FORMAS DE ACCIÓN EN EL TRATAMIENTO DE...

FORMAS DE ACCIÓN EN EL TRATAMIENTO DE SITUACIONES MULTIPLICATIVAS: UNA MIRADA DEL ISOMORFISMO DE MEDIDA EN

TÉRMINOS DEL ANÁLISIS RELACIONAL

MONLY CATHERINE TORRES JARAMILLO

DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN AVANZADA

FACULTAD DE EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

MEDELLÍN

2013

i



Trabajo de investigación para optar al título de

Magíster en educación

MONLY CATHERINE TORRES JARAMILLO

ORIENTADOR:

GILBERTO DE JESÚS OBANDO ZAPATA

DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN AVANZADA



MEDELLÍN

2013

ii



TRABAJO DE INVESTIGACIÓN DE MAESTRÍA



Monly Catherine Torres Jaramillo

Orientador: Gilberto de Jesús Obando Zapata

Nota de aceptación

Firma del presidente del jurado

Firma del jurado

Firma del jurado

Medellín

2013

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RESUMENEsta investigación atendió a la pregunta: ¿Qué procesos, instrumentos y objetos de

conocimientos están presentes en el tratamiento que los estudiantes de los grados de tercero y cuarto de primaria hacen en las situaciones de isomorfismo de medida, en términos del análisis relacional tipo función? Para ello, se tomó como referencia, por un lado, la relación de los estudiantes con los objetos de conocimiento dentro de una actividad matemática y con sus compañeros, vista esta relación desde los planteamientos de la Teoría de la Actividad. Por otro lado, desde el tratamiento de las situaciones problemas, donde a partir de las necesidades de los estudiantes se buscó generar la actividad matemática, de tal forma que a partir de sus acciones, emerjan los objetos de conocimiento designados para ser enseñados en la escuela. En este sentido, el objetivo que guío esta investigación fue: Analizar las formas de acción que realizan los estudiantes de los grados de tercero y cuarto de primaria (procesos, instrumentos y objetos de conocimientos) al tratar situaciones de isomorfismo de medida, en términos del análisis relacional tipo función.

Con la finalidad de analizar la importancia en la actividad escolar de la relación que se estableció entre el estudiante y el objeto de conocimiento y el estudiante con sus demás compañeros, se asumieron como referentes teóricos los trabajos realizados por Vygotski (1995; 1995a; 2000); Davidov (1988; 1990), Kozulin (1994, 2000); Radford (2006); entre otros, los cuales presentan unas formas particulares sobre cómo el sujeto constituye el conocimiento mediante la relación sujeto - objeto en la actividad escolar, para este caso, mediante las situaciones problemas y las diferentes actividades que en ellas emergen.

Este estudio se desarrolló en el marco de una metodología cualitativa y centrado en un estudio de caso. Para la producción de registros y datos se realizaron grabaciones de audio y voz, fotografías y registros escritos. A la luz del diálogo entre los registros y datos producidos, la voz de la maestra investigadora y el marco teórico emergieron tres categorías: “De los cuantíficadores no numéricos a los cuantíficadores numéricos’, “El objeto/motivo de la actividad matemática” y “Objetos de conocimiento”.

Este proceso de investigación permitió analizar las formas de acción de los estudiantes al tratar situaciones problemas de tipo multiplicativo, en términos del análisis relacional tipo función, y al mismo tiempo, ver cómo a partir de sus necesidades emerge el conocimiento matemático que ha sido designado para ser enseñado en la escuela, en este caso la multiplicación, mediante un objeto motivo del estudiante y un objeto/motivo de conocimiento científico. En el tratamiento de las situaciones problemas se pudo observar cómo los estudiantes, al resolver problemas que requerían de la multiplicación, relacionaban las cantidades variables, en un primer momento de forma cualitativa, tratando de comprender el significado de dicha relación, para luego comparar las cantidades variables de forma cuantitativa. De igual forma, los estudiantes en la objetivación de la multiplicación hicieron uso de diferentes objetos de conocimiento como la razón, proporcionalidad, coeficiente de proporcionalidad, entre otros. A demás, se hizo uso de instrumentos como tablas para correlacionar las cantidades, elaboración del algoritmo de la multiplicación y algunos conceptos.

Palabras Clave: Situaciones problema, objeto/motivo de conocimiento, actividad, sujeto, objetos de conocimiento, razón, proporcionalidad, coeficiente de proporcionalidad.

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CONTENIDO

TABLA DE ILUSTRACIONES....................................................................................VIII

LISTA DE TABLAS......................................................................................................... IX

1. LA MULTIPLICACIÓN Y LOS CAMINOS POSIBLES.............................................. 10

1.1 Algunas voces sobre la constitución de la multiplicación en la escuela.............................. 17

1.2 La multiplicación: Las pruebas Saber.................................................................................. 21

1.3 Delimitación del problema...................................................................................................28

2. CONCEPCIONES TEÓRICAS........................................................................................29

2.1 El sujeto como ser social y cultural......................................................................................29

2.1.1 Sujeto........................................................................................................................ 30

2.1.2 Objeto ....................................................................................................................... 32

2.1.3 Conciencia humana y proceso de internalización..................................................... 34

2.1.4 La Actividad..............................................................................................................38

2.1.5 Constitución de conceptos.........................................................................................40

2.2 El conocimiento matemático................................................................................................46

2.3 Posicionamiento teórico sobre el concepto de multiplicación............................................. 47

2.3.1 Comprensiones sobre multiplicación........................................................................ 48

2.3.2 Situaciones que requieren de la multiplicación: el caso de las situaciones de isomorfismo de medida ............................................................................................................ 50

3. METODOLOGÍA............................................................................................................. 54

3.1 Las situaciones problemas....................................................................................................56

3.1.1 Obj eto/motivo.......................................................................................................... 57

3.1.2 Red conceptual.......................................................................................................... 60

3.1.3 Instrumentos..............................................................................................................61

3.2 Descripción de las situaciones problemas tratadas en el aula de clase................................ 63

3.2.1 Situación 1: Despedida del año escolar.....................................................................63

3.2.2 Situación 2: Generación de residuos sólidos................................................................70

4. OBJETIVACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN.............................................................. 77

vi

4.1 Descripción y análisis de los episodios................................................................................77

4.2 Categorías emergentes......................................................................................................... 92

4.2.1 De los cuantíficadores no numéricos a los cuantíficadores numéricos.....................92

4.2.2 El objeto/motivo de la actividad matemática.......................................................... 101

4.2.3 Objetos de conocimiento............................................................................................111

5. A MODO DE CONCLUSIONES................................................................................... 118

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................125

7. ANEXOS.........................................................................................................................129

vii

LISTA ILUSTRACIONES

Ilustración 14: Finalidades externas e internas de las situaciones ejecutadas.................................108Ilustración 15: Discusión entre los compañeros en el momento de la elaboración del presupuesto

....................................................................................................................................... 109Ilustración 16: Exposición del prepuesto a los compañeros........................................................... 110Ilustración 17: Diálogos entre compañeros sobre la generación de basuras................................... 110Ilustración 18: Item 9 del taller diagnóstico realizado a los estudiantes.........................................112Ilustración 19: Item 9 del taller diagnóstico realizado a los estudiantes.........................................112Ilustración 20: Item 8 del taller diagnóstico realizado a los estudiantes.........................................113Ilustración 21: Uso de la tabla por parte de los estudiantes en la realización del presupuesto.......114Ilustración 22: Uso de la tabla por parte de una estudiante para resolver un problema de tipo multiplicativo.................................................................................................................................. 114

viii

LISTA DE TABLAS

Tabla 1: Tabla para averiguar los implementos para la fiesta...........................................................69

Tabla 2: Tabla utilizada para hacer nuevo presupuesto por grupos.................................................. 70

Tabla 3: Acciones de los estudiantes en la situación 1 .................................................................. 106

Tabla 4: Acciones de los estudiantes en la situación 2 .................................................................. 107

ix

1. LA MULTIPLICACIÓN Y LOS CAMINOS POSIBLES

El tratamiento que se le ha dado a la multiplicación en la escuela, en la mayoría de los

casos, se ha reducido a su enseñanza como una suma reiterada, al aprendizaje de un

algoritmo y a la memorización de las tablas de multiplicar, (Valencia & Gómez, 2010),

dejando a un lado el significado de la multiplicación en la resolución de situaciones de tipo

multiplicativo y la relación de la multiplicación con otros conceptos matemáticos, como la

razón, la proporción y la proporcionalidad.

Los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998) y los Estándares Básicos de

Competencias (MEN, 2006), plantean que la escuela debe apuntar al aprendizaje de la

multiplicación no sólo desde su definición, sino también desde su aplicación en diferentes

tipos de problemas en relación con el contexto, ya que éste posibilita dar otros sentidos y

significado a la multiplicación. Estos documentos señalan, dentro de los procesos generales

para la comprensión de lo multiplicativo, que es importante el reconocimiento de la

multiplicación y la división en situaciones concretas en relación a los modelos más usuales

y utilizados, además considerar las relaciones que tienen estas operaciones con las demás

operaciones aritméticas.

Los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998) y los Estándares Básicos de

Competencias (MEN, 2006) proponen trabajar la multiplicación y la división en situaciones

problemas, como se nombró anteriormente y, para ello, señalan algunos ejemplos de

problemas más comunes que requieren de dicha operación y los clasifica en seis modelos, a

saber:

Para la multiplicación:

S El tipo de situaciones donde se presenta la multiplicación como un factor

multiplicante, se observa cuando un operador escalar a es aplicado sobre

una cantidad n dada para producir otra que es an.

S En las situaciones de tipo adición repetida se alude a la acumulación

sucesiva de una determinada cantidad; es decir, se trata de situaciones donde

se admite la interpretación clásica de la multiplicación como suma de

sumandos iguales.

S Las situaciones de tipo razón son aquellas en las que dos cantidades dadas

son comparadas a partir de la razón que se establece entre ellas. Implica

encontrar la razón dada dos cantidades, o dada la razón y una cantidad para

encontrar la otra cantidad.

S Las situaciones del tipo producto cartesiano son aquellas en las que dos o

más magnitudes son multiplicadas (o divididas) para producir una tercera

magnitud, o en las que se realiza el conteo combinatorio de dos o más

colecciones dadas.

Para la división:

S El tipo de situación por repartos hace referencia a las situaciones en los que

se quiere hallar la cantidad de elementos de un grupo, dada la cantidad de

grupos.

Formas de acción en el tratamiento de situaciones multiplicativas: una mirada del isomorfismo demedida en términos del análisis relacional

11

S Las situaciones de agrupamiento, aluden a hallar la cantidad de grupos

resultantes dada la cantidad de elementos a repartir de forma equitativa

(MEN, 1998, p. 51).

Se aprecia de lo anterior, en primer lugar, que de acuerdo con la relación que se

establece entre las cantidades de dichos problemas, la multiplicación y la división toman un

significado diferente al de la de suma de sumandos iguales y de las reparticiones. Es decir,

en cada uno de los modelos se puede observar que en las situaciones problemas que

requieren de estas dos operaciones aparece un escalar, como es el caso del factor

multiplicante o una razón como los modelos de razón, repartos y agrupamientos. Además

es posible evidenciar, incluso, que en el modelo de suma de sumandos iguales existe una

correlación de cantidades, al igual que los demás modelos.

En segundo lugar, se plantea que al solucionar este tipo de problemas multiplicativos

es importante conocer el contexto en los que están enmarcados dichos problemas, como lo

señala el MEN (1998, p.36) “el contexto del problema no sólo da pistas para las

operaciones apropiadas sino para los números que se usan en estas operaciones y si una

solución exacta o aproximada es apropiada”; además el contexto contribuye a la

comprensión del problema de acuerdo con los conocimientos que tienen los estudiantes

sobre los datos que allí se presentan y de los elementos que están involucrados.

A partir de los propuestos especificados es MEN (1998; 2006), el aprendizaje de las

estructuras multiplicativas1, está unido a conceptos tales como número, proporcionalidad,

covarianza, razón (ver Ilustración 1: Estructura conceptual sobre la multiplicación, basada en los

1 Parafraseando a Vergnaud (1990), las estructuras multiplicativas son todas aquellas situaciones que requieren de la multiplicación, la división o la combinación de ambas.


12


Lincamientos Curriculares MEN, 1998.), además, hacer referencia a la multiplicación implica

hablar de diferentes conceptos que serán trabajados en el transcurso de la escolaridad y de

diferentes situaciones y procesos de tipo multiplicativo que serán abordados por los

Ilustración 1: Estructura conceptual sobre la multiplicación, basada en los Lineamientos Curriculares MEN,1998.

En relación con la multiplicación, no sólo los Lineamientos y los Estándares

proponen caminos metodológicos para la enseñanza y el aprendizaje de este concepto. En el

campo de la Educación Matemática se han desarrollado diferentes investigaciones como

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Kamii (1995); Clark & Kamii (1996); Baroody (1995); Nunes, Bryant, Burman, Bell,

Evans, Hallett (2009); Maza (1991); Greer (1992); Verschaffel & De Corte (1996).

Estudios como los de Kamii (1995); Clark & Kamii (1996); Greer (1992); Baroody

(1995); Nunes, et al (2009), basados en los trabajos de Piaget, muestran que lo

multiplicativo tiene un nivel más alto de abstracción que la adición, ya que, a diferencia de

la suma, en donde adicionar se puede entender como la unión de varias colecciones de

elementos, la multiplicación debe entenderse como la coordinación de correspondencias

múltiples, por lo cual es “una operación más compleja que se construye con un nivel mayor

de abstracción” (Clark & Kamii, 1996, p. 42) . Nunes, et al (2009) en relación con lo

anterior, se reconoce que el razonamiento aditivo es utilizado para aquellos problemas

donde las cantidades son de la misma naturaleza, estás pueden ser unidades comparadas o

separadas. Respecto al razonamiento multiplicativo es importante aclarar que éste es

utilizado en problemas en los que se presentan dos variables, donde sus cantidades están

correlacionadas.

Para estos autores, los mencionados en el párrafo anterior, la multiplicación es una

relación entre las unidades y grupos de igual cantidad, estableciendo una correspondencia

de uno y varios, o incluso de varios a varios. Así, al multiplicar hay una correlación entre

una colección de conjuntos con igual cantidad de elementos, con otra colección de

conjuntos con igual números de elementos, de tal forma que a cada conjunto de una de las

colecciones, le corresponde uno y sólo un conjunto de la otra colección, estableciéndose a

través de estas correspondencias una relación de proporcionalidad entre las cantidades

representadas en dichas colecciones de conjuntos.

2 Texto original de Clark & Kamii, (1996) está en inglés, está es una traducción de la disertación.


14


La correlación que se establece entre colecciones (cantidades discretas) también se

cumple para las cantidades continuas. Estas últimas no son abordadas en las temáticas

escolares de la escuela primaria, así, pareciera que la multiplicación fue reducida sólo a las

correlaciones entre cantidades discretas. Sin embargo, Vergnaud (1991), para hablar de

dicha correlación no hace referencia a colecciones sino a espacios de medidas, para incluir

tanto las cantidades discretas como las continuas, como se debería trabajar en la escuela.

De este modo, la correspondencia que se establece entre las cantidades de un

problema que requiera de la multiplicación debe ser de dos sistemas de cantidades

correlacionadas uno a uno. Si un estudiante desarrolla correctamente esta abstracción en la

solución del problema es capaz de pensar multiplicativamente; es decir, al solucionar un

problema de tipo multiplicativo los estudiantes son capaces de establecer relaciones entre

las cantidades de los dos espacios de medida dados.

Nunes et al. (2009) plantean que dos funciones principales se le atribuye al

razonamiento multiplicativo. Una primera función es que un razonamiento multiplicativo

trae implícito la comprensión del valor posicional, pues el estudiante para entender el valor

de las decenas hace una correspondencia de una decena por cada diez unidades y de igual

forma por cada diez decenas se forma una centena. La segunda función que trae consigo el

razonamiento multiplicativo está dada por la comprensión de otros conceptos matemáticos

como la proporcionalidad y la función lineal.

Otro de los aspectos fundamentales para el razonamiento multiplicativo es que los

problemas involucran dos variables que se relacionan, a diferencia de los problemas de

suma que involucran una sola variable (que se acumula sucesivamente). Así, un problema

15


de tipo multiplicativo presenta como mínimo cuatro cantidades y dos espacios de medida

donde dos cantidades son de un espacio de medida y las otras dos del otro, y estás guardan

una correspondencia de acuerdo a las cantidades en cada espacio de medida y establecen

razones que son equivalentes y por ende proporcionales.

Maza (1991), Greer (1992), Verschaffel & De Corte (1996) consideran importante los

tipos de problemas multiplicativos que se pueden presentar, muy parecidos a los modelos

multiplicativos trabajados en los Lineamientos y Estándares, estos son: sumas reiteradas,

producto cartesiano (conteo combinatorio), multiplicación por comparación (razón) y

patrón rectangular (multiplicación de variables y unidades de medida como es el caso del

área).

Otro aspecto importante en la comprensión de lo multiplicativo tiene que ver con el

aprendizaje de los algoritmos necesarios para efectuar una multiplicación en una situación

dada. Para dicha solución, Kamii (1995) hace alusión a la importancia de trabajar con los

estudiantes la construcción de los algoritmos de la multiplicación como se ha realizado a

través de la historia; es decir,

Los algoritmos de hoy son el resultado de siglos de construcción por parte de matemáticos adultos (...)• Los niños de hoy utilizan los mismos tipos de procedimientos que inventaron nuestros antepasados, necesitan pasar por un proceso similar de construcción para llegar a ser capaces de comprender los algoritmos de los adultos (1995, p. 47).

Kamii habla de la construcción de algoritmos en la solución de un problema para

hacer alusión a que los estudiantes mediante la interpretación del problema y las relaciones

que establecen entre cantidades, pueden buscar diferentes métodos para dar una respuesta a

una multiplicación. Si el profesor sólo nombra un algoritmo (generalmente el canónico) al

16

estudiante para resolver una multiplicación, éste se ve obligado a seguir dicho esquema y a

no pensar en otra alternativas que hagan posible una solución.

De esta forma, para que los estudiantes comprendan, no sólo la elaboración de los

algoritmos de la multiplicación, sino también la constitución de la multiplicación desde la

aplicación de problemas y la relación de ésta con otros conceptos matemáticos, recurrir a la

historia ayuda a mostrar el surgimiento del concepto y los significados que se le han dado

socialmente para su aplicación en el contexto pues,

La matemática es un diálogo entre la gente que aborda problemas matemáticos. Los matemáticos son falibles y sus productos, incluyendo los conceptos y las pruebas, nunca pueden ser considerados acabados o perfectos, pero pueden requerir la renegociación tanto en los niveles de cambio de rigor, así como los nuevos retos o significaciones que surjan. Como una actividad humana, la matemática no puede ser mirada en forma aislada de su historia y de sus aplicaciones en las ciencias y en otros campos. (Ernest, 1991, p. 30)

Se puede decir que la multiplicación, al menos desde la perspectiva de los procesos

escolares relativos a su enseñanza o su aprendizaje, es más que una operación binaria o un

algoritmo, es decir, es una construcción elaborada por la humanidad a través de siglos de

síntesis y reelaboraciones conceptuales cristalizados en los procedimientos para la solución

de problemas de tipo multiplicativo. Los problemas deben ser recreados por los estudiantes

para que puedan comprender su constitución, esta perspectiva debe hacer evidente en el

aula de clase para que los estudiantes puedan comprender la importancia que este concepto

revierte en las matemáticas.

1.1 Algunas voces sobre la constitución de la multiplicación en la escuela

Otros trabajos que se tomarán como punto de partida para esta investigación son:

“Conceptualización del pensamiento multiplicativo en niños de segundo y tercero de


17

Educación Básica a partir del estudio de la variación ” (Botero, 2006), y, “Trayectoria

didáctica orientada al aprendizaje de conceptos relativos a la multiplicación a través de

situaciones de covariación lineal con niños de tercero de primaria” (Valencia & Gómez,

2010).

Del trabajo de investigación de Valencia & Gómez (2010) es importante destacar las

estrategias que los estudiantes desarrollaron y los conceptos que constituyeron al

comprender las relaciones que se establecen entre las cantidades dadas en una situación

multiplicativa. Las estrategias fueron:

S Conteo iterado: en un problema de tipo multiplicativo los estudiantes recurren

al conteo de cada una de las colecciones pedidas, es decir, el estudiante

representa gráficamente cada grupo dado en colecciones contando luego todos

los elementos de las colecciones para conocer la cantidad pedida.

S Conteo iterado mediante los dobles: esta técnica es utilizada en los

estudiantes en la completación de tablas de las cantidades de diferentes

variables, allí se establecen una relación entre las cantidades como es el caso

del doble, el doble del doble, entre otras relaciones. Según este trabajo de

investigación, se observa que estas relaciones se dan para multiplicar por 2, 4

y 8. Así, para hallar las cantidades faltantes de la tabla, buscan cuál es el

número que se multiplica para encontrar el número siguiente en la relación.

S Suma iterada: el estudiante encuentra el sumando que se está repitiendo y lo

suma la cantidad de veces como el problema lo pide o según la tabla que se

deba llenar, teniendo en cuenta las variables y sus cantidades.


18

S Composición aditiva: para esta estrategia el estudiante encuentra una

correlación entre la suma de dos cantidades de una variable y la suma de las

cantidades correspondientes de la otra variable, en las que la relación de cada

cantidad correspondiente y su suma presentan un coeficiente de

proporcionalidad.

S Composiciones multiplicativas: en esta estrategia para solucionar un problema

que requiera de la multiplicación, el estudiante encuentra una relación escalar

entre las cantidades de igual variable y al mismo tiempo relaciona las

cantidades correspondiente a la otra variable.

En estas estrategias se puede percibir que la multiplicación pasa de ser una suma

reiterada a la relación entre dos cantidades variables, es decir, se establece una

correspondencia biunívoca entre cantidades, lo que posibilita relaciones de

oproporcionalidad y covarianza a través de conteos múltiples .

