Formas diferenciales -...

Capıtulo 7

Formas diferenciales

1. Campos vectoriales

El objetivo de este capıtulo es establecer, de forma precisa e integral,los conceptos del calculo vectorial: campos vectoriales, gradiente, rotacionaly divergencia, integrales de lınea y superficie, etc. Es posible incluir todosestos conceptos en una unica teorıa, la de formas diferenciales, la cual formala base no solo para estos sino para la comprension de la geometra diferen-cial moderna, de la cual haremos una breve introduccion en los capıtulossiguientes.

Definicion 7.1. Para p ∈ Rn, el espacio tangente en p es el conjunto

Rnp = {(p, v) : v ∈ Rn}.

pv

(p,v)

Figura 1. El espacio tangente puede verse como el espacio de n-vectorescuyo punto inicial esta ubicado en el punto p.

Es decir, Rnp es una copia del espacio euclideano Rn, con base en el punto

p. Podemos entender el espacio tangente como el espacio de n-vectores cuyo

129

130 7. Formas diferenciales

punto inicial, en lugar de estar ubicado en el origen, esta ubicado en el puntop, como en la figura 1. Si (p, v) ∈ Rn

p , lo denotaremos simplemente como vp.

Es claro que Rnp es un espacio vectorial con operaciones

vp + up = (v + u)p, y λvp = (λv)p.

Ademas, Rnp posee el producto interno

vp · up = v · u,

donde el producto de la derecha es el producto punto estandar en Rn.

A la union puntual de los espacios tangentes en cada punto de Rn, esdecir ⋃

p∈Rn

Rnp

se le llama el haz tangente, y se denota por TRn.

Definicion 7.2. Un campo vectorial es una funcion F : Rn → TRn tal que,para cada p ∈ Rn,

F (p) ∈ Rnp .

En otras palabras, el campo vectorial F asigna en cada punto p un vectorcon inicio en p. La figura 2 ilustra, por ejemplo, el campo F (p) = (−p1, p2)pen R2.

Figura 2. El campo vectorial F (p) = (−p1, p2)p en R2.

Si F,G : Rn → TRn son campos vectoriales, entonces podemos definirlas siguientes opearaciones.

1. (F +G)(p) = F (p) +G(p);

2. (λF )(P ) = λF (p);

3. Si f : Rn → R, (fF )(p) = f(p)F (p);

4. (F ·G)(p) = F (p) ·G(p).

2. Formas diferenciales en R3 131

Si e1, e2, . . . , en es la base estandar en Rn, esta induce una base estandar

para Rnp en cada p ∈ Rn, a saber

(e1)p, (e2)p, . . . , (en)p.

Es decir, simplemente ubicamos el punto inicial de cada ei en el punto p

(figura 3).

e2

e1

p e

e2( )p

1( )p

Figura 3. La base estandar de R2

p.

Si F : Rn → TRn es un campo vectorial, entonces podemos escribirlo dela forma

F (p) = F 1(p)(e1)p + F 2(p)(e2)p + . . . + Fn(p)(en)p.

Las funciones F i : Rn → R son llamadas funciones componentes. Decimosque el campo F es continuo (diferenciable, de clase C1, Ck, etc.) si cadacomponente F i es continua (diferenciable, de clase C1, Ck, etc, respectiva-mente).

2. Formas diferenciales en R3

Recordemos algunos conceptos del calculo vectorial en R3.

Gradiente Si f : R3 → R es una funcion diferenciable, el gradiente de f es elcampo

grad(f)(p) = (D1f(p),D2f(p),D3f(p))p.

Es decir, el campo cuyas componentes son las derivadas parcialesde la funcion f . Este campo se suele denotar como ∇f

Rotacional Si F : R3 → TR3 es un campo vectorial diferenciable, el rotacionalde F es el campo

curl(F ) = (D2F3 −D3F

2,D3F1 −D1F

3,D1F2 −D2F

1),

el cual se suele denotar por ∇× F .


Divergencia Si F : R3 → TR3 es diferenciable, la divergencia de F es la funcion

div(F ) = D1F1 +D2F

2 +D3F3,

que suele denotarse por ∇ · F .

Procederemos, en el resto de esta seccion, a integrar estos conceptos enuna clase unica de operaciones. Para esto, como ya lo habıamos mencionado,necesitamos un concepto nuevo: el de formas diferenciales. Para simplificarestas ideas, restringiremos nuestras definiciones y calculos iniciales al espacioR3. La generalizacion a Rn es inmediata, y la dejaremos para la siguienteseccion.

Para cada p ∈ R3, consideramos el espacio dual de R3p

(R3p)

∗ = {ϕ : R3p → R : ϕ es lineal}.

Es decir, el espacio de las transformaciones lineales de R3p a R. No es difıcil

ver que (R3p)

∗ es un espacio vectorial de dimension 3, al igual que R3p, y que

cualquier base {(v1)p, (v2)p, (v3)p} de R3p induce una base de (R3

p)∗, llamada

la base dual y denotada por (v1)p, (v2)p, (v3)p, definida de la forma

(vi)p(vj)p =

{1 i = j;

0 i 6= j.

La base dual inducida por la base estandar (e1)p, (e2)p, (e3)p se le llamabase dual estandar y se denota por

dx1p, dx

2p, dx

3p.

