Formas Diferenciales y Geometría - Juan Armando...

Formas Diferenciales y Geometría

José Darío Sánchez Hernández Bogotá-Colombia, Junio del 2005 [email protected] [email protected]

El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación encontrará unbuen número de resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios yalgunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos, entonces hágalode forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones es indispensable el uso de unabiblioteca con un buen número de textos sobre Formas Diferenciales y Geometría Diferencial, en estaforma el estudiante utiliza tácticas de investigación y empleará la biblioteca. Luego encontraráresultados en donde se ha dado una posible demostración, la cual se supone es correcta, sin descartarla posibilidad de que haya algunos errores. El lector deberá revisarlas analizando cual de los resultadosbásicos se han utilizado en la prueba.

§1. RESULTADOS BASICOS

1. Un en es una aplicación que asocia acampo de vectores d @ À d d$ $ $ cada un vector . De manera: − d ß @ : œ + : / + : / + : /$

" " # # $ $

abreviada donde . Cuando los son funciones@ œ + / + À d d +3œ"

$

3 3 3 3$

diferenciables, el campo se dirá diferenciable.2.Un campo de o de grado en es unaformas lineales formas exteriores " d$

aplicación que a cada asocia puede serA : − d A : − d à A$ $:

‡ ˆ ‰escrita en la forma

, o, A : œ + : .B + : .B + : .B A œ + .B" " # # $ $ 3 3: : :3œ"

$

donde los son funciones definidas en y tomando valores en , es+ d d A3$

llamada cuando las funciones son continuas. Si las funcionesexterior +3

A "Þ son diferenciables, se obtiene la llamada forma diferencial de grado3.Sea • # $

:‡ˆ ‰d œ

bilineal alternadas ( )œ Ö À d ‚ d d 3Þ/ß ?ß @ œ @ß ? ×: : :$ $: :

Para hallar una base de , tenemos que tomar • # $ $:

‡" #

‡ˆ ‰d ß − d: :

entonces se obtiene un elemento en , definiendo: :" ## $

:‡

• d• ˆ ‰

Darío Sánchez H Formas Diferenciales y Geometría 2

: : :: :: :" # " # 3 4

" " " #

# " # #• @ ß @ œ œ ./> @

@ @@ @º º

Es fácil ver que forma una base para elÖ.B • .B ß .B • .B ß .B • .B ×" # " $ # $

espacio vectorial .• # $:

‡ˆ ‰d

4. Un campo de formas bilineales alternadas o formas exteriores degrado en es una aplicación que a cada asocia# d A : − d$ $

A : − d Aˆ ‰• # $:

‡; puede ser escrito en la forma A : œ + : .B • .B + : .B • .B + : .B • .B"# " # "$ " $ #$ # $: : :

o, A œ + .B • .B ß 3ß 4 œ "ß #ß $34

34 3 4

donde son aplicaciones de en .+ d d34$

ñ + A Si las funciones son diferenciables , es llamado una forma34

diferencial de grado .#5.Sea es -lineal alternada .• 5 8 8 8

: : :‡ˆ ‰ ðóóóóñóóóóòd œ Ö À d ‚â‚d dà 5 ×: :

5 @/-/=Si son formas lineales, podemos obtener un elemento: : :" # 5ß ßá ß: : :" # 5

5 8:

‡• •â• d de definido• ˆ ‰

.: : : :" # 5 " # 5 3 4• •â • @ ß @ ßá ß @ œ ./> @

ñ Ö .B •â• . ×ß 3 3 â 3 El conjunto , donde3 3 " # 5:" 5

3 − Ö"ß #ßá ß 8× d45 8

:‡ forma una base para .• ˆ ‰

6. Una -forma exterior en es una aplicación que a cada5 d 5 " A8

: − d A : − d A8 5 8:

‡ asocia ; por la proposición anterior, puede serˆ ‰•escrito en la forma A : œ + : .B •â• .B ß 3 − Ö"ß #ßá ß 8×

3 â33 â3 3 3 4

" 5

" 5 " 5

donde son aplicaciones de en . Si las funciones son+ d d +3 â3 3 â38

" 5 " 5 diferenciables, es llamado una -forma diferenciable.A 5ñ M 5 3 ßá ß 3 3 − Ö"ß #ßá ß 8× Indicando por la -upla , se usará la siguiente" 5 4

notación: .A œ + .BM

M M

7. Sea , A œ + .B M œ 3 ßá ß 3 ß 3 â 3 ß œ , .B ß N œ 4 ßá4 ßM N

M M " 5 " 5 N N " =:

4 â 4 A • œ + , .B • .B" = M N M NMßN

. Por definición .:

8.Si es una -forma, una -forma y una -forma, se tieneA 5 = <: )

+ A • • œ A • •: ) : )

, A • œ " • A: :5=

cuando .- A • œ A • A • < œ =: ) : )

9.Sea una función diferenciable. La aplicación lineal0 À d d8 7

.0 À d d:8 7: : induce una transformación lineal


0 À d d: :‡ 5 7 5 8

0 :

‡ ‡• •Š ‹ ˆ ‰que para cada asocia , definida de la siguiente: :− d 0• 5 7 ‡

0 :

‡

:Š ‹manera: ˆ ‰0 @ ßá ß @ œ .0 @ ßá ß .0 @ ß @ ßá ß @ − d: :

‡ 8" 5 : " : 5 " 5: :

10.Si es diferenciable entonces0 À d d8 7

donde son -formas+ 0 A A œ 0 A 0 A A ß A 5‡ ‡ ‡" # " # " #

, donde es una -forma y es una -forma, 0 1A œ 0 1 0 A 1 ! A 5‡ ‡ ‡

de .d7

, donde , son -formas de - 0 A • A œ 0 A • 0 A A A " d‡ ‡ ‡ 7" # " # " #

11.Sea una aplicación diferenciable que a cada 0 À d d B ßá ß B − d8 7 8" 8

asocia . EntoncesC ßá ß C œ 0 B ßá ß B ßá ß 0 B ßá ß B − d" 8 " " 8 7 " 88

+ 0 A • œ 0 A • 0 A d , donde y son formas diferenciales en ‡ ‡ ‡ 8: : :, 0 ‰ 1 A œ 1 0 A 1 À d d , donde es una aplicación‡ ‡ ‡ : 8

diferenciable.12.Si es una -forma (función diferenciable), entonces su0 À d d !8

diferencial es una -forma..0 œ .B "3œ"

8`0`B 3

3

13. Si es una -forma, definimos la de A œ + .B 5 AM

M M diferencial exterior

como la -forma .5 " .A œ .+ • .BM

M M

14. , donde y son -formas+ . A A œ .A .A A A 5" # " # " # , donde es una -forma y, . A • A œ .A • A " A • .A A 5" # " # " # "

5

es una -forma.A =#

donde es una -forma en y una. . 0 A œ 0 .A A 5 d 0 À d d‡ ‡ 7 8 7

aplicación diferencial.15.Un subconjunto es una superficie regular si para todo puntoW § d$

: − W Z : d, existe una vecindad de en y una aplicación$

0 À Y § d Z ∩ W Y d Z ∩ Wα α α# # de un abierto de sobre , tal que

es un homeomorfismo diferenciableWV À 0" α

La diferencial es biunívoca para todoWV À .0 À X Y d# ;;$

α α

; − Yα

La aplicación es llamada una de .0 À Y W Wα α parametrización16. Una es un conjunto y una familia desuperficie abstracta W

aplicaciones biunívocas de abiertos en tales0 À Y § d W Y § d Wα α α# #

que: WE À 0 Y œ W" ∪

α α α

Para todo par con con øWE À ß 0 0 Y ∩ 0 Y œ [ Á# α " α α α " "

los conjuntos y son abiertos en y las aplicaciones0 [ 0 [ dα "" " #

0 ‰ 0 0 ‰ 0 ß" α α "" ", ahí definidas son diferenciables.


ì Y ß 0 0 WEl par o la aplicación es llamada una parametrización de α α α

(o una ). La familia es a su vez llamada una estructuracarta local Ö Y ß 0 ×α α

diferenciable en o en . implica queW W WEun atlas #

0 ‰ 0 À 0 [ 0 [" "α α" " " es un difeomorfismo.

17.Una estructura diferenciable en un conjunto , induce, de una maneraW

natural una topología en . Basta definir un subconjunto comoW E § Wabierto si es un abierto en , para todo .0 E ∩ 0 Y dα α α

" # α

ì El plano proyectivo y la botella de Klein no pueden ser realizados comosuperficies de .d$

18.Sea una superficie abstracta. Una función es diferenciableW À W d:

en si para alguna parametrización , con , se: − W 0 À Y W : − 0 Yα α α α

tiene que es diferenciable en es diferenciable en : :‰ 0 À Y d 0 : ß Wα α α"

si es diferenciable para todo .: − W

19.Sea una superficie abstracta. Una curva parametrizada W 1 À M § d W

es diferenciable en si, para alguna parametrización con> − M 0 À Y Wα α

1 > − 0 Y 0 ‰ 1 À M d >α α α se tiene que es diferenciable en ." #

20. Sea una curva diferenciable en una superficie abstracta con1 À M W

1 ! œ : W : y sea en conjunto de las funciones de diferenciable en . UnDvector tangente a una curva en el punto es una función real1 :1 ! À d 1 ! œ ‰ 1 lw w .

.> >œ!D dada por .: :

ì : − WUn vector tangente en , es el vector tangente a una curvadiferenciable , con 1 À M W 1 ! œ :Þ

ì X ßSea el espacio vectorial generado por , en donde lasˆ ‰ ˆ ‰` ``? `@! !

operaciones son definidas como operaciones sobre funciones.ì X W W : − W X ÞEl conjunto de los vectores tangentes a en coincide con :

21. Sea una aplicación la cual debe ser continua y . Se1 À W W : − W" # " dice que es diferenciable en si existen sistemas de coordenadas1 :0 À Y W 0 À Y W : − 0 Y 1 : − 0 Y 0 ‰ 1 ‰ 0" " " # # # " " # # "#

" y con y , tales que es diferenciable en . La aplicación se dice diferenciable en , si es0 : W"

""

diferenciable en para todo .: : − W"

22.Un es un homeomorfismo de sobre taldifeomorfismo 1 À W W W W" # " #

que y su inversa son diferenciables.1 1 À W W"# "

ì 1 À W W :La diferencial de una aplicación diferenciable en es una" #

aplicación que a cada asocia de.1 À X W X W @ − X W .1 @ − X W: : " # : " : #1 : 1 :

la siguiente manera: si , para alguna curva con ,@ œ ! À M W ! œ :- - -w"

entonces ..1 @ œ 1 ‰ !:w-

23.Una de dimensión es un conjunto y unavariedad diferenciable 8 Q

familia de aplicaciones biunívocas de abiertos en0 À Y § d Q Y § dα α α8 8

Q tales que Z H À 0 Y œ Q" ∪

α α α


Para todo par , con ø, los conjuntosZ H À 0 Y ∩ 0 Y œ [ Á# α " α α " α

0 [ 0 [ d 0 ‰ 0 0 ‰ 0α α α" " "" " 8 " " y son abiertos en y las aplicaciones , ,

ahí definidas son diferenciables.ì Y ß 0 Ð 0 ÑLa pareja o la aplicación es llamada una parametrización deα α α

Q Ð Ñ Ö Y ß 0 × o también una y la familia es llamada unacarta local α α

estructura diferencial en o de .Q Ð Q Ñun atlas24.Sea el conjunto de todos los vectores tangentes de , donde XQ Q Q

es una variedad de dimensión , esto es#

y XQ œ Ö :ßA à : − Q A − X Q×:

entonces es una variedad diferencial de dimensión llamada XQ % espaciofibrado tangente a .Q

25.Sean y variedades diferenciables de dimensiones y Q R 7 8

respectivamente, una aplicación diferenciable, es llamada una0 À Q Rinmersión si para todo la aplicación es inyectiva.: − Q .0 À X Q X R: : 0 :

26.Sean y variedades diferenciables. Una aplicación esQ R 0 À Q R

llamada un si es una imersión y un homeomorfismo de sumergimiento 0 Qsobre .0 Q

27.Sea una variedad de dimensión . Una -forma diferencial en Q 8 5 A Q

es la elección, para cada sistema de coordenadas , de una -0 À Y Q 53 3

forma en de tal forma que si y son dos de talesA Y § d A AY 3 Y Y8

3 " #

elecciones y ø, entonces .0 Y ∩ 0 Y Á A œ 0 ‰ 0 A" " # # Y " Y#" ‡

" #

Cada es llamada una de .A AY3representación local

28.Sea la representación local de en la parametrización yA A 1 À Y RY

sea una parametrización de con (2 À Z Q Q J 2 Z § 1ÐYÑ J À Q R" " " "

una aplicación diferenciable). es por definición una forma diferencialJ A‡

en , tal que Q J A œ 1 ‰ J ‰ 2 A‡ "Z " Y

‡

"

29.Un , en una variedad diferenciable es unacampo de vectores \ Q

correspondencia que a cada punto asocia un vector .: − Q \ : − X Q:

ñ \ : El vector es el vector tangente a una curva parametrizada- % % - )À ß Q ! œ : con . Esto significa que si es una funcióndiferenciable en entonces .Q \ : œ ¹) . ‰

.> >œ!

) α

De esta manera, un campo de vectores puede ser pensado como\ À · ¹una aplicación del conjunto de las funciones diferenciables en en el· Qconjunto de las funciones reales en . El campo es llamado¹ Q \diferenciable si .\Ð Ñ §· ·

30.Sean e campos diferenciables de vectores en una variedad\ ]

diferenciable . Entonces existe un único campo vectorial tal que, paraQ ^todo , .) · ) )− ^ œ \] ]\ì \ß ] ^ + ,Si y son campos diferenciables, y números reales y ,) :funciones diferenciables, entonces


(anticonmutatividad)+ Ò\ß ] Ó œ Ò] ß\Ó

(linealidad), Ò+\ ,] ß ^Ó œ +Ò\ß^Ó ,Ò] ß ^Ó

(identidad de Jacobi)- ÒÒ\ß ] Óß ^Ó ÒÒ] ß ^Óß\Ó ÒÒ^ß\Óß ] Ó œ !

. Ò \ß ] Ó œ † Ò\ß ] Ó † \ ] † ] \Þ) : ): ) : : )

31. Una -forma diferenciable en una variedad diferenciable es la5 A Q

elección, para cada , de un elemento de los espacios de las: − Q A :formas -lineales y alternadas, del espacio tangente ,5 X Q X Q• 5

: :‡

de modo que la expresión de en cualquier parametrización seaA Aα

diferenciable.ì A " QSi es una -forma diferenciable en una variedad diferenciable y\ß] Qson campos vectoriales diferenciales en , se tiene .AÒ\ß ] Ó œ \A ] ] A \ A Ò\ß ] Ó

32.Una variedad es si existe una familia de sistemas deQ orientablecoordenadas que cubren a , de modo que si0 À Y Q Qα α

0 Y ∩ 0 Y Á ./> 0 ‰ 0α α " " α "ˆ ‰ø, entonces el determinante jacobiano es"

positivo. La elección de una tal familia es llamada de .una orientación Q

33.Sea una variedad de dimensión , se denota por al grupoQ 8 H30 Q8

de los difeomorfismos de . Sea el conjuntoQ K § H30 QÖ1 : à 1 − Kß : − Q× : es llamado la del elemento y se le sueleórbitadenotar por .K :

34.Sea una variedad de manera totalmenteQ K § H30 Q ß K actúadiscontinua si AMD : , existe una vecindad de tal que" a: − Q Y : ø 1 Y ∩ Y œ a1 − Kß 1 Á / AMD : Si entonces existen vecindades de y # :ß ; − Qß ; Â K : Y : Z

de tales que para todo , ø.; 1 − Kß 1 Á / 1 Y ∩ Z œ

35.Sean dos campos de vectores con flujos y respectivamente\ß] ß: <

entonces .Ò\à ] Ó œ ! Í : œ :: < < :> = = >

ñ Ò ß Ó œ ! Nótese que .` ``B `B3 4

36.Sea , se define la como@ À d d .@ À d d8 8 8 8: divergencia

.3@Þ@ : œ ><+D+ .@:ñ A 5 d 8 5 ASi es una -forma en , se define una -forma llamada8 ‡

estrella de Hodge mediante ‡

4 4 4 3 3A / ß / ßá ß / œ " / ßá ß /" # 85 " 5

5

donde es una permutación de y el3 ß 3 ßá ß 3 ß 4 ßá ß 4 Ö"ß #ßá ß 8×" # 5 " 85 5

signo de la permutación.37.La divergencia puede ser obtenida mediante la correspondencia @ p A Ê A p . A œ .3@Þ@‡ ‡ vdonde es el elemento de volumen correspondiente.v


38.Dada una función diferenciable se define el 0 À d dß 08 #Laplaciano ?

de por y se tiene0 0 œ .3@ 1<+.Þ 0?#

. 3 01 œ 0 1 1 0 # 1<+.Þ0 ß 1<+.Þ1 ? ? ?# # #

, donde es el elemento de volumen de 33Þ. .0 œ 0 d Þ‡ # 8? v v

39.Dado un campo diferenciable de vectores en , se llama @ d8 rotacionalde , a la -forma obtenida de la siguiente manera:@ 8 # .@ Ê A p.Ap .A œ <9>Þ@‡

teniéndose .<9> 1<+.Þ0 œ !

Para 8 œ $ß

y <9> + / œ .3@ <9>Þ@ œ !Þ

/ / /

+ + +Œ

â ââ ââ ââ ââ ââ â3 3

" # $` ` `

`B `B `B

" # $

" # $

40.Un en un abierto es una correspondencia que acampo plano Y § d$ c

cada asocia un plano , pasando por el campo es: − Y : § d : àc c$

diferenciable si los coeficientes de la ecuación son funcionesc :diferenciables de . Una superficie de , es una superficie ,: W § dintegral c $

pasando por y tal que para todo se tenga , esto es, la: ; − W X W œ ;; c

superficie es tangente a los planos del campo.ì : − Y ASi existe una superficie integral de , para y una forma dadacpor entoncesA œ +.B ,.C -.D

Š ‹ Š ‹ˆ ‰`- `, `+ `- `, `+`C `D `D `B `B `C + , - œ !Þ

41.Sea una variedad y una -forma en se llama soporte de alQ A 8 Q A

conjunto sus puntos de acumulación .=9:ÞA œ Ö: − QàA : Á !× ∪ Ö ×

Por lo tanto es un subconjunto cerrado de =9:ÞA QÞ

42.Sea una -forma diferenciable en un abierto de A 8 Y d ß8

A œ + B ßá ß B .B •â• .B =9:ÞA O § Y" 8 " 8 tal que es compacto , entoncesdefinimos .' '

Y OA œ + B ßá ß B .B •â• .B" # " 8

43.Suponiendo que , en este caso la representación=9:ÞA § Z œ 0 Yα α α

local de seráA A œ + ? ßá? .? •â• .Bα α " 8 " 8

definiéndose así ' ' '

Q Z YA œ A œ + ? ßá ß ? .? â.?