En la investigación elaborada por Botero (2006), el trabajo se centra en el proceso de

transición de los estudiantes del pensamiento aditivo al pensamiento multiplicativo a partir

del abordaje de situaciones multiplicativas donde el estudiante podría interpretar las

variaciones conjuntas de dos o más espacios de medida. En el proceso de transición entre

dichos pensamientos los estudiantes utilizaron diferentes estrategias desarrolladas en cuatro

etapas:

S En la primera etapa los estudiantes no establecían apropiadamente las

correlaciones entre las cantidades del problema de tipo multiplicativo.

3 En las investigaciones de Valencia & Gómez (2010) y Botero (2006), se plantea que el conteo múltiple es la correspondencia entre un conjunto de elementos de igual cantidad con otro conjunto de elementos de igual cantidad.


19

S En la segunda etapa la estrategia utilizada por los estudiantes fue la

correspondencia de las cantidades variables pero de forma aditiva y a través

de representaciones gráficas.

S En la tercera etapa la estrategia de los estudiantes fue establecer las relaciones

que se presentan entre las cantidades variables en un problema de tipo

multiplicativo, reconociendo en dicha correlación los cambios de equivalencia

que se producen entre las cantidades de igual espacio de medida.

S Para esta última etapa, los estudiantes además de reconocer las relaciones de

equivalencia entre las cantidades de igual espacio de medidas, también

establecen la equivalencia que se da entre las cantidades de diferentes

espacios de medida a partir de un problema dado que requiera de la

multiplicación.

De lo anterior se observa que a partir del tratamiento de problemas que requerían de

la multiplicación, los estudiantes podían identificar dos espacios de medidas que traen

consigo unas cantidades que están correlacionadas. Estas cantidades pueden ser

relacionadas de dos formas, por un lado hay un operador escalar al relacionar cantidades

del mismo espacio de medida y, por otro lado, al encontrar un operador función al

relacionar cantidades de espacios de medida diferentes.

Debido al tipo de situaciones propuestas, y al énfasis en los conteos múltiples, las

investigaciones de Botero (2006) y Valencia & Gómez (2010) plantean la importancia de la

comprensión de los procesos que los niños de los primeros grados de la Educación Primaria

emplean cuando se enfrentan al aprendizaje de la multiplicación desde una perspectiva de

isomorfismo de medidas, pero restringidos a lo que se ha dado en llamar los análisis


20


relacionales escalares (Vergnaud 1990; 1991; 1997; 2009). Por lo tanto, se deja abierto el

estudio relativo al tipo situaciones, procesos, formas representacionales y conceptos que se

pueden presentar al establecer relaciones entre los espacios de medida de un problema de

tipo multiplicativo centrado en el coeficiente de proporcionalidad.

Así, se plantea la necesidad de analizar de manera detallada cómo en un problema de

isomorfismo de medidas los estudiantes establecen relaciones entre valores que pertenecen

a variables diferentes. Al igual que analizar qué tipo de procesos, representaciones, formas

de acción, son necesarias para abordar este tipo de situaciones y, sobre todo, qué

elaboraciones conceptuales realizan los estudiantes al enfrentar los procesos de estudio que

les proponen en la escuela, cuando se busca un aprendizaje de la multiplicación en relación

con los análisis relacionales centrados en la constante de proporcionalidad.

1.2 La multiplicación: Pruebas Saber

Desde una mirada de la Institución Educativa en la que labora la investigadora, en las

últimas pruebas censales estatales, pruebas Saber 2009, los estudiantes del grado quinto

tuvieron un desempeño del 38% insuficiente, 40% mínimo, 19% satisfactorio y 3%

avanzado. Como se puede observar el nivel de desempeño alcanzado es bajo, es decir, la

mayoría de los estudiantes obtuvieron un puntaje entre 265 a 330 puntos de 500 posible.

Sabiendo que las pruebas Saber indagan sobre de las habilidades que tienen los estudiantes

acerca de la solución de problemas que requiera de las operaciones básicas enseñadas en los

21

primeros años de escolaridad, estos resultados son un indicador que se debe mejorar en la

resolución de problemas4.

Algunas de las preguntas5 propuestas en estas pruebas implicaban el uso del

razonamiento multiplicativo, estas son:

RESPONDE LAS PREGUNTAS 10 Y11 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE

INFORMACIÓN

Una papelería ofrece la siguiente promoción:


10. Con $8.000, ¿cuántos cuadernos de la promoción se puede comprar sin que sobre dinero?

A. 4

B. 8

C. 12

D. 16

4 Para solucionar un problema de tipo multiplicativo es necesario una apropiación del concepto de multiplicación para establecer las relaciones que hay entre las cantidades.5 Estas preguntas son tomadas Ministerio de Educación & ICFES (2009). ICFES Saber 5° y 9°. Aplicación 2009. Matemáticas2. Grado 5°. Las preguntas 10 y 11 corresponden a las pp. 6-7 del cuadernillo; las preguntas 21 y 22 a la p. 12 y las preguntas 28 y 29 a las pp. 15-16.

22


11. ¿En cuál de las siguientes tablas se muestra el precio correcto de 2, 4, 6 y 8 cuadernos iguales de 50 hojas?

A. B.

Número de cuadernos Precio ($)

2 1.000

4 2.000

6 4.000

8 S.000

Número de cuadernos Precio ($]

2 500

4 1.000

6 1.500

a 2.000

C. D,


2 500

4 1.000

S 2.000

s 3.000


2 1.000

4 2.000

6 3.000

8 4.000

RESPONDE LAS PREGUNTAS 21 Y 22 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN

Claudia compró varios metros de cinta, unos de color amarillo y otros de color azul.

21. Con 15 metros de cinta amarilla, Claudia puede hacer 5 adornos del mismo tamaño,iguales, sin que sobre cinta. ¿Cuántos adornos del mismo tamaño de los amarillos puede hacer con 30 metros de cinta azul sin que sobre cinta?

A. 3

B. 5

C. 10

D. 15

22. Claudia tomó 12 metros de cinta amarilla y 20 metros de cinta azul y los cortó deforma que resultaran pedazos del mismo tamaño, no sobrara cinta y fueran de la mayor longitud posible. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo?

A. 3 metros.

B. 4 metros.

C. 5 metros.

D. 6 metros.

RESPONDE LAS PREGUNTAS 28 Y 29 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN

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Las boletas de entrada a un zoológico tienen un precio fijo para niños y un precio fijo para adultos. Observa el aviso que hay en la entrada del zoológico.

28. Según la información del aviso, ¿cuánto pagan 4 adultos y 6 niños por entrar en elzoológico?

A. $35.000

B. $38.000

C. $40.000

D. $70.000

29. El precio de la boleta de un adulto es el doble del precio de la boleta de un niño. ¿Cuáles el precio de la boleta de un niño?

A. $5.000

B. $7.000

C. $20.000

D. $25.000

En estas preguntas el estudiante necesita del razonamiento multiplicativo para su

comprensión y de esta forma dar solución a lo planteado.

En el caso de las preguntas 10 y 11, los estudiantes deben establecer una

correspondencia entre conjuntos de varios a varios, es decir hay una correspondencia de 2

cuadernos por cada $1000, por lo tanto, a cada colección de 2 le corresponde otra colección

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de 1000. De igual forma en la pregunta 21, los estudiantes deben establecer que por cada 15

metros hay 5 adornos, por otra colección de 15 metros son 5 adornos más, por tanto con 30

metros se harían 10 adornos.

Cada uno de los problemas planteados hace referencia a dos espacios de medida, para

las preguntas 10 y 11 se está hablando de la cantidad de cuadernos y el precio de los

cuadernos; en el caso de la pregunta 21 están la cantidad de metros y la cantidad de

adornos.

En las preguntas 28 y 29, los estudiantes pueden encontrar tres espacios de medidas

(cantidad de adultos, cantidad de niños y valor de las boletas), para estos problemas los

niños deben saber que la relación que se establece entre las cantidades del mismo espacio

de medida debe ser igual en cada una de las cantidades correspondientes en los otros

espacios de medidas, por tanto, si hay el doble de adultos, debe corresponder al doble de

niños y por tanto al doble del valor de la boleta.

Además de revisar el tipo de preguntas propuestas en este tipo de pruebas en la

Institución Educativa donde se adelantó la investigación, para identificar las dificultades y

errores que allí se reportan cuando los estudiantes resuelven problemas, también se elaboró

un taller (ver anexo) para el grado tercero del cual se pudo interpretar que los estudiantes

resuelven problemas que requieren de la multiplicación en forma de sumas reiteradas, como

se observa en las siguientes ilustraciones (2 y 3):

25


Ilustración 2: Item 9 de la actividad diagnóstica aplicada a los estudiantes


En el desarrollo del punto 8, donde los estudiantes debían establecer una relación

entre las cantidades de colores y las cajas de colores (situación de agrupamiento),

elaboraron una suma de 8 en 8 hasta llegar a la cantidad pedida, incluso no dan la solución

(ver ilustración 4).

26



Esta única aproximación a las situaciones multiplicativas contrasta con las propuestas

presentadas para el grado tercero, no sólo por el Ministerio de Educación, sino por

diferentes estudios, como por ejemplo Vergnaud (1990, 1991, 1997, 2009); Maza (1991),

Greer (1992); Verschaffel & De Corte (1996); Kammi (1995), donde se menciona que la

multiplicación no se debe limitar a un sólo modelo (forma de realizar las operaciones), en

este caso como sumas repetidas, sino más bien, ver la multiplicación en una variedad de

modelos y contextos, por ejemplo como razón, factor mutiplicante y producto cartesiano,

entre otras.

En la prueba diagnóstica (ver anexo), se puede observar que los problemas de tipo

multiplicativa también hacen alusión a trabajar la multiplicación como razón y factor

multiplicante, como es el caso de los Items 11, 12, 13, en el cual ninguno de los estudiantes

respondieron a la pregunta, en su mayoría no resolvieron dichos problemas.

27

1.3 Delimitación del problema


Atendiendo a los estudios y miradas hasta aquí planteadas sobre la multiplicación, el

pensamiento multiplicativo y las estructuras multiplicativas el interés de esta investigación

se moviliza por la conceptualización de cada uno de estos aspectos, que contribuyen a mirar

los procesos, conceptos e instrumentos que están presentes en la constitución del concepto

de multiplicación, de este modo la pregunta que orientó esta investigación es:

¿Qué procesos, instrumentos y objetos de conocimientos están presentes en el

tratamiento que los estudiantes de los grados de tercero y cuarto de primaria hacen en

las situaciones de isomorfismo de medida, en términos del análisis relacional tipo

función?

Acorde con la pregunta de investigación el objetivo es:

Analizar las formas de acción que realizan los estudiantes de los grados de tercero

y cuarto de primaria (procesos, instrumentos y objetos de conocimientos) al tratar

situaciones de isomorfismo de medida, en términos del análisis relacional tipo función

28

2. CONCEPCIONES TEÓRICAS

En este capítulo se presenta la actividad del hombre en relación con el objeto, el

sujeto, la conciencia, la internalización y la actividad. Estos aspectos permitirán observar

cómo el hombre construye, valida y legitima los conceptos tanto cotidianos (como producto

de las prácticas sociales) como científicos (que son desarrolladas en la escuela). A partir de

dichos supuestos se profundizará en la idea sobre el conocimiento matemático,

particularmente por el conocimiento de la multiplicación.

2.1 El sujeto como ser social y cultural

La idea central de los trabajos de Vygotski (1995 a) y sus colaboradores, como Luria,

Leontiev y otros, muestra que la formación de la psiquis humana y la conciencia del sujeto

son una construcción social, donde la actividad del hombre posibilita el análisis sobre la

formación de la psiquis, especialmente en la relación del sujeto con el objeto. En esta

relación es donde el sujeto constituye su subjetividad a partir de las objetivaciones

realizadas en su actividad, de esta forma construye su conocimiento mediante el

conocimiento ya legitimado por la humanidad (Montealegre, 2005).

En relación con la formación de la psiquis humana es importante hablar de los

siguientes aspectos: Sujeto, objeto, conciencia humana y proceso de internalización,

actividad y constitución de conceptos.


29

2.1.1 Sujeto

El sujeto como ser biológico tiene unas etapas de desarrollo descritas por varias

vertientes psicológicas donde, según la edad el sujeto desarrolla ciertas habilidades como la

memoria, la atención, la asimilación de conceptos; habilidades necesarias para

desenvolverse en el mundo que lo rodea. No sólo el sujeto se desarrolla biológicamente,

sino que constituye su conciencia en sus prácticas sociales para comprender el mundo

exterior.

Desde la vertiente socio-cultural el desarrollo humano, además de tener presente el

aspecto biológico y social de las personas, explica las implicaciones que tienen el desarrollo

biológico y el desarrollo cultural en la constitución de la conciencia del sujeto en la relación

sujeto - medio, sujeto - objeto y sujeto - sujeto.

De esta forma, para hacer referencia al sujeto se debe hablar de un sujeto integral, es

decir, ver el sujeto desde su perspectiva biológica, psicológica, social e histórica, ya que

además de cambiar físicamente y de ir desarrollando ciertas capacidades a medida que

crece, la conciencia del sujeto también se va constituyendo en la medida que se relaciona

con su entorno en las prácticas sociales, prácticas sociales culturalmente constituidas, que

se van transformado, de acuerdo a las necesidades de cada cultura.

El sujeto como ser biológico, social e histórico va constituyendo sus conceptos y su

conciencia en la medida que emerge una necesidad en sus prácticas, necesidad que le

permite una relación con diferentes objetos, objetos que son socialmente constituidos por

las necesidades de los mismos sujetos sociales y que se vuelven consientes en los sujetos

individuales.


30


Identificando el sujeto como aquel ser que constituye sus significados a partir de las

representaciones colectivas, se debe pensar en éste como ser colectivo y como ser

individual. Así, hablar de un ser colectivo hace referencia a todas aquellas concepciones

que se han formado a través de las prácticas sociales de acuerdo con las necesidades

colectivas. Como ser individual, se hace referencia al sujeto que constituye sus conceptos y

su conciencia, construye su entendimiento del mundo a partir de las prácticas sociales, pero

estas constituciones y construcciones las elabora en función de sus propias necesidades

(Kozulin, 1994).

Esta conciencia del mundo exterior por parte del sujeto emerge de su actividad (Roth

& Radford, 2011), de este modo la experiencia humana parte de los sucesos reales, desde

sus prácticas sociales y luego son esquematizadas cognitivamente, es decir,

La experiencia humana siempre está presente en dos planos distintos: el plano de los sucesos reales y el plano de sus esquematizaciones cognitivas internas [...] el lenguaje y otros recursos simbólicos desempeñan una función fundamental en la creación de esta «dualidad» de la experiencia humana (Kozulin, 2000, p.25).

Estas esquematizaciones cognitivas internas, que son constituidas por el sujeto, se

forman por lo que Vygotski llama funciones psicológicas superiores que “surgen como

resultado de la reestructuración de las funciones psicológicas naturales en un contexto

cultural”6 (Kaptelinin, & Nardi, 2006, p. 41), de esta forma,

El concepto de «desarrollo de las funciones psicológicas superiores»... abarcan dos grupos de fenómenos que, a primera vista, parecen totalmente distintos, pero que en realidad constituyen dos ramas fundamentales o dos cauces en el desarrollo de las formas superiores de la conducta... En primer lugar, están los procesos de asimilación de los instrumentos externos del desarrollo cultural y el pensamiento: el lenguaje, la escritura, el número, el dibujo; en segundo lugar, los procesos de desarrollo de funciones psicológicas superiores específicas, aún no definidas ni identificadas de forma precisa y que en la psicología tradicional se denominan atención voluntaria, memoria lógica, formación de conceptos, etc. Unos y otros, juntos, forman lo que hemos dado en llamar proceso de desarrollo de las formas superiores de conducta en el niño (Kozulin, 1994, p. 114).

6 Texto original de Kaptelinin & Nardi (2006) está en inglés, está es una traducción de la disertación.

31

Las funciones psicológicas naturales están fundamentadas por las peculiaridades

biológicas de la psiques, por tanto, se nombra como el inicio o partida de todo proceso de

desarrollo del sujeto; mientras que las funciones psicológica superiores constituye el

cambio de los procesos iniciales en otras estructuras que son generadas en el proceso del

desarrollo cultural, en este sentido Vygostki propone que

En la historia del desarrollo cultural del niño encontramos dos veces el concepto de estructura. En primer lugar, surge ya desde el comienzo de la historia del desarrollo cultural del niño, constituyendo el punto inicial o de partida de todo proceso; y el segundo lugar, el propio proceso del desarrollo cultural del niño ha de comprenderse como un cambio en la fundamentación estructuran inicial y la aparición en su base de nuevas estructuras que se caracterizan por una nueva correlación de las partes. Llamaremos primitivas a las primeras estructuras; se trata de un todo psicológico natural, determinado fundamentalmente por las peculiaridades bilógicas de la psique. Las segundas estructuras que nacen durante el proceso de desarrollo cultural, las calificaremos como superiores, en cuanto representan una forma de conducta más compleja y superior (1995a, p. 121).

2.1.2 Objeto

Los objetos existen en tanto son pensados y legitimados por los sujetos en interacción

dentro de la sociedad y a la luz de las prácticas sociales de la misma, así a partir de estas

legitimaciones sociales el sujeto construye las características y los usos de los objetos y

constituye su conciencia.

De este modo, el objeto tiene una connotación tanto cultural como subjetiva. Al

hablar de una connotación cultural se hace referencia a las características, enunciados y

formas de uso en las prácticas sociales, en tanto son construcciones a partir de

legitimaciones sociales, en función de las necesidades y finalidades como sociedad.

El objeto tiene una connotación subjetiva en la medida que el sujeto, a través de la

actividad, internaliza sus características, sus enunciados y formas de uso, toma conciencia

de su existencia al nombrarlo y usarlo según sus necesidades. De esta forma, el sujeto le da


32

un sentido y significado a los objetos a partir de las connotaciones socialmente constituidas.

Es en este proceso donde el sujeto le da sentido y significado a los objetos, los internaliza y

los hace consciente, es lo que Radford (2006), Roth & Radford (2011) llama Objetivación.

Para hacer referencia a la objetivación, Radford (2006, p. 107) señala que “el

pensamiento es considerado una reflexión mediatizada del mundo de acuerdo con las

formas y modos de la actividad de los individuos”, esta reflexión tiene un movimiento

dialéctico entre un mundo externo que está constituido por unas prácticas históricas y

culturales y un sujeto que refracta dichas prácticas de acuerdo con su subjetividad, dándole

un sentido y significado propio.

De esa forma, y según Radford (2006), Roth & Radford (2011), la objetivación es el

proceso que hace el sujeto para dotar de sentido y significado a los objetos conceptuales

que están en su cultura, es decir, el sujeto se pregunta de forma consiente por el qué y por el

cómo, en otras palabras, el sujeto reflexiona sobre las características y enunciados que

aluden al objeto, pero al mismo tiempo reflexiona por su uso, pues de esta forma el objeto

presenta conceptos que lo nombran y se convierte en un mediador para otras actividades del

sujeto.

En el curso de la actividad, el sujeto idealiza, interioriza, nombra, objetiva el objeto,

haciéndolo instrumento en otras experiencias, pues,

[...] la actividad del sujeto ya no es dirigida por el objeto mismo, sino por su imagen, surgida en la situación de búsqueda, en el proceso por el cual la actividad del hombre se asemeja a las propiedades del objeto. Aquí no se debe examinar la generación de la imagen como un proceso unilateral de acción del objeto sobre el sujeto, sino como un proceso bilateral. La imagen constituye, en esencia, el resultado de algo así como la “prueba” del objeto mismo (Davidov, 1988, p. 28).


33


De este modo, si un sujeto nombra el objeto y hace uso de él, se puede decir que el

sujeto ha objetivado, es decir, si un sujeto mediante el uso del lenguaje y símbolos explica

el objeto otorgándole propiedades y características y al mismo tiempo hace uso de él como

mediador en otras actividades ello significa que el objeto fue objetivado. Así, la

objetivación es un proceso permanente del sujeto, pues en la interacción del sujeto con el

mundo y con otros sujetos (en la actividad), éste constituye y transforma sus significados y

sentidos, dándole nuevas formas a los objetos.

2.1.3 Conciencia humana y proceso de internalización

Hablar del proceso de internalización que realiza el sujeto y de la conciencia humana

implica hacer referencia al hombre como ser social, pues en la relación del hombre con la

naturaleza y con los otros sujetos—en las actividades sociales—, es que el hombre

internaliza los objetos, el conocimiento constituido por la sociedad, de acuerdo con sus

acciones, lo cual construye sus subjetividades y su conciencia.

Por conciencia humana y por internalización, dentro de los aportes de la teoría

sociocultural plasmada por Vygostki (1995a) y sus colaboradores, se entiende:

S La conciencia humana está adherida al concepto mismo de actividad, pues

es en la actividad del hombre que el sujeto se crea una imagen subjetiva del mundo en

que vive, (Montealegre, 2005). Esta imagen que forma el sujeto es la interiorización

de los objetos en relación con la actividad, y de esta forma constituye su conciencia, a

partir de las prácticas sociales. Davidov, tomando como referente a Marx, nombra la

34

formación de conciencia a partir de la actividad misma del hombre, es decir, la

actividad como desarrollo social,

[. ] la esencia de la actividad del hombre puede ser descubierta en el proceso de análisis del contenido de conceptos interrelacionados como trabajo, organización social, universalidad, libertad, conciencia, planteo de una finalidad, cuyo portador es el sujeto genérico. Toda la actividad espiritual de las personas está determinada por la práctica social y tiene una estructura en principio afín con ella. La actividad es la sustancia de la conciencia humana. (1988, p.27)

Esta conciencia humana es constituida a partir de las características de los objetos, de

su utilidad y de cómo estos objetos son nombrados por otros sujetos en las prácticas

sociales. La conciencia humana no es estática, por el contrario, se transformar en las

prácticas sociales, de acuerdo a las necesidades colectivas, a sus prácticas anteriores y a la

finalidad de las diferentes actividades sociales, en palabras de Bajtín (2009), se rechaza la

concepción de un “yo” individual, pues el “yo” es fundamentalmente social. Cada

individuo se va constituyendo de numerosos “yoes”, a través de sus experiencias en las

prácticas sociales, es decir, de esas “voces” habladas por otros.

