálculo del error absoluto y mediante el cálculo del error relativo.

El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor hallado x y el valor exacto x de la medida o cálculo.

E x xa = −

El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto de la medida o cálculo, y se puede expresar en tanto por ciento (multiplicando por 100 el resultado).

EE

x

x x

xra= =

−

5

Razón y proporción

La relación entre una pareja de números a y b se puede expresar en forma de fracción. Esta fracción, donde a es el antece­dente y b el consecuente, recibe el nombre de razón.

ab

Si dos razones ab

i bc

tienen el mismo valor, podemos igualarlas. Esta igualdad entre razones recibe el nombre de propor-

ción y el valor de la razón se llama razón de proporcionalidad.ab

cd

=

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando se cumple que:• Al aumentar una magnitud, la otra aumenta en la misma

proporción.• Al disminuir una magnitud, la otra disminuye en la misma

proporción.Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, al dividir el valor de una magnitud por el valor correspondiente de la otra magnitud se obtiene un valor constante llamado constante de proporcionalidad directa.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando se cumple que:• Al aumentar una magnitud, la otra disminuye en la misma

proporción.• Al disminuir una magnitud, la otra aumenta en la misma

proporción.Cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, el producto del valor de una magnitud por el correspondien­te valor de la otra magnitud es un valor constante llamado constante de proporcionalidad inversa.

Cálculo con proporciones

ab

cx

xc b

a= =→

·

ax

cd

xa d

c= =→

·

xb

cd

xb c

d= =→

·

ab

xd

xd · a

b= =→

Porcentajes

Un porcentaje no es más que una razón en la que el denominador es 100 ( xx

% ≡100

). Los porcentajes se utilizan espe­cialmente en el cálculo de descuentos y recargos.

descuentos recargos

En el caso más general en el que se aplica un descuento del i % sobre un producto o servicio que tiene un precio P, el des­cuento d y el precio final Pf se calculan de la siguiente forma:

di

P=100

P P di

Pf = − = −

1

100

En el caso más general en el que se aplica un recargo del i % sobre un producto o servicio que tiene un precio P, el recargo r y el precio final Pf se calculan de la siguiente forma:

ri

P=100

P P di

Pf = + = +

1

100

interés simple interés compuesto

El capital Cn de que se dispone n períodos tras depositar un capital C0 a un interés simple del i % es:

C C ni

n = −

0 1

100

El capital Cn de que se dispone n períodos tras depositar un capital C0 a un interés compuesto del i % es:

C Ci

n

n

= −

0 1

100

Apéndice

6

Sistema Internacional de Unidades

Unidades de longitud. La unidad de longitud en el Sistema Internacional es el metro (m). A partir del metro, se obtienen otras unidades de longitud multiplicando o dividiendo sucesivamente la unidad por 10.

múltiplosunidad de referencia

submúltiplos

kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm

1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Unidades de superficie. La unidad de superficie en el Sistema Internacional es el metro cuadrado (m2), que corresponde a la superficie de un cuadrado de 1 m de lado. A partir del metro cuadrado, se obtienen otras unidades de superficie multi­plicando o dividiendo sucesivamente por 100.

múltiplosunidad de referencia

submúltiplos

kilómetro cuadrado

hectómetro cuadrado

decámetro cuadrado

metro cuadrado

decímetro cuadrado

centímetro cuadrado

milímetro cuadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1.000.000 10.000 100 1 0,01 0,0001 0,000001

Unidades de volumen. La unidad de volumen es el metro cúbico (m3), que corresponde al volumen de un cubo de 1 m de lado. A partir del metro cúbico, se obtienen otras unidades de volumen multiplicando o dividiendo sucesivamente por 1.000.

múltiplosunidad de referencia

submúltiplos

kilómetro cúbico

hectómetro cúbico

decámetro cúbico

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

1.000.000.000 100.000 1.000 1 0,001 0,00001 0,000000001

Unidades de capacidad. La unidad de capacidad más utilizada es el litro (L). A partir del litro, se obtienen otras unidades de capacidad multiplicando o dividiendo sucesivamente por 10.

múltiplosunidad de referencia

submúltiplos

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kL hL daL L dL cL mL

1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Unidades de masa. La unidad de masa en el Sistema Internacional es el kilogramo (kg), pero la unidad de referencia es el gramo (g). A partir del gramo, se obtienen otras unidades de masa, incluido el kilogramo, multiplicando o dividiendo suce­sivamente por 10.

múltiplosunidad de referencia

submúltiplos

miriagramo kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo

mag kg hg dag g dg cg mg

1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001

7

Las líneas

recta curva semirrecta segmento

rectas secantes rectas paralelas rectas perpendiculares

Los ángulos

Un ángulo es la porción de plano delimitada por dos semirrectas secantes. Distinguimos los siguientes elementos:

Vértice. Es el punto de intersección de las dos semirrectas que forman el ángulo.Lados. Son las líneas que delimitan el ángulo y que tienen un punto en común: el vértice.