α αα α " 8 " 8

donde es considerada una variedad orientable y orientada.Q

44.Dado un recubrimiento por vecindades coordenadas de unaÖZ ×αvariedad compacta , construiremos una familia finita de funcionesQdiferenciables, tales que: :" 7ßá ß

+ œ "3œ"

7

3:

y el soporte de está contenido en algún ., ! Ÿ Ÿ " Z œ Z: :3 3α3


La familia de funciones diferenciables es llamada una : :" 7ßá ß particióndiferenciable de la unidad, subordinada al recubrimiento .ÖZ ×α

45.Dada una variedad compacta, orientable en donde existe unaQ

partición diferenciable de la unidad subordinada a un recubrimientoÖ ×:3

ÖZ × 8 A Qα , se define, de una -forma en , comointegral

' 'Q QA œ A

3œ"

7

3:

donde las formas tiene soporte contenido en .:3 3A ZLa definición de integral de en es independiente de la elección delA Qrecubrimiento dada sobre .ÖZ × Qα

46.Sea . Existe una función diferenciable :W ! œ Ö: − d à l:l <× W ! d< $8 :

con las siguientes propiedades si + : œ "ß : − W !: "

, si , ! : Ÿ " : − W !: #

, si .- : œ ! : − W ! W !: $ #

47.Sea una variedad de dimensión , y un sistema deQ 8 : − Q 1 À Y Q

coordenadas locales en . Entonces es posible obtener un sistema de:coordenadas locales en de tal modo que .0 À W ! Q : 0 W ! § 1 Y$ $

ì Existencia de particiones diferenciables de la unidad: Dado unrecubrimiento de una variedad compacta por vecindadesÖZ × Qα

coordenadas, existen funciones diferenciables tales que: : :" # 8ß ßá ß

+ œ "3œ"

7

3:

y el soporte de esta contenido en alguna del, ! Ÿ Ÿ " Z: :3 3 α3

recubrimiento .ÖZ ×α

48.Llámase semiespacio al conjunto dado porL § d8 8

L œ Ö B ßá ß B − d ß B Ÿ !×8 8" 8 "

ì L d L ßUn abierto de es la intersección de un abierto de con es8 8 8

decir, es abierto en abierto de .E L Í E œ Y ∩L ß Y d8 8 8

49.Diremos que una función definida en un abierto de es0 À Z d Z L8

diferenciable si existe una función diferenciable de un abierto0 À Y dY ¨ Z d 0l œ 0 0 Z .0 de tal que . Si es diferenciable en la diferencial es8

Z :

definida por ..0 œ .0: :

50.Una variedad diferenciable de dimensión con borde regular es un8

conjunto con una familia de aplicaciones biunívocas Q 0 À Y § L Qα α8

de abiertos de en tales que;Y L Qα8

VDB : " ∪α

0 Y œ Qα α


VDB : para toda pareja , con ø los# α "ß 0 Y ∩ 0 Y œ [ Áα α " "

conjuntos son abiertos en y las aplicaciones 0 [ ß 0 [ L 0 ‰ 0 ßα " " α" " 8 "

0 ‰ 0α "" ahí definidas, son diferenciables.ì : − Q QUn punto es llamado un de si para un sistemapunto del bordede coordenadas en torno de se tiene .0 À Y Q : 0 !ß B ßá ß B œ :# 8

51.La definición de punto del borde es independiente del sistema decoordenadas.ñ `Q 8El borde de una variedad diferenciable de dimensión con borde, esuna variedad diferenciable de dimensión .8 "

52.Sea una variedad con borde . Si es orientable, unaQ `Q Q

orientación de induce una orientación de .Q `QñEl recíproco de este resultado es falso. Contra-ejemplo: El borde de laGcinta de Möbius es orientado, y la cinta es una variedad no orientable.53.Teorema de Stokes: Sea una variedad diferenciable de dimensiónQ

8ß `Q Acompacta y con borde provisto de orientación inducida. Sea una8 " Q .A 3 A-forma diferenciable en y su diferencial. Indiquemos por ‡

la restricción de a , donde es la aplicación de inclusión.A `Q 3 À `Q Q

En estas condiciones ' '`Q

Q3 A œ .A‡

54.Teorema de la divergencia:Sea una variedad deQ § d$

dimensión con borde y contenida en . El borde es entonces una$ d `Q$

superficie regular en . Supongamos compacta y sea un campod Q Z$

diferenciable de vectores en . El producto interno natural de haced d$ $

corresponder a una -forma , tal que donde es elZ " A . A œ .3@ÞZ‡ v velemento de volumen de . Entonces d .3@ÞZ œ Z ßR $ ' '

Q `Qv 5

donde es el elemento de área de y es el vector normal de la5 `Q Rorientación de `QÞ

55.Sea una superficie orientada, compacta, con borde y sea W § d `W Z$

un campo diferenciable de vectores en un abierto de contenido en .d W$

Entonces < donde es el vector normal,' 'W `W

<9>ÞZ ßR œ Z ß > .= Rt5

5 el elemento de área , el vector tangente y el elemento de arcoW > .=tde .W

56.Si y son funciones diferenciables en y una1 À d d 0 À d d d Q$ $ $

variedad compacta de dimensión de con borde entonces$ d `Q$

ðóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóò' ' 'Q Q `Q 1<+.Þ0 ß 1<+.Þ1 0 1 œ 0v ? 5# `1

`R

Primera identidad de Greendonde y son, respectivamente, el elemento de volumen de y elv 5 Q

elemento de área de , es el Laplaciano de y `Q 1 1 œ 1<+Þ1ßR ?# `1`R

con normal a .R `QñEn las mismas hipótesis tenemos


ðóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóò' ' Š ‹Q `Q

0 1 1 0 œ 0 1? ? 5# # `1 `0`R `Rv

Segunda identidad de Green

57.Sea una variedad diferenciable. Una -forma diferenciable en Q 5 A Q

es llamada si existe una -forma en tal que .exacta 5 " Q . œ A" "A .A œ ! se dice si cerrada Cuando es claro que si es exacta entonces es cerrada.. œ !ß A A#

ñ A œLa recíproca en general es falsa como en el caso definida enC.BB.CB C# #

d Ö !ß ! × 1 .1 œ AÞ# es cerrada pero no existe tal que 58.Una variedad diferenciable es a un punto siQ : − Qcontráctil !

existe una aplicación diferenciable dada porL À Q ‚ Ò!ß "Ó Q

L :ß > − Qß : − Qß > − Ò!ß "Ó L :ß " œ : ß L :ß ! œ : ß a: − Q tal que !

Obsérvese que toda variedad es localmente contráctil dado que la bolaF œ Ö: − d à l:l <×<

8 es contráctil.59. Lema de Poincare: Sea una variedad diferenciable contráctil y Q A

una -forma diferenciable en con Entonces existe una -5 Q .A œ !Þ 5 "

forma en tal que α αQ . œ AÞ

60.Toda -forma se escribe unívocamente como donde5 A A œ A .> •" (

A 5 Q ‚ Ò!ß "Ó A @ ßá@ œ !" " " 5 es una -forma en con la propiedad de que .Si algún pertenece al nucleo de la proyección y es@ . À Q ‚ Ò!ß "Ó Q3 1 1 (

5 " -forma con una propiedad análoga.61.Sea , , una parametrización de en . 3 À Q Q ‚ Ò!ß "Ó : − Q 0 À Y Q Q :>

M A : @ ßá ß @ œ Ö :ß > .3 @ ßá ß .3 @ ×.>" 5" > " > 5"!

"' (

œ Ö0 Bß > .B •â• .B @ ßá@ ×.>'!

"3 3 " 5"" 5"

en total M A : œ 0 Bß > .> .B •â• .BŠ ‹'

!

"3 3" 5"

Entonces .3 A 3 A œ . M A M .A" !

‡ ‡

62.Sea una función homogénea del grado , esto es1 Bß Cß D − d 5$

1 >Bß >Cß >D œ > 1 Bß Cß D ß > !5

si es diferenciable entonces1 Bß Cß D

.`1 `1 `1`B `C `DB C D œ 51 Bß Cß D

63.Si es un campo diferenciable de dado por Z d Z œ E/ F/ G/$" # $

entonces .<9>ÞZ œ / / /Š ‹ Š ‹ˆ ‰`G `F `E `G `F `E

`C `D `D `B `B `C" # $

64.Si es una variedad compacta, sin borde y orientable, entoncesQ

existe una -forma diferencial que no se anula en punto3 8 Aalguno de Q la variedad no es contráctil a un punto.33


§2. RESULTADOS PROBADOS

1.Probar que una aplicación bilineal es alternada si y: À d ‚ d d$ $

solamente si para todo .: @ß @ œ ! @ − d

SOLUCIÓN: ) para todo .Ê ?ß @ œ @ß ? ?ß @ − d: : $

En particular para tenemos? œ @ : :@ß @ œ @ß @ a@ − d$

esto es equivalente a escribir : : : : :@ß @ @ß @ œ # @ß @ œ Þ @ß @ @ß @ œ ! a@ − d$

por lo tanto, : @ß @ œ ! a@ − d$

É À d ‚ d d) Se sabe que es una aplicación bilineal tal que: $ $

: @ß @ œ ! a@ − d @ œ ? A . En particular tomando tenemos$

: :? Aß ? A œ !ß por la bilinealidad de se tiene .: : : :?ß ? ?ßA Aß ? AßA œ !

Pero por lo tanto: :?ß ? œ ! œ AßA

: :?ßA Aß @ œ !

o lo que es lo mismo : :?ßA œ Aß ?lo cual indica que es alternada.:

2.Pruebe que si y , entonces3 3 â 3 4 4 â 4" # 5 " # 5

si , si otro caso.B • .B •â• .B / ßá/ œ

"ß 3 œ 4 ßá ß 3 œ 4!3 3 3 4 4

" " 5 5" # 5 " 5 œ

SOLUCIÓN:Considere el determinante = . Si , entoncesα k k.B / 3 43 4 " "6 8

3 â 3 3 4 .B / œ ! 6 œ "ßá ß 5à 3 45 # " " 3 4 " ", esto es, , para si ,6 "

entonces , esto es , para . En4 â 4 3 .B / œ ! 8 œ "ßá ß 55 # " 3 4" 8

cualquiera de los casos, si .α œ ! 3 Á 4" "

Admitamos ahora y . Entonces y . Por3 œ 4 3 4 3 â 3 4 3 Á 4" " # # 5 # # " #

lo tanto para esto es . El argumento se sigue.B / œ !ß 6 œ "ßá ß 5 œ !3 46 2 α

así; si y entonces y entonces3 œ 4 ß 3 œ 4 3 4 3 â 3 4 3 Á 4" " # # $ $ 5 $ $ # $

.B / œ ! 6 œ "ßá ß 5 œ !3 46 $ para , esto es, . Ahora supongamosα

3 œ 4 ß 3 œ 4 ßá ß 3 œ 4 .B / œ ! 6 œ "ßá ß 5" " # # 5" 5" 3 4 entonces para esto6 8

es . Finalmente,α œ !

se sigue y por lo tanto ,3 œ 4 ß 3 œ 4 ßá ß 3 œ 4 .B / œ " œ "" " # # 5 5 3 46 8α

así;


., si , si otro es el caso.B • .B •á • .B / ßá ß / œ

" 3 œ 4 ßá ß 3 œ 4!3 3 3 4 4

" " 5 5" # 5 " 5 œ

3.Sea una -forma diferenciable donde es un número impar. Muestre: 5 5

que .: :• œ !

SOLUCIÓN: Sabemos que si es una -forma y es una -forma entonces: <5 =

.: < < :• œ " •5=

Por lo tanto, tomando y se tiene5 œ #8 "ß 5 œ %8 %8 "# #

: : : : : : : :• œ " • œ " • œ •5†5 %8 %8"#

o sea que de donde # • œ ! • œ !Þ: : : :

4.Sea y las siguientes formas diferenciables en 9 < )ß d À$

9 < )œ B.B C.Cß œ D.B • .C B.C • .Dß œ D.C

Calcule:+ • , • • - . ß . . y .9 < ) 9 < 9 < )

SOLUCIÓN: + • œ B.B C.C • D.B • .C B.C • .D9 < œ BD.B • .B • .C B .B • .C • .D CD.C • .B • .C BC.C • .C • .D#

œ B .B • .C • .D CD.B • .B • .C œ B .B • .C • .D‡# #

Š ‹‡ .B•.Bœ!.C•.Cœ! ß ß .C • .B œ .B • .Cy

, • • œ • • œ • B .B • .C • .D œ D.C • B .B • .C • .D ) 9 < ) 9 < )"

# #

œ DB .C • .B • .C • .D œ DB .B • .C • .C • .D œ !# #

Å Å.C • .B œ .B • .C .C • .C œ !

" 5 $ ‡• d es un álgebra.- . œ . B.B C.C œ .B • .B .C • .C œ ! 9

. œ . D.B • .C B.C • .D œ .D • .B • .C .B • .C • .D< œ .B • .D • .C .B • .C • .D œ .B • .C • .D .B • .C • .D œ #.B • .C • .D

. œ . D.C œ .D • .C œ .C • .DÞ)

5.Sea una aplicación diferenciable. Si es una -9 À Y § d d 7 8ß A :7 8

forma en y entonces muestre que .d : 7 A œ !8 ‡9

SOLUCIÓN:Sea A œ + .C • .C •â• .C ßM

M 3 3 3" # :

9 F Fœ B ßá ß B ßá ß B ßá ß B" " 8 " 77

así, 9 F F‡ ‡ ‡

M3 3A œ + .C • .C •â• .Cˆ ‰

M 3 # :"

œ + B ßá ß B ßá ß B ßá ß B .C • .C •â• .Cˆ ‰M

M " " 8 " 7 3 3 3‡ ‡ ‡F F F F F

7 " # :

œ + ßá ß . C • . C •â• . Cˆ ‰ ˆ ‰M

M 8 3 3‡ ‡ ‡F F F F F

" 3 # :"


œ + ßá ß . C ‰ • . C ‰ •â• . C ‰ˆ ‰ ˆ ‰M

M 8 3 3F F F F F" 3 # :"

Ahora , es la proyección entoncesC ‰ œ3 44

F F3

F F F F F‡

MM 8 3 3A œ + ßá ß . •â• .

" " :

Como entonces se repite o sea existe tal que: 7ß " Ÿ 3 Ÿ 7 4F3w

4

F F3 34 4wœ ; es esas condiciones

.F F F F F F F‡

MM 8 3 3 3 3A œ + ßá ß . •â• . •â• . •â• . œ !

" " 4 :4w

6.Sea una -formas diferenciables en definida de la maneraA # d#

siguiente: A œ .B • .B .B • .B â .B • .B" # $ % #8" #8

Calcule el producto exterior de ejemplares de .8 A

SOLUCIÓN: En forma inductiva se tiene, para 8 œ "

A œ .B • .B Ê A œ .B • .B" # " #"

si entonces se tiene;8 œ #

A œ .B • .B .B • .B" # $ %

A œ .B • .B • .B • .B .B • .B • .B • .B œ #.B • .B • .B • .B#" # $ % $ % " # " # $ %

"

"$ % " # " # $ %

#†#Dado que; .B • .B • .B • .B œ " .B • .B • .B • .BSi entonces tenemos 8 œ $ A œ .B • .B .B • .B .B • .B" # $ % & '

A œ # .B • .B • .B • .B .B • .B • .B • .B .B • .B • .B • .B#" # $ % " # & ' $ % & '

Esto dado que.B • .B • .B • .B œ " .B • .B • .B • .B" # $ % $ % " #

#†#

.B • .B • .B • .B œ " .B • .B • .B • .B" # & ' & ' " ##†#

.B • .B • .B • .B œ " .B • .B • .B • .B$ % & ' & ' $ %#†#

Ahora;A œ # Ð.B • .B • .B • .B • .B • .B .B • .B • .B • .B • .B • .B $

" # $ % & ' $ % " # 5 6 .B • .B • .B • .B • .B • .B Ñ& ' " # $ %

Como.B • .B • .B • .B • .B • .B œ " .B • .B • .B • .B • .B • .B$ % " # & ' " # $ % & '

%

.B • .B • .B • .B • .B • .B œ " .B • .B • .B • .B • .B • .B& ' " # $ % " # $ % & '%

Por lo tanto A œ $x.B • .B • .B • .B • .B • .B$

" # $ % & '

De lo anterior se tienen las siguientes conclusiones" #5) Las -formas forman un álgebra conmutativa, por lo tanto vale elbinomio de Newton.# A œ 8x.B • .B •â• .B • .B) 8

" # #8" #8

Mostremos por inducción que si esA œ 5x.B • .B •â• .B • .B5" # #5" #5

válida para todo entonces es válida también para en efecto;5 8 8ß A œ .B • .B â .B • .B .B • .B" # #8$ #8# #8" #8

Para simplificar un poco sea


E œ .B • .B â .B • .B" # #8$ #8#

F œ .B • .B#8" #8

Así puesto que vale el teorema del binomio, se tieneA œ E Fß

A œ E F œ E 8E F E F8 8 8" 85 58

8œ#

885

ˆ ‰Ahora es una -forma y por lo tanto tenemosE #8 #8

E œ E E œ #8 # x .B • .B •â• .B • .B .B • .B â .B • .B8 #8# #" # #8$ #8# " # #8$ #8#

#

œ # #8 # x.B • .B •â• .B • .B Š" # #8$ #8# .B • .B • .B • .B â" # $ %

.B • .B • .B • .B .B • .B • .B • .B â .B • .B • .B • .B" # #8$ #8# $ % & ' $ % #8$ #8#

ââ .B • .B • .B • .B#8& #8% #8$ #8#‹Luego .E œ !8

Ahora es una -forma y es una -forma, así;E # 8 5 F #585 5

E F œ 8 5 x †85 5Î ÑÏ Ò

èëëëëëëëëëëëëëëëëéëëëëëëëëëëëëëëëëê.B • .B •â• .B .B • .B •â• .B • .B

5 #

" # #8" #8 #8" #8# 85

veces

o esa que, E F œ !8 5-k

De todo esto;A œ 8E F œ 8Ö 8 " x .B • .B •â• .B × • .B • .B8 8"

" # #8# #8" #8

.œ 8x.B • .B •â• .B • .B" # #8" #8

7.Si es una -forma en , defina una -forma A 5 d 8 5 A8 ‡

Ð Ñoperador estrella de Hodge por ‡

4 4 4 3 3 3A / ß / ßá ß / œ " A / ß / ßá ß /" # 85 " # 5

5

donde es una permutación de , y 3 ßá ß 3 ß 4 ßá ß 4 Ö"ß #ßá ß 8×" 5 " 85 5

es igual a ó a conforme sea la permutación par o impar! "

respectivamente. Mostrar que+ A œ + .B • .B + .B • .B + .B • .B # d Si es una -forma en "# " # "$ " $ #$ # $

$

entonces ‡ "# $ "$ # #$ "A œ + .B + .B + .B

, A œ + .B + .B " d ß A œ + .B + .B Si es una -forma en entonces ." " # " # # "# ‡

#

- A œ " A ‡‡ 5 85

SOLUCIÓN: + A œ + .B • .B + .B • .B + .B • .B # es una -forma por"# " # "$ " $ #$ # $

lo tanto la operación estrella de Hodge nos dice que es una -forma del‡A "

tipo ‡

" " # # $ $A œ , .B , .B , .Bhallemos, siguiendo la definción, que son , ß , ß ," # $

‡" # $A / œ " A / ß /5

como la permutación es par entonces 5 œ !

, œ + .B • .B / ß / + .B • .B / ß / + .B • .B / ß /" "# " # # $ "$ " $ # $ #$ # $ # $

œ + + +.B / .B / .B / .B / .B / .B /.B / .B / .B / .B / .B / .B /"# "$ #$

" # " $ " # " $ # # # $

# # # $ $ # $ $ $ # $ $º º º º º º


œ + + + œ +! ! ! ! " !" ! ! " ! ""# "$ #$ #$º º º º º º

‡# " $A / œ " A / ß /5

como la permutación es impar, entonces 5 œ "

, œ " + .B • .B / ß / + .B • .B / ß / + .B • .B / ß / œ# "# " # " $ "$ " $ " $ #$ # $ " $e fœ " + + +

.B / .B / .B / .B / .B / .B /

.B / .B / .B / .B / .B / .B /œ º º º º º º"# "$ #$" " " $ " " " $ # " # $

# " # $ $ " $ $ $ " $ $

œ " + + + œ +" ! " ! ! !! ! ! " ! "œ º º º º º º"# "$ #$ "$

y es par‡$ " #A / œ " A / ß /5 5

, œ Ö+ .B • .B / ß / + .B • .B / ß / + .B • .B / ß / ×$ "# " # " # "$ " $ " # #$ # $ " #

œ + + +.B / .B / .B / .B / .B / .B /.B / .B / .B / .B / .B / .B /"# "$ #$

" " " # " " " # # " # #

# " # # $ " $ # $ " $ #º º º º º º

œ + + + œ +" ! " ! ! "! " ! ! ! !"# "$ #$ "#º º º º º º

Por lo tanto ‡

#$ " "$ # "# $A œ + .B + .B + .B, A œ + .B + .B " d Si es una -forma en entonces el operador" " # #

#

estrella de Hodge asocia también una -forma de la siguiente manera"

‡" " # #A œ , .B , .B

hallemos haciendo uso de la definición de , ß , A" #‡

y es impar‡" #A / œ " A /5 5

así; , œ , .B / , .B / œ + † ! + † " œ +" " " # # # # " # #

y la permutación es par, por lo‡# "A / œ " A / Ö"ß #×5

tanto , œ + .B / + .B / œ + † " + † ! œ +# " " " # # # " # "

así; ‡

" # # "A œ + .B + .B- A 5 es una -forma así que según la definición se tiene‡‡

‡‡3 3 3 4 4 4

‡A / ß / ßá ß / œ " A / ß / ßá ß /

" # 5 " # 85

"5

donde siendo , ahora es una=3189Ö × œ œ Ö4 ß 4 ßá ß 4 ß 3 ßá ß 3 × A1 5 1" " " " # 85 " 5‡

8 5 -forma dada por Hodge mediante " A / ßá ß / œ " " A / ß / ßá ß /5 5 5" " #

" 85 " # 5

‡4 4 3 3 3

œ " A / ß / ßá ß /5 5" #

" # 5

3 3 3

donde siendo esto indica=3189Ö × œ œ 3 ß 3 ßá ß 3 ß 4 ß 4 ßá ß 4

5

8 5

1 5 1# # # " # 5 " # 85

Ú ÞÛ ßÜ à

èëëéëëê ðóóóóñóóóóòque , ya que el orden de ciclos disyuntos de longitud 5 5" # " œ 5 8 5 7 ß7 7 † 7# " # es el producto .Por lo tanto .‡‡ 5 85A œ " A


8.El producto interno natural de induce una correspondencia ß d8

biunívoca entre campos de vectores y -formas de del siguiente" d8

modo. A cada campo vectorial hace corresponder la -forma dada@ " A

por para todo y . Muestre queA ? : œ @ : ß ? : − d ? − d8 8:

+ @ œ + / A œ + .B 0 À d d Si , entonces . En particular si es una3 3 3 38

función diferenciable en el campo corresponde la -forma es1<+.Þ0 " .0

llamado el gradiente de .0, La correspondencia de arriba lleva campos diferenciables en formas

diferenciables.- : − d 1<+.Þ0 : Á ! 1<+.Þ0 Si es tal que , entonces es normal a la8

superficie de nivel .Ö; − d à 0 ; œ 0 : ×8

. .0 À d d La aplicación lineal restringida a la esfera unitaria: :8 8

0 :

centrada en toma su valor máximo para .: @ œ 1<+.Þ0 :l1<+.Þ0 : l

/ Ê ‡ Si indicamos por la correspondencia de arriba, por la operacióndefinida en el problema 7 y por el elemento de volumen de , la/ d8

divergencia puede ser obtenida: entonces / /Ê Aß A Ä . A œ .3@Þ @‡ ‡

SOLUCIÓN: + @ À d d d Sea un campo de vectores en dado por8 8 8

@ œ + / @ : œ + : / ß : − d ß3œ" 3œ"

8 8

3 3 3 38 o sea exactamente a este campo

corresponde -forma dado por:A " A À : − d È A : À d d8 8

A : ? œ @ : ß ? œ + : / ß ? "3 3

puesto que es una -forma entonces se trata por loA " A œ .B3œ"

8

3 3-

tanto de calcular las funciones , con tal fin hacemos uso de -3 "dándonos; A : / œ + : / ß / œ + : / ß / œ + :3 4 4 3 4 4 3 3

4œ" 4œ"

8 8

por otro lado se sabe que luegoA : / œ ß3 3- -3 3 3œ A : / œ + : a3 œ "ß #ßá8

de donde se tiene que .A : œ + : .B

3œ"

8

3 3

Sea ahora entonces que también0 À d d 1<+.Þ 0 œ ß ßá ß8 `0 `0 `0`B `B `BŠ ‹

" # 8

suele ser escrito en la forma .1<+.Þ0 œ /

3œ"

8`0`B 3

3


Por la conexión anterior, a este campo corresponde la -forma dada" .0

por ..0 œ .B3œ"

8`0`B 3

3

, + / 3 + Un campo se dice diferenciable cuando cada , es una función3œ"

8

3 3 3

diferenciable, por la parte a este campo diferencial corresponde la+

forma , puesto que cada es una función diferenciable se sigue3œ"

8

3 3 3+ .B +

inmediatamente que la forma es una forma diferenciable.3œ"

8

3 3+ .B

- 1<+.Þ0 Se sabe que es una derivada direccional, así que en la superficiede nivel se tieneW œ Ö; − dà 0 : œ 0 ; ×

.0 @ œ H 0 : œ œ !pÅ: @p >Ä!