Al hablar de la conciencia es necesario hacer referencia de su doble dimensión, estas

son la constitución colectiva y la dimensión individual. La primera, hace referencia a la

imagen del mundo exterior que se tiene a partir de una comunidad, la forma de cómo dicha

comunidad entiende su alrededor, cómo lo nombra y la importancia de esta concepción de

mundo en sus prácticas diarias. La segunda dimensión, hace referencia a la imagen

subjetiva construida a partir del mundo exterior, en donde el sujeto a partir de la actividad,

elabora significados y sentidos para sus conceptos, sus conocimientos, sus objetos, todo en

relación con los otros yo participes de las prácticas sociales en las cuales está inmerso el

individuo. En palabras de Davidov:


35


[. ] la conciencia es la reproducción por el individuo de la imagen ideal de su actividad, tendiente a una finalidad y de la representación ideal en ella de las posiciones de las otras personas. La actividad consciente del hombre está mediatizada por el colectivo; durante su realización el hombre toma en cuenta las posiciones de los otros miembros del colectivo. (1988, p.45)

A partir de las necesidades, finalidades y acciones colectivas, es que el individuo

constituye su conciencia en tanto puede “...examinar a solas consigo mismo sus

fundamentos, cambiar los proyectos de sus acciones, controlar sus intenciones, deseos y

sentimientos, formular expresiones verbales que corresponden a la situación concreta”

(Davidov, 1988, p. 45).

La conciencia individual se encuentra en el plano interno de la persona, que es

llevada al plano exterior (a la realidad del sujeto) por medio del lenguaje, las

representaciones, los símbolos, etc., en las actividades del sujeto, en otras palabras,

La presencia en el individuo de la imagen ideal de su actividad le permite examinar a solas consigo mismo sus fundamentos, cambiar los proyectos de sus acciones, controlar sus intenciones, deseos y sentimientos, formular expresiones verbales que corresponden a la situación concreta. Por eso, la imagen ideal de la actividad puede ser llamada su plano interno, a diferencia del plano externo, en el que la actividad se lleva a cabo realmente. (Davidov, 1988, p. 45)

S Proceso de internalización autores como Vygotski (1995a); Davidov (1988)

y Silvestri & Blanck (1993), hacen alusión al proceso de internalización como la

transición de la actividad social al plano interior del sujeto. Los procesos de

internalización, en la actividad del sujeto, permiten que mediante las actividades

colectivas el sujeto se reconstituya cognitivamente los objetos con los que se

relaciona a partir de sus necesidades, en palabras de Davidov (1988, p. 11)

[...] el sujeto individual, por medio de la apropiación, reproduce en sí las formas histórico- sociales de la actividad. El tipo genéticamente inicial de apropiación es la participación del individuo en la realización colectiva, socialmente significativa, de la actividad, organizada

36

de manera objetal-externa. Gracias al proceso de interiorización, el cumplimiento de esta actividad se convierte en individual y los medios de su organización, en internos.

Sin embargo, no se debe entender la internalización como una copia de la realidad,

ésta es un reflejo del sujeto ante un objeto determinado en la ejecución de su actividad, este

reflejo puede ser diferente para otros sujetos de acuerdo con sus constituciones subjetivas

en otras actividades, en este sentido Vygotsky propone que “la internalización es la

reconstrucción interna de una operación externa” (2000, p.92).

De lo anterior es posible afirmar, parafraseando a Silvestri & Blanck (1993), que la

internalización permite que el sujeto mediante la reflexión de las acciones en su interior,

constituya su subjetividad a partir del mundo externo, y al mismo tiempo esta subjetividad

se manifiesta en el desarrollo de sus actividades, es decir, se hace externa al sujeto. Para

hablar de este tránsito del mundo externo y la actividad interna (subjetividad), en el proceso

mismo de internalización, Davidov, citando a Leontiev (1983) dice,

A. Leóntiev veía el carácter en principio común de la estructura de la actividad externa e interna en que ambas mediatizan las interrelaciones del hombre con el mundo. De acuerdo con A. Leóntiev el principal argumento, gracias al que se puede fundamentar el carácter común de las formas de actividad señaladas, son los posibles tránsitos de una forma a otra. Además, prestaba atención no sólo a los pasajes que se designan con el término de “interiorización” de la actividad externa, sino también a los que transcurren en direcci ón contraria, de la actividad interna a la externa. (1988, p 30)

Este constante transitar de la actividad externa al plano interior del sujeto permite al

hombre tener acceso a la realidad, pero “el acceso a la realidad es un proceso infinito,

nunca terminable, condicionado por el carácter infinito del objeto de conocimiento, que se

encuentra en estado de incesante dinamismo” (Silvestri & Blanck, 1993, p. 44). De esta

forma, podemos decir que el proceso de internalización es constante, pues en la medida que


37

el sujeto se relaciona con el objeto, en el proceso de su actividad, constituye su plano

interno y refleja diferentes atributos del objeto mediante el lenguaje.

En concordancia con lo anterior, la experiencia humana se presenta desde dos planos

distintos “el plano de los sucesos reales y el plano de sus esquematizaciones cognitivas

internas” (Kozulin, 2000, p. 25). Al hablar del plano de los sucesos reales se hace

referencia las prácticas sociales ya constituidas y en constante constitución; y en el plano de

las esquematizaciones cognitivas internas hace referencia a la conciencia del sujeto que es

constituida a partir de su relación con la cultura.

2.1.4 La actividad

La actividad es el conjunto de acciones intencionales de los sujetos orientadas a

lograr un fin. La actividad del hombre se desarrolla en la interacción de éste con un

fenómeno, pues en el marco de unas prácticas sociales emerge una necesidad que debe ser

satisfecha. Esta orientación a la necesidad configura el objeto/motivo de la actividad que

lleva al hombre a ejecutar unas acciones para satisfacer dicha necesidad, como lo plantea

Davidov (1988), el hombre platea tareas y de este modo llega a una finalidad que está

determinada por unas acciones condicionadas de acuerdo a los saberes, conocimientos y el

uso de los instrumentos del sujeto para satisfacer la necesidad.

Una actividad se diferencia de otra por el objeto/motivo, que al mismo tiempo

determina las acciones e instrumentos necesarios para llevar a cabo los procedimientos de

la actividad y así alcanzar la intencionalidad de ésta. Roth & Radford (2011) habla de tres


38

niveles basados en la actividad, los cuales están interrelacionados: Objeto/motivo de la

actividad, objetivos/acciones y las operaciones:

S Nivel objeto/motivo de la actividad: este nivel implica una intencionalidad

de la actividad, hacia donde se orientan las acciones, de tal forma que, de un lado,

orienta la actividad a una finalidad común dentro del mundo exterior, y de otro, el

objeto/motivo de la actividad permite al sujeto reflexionar sobre la actividad misma,

n

constituyendo sus comprensiones sobre el objeto.

S Nivel objetivos/acciones: Cuando el sujeto tiene un motivo para alcanzar un

objetivo, necesita de unas acciones para alcanzar tal fin, así se entienden las acciones,

como “la habilidad y la necesidad de actuar” (Kaptelinin & Nardi, 2006, pp. 241-

o

242) en la que la finalidad es la intención misma de la acción.

Para alcanzar la finalidad misma de la actividad, el sujeto debe plantearse unas tareas

que están determinadas por unas condiciones que cambian y transforman

constantemente las acciones del sujeto en el transcurso de la actividad, esto se debe a

que

Uno u otro motivo estimula al hombre a plantearse una tarea, a poner de manifiesto la finalidad que, estando representada en determinadas condiciones, requiere el cumplimiento de la acción encaminada a crear u obtener el objeto que responde a los requerimientos del motivo y que satisface la necesidad (Davidov, 1988, p. 32).

S Nivel de las operaciones: para este nivel de la actividad, las acciones son

establecidas de acuerdo a los contextos de dicha actividad, es decir, se hace referencia

7 La comprensión de conceptos, desde esta perspectiva, se basa en que el estudiante reconozca las propiedades, representaciones y características de un concepto y lo use en una variedad de situaciones (Font, 2007), es decir, la comprensión es el desempeño que muestran los estudiante en la realización de una variedad de situaciones, a través de unas formas de representación y de unas formas de acción particular.8 Texto original de Kaptelinin & Nardi (2006) está en inglés, está es una traducción de la disertación.


39


a los procesos condicionados que se llevan a cabo en la actividad, dichos procesos

son llamados por Leontiev operaciones, es decir, las operaciones son aquellos

procesos que elabora el sujeto para ejecutar una acción que lleva a un fin de

terminado, tales procesos están sujetos a las condiciones en las que se presenta la

actividad.

En la actividad, además de considerarse los tres niveles ya descritos en la relación

sujeto-objeto, se encuentran los instrumentos como mediadores de dicha relación, estos

instrumentos pueden ser una herramienta material o un sistema de símbolos. En el primer

caso, las herramientas materiales, son el mediador físico respecto a la acción humana, y en

el segundo, los sistemas de símbolos, son las herramientas psicológicas, las cuales median

los procesos psicológicos del sujeto en la formación de conceptos, "...mientras que en la

acción instrumental la herramienta es mediadora respecto a la acción humana dirigida a la

naturaleza, en el acto simbólico una herramienta psicológica media en los procesos

psicológicos del propio ser humano” (Kozulin 1994, p. 115).

2.1.5 Constitución de conceptos

Las características y la forma de nombrar el objeto es lo que hace referencia a los

conceptos, es decir, los conceptos hacen parte de la objetivación, son todas las formas de

nombrar al objeto. De acuerdo con Radford (2011), los conceptos son significaciones

alcanzadas históricamente, que se encuentran en constante constitución en la medida que se

utilizan en nuevas actividades. Así, en la interacción del hombre con los objetos y con la

colectividad es que esté constituye sus significaciones, es decir, los conceptos.

40

Las conceptualizaciones se logran ya que en la interacción del niño con el adulto, hay

una respuesta positiva ante sus acciones ejercitadas dentro de una actividad. Es dada porque

La conciencia de nuestras operaciones cognitivas sólo aparece después de practicar con operaciones fenotípicamente similares que reciben el «visto bueno» de los demás. El niño no está «dotado» de formas de razonamiento conceptual: las desarrolla a partir de otras formas que los demás les parecen conceptuales como tales. El razonamiento del niño se construye «desde fuera» (Kozulin, 1994, p. 167)

Es de anotar, que los conceptos se transforman “constantemente”, ya que estamos

sujetos a las diferentes actividades orientadas a nuestras finalidades y necesidades y, es por

tanto, que de acuerdo al desarrollo de las funciones intelectuales básicas, el sujeto va

alcanzado una mayor sistematización, diferenciación y jerarquización de las ideas que

constituye de los objetos sobre los que configura sus actividades diarias.

El niño, en la constitución de los conceptos, se encuentra enmarcado bajo dos

procesos, por un lado, la formación de los conceptos espontáneos a partir del conjunto de

actividades cotidianas y, por otro lado, la formación de conceptos científicos en el marco de

las actividades de estudio propuestas en la escuela. Si bien tanto los conceptos cotidianos

como los científicos son constituidos y validados socialmente, estos conceptos son

diferenciados ya que los conceptos científicos se caracterizan por su sistematización con

otros conceptos, su forma de constitución por la comunidad científica de forma logicista y

jerárquica.

Respecto a los conceptos espontáneos es importante señalar que desde que nace el

sujeto, como ser social, se socializa con los adultos, tratando de entender el mundo que lo

rodea y de responder a las necesidades. En la medida que crece y se relaciona con el


41

entorno, internaliza y reconstituye para sí su mundo social y cultural, en esta reconstitución

forma sus objetivaciones.

Acorde con lo anterior se entiende por conceptos espontáneos, en el sentido

presentado por Vygostki (1995b), a todas aquellas ideas organizadas sobre los objetos que

nos rodea en las prácticas sociales, estas ideas son validadas, legitimadas y constituidas en

interacción con otros sujetos. Estas ideas organizadas sobre los objetos, dentro de los

conceptos espontáneos, no tienen una sistematización ni unas implicaciones lógicas, pues

son conocimientos aplicados para el caso de prácticas sociales particulares.

Desde la perspectiva de Vygotski (1995b, p. 124), en sus investigaciones, la

“formación de conceptos espontáneos es el resultado de una actividad muy compleja, en la

que intervienen todas las funciones intelectuales básicas”, que son constituidas en el

transcurso de la niñez, pues los sujetos relacionan, jerarquizan y abstraen ideas de los

objetos con los que interactúan en su actividad cotidiana. Estas etapas o fases de la

formación de conceptos son:

S Imagen sincrética: es la formulación de ideas desordenadas, donde el

sujeto realiza ensayo y error, se basa en las imágenes, en el agrupamiento sincrético

y la imagen sincrética.

S Pensamiento en complejos: no hay organización jerárquica entre

atributos de los objetos culturales, pero se establecen relaciones entre los atributos

de los objetos. En esta etapa de la formación de conceptos los niños asocian,

realizan complejos por cadena (asocian características de los objetos) y constituyen

pseudoconceptos.


42


En esta fase de formación de los conceptos, las características y enunciados de los

objetos son llamados pseudoconceptos, en vez de conceptos, “porque la

generalización formada en la mente del niño, aunque fenotípicamente se asemeja al

concepto del adulto, psicológicamente es muy diferente del concepto propiamente

dicho; en su esencia, es todavía complejo” (Vygostki, 1995b, p. 133).

S Conceptos potenciales: son los portadores de la función elemental de

la abstracción, es decir, se estable diferencias y jerarquizaciones entre los objetos.

Estos conceptos potenciales “se pueden considerar producto de un hábito. En una

forma más elemental, el concepto potencial es la materialización de la regla, según

la cual, situaciones que tienen alguna característica en común produciría

impresiones similares” (Vygostki, 1995b, p. 146).

En el caso de los conceptos científicos es importante puntualizar que son las

sistematizaciones y generalizaciones de la comunidad científica a partir de la organización

teórica de las actividades. En la escuela mediante las actividades escolares se comparte y

discute los conocimientos científicos con los estudiantes siendo el maestro el mediador, es

decir, “los conceptos científicos se desarrollan en condiciones de cooperación sistemática

entre el niño y el maestro. El desarrollo y maduración de las funciones mentales superiores

del niño son el fruto de esta cooperación” (Vygotski, 1995a, p. 154).

Los conceptos científicos son desarrollados en la escuela en cooperación con el

maestro, pero se debe asumir que “ . . . los conocimientos no se transmiten a los alumnos en

forma de lista, sino que son adquiridos por ellos en el proceso de la actividad cognitiva

autónoma en presencia de la situación problema’’ (Davidov, 1988, p. 181), dichas

43


situaciones parten de las necesidades y motivos de los escolares, generando consigo tareas,

acciones y operaciones que lleven a la finalidad de la situación. Dicha finalidad es dada a

partir de la actividad generada en todo el grupo de clase, donde se dan aportes individuales

a partir de las connotaciones colectivas, formando nuevos conocimientos científicos. Estas

actividades son nombradas por Davidov (1988) como actividades de estudio.

Los conocimientos adquiridos en la escuela, en tantos científicos, son formados en el

ascenso de lo abstracto a lo concreto (Davidov, 1988; 1990). Cuando se habla de lo

abstracto se hace referencia a aquellos conceptos que no son dominados por el sujeto. El

sujeto, internamente, caracteriza al objeto y establece para éste unas propiedades aisladas,

lo que no significa que el objeto sea comprendido (Davidov, 1990), pues,

El concepto de lo abstracto tiene varias características: lo abstracto es algo simple, privado de diferencias, no desarrollado. Estas características designan los aspectos de lo abstracto real como cierta parte autónoma independizada del todo. Semejante parte puede ser, por lo visto, sólo lo relativamente simple, homogéneo, carente de diferencias cualitativas, no desarrollado internamente (Davidov, 1988, p. 143)

Cuando se hace referencia a lo concreto, se habla de aquel dominio que tiene el

sujeto sobre los conceptos, los enuncia, los usa dentro de su actividad, y establece

relaciones con otros conceptos. En el ascenso de lo abstracto a lo concreto, el sujeto debe

establecer la esencia del objeto, su semejanzas y diferencias con otros conceptos, pues “en

la ascensión de lo abstracto a lo concreto hay otra dificultad: el investigador debe

necesariamente examinar e incluir en lo concreto mental sólo los enlaces y relaciones que

realmente son deducibles de su esencia y que, al mismo tiempo, no “agobian” con sus

propiedades casuales, secundarias” (Davidov, 1988, p. 149).

44

De esta forma, se puede decir que “lo abstracto y lo concreto son momentos de la

desmembración del propio objeto, de la realidad misma, reflejada en la conciencia y por

ello son derivados del proceso de la actividad mental” (Davidov, 1988, p. 144). En primera

instancia el concepto no es conocido ni dominado, luego se observan características y

propiedades y finalmente el sujeto conoce la esencia del objeto, lo domina y hace uso de él.

No obstante Vygotski, presenta que un,

[...] concepto es más que una suma de ciertos vínculos asociados, formados por la memoria, más que un mero hábito mental; es un auténtico complejo acto de pensamiento que no se puede enseñar mediante la ejercitación y al que solo se puede llegar cuando el desarrollo mental del niño ha alcanzado el nivel requerido (1995a, p. 155).

Un escolar comprende un concepto científico en la medida que es capaz de

reproducirlo en sus actividades escolares, descubre su esencia. En palabras de Davidov

“tener un concepto sobre uno u otro objeto significa saber reproducir mentalmente su

contenido, construirlo. La acción de construcción y transformación del objeto mental

constituye el acto de su comprensión y explicación, el descubrimiento de su esencia”.

(1988, p126).

En la escuela, estas formas particulares de formación de los conceptos científicos, son

importantes para observar cómo los escolares internalizan los conceptos, y cómo en la

ejecución de sus acciones y actividades comprenden dichos conceptos que son constituidos

a partir de su cultura escolar. Uno de estos conocimientos que son trabajados en la escuela

es el conocimiento matemático, que ha sido constituido a través de la historia como uno de

los saberes escolares.


45

2.2 El conocimiento matemático

Cada cultura, de acuerdo con las necesidades y situaciones que se le presentan

desarrolla sus propias prácticas sociales que están en constante transformación en la medida

en que los sujetos desarrollan sus actividades. Cada una de las prácticas y actividades dadas

en la cultura están constituidas por acuerdos sociales que están dotados de significados

culturales, cómo se nombró en el apartado 2.1, de acuerdo a la relación sujeto - objeto y la

relación del sujeto con lo social, se constituyen unos conocimientos, como son los

conocimientos espontáneos y los científicos, teniendo en cuenta los acuerdos sociales.

Estos conocimientos culturales son constituidos a partir de la relación sujeto-objeto

dada en cada actividad. Los sujetos realizan abstracciones, generalizaciones, hallan

propiedades de los objetos, internalizan las acciones, crean imágenes de los objetos sobre

los que actúan, y desarrollan unas formas de lenguaje. Todo este conjunto de

construcciones culturales los denominaremos conocimiento. En particular, denominaremos

conocimiento matemático a todas esas construcciones que hacen alusión a la cantidad, la

forma y el espacio (Obando, 2011).

En la interacción sujeto-objeto, no sólo se modifica la realidad externa al sujeto sino

que al mismo tiempo se transforman las diversas cualidades de los conocimientos

matemáticos que ya se tenían apropiados. Lo anterior permite afirmar que hay un constante

movimiento entre prácticas sociales y conocimiento matemático, entre lo individual y lo

colectivo, que son requeridos en el desarrollo de una actividad humana. Por lo tanto, el

conocimiento matemático es validado, legitimado y producido en las prácticas sociales en

la interrelación del hombre con la cultura, pues como plantea Ernest (1991, p. 86), “todo


46

conocimiento humano es visto con relación con el grupo social y a sus intereses, además la

realidad física es en sí misma considerada como una construcción social”.

Ahora bien, la enseñanza del conocimiento matemático como una construcción social

en la escuela debe considerar que aprender matemáticas implica la socialización con otros

sujetos en relación con unas prácticas sociales particulares. De esta forma “cuando se

introducen conceptos matemáticos en la sala de clases, los profesores tienen que escoger un

contexto en el cual se introduce el concepto” (Nunes, 1996, p. 279), conceptos que son

constituidos a acuerdos sociales de la cultura científica, llamados, como se aludió en el

apartado 2.1.5, conceptos científicos.

De este modo, el conocimiento matemático es producto de las objetivaciones en

relación con las acciones humanas en la actividad y es validadas no sólo socialmente sino

también en el marco de la cultura científica. Estos conocimientos son llevados a la escuela

para ser constituidos de generación en generación en el marco de las prácticas escolares,

teniendo como presupuesto fundamental la transformación constante de los mismos.

2.3 Posicionamiento teórico sobre el concepto de multiplicación

En este apartado del capítulo 2 se abordan las diferentes conceptualizaciones sobre la

multiplicación, además diferentes objetos de conocimiento que están relacionados con el

tema, como por ejemplo, situaciones de isomorfismo de medida, razón y proporcionalidad.

Considerando los aportes de diferentes investigadores, como es el caso de Nunes & Bryant

(1997); Kamii (1995); Clark & Kamii, (1996); Greer (1992); Baroody (1995); Nunes et al.

(2008), entre otros.


47

El conceptos de multiplicación, en este apartado, será descrito como uno de los

acuerdos sociales en la comunidad científica, constituyendo de este modo uno de los

conocimientos científicos enseñados en la escuela. Si bien, la multiplicación es usada

dentro de las actividades sociales, la escuela debe de contextualizar dicho concepto,

nombrarlo y hacer uso de él, es decir, que los estudiantes lo objetiven, partiendo de la

necesidad social y de su conceptualización como un concepto científico.