A cada una de las transformaciones dxip se les llama diferenciales elementales

en p. Nota que dxip(vp) = vi, es decir, dxi

p solo toma la coordenada i del

vector vp ∈ Rnp . Ademas, para ψ ∈ (R3

p)∗, si definimos ξi = ψ((ei)p), entonces

ψ = ξ1dx1p + ξ2dx

2p + ξ3dx

3p.

A la union⋃

p∈R3(R3)∗ de los espacios duales se le denomina haz cotangente

de R3, y se denota por T ∗R3.

Una 1-forma diferencial en R3 es una funcion ω : R3 → T ∗R3 tal que,para cada p ∈ R3,

w(p) ∈ (R3p)

∗.

Por las observaciones anteriores, para cada p ∈ R3 podemos escribir

ω(p) = ω1(p)dx1p + ω2(p)dx

2p + ω3(p)dx

3p.

A las funciones ωi : R3 → R se les llama funciones componentes de ω.Solemos escribir, simplemente,

ω = ω1dx1 + ω2dx

2 + ω3dx3.


Ejemplo 7.3. Sea f : R3 → R una funcion diferenciable. Definimos la1-forma df como

df(p)(vp) = Df(p)(v).

A la forma df se le llama el diferencial de f . Como el Jacobiano de f encada punto p esta dado por

f ′(p) =(D1f(p) D2f(p) D3f(p)

),

tenemos que

df = D1fdx1 +D2fdx

2 +D3fdx3,

o, en notacion clasica,

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz.

Podemos observar que df tiene las mismas componentes que grad f . Masaun, si πi : R3 → R es la funcion πi(x) = xi, entonces

dπi = dxi,

lo que motiva a usar la notacion dxi para la base dual estandar.

Definicion 7.4. Sea ϕ : R3p ×R3

p → R. Decimos que ϕ es bilineal si es lineal

en cada coordenada. Es decir, para up, vp, wp ∈ R3p y α, β ∈ R,

ϕ(αup + βvp, ωp) = αϕ(up, ωp) + βϕ(vp, ωp),

ϕ(up, αvp + βωp) = αϕ(up, vp) + βϕ(up, ωp).

Ejemplo 7.5 (Producto punto). El ejemplo mas natural de una forma bi-lineal es la inducida por el producto punto en R3

p, dada por

ϕ(up, vp) = u · v.

La bilinealidad se sigue directamente de la definicion del producto punto.

Definicion 7.6. Decimos que la forma bilineal ϕ es alternante si, para cadaup, vp ∈ R3

p,

ϕ(up, vp) = −ϕ(vp, up).

Podemos notar que, si ϕ es alternante, ϕ(up, up) = 0 para todo up ∈ R3p.

Denotamos el espacio de formas bilineales alternantes en R3p por Λ2(R3

p).

Si ϕ1, ϕ2 ∈ (R3p)

∗, definimos el producto cuna de ϕ1 y ϕ2 como

ϕ1 ∧ ϕ2(up, vp) = det

(ϕ1(up) ϕ1(vp)ϕ2(up) ϕ2(vp)

).


Por ejemplo, sean ϕ1 = 2dx1 − 3dx2 y ϕ2 = dx1 + dx2. Entonces ϕ1 ∧ ϕ2

esta dado por

ϕ1 ∧ ϕ2(x, y) = det

(ϕ1(x) ϕ1(y)ϕ2(x) ϕ2(y)

)

= ϕ1(x)ϕ2(y) − ϕ1(y)ϕ2(x)

= (2x1 − 3x2)(y1 + y2) − (2y1 − 3y2)(x1 + x2)

= 5x1y2 − 5x2y1.

Nota que ϕ1∧ϕ2(y, x) = −ϕ1∧ϕ2(x, y); es decir, ϕ1∧ϕ2 es alternante. Estaes una de las propiedades del producto cuna, enumeradas en las siguienteproposicion.

Proposicion 7.7. Sean ϕ1, ϕ2 ∈ (R3p)

∗. Entonces

1. ϕ1 ∧ ϕ2 es bilineal y alternante.

2. ϕ1 ∧ ϕ2 = −ϕ2 ∧ ϕ1.

3. dx1p ∧ dx

2p, dx

1p ∧ dx

3p y dx2

p ∧ dx3p forman una base para Λ2(R3

p).

Denotaremos a dxip ∧ dx

jp simplemente por (dxi ∧ dxj)p. Solo se demos-

trara la parte 3 de la proposicion. Las primeras dos se dejan como ejercicioal lector (ejercicio 3).

Demostracion de 3: Para demostrar que (dx1∧dx2)p, (dx1∧dx3)p y (dx2∧dx3)p son linealmente independientes, definimos

Φ = α1(dx1 ∧ dx2)p + α2(dx

1 ∧ dx3)p + α3(dx2 ∧ dx3)p

y suponemos que Φ = 0. Debemos mostrar entonces que α1 = α2 = α3 = 0.

Si i 6= j,

(dxi ∧ dxj)p((ek)p, (el)p) = det

(dxi(ek) dxi(el)dxj(ek) dxj(el)

)

=

1 i = k, j = l

−1 i = l, j = k

0 en cualquier otro caso.

De aquı que

Φ((e1)p, (e2)p) = α1,

Φ((e1)p, (e3)p) = α2,

Φ((e2)p, (e3)p) = α3,

Por lo tanto, como Φ = 0, α1 = α2 = α3 = 0.