La unidad de medida de ángulos más utilizada es el grado sexagesimal.

1 grado sexagesimal (°) 60 minutos (’) 1 minuto (’) 60 segundos (”)1 grado sexagesimal (°) 3.600 segundos (’)

ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso

ángulo nulo ángulo completo ángulo llano

ángulo cóncavo ángulo convexo

ángulo

vértice

lados

Apéndice

8

Ángulos consecutivos. Dos ángulos son consecutivos si tienen un vértice y un lado comunes.

Ángulos opuestos. Dos ángulos son opuestos si tienen el mis-mo vértice y los lados de un ángulo son la prolongación de los lados del otro.

ángulos complementarios ángulos suplementarios ángulos adyacentes

El triángulo

Un triángulo es un polígono formado por tres lados. Los elementos que definen todo triángulo son:Lado. Es cada uno de los segmentos que delimitan el triángulo.Vértice. Es el punto donde se encuentran dos lados.Ángulo. Es el espacio delimitado por dos lados consecutivos.

A B C 180° P a b c A =b · h

2

Triángulo equilátero. Los tres lados y los tres ángulos son iguales.

Triángulo isósceles. Dos lados y dos ángulos son iguales.

Triángulo escaleno. Los tres lados y los tres ángulos son diferentes.

Triángulo acutángulo. Los tres ángulos son agudos.

Triángulo rectángulo. Un ángulo es rec-to y dos son agudos.

Triángulo obtusángulo. Un ángulo es obtuso y dos ángulos son agudos.

A

B

C

a

b

ch

9

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

ab

c

abc

a2

b2

c2

Rectas y puntos notables de un triángulo

Las mediatrices y el circuncentro. La recta perpendicular a un segmento que pasa por el punto medio se llama mediatriz. Las tres mediatrices se cortan en un único punto, que puede ser interior o exterior al triángulo, llamado circuncentro.

Las bisectrices y el incentro. La bisectriz es la recta que divide un arco en dos partes iguales. Las tres bisectrices se cortan en un único punto llamado incentro.

Las medianas y el baricentro. La recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto se llama mediana. Las tres medianas se cruzan en un único punto llamado baricentro.

Las alturas y el ortocentro. La altura es el segmento que va de un vértice al lado opuesto, o a su prolongación, perpendicu-larmente. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un único punto llamado ortocentro.

a2 b2 c2

Apéndice

10

Los cuadriláteros

Paralelogramos No paralelogramos

A c2 A b · h

cuadrado rectángulo

A b · h

romboide rombo

trapecio

trapezoide

Los polígonos

Cualquier figura cerrada delimitada por segmentos, sea cual sea su for­ma, es un polígono. Un polígono tiene siempre tantos ángulos como lados.

Circunferencia y círculo

círculo

circunferencia

La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto llamado centro. La región interior a la circunferencia recibe el nombre de círculo.

Lan°

l

Lna

c=360

·

r n°

A

rnsc =

� 2

360·

Arco Sector circular

Longitud de la circunferencia

L rc = 2�

Área del círculo

A r= � · 2

AB b h

=+

2( ) ·

AD d

2=

·

Ángulos de un polígono Diagonales de un polígono

n

n

− 2 180°( ) ⋅D

n n=

−· 32

( )

Perímetro de un polígono Área de un polígono

P n · C Ap ap

=⋅2

11

r

R

A R rcc = −( )� 2 2

Corona circular Segmento circular

Los cuerpos geométricos

Poliedros regulares

C 4V 4 A 6

C 6 V 8 A 12

C 8 V 6 A 12

Tetraedro Hexaedro o cubo Octaedro

C 12 V 20A 30

C 20V 12A 30

También llamados sólidos platóni-cos, tienen todos los lados iguales.