2.3.1 Comprensiones sobre multiplicación

La multiplicación es la operación dada entre dos números , esta operación da como

resultado un número , siendo el producto de . La expresión , se

interpreta a partir de una proporción: el número es al número , lo que el número es a la

unidad 9. Esto es:

a __ c7 — 7 Siendo c= a veces b1 b

Este concepto así presentado hace referencia a la multiplicación en relación con los

conceptos de razón y proporción como elementos necesarios y suficientes para su

comprensión. De este modo, se da un paso al lado sobre la interpretación de la

multiplicación como la abreviación de una suma, pues como lo expresa Nunes & Bryan

9 Esta forma de interpretar la multiplicación, sin bien pareciera la clásica interpretación de la multiplicación como suma de sumandos iguales, es diferente en tanto muestra los dos procesos de variación, y se fundamenta en el proceso de conservación de la razón entre los dos pares de cantidades involucradas. Además, es coherente con la manera como se define la multiplicación en el libro VII de los Elemento de Euclides, definición 15: “a number is said to multiply a number when that which multiplied is added to itself as many time as there are units in the other, and thus some number is produce” (Heath, 1926, pp. 178). A partir de esta definición se puede observar como la razón y la proporción, entran a jugar un papel importante en la multiplicación, y marca una diferencia con la suma.


48


(1997, p.172), “.sería equivocado considerar la multiplicación como una forma de

suma.. .La razón de esto es que comprender la multiplicación y la división implica más que

calcular sumas.” Lo de más implicado en la comprensión de la multiplicación es la

proporcionalidad entre las cuatro cantidades implicadas en la situación (Obando, Vasco &

Arboleda; 2013).

Por otro lado, hablar de multiplicación, implica no solamente considerar la operación

, sino también considerar las situaciones que requieren de dicha operación, de

este modo se puede observar que la multiplicación no es un caso particular de la suma, sino

que, como lo plantea Nunes & Bryan (1997), haciendo alusión al trabajo de Piaget, más que

añadir sumas, es establecer una correspondencia multívoca entre dos conjuntos o

correspondencia entre cantidades, es decir, se considera de manera simultánea el procesos

de co-variación entre dos cantidades variables.

En ese sentido, Piaget, más que presentar la multiplicación como operación matemática

está refiriéndose a unas formas de razonamiento típica del razonamiento multiplicativo, en

que el estudiante es capaz de hacer correlaciones entre colecciones de igual cantidad de

elementos, como lo resaltan Kamii (1995); Clark & Kamii, (1996); Greer (1992); Baroody

(1995); Nunes et al. (2008).

En consecuencia, pensar multiplicativamente implica que en el marco de la situación, se

identifiquen dos sistemas de cantidades, que se establezcan las relaciones entre las

cantidades de los dos sistemas de cantidades, identificar las razones y proporciones que

permiten correlacionar las cantidades entre los dos sistemas, y con todo lo anterior,

establecer las correspondencias multívocas que definen la correlación entre los dos sistemas

49

de cantidades. Es este tipo de razonamiento posibilita dar un sentido y significado al

concepto de multiplicación.

2.3.2 Situaciones que requieren de la multiplicación: el caso de las

situaciones de isomorfismo de medida

Vergnaud (1990, 1991, 1997, 2009), a las situaciones que requiere de la

multiplicación las clasifica en dos categorías: producto de medidas e isomorfismos de

medida.

Respecto a la primera categoría, los productos de medida se encuentran aquellos

problemas en los que hay que relacionar multiplicativamente dos o más cantidades así

como sus dimensiones de medida. Dentro de esta categoría, la relación que se establece

entre las cantidades de este tipo de problemas es ternaria, donde una de ellas es el producto

de las otras dos, tanto el plano numérico como en el plano dimensional (Vergnaud, 1991).

Por otro lado, Vergnaud (1991) hace referencia a la categoría de isomorfismos de

medida10. Los problemas que cumplen con las propiedades de un isomorfismo son aquellos

en los que se presentan dos conjuntos de dos cantidades variables diferentes las cuales se

correlacionan a través de una función lineal del tipo . Es decir, hay una variable

con las cantidades y una variable con las cantidades donde

cada cantidad de cada variable se relaciona entre sí a partir de una correspondencia uno a

uno:


10 Dado que este tipo de situaciones multiplicativas son el centro del trabajo de investigación presentado en este reporte, entonces la discusión sobre lo multiplicativo se centra en esta categoría.

50


Ilustración 5: Imagen de correspondencia entre cantidades. Adaptado de Vergnaud (1990, 1991)

En los isomorfismos de medida, la relación mínima que se puede establecer entre las

cantidades de un problema de tipo multiplicativo es de cuatro cantidades, perteneciendo dos

cantidades a una variable y otras dos a otra variable. El problema consiste en hallar el valor

de una de ellas conocidas el valor de las otras tres. Esto es, dada una variable que tiene

como cantidades y una variable que tiene como cantidades , entonces el

problema implica preguntar por el valor de cualquiera de las cantidades dadas las otras tres.

Esto se puede expresar de la siguiente forma:

Ilustración 6: Imagen de correspondencia entre cuatro cantidades. Adaptado de Vergnaud (1990, 1991)

De este modo para la solución de un problema, se puede establecer una relación entre

las cantidades de la misma variable ( ) o

las cantidades de variables diferentes ( ).

Si se establece el primer tipo de relación, se encontraría entre ellas una razón interna,

en palabras de Vergnaud (1991) un operador-escalar. Esto significa que la relación de dos

cantidades de una de las variables, generan una razón interna que es llamada operador-

51

escalar, este es el mismo operador-escalar o razón que resulta de la relación de las otras dos

cantidades correspondientes a la otra variable, como se presenta en la ilustración 7.


Ilustración 7: Relación escalar en una situación multiplicativa de isomorfismo de medidas

Otra forma de dar solución a un problema de tipo multiplicativo puede ser

estableciendo la relación entre las cantidades de diferente variable, es decir, se halla una

constante de proporcionalidad, lo que Vergnaud (1991) llamó un operador-función o un

coeficiente de proporcionalidad. Este coeficiente de proporcionalidad lo que establece es la

razón entre un par valores correspondientes, uno en cada variable. Pero lo fundamental es

que este operador función, o coeficiente de proporcionalidad es universal, es decir, para la

misma situación dada, la razón entre cualquier par de valores correspondientes, uno de cada

variable, es la misma.

Dicho de otra manera, el coeficiente de proporcionalidad es una propiedad invariante

que relaciona las dos variables entre sí estableciendo una proporcionalidad directa entre

ellas. Este coeficiente de proporcionalidad puede ser usado como un transformador, esto

es, que dada una cantidad en una de las variables y este coeficiente de proporcionalidad,

entonces se puede aplicar este coeficiente a la cantidad dada, para obtener como resultado

la cantidad correspondiente en la otra variable (ver ilustración 8):

52


R= Coeficiente de proporcionalidad

Ilustración 8: Relación funcional en una situación multiplicativa de isomorfismo de medidas

Como se puede apreciar, dentro de la categoría de los isomorfismos de medida, de

acuerdo con las relaciones que se establezcan entre las cantidades dadas y las variables a las

que pertenece, en esta relación se puede encontrar un escalar o un coeficiente de

proporcionalidad y, de este modo, las relaciones pueden ser vista como una proporción o

como una función respectivamente.

Luego de los presupuestos presentados sobre el posicionamiento teórico de esta

investigación, sobre el concepto y la constitución de la multiplicación, es posible afirmar

que ésta no es vista solo como una suma de sumandos iguales, sino que también implica el

reconocimiento de la razón y la proporcionalidad como elementos necesarios y suficientes.

A demás implica que el sujeto, dentro de las situaciones problemas que requieran de la

multiplicación ejecute algunos procesos como el razonamiento multiplicativo en miras al

objeto de conocimiento multiplicación.

53

3. METODOLOGÍA

Para dar respuesta a la pregunta y al objetivo propuestos esta investigación se

enmarcó en una perspectiva cualitativa (Stake, 1998. citando a Eisner & Peshkin, 1990) ya

que se observó, analizó e interpretó las formas de acción de los estudiantes al tratar

problemas que requieran de la multiplicación, buscando cómo estos escolares alcanzaron

objetivaciones sobre lo multiplicativo.

De este modo, tomando los planteamientos de Stake (1998, citando a Eisner &

Peshkin, 1990), se entiende por investigación cualitativa toda aquella investigación que

tiene como características la interpretación, la descripción, la unicidad y la variedad de

contextos, además de la búsqueda de las causas ante los acontecimientos y la compresión

de las acciones humanas.

En la presente investigación las acciones de los escolares al enfrentar las

situaciones que se les propuso, su forma de solucionar los problemas de tipo multiplicativo,

fueron el foco de interés para analizar los instrumentos, los procedimientos y las

objetivaciones de los escolares en la objetivación de la multiplicación, en relación con los

isomorfismos de medida tipo función.

Para lograr lo anterior se centró la mirada en dos grupos de cuatro estudiantes cada

uno, ya que al trabajar situaciones problemas, como se explicará en el p. 56, es importante

la actividad colectiva, pues allí los estudiantes comparten sus saberes y los validan.

Al escoger dos grupos de estudiantes, se quiere analizar las formas de acción de los

estudiantes, es decir, el tipo de instrumentos que utilizaron para resolver los problemas


54


propuesto en las situaciones, los procedimientos utilizados para dar solución a dichos

problemas y las objetivaciones alcanzadas en el curso de su actividad matemática. Cada

grupo, en consenso al interior de sus participantes, utilizó sus propias formas de acción

(algunas de las veces coincidieron en los dos grupos), lo que permitió en la investigación

visualizar el trabajo en ambos grupos de forma complementaria, más que de contraste.

Observando de este modo los grupos y tomando como referencia a Stake (1998), esta forma

de análisis permite tomar a los dos grupos de estudiantes como un caso único.

Para la recolección de la información de las situaciones tratadas con los estudiantes,

se elaboraron videos, grabaciones y registros escritos donde los estudiantes plasmaban las

operaciones respectivas de acuerdo con los problemas presentados en las situaciones. Cada

uno de estos instrumentos de evidencia permitió registrar las acciones de los estudiantes,

cómo iban desarrollando las tareas de las situaciones y los diálogos que tenían entre

compañeros y entre los estudiantes con el profesor.

Para el análisis de las evidencias se seleccionaron diferentes episodios de los audios

y videos donde se reflejaban los procesos, objetos de conocimiento e instrumentos

utilizados por los niños durante la actividad matemática, especialmente aquellas acciones

donde los estudiantes hacían referencia a la multiplicación y la constitución de dicho

concepto. Para las interpretaciones de los episodios se tuvo en cuenta las hojas de trabajo de

los estudiantes para observar las representaciones elaboradas durante las discusiones.

Al seleccionar los dichos episodios, se analizó las formas de lenguaje de los

estudiantes, gestos, explicaciones sobre los datos que iban generando, al mismo tiempo la

manera como se enfrentaban los estudiantes a los problemas presentados en las situaciones.

55


A continuación se describe qué se entiende por situación problema, las situaciones

problemas que abordaron los estudiantes y las categorías emergentes que se desprendieron

de las formas de acción de los escolares en las situaciones problemas y de la literatura

revisada.

3.1 Las situaciones problemas

Como consecuencia de las prácticas sociales y la necesidad de la comprensión del

mundo y de las acciones humanas, los sujetos, como seres sociales, han concebido además

de unos conocimientos cotidianos, unos conocimientos científicos (como lo es explicado en

el apartado 2.1.4 p. 38.). La escuela debe aportar a la formación de sujetos sociales, y por

ende, facilitar la objetivación de estos conocimientos científicos, de tal forma que los

conocimientos enseñados en la escuela puedan ser analizados y manipulados por los

escolares en diferentes actividades. En palabras de Davidov:

La escuela contemporánea no consiste en dar a los niños una u otra suma de hechos conocidos, sino en enseñarles a orientarse independientemente en la información científica y en cualquier otra. Pero esto significa que la escuela debe enseñar a los alumnos a pensar, es decir, desarrollar activamente en ellos los fundamentos del pensamiento contemporáneo, para lo cual es necesario organizar una enseñanza que impulse el desarrollo (llamémosla “desarrollante”).(1988, p.3).

Para garantizar a los escolares esa forma de independencia de la formación científica,

a partir de la constitución de conceptos científicos, en el aula de clase se deben crear

espacios donde los estudiantes, con la instrucción y cooperación del maestro, constituyan

los conocimientos, a partir de sus necesidades (Vygotski, 1995).

Las actividades escolares, como actividades desde la mirada vygostkiana, deben

generar en los estudiantes una necesidad (en el caso de la escuela una necesidad de

aprender un conocimiento científico) para alcanzar un fin determinado (como es el

56


aprendizaje de los cocimientos que deben ser enseñados en la escuela), además de permitir

que constituyan sus conocimientos a partir de los diálogos e instrucciones del maestro y de

sus compañeros. Las situaciones problemas, como espacio de interacción colectiva,

permiten este diálogo entre maestro - estudiante y estudiante - estudiante, generando en los

escolares la objetivación de su conocimiento.

Las situaciones problemas “como un contexto de participación colectiva para el

aprendizaje” (Obando & Múnera, 2003, p.183), le permiten al estudiante desarrollar su

actividad matemática mediante la exploración, la sistematización y el diálogo con pares. La

situación es una forma de organización de las actividades escolares, la cual no tiene como

fin esquematizar las clases a través de una guía de trabajo que se sigue sin modificaciones,

sino que, por el contrario, es una forma de anticipación de la orientación de las acciones de

la actividad escolar tanto del maestro como de los estudiantes y que, de acuerdo con el

desarrollo de la acción matemática de los alumnos, se ajusta a sus necesidades.

Las situaciones problemas como forma de organización de las clases escolares

presentan unos elementos básicos: Objeto/Motivo11, red conceptual e instrumentos

(medios).

3.1.1 Objeto/motivo

El motivo de la situación es aquel acontecimiento, excusa, oportunidad evento o

suceso que sirve como organizador de las acciones de maestros y alumnos en el aula de

clase. Es el motor que orienta las acciones de los estudiantes en pos de satisfacer una

11 En el artículo de Obnado & Múnera (2003) para hacer referencia a los elementos de la situación problema nombran el motivo, red conceptual y medios y mediadores; sin embargo desde el paradigma bajo el cual se ha encaminado esta investigación se opta por hablar por objeto/motivo, red conceptual e instrumentos (medios).

57

determinada necesidad. Igualmente permite orientar las acciones del maestro en el proceso

de colaboración con el alumno en la solución a los problemas que se enfrentan para

alcanzar la finalidad desencadenada a partir de su motivo.

Si bien, las acciones que se desencadenan en una actividad matemática están dadas

por la necesidades que tiene el estudiante (de acuerdo a una finalidad externa), también se

puede observar que en la medida que desarrollan sus acciones se encuentran con la

necesidad de conocer aspectos teóricos que los ayudan a solucionar los problemas en

relación con los cuales organizan su actividad matemática (finalidad cognitiva),

permitiendo de este modo que la búsqueda de ese conocimiento se convierta igualmente en

el objeto/motivo de su actividad.

Es por tanto, que hablar del objeto/motivo del estudiante es hacer referencia al

pretexto que utilizan los estudiantes para desencadenar todas aquellas actividades que

deben ser desarrollada para alcanzar la finalidad externa en relación con la actividad

matemática. Así, dentro de las actividades de estudio, también se encuentra un

objeto/motivo de conocimiento científico que es conocido por el maestro y que emergerá en

el estudiante en la medida que trate las situaciones problemas. Este doble objeto/motivo se

debe a que las necesidades, en un principio, tanto para el estudiante como para el maestro

nos son las mismas.

De esa forma, hablar de un objeto/motivo del estudiante implica también hablar del

objeto/motivo de conocimiento científico al que se va a enfrentar el estudiante. El

objeto/motivo de conocimiento científico inicialmente no es conocido por el escolar (el

maestro lo mantiene presente) pero en el transcurso de la actividad matemática el estudiante


58


mediado por la situación problema se hace consciente de él. (Roth & Radford, 2011), ya

que la situación problema, como actividad matemática, debe generar en el estudiante un

aprendizaje sobre un conocimiento, pues el maestro dentro del aula de clase debe organizar

acciones donde los estudiantes reflexionen sobre los conocimientos científicos.

El pretexto desencadenador de la actividad de estudio debe ser, por una lado, un

objeto/motivo del estudiante, conocido por éste para generar una actividad y así alcanzar

una finalidad externa. Por otro lado, debe presentar un objeto/motivo de conocimiento

científico, que aunque no sea conocido por el estudiante al inicio de la situación, como

actividad matemática, los estudiantes esperan algo que aprender, aprendizaje que será

guiado por el maestro que es el conocedor del objeto/motivo de conocimiento científico.

El objeto/motivo de conocimiento científico, dentro de la actividad matemática,

emerge de las acciones de los escolares y orientadas por el maestro, es el producto de la

actividad matemática generada en el aula de clase (Roth & Radford, 2011), es por ello que

las situaciones problemas los estudiantes alcanzan dos finalidades: la finalidad externa del

objeto/motivo del estudiante y la finalidad cognitiva del objeto/motivo de conocimiento

científico, ésta última se le atribuye a los objetos y conceptos de conocimiento que son los

que se deben enseñar en la escuela.

Al inicio de la situación problema, como es ya sabido, el maestro es el conocedor del

objeto/motivo de conocimiento científico, el cual debe emerger en el transcurso de la

actividad matemática por parte de los estudiantes, pues es este objeto/motivo el saber que

debe aprender el escolar. El maestro, para sí, al inicio de la situación debe proponer los

objetos y conceptos de enseñanza, pues son éstos los que van a definir el objeto/motivo de

59

conocimiento científico. Es importante que para la organización de los objetos y conceptos

el maestro haga uso de una red conceptual.

3.1.2 Red conceptual

En la red conceptual el maestro debe presentar unos objetos de conocimiento que el

estudiante pueda desarrollar en su actividad matemática. Estos objetos de conocimientos y

aspectos teóricos (objetos y conceptos) que el maestro tiene, los presenta como una guía y

una orientación para las actividades, de tal forma, que esta red de conceptos es

transformada constantemente durante la ejecución de las acciones.

Estos objetos de conocimiento, dentro de la red conceptual y dentro de la actividad

escolar, son demarcados por los conocimientos científicos que deben ser enseñados en la

escuela. La red conceptual permite, tanto al maestro como al alumno, observar aquellos

conceptos que están relacionados, además de ir constituyendo los conocimientos

científicos.

La red de conceptual presenta una doble función en la situación problema; por un

lado, permite orientar al maestro en la enseñanza de los conceptos científicos, y por otro

lado, orienta al estudiante en su aprendizaje. La red en manos del maestro tiene la función

de orientar el proceso de constitución de la situación problema, con la finalidad de orientar

la acción del alumno. En manos del alumno es el conjunto de relaciones entre objetos de

conocimientos que él va elaborando en el proceso de enfrentarse con la situación problema.

Este elemento de las situaciones problemas, además de la doble funcionalidad,

también tiene la característica de ser flexible, es decir, al inicio de una situación problema

se tiene un esbozo de malla de los conceptos que se pueden enmarcar dentro de la


60

actividad; sin embargo, en la medida que se desarrolla la actividad pedagógica del docente

la red va cambiando y va constituyéndose, otros conceptos comienzan a emerger y a

complementar o transformar la red esbozada al inicio.

Por tanto, la red conceptual es un instrumento que permite al maestro organizar los

conceptos científicos que van a orientar la actividad escolar de los estudiantes. Igualmente,

determina los conceptos científicos que van alcanzando los estudiantes en la medida que

desarrollan su actividad matemática mediada por la situación problema (observar el alcance

de la finalidad cognitiva). De esta manera la red conceptual permite una organización de los

procesos de interacción entre el maestro y el escolar, y está en permanente construcción, en

tanto emergente de la actividad matemática.

De esta forma, la red conceptual permite la organización de los objetos de enseñanza

que serán nombrados, caracterizados y usados en el transcurso de la situación es, por tanto,

que cada uno de los objetos de la red hace referencia a los objetos conceptuales que serán

tratados en la situación y a las relaciones que se presentan en dichos objetos de

conocimientos, son estas relaciones las que permiten nombrar y caracterizar lo que se llama

en la red conceptual como los conceptos.

3.1.3 Instrumentos

Los instrumentos son los mediadores entre el sujeto y el objeto y dan forma a la

actividad. Son los elementos dirigidos al objeto de conocimiento, de tal forma que al usar

ciertos instrumentos la actividad es modificada al igual que la cognición del sujeto, como lo

expresa Kozulin (2000, p. 79) “Aunque estos instrumentos están dirigidos a objetos


61

naturales, también tienen una influencia recíproca en el individuo, modificando así su tipo

de actividad y de cognición”.

Así, dentro de la situación problema, como generadora de actividad escolar, en la

relación estudiante-objeto, los instrumentos son los medios utilizados por el escolar para

planificar sus acciones dentro de la actividad, y son los que le van a orientar de una u otra

forma, tanto la actividad como su aspecto cognitivo (toma de conciencia).

Los instrumentos como mediadores, no deben ser vistos como simples ayudas para el

pensamiento del sujeto, si no, por el contrario son parte constitutiva de éste,

[...] se piensa con y a través del artefacto cultural, de manera que hay una región externa que, parafraseando a Voloshinov (1973), llamaremos el territorio del artefacto. Es en este territorio donde la subjetividad y la objetividad cultural se imbrican mutuamente y en el que el pensamiento encuentra su espacio de acción y la mente se extiende más allá de la piel (Wersch, 1991) (Radford, 2006, p. 107).

Los estudiantes, de acuerdo a los instrumentos disponibles, planifican las acciones

propias de su actividad matemática, de este modo, mediado por los instrumentos, el

estudiante se relaciona con el objeto de estudio y constituye los conceptos. Al estudiante

constituir los conceptos tiene una forma particular de nombrarlos (describir sus

propiedades), hacer uso de ellos y relacionarlos con otros conceptos, de este modo se dice

que el estudiante ha objetivado el objeto de conocimiento, mediado por unos instrumentos

(condiciones de la actividad).