0 :>@ 0 :p

>ˆ ‰ lim ˆ ‰

:ß : >@ − Wp

Se sabe que a corresponde según siguiendo la.0 1<+.Þ0 + ß:

correspondencia dada ,y, A ? œ @ß ? a: − d ? − d8 8

:

por lo tanto .0 ? œ 1<+.Þ0 ß ? œ ! a? − W

puesto que según la hipótesis, se sigue que 1<+.Þ0 Á ! 1<+.Þ0 ¼ W

. Se puede enfocar desde dos puntos de vista, una es suponiendo que.0 l: W8, entonces se tiene que: l.0 @ l œ l 1<+.Þ0 : ß @ l Ÿ l1<+.Þ0 : ll@l œ l1<+.Þ0 : l ":

Por otra parte se conoce que ¹ ¹.0 œ l1<+.Þ0 : l #:

1<+.Þ0 :l1<+.Þ0 : l

De y se sigue la afirmación de ." # .Otra es usando los multiplicadores de Laplace, así; se sabe que ,.0 œ ß ßâß œ J:

`0 `0 `0`B `B `BŠ ‹

" # 8

ahora J @ œ / ß @ / œ @ œ @ @ â @

3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8`0 `0 `0 `0 `0`B `B `B `B `B3 3 3 3 " # 8

3 3 " # 8

Se va a hallar el máximo de según la condiciónJ

1 @ œ @ : "3œ"

8

3 3#

donde son las coordenadas del punto centro de la: œ : ß : ßá ß : :" # 8

esfera unitaria.Según la teoría de los puntos críticos dada por Lagrange se debe tener ,1<+.ÞJ @ œ 1<+.Þ1 @-

o sea que =Š ‹`0 `0 `0

`B `B `B " " # # 8 8" # 8ß ßâß # @ : ß # @ : ßá ß # @ :-

entonces


`0 `0`B `B" " " "

## #

" "œ # @ : Ê œ % @ :- -Š ‹

`0 `0`B `B# # #

## #

# ##œ # @ : Ê œ % @ :- -Š ‹

ã ã ã

.`0 `0`B `B8 8 8 8

## #

8 8œ # @ : Ê œ % @ :- -Š ‹

De donde tenemos, mediante la adición, que l1<+.Þ0 l œ â œ % @ : œ %# # #`0 `0 `0

`B `B `B

# # #

3œ"

8

" 3#Š ‹ Š ‹ Š ‹

" # 8- -

Å

@ : œ "3œ"

8

3 3#

entonces o sea que- œ l1<+.Þ0 l"#

Š ‹`0 `0 `0`B `B `B #

l1<+.Þ0 l" " # # 8 8

" # 8ß ßâß œ # @ : ß @ : ßá ß @ :

de donde se recibe: 1<+.Þ0

l1<+.Þ0 l " " # # 8 8œ @ : ß @ : ßá ß @ :

entonces @ œ 1<+.Þ0 :l1<+.Þ0 : l

/ @ œ + / Ê A œ + .B , entonces3 3

3 3 3 3

‡

33 " # 3 8A œ „ + .B • .B •â• .B •â• .B

såo sea ‡

" # 8A œ „ + .B •â• .B

„ + .B • .B •â• .B â „ + .B •â• .B# " $ 8 8 " 8"

Veamos ahora cual es el signo de en , es dado por la paridad de la+ A"‡

permutación que es par por ser circular , por lo tanto1" œ Ö#ß $ßá ß 8ß "×

+ @ œ + / â + /" " " 8 8 tiene el mismo signo que tiene en . El signo de„ + œ Ö"ß $ß %ßá ß 8ß #×# # es cambiado ya que la permutación es impar,1

siguiéndose así hasta se tendrá el mismo signo de si es impar,„ + + 33 3

y será si es par, así; + 33

‡ " # 8 # " $ 8 8 " 8"A œ + .B •â• .B + .B • .B •â• .B â „ + .B •â• .B

o sea la suma tiene signos alternados.Tomando ahora derivada, tenemos . A œ .+ .B •â• .B .+ .B • .B •â• .B‡

" # 8 # " $ 8

â „ .+ .B •â• .B8 " 8"

Ahora .+ œ .B â .B â .B3 " 3 8

`+ `+ `+`B `B `B

3 3 3

" 3 8

y „ + • .B •â• .B • .B •â• .B œ3 " 3" 3" 8

œ „ .B • .B •â• .B • .B •â• .B`+`B 3 " 3" 8

3

3 3"

œ „ " .B • .B •â• .B •â• .B œ .B •â• .B3" `+ `+`B `B" # 3 8 " 8

3 3

3 3

ya que si es par y en ese caso tiene al término -ésimo3 " œ " A 33" ‡

con signo opuesto al de en en esas condiciones+ A3


„ .+ • .B •â• .B • .B •â• .B œ .B •â• .B3 " 3" 3" 8 " 8`+`B

3

3

y si es impar , el término -ésimo de es que es el3 " œ " 3 A +3" ‡3

mismo término -ésimo que aparese en y se tiene3 A „ .+ • .B •â• .B • .B •â• .B œ .B •â• .B3 " 3" 3" 8 " 8

`+`B

3

3

Por lo tanto; . A œ .B •â• .B .B •â• .B â .B •â• .B‡ `+ `+

`B `B `B" 8 " 8 " 8`+" #

" # 8

8

œ â .B • .B •â• .B œ .3@Þ@Š ‹`+ `+`B `B `B

`+" # 8

" #

" # 8

8 /

9.Dada una función defereciable se define el Laplaciano de0 À d d 08 #?

0 0 œ .3@ 1<+.Þ0por . Muestre que?#

+ 0 œ ?# ` 0.B

#

#3

, 01 œ 0 1 1 0 # 1<+.Þ0 ß 1<+.Þ1 ? ? ?# # #

- . .0 œ 0 ß d donde es el elemento de volumen de .‡ # 8? / /

SOLUCIÓN: + Se sabe que .3@Þ@ : œ ><+D9 .@ :

Sea , así;@ œ 1<+.Þ 0 œ ß ßá ßŠ ‹`0 `0 `0`B `B `B" # 8

.3@ 1<+.Þ0 œ ><+D9 . 1<+.Þ0 œ ><+D9

á

á

ã ã ä ã

á

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

:

` 0 ` 0 ` 0`B `B `B `B `B

` 0 ` 0 ` 0`B `B `B `B`B

` 0 ` 0 ` 0`B `B `B `B `

# # #

"#

" # " 8

# # #

# " # 8##

# # #

8 " 8 # B

3œ"

8` 0`B

8#

#

3#œ

Luego .?#

3œ"

8` 0`B

0 œ#

3#

Š ‹ Š ‹, + 01 œ œ 0 ‰ 1 œ Se sabe de la parte que ?#

3œ" 3œ"

8 8` 01`B

` ``B `B

#

3#

3 3

œ 1 0 œ 1 0Š ‹ ’ “Š ‹ Š ‹3œ" 3œ"

8 8` ` ``B `B `B `B `B `B `B

`0 `1 `0 `1

3 3 3 3 3 3 3

œ 1 0 œ 1 # 0 œ’ “ Œ Œ3œ" 3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8 8` 0 `0 `1 `0 `1 ` 1 ` 0 `0 `1 ` 1`B `B `B `B`B `B `B `B `B `B

# # # #

3 3 3 3# # # #

3 3 3 3 3 3

œ 0 1 0 1 # / ß / œ? ?# #

3œ" 3œ"

8 8`0 `1`B `B3 3

3 3

œ 0 1 1 0 # 1<+.Þ0 ß 1<+.Þ1 ? ?# #

- / . A œ .3@Þ@ Se sabe de la parte del problema 8 que , tomando‡ /@ œ 1<+.Þ0 se sabe también que a este campo corresponde donde la formaA œ .0 , por lo tanto . .0 œ .3@Þ1<+.Þ0 œ 0‡ #/ ? /

10.Mostrar que .<9> 1<+.Þ0 œ !


Probar que

+ <9> + / œ / / /Œ Š ‹ Š ‹ Š ‹3 3 " # $`+ `+`B `B `B `B `B `B

`+ `+ `+ `+$ $

# $ $ # " #

# " # "

, .3@ <9>Þ@ œ ! SOLUCIÓN:@ œ / Ê .@ œ .B`0 `0

`B `B3 33 3

entonces

. .0 œ . .B œ . • .BŒ Š ‹`0 `0`B `B3 3

3 3

Ahora; . œ .B .B â .BŠ ‹`0 ` 0 ` 0 ` 0

`B `B `B `B `B `B `B" # 83 3 " " # 3 8

# # #

así;

. .0 œ .B • .B œ .B • .BÎ ÑÐ ÓÏ Ò3 4œ" 3ß4œ"

8 8` 0 ` 0

`B `B `B `B4 3 4 3# #

3 4 3 4

Como es diferenciable0

` 0 ` 0`B `B `B `B

# #

3 4 4 3œ Š ‹.B •.B œ! 3œ4

.B •.B œ.B •.B 3Á44 3

4 3 4 3

si si

por lo tanto . .0 œ .B • .B .B • .B œ !

34 43

` 0 ` 0`B `B `B `B4 3 4 3

# #

3 4 3 4

entonces <9> 1<+.Þ0 œ . .0 œ !‡

+ + / Ê + .B œ + .B + .B + .B 3œ"

$

3 3 3 3 " " # # $ $

. + .B œ . + .B + .B + .BŒ3œ"

$

3 3 " " # # $ $

œ . + • .B . + • .B . + • .B œ" " # # $ $

œ .B • .B .B • .B .B • .B .B • .B `+ `+ `+ `+`B `B `B `B# " $ " " # $ #

" " # #

# $ " $

.B • .B .B • .B œ`+ `+`B `B" $ # $

$ $

" #

œ .B • .B .B • .B .B • .BŠ ‹ Š ‹ Š ‹`+ `+ `+ `+`B `B `B `B `B `B" # # $ " $

`+ `+# " # "

" # # $ " $

$ $

Ahora‡

3œ" 3œ"

$ $

3 3 3 3 " # $`+ `+`B `B `B `B `B `B

`+ `+ `+ `+. + .B œ .B œ .B .B .BŒ Š ‹ Š ‹ Š ‹. $ $

# $ $ " " #

# " # "

donde;

.3 3 3 " 3 3 # $‡

3œ"

$

œ . + B / œ " . + B / ß /Œ Œ5

y es par por lo tanto 1 5" œ Ö#ß $ß "× œ !

."`+ `+ `+`B `B `B `B

" # " $ # # # $

# # # $ $ # $ $

`+œ .B / .B / .B / .B /.B / .B / .B / .B /

Š ‹ Š ‹º º º º# " #

" # # $

$

œ .B / .B /.B / .B /

Š ‹ Š ‹º º`+ `+`B `B `B `B

`+ `+" # " $

$ # $ $

$ $

" $ # $

" #


.# 3 3 # 3 3 " $‡

3œ"

$

œ . + B / œ " . + B / ß /Œ Œ5

y es impar luego , y se tiene1 5# œ Ö"ß $ß #× œ "

.#`+`B `B

`+œ Š ‹"

$ "

$

.$ 3 3 $ 3 3 " #‡

3œ"

$

œ . + B / œ " . + B / ß /Œ Œ5

donde es par y así , obteniéndose1 5$ œ Ö"ß #ß $× œ !

.$`+ `+`B `Bœ Š ‹# "

" #

Así el campo . correspondiente es<9> @

<9> + / œ / / /Œ Š ‹ Š ‹ Š ‹3 3 " # $`+ `+`B `B `B `B `B `B

`+ `+ `+ `+$ $

# $ $ " " #

# " # "

, .3@ <9>Þ@ œ X<+D+ . <9>Þ@ œ

œ X<+D+

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

Š ‹ Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹ Š ‹

` ` ``B `B `B `B `B `B `B `B `B

`+ `+`+ `+ `+ `+

` ` ``B `B `B `B `B `B `B `B

`+ `+`+ `+ `+ `

" # $ " $ " " " #

$ $# " # "

# # $ # $ " # "

$ $# " # +`B

` ` ``B$ `B `B `B `B `B `B `B `B

`+ `+`+ `+ `+ `+

"

#

$ $

# $ $ $ " $ " #

# " # "Š ‹ Š ‹ Š ‹

œ œ` ` ``B `B `B `B `B `B `B `B `B

`+ `+`+ `+ `+ `+" # $ # $ " $ " #

$ $# " # "Š ‹ Š ‹ Š ‹ œ œ !` + ` +

`B `B `B `B `B `B `B `B `B `B `B `B` + ` + ` + ` +# #

$ $

" # " $ # $ # " $ " $ #

# # # ## " # "

Å+ − G3

"

11.Pruebe que el espacio proyectivo real es una variedad de8ß

dimensión 8ÞSOLUCIÓN: Sea la aplicaciónE À W § d W § d

B ß B ßá ß B B ß B ßá ß BÈ8 8" 8 8"

" # 8" " # 8"

antípoda, es una aplicación diferenciable, puesto que lo es en cada unaEde sus componentes. Sean se dice que ,:ß ; − W ß : µ ; Í ; œ E : œ :8

que es una relación de equivalencia, pasando al cociente se le8 8œ W µ

llama, plano proyectivo real .8

Sea una familia de parametrizaciones de la esfera de tal modoÖ Y ß 0 ×α α

que , y que ø.∪α

Y œ W 0 Y ∩ E ‰ 0 Y œα α α α α8

Para cada , sea la aplicación canónica.: − W À W: ÈÖ:ß :×

8 8 81

Afirmación: es una estructura diferencial en .Ö Y ß ‰ 0 ×α α1 8

En efecto, es una aplicación biunívoca para cada , ya que3Ñ ‰ 01 αα

0 Y ∩ E ‰ 0 Y œα α α α ø.33Ñ ‰ 0 Y œ∪

α1 α α

8

ya que ∪ ∪α α

1 1 1 ‰ 0 Y œ 0 Y œ W œα α α αÅ1 es biunívoca

8 8


333Ñ ß ‰ 0 Y ∩ ‰ 0 Y œ Z Á Sean tales que ø entonces se debeα " 1 1α α " "

demostrar que son abiertos en , y que1 1‰ 0 Z ß ‰ 0 Z dα "" " 8"

1 1‰ 0 ‰ ‰ 0" α" es diferenciable. Se presentan tres casos

" 0 Y ∩ 0 Y Á 0 Y ∩ E ‰ 0 Y œ ø pero øα α " " α α " "

Sea Z œ [1

1 1 1 1 1‰ 0 Z œ ‰ 0 ‰ [ œ 0 [ œ 0 [α α α α" " " " "

el cual es abierto 1 1 1 1‰ 0 ‰ ‰ 0 œ 0 ‰ ‰ ‰ 0 œ 0 ‰ 0" α α α" "

" " " "

que también es diferenciable# [ œ 0 Y ∩ 0 Y Á Z œ ‰ 0 Y ∩ ‰ 0 Y ø, sea y" α α " " α α " "1 1

0 Y ∩ E0 Y œ [ Á Z œ [ ∩ [α α " "ˆ ‰ # " #ø, en esta forma .1 1

En la componente conexa se tiene1 ["

1 1 1 1‰ 0 [ œ 0 ‰ ‰ [ œ 0 [α α α"

" " "" " "

que es abierto y 1 1 1 1‰ 0 ‰ ‰ 0 œ 0 ‰ ‰ ‰ 0 œ 0 ‰ 0" α α α" "

" " " "

que es diferenciable.En la componente conexa se tiene1 [#

1 1 1 1‰ 0 [ œ 0 ‰ ‰ [ œ 0 [α α α"

# # #" " "

que es abierto y 1 1 1 1‰ 0 ‰ ‰ 0 œ ‰ E ‰ 0 ‰ ‰ 0 œ E ‰ 0 ‰ 0" α " α " α

" " "

es diferenciable.$ 0 Y ∩ 0 Y œ Si ø, en este caso, tenemos necesariamente queα α " "

0 Y ∩ E ‰ 0 Y œ [ Á ‰ 0 [ œ 0 [α α " α" αˆ ‰ # # #

" "ø y todo se hace así; 1 1

el cual es abierto. 1 1 1 1‰ 0 ‰ ‰ 0 œ ‰ E ‰ 0 ‰ ‰ 0 œ E ‰ 0 ‰ 0" α " α " α

" " "

que es diferenciable.

12.Verifique que la botella de Klein es una superficie abstracta.SOLUCIÓN: Sea la botella de Klein, hemos hallado en los resultadosQbásicos, las dos cartas locales dondeY ß 0 ß Y ß 0" " # #

Y œ !ß # ‚ !ß # 0 œ ?ß @ − Y

B œ <-9=@ + -9=Þ?C œ <-9=Þ@ + =/8Þ?D œ <=/8Þ@ -9=Þ

A œ <=/8Þ@ =/8Þ

" " "?#?#

ÚÝÝÛÝÝÜ1 1 ,

Y œ ß ‚ !ß # ß 0 œ ?ß @ − Y

B œ <-9=Þ@ + =/8Þ?C œ <-9=Þ@ + -9=Þ?

D œ <=/8Þ@ -9=Þ

A œ <=/8Þ@ =/8Þ

# # ## #$

?# %?# %

ˆ ‰ÚÝÝÛÝÝÜ ˆ ‰ˆ ‰

1 11

1

1

Se trata de hallar la carta Y ß 0$ $


Y œ !ß # ‚ ß ß 0 œ ?ß @ − Y

B œ + <=/8Þ@ -9=Þ?

C œ + <=/8Þ@ =/8Þ?

D œ <-9=Þ@ -9=Þ?

A œ <-9=Þ@ =/8Þ?

$ $ $# #$ˆ ‰ ˆ ‰

ÚÝÝÝÛÝÝÝÜ

ˆ ‰ˆ ‰1 1 1

Obteniéndose que0 Y ? œ !# # incluye los puntos de la botella de Klein con 0 Y @ œ !$ $ incluye los puntos de la botella de Klein con

3Ñ 0 D Á ! es biunívoca, en efecto, supongamos primero que . Entonces"

=/8Þ@ Á ! -9=Þ Á ! ! œ ?Þ y . Como , la expresión determina ? ? A ?# # D #1 tan

Conocido , las ecuaciones?

cos sinÞ@ œ ß Þ@ œ B C +

< < ÞAÈ # #

?#cos

determinan . Si , entonces o y de nuevo la biunivocidad@ D œ ! @ œ ? œ1 1

se verifica.Análogamente para , supongamos en principio que . Entonces0 B Á !#

sin cos tanÞ@ Á ! ÞÖ × Á !Þ ! œ Þ y Como , la expresión ? ? A ?# % # % # # %

1 1 11 ˆ ‰determina . Conocido , las ecuaciones? ?

, cos sinÞ@ œ Þ@ œ B C +

<A

< ÞÖ ×

È # #

?# %cos 1

determinan , si entonces , o y de nuevo la biunivocidad@ D œ !ß @ œ ß ? œ1 1#

se verifica.Finalmente para , supóngase una vez más . Entonces y0 D Á ! Þ? Á !$ cossin tanÞ@ Á ! ! ? # ß @ œ Þ? como , la expresión determina1 1 1

# # D$ A

? ?. Conocido , las ecuaciones sin cosÞ@ œ ß Þ@ œ

+ B C<

D< Þ?

È # #

cosdeterminan . Si , o, y de nuevo la biunivocidad se tiene.@ D œ !ß @ œ ? œ1 1

# #

33Ñ Q œ 0 Y∪3 œ "

$

3 3

Sea tal que como .B − 0 Y Ê b3 B − 0 Y 0 Y § Q Ê B − Q∪3 œ "

$

3 3 3 3 3 3


333Ñ 0 Y ∩ 0 Y œ [ Obsérvese que no es conexa, esta constituida de" " # #

dos componentes conexas: [ œ Ö0 ?ß @ à ? # ×ß [ œ Ö0 ?ß @ à ! ? ×" " # "# #

1 11

El cambio de coordenadas es dado por en en .0 ‰ 0 À [ ß 0 ‰ 0 À [

? œ ?