Dodecaedro Icosaedro

Poliedros irregulares

Prismas

C 5; V 6; A 9 C 6; V 8; A 12 C 6; V 8; A 12

Prisma triangular Prisma rectangular Prisma cuadrangular

C 7; V 10; A 15 C 8; V 12; A 18

V Abase hAtotal Pbase h 2 Abase

Prisma pentagonal Prisma hexagonal

Apéndice

12

Pirámides

C 4 V 4 A 6

C 5 V 5 A 8

C 5 V 5 A 8

Pirámide triangular Pirámide cuadrangular Pirámide rectangular

C 6; V 4; A 10 C 7; V 7; A 12B

b

a

Pirámide pentagonal Pirámide hexagonal Tronco de pirámide

Cuerpos de revolución

Alateral 2� r h Abase � r2

V r h= � 2

Abase � r2

Alateral p g2

=/

/=

22

��

r gr g

Vr h

=� 2

3

Abase 2 2 2� R r+( )Alateral � R r g+( )

Cilindro Cono Tronco de cono

A 4 2� r

V r=43

3�

Esfera Toro Casquete esférico

Abase mayor Abase menor nB b

a· ·+2

Alateral nB b

a· ·+2

P p g+( )

2

13

Magnitudes y variables

Una magnitud es una propiedad o característica que se puede medir y expresar numéricamente. Las magnitudes que pue­den tomar diferentes valores se llaman variables. Dos o más variables pueden estar relacionadas numéricamente.

variable independiente variable dependiente

Es aquella variable que no depende de ninguna otra vari­able que podamos analizar, y que determina el valor que toma otra variable.

Es aquella variable que depende de las variables indepen­dientes. Generalmente coincide con las variables que se observan en un estudio o experimento.

Ejes de coordenadas

Denominamos ejes de coordenadas o ejes cartesianos al sistema gráfico de representación de variables formado por un par de rectas (lla­madas ejes) que se cruzan perpendicularmente. • La recta horizontal recibe el nombre de eje de abscisas y corresponde a

la recta numérica que contiene los valores que puede tomar la variable independiente x.

• La recta vertical recibe el nombre de eje de ordenadas y corresponde a la recta numérica que contiene los valores que puede tomar la vari­able dependiente y.

• El punto en el que se cruzan los dos ejes de coordenadas se llama ori-gen de coordenadas y corresponde al punto en que las dos variables toman valor cero.

Funciones

Una función es una relación de dependencia entre dos variables, de forma que a cualquier valor de la variable independi­ente le corresponde un único valor de la variable dependiente.

función lineal función afín

x

y

y = ax

La pendiente (a) indica la inclinación de la recta respecto del eje de abscisas.

x

y

y = ax + bb

La ordenada en el origen (b) indica el punto de corte con el eje de ordenadas.

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica que tiene un único término. En un monomio distinguimos dos elementos: • La parte literal, es decir, las letras (variables e incógnitas).• El coeficiente, es decir, el número que multiplica o divide la parte literal.

coeficiente 5 x3 parte literal

El grado de un monomio depende del exponente de su parte literal. Si solo hay una variable, el grado coincide con el exponente de esta variable; si hay más de una variable, el grado del monomio coincide con la suma de los exponentes de la parte literal. Un monomio que no tiene parte literal recibe el nombre de término independiente, y tiene grado cero.

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7–6–7 8–8

1

2

3

4

5

6

–1

–2

–3

–4

–5

–6

x

y

00

Apéndice

14

Operaciones con monomios

suma y resta multiplicación y división

Para sumar dos monomios semejantes hay que sacar fac-tor común la parte literal.

3ab − ab = (3 – 1)ab = 2ab3x2+ 5x + x − 2x2 = (3 − 2)x2 + (5 + 1)x = x2 + 6x

Para multiplicar o dividir monomios hay que dividir sepa­radamente los coeficientes y las partes literales y aplicar las propiedades de las potencias.

2x4 · 3x3 = 12x7

12a2b5 : 2ab2 = 6ab3

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica con dos o más monomios no semejantes separados por los signos de la suma o la resta.

P(x) = 3x3+ 5 x2 + x − 9El grado de un polinomio coincide con el mayor grado de los monomios que lo componen.• Polinomio completo. Contiene monomios de todos los grados, incluído el de grado cero.• Polinomio incompleto. Faltan monomios de algún grado.