Dentro de las situaciones problemas los estudiantes planifican las acciones de acuerdo

con los instrumentos que les son dados y aquellos instrumentos que comparten entre el

grupo de trabajo, esto permite darle forma a la actividad matemática que están

desarrollando en el aula de clase. Al maestro le posibilita identificar qué tipo de acciones


62


planifican los escolares de acuerdo con los instrumentos bridados y con los escogidos por

ellos, qué procesos utilizan en el desarrollo de la actividad y cómo los estudiantes

constituyen el conocimiento, ya que los instrumentos son mediadores entre el estudiante y

el objeto de conocimiento.

3.2 Descripción de las situaciones problemas tratadas en el aula de clase

En el aula de clase surgieron dos situaciones las cuales permitieron planificar, de

forma flexible y cambiante, escenarios para que la maestra investigadora orientara las

actividades al objeto/motivo (objetivación de la multiplicación) y los estudiantes ejecutaran

sus acciones.

Estas situaciones problemas fueron las siguientes: la primera situación surge a partir

de la celebración de la fiesta de cumpleaños de los niños del salón y de la celebración de la

culminación del año escolar. La segunda situación surge de la preocupación de los

estudiantes por la cantidad de basuras que se está generando en el aula de clase y la

cantidad de basuras que se produce alrededor, tanto del municipio como de los municipios

aledaños.

3.2.1 Situación 1: Despedida del año escolar

Esta primera situación emerge a partir del comentario de uno de los niños del salón,

quien planteaba que su cumpleaños se aproximaba pero que su familia nunca se lo

celebraba. En vista del comentario, surge desde la voz de los demás alumnos del curso la

organización de una fiesta que permitiera la celebración de cumpleaños de todos los niños

del salón, además posibilitará la despedida del fin del año escolar.

63


Esta propuesta de la celebración de una fiesta de cumpleaños, desde la voz de los

estudiantes, es una actividad social muy común para la mayoría de los niños, al igual que la

despedida del año escolar como una actividad que se elabora en las instituciones

educativas. La idea de festejar los cumpleaños y de despedir el año escolar se convirtió en

un motivo para que los niños se sintieran queridos por sus compañeros y para agradecer lo

compartido como grupo escolar. Estas necesidades de los estudiantes se convirtieron en un

pretexto para que la maestra investigadora generara actividad matemática dentro del aula de

clase, para el caso de este proyecto de investigación, sobre la enseñanza y el aprendizaje de

la multiplicación.

Es así, que a partir de este pretexto se plantearon algunas actividades por parte de la

maestra investigadora, como una forma de organización flexible, dispuesta a cambios de

acuerdo con las acciones de los estudiantes y con un objeto/motivo de conocimiento

científico siempre estuviera presente en las actividades de estudio, esto último con la con la

finalidad de que el objeto/motivo de conocimiento científico fuera emergente para los

estudiantes. A continuación se describen los elementos básicos de esta situación

(Objeto/motivo, red conceptual, instrumentos).

S Objeto/motivo: el motivo desencadenador de la situación problema, como se

nombró anteriormente, es la necesidad de los niños por celebrar una fiesta con sus

compañeros; sin embargo, la maestra-investigadora, como guía de las actividades

escolares, utilizó este motivo para generar un conocimiento matemático, como es el

caso de la constitución de la multiplicación.

De lo anterior emergen los dos objetos motivos de la actividad matemática. Por un

lado, está el objeto/motivo del estudiante que es la celebración de la fiesta de

64

cumpleaños; y por otro lado, se tiene el objeto/motivo de conocimiento científico que

es la objetivación de la multiplicación. Esto implicó que al culminar la situación se

presentarán dos cierres, la celebración de la fiesta como tal y el aprendizaje de la

multiplicación.

Para alcanzar dichas finalidades se les propuso a los estudiantes cuatro momentos,

que fueron dinamizando algunas de sus acciones a causa de las necesidades

emergentes y por las condiciones que se presentaban en las actividades. Estos

momentos fueron:

Elaboración de la lista de implementos para la fiesta y primer presupuesto de forma

individual: los estudiantes en un primer momento comentaron cómo eran las fiestas a

las que habían asistido y nombraron lo que más les había gustado de dicha fiesta.

Luego de los comentarios se le pidió que describieran cómo querían la fiesta, cómo se

la imaginaban y qué insumos se necesita para hacer realidad dicha fiesta, elaborando

de esta forma una lista de insumos. Al terminar de elaborar la lista de insumos se les

propuso a los estudiantes que consultaran en las tiendas, donde comúnmente

compran, los precios de los productos que pretendían adquirir para su fiesta.

Adicionalmente se les propuso llenar la tabla 1 (tabla que será nombrada en los

instrumentos de la situación) con el objetivo de conocer los precios de dichos

insumos y poder saber cuánto dinero necesitábamos para celebra la fiesta.

Después de este momento se llegó a la puesta en común de la tabla elaborada.

S Puesta en común del presupuesto elaborado por los grupos y constitución de

un nuevo presupuesto con los datos recogidos: por grupos, los estudiantes

compararon sus presupuestos elaborados, y se les propuso que de acuerdo con lo que


65

habían averiguado construyeran otro presupuesto, facilitándoles otra tabla para para

su elaboración (ver en tabla 2, p. 67).

Para este nuevo presupuesto los estudiantes decidieron tener en cuenta los insumos

más económicos, y analizaron, de acuerdo con la presentación, cuánto valía cada

insumo por unidad para saber cuál era el más económico, aunque en algunos casos no

sólo tuvieron en cuenta la economía si no la marca de los insumos que usan en sus

casas.

S Puesta en común de los presupuesto por grupos: luego de elaborar el nuevo

presupuesto, en un cartel, los estudiantes expusieron su trabajo y explicaron cómo

encontraron cada uno de los precios allí plasmados y cómo tomaron la decisión de

colocar esos insumos. Al poner en común todos los presupuestos se escogió para la

celebración de la fiesta el presupuesto que menos gastos generaba, pero se dieron

cuenta que a pesar de haber sido el presupuesto más económico, seguía siendo muy

elevado para las capacidades económicas de los integrantes del grupo, por lo que

vieron la necesidad de reelaborar el presupuesto.

S Reorganización del presupuesto para que sea viable para los estudiantes: la

mayoría de los grupos, en la reelaboración del presupuesto, comenzaron a eliminar

insumos o a disminuir la cantidad de los insumos que, según ellos, eran

indispensables. Otro de los grupos dio la idea de que cada uno de los estudiantes

trajera alguno de los insumos que se necesitaba y así todos no colocaban dinero sino

cosas que podían tener en casa.

En vista de la dificultad económica del grupo decidieron que algunos niños traían

algunos insumos y otros colocarían dinero para la torta y el helado.


66

S Celebración: los niños disfrutaron de la fiesta, estaban muy contentos y al

mismo tiempo comentaban que durante la preparación de la fiesta habían aprendido

matemáticas sobre todo las operaciones básicas y solución de problemas, decían que

lo que más utilizaron fue la importancia del valor por unidad, donde el precio no

variaba.

En los momentos propuestos en la situación se puede apreciar que el desarrollo de la

actividad escolar los niños iban realizando acciones en relación con el objeto/motivo

del estudiante y acciones en relación con el objeto/motivo de conocimiento científico.

El hacer un presupuesto, averiguar los precios de los insumos, conseguir los insumos

de la fiesta y celebrar la fiesta hacen parte de las acciones que permitieron la finalidad

externa del objeto/motivo del estudiante.

Al mismo tiempo, durante la actividad, los estudiantes debían hallar el precio de cada

insumo, tomar decisiones de cuál insumo era más económico, cuánto de cada insumo

comprar, cuál era el valor total de todo lo que se necesitaba. De las acciones

mencionadas emergió el objeto/motivo de conocimiento científico lo que posibilitó

alcanzar la finalidad cognitiva de la objetivación de la multiplicación, tanto por parte

de los estudiantes como por parte del maestro, ya que la maestra-investigadora

mediante estas situaciones también complementó su práctica pedagógica.

Para la organización del conocimiento matemático del objeto/motivo de conocimiento

científico, se elaboró la red conceptual.

S Red conceptual: ésta, como uno de los elementos básicos para la situación

problema, debe esbozar unos primeros conceptos y objetos de conocimiento que se

incluirán en dicha situación, red que se va modificando en el transcurso de la


67


actividad matemática. Para esta situación, en un primer esbozo se tenía los siguientes

conceptos y objetos (ver ilustración 9):

Teniendo presente que la red se modifica en la medida que los estudiantes están en su

actividad escolar, este primer esbozo de la red para la situación tuvo algunas

transformaciones, en las que se pudieron rescatar los siguientes objetos y conceptos

trabajados por los estudiantes (ver ilustración 10).

68


Ilustración 10: .Red transformada durante la situación fiesta de despedida

S Instrumentos: para la preparación de la fiesta se le propuso a los niños dos

tablas que deberían completarse con los precios de los insumos que esperaban

necesitar para la fiesta. La primera tabla (ver tabla 1) se utiliza para que los

estudiantes consulten los precios en las tiendas donde ellos comúnmente compran.

Producto Marca Presentación Precio Lugar

Tabla 1: Tabla para averiguar los implementos para la fiesta

A los niños se les propuso una segunda tabla (ver tabla 2) para compartir sus

consultas y por grupos volver a hacer un nuevo presupuesto, esta vez los niños vieron

la necesidad de tener en cuenta los precios más económicos.

69


Producto Marca Presentación Precio Lugar Cantidad

necesitada

Total

Tabla 2: Tabla utilizada para hacer nuevo presupuesto por grupos

Además de los instrumentos materiales anteriormente nombrados, cada uno de los

objetos de conocimiento presentados en la red conceptual, en algún momento también

fueron utilizados como “instrumentos cognitivos”, en cuanto los objetos de

conocimiento, al ser usados, fueron mediadores en la constitución del concepto de

multiplicación.

3.2.2 Situación 2: Generación de residuos sólidos

Esta segunda situación problema surge en el aula de clase por dos preocupaciones de

los estudiantes. Una de estas preocupaciones es la propuesta que estaba dando la personera

y la rectora de la importancia del reciclaje en el aula de clase, pues de este modo se

generaría menos basura en el colegio y se podría recoger dinero para actividades recreativas

en la institución. La segunda preocupación emerge en el momento que se está haciendo

aseo en el salón y los estudiantes ven la cantidad de basura que se recoge y mucha de esa

basura es papel.

Una de las estudiantes hace el comentario de forma grupal y le muestra a sus

compañeros la cantidad de basuras generada al hacer aseo, y otro de sus compañeros le

comenta que si recicláramos, como había dicho la personera y la rectora, habría menos

70


basuras. Alrededor de este comentario todos los niños comenzaron a discutir sobre la

generación de basuras en sus casas, en el barrio y en los municipios aledaños al que vivían.

Para los estudiantes aparece un motivo en relación con la importancia de reciclar

fuera y dentro del aula de clase, ya que la contaminación por basuras nos está afectando

como ciudadanos. Para la maestra investigadora, este motivo es el pretexto desencadenador

para seguir desarrollando con los estudiantes la objetivación de la multiplicación como

objeto/motivo de conocimiento científico.

Los elementos básicos de esta situación son:

S Objeto/motivo: el motivo de los estudiantes es la preocupación por el

reciclaje, especialmente en el aula de clase. Este pretexto es tomando por la maestra

investigadora para generar la actividad matemática que tiene como objeto de

conocimiento la multiplicación. Es así que el objetivo/motivo del estudiante es la

preocupación de la generación de basuras y al mismo tiempo hay un objeto/motivo de

conocimiento científico que es la objetivación de la multiplicación.

En el transcurso de la actividad matemática, los estudiantes hicieron más visible la

necesidad de un conocimiento matemático, es decir, de la objetivación de la

multiplicación, por lo que emerge el objeto/motivo de conocimiento científico, por

tanto, en esta situación se presentaron dos finalidades, unas fueron las propuestas

enunciadas por los estudiantes para mejorar la generación de basuras (como finalidad

externa) y otra el aprendizaje de la multiplicación (como finalidad cognitiva).

Para alcanzar dichas finalidades en esta situación de la generación de basuras y

reciclaje, se observó que los niños trataban de hacer comparaciones para dar unidades

71

de medida al peso y al volumen, por lo que hacían cambio de unidades y emergió la

necesidad de hacer relaciones entre la cantidad de basuras que resultaba al reciclar y

la cantidad de la basura generada sin reciclar. Lo anterior se tuvo en cuenta para

organizar unos momentos o escenarios donde en los niños pudiera emerger la

objetivación de la multiplicación (objeto/motivo de conocimiento científico),

momentos que están en constante cambio de acuerdo a las acciones de los

estudiantes.

S Discusión sobre la problemática de las basuras en el aula: este primer

momento se da en la discusión de los estudiantes por la cantidad de basura que se

genera en un día de estudio, además que la mayoría de ella es papel. A partir de esta

discusión muchos de los estudiantes hablan de las basuras que observan a su

alrededor en la casa, el barrio, en el municipio y en otros municipios que han visitado.

Los estudiantes al discutir sobre la generación de basuras preguntaron dónde pueden

averiguar sobre lo que está sucediendo con la basura y cómo se recicla, para ello se

les comenta que pueden leer de internet o de libros de textos escolares de ciencias

naturales.

S Discusión grupal de las consultas: los estudiantes al elaborar sus consultas

llegan a clase discutiendo sobre las toneladas de basuras que se generan diariamente

en Medellín y hacen comparaciones de esa cantidad con el aula de clase para hacerse

una imagen de dicha cantidad. Muchos de los estudiantes llevan textos para leer, otros

comentan las imágenes que observaron en videos y muchos muestran la preocupación

del relleno sanitario que fue trasladado para otra zona fuer de la ciudad de Medellín

porque el que había ya estaba lleno.


72

S Discusión sobre el reciclaje a partir del relato de una estudiante sobre el

reciclaje en su casa: una de las estudiantes, interesadas en el tema de reciclaje, le

comenta a sus compañeros que ella al llegar a casa le comentó a la mamá y la abuela

sobre el tema del reciclaje y generación de basuras trabajas en clase, en vista de esto

revisaron su basura y comenzaron a separar la basura que se podía reutilizar y

quedaron asombrados de cómo mermó la cantidad de basura de la caneca. La

estudiante trató de explicar a los compañeros cuánto era esa cantidad para que

observarán lo que quería decir.

A partir del comentario de la estudiante todos comenzaron a reflexionar qué pasaba si

reciclaban la cantidad de basura en Medellín, en Bello, en casa y en el salón de clase,

haciendo una relación de la cantidad de basuras que hay y de la cantidad de basuras

que queda si se reciclaba.

S Discusión por grupos sobre el cuánto se recicla en el colegio: Al reflexionar

sobre el comentario de la compañera se hizo la pregunta sobre la cantidad de basura

que se generaría en el colegio si todos los grupos reciclaran. Para dar solución a esta

pregunta los estudiantes debían establecer la unidad de medida a utilizar de acuerdo a

las investigaciones elaboradas y tener en cuenta el comentario de la estudiante que si

reciclaba se mermaba la mitad de basuras. Para ellos los estudiantes hicieron un

seguimiento durante varios días a la cantidad de basura generada en el salón y la

cantidad de reciclaje, midiéndola con una caja.

De acuerdo con lo observado de la generación de basura y al reciclaje, los niños

comenzaron a reflexionar por grupos sobre cómo hallar la cantidad de reciclaje del

colegio.


73

S Discusión sobre las unidades de media del peso: los estudiantes mientras

estaban hallando la cantidad de reciclaje en el salón se hicieron la pregunta de las

unidades del peso y comenzaron a investigar sobre éstas y cómo cambiar de una

unidad a otra, porque en las consultas en algunos momentos aparecía toneladas y en

otras kilos. Este último momento permitió unificar todas las consultas y proponer

algunos problemas que requerían de la multiplicación, utilizando las unidades del

peso y las consultas del reciclaje.

Es importante anotar que dentro de estos momentos de la situación, las consultas y las

preguntas que emergieron sobre el problema de los residuos sólidos no fue impuesto

al estudiante por parte de la maestra-investigadora; por el contrario, de forma libre los

estudiantes elaboraron sus consultas y dentro del aula de clase, con ayuda de la

maestra se elaboraban preguntas sobre el tema, muchas de estas preguntas hacían

referencia a preguntas sobre problemas que requerían de la multiplicación, como

“¿cuánto residuo se puede reciclar”? De acuerdo con esta cantidad que se recicla,

“¿cuánto se recicla si reunimos lo de todas las casas de este salón?, ¿cuánto se recicla

en el salón?, ¿cuánto se recicla durante un año?, ¿cuánto se recicla en toda la

institución?”

S Red conceptual: para esta situación se elaboró un primer esbozó de red

conceptual (ver ilustración 11), en la que se tenía los siguientes conceptos y objetos:


74


Ilustración 11: Red conceptual inicial de la situación Generación de basuras

Teniendo presente que la red se modifica en la medida que los estudiantes y el

maestro están en la actividad escolar, este primer esbozo de la red para la situación

tuvo algunas transformaciones, en las que se pudieron rescatar los siguientes objetos

y conceptos trabajados por los estudiantes (ver ilustración 12).

Ilustración 12: Red transformada durante la situación Generación de basuras

75

S Instrumentos: al inicio de la situación problema se les propuso a los

estudiantes buscar por internet y en los libros de textos qué se decía sobre la

generación de basuras y el reciclaje. Muchos de los estudiantes llevaron sus consultas

y comentaban a todos los del curso sobre la cantidad de basura que había en

Antioquia y sobre el nuevo relleno sanitario.

En el transcurso de los momentos de la situación los niños hicieron uso de tablas para

comparar las variables de los problemas que se presentaban en la generación de

basura y el reciclaje, problemas propuestos por la maestra-investigadora y por ellos

mismos que iban emergiendo de las consultas que elaboraron.

En cuanto a los instrumentos cognitivos, como se nombró en la situación de la fiesta

de despedida, los objetos de conocimientos presentados en la red conceptual en

algunos momentos se convirtieron en instrumentos, en la medida que estos conceptos

fueron mediadores en la constitución del conceptos de multiplicación.


76

4. OBJETIVACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN

Las situaciones problemas surgidas permitieron analizar las formas de acción que los

estudiantes utilizaron para tratar situaciones que requieran de la multiplicación. Al analizar

las situaciones, las formas de acción y los referentes teóricos que orientan esta

investigación, emergieron tres categorías: “De los cuantíficadores no numéricos a los

cuantíficadores numéricos”, “El objeto/motivo de la actividad matemática” y “Objetos de

conocimiento”

En este capítulo se describirá, en primer lugar cada una de las conversaciones y

discusiones de los estudiantes retomados desde los videos y grabaciones de voz, además de

diferentes ilustraciones de los trabajos elaborados por los estudiantes y fotografías, que

evidenciaran los elementos propuestos por los estudiantes durante el desarrollo de las dos

situaciones problema. En según lugar, se analizarán los registros y datos producidos en el

trabajo de campo de esta investigación en relación con el marco teórico propuesto y

constituido y desde la perspectiva de la maestra investigadora.

4.1 Descripción y análisis de los episodios

Para la elección de los episodios se tuvo en cuenta aquellos momentos donde los

estudiantes presentaban algunas formas de acción que permitían la constitución de la

multiplicación, es decir, donde se observaban los procesos, instrumentos y objetos de

conocimiento tratados por los estudiantes en la constitución del concepto de multiplicación.

A continuación se describirán y analizarán los episodios seleccionados.


77


En los episodios 1 y 2 es posible evidenciar cómo emerge el objeto/motivo de las

situaciones tratadas en esta investigación. Las situaciones fueron desencadenadas a partir

de las necesidades de los estudiantes, las cuales permitieron generar la actividad

matemática. Estos dos episodios muestran el objeto/motivo de las dos situaciones: la

celebración de la fiesta de despedida y la generación de basuras dentro del aula de clase, el

municipio y municipios aledaños de donde viven los estudiantes.

Episodio 1 ("Situación fiesta de despedida^

1. M12: La actividad que vamos hacer el día de hoy es la actividad que ustedes mismos eligieron, recuerden que comenzamos con el compañerito que quería que le celebraran el cumpleaños, ¿te acuerdas D?

2. D: Sí3. M: Nos dijiste que querías que te celebráramos el cumpleaños [...] y había surgido ayer que si

estábamos finalizando el año escolar, que es vez de celebrar solo el cumpleaños, F ¿qué fue lo que nos dijiste?

4. (Todos): Hacemos una fiesta de despedida

Episodio 2 (Situación generación de basuras)

Episodio 3: (Situación fiesta de despedida)

1 J: ¿Cuánto trae la cantidad (de queso)?2 A: Una bandeja trae... mi mamá compró eso, a ella le salían 10.3 ((Todos)) 10

12 En esta investigación en los episodios la letra M es maestra investigadora y las demás letras son las intervenciones de los estudiantes, que por motivos éticos no son mencionados con nombres propios.

78


En los episodios 3, 4 y 5, los estudiantes comienzan a elaborar los presupuestos para

la fiesta y averiguar cada uno de los precios de los insumos, por lo que se encuentra con

preguntas, como, ¿cuántos insumos necesito?, ¿cuál es el precio de todos los insumos que

necesito?, ¿qué presentación trae cada insumo?

En el episodio 3 (ver pp.78-79) se muestra como en las situaciones problema los

estudiantes se enfrentaron a otras situaciones que son complementarias a la actividad

79


macro; en este caso, los estudiantes en el tratamiento de la situación de la fiesta de

despedida se encuentran con la situación complementaria de la elaboración de las

hamburguesas para la fiesta. De esta última situación, los estudiantes nombraron los

insumos necesarios para las hamburguesas y buscaron la cantidad de insumos que

necesitaban para hacer 40 de ellas, ya que para la fiesta se esperaba de 38 a 40 personas.

El queso era uno de los insumos necesarios para la elaboración de la hamburguesa, de

tal forma que los estudiantes se enfrentaron a la pregunta de cuánto queso se necesitaba

para hacer las hamburguesas y cuánto costaba. Al plantearse estas preguntas los estudiantes

debían tener en cuenta las cantidades que se presentaban en dicho problema: las cantidades

de paquetes de queso, las cantidades de tajadas de queso y el valor de los paquetes de

queso.