@ œ @? œ ?

@ œ # @# #" "

" " " ##

$#œ œ1 1

1

Que son diferenciables.

0 Y ∩ 0 Y œ [" " $ $ no conexa, con dos componentes conexas dadas por .[ œ Ö0 ?ß @ à @ # ×ß [ œ Ö0 ?ß @ à ! @ ×" " # $# #

1 11

El cambio de coordenadas esta dado por

en , en 0 ‰ 0 œ [ 0 ‰ 0 œ [? œ ?

@ œ @

? œ # @

@ œ @ " "$ $" " " #

#$#

œ œ1 1

1

Ahora , donde tiene cuatro componentes conexas0 Y ∩ 0 Y œ [ [# # $ $

dadas por [ œ Ö0 ?ß @ à @ ß ! ? ×" # # # #

1 1 1

[ œ Ö0 ?ß @ à ? # ß ! @ ×# # # #1 11

[ œ Ö0 ?ß @ à ! ? ß @ # ×$ $ # #1 1 1

[ œ Ö0 ?ß @ à ? # ß @ # ×% $ # #1 11 1

El cambio de coordenadas está dado por

en en 0 ‰ 0 œ [ ß 0 ‰ 0 œ [? œ ?

@ œ @

? œ ?

@ œ @ " "$ $# " # #$

#œ œ1

1

11

en en 0 ‰ 0 œ [ ß 0 ‰ 0 œ [? œ ?

@ œ @

? œ ?

@ œ @ " "$ $# $ # %

$#

$#

$#

œ 1 1

11

y se tiene que y son diferenciables y por0 ‰ 0 ß 0 ‰ 0 ß 0 ‰ 0 0 ‰ 0" " " "$ " $" $ # 2 3

lo tanto se tiene que la botella de Klein es diferenciable.

13.Sea una aplicación diferenciable en . Verifique que la1 À W W : − W" # "

definición de diferencial de en es independiente de la curva escogida y1 :

que es una aplicación lineal..1:


SOLUCIÓN: Sea , diferenciable tal que 1 À W W À ß W ! œ :" # "- % % -Afirmación: 1 : ‰ : œ 1 : "w w

! !w: :

En efecto, sea y considérese una parametrización de tal que2 − d W! "$ :

2 œ : ‰ 2 − X W > œ : >2 2 œ !: - : -w w! ! : " ! ! , se tiene que entonces

1 : ‰ : ‰ 2 œ 1 : ‰ ! œ 1 ! œ 1 : ‰ 2w w w w! ! ! !

w w: - - :Å

1 > œ 1 : >21 ! œ 1 : ‰ 2

- :- :

! !w w

! !

La identidad implica que , de donde resulta que es" 1 œ 1 1w w ww ": :lineal y no depende de .-Otra manera de ver este problema es el siguiente: Sea y 1 ?ß @ 1 ?ß @" #

parametrizaciones de y respectivamente. Supongamos que se: 1 : 1expresa en estas coordenadas y sea1 ?ß @ œ ?ß @ ß ?ß @: :" #

- % % " : :À ß W > œ ? > ß @ > ß ? > ß @ > , entonces y la expresión" " #

de en la base es"w `1 `1`? `@! Ö ß ×" "

"w w w w w` ` ` ``? `@ `? `@Š ‹! œ ? ! @ ! ß ? ! @ !: : : :" " # #

esto implica que depende apenas de las funciones y de las" :!

coordenadas de en la base es por lo tanto? ! ß @ ! A Ö ß ×ß !w w w`1 `1`? `@

" " "

independiente de . Además-

" w:

` ``? @` ``? `@

w

w– —” •! œ .1 A œ? !@ !

: ::

: :

" "

# #

esto es, es una aplicación lineal de en es dada por ésta.1 X W X W: : " #1 :

matriz

14.Considere el cilindro e identifiqueG œ Ö Bß Cß D − d à B C œ "×$ # #

puntos antipodales de . Pruebe que el conjunto cociente del cilindro porG

esta relación de equivalencia, es una superficie abstracta.SOLUCIÓN: Sea y una estructura diferencial de , dondeY ß 0 Y ß 0 G" " # #

Y œ ?ß @ ß 0 ÀB œ Þ?C œ Þ?D œ @

" "!?#

∞@∞š ‚ › Ûˆ ‰ ÚÜ

1cossin

Y œ ?ß @ ß 0 À

B œ Þ ? œ Þ?

C œ Þ ? œ Þ?

D œ @# #

?∞@∞

#

#š ‚Š ‹› Û

ÚÜ

ˆ ‰ˆ ‰1 1# #

$cos sinsin cos

1

1


Sea E À G G: ÈBß C È

: Bß C

G

Consideremos la aplicación cociente donde es dada por1 À G GÎ µ µ

Bß C µ B ß C Í B œ Bß C œ C" " " "

Entonces si , se sigue que esŠ ‹0 Y ∩E†0 Y œ0 Y ∩E†0 Y œ" " " "

# # # #

øø ‡ Ö Y ß ‰ 0 ß Y ß ‰ 0 ×" " # #1 1

un sistema de parametrizaciones diferenciables en .Q œ GÎ µ

3Ñ ‰ 0 ß ‰ 01 1" # son evidentemente biunívocas por las condicionesdadas en ‡ Þ

33Ñ Ö ‰ 0 Y × ∪ Ö ‰ 0 Y × œ ‰ Ö0 Y ∪ 0 Y × œ G œ Q1 1 1 11

" " # # " " # #Å es biunívoca

333Ñ ‰ 0 Y ∩ ‰ 0 Y œ Z Á Veamos ahora que ø es abierto y que1 1" " # #

1 1 1‰ 0 ‰ ‰ 0 ‰ 0 Z" # "" " es diferenciable en el abierto . Tenemos tres

casos a considerar"Ñ 0 Y ∩ 0 Y œ [ Á 0 Y ∩ E ‰ 0 Y œ ø y ø" " # # " " # #

En este caso sea por lo tantoZ œ [1

1 1 1‰ 0 Z œ ‰ 0 [ œ 0 [" "" "

""

el cual es abierto y 1 1‰ 0 ‰ ‰ 0 œ 0 ‰ 0" # #

" ""

que es diferenciable también#Ñ 0 Y ∩ 0 Z œ [ Á 0 Y ∩ E ‰ 0 Y œ [ Á ø y ø" " # # " # " # # #

En este caso . En la componente conexa tenemosZ œ [ ∪ [ [1 1 1" # "

que que es abierto y1 1‰ 0 [ œ 0 [" " "" "

"

1 1‰ 0 ‰ ‰ 0 œ 0 ‰ 0# " "" "

#

que es diferenciable.En la componente conexa tenemos que 1 1 1[ ‰ 0 [ œ 0 [# " # #

" ""

que es abierto y 1 1‰ 0 ‰ ‰ 0 œ 0 ‰ 0# "

"#"

"

que es diferenciable.$Ñ 0 Y ∩ 0 Z œ [ œ Z œ [ ø. En este caso y tenemos" " # # " #1

1 1 1 1‰ 0 [ œ 0 [ ‰ 0 ‰ ‰ 0 œ 0 ‰ 0" # # # " "" "" "

" #que es abierto, que es diferenciable.


15.Sea y dos variedades diferenciables, donde es laQ R ÖY ß 0 ×α α

estructura diferencial en y es la estructura diferencial de .Q Ö Z ß 0 × R" "

Considérese el producto cartesiano y las aplicacionesQ ‚R

2 À Y ‚ Z Q ‚Rα" α " dadas por , 2 Bß C œ 0 B ß 1 C B œ Y ß C œ Z ‡α" α " α "

Muéstrese que es una estructura diferencial en , laÖ Y ‚ Z ß 2 ×ß Q ‚Rα " α"

cual es entonces la variedad producto de por . Describa la variedadQ R

producto de dos círculos, donde tiene la estructura diferencialW ‚ W W" " "

usual.SOLUCIÓN: 3 2 Bß C œ 2 B ß C ‡ Sea de se tieneα" α" " "

ˆ ‰ ˆ ‰0 B ß 1 C œ 0 B ß 1 C Í 0 B œ 0 B • 1 C œ 1 Cα α α α" " " "" " " "

Puesto que y son biunívocas, se sigue que , o sea que0 1 B œ B • C œ Cα " " "

2α" es biunívoca.ˆ ‰33 2 Y ‚ Y œ 0 ß 1 † Y ‚ Y œ 0 Y ‚ 1 Y œ

‡ ∪ ∪ ∪α " α "ß ß

α" α " α α " α α "" "α "ß

œ 0 Y ‚ 1 Y œ Q ‚RŠ ‹ Œ∪ ∪α α α "

"

α "

" Å∪ 0 Y œ Qß ∪ 1 Y œ Rα α ""

ˆ ‰ ˆ ‰333 2 ‰ 2 œ 0 ß 1 ‰ 0 ß 1 œ 0 ß 1 ‰ 0 ß 1 " " ""α" "$# α $ # $ #α"

œ 0 ‰ 0 ß 1 ‰ 1Å

? ‚ @ ‰ ? ‚ @ œ ? ‰ ? ‚ @ ‰ @w w w w

ˆ ‰" "α $ #"

como cada una de las componentes es diferenciable, se sigue que2 ‰ 2α" $#" es diferenciable y se tiene que el cambio de coordenadas es

diferenciable y por lo tanto es una variedad diferencial.Q ‚R3@ 2 Y ‚ Z ∩ 2 Y ‚ Y œ α " α " α " α "" " " " # # ##

œ 0 Y ‚ 1 Z ∩ 0 Y ‚ 1 Z œˆ ‰α α " " α α "" " " " # # ##"

øœ 0 Y ∩ 0 Y ‚ 1 Z ∩ 1 Z Áˆ ‰α α α α " " "" " # # " # #""ˆ ‰@ [ œ 0 Y ∩ 0 Y ‚ 1 Z ∩ 1 Z 2 [ Sea veamos que α α α α " " " α "" " # # " # #" " ""

"

es abierto, en efecto2 Ò 0 Y ∩ 0 Y ‚ 1 Z ∩ 1 Z Ó œ"α " α α α α " " "" " " " # # " # #"

ˆ ‰"

œ 0 ß 1 Ò 0 Y ∩ 0 Y ‚ 1 Z ∩ 1 Z Ó œˆ ‰ ˆ ‰" "α " α α α α " " "" " " " # # " # #""

œ 0 0 Y ∩ 0 Y ‚ 1 1 Z ∩ 1 Z" "α α α α α " " """ " " # # " # #" "

ˆ ‰"

Como es un sistema diferencial de entoncesÖ Y ß 0 × Qßα α

0 0 Y ∩ 0 Y Ö Z ß 1"α α α α α "" " " # #

ˆ ‰ es abierto. También como es un sistema"

diferencial de , entonces es abierto, por tantoR 1 1 Z ∩ 1 Z"" " " "" " " # #

ˆ ‰"

2 [ 2 [" "α " α "" " # #

es abierto, análogamente tenemos que es abierto.@3 W Consideremos ahora la parametrización natural de dada por"

, 0 œ à > − Y 0 œ à > − Y œ YB œ Þ> B œ Þ>C œ Þ> C œ Þ>" " # # "œ œcos cos

sin sin


0 œ à > − Y œ Y ß 0 œ à > − Y œ YB œ Þ> B œ =/8Þ>C œ Þ> C œ Þ>$ $ " % % "œ œsin

cos coscon .Y œ Ö>Î! > ×" 1

Es claro que es un sistema diferencial para . Ahora de lasÖY ß 0 × W3 3 "Ÿ3Ÿ% "

partes se tiene que 3 ß 33 ß 333 ß 3@ ß @ Ö Y ‚ Y ß 2 × œ Ö Y ‚ Y ß 0 ß 0 ×3 4 34 " " 3 4

es un sistema diferencial de Concretamente se tieneW ‚ W Þ" "

Ö Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß" " " " " " " # " " " $ " " " %

Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß" " # " " " # # " " # $ " " # %

Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß" " $ " " " $ # " " $ $ " " $ %

Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß Y ‚ Y ß 0 ß 0 ß Y ‚ Y ß 0 ß 0 ×" " % " " " % # " " % $ " " % % .

16.Pruébese que la botella de Klein no es orientable.SOLUCIÓN: La botella de Klein, en realidad es la suma conexa de dos cintasde Möbius

El cuadrado constituye un subconjunto propio del cuadrado queSEFGdefine la botella de Klein y en donde se han introducido a las semirectasS G SE

Ä Äw y sistemas de coordenadas, con la misma unidad de modo que

el punto tiene coordenadas y el punto A tienen coordenada , cadaF $# #1 1

uno en su sistema de coordenadas corresponde. La construcción de labotella de Klein hace coincidir los lados de igual orientación y por lotanto hace coincidir los dos sistemas de coordenadas y , durante eseS Sw

proceso de pegado (obteniéndose deformaciones en los puntos y d Ñ E F$

coinciden hallando, de hecho, una cinta de Möbius como subconjuntopropio de la botella de Klein. Puesto que se sabe que la cinta de Möbiusno es orientada, se llega a la conclusión de que la botella de Klein no esorientable.

17.Pruebe que el plano proyectivo de dimensión , es orientable$ß $ .SOLUCIÓN: Sea una esfera contenida en y su centro en el origen. Sea W d$ %

E À W W W E: È$ $ $

E : œ: la aplicación antípoda de . Como es una aplicación

diferenciable cuyo Jacobiano


./>ÞN E œ œ " œ " !

" ! ! !! " ! !! ! " !! ! ! "

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â%

y esto depende de la parametrización tomada para se sigue que W ß E$

preserva la orientación de .W$

Sea donde " " indica la relación de equivalencia definida en$ $œ W Î µ µ

W$, identificando los puntos antipodales.Sea la aplicación canónica. Como la apliación1

1À W: È : œ Ö:ß :×$ $

antípoda preserva orientación en la esfera el plano proyectivo queW ß$ $es obtenido de justamente identificando los puntos antípodos y W : :$

es también orientable.

18.Probar que el espacio fibrado tangente de una superficie abstracta Qes siempre orientable (lo mismo si no es diferenciable)Q .SOLUCIÓN: XQ œ Ö :ßA à : − Q A − X Q× Q y donde es una variedad de:

dimensión . Sea y consideremos un sistema de coordenadas# :ß A − XQ

0 À Y Qß Y § d : œ 0 ?ß @ A − X Q ß A œ 0 0 ß abierto y . como #: ? @α "

α "α " α "

ß − d J À Y ‚ d XQ J?ß @ß ß È 0 ?ß @ ß .0 ß

. , es un sistema de#

?ß@ˆ ‰coordenadas en una vecindad de .:ß A − XQSean y dos sistemas de coordenadasJ À Y ‚ d XQ J À Y ‚ d XQ" " # "

# #

de Si entonces:ß A − XQÞ :ß A − J Y ‚ d ∩ J Y ‚ d" " # ## #

: œ 0 ? ß @ œ 0 ? ß @ ? ß @ − Y ? ß @ − Y" " " # # # " " " # # #, y entoncesA œ .0 ß œ .0 ß" " " # # #? ß@ ? ß@" " # #

α " α " , así tenemos

J ‰ J ? ß @ ß ß œ J :ßA œ 0 ‰ 0 ? ß @ ß . 0 ‰ 0 ß

− G − G" " " "# # # #" " " " " " " " " " "

∞ ∞

? ß@

Î ÑÐ ÓÏ Ò

èëëëëëéëëëëëê èëëëëëëëëëëëéëëëëëëëëëëëêα " α "

" "

donde 0 ‰ 0 À Y d ß 0 ‰ 0 œ 1 ß 1" # "# #" " " " #

es lineal. 0 ‰ 0 À d d" # ## " ? ß@" "

= . 0 ‰ 0 1 ß 1 œ 1 ß 1 ""# " # $ " #? ß@

w

" " Å. ß es transformación lineal

N J ‰ J œ

! !

! !

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â"# "

`1 `1`? `@`1 `1`? `@`1 `1 `1 `1`? `@ ` ``1 `1 `1 `1`? `@ ` `

" "

" "

# #

" "

$ $ $ $

" " " "

% % % %

" " " "

α "

α "

Entonces como

» » » »`1 `1`? `@`1 `1 `1 `1`? `@ ` `

`1 `1` ` " #

# "

" "

" "

# # % %

" " " "

$ $

" "œ œ E Á ! Ê N J ‰ J œ E !α "

α "


E Á ! Q dado que el Jacobiano del cambio de coordenadas de la variedad es . Luego es orientable.E X Q

19.Sea el conjunto constituido de la reunión disyunta de con elW d#

punto . Sea y aplicaciones de en dadas por :T 0 0 d W‡ #" #

si 0 ?ß @ œ 0 ?ß @ œ ?ß @ ?ß @ Á !ß !" #

0 !ß ! œ !ß ! ß 0 !ß ! œ T" #‡

Muestre que es una estructura diferencial en cuyad ß 0 ß 3 œ "ß # W#3

topología no satisface el axioma de Hausdorff.SOLUCIÓN: + Y œ d ß Y œ dSe tiene que " #

# #

3 03 es biunívoca0 ?ß @ œ ?ß @ ?ß @ − d 0" "

#, para todo , entonces es biunívoca. Ahora para todo 0 ?ß @ œ ?ß @ ?ß @ − d Ö !ß ! ×#

#

y 0 !ß ! œ T T Â d#‡ ‡ #

entonces también es biunívoca.0#33 0 Y œ W∪

α α α

0 Y ∪ 0 Y œ 0 d ∪ 0 d œ W ÖT × ∪ W Ö !ß ! × œ W" " # # " ## # ‡

333 0 Y ∩ 0 Y œ W ÖT × ∩ W Ö !ß ! × œ W ÖT ß !ß ! × ÁAhora; ø" " # #‡ ‡

3@ 0 [ ß 0 [ d ß [ œ W ÖT ß !ß ! ×" " # ‡" # son abiertos de donde , en

efecto, ,0 [ œ 0 W ÖT !ß ! × œ 0 W ÖT × ∩ W Ö !ß ! ×" " ‡ " ‡

" " "

œ 0 W ÖT × ∩ 0 W Ö !ß ! × œ d ∩ d Ö !ß ! × œ d Ö !ß ! ×" ‡ " # # #" "

el cual es abierto , ahora 0 [ œ 0 W ÖT ß !ß ! × œ 0 ÒW ÖT ×Ó ∩ ÒW !ß ! Ó" " ‡ " ‡

# # #

œ 0 W ÖT × ∩ 0 W Ö !ß ! × œ d Ö !ß ! ×Þ" ‡ " ## #

el cual también es abierto.@ 0 ‰ 0 À d Ö !ß ! × d Ö !ß ! × Sabemos que " # #

# "

y .0 ‰ 0 À d Ö !ß ! × d Ö !ß ! ×" # #" #

Vemos son aplicaciones diferenciables, en efecto0 ‰ 0 • 0 ‰ 0" "# "" #

0 l œ 0 l" #d !ß! d !ß!# # y coincide con la identidad, la cual es diferenciable,Luego es diferenciable.0 ‰ 0"

α "

, 3 WVeamos ahora que la topología sobre definida a partir de lasaplicaciones y no es Hausdorff, para eso basta mostrar que los0 0" #

puntos y no se pueden separar. Por definición de la topologíaT !ß !‡

definida sobre a partir de las aplicaciones y tenemos que no esW 0 0 T" #‡

abierto en ya queWß ø ø0 ÖT × ∩ 0 d œ 0 ÖT × ∩ W ÖT × œ 0 œ" ‡ # " ‡ ‡ "

" " ""

y 0 ÖT × ∩ 0 d œ 0 ÖT × ∩ W Ö !ß ! × œ 0 T œ Ö !ß ! ×" ‡ # " ‡ " ‡# # ##

así ø, que es abierto en y0 ÖT × ∩ 0 d œ d" ‡ # #" "

{ es cerrado en , el cual se ha considerado0 ÖT × ∩ 0 d œ !ß ! × d" ‡ # ## #

aquí con la topología natural.


33 E T − E 3 ÖT × § EÁ

Sea un abierto tal que por se sabe que , entonces‡ ‡

E œ E ∪ ÖT × E Á E § d" " "‡ # con ø y . Así

0 E ∩ 0 d œ 0 E ∩ 0 0 d œ 0 E ∪ ÖT × ∩ d" # " " # " ‡ #" " " "" " "

œ E ∩ d œ E" "#

Por otro lado 0 E ∩ 0 d œ 0 E ∩ 0 0 d œ 0 E ∩ d" # " " # " #

2 2 2 22 2 œ 0 E ∪ ÖT × ∩ d œ E ∪ Ö !ß ! × ∩ d œ E ∪ Ö !ß ! ×" ‡ # #

# " " "

Concluimos que es abierto si y sólo si es abierto en yE œ E ∪ ÖT × E d" "‡ #

E ∪ Ö !ß ! × d"# es abierto en .