Operaciones con polinomios

suma y resta multiplicación

Para sumar y restar polinomios hay que ordenarlos previa­mente en función del grado de sus términos y situarlos uno bajo el otro, de modo que los términos semejantes estén alineados.Para restar polinomios, aplicamos la definición de la resta de números enteros: «restar es sumar al minuendo el opu­esto del substrayendo».

• Producto de un número y un polinomio. Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

• Producto de un monomio por un polinomio. Se apli­ca la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

• Producto de dos o más polinomios. Se multiplica cada término de un polinomio por todos los términos del otro polinomio. Una vez realizadas todas las multiplicaciones, se suman los términos semejantes.

Igualdades algebraicas

Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas relacionadas por el signo =. Las expresiones algebrai­cas que hay en cada lado de la igualdad reciben el nombre de miembros, y cada miembro puede estar formado por uno o más términos. términos

2x5 + 3x2 + 2x = 7x + 2x - 3

miembros

ecuaciones identidades

Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple para un valor concreto de incógnita, es decir, que tiene so­lución única.

Una identidad es una igualdad que se cumple independi­entemente del valor que pueda tomar la incógnita, es decir, tiene infinitas soluciones.

Resolución de ecuaciones

1. Pasamos todos los términos literales a un miembro de la ecuación y todos los términos numéricos al otro miembro. Cuando los términos cambian de miembro, también cambian de signo.

2. Realizamos las operaciones que corresponda hasta tener un único término literal en un miembro y un único término numérico en el otro miembro.

3. Si el término literal es una incógnita multiplicada por un número, pasamos el coeficiente al otro miembro dividiendo (si la división no es exacta, el resultado se expresa en forma de fracción irreducible). Si el término literal es una incógnita dividida por un número, pasamos este número al otro miembro multiplicando.

Apéndice

15

Resolución de problemas con ecuaciones

1. Leemos el problema con atención.2. Identificamos los datos conocidos, los desconocidos y aquello que se nos pregunta.3. Decidimos a cuál de las variables desconocidas asociamos la incógnita (generalmente se usa la letra x para representar

esta cantidad).4. Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico.5. Resolvemos la ecuación.6. Escribimos la solución explícitamente y nos aseguramos de que se ha respondido a la pregunta inicial.

Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado son aquellas en las que aparece una incógnita elevada al cuadrado. La expresión general de una ecuación de segundo grado es:

ax2 + bx + c = 0Las ecuaciones de segundo grado pueden tener hasta dos soluciones, que se hallan a partir de la fórmula general:

xb b ac

a=

− ± −2 42

Ecuaciones de segundo grado incompletas

ax2 + c = 0 ax2 + bx = 0

Resolvemos la ecuación despejando x2. Después, para en­contrar el valor de x, hay que hallar la raíz cuadrada.

ax c ax c x c a x c a2 2 20+ = → = − → = − → = −/ /

Sacamos x factor común, de modo que tendremos un pro­ducto igualado a cero.

x(ax + b) = 0Para que un producto sea cero uno de los factores debe ser cero. Por tanto, la primera solución se obtiene de imponer que el primer factor es igual a cero (x = 0) y la segunda so­lución se obtiene de imponer que el segundo factor es igual a cero (ax + b = 0).

Discusión de las soluciones de una ecuación de segundo grado

El número de soluciones de una ecuación de segundo grado depende del discriminante:D = b2 - 4ac

• D = b2 - 4ac > 0: la ecuación tiene dos soluciones.• D = b2 - 4ac = 0: la ecuación tiene una única solución.• D = b2 - 4ac < 0: la ecuación no tiene solución.

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones incompletas de grado 4 en las que no hay términos de grado 3 ni de grado 1. Su expresión general es:

ax4 + bx2 + c = 0Realizando el cambio de variable x2 = t se obtiene una ecuación de segundo grado que se puede resolver con la fórmula general:

x2 = t → x4 = t2 → at2 + bt + c = 0

Sistemas de ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas

Un sistema de ecuaciones es un conjunto formado por dos ecuaciones que expresan diversas relaciones entre dos varia­bles x e y, cada una de las cuales tiene el mismo valor en las dos ecuaciones:

ay bx c

a y b x c

+ + =+ + =

0

0' ' '

Apéndice

16

Métodos algebraicos de resolución de sistemas de ecuaciones

método de igualación método de sustitución método de reducción

1. Aislamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.

2. Igualamos las expresiones algebrai­cas obtenidas.

3. Resolvemos la ecuación de una in­cógnita resultante.

4. Hallamos el valor de la segunda incógnita una vez conocido el valor de la primera.

1. Aislamos una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Sustituimos en la segunda ecua­ción esta incógnita por su expre­sión algebraica, obtenida en el pun­to 1.