Ahora demostraremos que (dx1 ∧ dx2)p, (dx1 ∧ dx3)p y (dx2 ∧ dx3)pgeneran el espacio Λ2(R3

p). Sea ϕ ∈ Λ2(R3p). Entonces

ϕ(xp, yp) = ϕ( 3∑

i=1

xi(ei)p,

3∑

j=1

yj(ej)p

)=

3∑

i=1

3∑

j=1

xiyjϕ((ei)p, (ej)p).

Como ϕ es alternante, ϕ((ei)p, (ei)p) = 0 y ϕ((ei)p, (ej)p) = −ϕ((ej)p, (ei)p).Por lo que

ϕ(xp, yp) =∑

1≤i<j≤3

(xiyj − xjyi)ϕ((ei)p, (ej)p)

= (x1y2 − x2y1)ϕ((e1)p, (e2)p) + (x1y3 − x3y1)ϕ((e1)p, (e3)p)

+ (x2y3 − x3y2)ϕ((e2)p, (e3)p).

Nota que

xiyj − xjyi = dxip(xp)dx

jp(yp) − dxj

p(xp)dxip(yp) = (dx1 ∧ dx2)p(xp, yp).

Si α1 = ϕ((e1)p, (e2)p), α2 = ϕ((e1)p, (e3)p), α3 = ϕ((e2)p, (e3)p), entonces

ϕ = α1(dx1 ∧ dx2)p + α2(dx

1 ∧ dx3)p + α3(dx2 ∧ dx3)p.

�

Corolario 7.8. Λ2(R3p) es un espacio vectorial de dimension 3.

Una 2-forma diferencial es una funcion ω : R3 →⋃

p∈R3 Λ2(R3p) tal que,

para cada p ∈ R3,

ω(p) ∈ Λ2(R3p).

Por la proposicion anterior, si ω es una 2-forma diferencial, entonces

ω(p) = ω12(p)(dx1 ∧ dx2)p + ω13(p)(dx

1 ∧ dx3)p + ω23(p)(dx2 ∧ dx3)p,

donde ω12, ω13, ω23 : R3 7→ R. Decimos que ω es continua (diferenciable, C1,etc.) si cada una de las componentes ωij son continuas (diferenciables, C1,etc., respectivamente).

Sea ω la 1-forma diferencial ω = ω1dx1 + ω2dx

2 + ω3dx3. El diferencial

dω es la 2-forma diferencial dada por

dω(p) = (dω1)p ∧ dx1p + (dω2)p ∧ dx

2p + (dω3)p ∧ dx

3p.

Como, para cada i = 1, 2, 3,

dωi = D1ωidx1 +D2ωidx

2 +D3ωidx3,

tenemos que la 2-forma diferencial dω esta dada por

dω = (D1ω2 −D2ω1)dx1 ∧ dx2 + (D1ω3 −D3ω1)dx

1 ∧ dx3

+ (D2ω3 −D3ω2)dx2 ∧ dx3.


En notacion clasica, dω esta dada por(∂ω3

∂y−∂ω2

∂z

)dy ∧ dz +

(∂ω1

∂z−∂ω3

∂x

)dz ∧ dx+

(∂ω2

∂x−∂ω1

∂y

)dx ∧ dy.

Observa que, escritas en ese orden, las componentes de dω son las mismasque las del rotacional del campo vectorial con componentes w1, w2 y w3.

Consideremos una funcion ϕ : R3p × R3

p × R3p → R tal que satisface las

siguientes propiedades:

1. ϕ es multilineal ; es decir, es lineal en cada variable; y

2. ϕ es alternante; es decir,

ϕ(up, vp, wp) = −ϕ(vp, up, wp),

ϕ(up, vp, wp) = −ϕ(wp, vp, up),

ϕ(up, vp, wp) = −ϕ(up, wp, vp).

Es decir, el intercambio de cualquiera dos variables en ϕ implicaun cambio de signo.

Dichas formas en R3p forman un espacio vectorial, y se denota por Λ3(R3

p).

Ejemplo 7.9 (Determinante). El ejemplo natural de una forma en Λ3(R3p)

esta dado por

ϕ(up, vp, wp) = det(u v w

).

Es decir, el determinante de la matriz formada por los vectores u, v y w

como columnas. Las propiedades basicas del determinante implican que ϕes multilineal y alternante.

Las forma inducida por el determinante es denotada por

(dx1 ∧ dx2 ∧ dx3)p.

Aunque no hemos definido el producto cuna de tres 1-formas, esta nota-cion sera justificada en la siguiente seccion, cuando estudiemos el productocuna de k-formas diferenciales en Rn. Sin embargo, tenemos las siguienteproposicion.

Proposicion 7.10. Sea ϕ ∈ Λ3(R3p). Entonces existe α ∈ R tal que

ϕ = α (dx1 ∧ dx2 ∧ dx3)p.

Demostracion. Observemos primero que

ϕ(ei, ej , ek) =

{±ϕ(e1, e2, e3) i, j, k son diferentes

0 de otra forma.

Esto se sigue directamente del hecho que ϕ es alternante. Sea

α = ϕ(e1, e2, e3).