En el episodio 3 (líneas de la 1 a la 4) los estudiantes sabían que un paquete de queso

trae 10 lonchitas y para preparar las hamburguesas, necesitan 40 de ellas, por tanto 1

paquete de lonchitas no era suficiente. Los estudiantes al ver que requerían más de un

paquete de lonchitas se enfrentaron a la pregunta de cuántos paquetes necesitaban para

elaborar las hamburguesas.

En la línea 4 muestra como los estudiantes confundían la cantidad de lonchitas y la

cantidad de paquetes, pues toman un paquete de lonchitas como si fuera una tajada de

loncha, por ello planteaban que requerían 40 de ellas. Así, los niños comenzaron a

multiplicar el valor del paquete de lonchitas por 2, 3, 4 ,6 y 8 para mirar el valor de las

lonchitas que necesitan.

80


Los estudiantes al multiplicar 8 por el valor de los quesos observaron que el producto

de la multiplicación era muy elevado y que si multiplicaban el valor de los quesos por 40,

que era la cantidad que necesitaban, les iba a dar un producto mucho mayor. Como

consecuencia de los resultados obtenidos, los niños se percataron de que algo estaba

fallando en los razonamientos propuestos (episodio 3, líneas 22 a la 28).

Con ayuda de la profesora los estudiantes se dieron cuenta que para hallar el costo

total de los quesos (todos los paquetes de lonchitas) primero debían hallar la cantidad de

paquetes de lonchitas necesarias para las 40 hamburguesa. De esta forma, los niños

retomaron el valor de la cantidad de lonchitas que tiene un paquete y establecieron una

correspondencia entre la cantidad del paquete y la cantidad de lonchitas. Al establecerse la

correspondencia los estudiantes encontraron que necesitaban 4 paquetes de lonchitas para

hacer las 40 hamburguesas, ya que si cada paquete trae 10 lonchitas 4 paquetes traen las 40

que se piden (episodio 3, líneas 31 a la 38).

Si bien los estudiantes estaban averiguando el precio del queso (episodio 3) que se

necesitaba para hacer 40 hamburguesas, se dieron cuenta que en la correspondencia

establecida siembre había una cantidad constante (precio de la unidad de los insumos) y una

cantidad que variaba de acuerdo a la cantidad de unidades requeridas (episodio 4, ver

pp.81-82); así, 4500 pesos, que era el valor del paquete de lonchitas se multiplicaba por 4,

que es la cantidad de paquetes que se necesitaban para las 40 hamburguesas.


1 Profe cierto que vamos hacer 40 hamburguesas2 A: Vamos hacer 40 cierto, y aquí nos da exacto.3 J: Pero como vamos hacer 40 hamburguesas4 AN: Porque no multiplicamos 40 por lo que /

81


Otra de las preguntas a las que se enfrentaron los estudiantes en la situación de la

fiesta era cuántas tortas se necesitaban para poder repartirla entre 40 personas. Para

responder a esta pregunta, los estudiantes se encontraron que habían averiguado dos tortas

con precios diferentes, por lo que correspondía a menor tamaño de la torta menor precio

(episodio 5, líneas 1 a la 14, ver p. 83); como la cantidad de personas de la fiesta eran

muchas, los estudiantes optaron por escoger la torta grande; sin embargo, los niños debían

pensar para cuántas personas alcanzaría la torta grande.

Se evidencia que los niños sabían que una torta no alcanzaba para las 40 personas de

la fiesta, por tanto debían comprar varias, por lo que comenzaron a averiguar el costo de 2 y

82


3 tortas de las grandes (episodio 5, líneas 15 a la 18). Al averiguar el valor de la torta, no

sólo tuvieron en cuenta la cantidad de personas, sino también el costo de las mismas. En el

diálogo con la maestra investigadora, mediante preguntas sobre la cantidad de personas que

podían comer con una tarta, los estudiantes establecieron que una torta sólo alcanzaba para

la mitad del salón (20 personas), por tanto se necesitan de dos tortas para todos (episodio 5,

líneas 17 a la 24). Luego de conocer la cantidad de torta que se necesitaban para la fiesta se

halló el precio total de las tortas, multiplicando la cantidad de las tortas por el precio de la

misma.


83


En el episodio 6 (ver pp. 84-85) los estudiantes se encontraron con la pregunta de

cuántas lechugas necesitaban para hacer 40 hamburguesas y cuánto costaban, sabiendo que

6 kilos de lechuga costaban 6000 pesos (episodio 6, líneas 1 a la 6). Los estudiantes se

enfrentaban a diferentes cantidades que presenta dicha problemática: la cantidad de

lechugas, el valor de las lechugas y la cantidad de kilos de una lechuga.

En la preocupación que tenían de los estudiantes por encontrar el costo de la cantidad

de lechugas, primero averiguaron con la compañera que les compartió el dato que 6 kilos de

lechuga costaban 6000 pesos, cuántas lechugas correspondían 6 kilos, a lo que la

compañera les contestó que 3 ó 4, optando por la cantidad de 4 para hacer los cálculos de

las lechugas que necesitaban (episodio 6, líneas 11 a la 13).

Los estudiantes sabían que 6 kilos de lechuga eran 4 unidades de éstas (denotadas

como un paquete), establecieron una correspondencia entre las lechugas y la cantidad de

hamburguesas, así se dan a entender que necesitan de una lechuga por cada hamburguesa,

por lo tanto empezaron a contar de 4 en 4 (que es la cantidad de lechugas que trae un

paquete) hasta llegar a 40(episodio 6, líneas 17). Al hallar el producto de la

correspondencia establecida, llaman a la maestra investigadora para verificar sus

razonamientos (episodio 6, líneas 17 a la 19).

Con ayuda de la maestra investigadora los estudiantes caen en la cuenta que para

hacer una hamburguesa no necesitaban de toda una lechuga completa, pues sólo se coloca

una hoja de lechuga por cada hamburguesa, de este modo, con un paquete de lechugas era

suficiente (episodio 6, líneas 20 a la 29).


84


Al determinarse la cantidad de lechuga y su valor, con unas preguntas elaboradas por

la maestra, los estudiantes descubren que el precio de la unidad no varía, sino que lo que

varía son las unidades que se necesitan, siendo éste el mismo razonamiento empleado por

los estudiantes cuando analizaron el costo del paquete de lonchitas. Lo anterior se puede

evidenciar cuando se le pregunta a los niños qué pasa si quiero comprar más paquetes de

lechuga en vez de uno, los niños responde que se cambia la cantidad de unidades y se

multiplica por el precio de la lechuga (episodio 7, ver pp.85-86 ).


85


el 6000 no cambia

Estas apreciaciones sobre el valor por unidad que tuvieron los niños en la elaboración

del presupuesto son evidenciadas a partir de la explicación que los estudiantes hacen a sus

compañeros en la forma en que elaboraron los demás razonamientos para cada uno de los

insumos del presupuesto (episodio 8, ver p. 86).


1 A: Nosotros averiguamos primero los precios, y después averiguamos cuánto valía uno por uno.

2 M: ¿Cómo iban averiguando uno por uno?3 A: Por ejemplo /4 J: Íbamos colocando los resultados de cuáles valían menos //5 M: ¿Cómo averiguaron las hamburguesas, los panes . ?6 Niños: Multiplicábamos

86

7 M: ¿qué multiplicaban?8 Niños: El precio por la cantidad que necesitábamos.

Los niños al finalizar el presupuesto para la celebración de la fiesta debían

presentárselo a sus demás compañeros mediante un cartel y explicar cómo fue la

elaboración de éste. Uno de los comentarios que se presentó, para mostrar cómo había sido

elaborado el presupuesto, fue la relación que se establecía entre el precio de cada insumo

con la cantidad del insumo que se necesita (episodio 8). Para poder establecer esta relación,

los niños también debieron tener en cuenta la relación de la unidad (por paquete o por

cantidad individual) con la cantidad de personas que estarían en la fiesta, esto significa que

se establecieron relaciones correspondientes entre cantidades.

En la situación de la generación de basuras, los estudiantes trataron de cuantificar la

cantidad de basuras que ellos observan en sus casas, en los videos investigados o incluso en

los lugares donde han paseado cerca del municipio donde viven (episodio 9, líneas 1 a la 12

y líneas 30 a la 34. Ver pp. 88-89). Para nombrar estas cuantificaciones los niños

establecieron comparaciones entre la basura que ellos veían, con dibujos en el tablero sobre

canecas de basuras o la cantidad de basura que podría caber en un aula de clase.

Una de las niñas del salón le mostró a sus compañeros que, al hacerle seguimiento a

la cantidad de basuras que se producía en su casa, la caneca quedaba casi llena, para

cuantificar cuánto era eso de casi llena, la niña lo representó en el tablero mediante un

dibujo y luego con ayuda de un compañero establecieron que ese casi lleno correspondía a

8 pedacitos de 10 de la caneca de basuras (episodio 9, líneas 1 a la 12). Esta cuantificación


87


la hacen comparando la cantidad de basuras con la capacidad de la caneca, para establecer

como unidad de medida la caneca de basuras.

Uno de los niños del salón le comentó a los compañeros, que al reciclar, él se dio

cuenta que mermaba en su casa casi la mitad de basuras que se tenía, por lo que si

reciclaban, claramente nuestro planeta tierra sería menos contaminado (episodio 9, línea

17). Este comentario del compañero hizo que los niños pensaran que si reciclaban en

cualquier parte se mermaría la mitad de basuras, por tanto si yo veo un cerro de basuras de

casi 3 salones llenos, al reciclar sólo quedaría 1 salón y medio de basura (episodio 9, líneas

46 a la 56), siendo la mitad ese coeficiente de proporcionalidad entre la cantidad de basuras

y la cantidad de basuras después de reciclar.

Episodio 9: (Situación generación de basuras)

1 (J): Yo le comente a mi mamá sobre las basuras y a mi abuelita y todo, y que empezamos a reciclar.

2 (M): y ¿cómo le estabas haciendo el seguimiento a las basuras, cuánto te gastabas, en un día cuentas.?

3 (J): Aaaah, es una caneca así, cuando yo me vine del colegio estaba hasta aquí y cuando ya llegue estaba en la mitad y ya por la noche ya estaba casi llena. [En la medida que la niña explica sobre cómo se llenaba la caneca, ella señala en la pared como va subiendo mostrando el tamaño de la caneca y la cantidad de basura].

4 (M): Ella nos dice que estaba casi llena. ¿cuánto de llena con respeto a la caneca?, ¿cómo hacemos para comparar la cantidad de basura con la caneca?

5 (J): mmmm., midiéndola en la pared así (mostrando en la pared el lardo de la caneca).6 (M): Jimena ¿está es la caneca? (Dibujándola en el tablero), si ya estaba llena hasta acá (casi

llena), ¿cuánto es esa basura en relación a la caneca?7 (J): Pues en todo el año muchas canecadas.8 (M): ¿Cuántas canecas por día son?9 (J): 365 canecas en el años10 [.]11 (M): BR te había comentado que para saber cuánta basura hay en una caneca casi llena debía

dividir en 10 partecitas iguales y tomarías 8, ¿recuerdas BR?, ¿Qué significa 8?12 (BR): Que tomo 8 pedacitos de los 10.13 (SH): Profe, si uno recicla lo que sirve mermaría, porque como uno echa el reciclaje a la basura

entonces se va llenado más, entonces sino recicla se merma mucho.14 (M): Más o menos cuánto si reciclamos, ¿han llegado a reciclar en sus casas?15 (TODOS): Si16 (M): Y más o menos, si reciclamos, ¿cuánto mermara la caneca?

88


17 (SH): En la casa siempre que nosotros tomamos gaseosa en la lata y todo eso mi mamá las bota, pero entonces yo tengo una amiguita que ella hace unas lámparas con eso, entonces yo cojo las latas de la basura y entonces ya la caneca se va mermando por hay más o menos más abajito de la mitad.

18 (M): Más abajito de la mitad.19 Ven vamos a dibujarlo más o menos.20

llena?[Representando en el tablero] Esta es la caneca de tu casa y más o menos, ¿hasta dónde se

21 (SH): Más o menos hasta aquí [Señalando en la gráfica más debajo de la mitad].22 (M): ¿Qué correspondería? Digamos, el compañero nos decía que se partiéramos en diez

pedacitos este es como tomar 8 pedacitos y eso correspondería a la basura [haciendo referencia al ejercicio anterior], esta basura que correspondería,

23 Tu nos dices que por aquí, cierto, más abajito de la mitad, cierto, ¿cuánto sería eso más o menos?

24 (SH): Sería.,25 (J): 4 pedacitos.26 (M): 4 pedacitos de qué. partiéndolo en cuánto.27 (Todos): [Se quedan pensando]28 (M): Partamos primero la caneca, ¿en cuánto?29 (Todos): 8, 10, 5, 3.30 (M): Si yo la parto en 3 partes iguales, eso cuánto equivaldría de la basura que hay en la casa.31 (F): Uno y un cuarto [se observa que se define que un cuarto es menos de la unidad, pues utiliza

un cuarto para definir un poquito más]32 (M): Uno y un poquito, cierto.33 Digamos que le dividiéramos en. ¿cuál más me dijeron que lo dividiéramos?34 (Todos): 435 (M): Si lo dividiéramos en 4, ¿cuánto pedacitos fuera esa basura?36 (SH): 237 (M): 2, cierto.38 O sea que si nosotros reciclamos que pasa con esa basura que generamos.39 (Todos): Se merma40 (M): Se merma.41 Se mermaría casi cuánto.42 (Todos): Comienzan a discutir cuantas canecas merman del ejercicio realizado anteriormente sobre

las canecas generadas en todo el salón por cada casa de familia.43 (M): Mire lo que nos está diciendo el compañero (haciendo referencia a SH), mire esta caneca

llena y miren esta caneca que se vació, si la vieron.44 Que realización entre estas canecas, cuanto se mermó de aquí a acá.45 (AV): Menos de la mitad.46 (JP): Mi mamá me iba a llevar al zoológico, entonces, a mí me gusta ver por las ventanas y vi

como un cerro de pura basura.47 (M): Y más o menos cuánto será ese cerro de esa basura.48 Interprétanos algo para ver cuánto de grande era, por ejemplo comparémoslo con este salón.49 (JP): Como, 3.50 (M): 3 salones de estos. Ella vio la cantidad que era casi tres salones de estos.51 O sea que si nosotros recicláramos y haríamos la correspondencia que hay allá (señalando el

tablero del ejercicio anterior donde se merma la caneca a la mitad), miren que mérmanos casi la mitad, si recicláramos esa basura que ella encontró, que era casi tres salones de estos, ¿cuánto mermaría esa basura su la reciclamos?

52 (J): Por ejemplo quedaría un salón y medio.53 (M): Quedaría un salón y medio.54 Por qué un salón y medio, a que equivale eso55 (F): Porque le merma la mitad.56 (M): Porque merma la mitad.

89


Durante la situación del reciclaje emergieron varias preguntas por parte de los niños

en relación con los problemas de tipo multiplicativo. Así, en el aula de clase se comenzó

hacer un seguimiento alrededor de la caja de reciclaje del salón para saber, ya no la

cantidad de basura, sino la cantidad de reciclaje que se recogía en el aula de clase (episodio

10, línea 1. Ver p.90). Se observó que cada dos días se llenaba la caja de reciclaje, por tanto

los estudiantes se plantearon la pregunta de cuánto reciclaje sería posible recoger durante

un año, tanto en el aula de clase como en todo el colegio.

Para dar respuesta a las preguntas presentadas por los estudiantes se comenzó a

establecer una relación entre las cantidades de cajas de reciclaje con la cantidad de días que

tiene el año (episodio 10, línea 7 y 14) y entre la cantidad de reciclaje que se genera en un

salón con la cantidad de salones que hay en el colegio (episodio 10, línea 17).

Episodio 10: (Situación de generación de basuras)

1. (J): ¿Cuántas canecas, cositas de reciclamos hacemos en el año? O sea, en dos días hacemos uno [recordando que con los compañeros se había quedado que la cantidad de reciclaje por día en el salón era de media caja]

2. (M): Estas hablando de las cajas de reciclaje.3. (J): En cuatro días serían dos. yo creo que hay que hacer una multiplicación.4. (M): ¿Qué multiplicamos?5. (J): Por ejemplo.6. (M): ¿Tú quieres averiguar el reciclaje en todo el año?7. (J): El años tiene 365 días, ¿en 365 días cuánto recogemos?. 366 por 2, porque en un día se

recogen dos, sin contar la jornada de la mañana, solo lo de la tarde.8. (M): Entonces en dos días recogemos una caja.9. (J): Y en cuatro días son dos10. (M): Cuatro días dos.11. (J): Hay que hacer . esto es cómo un problema.12. (M): Ya sabes que en dos días recoges una caja de reciclaje y que todo el año tiene 365 días13. (J): Profe 366 días. [.]. Entonces, yo creo que hay que repartir.[.]14. (J): Esto es una caneca (señalando un palito representando una caneca) una caja se recoge en

dos días, entonces lo voy poniendo aquí (haciendo grupitos en una hoja de dos días una caja), llevo aquí cuarenta, porque veinte más veinte cuarenta, yo creo que . lo voy a repartir entre dos días entre una caja. ahh, sería una división

15. (M): Una qué16. (J): División, dos días (por hacer referencia a media caja por día) por 366 días (hace la división

oralmente). Serían 183 días, digo, 183 cajas de reciclaje17. (J): Si fuera para todo el colegio sería 183 por. hay .17 salones, entonces 3111.

90


En el tratamiento de las situaciones problemas, además que los niños alcanzaron la

finalidad externa de la celebración de la fiesta y también la finalidad externas sobre cómo

contribuir en el buen manejo de los residuos sólidos, nombraron también aspectos

cognitivos que fueron importantes en su actividad matemática. Lo anterior posibilitó que

emergiera el objeto/motivo de conocimiento, pues una de las preguntas sobre el control del

reciclaje una niña manifestó que la situación a la que se enfrentaba era un problema

matemático y para ello había que tratar de buscar una solución por ese camino a la pregunta

(episodio 10, línea 11). De igual forma, en la situación de la fiesta de despedida los

estudiantes manifiestan que aprendieron matemática y elaboraron algunas operaciones

como la multiplicación (episodio 11, ver p. 91), operación trabajada en el aula de clase, de

forma algorítmica.


1. (JP): Me gustó que hicimos una propuesta para ver cómo mermarle a las cosas y ya a ver si salíamás barato

2. (M): ¿Y cómo rebajaban el precio?3. (JP): Nosotros primero le rebajabas a.., por ejemplo a las serpentinas teníamos 4 y le rebajamos

a tres entonces le rebajamos el precio y así le rebajamos a las bombas y así.4. (J): Primero hicimos lo de la hoja que el precio, la marca, primero averiguamos cuánto valía

todo para hacer el presupuesto para saber cuánta plata necesitamos pero como no nos dio lemermamos muchas cosas

5. (M): Y cómo le ibas mermando cosas J6. (J): Íbamos haciendo las cosas así, le mermábamos a las cosas que necesitábamos menos7. (M): Qué más aprendieron en la realización de la fiesta8. (JP): También nosotros tuvimos que planear muchas cosas para poder hacer la fiesta9. (M): Cómo qué cosas10. (JP):

cosasPreguntar precios, mermarle, algunos quisieron colaborar con plata y otros trayendo las

11. (J): Pudimos organizar la fiesta de despedida pero aprendimos a trabajar en equipo.12. (M): Qué más aprendieron [.]13. (JP): Tuvimos que hacer algunas operaciones y algunas carteleras para poder sumar todos los

precios para que nos diera la respuesta.14. (M): ¿y qué era lo que más buscaban?15. (F): El resultado, multiplicando y dividiendo.16. (J): Los precios de las cosas y cuánto valía todo.17. (M): Qué teniendo en cuenta para averiguar los precios.18. (J): El precio por la cantidad de las cosas.19. (JP): Averiguamos cuánto vale uno producto, una cosas o un paquete.

91


20. (M): Tú que aprendiste21. (SZ): Matemáticas22. (M): Qué había de matemáticas23. (J): Las operaciones24. (SZ): Multiplicaciones y divisiones25. (M): Para qué utilizábamos las multiplicaciones26. (SZ): El precio de las cosas27. (J): Hallar cuánto valía una sola para saber cuántos paquetes había que comprar.

4.2 Categorías emergentes

4.2.1 De los cuantíficadores no numéricos a los cuantíficadores numéricos

Durante el tratamiento de las situaciones problemas se observó que los estudiantes, en

un primer momento, para cuantificar las formas de relación entre dos cantidades sobre las

que trabajaba el problema, usaban expresiones cualitativas para explicar a sus compañeros

como veían esa relación ya que les era difícil expresarla de manera cuantitativa.

92


Los estudiantes, en la situación de la fiesta de despedida, para la elaboración del

presupuesto debían responder a preguntas de cuánto era la unidad del insumo (si era

individual o en paquete), cuántos unidades del insumo necesita, cuánto costaba los

insumos, dado que se había hablado sobre qué se necesitaba para la fiesta. Para hallar la

respuesta a las preguntas planteadas los estudiantes debían establecer relaciones entre

cantidades como la cantidad de unidades del insumo con la cantidad de personas invitadas

para la fiesta y la cantidad de unidades del insumo con el precio de la unidad del mismo

(observar episodios 3, 4, 5, 6 y 7. Ver pp. 78-86).

En la medida que los estudiantes establecían tales relaciones, las forma de

nombrarlas, en un primer momento fue de manera cualitativa, es decir, el lenguaje utilizado

para establecer la relación del valor por unidad de los insumos del presupuesto, fue a partir

de la cualificación de dicha relación. Los estudiantes al hallar la cantidad de queso que

necesita para hacer 40 hamburguesas establecieron una relación entre la cantidad del

paquete de lonchitas por la cantidad de hamburguesas, de tal forma que sabían que un

paquete de lonchitas no alcanzaba para todas sino que se necesitaba de varios paquetes para

hacer todas las hamburguesas.

Esa cantidad varios, corresponde a la cuantificación no numérica que establecen los

estudiantes a dicha relación (episodio 3, líneas 1 a la 7. Ver pp. 78-79), si bien los

estudiantes no lo nombran tan explícitamente, se observa como los niños comienzan

realizar procesos de ensayo y error para encontrar el precio de los paquetes de lonchitas con

la cantidad de unidades de paquete, que debe ser varias.