3. Resolvemos la ecuación de primer grado con una incógnita resultante.

4. Hallamos el valor de la otra incóg­nita sustituyendo el valor hallado en el punto 3 en la ecuación obte­nida en el punto 1.

1. Modificamos las ecuaciones para obtener dos términos opuestos con la misma incógnita.

2. Sumamos las dos ecuaciones tér­mino a término como si se tratase de polinomios.

3. Resolvemos la ecuación de primer grado con una incógnita resultante.

4. Hallamos el valor de la otra incóg­nita sustituyendo en una de las ecuaciones la primera incógnita por el valor hallado en el punto 3.

Método gráfico de resolución de sistemas de ecuaciones

1. Aislamos en las dos ecuaciones la incógnita y, que es la variable dependiente.

2. Construimos una tabla de valores para cada una de las ecuaciones fijando valores de la variable x y hallando los valores correspondi­entes para la variable y.

3. Representamos y unimos los puntos de las dos tablas de valores sobre unos mismos ejes de coordenadas. Obtenemos dos rectas.

4. Identificamos el punto de corte de las dos rectas. Las coordena­das del punto de corte corresponden a los valores de x y de y, respectivamente, que son solución del sistema.

x

y

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7–6–7–8 8

1

234

5

6

–1

–2–3

–4–5–6

00

(x, y)

Discusión de sistemas de ecuaciones

Las soluciones de un sistema de ecuaciones dependen de la relación entre los coeficientes:

ay bx c

a y b x c

+ + =+ + =

0

0' ' '

• El sistema tiene infinitas soluciones si aa

bb

cc' ' '

= = .

• El sistema no tiene solución si aa

bb

cc' ' '

= ≠ .

• El sistema tiene una única solución si aa

bb' '

≠ .

Teorema de Tales

Cuando dos rectas secantes son cortadas por rectas paralelas, todos los segmentos definidos por los puntos de corte son proporcionales a sus segmentos homólogos.

r

s

O

a b c

A BC

A’ B’C’

OA

OA

AB

A B

BC

BC' ' ' '= =

AA

BB

OA

OB

OA

OB

´

'

'

'= =

Apéndice

17

figuras semejantes razón de semejanza

Dos figuras geométricas son semejantes si tienen los ángu­los iguales y los lados proporcionales.

La razón de semejanza es la razón de proporcionalidad entre los segmentos homólogos de dos figuras semejantes. Se representa con la letra k y es adimensional, es decir, no tiene unidad de medida.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos:a2 = b2 + c2

abc

a2

b2

c2

a2 = b2 + c2

Razones trigonométricas

sen� = =cateto opuesto

hipotenusaba

cos� = =cateto contiguo

hipotenusaca

tan� = =cateto opuesto

cateto contiguobc

a

c

b

α

Razones trigonométricas de los ángu­los de 30°, 45° y 60°

30° 60° 45°

sen12

32

22

cos 32

12

22

tan 33

3 1

Relación entre las razones trigonométricas

tancos

��

�=

sensen2 2 1� �+ =cos

cosec ��

=1

sensec

cos�

�=

1cotan�

�=

1tan

Triángulos no equiláteros

teorema del seno

ab

cA B

C

aA

bB

cCsen sen senˆ ˆ ˆ= =

teorema del coseno

a b c ab A2 2 2 2= + − cos ˆ

Apéndice

18

Elementos de los estudios estadísticos

• Individuo: cada uno de los sujetos a los que se refiere el estudio estadístico.• Población: conjunto de individuos que son susceptibles de ser estudiados.• Muestra: parte representativa de la población sobre la que se realiza directamente el estudio estadístico.

Variables estadísticas

Una variable estadística es una magnitud o una característica de la población que es objeto de un estudio estadístico. Las variables estadísticas se clasifican en variables cualitativas y variables cuantitativas, en función de los valores que tomen.

variables cualitativas variables cuantitativas

Son variables no mensurables, es decir, sus valores no son numéricos.