3. Algebra exterior 137

Mostraremos que ϕ = α (dx1 ∧ dx2 ∧ dx3)p. Sean x, y, z ∈ R3p. Entonces

ϕ(x, y, z) = ϕ( 3∑

i=1

xiei,

3∑

j=1

yjej,

3∑

k=1

zkek

)=

∑

i,j,k

xiyjzkϕ(ei, ej , ek)

= ϕ(e1, e2, e3)(x1y2z3 + x2y3z1 + x3y1z2

− x1y3z2 − x2y1z3 − x3y2z1)

= α det(x y z

).

�

Como corolario, tenemos que Λ3(R3p) es un espacio vectorial de dimen-

sion 1, y que cualquier forma en Λ3(R3p) es simplemente un multiplo del

determinante de matrices de 3 × 3.

Decimos que ω : R3 →⋃

p∈R3 Λ3(R3p) es una 3-forma diferencial si, para

cada p ∈ R3,

ω(p) ∈ Λ3(R3p).

Si escribimos

ω(p) = α(p)(dx1 ∧ dx2 ∧ dx3)p,

diremos que ω es continua (diferenciable, C1, etc.) si α : R3 → R es continua(diferenciable, C1, etc., respectivamente).

Si ω = ω1dx2∧dx3+ω2dx

3∧dx1+ω3dx1∧dx2 es una 2-forma diferencial,

entonces definimos el diferencial de ω como la 3-forma

dω = (D1ω1 +D2ω2 +D3ω3)dx1 ∧ dx2 ∧ dx3.

La razon por la cual definimos el diferencial de esta manera la veremos,igualmente, en la secciones siguientes, ya que necesitamos definir el productocuna de una 1-forma con una 2-forma. Sin embargo, podemos observar queel diferencial dω tiene como componente la divergencia del campo vectorialen R3 con componentes ω1, ω2 y ω3.

De esta forma, podemos concluir que el gradiente, el rotacional y ladivergencia forman parte de la misma operacion en R3: el diferencial deformas. En las secciones siguientes generalizaremos estos conceptos al espacioRn.

3. Algebra exterior

Sea V un espacio vectorial real de dimension finita, y n = dimV . Deci-mos que la funcion T : V k → R, donde

V k =

k︷︸︸︷V × V × · · · × V ,


es multilineal si es lineal en cada coordenada, es decir

T (v1, v2, . . . ,

i︷︸︸︷αvi + βu, . . . , vk)

= αT (v1, v2, . . . ,

i︷︸︸︷vi , . . . , vk) + βT (v1, v2, . . . ,

i︷︸︸︷u , . . . , vk)

para cada i = 1, 2, . . . , k. Decimos que la funcion multilineal T es alternante

si

T (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) = −T (v1, . . . ,

i︷︸︸︷vj , . . . ,

j︷︸︸︷vi , . . . , vk),

para cada i, j = 1, 2, . . . , k, i 6= j.

Las principales propiedades de las funciones alternantes estan enumera-das en la siguiente proposicion.

Proposicion 7.11. Si T : V k → R es alternante, entonces

1. Para σ ∈ Sk,

T (vσ(1), vσ(2), . . . , vσ(k)) = sgn(σ)T (v1, . . . , vk),

donde Sk es el grupo simetrico de k objetos y

sgn(σ) =

{1 si σ es par

−1 si σ es impar;

2. T (v1, . . . , vi, . . . , vi, . . . , vk) = 0; y

3. Si los vectores v1, . . . , vk son linealmente dependientes,

T (v1, . . . , vk) = 0.

Demostracion. Demostraremos la tercera parte de esta proposicion, mien-tras las dos primeras se dejan como ejercicio (ejercicio 5).

Si v1, . . . , vk son vectores linealmente dependientes, entonces podemossuponer, sin perdida de generalidad, que existen α2, . . . , αk ∈ R tales que

v1 =k∑

i=2

αivi.

Tenemos entonces que, por la linealidad de T en la primer variable,

T (v1, v2, . . . , vk) =k∑

i=2

αiT (vi, v2, . . . , vk) = 0,

donde la ultima igualdad se debe a que T es alternante. �


Denotaremos el conjunto de funciones multilineales alternantes en V k

por Λk(V ). No es muy difıcil verificar que Λk(V ) es un espacio vectorial,con suma y multiplicacion escalar puntuales. En el caso k = 1, Λ1(V ) = V ∗,el espacio dual de V . La tercera parte de la proposicion 7.11 implica queΛk(V ) = {0} si k > n.

Definicion 7.12. Sean ϕ1, ϕ2, . . . , ϕk ∈ V ∗. Definimos el producto exterior

de ϕ1, ϕ2, . . . , ϕk como la transformacion multilineal alternante dada por

(7.1) ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk(v1, v2, . . . , vk) = det(ϕi(vj)).

El producto exterior es tambien llamado producto cuna. La propiedadesbasicas del determinante permiten garantizar que la transformacion dadapor (7.1) es, de hecho, multilineal y alternante.

Teorema 7.13. Sea V un espacio vectorial, con dimV = n < ∞. Sea

B = {v1, v2, . . . , vn} una base para V y {v1, v2, . . . , vn} la base dual de Bpara el espacio dual V ∗. Entonces los productos

vi1 ∧ vi2 ∧ · · · ∧ vik ,

con 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n, forman una base para Λk(V ), 1 ≤ k ≤ n.