Tenemos en este caso que ø ; también pues si§ E § d !ß ! − EÁ Á

" "#

!ß ! Â E E E ∪ Ö !ß ! ×" " ", y son abiertos, tenemos que si.3=Ò !ß ! ß E Ó œ ! !ß ! 8 #" 8$ entonces toda bola de centro y radio con $

no encuentra a y como y es abiertoE !ß ! − E ∪ Ö !ß ! × E ∪ Ö !ß ! ×" " "

entonces existe una bola .F !ß ! œ Ö Bß C à B C × § E ∪ Ö !ß ! ×%# #

"%

Así se han dado , tal que > entonces% $ % ! Ê ˆ ‰b8−8 # 8

$

F !ß ! § E ∪ Ö !ß ! × F !ß ! § F !ß ! § E ∪ Ö !ß ! ×$ $8 8

" " en esta forma pero%

F !ß ! ∩ E œ F !ß ! § E ∪ Ö !ß ! ×ß 8 #po$8

" "ø, entonces contradicción%

Si esto es, si tenemos también que en.3=Ò !ß ! ß E Ó œ ! !ß ! − 0<98ÞE" "

este caso , en efecto si para todo ,!ß ! − E !ß ! Â E ß < !ß F !ß ! § EÎ" " < "

pues si existe tal que entonces por definición de % ! F !ß ! § E F !ß !% %"

esto implica que contradicción. Se concluye que!ß ! − E po"

!ß ! − E œ E ∪ ÖT × E"‡ . Hemos mostrado esta afirmación: "Si es abierto

en y , implica que ". En esta forma no es HausdoffW T − E !ß ! − E W‡

pues para todo vecindad de , se tiene que y todaZ T T !ß ! − Z T‡ ‡ ‡

Z !ß ! !ß ! ß !ß ! − Z !ß ! aZ Tw w ‡vecindad de tenemos que , entonces y ø , pues por lo menos es unaZ !ß ! ß Z T ∩ Z !ß ! Á !ß !w ‡ w

elemento común.

20.Considere en la recta real las dos estructuras diferenciablesd

siguientes donde con , , donde" dß 0 0 À d d 0 B œ B # dß 0" " " #

0 À d d 0 B œ B d# # "$con . Indicaremos por a la recta con la estructura

diferencial de y por a la recta con la estructura diferencial de " d ##

+ 3 À d d 3 B œ B La aplicación identidad , esto es, no es diferenciable." #

, 1 À d d 1 B œ BLa aplicación dada por es un difeomorfismo." #$

SOLUCIÓN: + 3 Se sabe de la teoría general que es diferenciable si


y sólo si es diferenciable luego basta estudiar la2 À d d

diferenciabilidad de 2Þ 2 B œ 0 ‰ 3 ‰ 0 B œ 0 3 0 B œ 0 3 B œ" " "

# # #" "

.œ 0 B œ B"#

"$

Puesto que en no es diferenciable, se sigue que no esB œ !ß 2 B œ B 3"Î$

diferenciable., 1 À d d 1 B œ BSea ahora tal que , para ver la diferenciabilidad" #

$

d d 1 À d d1

" # de , veamos entonces si es dada por)0 0 B œ 0 ‰ 1 ‰ 0 B" # "#

" )d d

es diferenciable, en efecto,)

) B œ 0 1 0 B œ 0 1 B œ 0 B œ B" " " $# # #"

Puesto que es la aplicación idéntica que es diferenciable entonces) B œ B) es diferenciable por lo tanto es diferenciable. Consideremos ahora11 À d d 1" "

# " , entonces es diferenciable ya que d d B œ 0 ‰ 1 ‰ 0 B œ 0 1 0 B œ

1# " # #

"" " " "" ":

0 0 œ 0 1 B œ 0 B œ B# "" " $ "" "

d d es por lo tanto diferenciable. :1 1 À d d es un : pues es una aplicación biyectiva y homeomorfismo " #

para ver que es un homeomorfismo , obsérvese que10 À d d d d µ d

B È0 B œ B

µ"# " "

"

induce sobre una topología tal que (donde

µ 0 À d dµ

BÈ0 B œ B indica "homeomorfo a"). Ahora es tal que la# #

#$

topología en es la topología inducida por ya que un intervalo d d +ß ,#

abierto es una base de abiertos de entonces esd 0 +ß , œ + ß ,#" "Î$ "Î$#

ˆ ‰un abierto en lo cual siempre se tiene por lo tanto . De todo lod d µ dµ

#

anterior se sigue que es un homeomorfismo.1 À d dB È B" #

$

21.Sea es una inmersión, entonces existe una vecindad0 À Q Q" #

Z § Q : − Q 0 Z" " " "de todo punto , tal que restringida a es un zambullido(esto es, toda inmersión es "localmente" un zambullimiento) .SOLUCIÓN:Como es una inmersión entonces para todo 0 À Q Q : − Q ß" # "

.0 À X Q X Q: : " #0 : es biunívoca, por el teorema de las formas locales delas inmersiones existe una vecindad vea análisis en de en ,d Z : X Q8 ‡

" :


donde es un isomorfismo, ahora por el teorema de la función.0 l: Z ‡"

inversa para variedades existe una vecindad de y una vecindad deZ : Z" #

0 : 0l 0 l donde es un difeomorfismo, por lo tanto en particular es unZ Z" "

homeomorfismo o sea que es un zambullido.0lZ"

22.Pruebe que una inmersión del plano proyectivo real en es unT d# %

zambullido.SOLUCIÓN: Sea 0 À W d

Bß Cß D È B C ß BCß BDß CD

# %

# #

se ha probado que es una inmersión. Puesto que es 2 À T d TÖ:ß :× È0 :

# #%

compacto y es continua sólo resta mostrar que es un2 ß 2

homeomorfismo y queda zambullido en .T d# %

Sea tales que lo cual es: œ Bß Cß D − W ß ; œ B ß C ß D − W 2 : œ 2 ;# #" " "

equivalente a escribir de laB C ß BCß BDß CD œ B C ß B C ß B D ß C D# # # #" " " " " " " "

definición entre la igualdad de se tiene las siguientes ecuaciones% ?:6+=

B C œ B C "# # # #" "

BC œ B C #" "

BD œ B D $" "

CD œ C D %" "

Si entonces de y se tieneB Á !ß C Á !ß D Á ! $ %

entonces Bœ

Cœ

B œ

C œ

B C DD

B DD

C DD

B DD

C DD

" "

" " Ê B C œ#

# #" "#

## #" "#

# # #" " "

## #

Usando y suponiendo que entonces ." B C Á ! Ê D œ D D œ „ D# # # #" "

Si entonces o sea que Š ‹ Š ‹DœD ÊCœC •BœB :œ;DœD ÊCœC •BœB :œ;

" " "

" " "

Ö:ß :× œ Ö;ß ;×

de donde es uno a uno.2Si , de se tiene que B C œ ! œ B C Ê B œ „ C • B œ „ C # B œ B# # # # # #

" " "" "

entonces B œ „ B"

Si entonces , por lo tanto deŒ Š ‹BœB Ê CœC •DœD

BœB ÊCœC •DœD

:œ;:œ;

" " "

" " "

Å$ • % Ö:Þ :× œ Ö;ß ;×

donde es uno a uno.2Si , 0, de se tiene , 0, de dondeB œ ! C œ ! " C œ C B œ B# # # #

" "

C œ „ C ß B œ „ B $ %" "o, en ese caso usando y según el caso se siguequesi entonces o sea que deŠ ‹ Š ‹CœC BœB ÊDœD

CœCß ßBœB ÊDœD" " "

" "

,o, o

:œ;:œ; Ö:ß :× œ Ö;ß ;×

donde sería uno a uno.2Nótese que no se puede tener, ya que en ese caso yB œ ! œ C D œ !

entonces .Bß Cß D Â W#

Si entonces como se sigue queD œ ! Bß Cß D ß B ß C ß D − W" " "#

B C œ "# #

B C œ B C "# # # #" "


Sumando estas dos últimas igualdades, se recibe #B œ " B C œ B C C B œ #B# # # # # # # #

" " " " " " "Å" œ B C# #

" "

entonces por lo tanto de se tiene , por lo tanto B œ „ B " C œ „ C : œ ;" "

o . De todo lo anterior se tiene que es uno a uno y queda: œ ; 2 T #

zambullido en .d%

23.Un en un abierto es una correspondencia quecampo plano Y § d T$

a cada asocia un plano , pasando por ; el campo es: − Y T : § d : T$

diferenciable si los coeficientes de la ecuación son funcionesT :

diferenciables de . Una superficie de es una superficie: Tintegral

W § d T ; − W X W œ T ;$;, pasando por , y tal que para todo se tenga , esto

es la superficie es tangente a los planos del campo. Sea una -formaA "

diferencial en . Mostrar queY § d%

+ A Á ! Y T determina en un campo diferenciable de planos , por lacondición Z − T : § d Í A Z œ !%

:

, W T : 3 A œ ! Si es una superficie integral de en , entonces donde‡

3 À W d 3 : œ :ß : − W es una aplicación de inclusión $

- T : − Y Si existe una superficie integral del campo en , entonces existeuna -forma en una vecindad de tal que ." Z § Y : .A œ A •5 5

. T : − Y A Si existe una integral de , para todo y una forma dada porA œ +.B +.C -.D entonces Š ‹`- `,

`C `D + , - œ !Þˆ ‰ Š ‹`+ `- `, `+`D `B `B `C

SOLUCIÓN: + : œ B ß B ß B Sea " # $

T : œ Ö@ − d Î @ B / @ B / @ B / œ !×$" " " # # # $ $ $

Si entonces esto significa que se tiene un campo de vectores@ − T : @ : œ @ B / @ B / @ B / œ !" " " # # # $ $ $

por un resultado básico a este campo de vectores corresponde la -forma"

A @ œ @ B .B @ B .B @ B .B œ !: " " " # # # $ $ $

Recíprocamente si es una -forma en tal queA " Y

A @ œ + @ .B + @ .B + @ .B œ !: " " # # $ $

entonces por el mismo resultado básico, a esta -forma corresponde"

@ : œ + @ / + @ / + @ / œ !" " # # $ $

esto significa que .@ − T :

, 3 A : @ œ A .3 @ œ A @ œ !Þ‡: :Å

Æ+

Å: − W Ê @ − T :Š ‹3 : œ:

.3œ3


- A ßA ßA " Z A œ A ßA ßASean -forma en tales que sean linealmente" # $ " # $

independientes en y escribamosZ .A œ A • A A • A A • Aα " ## $ $ " " #

por cuando superficie integral de , por lo tanto, 3 A œ ! : − W T‡

. 3 A œ 3 .A œ !‡ ‡

o sea que 3 .A œ 3 A • A A • A A • A œ !‡ ‡

# $ $ " " #α " #

3 A • A 3 A • A 3 A • A œ !‡ ‡ ‡# $ $ " " #α " #

Sean entonces@ ß @ − T :" #

! œ 3 .A @ ß @‡: " #

œ 3 A • A @ ß @ 3 A • A @ ß @ 3 A • A @ ß @‡ ‡ ‡# $ " # $ " " " # " #α " #2

œ A • A .3 @ ß .3 @ A • A .3 @ ß .3 @ A • A .3 @ ß .3 @α " ## $ " # $ " " " # " ##

œ A • A @ ß @ A • A @ ß @ A • A @ ß @ œ !α " ## $ " # $ " " # " # " #

α " #A • A @ ß @ œ !A @ A @ A @ A @A @ A @ A @ A @# $ " #

$ " $ # " " " #

" " " # # " # #º º º º

puesto que , por lo tanto .@ ß @ − T : Ê A • A œ !" # # $A @ œA @ œ !

+

A @ œA @ œ!Œ " " "

" # #α

Como son linealmente independientes, se tiene que A ßA ßA A • A Á !" # $ # $

por lo tanto , asíα œ !

.A œ A • A A • A œ A • A A • A œ A • A A" # # " # "$ # # # # $

Tómese en ese caso .5 # " 5œ A A ß .A œ A •# $

. : − Y @ ß @ − T : Sea y considérese , entonces tenemos" #

.A • A @ ß @ œ œ !.A @ .A @A @ A @º º" #

" #

: " : # Å+

Así tenemos que en el caso de existir la superficie integral de ,T A œ +.B ,.C -.D

.A œ .B .C .D • .B .B .C .D • .C Š ‹ Š ‹`+ `+ `+ `, `, `,`B `C `D `B `C `D

.B .C .D • .D œ .C • .B .D • .B .B • .C Š ‹`- `- `- `+ `+ `,`B `C `D `C `D `B

.D • .C .B • .D .C • .D`, `- `-`D `B `C

.A • A œ + .D • .C • .B + .C • .D • .B , .D • .B • .C `, `- `+`D `C `D

, .B • .D • .C - .C • .B • .D - .B • .C • .D œ !`- `+ `,`D `C `B

o sea que .A • A œ + , - .B • .C • .D œ !’Š ‹ Š ‹ “ˆ ‰`- `, `+ `- `, `+

`C `D `D `B `B `C

Como , , son linealmente independientes, se sigue que,.B .C .D.B • .C • .D Á ! por lo tanto .Š ‹ Š ‹ˆ ‰`- `, `+ `- `, `+

`C `D `D `B `B `C + , - œ !


24.Muestre que si , entonces el campo de planosA œ B .B BC.C BD.D#

determinado por en tiene por superficie integral en A d : œ Bß Cß D − d$ $

la esfera centrada en el origen y pasa por .:SOLUCIÓN: Si superficie integral del campo del plano se sigue del@ − Wproblema anterior parte que por lo tanto sea + A @ œ ! : œ B ß C ß D: " " "

entonces B .B BC.C BD.D œ ! Í B .B .C .D œ !# # C

B BDˆ ‰

o sea que como (dado que cuando , entonces B Á ! B œ ! A œ !ß

a: − d$), entonces .B œ !"

# B. C D# #

haciendo se tiene que es una ecuación diferencialC D œ ? .B œ !# # " .?# B

de variable separable, de donde se tiene , o sea," "# #

#B ? œ G

B C D œ G G :# # # . Para calcular , se hace pasar la superficie por o sea G œ B C D œ m: !m œ . :ß !# # # #

" " "#

o sea que que es una superficie que pasa por yB C D œ . :ß ! :# # # #

tiene su centro en el origen.

25.Muestre que si , entonces el campo de planosA œ D.B B.C C.D

determinado por en no admite superficie integral en punto algunoA d$

de d$.SOLUCIÓN: Del problema se tiene que si es una -forma a una#$Þ . A "

superficie , entoncesA œ +.B ,.C -.D

.Š ‹ Š ‹ˆ ‰`- `, `+ `- `, `+`C `D `D `B `B `C + , - œ !

En particular se tiene de donde+ œ D ß , œ Bß - œ C

Š ‹ Š ‹ Š ‹`C `C`C `D `D `B `B `C

`B `D `B `D D B C œ B C D

que en general es diferente de luego no admite superficie integral en!

punto alguno.

26.Sea una -forma diferenciable en un abierto , con A " Y § d .A œ !Þ#

+ Q § Y Y `QSea una región limitada y cerrada de , con borde regular(esto es, es una variedad compacta de dimensión dos , contenida enQ

Yß `Q A œ !con borde ). Muestre que '̀QÈ, A œ .B .Cß < œ B C .A œ !ßTome . Muestre que y entretantoC

< <B # #

# #'GA œ # G B C œ "ß1, donde es el círculo borde de la región limitada# #

Ö Bß C − d à B C œ " ×# # # . Explique la aparente contradicción con +

SOLUCIÓN: '+ .A œ ! Ê .A œ ! Se sabe que . Aplicando ahora el teoremaQ

de Stokes, teniendo en cuenta que , así3 Al œ Al‡`Q `Q


' ' '`Q `Q

‡

QA œ 3 A œ .A œ !

, Tomando coordenadas polares se tiene Š ‹Bœ< Þ Ê.Bœ< Þ . .< Þ

Cœ< Þ Ê.Cœ< Þ .< Þcos sin cossin cos sin) ) ) )) ) ) ß • ß < œ B C ß ! Ÿ ## # # ) 1

así,A œ .B .C œ < Þ . .< Þ < Þ . .< ÞC

< < < <B Þ Þ

# #sin cos) )sin cos cos sin) ) ) ) ) )

œ < . .< Þ Þ < . .< Þ Þ œ ."<

# #sin cos sin cos cos sin) ) ) ) ) ) ) ) )

Ê .A œ . . œ . œ !) )#

También se tiene .' '

G!#

A œ . œ #1) 1

No hay contradicción con la parte la región no es compacta así que no+puede ser aplicado el teorema de Stokes.

27.Sea una función diferenciable y una -forma en dada0 À d d A # d$ $

por .A œ0 .C•.D0 .D•.B0 .B•.C

0 0 0

B C D

# # #B C DÉ

+ + − d 0ß Ð : − 0 +Si es un valor regular de esto es, para todo la"

función es sobreyectiva se puede probar que.0 Ñ:

W œ Ö Bß Cß D − d à 0 Bß Cß D œ +×$

es una superficie regular orientada en . Muestre que la restricción de d A$

a la superficie es el elemento de área de , esto es, es una -formaW W A #

tal que si es una base positiva de , entonces área del@ ß @ X W A @ ß @ œ" # : " #

paralelogramo formado por los vectores .@ ß @" #

, B C D œ "Calcule directamente la integral extendida a la esfera de# # #

la restricción de a la esfera, e interprete el resultado.0 .C•.D0 .D•.B0 .B•.C

0 0 0

B C D

# # #B C DÉ

SOLUCIÓN: + 1 ?ß @ Sea una parametrización compatible con laorientación de y se tiene, , entoncesW 1 ?ß @ œ \ ?ß @ ß ] ?ß @ ß ^ ?ß @ .B œ \ .? \ .@? @

.C œ ] .? ] .@? @

.D œ ^ .? ^ .@? @

de donde tenemos que; = .C • .D ] .? ] .@ • ^ .? ^ .@ œ ] ^ ^ ] .? • .@? @ ? @ ? @ ? @

.D • .B œ ^ .? ^ .@ • \ .? \ .@ œ ^ \ ^ \ .? • .@? @ ? @ ? @ @ ?

.B • .C œ \ .? \ .@ • ] .? ] .@ œ \ ] \ ] .? • .@? @ ? @ ? @ @ ?

Por otra parte se tiene 1 œ \ ß ] ß ^ 1 œ \ ß ] ß ^? ? ? ? @ @ @@

de donde tenemos que 1 • 1 œ ß ß

] ^ \ ^ \ ]] ^ \ ^ \ ]? @? ? ? ? ? ?

@ @ @ @ @ @Œº º º º º º


œ ] ^ ] ^ ß\ ^ \ ^ ß\ ] \ ] œ 1 • 1 /? @ @ ? @ ? ? @ ? @ @ ? ? @ 33œ"

$

3

œ ] ^ ] ^ / \ ^ \ ^ / \ ] \ ] /? @ @ ? " @ ? ? @ # ? @ @ ? $

Así

.C • .D .D • .B .B • .C œ 1 • 1 .? • .@3œ"

$

? @ 3

donde es la -ésima componente de en la base canónica1 • 1 3 1 • 1? @ ? @3

Ö/ × d ß 3 œ "ß #ß $ 0 Bß Cß D œ 0 ß 0 ß 0 œ E3 B C D$de . Como const, el vector está

dirigido siguiendo la normal de . Por lo tanto, en una vecindadWcoordenada correspondiente A œ .? • .@ œ .? • .@Eß1 •1

lEl lEllEll1 •1 l†? @ ? @ cos)

donde es el ángulo formado por y . Como y son) E 1 • 1 E 1 • 1? @ ? @

dirigidos siguiendo la dirección normal de , entonces , así W Þ œ "cos )A œ l1 • 1 l .? • .@? @ , ahora

A 1 ß 1 œ l1 • 1 l.? • .@ 1 ß 1 œ l1 • 1 l †.? 1 .? 1.@ 1 .@ 1º º? @ ? @ ? @ ? @

? @

? @

œ l1 • 1 l œ l1 • 1 l" !! "? @ ? @º º

El área del paralelogramo generado por y es dado por1 1? @

área esto dado que por ser 1 ß 1 œ l1 • 1 l œ l1 ll1 l Þ Þ œ " 1 ß 1? @ ? @ ? @ ? @sin sin) )

perpendiculares entre si. Por lo tanto A 1 ß 1 œ +</+ 1 ß 1? @ ? @

donde es una base de .Ö1 ß 1 × X W? @ :

, Se considera coordenadas cilíndricas o sea B œ Þsin cos) :

donde C œ Þsin sin) : Š ‹ Š ‹! ! #

1 œ ß Þ ß Þ1 œ Þ Þ ß Þ Þ ß!

) 1: 1

) : ) : )) : ) :

)

:

cos cos cos sin sinsin sin sin cos

D œ Þcos )Se tiene por la parte y por lo tanto+ E œ Bß Cß D

A œ Eß 1 • 1 œ œÞ Þ Þ Þ Þ

Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ !

) :

â ââ ââ ââ ââ ââ âsin cos sin sin coscos cos cos sin sinsin sin sin cos

) : ) : )) : ) : )) : ) :

œ Þ Þ Þ ÞÞ Þ Þ Þ Þ ÞÞ Þ Þ Þ Þ Þ

sin sin sin cossin sin cos sin cos coscos sin sin cos cos sin) : ) :

) : ) ) : )) : ) ) : )º º º º

œ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þsin sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos) : ) : ) : ) : ) : ) :# # # #


œ Þ Þ œ Þsin sin sin cos sin) : ) : )# #

Ahora ' ' ' ' '¹

G! ! ! !# # #

!A œ Þ . . œ Þ . œ # . œ %

1 1 1 11

sin cos) ) : ) : : 1

se trata entonces del área de la esfera unitaria.