93


De igual forma, los estudiantes al hallar el valor de la cantidad de queso establecieron

la relación (1 paquete, 40 lonchitas por un valor de 4500 pesos) entre la cantidad de

unidades del paquete de lonchitas y el precio de cada paquete. Al averiguar este valor, los

estudiantes comenzaron a multiplicar el 4500 pesos, que era el valor del paquete de

lonchitas, por 2, 3, 6 y 8, que eran los paquetes que necesitaban (episodio 3, líneas a la 20).

Sin embargo, cuando iban multiplicando por 8 se dieron cuenta que ese precio era

muy alto para la cantidad de paquetes de lonchitas que se necesita, es decir, se necesitaban

varios paquetes pero la cantidad debía ser menor que 8, pues el costo sería muy elevado. En

ese sentido, la relación que se estableció entre el precio de los paquetes de lonchitas con la

cantidad del paquete debía ser alto, pero no tanto como 4500 pesos por 8 (cuantificando de

forma no numérica dicha relación). Esta interpretación que se estaba dando de la relación

entre el paquete de lonchas y el precio total de las lonchas que se necesitaba estaba siendo

validada por el grupo de tal forma que de acuerdo a sus necesidades necesitaban una

respuesta al problema presentado en el presupuesto.

Estas apreciaciones que hacen los estudiantes entre las relaciones de cantidades

correlacionadas, también se pueden observar cuando responden a las preguntas de cuántas

tortas se necesitan para la fiesta, cuánta lechuga se necesita para las hamburguesas y cuánto

cuestan. Respecto a la cantidad de las tortas, los niños manifiestan que una torta pequeña no

alcanzaría para todos los del salón que es necesario de una torta grande, y sin embargo, a

pesar de que la torta sea grande se necesita de varias para que alcance para todos los

invitados (episodio 5, ver p. 83). Nuevamente los estudiantes cuantifican dicha relación de

forma no numérica.

94


Para hallar la cantidad de lechuga necesaria para las hamburguesas, los estudiantes

relacionan una lechuga por una hamburguesa sin miran lo grande o pequeña de la lechuga

sino que relacionan el paquete por la cantidad de personas, por eso les da la cantidad de 6

bolsa, casi que una lechuga por persona. Al confrontar con la maestra investigadora los

datos obtenidos, se dan cuenta que una bolsita trae 4 lechugas y que si se compran 6

bolsitas, que les daba el valor de 24 kilos, era mucho para las personas de la fiesta,

manifestando que sobraría, por tanto no necesitarían sino una bolsa.(episodio 6, líneas 19 a

la 24. Ver pp. 84-85). De ese modo, no necesitarían sino una bolsa, pues la relación de

varios paquetes de lechuga por la cantidad de hamburguesas no es proporcional.

Para el caso del tratamiento de la situación de generación de basura, los estudiantes

trataron de cuantificar de manera no numérica, en un primer momento, tanto la cantidad de

la basura, como las relaciones establecidas entre la cantidad de basura y la cantidad de

basura después de reciclada y la cantidad de reciclaje y la cantidad de días de recolección.

Las cuantificaciones no numéricas que se les da a la cantidad de basuras, se debe a

que los estudiantes, por la poca información que tiene de las unidades del peso, recurren a

la comparación para darle una unidad de medida a la cantidad de basuras, de tal forma que,

los estudiantes hablaban de cerros de basuras (episodios 9, línea 46. Ver pp.88-89), casi

llena la caneca (episodio 9, línea 3), menos de la mitad (episodio 9, línea 3). Para que los

compañeros comprendan estas cuantificaciones los estudiantes hacen comparaciones entre

la cantidad de basura que visualizaron con la elaboración de un dibujo en el tablero o

tomando como unidad de medida el salón de clase (episodio 9).

95


Respecto a la cuantificación no numérica en las relación establecida entre la cantidad

de basura y la cantidad de basura después de reciclada, y, la cantidad de reciclaje y la

cantidad de días de recolección, los estudiantes utilizaron expresiones, como “más abajito

la mitad de basura se merma si reciclamos” (episodio 9, línea 17), “como una caja de

reciclaje se llena por día” (episodio 10, línea 1. Ver p.91). La cuantificación de estas

relaciones se torna difícil, debido a que las cantidades que resultan son cantidades continúas

y por tanto, los estudiantes deben definir entre ellos la aproximación a utilizar en los

problemas cuando se haga referencia a dicha cantidad.

Los estudiantes para definir la relación de la cantidad de basura y la cantidad de

basuras que queda cuando se recicla, denotan ^ como el coeficiente de proporcionalidad,

de tal forma que al preguntar por la cantidad de basuras que queda al reciclar siempre lo

reducen a la mitad (episodio 9). Así, al hablar de ver un cerro de basuras de la cantidad de

tres salones, sí se reciclas se reduce la basura a un salón y medio (episodio9, líneas 46 a la

56).

Estas expresiones utilizadas por los estudiantes para tratar de explicar las relaciones

que se establece entre cantidades variables, como se observa en los episodios de la

situación de la fiesta y en la de generación de basura y reciclaje, son expresiones utilizadas

para tratar de explicar las razones que se establecen en un problema de tipo multiplicativo y

en algunos casos muestran el coeficiente de proporcionalidad que se puede establecer,

como es el caso de la reducción de la cantidad de basuras a la mitad. De lo anterior,

Streefland (1993, p.11) expresa que “la comparación de situaciones en las que se comparan

dos o más magnitudes o los valores de las magnitudes se relacionan entre sí de cualquier

modo son esenciales” y hacen referencia a un nivel primario de las razones y proporciones.

96


Estas relaciones que establecen los estudiantes entre dos magnitudes, como es el caso

de la cantidad de insumos con el número de estudiantes, la cantidad de basuras producidas

por la cantidad de estudiantes del salón o la comparación de basuras vista con relación a un

salón de clase, muestran cómo a partir de palabras como: “se necesitan varias”, “son

muchas”, “sobraría”, “menos de”, “un poquito más”, “casi lleno”, les ayuda a los

estudiantes a nombrar a qué se deben las relaciones entre las cantidades correspondientes,

estableciendo al mismo tiempo unas razones que determinan una cuantificación de dicha

relación.

La necesidad de conocer la cuantificación de la relación entre las cantidades variables

lleva a los estudiantes a que se determine un número o una cuantificación numérica y así

continuar con la solución del problema planteado, ya que los objetos/motivos son los que

movilizan el proceso de constitución del concepto, pues los estudiantes siempre tienen

presente la meta de elaborar 40 hamburguesas

Este tipo de relaciones posibilita hacer referencia a la razón y la proporción, ayuda a

la comprensión de los problemas de tipo multiplicativo, es decir son estos conceptos los

que justamente permiten avanzar en la objetivación de la multiplicación,. Además, las

soluciones que hacen a las comparaciones que se establecen en este tipo de razonamiento se

dan partir de las cantidades de diferentes espacios de medida, y de este modo, a partir de

razonamientos no numéricos se llega a razonamientos cuantitativos que involucran

expresiones numéricas como las razones y las proporciones, (Vergnaud, 1991).

En este sentido, Ruiz & Lupiáñez (2009), citando a Streefland (1993), rescatan que a

partir de las relaciones cualitativas que pueden establecer los estudiantes en una situación

97


dada, estos pueden llegar a conducir a la noción de razón, “a medida que va evolucionando

el razonamiento cualitativo lo que ocurre es que hay un avance en el pensamiento y el niño

puede llegar a incorporar más elementos para un análisis que le permita considerar distintos

factores conjuntamente”. (p. 404), por sus formas de lenguaje e interpretación de las

relaciones.

Desde lo ya expuesto se evidencia que en las situaciones problemas tratadas por los

estudiantes, ellos comparan dos espacios de medidas, como es la cantidad de paquetes de

lonchas por la cantidad de personas (episodio 3. Ver p.78), el precio del paquete de lonchas

por la cantidad de paquetes de loncha, cantidad de paquetes de lechuga por el precio de los

paquetes de lechuga (episodio 7. Ver p.83), la cantidad de basuras por la cantidad de basura

después de reciclar, cajas de reciclaje por día. En un primer momento esta comparación

entre los espacios de medida se hacen a partir de cuantificaciones no numéricas, pero luego

los estudiantes establecen las relaciones entre las cantidades pertenecientes a los espacios

de medida y hallan la cuantificación numérica de esta relación (episodios 4, ver pp. 81-82 y

episodio 7, pp. 85-86).

Las expresiones mucho, poco, casi lleno, casi la mitad, luego de observar que tiene un

valor cuantitativo, los niños expresan las relaciones con otras formas de lenguaje,

expresiones como “valor por unidad”, “repartir canecas de reciclaje entre los días”, “una

caja por dos días”. Estas expresiones le permiten al estudiante observar las cantidades dadas

en el problema y relacionarlas de acuerdo con los espacios de medidas que se presentan.

Esto era dado en la medida que los estudiantes en sus discusiones se daban cuenta que el

problema presentaban unas cantidades que debían ser relacionadas para llegar a la respuesta

de la pregunta planteada. Esta forma de razonamiento lleva al estudiante a razonar

98

multiplicativamente, pues hace una comparación entre las cantidades de dos espacios de

medida.

El razonamiento multiplicativo usado por los estudiantes permitió que se nombrara

cualitativamente la relación de las cantidades variables, además posibilitó que los niños

comprendieran la manera de relacionar las cantidades de un problema que requiera de la

multiplicación, pues si bien al inicio utilizaban expresiones cualitativas, durante el

desarrollo de la actividad matemática, ya identificaban las cantidades a relacionar y la

cuantificación numérica de dicha relación (episodios 8, ver p.86 y episodio10, ver p.90).

Para dar respuesta a la cantidad de reciclaje que se recogería en todo el año en el

salón de clase, se observa que los estudiantes encuentran entre los días del año y la cantidad

de reciclaje un coeficiente de proporcionalidad, el cual le permite establecer que por cada

media caja le corresponde un día del año, por tanto por cada una caja serían dos días (ver

ilustración 13, episodio 10), de esta forma se dan cuenta que al dividir los días del año por

dos es posible hallar la cantidad de cajas de reciclaje en el año.


Ilustración 13: Razonamiento de la cantidad de reciclaje que se puede producir en la Institución en el año

99


Las relaciones establecidas en las situaciones problemas, después de la actividad

matemática, se evidenciaron de igual forma en los ejercicios trabajados en clase sobre

problemas que requerían de la multiplicación. En el Episodio 11 (Ver p. 91), se observa

cómo los estudiantes establecen comparaciones entre las cantidades dadas en un problema

generando algunas razones y, al mismo tiempo, colocando de manifiesto la

proporcionalidad que se observa entre ellas, como por ejemplo 5 bombones a 2.500 pesos,

5 1luego el costo de 1 bombón es 500 pesos, de esta forma = —. Así los estudiantes no

trabajaron la multiplicación como una suma de sumandos iguales, sino que ven en los

problemas de tipo multiplicativo relaciones que son expresadas a través de la razón y la

proporcionalidad que hay entre las cantidades presentadas en el problema.

En los episodios vistos en este apartado, se puede observar como los estudiantes, en

un principio, para hacerse entender sobre las relaciones que establecían entre los espacios

de medidas, utilizaban cuantificadores cualitativos, pero estos cuantificadores provocaban

discusiones entre compañeros puesto que no se sabían cuánto era eso, mucho o poco,

observando la necesidad de establecer una cantidad numérica para lograr comunicar y

representar, con mayor precisión, las relaciones que estaban presentes entre las cantidades

del problema.

Los estudiantes al establecer las relaciones de los espacios de medidas a partir de los

cuantificadores cualitativos, comprendieron los problemas de tipo multiplicativo a partir de

razones y proporciones, como se observa en el episodio 4 (Ver pp. 81-82), pues estas

relaciones permitieron que los estudiantes no sólo encontraran los cuantificadores

100

cuantitativos sino que realizaran análisis relacionales entre las cantidades de dichos

problemas, como se presenta en la compresión de la multiplicación en apartado 2.3.

Si bien los estudiantes conocían sobre el sobre el algoritmo de la multiplicación, en

un problema de tipo multiplicativa no alcanzaban a relacionar las cantidades de dos

espacios de medida diferentes, sin embargo, con el tratamiento de las situaciones

problemas, los estudiantes mediante sus diálogos, la validación de los saberes que cada uno

tenía sobre el tema y de acuerdo a la necesidad de dar una respuesta una pregunta

planteada, sea para la celebración de la fiesta como para dar soluciones a cómo mermar la

generación de basuras, constituyeron como grupo un conocimiento para llegar a su

finalidad (debido que lo trabajo dentro del aula de clase es una actividad, que se vuelve

actividad matemática en la medida que se resalta en los estudiantes el conocimiento

científico, como se nombra en el apartado 2.1)

El paso de establecer las relaciones de diferentes espacios de medida de forma

cualitativa y luego nombrar dicha relación de forma cuantitativa, es uno de los procesos

ejecutado por los estudiantes para objetivar la multiplicación, es decir, nombrar la

multiplicaciones desde las relaciones que se guardan entre las cantidades de forma

covariacional, especialmente la de tipo función.

4.2.2 El objeto/motivo de la actividad matemática

Reconociendo los intereses mismos del estudiante y los intereses de la maestra

investigadora, en el tratamiento de las situaciones problemas, cada situación presentó dos

objetos/motivos, por un lado se encuentra el objeto/motivo del estudiante desencadenador


101

de la actividad matemática y por otro lado un objeto/motivo de conocimientos generador de

un conocimiento científico.

El objeto/motivo del estudiante es conocido por el éste ya que es el motor de las

acciones de los escolares en el transcurso de la actividad, sin embargo, durante la situación,

los niños ven la necesidad de un conocimiento científico que les es útil para seguir

desarrollando su actividad, es decir, emerge en la actividad del escolar, un objeto/motivo de

conocimiento científico, “la multiplicación”, que es conocido por la maestra desde el inicio

de la situación para orientar a los estudiantes a dicho conocimiento matemático.

Las situaciones problemas, como se nombró anteriormente, son un espacio de

reflexión colectiva, el cual presenta una organización de la actividad matemática en el aula

de clase y promueve el interés de los estudiantes en resolver ciertas problemáticas que se

les presenta en el medio que los rodea, medio que está permeado por su historicidad

cultural y prácticas sociales, pues cada uno de las prácticas sociales constituye su

conocimiento de acuerdo a sus necesidades y de igual forma lo va transformando (ver

apartado 2.2). La maestra aprovecha estas inquietudes de los escolares para desarrollar

conocimiento científico, pues “los conocimientos científicos se desarrollan en cooperación

sistemática entre el niño y el maestro. El desarrollo y maduración de las funciones mentales

superiores del niño son fruto de esta cooperación” (Vygotski, 1995, p. 154), funciones

mentales como el lenguaje, la formulación de conceptos, la memoria, entre otras.

Dentro de las situaciones problemas, el motivo fue presentado por los mismos

intereses de los estudiantes. En la primera situación, los estudiantes se interesaron por

realizar una fiesta ya que el año escolar finalizaba (ver episodio 1 p. 76) y querían hacer


102


una integración como grupo, para la maestra era una oportunidad para orientar procesos de

estudio de la multiplicación. Es así que se presenta como objeto/motivo del estudiante la

celebración de la fiesta de despedida y como objeto/motivo de conocimiento científico la

objetivación de la multiplicación.

Para la segunda situación, se manifiesta en los escolares preocupación por la

generación de basuras dentro del aula de clase y a sus alrededores, de allí los estudiantes

comienzan a investigar sobre el tema y observan que es un problema social que trae

consigo consecuencias graves (ver episodio 2, p. 78). Mientras los estudiantes desarrollan

actividades y acciones donde su finalidad va encaminada a encontrar soluciones al

problema de la generación de basuras en el colegio, la maestra investigadora aprovecha

para la enseñanza de la multiplicación. Así el objeto/motivo del estudiante es la

preocupación por la generación de basuras y como objeto/motivo de conocimiento científico

la objetivación de la multiplicación.

Si bien tanto los estudiantes como la maestra se interesan por las actividades que se

presenta en la situación problema, se pueden evidenciar dos objeto/motivos y por ende dos

finalidades, una externa y otro cognitiva. Las acciones de los estudiantes en las situaciones

van enmarcadas a festejar una fiesta de despedida y a la preocupación de la generación de

basura (el objeto/motivo del estudiante), el maestro dentro de las actividades trabajadas por

los estudiantes va orientando al escolar, a través de preguntas sobre sus acciones

elaboradas, a plantearse y desarrollar acciones que lleven a su finalidad cognitiva, el

aprendizaje de la multiplicación, de este modo emerja en el estudiante la necesidad de

realizar acciones y representaciones en torno a la multiplicación.

103


En la primera situación los escolares debían elaborar un presupuesto para realizar la

planificación de una fiesta, se aprovecha esta acción de los escolares para que, en la medida

que elabore el presupuesto, avancen en el proceso de objetivación de la multiplicación

como un medio que permite establecer relaciones entre las cantidades de dos espacios de

medida...para resolver los diferentes problemas que les plantea la elaboración de dicho

presupuesto (Ver episodio 4, pp. 81-82; episodio 7 pp. 85-86; y episodio 8, p. 86).

Así, al hallar el valor del queso que necesitaba una hamburguesa o el valor de la

lechuga, los niños se dieron cuenta de la importancia de la relación valor por unidad,

haciendo uso del razonamiento multiplicativo para establecer esta relación y por ende,

ampliando el significado de la multiplicación, pues la multiplicación ya no solo es vista

como una suma de sumandos iguales, sino que los estudiantes vieron otras características

de la multiplicación al ser tratadas en situaciones que requiera de ellas, como es la relación

que se guarda entre las cantidades de dos espacios de media diferente, permitiendo en los

estudiantes, otras formas de nombrar la multiplicación y hacer uso de ella.

En la medida que los niños elaboraban el presupuesto, notaron que el valor por

unidad era fundamental para su realización, pues observaron que cada vez que necesitaban

averiguar el precio de los insumos para la fiesta debían tener en cuenta el precio y la

cantidad necesaria, además de tener en cuenta la cantidad de invitados. De este modo, los

estudiantes identificaron generalizaciones como, el valor por unidad no varía para la

realización de las cuentas, varia la cantidad de insumos que necesito, lo que posibilitó el

reconocimiento del coeficiente de proporcionalidad.

104


De lo anterior, inicialmente los estudiantes no eran conocedores de la finalidad

cognitiva del conocimiento científico, las acciones que realizaron muestran que emerge un

objeto/motivo de conocimiento matemático, es decir, estaban objetivando, haciendo

explícito el objeto de conocimiento inicialmente oculto, la objetivación de la

multiplicación.

En el tratamiento de la situación problema las acciones de los niños orientadas a la

planificación de la fiesta, fueron al mismo tiempo acciones que orientaron el aprendizaje de

la multiplicación (evidenciado en los procesos, las representaciones y los conceptos

objetivados). De la tabla 3 (Ver p. 105) y teniendo presente los episodios evidenciados en el

apartado 4.1 y en el presente apartado se observan algunas de estas acciones desarrolladas

por los estudiantes en la primera situación problema. Lo anterior, alude directamente a la

caracterización de la actividad matemática desplegada por los estudiantes vista en términos

de procesos, representaciones y conceptos.

Situación problema 1: Fiesta de despedida

Procesos

Identificar los espacios de medida involucrados en las situaciones

Establecer relaciones de dependencia cualitativas para llegar a relaciones cuantitativas.

Utilización de la multiplicación como suma reitera (como proceso).

Validación de los saberes por los compañeros del grupo.

La utilización del valor por unidad para la obtención de los valores que se necesitaban para el presupuesto.

Elaboración de tablas para comparar las

105


cantidades en los espacios de medida.

Representaciones/ instrumentos

Tablas de registro para las cantidades en los espacios de medida involucrados

Utilización de las tablas de multiplicar.

Hojas de escritura la realización de las operaciones.

Algoritmo de la multiplicación y la división.

Sistema de numeración decimal

Formas de lenguaje

Objetos de conocimiento Multiplicación

Razón

Proporción

Constante de proporcionalidad

Tabla 3: Acciones de los estudiantes en la situación 1

De igual modo, para el tratamiento de la situación 2, si bien la finalidad externa de los

estudiantes es encontrar soluciones viables para mejorar el medio ambiente, en el medida

que fueron elaborando sus consultas y se preguntaron por el reciclaje del salón para

contribuir al mejoramiento del medio ambiente, se plantearon algunos problemas que

requerían de la multiplicación e incluso afirmaron que eran problemas matemáticos que

había que resolver (Ver episodio 10, líneas 7 a la 11, p. 90).

En la tabla 4 (p.107) y tomando en cuenta los episodios hasta el momentos

presentados en el apartado 4.1, se puede observar algunas de las acciones de los estudiantes

en la segunda situación.

106


Situación problema 2: Generación de basuras

Procesos

Establecer relaciones de dependencia cualitativas para llegar a relaciones cuantitativas.

Resolver problemas de tipo multiplicativo a partir de la razón y la proporción

Elaboración de generalización sobre la generación de basuras y reciclaje para la solución de un problema de tipo multiplicativo

Identificar la unidad en la cada espacio de medida

Establecer correspondencias uno a uno

Representaciones/ instrumentos

Números fraccionarios (para representar la cantidad de basuras)

Diagramas de correspondencia uno a uno

Dibujos de la representación de basuras y reciclaje

Hojas en blanco

Algoritmo de la multiplicación

Objetos de conocimiento

Multiplicación

Razón

Proporción

Unidades de medida del peso y volumen

Magnitud

Tabla 4: Acciones de los estudiantes en la situación 2

En la medida que las actividades de las situaciones se fueron desarrollando, los

estudiantes ya no sólo se concentraban en el desarrollo de la fiesta o en el problema de la

generación de basuras y el reciclaje, sino también se preocupaban por la solución de

algunos problemas que estaban emergiendo de dichas actividades, problema encaminados a

la objetivación de la multiplicación, permitiendo que no sólo hubiera un objeto/motivo de la

107


situación, como una fiesta y soluciones a la generación de basuras, sino también un

objeto/motivo de conocimiento científico, como es el aprendizaje de la multiplicación.