Como corolario, tenemos que la dimension del espacio Λk(V ) es igual a(n

k

),

el coeficiente binomial de n en k.

Para simplificar la notacion, denotaremos un multiındice (i1, i2, . . . , ik)como I; ası, |I| representa su longitud (en este caso |I| = k). Decimos queun multiındice I = (i1, i2, . . . , ik) es creciente si i1 < i2 < . . . < ik.

La lista (vi1 , vi2 , . . . , vik) sera denotada por vI , y

vI = vi1 ∧ vi2 ∧ · · · ∧ vik .

Procedemos ahora a la demostracion del teorema 7.13.

Demostracion. Mostraremos primero que los productos vI , con I creciente,son linealmente independientes. Suponemos entonces que

∑

I creciente

aI vI = 0,

y demostraremos que todos los aI = 0.

Sea J un multiındice creciente. Entonces( ∑

I creciente

aI vI

)(vJ) = 0,


Pero( ∑

I creciente

aI vI

)(vJ ) =

∑

I creciente

aI vI(vJ ) = aJ vJ(vJ ) = aJ ,

por lo que aJ = 0, como querıamos verificar.

Ahora, sea Φ ∈ Λk(V ), u1, u2, . . . , uk ∈ V , y evaluaremos

Φ(u1, u2, . . . , uk).

Primero, sean aji ∈ R, i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n, tales que

ui =n∑

j=1

ajivj , i = 1, 2, . . . , k.

Entonces

Φ(u1, u2, . . . , uk) = Φ(

n∑

j1=1

aj11 vj1,

n∑

j2=1

aj22 vj2 , . . . ,

n∑

jk=1

ajk

k vjk)

=∑

J

aj11 a

j22 . . . a

jk

k Φ(vj1 , vj2 , . . . , vjk)

=∑

J creciente

( ∑

σ∈Sk

aσ(j1)1 a

σ(j2)2 . . . a

σ(jk)k sgn(σ)

)Φ(vJ)

=∑

J creciente

det(ajl

i )i,l=1,...,kΦ(vJ).

Si definimos ξJ = Φ(vJ), entonces

Φ(u1, . . . , uk) =∑

J creciente

ξJ det(ajl

i )1≤i,l≤k.

Como cada ajl

i = vjl(ui), tenemos que

det(ajl

i ) = vJ(u1, . . . , uk).

Por lo tanto

Φ =∑

J creciente

ξJ vJ ,

y concluimos que los vI , con I creciente, generan el espacio Λk(V ). �

De la demostracion del teorema 7.13, tenemos el siguiente corolario.

Corolario 7.14. Si v1, v2, . . . , vn es una base para V y Φ ∈ Λn(V ), entonces

Φ(u1, . . . , un) = det(aji )Φ(v1, . . . , vn),

si ui =∑n

j=1 ajivj .


Si B = {v1, v2, . . . , vn} y C = {u1, u2, . . . , un} son bases para V , entoncesel corolario 7.14 implica que el signo del producto

Φ(v1, v2, . . . , vn) · Φ(u1, u2, . . . , un)

es independiente de Φ, y esta dado por el signo de detA, si A es la matrizde cambio de base. Entonces, detA define una “paridad” de la base B conrespecto a la base C, la cual genera una relacion de equivalencia entre lasbases de V :

{u1, u2, . . . , un} ∼ {v1, v2, . . . , vn}

si y solo si

Φ(v1, v2, . . . , vn) · Φ(u1, u2, . . . , un) > 0

para Φ ∈ Λn(V ), Φ 6= 0. A la clase de equivalencia de la base {v1, v2, . . . , vn}se le denota por

[v1, v2, . . . , vn],

y se le llama orientacion de la base.

Ejemplo 7.15 (Orientacion estandar en R2). . Tomemos E = {e1, e2}, labase estandar de R2, y

B ={u1 =

(11

), u2 =

(1−1

) }

otra base para R2. Comou1 = e1 + e2

u2 = e1 − e2,

la matriz de cambio de base esta dada por

A =

(1 11 −1

).

Como detA = −2 < 0, concluimos que

[e1, e2] 6= [u1, u2].

Es decir, las bases E y B tienen distinta orientacion. Geometricamente, mien-tras la base estandar esta orientada en el sentido opuesto a las manecillas delreloj, la base B esta orientada en la direccion opuesta, como se ve en la figu-ra 4. A la orientacion de la base estandar en R2 la llamaremos simplementeorientacion estandar.

Ejemplo 7.16 (Regla de la mano derecha). La orientacion [e1, e2, e3] dela base estandar de R3 es conocida comunmente como la regla de la mano

derecha. Es llamada ası porque, si identificamos los vectores e1, e2, e3 con ladireccion de cada uno de los ejes x, y y z, respectivamente, entonces estasdirecciones corresponden a las direcciones de los dedos ındice, medio y pul-gar de la mano derecha, respectivamente, con el ındice extendido, el medio


2e

e1

u1

u2

Figura 4. La orientacion de las bases estandar y la base B. Mientras labase estandar esta orientada en el sentido opuesto a las manecillas delreloj, la base B esta orientada en la direccion opuesta.

e1

e2

e3

Figura 5. Los ejes x, y y z, con direcciones e1, e2 y e3, siguen las direc-ciones de los dedos ındice, medio y pulgar de la mano derecha.

doblado hacia la palma y el pulgar hacia arriba, como se puede verificar conayuda de la figura 5.