28.Sea y una región limitada de con borde A œ B.C C.B Q d `Q#

regular. Muestre que el área de es dada por , donde indicaQ 3 A 3 A"# `Q

‡ ‡'la restricción de a .A `Q

SOLUCIÓN: A œ B.C C.B Ê .A œ .B • .C .C • .B œ #.B • .C.Por el teorema de Stokes, ya que estamos bajo sus hipótesis, tenemos ' ' '

`Q Q Q‡3 A œ .A œ # .B.C

pero es el área de por tanto'Q.B.C Q

área de Q œ 3 A"# `Q

‡'29.Sea y una región limitada de A œ B.C • .D C.D • .B D.B • .C Q d$

con borde regular. Muestre que el volumen de es dado por`Q Q"$ `Q

‡ ‡' 3 Aß 3 A A `Q donde indica la restricción de a .SOLUCIÓN: A œ B.C • .D C.D • .B D.B • .C, entonces .A œ .B • .C • .D .C • .D • .B .D • .B • .C œ œ .B • .C • .D .C • .B • .D .B • .D • .C œ œ .B • .C • .D .B • .C • .D .B • .C • .D œ $.B • .C • .D

Como es una región acotada en , entonces es acotado, por loQ d Q$

tanto se puede aplicar el teorema de Stokes. área de ' ' '

`Q Q‡3 A œ .A œ $ .B.C.D œ $ Q

de donde área de .Q œ 3 A"$ `Q

‡'30. Sea una -forma en y unaA œ # d Ö!× W § dB.C•.DC.D•.BD.B•.C

B C D

$ $# # # $Î#

superficie orientada que no pasa por . Muestre que la restricción de a! A

W W < es igual a , donde es el elemento de área de , es la distanciacos)<# 5 5

de a y es el ángulo positivo de con la normal a la! : − W ! R) :

superficie en :SOLUCIÓN: Sea una parametrización1 ?ß @ œ \ ?ß @ ß ] ?ß @ ß ^ ?ß @

compatible con la orientación de , sea , , tenemosW < œ B C D œ @È # # # :p

<#

.C • .D œ ] ^ ^ ] .? • .@? @ ? @

.D • .B œ ^ \ ^ \ .? • .@? @ @ ?

.B • .C œ \ ] \ ] .? • .@? @ @ ?

así A œ œ :ß 1 • 1 .? • .@p BßCßD ß .C•.Dß.D•.Bß.B•.C

B C D

"< ? @É # # # $ $


œ ß 1 • 1 .? • .@ œ @ß l1 • 1 l.? • .@" "< < < l1 •1 l

:p

? @ ? @1 •1

# #? @

? @

œ @ßR l1 • 1 l.? • .@ œ l@llRl l1 • 1 l.? • .@" "< <? @ ? @# # cos)

œ l1 • 1 l.? • .@cosÞ< ? @)

#

donde es el ángulo positivo de con la normal a la superficie, como en) !:la última parte del problema es la restricción de la forma #( + AcosÞ

<)

# 5

con la superficie, donde es el elemento de área de y la distancia de5 W <! : − W a .

31.Sea una -forma en y unaA œ # d Ö!× W § dB.C•.DC.D•.BD.B•.C

B C D

$ $# # # $Î#

superficie orientada que no pasa por . Si , en y es el! : − W Þ Á ! : Wcos ) ? área de una vecindad suficientemente pequeña de , entonces es: WcosÞ

<)

# ?

aproximadamente igual al área de la región determinada sobre la esferaunitaria centrada en por los radios que ligan a los puntos de la!ß !

vecindad de . Esa área es llamada ángulo sólido bajo el cual es visto: W

desde . Estas consideraciones justifican, definir el ángulo sólido ! H

según el cual una superficie compacta es vista del punto , comoW ! Â W

H= . Muestre que si es una región limitada de con borde regular'W

$A Q d

`Qß ! Â `Q `Qtal que y si es el ángulo sólido, siguiendo el cual, esH

visto desde entonces , si , si !ß œ

! ! Â Q% ! − Q

H1œ

SOLUCIÓN: + ! Â Q Si entonces por el teorema de Stokes tenemos ' '

`Q Q‡3 A œ .A

Invitamos al navegante interesado para que muestre que , en cuyo.A œ !

caso H œ ! Þ

, ! − Q W ! Q Si , sea la esfera centrada en y contenida en entoncesQ W œ Q ∩ WC , es una variedad cerrada con borde orientado y se tienepor el teorema de Stokes esto según el' '

` QW

‡

QW

3 A œ .A œ !

problema dado que $! ! Â Q W

por lo tanto ' ' ' ' '

` QW

‡ ‡ ‡ ‡ ‡

`Q `W `Q `W

3 A œ 3 A 3 A œ ! Í 3 A œ 3 A

ahora para calcular se tiene en cuenta que'̀W

‡3 A

W œ Ö Bß Cß D ÎB C D œ "×# # # y A œ B.C•.DC.D•.BD.B•.C

B C D# # # $Î# , por el mismo


procedimiento seguido en el problema , pasando a coordenadas#( ,

cilíndricas, se tiene queÚ ÞÛ ß Š ‹Ü à

B œ < Þ ÞC œ < Þ ÞD œ < Þ

ßsin cossin sincos

) :) :)

con ! ! #

) 1: 1

œ 1 œ < Þ Þ ß < Þ Þ ß < Þ1 œ < Þ ß < ß !)

:

cos cos cos sin sinsin sin sin cos) : ) : )

) : ) :

, así Eß1 •1 Eß1 •1 lEl <

< ÞlEl

) ): :$ $

$

$œ œ Þ A œ . • . œ Þ . • .sin ) sin sin) ) : ) ) :

entonces .' ' ' ' ' '¹

`W `W

‡! ! ! !# # #

!3 A œ A œ Þ . . œ Þ . œ # . œ %

1 1 1 11

sin cos) ) : ) : : 1

32. Sea una variedad de dimensión con borde, y contenidaQ § d $$

en . El borde es entonces una superficie regular en .d `Q d$ $

Supongamos compacta y sea un campo diferenciable de vectoresQ Z

diferenciables en . El producto interno natural de hace corresponderd d$ $

a una -forma , tal que donde es el elemento deZ " A . A œ .3@ÞZ @ß @‡

volumen de .d$

+ Mostrar que teorema de divergencia ' '

Q `Q

.3@ÞZ @ œ Z ßR 5

donde es el elemento de área de y es el vector normal de la5 `Q R

orientación de .`Q

, +Use para obtener la siguiente expresión de la divergencia: '.3@ÞZ : œ Z ßR lim

Q Ä:

"@96 Q

`Q55

5

5

donde se dice que una sucesión significa que cualquier esferaQ p:ß5

centrada en contiene todos los para suficientemente grande: Q ß 55 .SOLUCIÓN: + Se sabe que @ Ä A Ê A Ä . A œ .3@ÞZ @‡ ‡

Haciendo , tenemos del teorema de Stokes . Se‡ ‡A œ . œ 3) ) )' 'Q `Q

considera, en una vecindad de campos diferencialesY § d : − `Q$

ortogonales tales que los puntos de , y sean tangentes/ ß / ßR `Q / /" # " #

a . Entonces`Q ) / ß / œ A / ß / œ A R œ Z ßR " # " #

‡Å

hipótesisy por lo tanto 3 / ß / œ 3 A R œ 3 Z ßR œ Z ßR / ß /‡ ‡ ‡

" # " #) 5o sea que .3 œ Z ßR Ê 3 œ Z ßR œ . A œ .3@ÞZ @‡ ‡ ‡

`Q `Q Q Q) 5 ) 5' ' ' '


' ', + .3@ÞZ @ Z ßR De se tiene =Q `Q5 5

5

Haciendo uso del teorema del valor medio para la integral se tiene .' ' '

Q Q5

`Q5 5 5

.3@ÞZ @ œ .3@ÞZ ; @ œ Z ßR 5

Sea @96 Q œ @ Ê .3@ÞZ ; œ † Z ßR ' '5 5Q

"@96 Q

`Q55

5

5

Como es una función continua se tiene.3@ÞZ ; Ä : Ê .3@ÞZ ; œ .3@ÞZ :5 5

esto porque el espacio es secuencialmente compacto , entonces .'.3@ÞZ : œ Z ßR lim

Q Ä:

"Z 96 Q

`Q55

5

5

33.Sea una superficie orientada, compacta, con borde y sea W § d `W Z$

un campo diferenciable de vectores en un abierto de conteniendo .d W$

' '+ <9>ÞZ ßR œ Z ß > .= Rp Muestre que : , donde es el vector

W `W

5

normal, el elemento de área de , el vector tangente y el elemento5 W > .=p

de arco de WÞ, : − d < d T <p pSea , un vector unitario en y el plano normal a pasando$ $

:

por , cuya orientación justo con dota una orientación de . Considere: < dp $

un círculo centrado en y aplique a la superficie planaW : œ W § T ß :ß +

constituia del círculo y su borde , para obtenerW `W

<9>ÞZ ß < œ Z ß > .=p plim=Ä:

"+</+W

`W

'donde el limite es tomado cuando recorre una familia de círculosW

concéntricos que se aproximan en .:SOLUCIÓN: + Sea , la -forma correspondiente a por el productoA " Z

interno natural de ; es entonces el vector correspondiente a d <9>ÞZ .A$ ‡

o sea . En una vecindad de un puntoZ Ä A Ê .A Ä .A œ <9>ÞZ Y − d‡ $

: − `W / ß / ßR / ß / se escogen campos ortogonales tales que sean" # " #

tangentes a en los puntos de y sea tangente a en los puntos deW W / .="

`W. Entonces .A / ß / œ .A R œ <9>ÞZ ßR " #

‡

A / œ Z ß / œ Z ß > " "

esto según el problema se tiene$!

y.A œ <9>ÞZ ßR 3 A œ Z ß > .=5 ‡

Aplicando el teorema de Stokes se tiene ' ' ' '

`W `W

‡

W W

3 A œ Z ß > .= œ .A œ <9>ÞZ ßR 5

o sea .' '

`W W

Z ß > .= œ <9>ÞZ ßR 5


' ', + <9>ÞZ : ßR œ Z ß > .=p Se sabe por la parte que por

W5

`W

5

el teorema del valor medio para la integral múltiple .' '

`W5

W

Z ß > .= œ <9>ÞZ : ßR p

5

5

Como , por lo tanto'W

55

5 œ @96W :

<9>ÞZ : ßR œ Z ß > .=p'5

"E</+W :

`W5

se tiene que es una función continua, así que cuando ,<9>ÞZ : Ä :5

entonces como es compacto por lo tanto secuencialmente compactoWse tiene que , de donde<9>ÞZ : Ä <9>ÞZ :5

< .<9>ÞZ : ßR œ <9>ÞZ : ßR œ Z ß > 'lim lim: Ä: =Ä:

5"

E</+W :`W5

5

34.Si y son funciones diferenciables en y es una1 À d d 0 À d d d Q$ $ $

variedad compacta de dimensión de con borde , probar que$ d `Q$

+ Primera identidad de Green =' ' '

Q Q 1<+.Þ0 ß 1<+.Þ1 @ 0 1 0? 5#

`Q

`1`R

donde y son respectivamente, el elemento de volumen de y el@ Q5

elemento de área de , es el Laplaciano de y `Q 1 1 œ 1<+.Þ1ßR ?# `1`R

con normal a .R `Q

, segunda identidad de Green ' ' Š ‹

Q0 1 1 0 @ œ 0 1? ? 5# #

`Q

`1 `0`R `R

con notaciones análogas a .+

SOLUCIÓN: + Por el teorema de la divergencia se sabe que ' '

Q `Q

.3@ÞZ @ œ Z ßR 5

Ahora, sea @ œ 01<+.Þ1 Ê .3@Þ@ œ .3@ 01<+.Þ1 œ 01<+.Þ13œ"

$``B 33

Así, ` `

`B `B `B `B `B"`1 `0 `1 ` 1

`B" " " " "

#

"#Š ‹01<+.Þ1 œ 0 œ 0

` ``B `B `B `B `B#

`1 `0 `1 ` 1`B# # # ##

#

##Š ‹01<+.Þ1 œ 0 œ 0

` ``B `B `B `B `B$

`1 `0 `1 ` 1`B$ $ $ $ $

#

$#Š ‹01<+.Þ1 œ 0 œ 0

Entonces .3@Þ@ œ 0 `0 `1 `0 `1 `0 `1 ` 1 ` 1 ` 1

`B `B `B `B `B `B `B `B `B" " # # $ $

# # #

" # $# # #š ›

œ 1<+.Þ0 ß 1<+.Þ1 0 1?#

Entonces ' ' '

Q QQ

#.3@Þ@ œ 1<+.Þ0 ß 1<+.Þ1 @ 0 1 @ "?


por otro lado ' ' ' '

Q Q`Q `Q

`1`R.3@Þ@ œ 01<+.Þ1ßR œ 0 1<+.Þ1ßR œ 05 5 5

por lo tanto ' ' '

Q Q

#

`Q

`1`R 1<+.Þ0 ß 1<+.Þ1 @ 0 1 @ œ 0? 5

, + @ œ 1 † 1<+.Þ0 Tomando ahora en se tiene' ' ' 'Q Q

#

`Q `Q

`0`R 1<+.Þ0 ß 1<+.Þ1 @ 1 0 @ œ 1 1<+.Þ0 ßR œ 1 #? 5 5

Restando de se tiene" ß #

.' 'Q

# #

`Q

`1 `0`R `RÖ0 1 1 0×@ œ Ö0 1 ×? ? 5

25.Sea . Calcule donde indica aún la restricción deA œ C.B B.C A A'G

A G G a la curva y es+ C œ B !ß ! #ß % la porción de la parábola entre y #

, B C œ " el círculo # #

SOLUCIÓN: ' ' ' '+ A œ C.B B.C œ B .B #B .B œ B .B G G

! !# ## # #

œ œ B )$ $

#

!

$ ¹' ', C.B B.C œ Þ .G

!# # #

ÅB œ Þ Ä .B œ =/8Þ .C œ Þ Ä .C œ Þ .cossin cos) ) )) ) )

1 sin cos) ) )

œ . œ #'!#1

) 1

También podemos calcular esta integral mediante el teorema de Green,así,

' ' ' 'G "

" "`B`B `C

`C

C.B B.C œ .B.C œ # C .B œ

"B

"B "B

"BÈÈ È

È#

# #

#Š ‹ ¹1

œ # # " B .B œ % . œ % . œ' ' '" Î# Î#

" Î# Î## # " #

#È

1 1

1 1)cos ) ) )cos

œ % œ % Î# œ # Þˆ ‰¹) )

1

1

# %#

Î#

Î#sin 1 1

36.Sea una función diferenciable y homogénea de grado L À d d 5Þ$

Muestre que+ F œ Ö Bß Cß D − d à B C D Ÿ "×Si es la región limitada por la esfera$ # # #

unitaria de y es el Laplaciano de . Mostrar queW L œ L L L L# #BB CC DD?' '

F W#? 5L .B • .C • .D œ 5L #

, L œ + B + C + D $+ B C $+ C D $+ B DSi , entonces" # $ % & '% % % # # # # # #

'W

%&3œ"

'

3#

#L œ + ß W5 51 donde es la esfera unitaria y es el elemento de área.


SOLUCIÓN: + 0 À d d Se conoce el siguiente resultado: « Sea una función8

diferenciable, defínase el Laplaciano = , entonces ?#0 .3@ 1<+. 0 3

?# ` 0`B

0 œ#

3# ,

33 01 œ 0 1 1 0 # 1<+.Þ0 ß 1<+.Þ1 ß? ? ?# # #

333 . .0 œ 0 @ @ d , donde es el elemento de volumen de »‡ # 8?En nuestro caso particular se tiene , así?#L œ .3@ 1<+.ÞL' ' '

F F

#

W

? 5L .B • .C • .D œ .3@ 1<+.ÞL @ œ 1<+.ÞLßR Å

Teorema de la divergencia #

œ L ßL ßL ß œ BL CL DL' 'W WB C D B C D

BßCßDll BßCßD ll# #5 5

Åm Bß Cß D m œ B C DÈ # # #

œ 5L ÞÅ

L 5es homogénea de grado

'W#

5

' ', + L.B • .C • .D œ % L De la parte , ahora se tieneF W#? 5#

L œ %+ B '+ BC '+ BDB " % '$ # #

L œ "#+ B '+ C '+ D "BB " % '# # #

L œ %+ C '+ B C '+ CDC # % &$ # #

L œ "#+ C '+ B '+ D #CC # % &# # #

L œ %+ D '+ C D '+ B DD $ & '$ # #

L œ "#+ D '+ C '+ B $DD $ & '# # #

De y tenemos que" ß # $?# # # #

" % ' # % & $ & 'L œ "#+ '+ '+ B "#+ '+ '+ C "#+ '+ '+ D œ œ QB RC OD# # #

Ahora haciendo uso de coordenadas cilíndricas tenemos que

Ú ÞÛ ß Š ‹Ü à

B œ < Þ ÞC œ < Þ ÞD œ < Þ

ß ß .B • .C • .D œ < Þ . . .<sin cossin sincos

sin) :) :)

) ) :! !

#) 1: 1

Por lo tanto ' '

F F# # # #? L .B • .C • .D œ QB RC OD .B • .C • .D œ

œ Q B .B • .C • .D R C .B • .C • .D O D .B • .C • .D' ' 'F F F

# # #

Teniéndose' ' ' ' ' 'F

# % $ # $ #"&B .B • .C • .D œ < .<. . œ . .

! ! ! ! !

# " #1 1 1 1

sin cos sin cos) : ) : ) : ) :

œ . œ Þ Þ . œ1 1 1& & "&

$ # %' '! !

1 1

sin sin cos sin) ) ) ) ) )

' ' ' ' ' 'F

# % $ # $ #"&C .B • .C • .D œ < .<. . œ . .

! ! ! ! !

# " #1 1 1 1

sin sin sin sin) : ) : ) : : )

œ " . œ Þ . Þ .1 1& &

# #' ' '’ “! ! !

1 1 1

cos sin sin cos sin) ) ) ) ) ) ) )

œ # œ1 ) 11

& $ "&!

%’ ¹ “cos$

' ' ' ' 'F

$ % # #" #&D .B • .C • .D œ < Þ .<. . œ Þ .

! ! ! !

#1 11 1

cos sin cos sin) ) ) : ) ) )

œ œ# %& $ "&!

1 ) 11Š ‹¹cos$

Así;


'F

# %"&? L.B • .C • .D œ Q R O1

œ "#+ '+ '+ "#+ '+ '+ "#+ '+ '+%"& " % ' # % & $ & '1

œ "#+ "#+ "#+ "#+ "#+ "#+ œ + + â +% %"& &" # $ % & ' " # '1 1#

œ +%&

3œ"

'

3#1

o sea que

.% L œ + Ê L œ +' 'W W

% %& &

3œ" 3œ"

' '

3 3# #

#

5 51 1

37.Una función diferenciable se dice armónica en un1 À d d$

subconjunto si para todo . Sea una variedadF § d 1 œ ! : − F Q § d$ # $?

compacta y conexa de dimensión con borde de . Pruebe que$ `Q d$

+ 1 1 Qß 1 œ 1 `QSi y son funciones armónicas en y en , entonces" # " #

1 œ 1 Q" # en ., 1 Q œ 1<+.Þ1ßR œ ! `Q R Si es armónica en y en , donde es el`1

`R

vector normal de entonces en Qß 1 œ -98=>Þ QÞ

- 1 1 Q œ `Q 0 œ 1 -98=>Þ Si y son armónicas en y en , entonces " #`1 `1`R `R " #

en .Q '. 1 Q œ !Si es armónica en , entonces `Q

`1`R 5

/ d Ö!×"B C D

$È # # #es armónica en

0 Teorema del valor medio . Si es armónica en una región0

F œ Ö Bß Cß D − d à B B C C D D Ÿ <×ß< ! ! !$ # # # cuyo borde es la

esfera centrada en , entonces W : œ B ß C ß D 0 : œ< ! ! !"

% <1'

W<05.

1 Teorema del módulo máximo . Si es armónica y no constante en0

una región acotada, conexa y cerrada (esto es, es la unión de unQ Q

abierto, acotado con su frontera) entonces alcanza los valores máximo0

y mínimo en la frontera de (Obsérvese que la frontera de no esQÞ Q

necesariamente regular).SOLUCIÓN: + 0 œ 1 œ 1 1 Haciendo y aplicando la primera identidad de" #

Green se tiene ' ' '

Q Q

#

`Q

`0`R 1<+.Þ0 ß 1<+.Þ0 @ 0 0 œ 0? 5

Ahora , así? ? ? ?# # # #" # " #0 œ 1 1 œ 1 1 œ !

' 'Q

#

`Q

m1<+.Þ0m @ œ 0 1<+.Þ0 ßR 5

œ 1 1 1<+. 1 1 ßR œ !'`Q " # " # 5

Å1 œ 1" # ` en M

o sea que .m1<+.Þ0m œ ! Í 1<+. 1 1 œ !#" #


Como es conexa entonces pero Sobre ,Q 1 1 œ -98=>ß 1 1 œ !Þ `Q" # " #

como es continua existe y vecindad de tal que1 1 : − `Q Z ® : :" #

a; − Z ∩QÎ 1 1 ; œ ! Ê 1 œ 1 Q" # " # en ., 0 œ 1 Por la primera identidad de Green haciendo se tiene,

' ' 'Q Q

#

`Q

`1`R 1<+.Þ0 ß 1<+.Þ1 @ 0 1 œ 0? 5

Í m1<+.Þ0m@ œ 0 œ 0 † ! † œ !Å

1 œ 0ß 0 œ !