Lo anterior se debe a que en la actividad hay acciones prácticas y acciones sensoriales

(Davidov, 1988) permitiendo, dentro de la actividad, una finalidad externa y una finalidad

cognitiva por parte del sujeto. En la ilustración 14 se muestran algunas de las finalidades

externas y cognitivas de los estudiantes, teniendo presente que los escolares las

manifestaron en el desarrollo de la actividad matemática.

Ilustración 14: Finalidades externas e internas de las situaciones ejecutadas

Los niños manifestaron, en la primera situación, haber aprendido a trabajar en equipo,

el sentido que tiene el valor por unidad (ver ilustración 15 y 16), disfrutado de la fiesta de

despedida y aprendido matemáticas al utilizar las operaciones, especialmente la operación

multiplicación (ver episodio 11, p. 89). De igual forma, en el transcurso de la situación de

la generación de basuras una de las estudiantes expresa que las dudas que se estaban

108


presentando en relación al reciclaje eran problemas, haciendo referencia a problemas

matemáticos (ver episodio 10, p. 88).

En la Ilustración 22: Uso de la tabla por parte de una estudiante para resolver un problema de tipo

multiplicativo, una de las estudiantes, en un ejercicio planteado en clase, resuelve un

problema que requiere de la multiplicación por medio de la utilización de una tabla que le

permite establecer una covariación entre las cantidades, y hallar el coeficiente de

proporcionalidad, haciendo uso de lo objetivado por la multiplicación en las situaciones

tratadas, entendiendo por objetivación lo planteado en el apartado 2.1.2.

Ilustración 15: Discusión entre los compañeros en el momento de la elaboración del presupuesto

109


Ilustración 16: Exposición del prepuesto a los compañeros

Ilustración 17: Diálogos entre compañeros sobre la generación de basuras

Como se puede observar en los episodios 10 y 11 y en las ilustraciones 13, 14 y 15,

los estudiantes no sólo tiene una finalidad externa, como lo presenta Davidov (1988), sino

que también tienen ese punto de encuentro con el objeto/motivo de conocimiento científico

que está oculto en una primera instancia para ellos, pero que emerge en la situación, es

decir, objetivan el objeto de conocimiento que el maestro ha propuesto, pues los

110

conocimientos no se transmiten a los alumnos de forma ya lista, sino que son transmitidos

por ellos en el procesos de la actividad cognitiva autónoma en presencia de la situación

problema” (Davidov, 1988,pp. 181).

La situación problema le permite a los estudiantes ejecutar una serie de acciones

encaminadas a una necesidad, más que una imposición del maestro. Esta necesidad es

usaba por el maestro como un pretexto para orientar a los estudiantes a que emerja un

conocimiento científico, pues la finalidad de la escuela es reflexionar acerca de dichos

conocimientos, convirtiendo la actividad de los estudiantes, en una actividad escolar. Es

decir, las necesidades de los estudiantes parte de su cotidiana (actividades cotidianas) y a

partir de estas necesidades, el maestro debe encaminar las acciones de los estudiantes a un

conocimiento científico, en el caso de este trabajo de investigación a un conocimiento

matemática (la multiplicación).

En la situación “los escolares al comienzo, naturalmente, no saben formular de

manera a autónoma las tareas de estudio y realizar las acciones para resolverlas. Los ayuda,

hasta cierto momento, el maestro, pero paulatinamente los alumnos adquieren las

correspondientes capacidades” (Davidov, 1988, p. 181), y es así como constituyen los

conocimientos científicos.

4.2.3 Objetos de conocimiento

Al realizar un taller diagnóstico a los estudiantes de algunos problemas que requerían

de las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división) con números naturales,

donde los estudiantes debían leerlos y solucionarlos (anexo 1), se observa que para la


111


solución de problemas que requiere de la multiplicación hacen uso de sumas de sumandos

iguales y en los de división hacían repartos.

Esta forma de resolver los problemas de tipo multiplicativo se pudo ver en la solución

de los problemas 8 y 9 del taller diagnóstico donde para encontrar la cantidad de huevos de

3 canastas si cada canasta trae 30 huevos los estudiantes sumaban 3 veces el 30 (Ver

ilustración 18 y 19). En la solución del problema 8 se observa cómo el estudiante a partir de

la suma de sumandos iguales construye la tabla de multiplicar y hace los repartos para

realizar la división (Ver ilustración 20).

9. En una canasta de huevos se colocan 30 huevos, si hay tres canastas con la misma cantidad de huevos,- ¿cuántos huevos hay en total? J

Ilustración 18: Item 9 del taller diagnóstico realizado a los estudiantes


112


Con el tratamiento de las situaciones problemas en el aula de clase, se observa como

los estudiantes al inicio tratan la multiplicación como una suma de sumandos iguales, pero

en el transcurso de las actividades, los estudiantes comienza a reconocer las variables que

se encuentran en un problema de tipo multiplicativo, al mismo tiempo establecen relaciones

entre las cantidades, dando paso a las razones y proporciones que allí se pueden establecer.

Es así que emerge, dentro de la solución de problemas de tipo multiplicativo, objetos

de conocimiento como multiplicación, razón, proporcionalidad, variables, coeficiente de

proporcionalidad, constante, al mismo tiempo que los estudiantes establecen algunos

instrumentos de trabajo como las tablas (observar ilustraciones 21, y 22), para hallar

algunos resultados pedidos. Esto objetos de conocimientos emergen en la medida que los

estudiantes establecen la relación tipo función entre las cantidades de los espacios de

medida que se encuentran en un problema que requiera de la multiplicación.

8. Hay varías cajas de colores con 8 colores cada caja. Si en total hay 48 colores, ¿cuántas cajas hay?


113


Ilustración 21: Uso de la tabla por parte de los estudiantes en la realización del presupuesto

Ilustración 22: Uso de la tabla por parte de una estudiante para resolver un problema de tipo multiplicativo

En la ilustración 21 se puede observar que los estudiantes averiguan cuánto cuesta 3

serpentinas sabiendo que 4 cuestan 1500, para poderle mermar al presupuesto de la fiesta.

Para llegar a la respuesta planteada los estudiantes elaboraron una tabla que les permitió

establecer una correspondencia entre la cantidad de serpentinas con su precio, de tal forma

que en primera instancia recurrieron al tanteo para averiguar el valor de 3 serpentinas (lo

podemos ver por los números tenues que allí aparecen).

Los estudiantes, luego de encontrar el valor de las 3 serpentinas por tanteo, buscan el

valor de una serpentina de igual forma, pero al sumar tres veces el número hallado, se dan

114


cuenta que no corresponde al valor encontrado de las tres serpentinas. Al discutir entre

todos sus compañeros observan que si dividen 1500 por 4 obtienen el valor de 1 serpentina

y con este valor hallado pueden completar la tabla, ya que el valor encontrado de una

serpentina es el análisis relacional de dicho problema, es decir, esto significa que los

estudiantes para hallar el valor de una serpentina establecieron relaciones de razón,

proporcionalidad y constante de proporcionalidad (hallar el precio de la serpentina como

constante del valor por unidad).

En la ilustración 22 se evidencia como la estudiante identifica en el problema los

espacios de medidas allí planteados y hace corresponder las cantidades mediante la

elaboración de una tabla. Esta tabla le permite al estudiante encontrar, por medio de la

relación de pesos por cantidad de paletas, el valor de una paleta el análisis relacional y así

completar la tabla.

Como finalidad cognitiva en los estudiantes en el tratamiento de las situaciones

problemas, se puede observar que mediante la elaboración de tablas, el uso de las tablas de

multiplicar, las discusiones entre los compañeros constituyeron la multiplicación no sólo

como una suma de sumandos iguales, sino que en las cantidades variables que tienen los

problemas, se pueden encontrar relaciones de razón y proporcionalidad, aprendizajes que se

dieron a partir de la finalidad externa de la celebración de la fiesta y la solución a tanta

generación de basuras, una evidencia es cuando los estudiantes encuentran la importancia

del valor por unidad en sus cuentas y del coeficiente de proporcionalidad hallado en la

situación problema de la generación de basuras.

115


Como lo plantea Vygostky (1995), los conceptos son dados por medio de un sistema

de conceptos para su comprensión u objetivación, por tanto en la objetivación de la

multiplicación se encuentran varios objetos de conocimientos importantes, como se ha

nombrado anteriormente, objetos de conocimiento como razón, proporcionalidad, razón

como medida, multiplicación, constante de proporcionalidad.

Al mismo tiempo se observa tanto en los episodios de los apartados anteriores como

en las ilustraciones, algunos procesos desarrollados por los estudiantes como la validación

de lo que expresa cada compañero, correspondencia uno a uno, construcción de las tablas

de multiplicar, identificación de variables en los problemas de tipo multiplicativos,

construcción de tablas para relacionar las cantidades variables, uso diferentes palabras para

establecer relaciones, relaciones como valor por unidad, una cajas de reciclaje por dos días.

Con el tratamiento de las situaciones problema, el uso de diferentes instrumentos en

las actividades, el cambio de lenguaje en la medida que solucionaban problemas de tipo

multiplicativo les permitió a los estudiantes otra mirada a la multiplicación, trayendo

consigo nuevos objetos de conocimientos como razón, proporcionalidad, variables,

coeficiente de proporcionalidad, objetos de conocimientos que serán importante para

constituir otros conceptos en el transcurso de su escolaridad.

En el apartado 2.1.5 se nombra como en la medida que el sujeto interactúan con un

objeto (para este caso un objeto de conocimiento), a través de la actividad, lo cualifica, lo

describe, lo nombra y hace uso de él, es decir, en la medida que el sujeto interactúa con el

objeto lo objetiva. Para este caso, en la medida que los estudiantes interactuaban con la

multiplicación en la actividad matemática, analizaban otros objetos de conocimiento

116


implícitos en la multiplicación y hacía uso de ésta, de tal forma que objetivaban la

multiplicación.

Los objetos de conocimientos, nombrados anteriormente, como razón,

proporcionalidad, coeficiente de proporcionalidad, magnitud, son conceptos que nombran

la multiplicación, como se analiza en los apartados 2.3.1 y 2.3.2, mirando la multiplicación

desde los problemas de isomorfismo de medida, especialmente desde la relación tipo

función.

117

5. A MODO DE CONCLUSIONES

En la elaboración del presente trabajo de investigación, tanto en la revisión de la

literatura como en el trabajo de campo (las situaciones problemas emergidas en el aula de

clase), se analizaron algunas de las acciones que los estudiantes desarrollaron en la

constitución del concepto de multiplicación, orientando el análisis por la pregunta, ¿Qué

procesos, instrumentos y objetos de conocimientos están presentes en el tratamiento que

los estudiantes de los grados de tercero y cuarto de primaria hacen en las situaciones de

isomorfismo de medida, en términos del análisis relacional tipo función?.

Para dar respuesta a esta pregunta de investigación, emergieron durante el análisis

tres categorías: De los cuantificadores no numéricos a los cuantificadores numéricos”, “El

objeto/motivo de la actividad matemática” y “Objetos de conocimiento'”. Cada una de estas

categorías muestra los procesos, instrumentos y objetos de conocimiento desarrollados y

usados por los estudiantes en las situaciones problema en esta investigación.

En este sentido y a modo de conclusiones de la investigación las formas de acción

presenten fueron:

S Procesos:

- El paso del pensamiento aditivo al pensamiento multiplicativo ayuda al

estudiante a constituir el concepto de multiplicación, pues al multiplicar hay

una correspondencia entre cantidades de diferentes espacios de medida, esta

correlación guarda una relación de proporcionalidad. Si el estudiante es capaz

de establecer la relación entre cantidades, se puede decir que es capaz de pensar


118

multiplicativamente en el desarrollo de situaciones que requiera de la

multiplicación.

- En la comparación de magnitudes durante las situaciones problemas, los

estudiantes hacían uso de los cuantificadores cualitativos, como mucho, poco,

más o menos, más de la mitad, un poco, un morro, para tratar de expresar la

relación que se establece entre dos cantidades variables, como el caso de

cantidad de insumos con el número de estudiantes, cantidad de basuras

producidas por la cantidad de estudiantes del salón o comparación de basuras

vista con relación a un salón de clase. Estos cuantificadores cualitativos les

ayudó a observar a los estudiantes qué sentido tenía la relación que estaban

estableciendo, para luego darle una cuantificación numérica, relaciones

numéricas que hacían alusión a cantidades de dos espacios de media diferentes,

para el caso de las situaciones de isomorfismo de medida, análisis tipo función.

- Las actividades matemáticas desarrolladas en la escuela deben partir de las

necesidades y motivos de los estudiantes, los maestro deben ser los guías

orientadores de esta actividad matemática para que emerja en los estudiantes, a

partir del objetivo/motivo de la situación, el objeto/motivo de conocimiento.

S Instrumentos:

- Las tablas para registrarlos datos que se generan en una situación problema,

le permite visualizar al estudiantes las relaciones que se establecen entre las

cantidades, de este modo, se podía observar las cantidades variables y recurrir a

la tabla cuando se presentan dudas, como es el caso de observar que el precio


119

nunca varía pero si la cantidad de insumos que necesito, estableciendo allí la

relación del valor por unidad. El uso de las tablas les permitió a los estudiantes

observar la relación tipo función que se puede establecer ente las cantidades de

diferente espacio de medida.

- El uso de las tablas de multiplicar durante las situaciones problemas se vió

necesario en los niños para dar solución a las multiplicaciones que allí

encontraba, pues al establecer las relaciones entre las cantidades dentro de un

problema de tipo multiplicativo inmediatamente se daban cuenta que debían

realizar una multiplicación.

- Los objetos de conocimiento expuestos en la red conceptual, también fueron

un instrumento cognitivo para los estudiantes, pues estos objetos fueron un

mediador para nombrar la multiplicación y hacer uso de ella.

S Objetos de conocimiento:

- Dentro de los objetos de conocimiento desarrollados y aplicados en las

situaciones y vistos durante la revisión de la literatura se puede observar la

razón, la proporción, proporcionalidad directa, función lineal, coeficiente de

proporcionalidad, algoritmo de la multiplicación, correlación, correspondencia

uno a uno. Estos objetos de conocimientos fueron emergiendo en las

situaciones y se pueden observar durante con construcción de las redes

conceptuales. Para las situaciones tratadas de isomorfismo de medida tipo

función, se hace énfasis en los objetos de conocimiento del coeficiente de


120

proporcionalidad, el cual muestra la linealidad que se presenta en las

situaciones multiplicativas, para el caso de las situaciones tratadas, a mayor

cantidad de insumos, mayor precio; a mayores salones, mayor reciclaje.

Si bien en las situaciones de isomorfismo de medida emergen objetos de

conocimiento como la proporcionalidad, correlación, algoritmo de la multiplicación, las

situaciones de isomorfismo de medida tipo función, también trae a colación objetos de

conocimiento como proporcionalidad directa, función lineal, coeficiente de

proporcionalidad tipo función. Para las situaciones tratadas en esta investigación el paso de

lo cualitativo o lo cuantitativo es un proceso que les permitió a los estudiantes establecer la

relación entre las cantidades de dos espacios de medida y hallar el coeficiente de

proporcionalidad tipo función.

Durante el recorrido por la objetivación de la multiplicación, se puedo evidenciar

cómo emergió la definición de ésta como una operación caracterizada por relaciones de

razón y proporcionalidad, el paso del pensamiento aditivo al pensamiento multiplicativo y

las situaciones problemas de isomorfismo de medida (las relaciones escalares y funcionales

que allí se pueden establecer). Además, se observó que no es suficiente con que el

estudiante defina el concepto de multiplicación. Para que un concepto matemático sea

constituido, es necesario que se caracterice y se haga usa de él en diferentes situaciones, de

esta forma se dice que el concepto matemático es objetivado.

Al centrar este trabajo en las situaciones de isomorfismo de medida, en términos del

análisis relacional tipo función, se observó que las situaciones referentes a las compras y

especialmente las situaciones en las que se debe comparar magnitudes de longitudes, áreas,


121


volúmenes, peso, entre otras, permiten mirar el coeficiente de proporcionalidad tipo función

que se encuentra al relacionar dos cantidades variables en un problema de tipo

multiplicativo, como es el caso del valor por unidad, cantidad de basura relacionada con la

cantidad de basura al reciclar, medidas de volumen en relación con la cantidad dada con un

instrumento de medida no convencional y convencional.

Las acciones de los niños permitieron visualizar que en la escuela al tratar la

multiplicación, también debe referirse a las cantidades continuas, pues para estas cantidades

también se cumple, dentro de un problema de tipo multiplicativo, las relaciones escalares y

funcionales. En la situación de los residuos sólido se observó cómo los estudiantes

aproximaban las cantidades continuas que les daban al relacionar la cantidad de basuras

generadas y la cantidad de basura reciclada, a partir de esta relación es que encuentran un

coeficiente de proporcionalidad tipo función, estableciendo esta relación, primero de forma

cualitativa y luego a través de las cantidades generadas en el problema planteado.

Las relaciones entre cantidades trabajadas en las situaciones problema, emergieron

por la orientación de la maestra investigadora en las acciones de los estudiantes, de tal

forma que los niños mediante diferentes momentos o escenarios constituyeran el

conocimiento matemático que la maestra quería enseñar, pues si bien el estudiante parte de

un motivo para desarrollar ciertas acciones, este motivo debe ser un pretexto para que

emerja en el estudiante el conocimiento matemático que se quiere enseñar (objeto/motivo

de conocimiento científico, en este caso la objetivación de la multiplicación).

Se evidencia que a partir de las necesidades de los estudiantes emergen los

conocimientos matemáticos como finalidad cognitiva. Así, dentro de las situaciones

122


problemas se presentan dos objetos/motivos y por ende dos finalidades, el objeto/motivo del

estudiante que lleva a la puesta en escena de la finalidad externa y el objeto/motivo de

conocimiento científico (objeto/motivo del maestro) que son los conceptos científicos que

deben ser trabajados en la escuela dentro de la actividad escolar, presentando una finalidad

cognitiva.

Es importante rescatar que si bien el objeto/motivo de conocimiento científico no es

conocido por el estudiante al inicio de la situación, el maestro debe orientar las acciones de

los estudiantes para que emerja en sus acciones. Para ello, el maestro debe tener, como

guía, una red conceptual, que está en constante transformación, que le ayuda a identificar

los objetos y conceptos a enseñar en la situación y los que van emergiendo.

Uno de los interrogantes que queda abiertos a la luz de la presente investigación, es

cuándo en los estudiantes emerge el objeto/motivo de conocimiento científico sin dejar a un

lado el objeto/motivo del estudiante, es decir, qué pasa en las acciones de los estudiantes

que en algún momentos necesita de un objeto de conocimiento científico para continuar con

su actividad matemática, pues es en esta movilización del objeto/motivo de conocimiento

que las actividades escolares se diferencian de las actividades realizadas por fuera de la

escuela.

La presente investigación también deja abierto el tratamiento de las situaciones

multiplicativas de tipo producto de medida, pues las situaciones que se presentan hacen

énfasis a las situaciones de isomorfismo de medida en relación al coeficiente de

proporcionalidad y se observa cómo entre las cantidades correlacionas que allí se presentan

hay una relación escalar y funcional; es decir, qué pasa con las cantidades de un problema

123

de producto de medida si allí también se relacionan las unidades de medida de las

cantidades.


124

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS


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128


7. ANEXO

Institución Educativa Abraham Reyes

Bello-Antioquia

2010

Actividad 1

Resuelve

1. Mariana le gusta coleccionar monedas, ella tiene 196 monedas. ¿Cuántas monedas le hacen falta para completar 300?

2. En una bolsa hay algunas pelotas. Si hay 52 pelotas verdes y 93 pelotas azules, ¿cuántas pelotas hay?

3. Si un corredor ya lleva recorrido 18.950 metros, de 56.800 metros que debe recorrer, ¿cuánta longitud le queda por recorrer?

4. Andrés le debe 58 canicas a José, José le debe 39 canicas a Andrés, ¿cuántas canicas le queda debiendo Andrés a Juan?

5. María tiene 23 años, si Juan es 8 años mayor que ella, ¿cuántos años tiene?

6. En un colegio hay 1.980 mujeres y 987 hombres. ¿Cuántos hombres hace falta para ser igual a la cantidad de mujeres?

7. Si en una fiesta hay 87 regalos y son 127 invitados, ¿cuántos regalos hace falta?

8. Hay varias cajas de colores con 8 colores cada caja. Si en total hay 48 colores, ¿cuántas cajas hay?

129


9. En una canasta de huevos se colocan 30 huevos, si hay tres canastas con la misma cantidad de huevos, ¿cuántos huevos hay en total?

10. En una partida de canicas, José por cada partida ganada recibe 3 canicas. Si gana 7 veces, ¿cuántas canicas recibe en total?

11. Andrés pagó $120 por 8 dulces iguales. ¿Cuánto pagará por tres dulces?

Respuesta:_________________________________________

Ahora teniendo en cuenta los datos del problema anterior, completa la siguiente tabla:

NÚMERO

DE DULCESPRECIO

2

3

4

6

8 $ 120

10

¿Cómo encontraste el precio de 3 dulces?

¿Cómo encontraste el precio de 10 dulces?

12. Mateo quiere tener 20 videojuegos y su mamá le propuso un trato. Cada vez que Mateo compre dos videojuegos con sus ahorros, su mamá le va a regalar 3 videojuegos. ¿Cuántos videojuegos tendrá que comprar Mateo y cuántos tendrá que darle su mamá?

13. Un panadero utilizó 10 bolsas de leche para hacer 20 panes “iguales”. ¿Cuántas bolsas de leche necesitará para hacer 18 panes iguales?

130


14. Inventa un problema que se resuelva con la multiplicación 2 x 19

15. Juan va a la tienda a comprar unos dulces para compartir con los 20 compañeros de clase. En la tienda le dicen, que con $ 50 puede comprar 4 dulces, y él tiene $ 200. ¿Cuánto dinero le hace falta para que pueda comprar un dulce para cada uno de sus compañeros?

131

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