Estamos listos para definir una forma diferencial en Rn.

Definicion 7.17. Una k-forma exterior, o k-forma diferencial, en Rn, es unafuncion ω : Rn →

⋃p∈Rn Λk(Rn

p ) tal que, para cada p ∈ Rn, ω(p) ∈ Λk(Rnp ).

Es decir, para cada p ∈ Rn, ω(p) es una transformacion multilinealalternante en (Rn

p )k, donde Rnp es el espacio tangente en p.

Por el teorema 7.13, para cada p ∈ Rn y cada k-multiındice creciente Iexisten ωI(p) tales que

ω(p) =∑

I creciente

ωI(p)dxIp,

dondedxI

p = dxi1p ∧ dxi2

p ∧ · · · ∧ dxikp .


Si las funciones ωI : Rn → R son continuas (diferenciables, C1, etc.), enton-ces decimos que ω continua (diferenciable, C1, etc., respectivamente).

A una funcion f : Rn → R la llamaremos, por convencion, una 0-forma.

Ejemplo 7.18 (Formas en R). Las unicas formas diferenciales no trivialesen el espacio unidimensional R, aparte de las 0-formas, son las 1-formasω0dx, con ω0 : R → R.

Ejemplo 7.19 (Formas en R2). En R2, las 1-formas diferenciales estandadas por

ω1dx1 + ω2dx

2,

con w1, w2 funciones en R2, mientras las 2-formas diferenciales se escriben

ω0dx1 ∧ dx2,

o simplemente ω0dx1dx2, o ω0dxdy, en notacion clasica, donde ω0 es una

funcion en R2. A dx1 ∧ dx2 se le llama el elemento de area en R2.

Ejemplo 7.20 (Formas en R3). En el espacio R3, tenemos las 1-formas,

ω1dx1 + ω2dx

2 + ω3dx3.

Las 2-formas se escriben comunmente

F1dx2 ∧ dx3 + F2dx

3 ∧ dx1 + F3dx1 ∧ dx2.

La notacion y el orden en que se suelen escribir los productos exteriores seaclararan mas adelante. Las 3-formas se escriben

ω0dx1 ∧ dx2 ∧ dx3.

En notacion clasica, simplemente se suele escribir ω0dxdydz. dx1∧dx2∧dx3

es llamado el elemento de volumen en R3.

Las k-formas diferenciales en Rn forman un espacio vectorial bajo lasoperaciones suma y multiplicacion puntuales. Es decir si ω y η son k-formasdiferenciales, entonces su suma esta dada por

ω + η =∑

(ωI + ηI)dxI ,

mientras que la multiplicacion escalar esta dada simplemente por

λω =∑

λωIdxI .

Definicion 7.21. Si ω es una k-forma diferencial y η es una l-forma dife-rencial en Rn, definimos el producto exterior ω ∧ η como la (k + l)-formadiferencial

(7.2) ω ∧ η =∑

I,J

ωIηJdxI ∧ dxJ ,

donde la suma corre sobre todos los multiındices crecientes I de longitud k

y todos los multiındices crecientes J de longitud l.


En la formula (7.2), algunos, o todos, los productos dxI ∧dxJ pueden seriguales a 0, lo cual depende de la longitud de I y de J , y de si I y J tienenındices comunes. Al producto exterior tambien se le conoce comunmentecomo el producto cuna.

Ejemplo 7.22. Consideremos las formas ω y η en R3 dadas por

ω = xdx+ ydy + zdz y η = xdx ∧ dy + ydx ∧ dz,

y vamos a calcular la 3-forma ω ∧ η. Entonces

ω ∧ η = x2 dx ∧ dx ∧ dy + xy dx ∧ dx ∧ dz + xy dy ∧ dx ∧ dy

+ y2 dy ∧ dx ∧ dz + xz dz ∧ dx ∧ dy + yz dz ∧ dx ∧ dz.

De los terminos anteriores, solo dos son desiguales a cero. Tenemos, por lotanto, que

ω ∧ η = y2 dy ∧ dx ∧ dz + xz dz ∧ dx ∧ dy

= −y2 dx ∧ dy ∧ dz + xz dx ∧ dy ∧ dz

= (xz − y2) dx ∧ dy ∧ dz.

Algunas de las propiedades del producto exterior estan enumeradas porla siguiente proposicion. Otras se exploraran en los ejercicios.

Proposicion 7.23. Sean ω una k-forma, η una l-forma y ψ una p-forma

diferencial en Rn. Entonces

1. ω ∧ (η ∧ ψ) = (ω ∧ η) ∧ ψ;

2. ω ∧ η = (−1)klη ∧ ω; y

3. Si l = p, ω ∧ (η + ψ) = ω ∧ η + ω ∧ ψ.

Demostracion. 1. Es claro, de la definicion del producto exterior,que

dxI ∧ (dxJ ∧ dxL) = (dxI ∧ dxJ) ∧ dxL

para cualquiera multiındices I, J y L. Entonces

ω ∧ (η ∧ ψ) =∑

I,J,L

ωIηJψLdxI ∧ dxJ ∧ dxL = (ω ∧ η) ∧ ψ.