Åœ !?# `1

`R

' ' 'Q `Q `Q

`1`R 5 5

entonces .m1<+.Þ0m œ ! Í 1<+.Þ0 œ !#

Como es conexo se sigue que en .Q 0 œ 1 œ -98=> Q- 0 œ 1 œ 1 1 De la primera identidad de Green con se tiene" #

' 'Q Q

" # " # " # " ## 1<+. 1 1 ß 1<+. 1 1 @ 1 1 1 1?

œ 1 1 1<+. 1 1 ßR '`Q " # " #

5

Como , entonces? ? ?# # #" # " #1 1 œ 1 1 œ !' '

Q" # " # " " # #

#

`Q

m1<+. 1 1 m @ œ Ò 1 1 1<+.Þ1 ßR 1 1 1<+.Þ1 ßR Ó5

œ 1 1 Ö × œ !'̀Q

" #`1 `1`R `R

" # 5Åœ`1 `1

`R `R" #

de donde '

Q" # " # " #

# #m1<+. 1 1 m @ œ ! Í m1<+. 1 1 m œ ! Í 1<+. 1 1 œ !

Como es conexo se sigue que .Q 1 1 œ -98=> Í 1 œ 1 -98=>" # " #

. 0 : œ " Tomando una vez más la primera identidad de Green con setiene ' ' '

Q Q

#

`Q

`1`R !ß 1<+.Þ1 @ " † 1 œ? 5

como y se tiene .? 5#`Q

`1`R1 œ ! !ß 1<+.Þ1 œ !ß ! œ '

/ 0 œ œ" "B C D <È # # #

de donde se tiene 0 œ Ê 0 œ † BB BB

B " $B< < <$ $ &

0 œ Ê 0 œ † CC CCC $C< < <

"$ $ &

0 œ Ê 0 œ † DD DDD " $D< < <$ $ &

?#BB CC DD

$ $<< <0 œ 0 0 0 œ œ !$ &

# .0 <ß V œ F F § d Ö!×

‰Sea la región es compacta3 <$

3

donde


F œ Ö Bß Cß D − d à B B C C D D Ÿ ×3$

! ! !# # # 3

El borde esta formado por las esferas y con orientaciones`V W W< 3

opuestas. Como entonces es armónica en Por otra parteV § F 0 VÞ<

V § d Ö!× 1 œ œ$ " "

BB CC DD< entonces es una funciónÉ ˆ ‰! !

# #!

#

armónica en aplicando la segunda identidad de GreenVß

' ' Š ‹V `V# # `1 `0

`R `R0 1 1 0 @ œ 0 1? ? 5

pero y son armónicas, entonces por lo tanto0 1 1 œ 0 œ !? ?# #

' 'Š ‹ Š ‹W W

`1 `0 `1 `0`R `R `R `R

<

0 1 0 1 œ ! "5 53

Ahora `1`R `R < <

` " "œ œ 1<+. ßR ˆ ‰ ˆ ‰œ B B ß C C ß D D ß B B ß C C ß D D ˆ ‰" " " "

< < < <! ! ! ! !$ $ $ !

œ Ö B B C C D D × œ † < œ œ" " " ` "< < < `< <! ! !

# # # #% % #

ˆ ‰Sobre se tendrá . Así tenemos que se puede escribir comoW œ "3 3

`1`R

"#

0 œ 0 " " " "< < `R `R

W W W W

`0 `0# #

< <

' ' ' '5 5 5 53 33 3

pero por la parte recibimos.

' ' '`V

`0 `0 `0`R `R `R

W W

5 5 5œ œ !< 3

Por lo tanto ' '

W W

`0 `0`R `R

<

5 5œ3

Así - " "

<W W

# #

<

' '0 œ 05 533

Multiplicando por los dos lados se tiene "%1

" "% < % #

WW1 13#

<

' '0 œ 0 #5 53

Para todo por el teorema del valor medio existe con3 < ; − F3

l: ;l 3 tal que área' '

WW

#3

3

0 œ 0 ; œ 0 ; W œ 0 ; %5 5 133

o sea que 0 ; œ 0'"

%W

13#3

5

Como es continua dado , existe tal que0 ! ! <% 3 3

es compactol: ;l Ê l0 : 0 ; l V3 %

Si entonces . Como fue tomado arbitrariamente pero3 3Ä < 0 : Ä 0 ;menor que de se obtiene< # .0 : œ 0'"

% <W

1 #

<

5

1 0 : Q Supongamos que toma un máximo en un punto interior a consideremos la bola centrada en tal que F § Q : 0 : 0 ; ß ; − FÞ<

Como es armónica en la región0


F œ Ö Bß Cß D − d à B B C C D D Ÿ <×<

$! ! !

# # #

cuyo borde es la esfera centrada en entoncesW : œ B ß C ß D< ! ! !

0 : œ 0 ß 0'"% <

W1

<

5 esto según la parte anterior, ahora

' 'W W

#

< <

0 0 : œ 0 : % <5 5 1

entonces, , lo cual es contradictorio con . Luego 0 : 0 po 0 0'"% <

W1 #

<

5

toma un máximo en un punto de la frontera. Análogamente se muestrapara el mínimo.

38.Sea y funciones diferenciables en .EßF G d$

+ Muestre que la condición necesaria y suficiente para que existanfunciones y en que satisfagan el sistemaT ßU V d$

`V`C `D

Ù œ E

`T `V`D `B œ F

Ù`B `C

`T œ G

es que È `F `G`B `C `D œ !

, +Suponga que la condición de se cumpla y determine las funcionesT ßU VÞ y SOLUCIÓN: Š ‹+ Ê Ñ œ Í œ` `V È ` V È

`B `C `D `B `B`C `B`D `BÙ ` U# #

` `F ` T ` V `F`C `C `C`D `C`B `C

ˆ ‰`T `V`D `B œ Í œ

# #

``D Š ‹Ù ` U

`B `C `D `D`B `D`C `D`T `G ` T `G œ Í œ

# #

Entonces È `F `G`B `C `D œ !

Ê d A œ E.C • .D F.D • .B G.B • .C) Consideremos en la forma cuya$

diferencial es , entonces según el lema.A œ .B • .C • .D œ !Š ‹È `F `G`B `C `D

de Poincare existe una -forma tal que , o" œ T.B U.C V.D . œ Aα α

sea. œ .C • .B .D • .C .D • .C .B • .C .B • .D .C • .Dα `T `T `V `V

`C `D `D `B `B `CÙ Ù

œ .B • .C .D • .B .C • .DŠ ‹ Š ‹ˆ ‰Ù Ù`B `C `D `B `C `D

`T `T `V `V

œ E.C • .D F.D • .B G.B • .C œ Adonde se tiene y E œ ß F œ ß G œ Ù Ù

`B `C `D `B `C `D`T `T `V `V

, L À d ‚ M d:ß > È >:

Consideremos la contracción # $

Sea dado por laA œ E Bß Cß D .C • .D F Bß Cß D .D • .B G Bß Cß D .B • .Cparte por el lema de Poincare existe una -forma tal que+ ß " α

donde . œ A œ T.B U.C V.Dα αAhora con . œ MA A œ L Aα ‡


así,A œ L A œ E >Bß >Cß >D . >C • . >D F >Bß >Cß >D . >D • . >B ‡

G >BÞ>Cß >D . >B • . >Cllamando , tenemosE œ E >Bß >Cß >D ß F œ F >Bß >Cß >D ß G œ G >Bß >Cß >Dw w w

A œ L A œ E Ò C.> >.C • D.> >.D Ó F Ò D.> >.D • B.> >.B Ó ‡ w w

G Ò B.> >.B • C.> >.C Ów

o sea queA œ E C>.> • .D >D.C • .> E > .C • .D F D>.> • .B >B.D • .> w w # w

F > .D • .B G B>.> • .C >C.B • .> G > .B • .Cw # w w #

o sea que dado porA œ A .> •" (A œ A >.> • Ò C.D D.C E D.B B.D F B.C C.B G Ó"

w w w

Ahoraα œ M A œ E >.> C.D D.C F >.> D.B B.D G >.> B.C C.B ' ' '

! ! !" " "w w w

œ D F >.> C G >.> .B B G >.> D E >.> .C Š ‹ Š ‹' ' ' '! ! ! !" " " "w w w w

C E >.> B F >.> .DŠ ‹' '! !" "w w

por lo tanto T œ D F >.> C G >.> œ D F >Bß >Cß >D >.> C G >Bß >Cß >D >.>' ' ' '

! ! ! !" " " "w w

U œ B G >Bß >Cß >B >.> D E >Bß >Cß >D >.>' '! !" "

.V œ C E >Bß >Cß >D >.> B F >Bß >Cß >D >.>' '! !" "

39.Sea un campo diferenciable de vectores de . Probar que@ d$

+ .3@ @ œ !ß ? d <9>Þ? œ @Þsi entonces existe un campo en con $

, <9> @ œ !ß 0 dSi entonces existe una función en tal que$ 1<+. 0 œ @

SOLUCIÓN: + @ œ + ß + ß + œ + / + Sea donde los son diferenciables" # $ 3 3 33œ"

$

.3@Þ @ œ œ !ß`+ `+`B `B `B

`+" #

" # $

$ entonces sabemos por lo tanto que

<9> + / œ / / /Œ Š ‹ Š ‹ˆ ‰3œ"

$

3 3 " $`+ `+`C `D `D `B `B `C

`+ `+ `+ `+$ $# " # "#

Así existen funciones tales queT ß Uß V

`V`C `D

Ù" œ +

`T `V`D `C # œ +

Ù`B `D

`T$ œ +

entonces tomando se tiene ? œ T ßUßV <9>Þ? œ @

, @ œ E/ F/ G/ " # $

<9>Þ@ œ / / /Š ‹ Š ‹ˆ ‰`G `F È `G `F È`C `D `D `B `B `C" # $

Sabemos la siguiente correspondencia -forma dada por@ Ê A "

A œ E.B F.C G.D, así,.A œ .C • .B .D • .B .B • .C .D • .C .B • .D .C • .DÈ È `F `F `G `G

`C `D `B `D `B `C o sea que


.A œ .B • .C .C • .D .B • .DŠ ‹ Š ‹ ˆ ‰`F `E `G `F `G `E`B `C `C `D `B `D

<9>Þ@ œ ! Ê .A œ !

Como es contráctil, entonces existe una -forma tal que d ! . œ A$ α α

Ð 0 1<+.Þ0 œ @lema de Poincare) entonces existe una función tal que .

40. + Q Muestre que en una variedad diferenciable compacta (sinborde) y orientable existe una -forma diferenciable que no se anula8 A

en punto alguno de .Q

, Muestre que una variedad diferenciable compacta (sin borde) yorientable no es contráctil a un punto.SOLUCIÓN: + ÖZ × Q Sea un recubrimiento de por vecindadesα

coordenadas con la orientación . Sea la partición de laQ ß ßá ß: : :" # 7

unidad subordinada a y sea tal que yÖZ × Z œ Z − ÖZ × =9:Þ § Zα α α3 33 3:

sabemos que forma un recubrimiento de compatible con laÖZ × Q3

orientación. Para cada tomamos la -forma que tiene la representación3 8.B • .B •â• .B Z 8" # 8

3 3 3 3en la vecindad . Podemos extender esta -formadiferenciable a toda la vecindad haciendo .A œ .B • .B •â• .B3 3

" # 83 3 3:

Definimos entonces A œ A œ .B • .B •â• .B

3œ" 3œ"

7 7

3" # 83 3 33

:

Dado podemos probar que , . Para eso: − Q A : À X Q d A : Á !:8

elegimos tal que es una base@ ß @ ßá ß @ − X Q ‡ Ö@ ß @ ßá ß @ ×" # 8 : " # 88

positiva de . Entonces tenemos X Q A : @ ß @ ßá ß @ œ A : @ ß á ß @: " # 8 3 " 83œ"

7

obtenemos que para toda elección del tipo tenemos que‡A : @ ßá ß @ ! : − Z 4 œ "ß #ßá ß 8" 8 4 y como para por lo menos un tenemos o sea A : @ ßá ß @ ! A : Á !Þ" 8

, + 8 A Q : − Q AÐ:Ñ Á !Por existe una -forma en tal que para algún , .Supongamos por absurdo que es contráctil. Como entoncesQ .37ÞQ œ 8

.A œ ! 8 ", entonces por el lema de Poincare existe una -forma talα

que , aplicando el teorema de Stokes tenemos. œ Aα ' ' '

Q Q `Qœ

A œ . œ œ !α αø

ahora como , toma valores positivos y negativos como esA œ ! A ß AÎ

continua existe tal que lo cual es contradictorio pues: A : œ ! po

A : Á ! : para todo .

41. + En sea la familia de reuniones de esferas abiertas ded ß8 ½

cualquier radio y de cualquier centro. Demuestre que con tal topología, ½es un espacio de Hausdorff


, d ß +Sea como en . Pruebe que se puede utilizar las esferas8 ½

abiertas con radio racional y con centro, una -úpla de números8

racionales.- \ . À \ ‚\ d 3 . Bß C !à Sea un conjunto con una función tal que 33 . Bß C œ . Cß B à 333 . Bß C œ ! B œ Cà si y sólo si 3@ . Bß D Ÿ . Bß C . Cß D

Demuestre que equipado con la topología de las uniones de las\ ½

esferas abiertas determinadas por es un espacio topológico de.

Hausdorff.. d 8 . À d ‚ d dSea , el -espacio de los números reales y dada por8 8 8

. Bß C œ " Í B Á Cß . Bß B œ !. Describir la topología inducida por las

.-esferas. ¿Es una variedad? ¿por qué si, o, por qué no?SOLUCIÓN: + d Sabemos que en las esferas son dadas por los siguientes8

conjuntos: bolas cerradasF < œ ÖB − d à mB +m Ÿ <×+

8

bolas abiertasF < œ ÖB − d à mB +m <×+8

donde mBm œ B ß B œ B ß B ßá ß BË3œ"

8#3 " # 8

Veamos primero que es una topologíad ß8 ½3 − ø claramente½33 d œ F 8 ß Ê ßd −

8 − 8 8

!∪

½

333 Z ß[ − Z ∩[ Á : − Z ∩[ : − Z Sean tales que ø, así existe o sea y½: − [ F F de las hipótesis de se deduce que existen y esferas½ % %: " : #

tales que y . Tomando , construimos laF § Z F § [ œ Ö ß ×: " : # " #% % % % %minesfera la cual tiene la propiedad de que . Esto seF F § Z ∩[: :% %

puede hacer con todos los puntos en así se puede: Z ∩[ ß Z ∩[obtener como una reunión de esferas , por lo tanto .F Z ∩[ −: % ½

3@ ÖZ × § Sea una familia de elementos de .3 3 ½ ½

Sea entonces como ; existe para: − Z b3Î: − Z ß Z − F § Z3∪ 3 3 3 : 3½ %

algún , por lo tanto .3 F § Z3

: 3% ∪

Como esto lo podemos hacer con cualquier se sigue que: − Z3∪ 3

∪3Z −3 ½.

@ es una topología de Hausdorff½Sean tales que , entonces . Sea :ß ; − d : Á ; m: ;m Á ! œ m: ;m8 %

tomando y entonces encontramos que øF F F ∩F œ Þ: ; : ;# # # #ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰% % % %

Luego como y , entonces es HausdorffF − F −: ;# #ˆ ‰ ˆ ‰% %½ ½ ½


, œ Ö F < à < − ß + − × § d Sea reuniones de sabemos que es tal½ w 8+

que o sea que es denso en . œ d dAhora y -veces, ahora 8 8 8§ d œ ‚â‚ 8

8 8œ ‚ ‚â‚ œ ‚ ‚â‚ œ d ‚d ‚â‚d œ d

luego es también denso en 8 8dPara completar la demostración sea , cualquiera, existe entonces: − d8

F − F § d ß F œ F :ß <: : :8% ½ % % tal que ahora se sigue de aquí∪

< < −

%

que . Luego concluimos de aquí que basta considerar paraF −:w w% ½ ½

obtener sobre la misma topología.d8

- Definamos primero las esferas F; < œ Ö: − \Î. ;ß : <×

Sea ½ œ Ö[ § \Î[ œ F < ×∪ +

Afirmación: es una topología sobre ½ \Þ

En efecto; ø obviamente3 − ½33 \ œ F < ß \ −

< − luego ∪

+ − \ fijo

+ ½

333 Z ß Y − Y ∩ Z Á : − Y ∩ Z : − Y Sean tal que ø , así existe de donde ½y , por lo tanto existe y , donde y: − Z F § Y F § Z . :ß `Y: " : "% % %

#

% % % % %# " : . :ß `Z œ Ö ß × F § Y ∩ Z. Tomando tenemos entonces min#

Como esto lo podemos hacer para todos los puntos , se sigue: − Y ∩ Zque puede obtenerse como una reunión de esferas abiertas, seY ∩ Zsigue así que .Y ∩ Z − ½3@ ÖZ × § : − Z ß

3Sea una familia de elementos de . Tomemos 3 ½ ½ ∪

3

entonces existe tal que esto equivale a que3 : − Z −3 ½b3 bF ÎF § Z bF F § Z

3: : 3 : : 3% % % % entonces tal que por lo tanto∪

∪3Z −3 ½.

@ es una topología de Hausdorff½En efecto, sea tales que , entonces tomando,:ß ; − \ : Á ; . :ß ; Á !ß

! < . :ß;# tenemos entonces que

F < ∩ F < œ ß \ß: ; ø esto implica que es un espacio de Hausdorff.½

. ! "Para las esferas abiertas para esta norma se reducen al punto%

centro esto es; . Cuando las esferas ,F œ Ö+× " F œ d++ +

8% % %∪luego la -topología resultante es la topología discreta pues cada punto.es abierto, denotémosla d8

.


Afirmación: no es una variedad, en efecto en no podemos definird d8 8. .

homeomorfismos.

41.Defina una variedad localmente Hilbertiana en la forma obvia.!Hagalo¡ ¿Qué piensa Ud. que perdimos? ¿Qué ganamos? ¿Tiene unejemplo?SOLUCIÓN: Sea un conjunto tal que cada punto admite una \ : − \ cartaY ß 0 0 Yα α α αtal que es un abierto de un espacio de Hilbert . Se[

denomina este tipo de cartas son llamadas .Y ß 0α α cartas HilbertianasSea es carta Hilbertiana un atlas máximo para ,Ö Y ß 0 Î Y ß 0 × \α α α α

entonces es una variedad localmente Hilbertiana.\ß Ö Y ß 0 ×α α

¿Qué hemos perdido?: La dimensión finita¿Qué hemos ganado?: La dimensión infinitaEjemplo: Sea el espacio de Hilbert de las sucesiones de cuadradol#

sumable, es decir, . Tomemos entoncesl# #3 33

3œ"

∞

3œ Ö B ÎB − d • B ∞×

l#ß 3. , en estas condiciones obtenemos una variedad localmenteHilbertiana.

42.Sea , el plano con dos orígenes. Sea yQ œ d ∪ Ö! × Y œ d# ‡ #

Z œ d Ö! × ∪ Ö! × À Y d Bß C œ Bß C À Z d# ‡ ‡ # #. Se define por y : : <

por si y Pruebe que es una -< <Bß C œ Bß C Bß C Á ! ! œ !ß ! Þ Q #‡ ‡

variedad conexa. Obviamente algo es malo aquí ! Pruebe además que Qes no-Hausdorff.SOLUCIÓN: Para iniciar describamos la topologíagQ

# # ‡ #œ ÒÖE § d d × ∪ Ö E Ö!× ∪ Ö! ×àE d ! − E×Ó abierto en es abierto de yAfirmación: es un atlas para Ö Y ß ß Z ß × Q: <

en efecto,3 Y ∪ Z œ d ∪ d Ö!× ∪ Ö! × œ d ∪ Ö! × œ Q # # ‡ # ‡

’ “ ’ “33 Y ∩ Z œ d ∩ d Ö!× ∪ Ö! × œ d ∩ d Ö!× ∪ d ∩ Ö! × œ# # ‡ # # # ‡

øœ d Ö!× ∪ œ d Ö!×# #


: : : VY ∩ Z œ Ðd Ö!×Ñ œ d Ö!× Bß C œ Bß C# # " ∞ y es .La aplicación es por ser compuesta< : : V‰ À Y ∩ Z œ d Ö!× d" # # ∞

de dos funciones . Ahora por loV < <∞ Š ‹Y ∩ Z œ d Ö!× œ d Ö!×# #

tanto tenemos que es . Así la aplicación< V" ∞Bß C œ Bß C: < < V‰ À ÐY ∩ Z Ñ œ d Ö!× d" # # ∞ es una aplicación por ser compuestade dos funciones . Como y son funciones mutuamenteV < : : <∞ " "‰ ‰inversas, es decir, < : : < : < < :‰ ‰ ‰ œ 3. • ‰ ‰ ‰ œ 3." " " "

se sigue el cambio de cartas es un difeomorfismo por lo tantoV∞

Ö Y ß ß Z ß × Q: < es un atlas para .Q es conexa.Es claro pues es conexo y si a un conjunto conexo se le adjunta und#

punto, obtenemos una vez más un conjunto conexo.Q no es Hausdorff.En efecto, tomemos y el único abierto de es y el único!ß ! ! !ß ! Y œ d‡ #

abierto de es puesto que ø! Z œ d Ö!× ∪ Ö! × Y ∩ Z œ d ÖÐ!ß !Ñ Á‡ # #‡

se sigue que y no se pueden separar.!ß ! !‡

43.Se define el porSEMIESPACIO CERRADO

.‡8 8" # 8 8œ Ö B ß B ßá ß B − d ÎB !×

Una -variedad con frontera es un espacio de Hausdorff tal que cada8 Q

: − Q Y d posee una vecindad , la cual es homeomorfa a un abierto de .8

+ 8 Q 8 Pruebe que una -variedad es una -variedad con frontera., Q `QDar un ejemplo de una variedad con frontera no vacia#

Ð`Q œ Ö: − QÎ : œ B ß B ßá ß B ß ! ×Ñ: " # 8"

- \ `WEn el estudio de la topología encontramos , la frontera delsubconjunto , definida por la intersección de la clausura de W § \ WÐW ∩ \ WÑ \ Wcon la clausura de su complemento, . Dar uncontraejemplo que muestre que la frontera topológica es la misma que lafrontera de una -variedad con frontera ¿Qué pasa si la variedad es8

cerrada en d8?.SOLUCIÓN: En efecto, sea una carta cualquiera de un atlas dado+ Y ßα α:


para la -variedad entonces se sigue de las definiciones que es8 Q Y:α α

un abierto de ( es un homeomorfismo), aquí se puede tomar pord8 :α

ejemplo donde ., si si

5 5α αÀ d F Bß < C œB C Á !