Son variables mensurables, es decir, sus valores son numéri­cos.• Variables cuantitativas discretas. Admiten un número

finito de valores comprendidos entre dos valores próxi­mos.

• Variables cuantitativas continuas. Admiten un número infinito de valores comprendidos entre dos valores próxi­mos.

Frecuencias

Frecuencia absoluta (ni): número de veces que aparece un valor en la lista de datos.Frecuencia relativa (fi): número de veces que aparece un valor con respecto al total de datos.Frecuencia porcentual (pi): número de veces que aparece un valor expresado en tanto por ciento.Frecuencia absoluta acumulada (Ni): suma de las frecuencias relativas de todos los valores iguales o inferiores al valor considerado.Frecuencia relativa acumulada (Fi): suma de las frecuencias relativas de todos los valores iguales o inferiores al valor considerado.Frecuencia porcentual acumulada (Pi): suma de las frecuencias porcentuales de todos los valores iguales o inferiores al valor considerado.

Gráficos estadísticos

diagrama de barras histograma

núm

ero

de e

xplo

taci

ones

Explotaciones ganaderas por especies

0

5

10

15

bovino porcinoovino

20

25

tipo de especie

frec

uenc

ias

Edad de los socios del Club Deportivo Iberia

0

250

500

750

1.000

1.250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

edades

diagrama de sectores diagrama de puntos y diagrama lineal

a favor

en contra

NS/NC

habi

tant

es

Evolución demográfica en un municipio

250

500

750

1.000

1.250

2008 2009 201020072000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

año

bene

ficio

s (€

)

Evolución anual de los beneficios

1.250

1.500

1.750

2.000

2.250

2008 2009 201020072001 2002 2003 2004 2005 2006

año

Apéndice

19

pictograma pirámide de población

Evolución anual del consumo de cereales

200620052001 2002 2003

año

5.500 ha

7.389 ha

9.836 ha

18.400 ha21.645 ha

Pirámide de población española (año 1900)

0 – 45 – 9

10 – 14

0

70 – 74

60 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3925 – 3420 – 2415 – 19

65 – 69

75 – 7980 – 84

+85

2,5% 5%02,5%5%

hombres mujeres

cartograma

Precipitaciones anuales Tránsito aéreo en las principales ciudades europeas

Medidas de centralización

moda media mediana

Es el valor de la variable que aparece con más frecuencia.

Es el cociente entre la suma de todos los datos y el número total de datos.

xa a a

N

x n

Nn i i=

+ + +=

⋅∑1 2 ...

Es el valor que ocupa la posición cen­tral de una distribución de datos una vez ordenada.

Medidas de dispersión

recorrido desviación media variancia desviación típica

Es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo.

R x xmáximo mínimo= −

Es la media de las desviaci­ones de todos las datos re­gistrados respecto la media arit mética.

Dx x

Nmi=−∑

Es el cociente de la suma de los cuadrados de las desvia­ciones multiplicadas por sus frecuencias absolutas y el total de datos del estudio estadístico.

Vx x n

Ni=

−( ) ⋅∑ 1

2

Vx f

Nxi i=

⋅−∑ 2

2

Es la raíz cuadrada de la va­riancia.

� = ± V

Apéndice

20

Distribución normal

(x + , x - ) → 68 % (x + 2, x - 2) → 95 % (x + 3, x - 3) → 99 %

σ 2σ 3σ–2σ −σ–3σ

68%

x

95%

99%

Experimentos aleatorios

Un experimento aleatorio es una experiencia cuyo resultado no se puede conocer previamente.

Espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa con la letra E y los elementos que lo forman se escriben entre llaves.

Cálculo de probabilidades

regla de Laplace probabilidad de sucesos incompatibles

P A( )=casos favorables

casos totalesP A B P A P B∪( )= ( )+ ( )

probabilidad de sucesos compatibles teorema de la probabilidad compuesta

P A B P A P B P A B∪( )= ( )+ ( )− ∩( ) P A B P A B P B∩( )= ( )⋅ ( )teorema de la probabilidad condicionada teorema de la probabilidad total

P A BP A B

P B( )=

∩( )( )

P B P B A P A P B A P A P B A P An n( )= ( )⋅ ( )+ ( )⋅ ( )+… ( )⋅ (1 1 2 2 ))

Apéndice