2. De manera similar, es suficiente con verificar esta parte para losproductos dxI ∧ dxJ . Como dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi para cualquieri, j,

dxI ∧ dxJ = dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjl

= (−1)kdxj1 ∧ dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjl

= (−1)−kldxJ ∧ dxI .

4. Cambio de coordenadas 145

3. La tercera parte se sigue de forma directa:

ω ∧ (η + ψ) =∑

ωI(ηJ + ψJ)dxI ∧ dxJ = ω ∧ η + ω ∧ ψ.

�

La segunda parte de la proposicion 7.23 implica que, si k es impar y ωes una k-forma diferencial, entonces

ω ∧ ω = 0.

Sin embargo, si k es par, es posible que ω ∧ ω no sea identicamente cero,como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7.24. Sea ω la 2-forma diferencial en R4 dada por

ω = x1 dx1 ∧ dx2 + x2 dx3 ∧ dx4

Tenemos entonces que

ω ∧ ω = x1x2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 + x1x2 dx3 ∧ dx4 ∧ dx1 ∧ dx2

= 2x1x2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4,

la cual no es identica a cero en R4.

4. Cambio de coordenadas

En esta seccion estudiamos el efecto de un cambio de variable en unaforma diferencial.

Definicion 7.25. Sea k ≥ 1. Si ω es una k-forma diferencial en Rm yf : Rn → Rm una funcion diferenciable, f∗ω es la k-forma diferencial en Rn

dada por

f∗ω(p)((v1)p, . . . , (vk)p) = ω(f(p))(Df(p)(v1)f(p), . . . .Df(p)(vk)f(p)).

Si g es una 0-forma en Rm, definimos simplemente f∗g = g ◦ f .

A f∗ se le suele llamar el levantamiento inducido por f . Las propiedadeselementales de f∗ se enumeran en la siguiente proposicion.

Proposicion 7.26. Sea f : Rn → Rm diferenciable. Entonces

1. Si ω, η son k-formas diferenciales en Rm,

f∗(ω + η) = f∗ω + f∗η;

2. Si g es una 0-forma diferencial,

f∗(gω) = f∗g · f∗ω;

y


3. Si ϕ1, ϕ2,...,ϕk son 1-formas diferenciales en Rn,

f∗(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk) = f∗ϕ1 ∧ · · · ∧ f∗ϕk.

Demostracion. Las primeras dos partes de la proposicion se siguen direc-tamente de la definicion de f∗ y se dejan como ejercicio (ejercicio 10).

Para demostrar la parte 3, sean ϕ1, ϕ2,...,ϕk 1-formas diferenciales enRn, p ∈ Rn y (v1)p, (v2)p, . . . , (vk)p ∈ Rn

p . Entonces

f∗(ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕk)(p)((v1)p, . . . , (vk)p)

= (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk)(f(p))(Df(p)(v1)f(p), . . . ,Df(p)(vk)f(p))

= det(ϕi(f(p))(Df(p)(vj)f(p))

)= det

(f∗ϕi(p)(vj)p

)

= (f∗ϕ1 ∧ · · · ∧ f∗ϕk)(p)((v1)p, . . . , (vk)p).

�

De la proposicion 7.26, si ω =∑

I ωIdxI , entonces

f∗ω =∑

I

(ωI ◦ f)f∗(dxI),

donde cada sumando es igual a

f∗(dxI) = f∗(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik) = f∗dxi1 ∧ · · · ∧ f∗dxik .

Cada una de las 1-formas en el producto, evaluadas en un punto p, es iguala

f∗(dxi)(p)(vp) = dxif(p)(Df(p)(v)f(p)) = Df i(p)(v),

es decir, la derivada de la i-esima componente de f en p, aplicada al vectorv. Entonces, como Df i(p)(v) = df i(p)(vp), podemos escribir f∗dxi = df i. SiI es un multiındice, escribimos

df I = df i1 ∧ · · · ∧ df ik ,

por lo que entonces

f∗ω =∑

I

(ωI ◦ f)df I .

Ası, vemos que f∗ actua como un cambio de coordenadas. Si las coorde-nadas de Rn estan descritas por (x1, x2, . . . , xn), y (y1, y2, . . . , ym) son lascoordenadas en Rm dadas por yi = f i(x1, x2, . . . , xn), entonces tenemos que,si

ω(y) =∑

I

ωI(y1, . . . , ym)dyI

es una forma en Rm, f∗ω esta dada en Rn por

f∗ω(x) =∑

I

ωI(f1(x), . . . , fm(x))(df I)x.

4. Cambio de coordenadas 147

Ejemplo 7.27 (Coordenadas polares). Sea U ⊂ R2 el conjunto (0, 2π) × R

(figura 6), y f : U → R2 dada por

f(r, θ) = (r cos θ, r sen θ).

Sean x, y las coordenadas en R2 dadas por x = f1(r, θ) y y = f2(r, θ).La transformacion (r, θ) 7→ (x, y) cambia de coordenadas polares (r, θ) a

2πU

θ

r

Figura 6. Dominio de definicion de las coordenadas polares.

coordenadas cartesianas (x, y). Ası que, si ω es una forma diferencial en elplano en coordenadas cartesianas (x, y), f∗ω es una forma diferencial encoordenadas polares (r, θ). Tenemos que(7.3)f∗dx = df1 = cos θdr − r sen θdθ y f∗dy = df2 = sen θdr + r cos θdθ.

Por ejemplo, sea ω la 1-forma diferencial definida en R2 \ {0} por

ω =−y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy.

Entonces

f∗ω =−r sen θ

r2f∗dx+

r cos θ

r2f∗dy

=− sen θ

r(cos θdr − r sen θdθ) +

cos θ

r(sen θdr − r cos θdθ)

= dθ.

Esta ultima identidad, junto con las ecuaciones (7.3), suelen simplementeescribirse como

dx = cos θdr − r sen θdθ, dy = sen θdr + r cos θdθ,

dθ =−y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy.

Como cos θdx+ sen θdy = dr, tambien tenemos que

dr =x√

x2 + y2dx+

y√x2 + y2

dy.


La siguiente proposicion extiende las propiedades enumeradas en la pro-posicion 7.26.

Proposicion 7.28. Sea f : Rn → Rm diferenciable.

1. Si ω y η son formas diferenciales en Rm, entonces

f∗(ω ∧ η) = f∗ω ∧ f∗η.

2. Si g : Rp → Rn es diferenciable, y ω es una forma diferencial en

Rm, entonces la forma diferencial (f ◦ g)∗ω en Rp satisface

(f ◦ g)∗ω = g∗(f∗ω).

Observemos primero que la proposicion 7.28 no hace ninguna referenciaal orden de las formas involucradas. En particular, la primera parte de estaproposicion es una generalizacion de la parte (3) de la proposicion 7.26.

Demostracion. Para la primera parte, observemos que si ω =∑

I ωIdxI y

η =∑

J ηJdxJ , entonces

ω ∧ η =∑

I,J

ωIηJdxI ∧ dxJ ,

y por lo tanto

f∗(ω ∧ η) =∑

I,J

((ωIηJ) ◦ f

)df I ∧ dfJ =

∑

I,J

(ωI ◦ f)(ηJ ◦ f)df I ∧ dfJ

=(∑

I

(ωI ◦ f)df I)∧

( ∑

J

(ηJ ◦ f)dfJ)

= f∗ω ∧ f∗η.

Para la segunda parte, sea ω =∑

I ωIdxI . Entonces

(f ◦ g)∗ω(q) =∑

I

ωI(f(g(q)))d(f ◦ g)I(q).

Ahora bien, para q ∈ Rp,

ωI(f(g(q))) = (ωI ◦ f)(g(q)) = (ωI ◦ f) ◦ g(q),

por lo que es suficiente con mostrar que d(f ◦ g)I(q) = g∗(df I)(q). Estaidentidad es, esencialmente, la regla de la cadena: como

d(f ◦ g)i(q)(vq) = D(f ◦ g)i(q)(v) = Df i(g(q))(Dg(q)(v)

),

tenemos que

d(f ◦ g)i(q)(vq) = df i(g(p))(Dg(q)(v)g(q)) = g∗(df i)(q)(vq).

�

Ejercicios 149

Ejercicios

1. Dibuja un bosquejo de los siguientes campos vectoriales en R2:a) F (x, y) = (−y, x);b) F (x, y) = (x, 0).

2. Calcula el producto cuna φ ∧ ψ de las siguientes 1-formas en R3.a) φ = 3dx+ dz, ψ = dy − dz;b) φ = dx− dy + 2dz, ψ = 3dx− 4dy − 2dz.

Escribe el resultado en la base dy ∧ dz, dz ∧ dx, dx ∧ dy.

3. Demuestra la proposicion 7.7.

4. Calcula el diferencial dω de las siguientes 1-formas diferenciales en R3.a) ω(x, y, z) = (z2 − x2)dx+ (y2 − z2)dy + (x2 − y2)dz;b) ω(x, y, z) = (3x2 − y2z)dx − 2xyzdy − xy2dz.

5. Demuestra las partes restantes de la proposicion 7.11.

6. Calcula ω ∧ η, para las siguientes formas diferenciales en R3.a) ω = xdx− ydy, η = zdx ∧ dy + xdy ∧ dz;b) ω = dx+ dy + dz, η = dx ∧ dy + dx ∧ dz + dy ∧ dz;c) ω = zdx ∧ dy + xdy ∧ dz, η = ω.

7. Sea ω la 2-forma diferencial en R2n dada por

w = dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4 + . . .+ dx2n−1 ∧ dx2n.

Calculan veces︷︸︸︷

ω ∧ ω ∧ . . . ∧ ω .

8. Para una k-forma diferencial ω en Rn, definimos la (n − k)-forma dife-rencial ∗ω como

∗ω =∑

I

sgn(I, J)ωIdxJ ,

donde (I, J) = (i1, i2, . . . , ik, j1, j2, . . . , j(n−k)) es la permutacion en Sn

tal que

i1 < i2 < · · · < ik y j1 < j2 < · · · < j(n−k).

Calcula ∗ω para las siguientes formas diferenciales.a) La 2-forma diferencial en R3 dada por

ω = ω12dx ∧ dy + ω13dx ∧ dz + ω23dy ∧ dz.

b) La 1-forma diferencial en R2 dada por

ω = ω1dx+ ω2dy.

9. Muestra que ∗ ∗ ω = (−1)k(n−k)ω.


10. Demuestra las primeras dos partes de la proposicion 7.26.

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