Bß C œ !8

<CmCmœ

Por traslaciones (que son homeomorfismos) se puede trasladar a:α αY‡ 5 : ‡ :8 8, esto es existe una traslación tal que yα α α α αÀ Y Y5 :α α αY Q sean homeomorfas. Obtenemos así una nueva carta sobre Y ß ‰ ‰ À Yα α α α α α5 : 5 : ‡, pues es un homeomorfismo en. Como8

hemos tomado cualquier carta del atlas dado y se pudo construir unnuevo atlas obteniendo así una -variedad con frontera.Ö Y ß ‰ × 8α α α5 :

, +ß ,ß - Consideremos el disco con centro en dado por H œ Ö B +ß C ,ß - Î B + C , Ÿ < ×# # #

siendo un número real positivo.<

Tomando tenemos queQ œ H

`H œ Ö B +ß C ,ß - Î B + C , œ < ×# # #

es una circunferencia de radio y por lo tanto ø< `Q Á- , d H `H Basta tomar el ejemplo dado en el disco de , tiene frontera$

como variedad, pero no tiene la misma frontera topológica pues yH\ Hno tiene sentido en este caso pues la frontera topológica tiene porfrontera al mismo disco en .H d$

Otro ejemplo es es una -variedad con borde pues es‡ ‡ ‡8 8 8ß 3. 8 3. Àun difeomorfismo es sí mismo


‡8 no es una variedad. Con los puntos de frontera, ninguno de ellosadmite una vecindad homeomorfa según el teorema de Brower a unaabierto de .d8

44.Pruebe que una -variedad conexa es un espacio conexo por arcos.8

SOLUCIÓN: Sea una -variedad conexa. Entonces para cada punto Q 8 : − Qexiste una en torno de , donde es un abierto de que esYß : Y Q:conexo . Se sigue entonces que es conexo por arcos (recuérdese queYun abierto conexo en es conexo por arcos). Lo anterior lo podemosd8

hacer con cada punto , luego concluimos que es localmente: − Q Qconexo por arcos.Afirmación: Si es localmente conexo por arcos, entonces esQ Qconexa por arcos. En efecto, fijemos un punto y consideremos el+ − Qconjunto puede ser ligado al punto por un camino .E œ ÖB − Qà B + ×

Mostremos que es abierto en . Dado cualquier , sea unaE Q B − E Zvecindad de conexa por caminos. Para todo , existe un camino B C − Z 0ligando a con . Como existe un camino ligando a con .C B B − E 1 B +Luego, el camino liga con y por lo tanto . Así , de0 ” 1 C + C − E Z § Edonde es abierto. De manera análoga se verifica que es abierto.E Q ESiendo , tenemos que esto por que es conexa. Así todo+ − E E œ Qß Qpunto de puede ser ligado al punto por un camino y porQ +consiguiente es conexa por caminos.Q

45. + El cono cuadrado en esta dado pord$ .B D+ , -

C# #

# # #

#

œ !

¿Es una -variedad? ¿Por qué si o por qué no?#

, 8 WPruebe que una función continua en la -esfera toma su máximo y8

su mínimoSOLUCIÓN: El cono cuadrado no es una -variedad.+ #


En efecto, supongamos que es una -G œ Bß Cß D ÎD œ - #š ›É B+ ,

C#

# #

#

variedad, tomemos el punto y construyamos una supuesta!ß !ß ! − Gcarta en torno de . Claramente es conexa por ser unYß !ß !ß ! Y: :supuesto homeomorfismo es conexo. Sea , consideremos: Y : œ Ð!ß !ß !Ñ

Y œ Y T Y Y § dµ µ

: :. Entonces es conexo pues a le hemos quitado#

solamente un punto. Como la cual supuestamente existe es:"

continua, entonces :"Š ‹Y œ Y !ß !ß !

µ

debería ser conexa pero esto es obviamente falso, pues los puntos Ppoy Q a lados opuestos, ni siquiera se pueden unir por un camino, puestodos los caminos quedan suspendidos en .!ß !ß !, W La esfera es un conjunto compacto entonces toda función continua8

0 À W d 0 W 0 W8 8 8 es acotada, pues también es compacto. Por lo tanto es acotado y cerrado, se sigue que y existen y pertenecen ainf supÞW ÞW8 8

0 W B ß B − W 08 8! ", por consiguiente existen en los cuales toma su

mínimo y su máximo respectivamente y se tiene y0 B œ Þ0 W!8min

0 B œ Þ0 W"8max .

46.Toda superficie de dimensión y clase , es una variedad7 Q § dV 5 7 8

diferencial de dimensión y clase 7 5Þ

SOLUCIÓN: En efecto el atlas para se forma por los sistemas deß QÈ 8

coordenadas inversos de las parametrizaciones; À Y d ß7

: VÀ Y § d Y § Q!7 5 de clase . Mostraremos más abajo un lema que nos

afirma que es un atlas de clase . En realidad es un atlas máximalÈ V È5

de clase , en efecto, sea un sistema de coordenadas,V ' '5 7À [ Ð[Ñ § d

compatible con . EntoncesÈ < ' ' 'œ ‰ À [ § d [ § Q" 7

es un homeomorfismo. Para cada existe una parametrizaciónT − [: V 'À Y Y ß T − Y § Q!

5 de clase . Como es admisible,: < ' : V" " 5‰ À Y ∩ Z Y ∩[ es un difeomorfismo de clase . Por lotanto es una parametrización de clase : : < ' V‰ ‰ À Y ∩[ Y ∩[" 5

de una vecindad de . Como es arbitrario, se sigue queT T − [


< ' ' V ' Èœ À [ [ ß −" 5 es una parametrización de clase es decir, .Entonces es máximal.ÈLema À Sea un subconjunto abierto de y unaZ d À Z Z! !

7 <parametrización de clase del conjunto . Dados abiertoV 5 8 <

!Z § d Y § d ßy de clase entonces0 À Y Z § d!

8 5V3 ‰ 0 À Y Z § dLa compuesta es de clase < V" 7 5

! !

33 B − Y D ‰ 0 BPara y = se tiene!"<

< <" w " ww‰ 0 B œ Ò D Ó ‰ 0 B

En efecto, Como es una inmersión inyectiva de clase 3 À Z Z< V!5

para cada punto existen un abierto en que lo contiene y una: − Z dZ 8

aplicación de clase tal que . Sea un puntoV <5 7 "Z ∩ß 1 À d 1l œ :Z Z

arbitrario de 0 Y § Z à!

entonces .<" " < 7

!‰ 0 œ 1 ‰ 0 À 0 0 Y ∩ § d dZResulta entonces que es de clase , pues y lo son.< V" 5‰ 0 0 133 2 œ ‰ 0Póngase y aplíquese la regla de la cadena a la igualdad<"

< ‰ 2 œ 0

47.Considere la imagen de la función dada por0 À Ò!ß # Ó ‚ "ß " d1 $

0 ß = œ # Þ = Þ ß # Þ = Þ Þ ß =ˆ ‰) ) ) ) )cos cos cos sin cos sin sin) ) )# # # . Haga un dibujo y

pruebe que es una variedad. ¿Cómo se llama la superficie resultante?SOLUCIÓN: Consideremos el siguiente cuadro de valores ) 1 1! #

B # = ! # ! # =

C ! # = ! # # !

D ! = = = !

1 1# #

$

## #

=

# ## #

ÈÈ È

ÈNos da el gráfico aproximado de abajo


Consideremos la función : 1À G !ß # ‚ "ß "

?ß @ß A # ßŠ ‹È cot" ? @ #A

AÈŠ ‹

# #

" ? @ ## #

AsincotÈ

Veamos entonces que y son inversas entre si0 :

Î ÑÏ Ò

èëëëéëëëê èëëëéëëëêˆ ‰ ˆ ‰ ç3 0 ß = œ # = Þ Þ ß # = Þ Þ ß = Þ

œ ? œ @ œ #?

: ) : ) )cos cos cos sin sin) ) )# # #

œ # ß

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Òcot" #= Þ #

= Þ

= Þ

Þ

Éˆ ‰Î ÑÏ Ò

cossin

sin

sin cot

)

)

)

)

)

#

#

#

#

"#= Þ ##

#

= Þ#

ÊŠ ‹cos

sin

œ # ß œ # ß = œ ß =Š ‹ Š ‹ˆ ‰cot cot"# #

= Þ

Þ Þ) )sin sin

sin cot sin

) )

) )# #"

# #

)

Luego : ) )0 ß = œ ß =33 Análogamente haciendo uso de las fórmulas

sin cos cotÞ œ ß Þ œ ß • ß Þ# œα α α" Þ "

" " # ÞÈ Ècot cotcot cot

cot# #

#

α α

α αα

mostramos que , así0 ?ß @ß A œ ?ß @ß A:

0 ?ß @ß A œ 0 # ßŠ ‹: cot" ? @ #A

A

Þ

ÈŠ ‹

# #

" ? @ ## #

Asin cotÈ

œ # # ß’ Š ‹“ ’ Š ‹“A #

Þ # A A" "? @ # ? @ #

sin cot" ? @ ## #

A

# # # #

Š ‹È È

È cos cot cos cot

’ Š ‹“ ’ Š ‹“# Þ # ßA #

Þ # A A" "? @ # ? @ #

sin cot" ? @ ## #

A

# # # #

Š ‹È È

È cos cot sin cot

A "

Þ # A" ? @ #

sin cot" ? @ ## #

A

# #

Š ‹È

È sin cotŠ ‹Š ‹# œ ?ß @ß A

por ejemplo en la última coordenada tenemos A "

Þ # A" ? @ #

sin cot" ? @ ## #

A

# #

Š ‹È

È sin cotŠ ‹Š ‹# œ A


333 Gß Obtenemos por lo tanto una carta , desplazando a +: ) )" %1

obtenemos una nueva parametrización para la superficie dada por0 ß = œ # = ß # = ß ="

% % % ) % ) % )Š ‹’ “ ’ “ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰) ) )cos cos cos sin sin) 1 1 ) 1 1 ) 1

mediante un conveniente despeje se obtiene una nueva carta .Š ‹G ßµ

:#

3@ La superficie resultante es una cinta parecida (pero sin ser), a la cintade Möbius.Conclusión: La superficie es una -variedad con atlasG #

.š Š ‹›Gß ß G ßµ

: :" #

48.Sea una función positiva diferenciable y sea0 B

: ?ß @ œ ? Þ@ß ? Þ@ß 0 ?cos sinLa función determina una superficie de revolución. Para sea: B "ß

0 B œ Bcosh" . Dibuje la superficie y construya un atlas.SOLUCIÓN: Sabemos que , comoC œ B œcosh / /

#

B B

lim lim lim limBÄ∞ BÄ∞ BÄ∞ BÄ∞

/ / / " #/# #/ #/

BB B #B #B

B Bœ œ œ / œ ∞

Entonces tiene por dominio al intervalo o sea0 "ß ∞0 œ À "ß ∞ dcosh" cuyo gráfico es:

Ahora consideremos la superficie de revolución obtenida por la rotaciónde en torno del eje , dada por la ecuación cosh cosh" " # # "Î#

D Bß Cß B CŠ ‹

Llamemos esta superficie con el símbolo , entonces tenemos queO: À O d H H œ Ö Bß C ÎB C Ÿ "× donde , dada por# " " # #

: :Š ‹Bß Cß B C œ Bß Ccosh" # # "Î# es una carta pues es un


homeomorfismo cuyo dominio es por lo tanto tiene por atlas aOß OOß O #: y es una -variedad.

49.En relación al problema sea un círculo de radio con centro%)Þ G <

Vß ! ß V <ß BCÞ G Den el plano Gire sobre el eje y construya un toro.Pruebe que el toro , es una -variedad compacta y conexa.X #

SOLUCIÓN: Del origen de coordenadas alrededor del eje , lo llamaremosDeje de giro.

Sea , tómese , definida porT − X Í 0 T œ < Y œ d /4/D 0 À Y d# $

0 Bß Cß D œ B C V Dˆ ‰È # ## #

Ahora , así fuera del1<+.0 T œ ß ß #D 1<+.0 T Á !Š ‹# B C V B # B C V C

B C B C

ˆ ‰ ˆ ‰È ÈÈ È# # # #

# # # #

círculo . Como entonces es un valorB C œ V • D œ ! V < Á ! <# # # #

regular de entonces es una curva de nivel y se obtiene el toro0 X œ 0 <" #

como una superficie de nivel.La ecuación cartesiana del toro es por lo tanto

, œ B C Vß 1 œ < B C VÈ ÈÉ ˆ ‰# # # # #

#

0 À Y X

Bß C Bß Cß < B C V

!

# # ##Œ É ˆ ‰ÈÈ

donde . Una carta para sera dada porY œ V <ßV < ‚ V <ßV < X!

: À X V <ßV < ‚ V <ßV <µ

Bß Cß D È Bß C .


O sea es una carta, para el toro donde . En formaŠ ‹X ß X œ 0 Yµ µ

: !

análoga hallamos otra carta, que nos dé los puntos del paralelo y elmeridiano no estudiados con la carta anterior.El toro es compacto ya que es la imagen recíproca de un valor regular ycomo tal, es cerrado y acotado.El toro es conexo, pues es homeomorfo a un rectángulo, o , mejor alinterior de un rectángulo que es conexo.

50.Sea una base local de en . SeaÖI ßI ßá ßI × Y Q" # 88D

\ œ 1 I â 1 I Y \ Y 1" " 8 8 3∞en . Pruebe que es en , si cada V

es en V∞ Y .SOLUCIÓN: Ê 1 − Y I − Y) Supongamos que los , como , pues3 3

∞ ∞V V

los son base de , y como es un módulo sobre , seI Y Y Y3∞D D V

sigue que , y, por lo tanto1 I − Y 1 I 1 I â 1 I − Y3 3 " " # # 8 8D D\ œ 1 I 1 I â 1 I − 0 − Y" " # # 8 8

∞ ∞V V, pues para todo ,\0 œ 1 I 0 1 I 0 â 1 I 0 − Y" " # # 8 8

∞V .É \ 3 I Yß) Supongamos que , y todo los son de clase en además3

∞Vque , esta contenida en un para y sea ,Q d 5 8 \ œ \ ß\ áß\5

" #ß 8

I l œ I ßI ßá ßI \ − \ −3 T 3" # 5 ∞ ∞3 3 3

ˆ ‰. Como entonces y tenemosV V

\ œ 1 I 1 I â 1 I" " # 8" #" " "

8

\ œ 1 I 1 I â 1 I# " # 8# # #" # 8

ã ã ã ã

\ œ 1 I 1 I â 1 I5 " # 85 5 5" # 8

Como para cada , es base de se sigue que: − Y ÖI l ß I l ßá ßI l × X Q" : # : 8 : :

la matriz es una matriz de rango por lo tanto podemos suponer,ˆ ‰I 8ß53

sin pérdida de generalidad que

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ âI I I á I

I I I á Iã ã ã ä ã

I I I á I

Á !ß a: − Y

" " " "" # $ 8# # # #" # $ 8

8 8 8 8" # $ 8

Entonces podemos resolver el sistema \ œ 1 I 1 I â 1 I" " # 8" #

" " "8

\ œ 1 I 1 I â 1 I# " # 8# # #" # 8

ã ã ã ã

\8 œ 1 I 1 I â 1 I" # 88 8 8" #

por el método de Crammer, obtenemos los en términos de y , los1 \ I3 3 3

cuales son todos en , por lo tanto se obtiene que es de clase V V∞ ∞3Y 1

en . Y


51.Sea y de clase en un abierto de una variedad . Pruebe\ ] Y QV∞

que la conexión Ò\ß ] Ó − Y ÞDSOLUCIÓN: Debemos probar que3 Ò\ß ] Ó − X Q 33 0 − Y Ê Ò\ß ] Ó0 − : :

∞ ∞V V

En efecto, cualquier elemento del esta caracterizado por3 \ X Q:

cumplir las siguientes propiedades: + \ 0 1 œ \0 \1ß \ ,0 œ 0 \0 , \ 01 œ \0 1 : 0 : \1Veamos que cumple estas propiedadesÒ\ß ] Ó

+ Ò\ß ] Ó 0 1 œ \Ò] 0 1 Ó ] Ò\ 0 1 Ó œ \Ò] 0 ] 1Ó ] Ò\0 \1ÓÅ

\ß ] − X Q:

œ \ ] 0 \ ] 1 ] \0 ] \1Å

0ß 10 − Ê \0 − ß\1 − ] 0 − ß • ß ] 1 −V V V V V∞ ∞ ∞ ∞ ∞, .œ Ö\ ] 0 ] \0 × Ö\ ] 1 ] \1 × œ Ò\ß ] Ó0 Ò\ß ] Ó1

Ò\ß ] Ó ,0 œ \Ò] ,0 Ó ] Ò\ ,0 Ó œ \Ò, ] 0 Ó ] Ò, \0 Ó

œ ,\ ] 0 ,] \0Å

0 − Y Ê ] 0ß\0 − YV V∞ ∞

.œ ,Ö\ ] 0 ] \0 × œ ,Ò\ß ] Óß a0 − YV∞

, Ò\ß ] Ó 0 ß 1 œ \Ò] 01 Ó ] Ò\ 01 Ó

œ \Ò ] 0 1 : 0 : ] 1 Ó ] Ò \0 1 : 0 : \1 Ó

œ \ ] 0 1 : \Ò0 : ] 1 Ó ] \0 1 : ] Ò0 : \1 Ó

œ \ ] 0 1 : 0 : \ ] 1 ] 1 \0 ] \0 1 : 0 : ] \1 ] 0 \1œ Ò\ ] 0 ] \0 Ó1 : 0 : Ò\ ] 1 ] \1 Ó œ Ò\ß ] Ó0 1 : 0 : Ò\ß ] Ó1

.Así .Ò\ß ] Ó − X Q: :

33 0 − Y \ß ] − Y \0 − Y ] 0 − YV V V∞ ∞ ∞, como tenemos que y ,Dusando una vez más el hecho de ser , tenemos que\ ] − YD\ ] 0 − Y ] \0 − Y YV V V∞ ∞ ∞ y . Ahora como es un anillo se sigueque , o sea . Luego concluimos que\ ] 0 ] \0 − Y Ò\ß ] Ó0 −V V∞ ∞

Ò\ß ] Ó − Y ÞDNota: A la conexión se conoce también con el nombre de corcheteÒ\ß ] Ó

de Lie en geometría Riemaniana.

52.Sea por . Calcular la matriz y de 0 À d d ÞBC D ß / 0 0$ # # $ BCD‡ß :ß;ß< ‡ "ß!ß"sin Þ

SOLUCIÓN: De los cálculos se sigue:

0 œ œC D ÞBC D #BCD ÞBC D $BC D ÞBC D

CD/ BD/ CD/‡à BßCßD

`0 `0 `0`B `C `D`0 `0 `0`B `C `D

# $ # $ $ # $ # # # $

BCD BCD BCD– — ” •" " "

# # #

cos cos cos

0 œ; < Þ:; < #:;< Þ:; < $:; < Þ:; <

;</ :</ ;</‡à :ß;ß<

# $ # $ $ # $ # # # $

:;< :;< :;<” •cos cos cos

Y en particular se tiene


.0 œ! ! !! " !‡à "ß!ß" ” •

53.Definimos la función lineal por para.0 À X Q d .0 \ œ \ 0: : : : :

0 − Q .0 0 \ œ .0 \V∞: ‡à: : : :

..>. Pruebe que es lineal y que donde

..> es la base canónica de .X d0 :

SOLUCIÓN: .0: es :lineal

Se sabe que y , en esta formaˆ ‰0 \ 1 œ \ 1 ‰ 0 .0 \ 1 œ \ 0‡: : : : : :..> .>

.1

se tiene: .0 \ ] œ \ ] 0 œ \ 0 ] 0 œ .0 \ .0 ]: : : : : : : : : : :- - -

Ahora .0 \ œ 0 ‰ \ œ 0 ‰ \‡à: :w: :

..>

Usando la regla de la cadena se tiene . .

.> .>: : :0 ‰ \ œ .0 \‡

‡ Veamos en detalle esta igualdad, . . . . .

.> .> .> .> .>‡à: : ‡à: : : : : :0 \ œ 0 \ 3. œ \ 3. ‰ 0 œ \ 0 œ .0 \

54.Probar que y son paralelizables.d W8 "

SOLUCIÓN: En efecto, en basta tomar el campo de vectores generadod8

por la identidad.En basta tomar cualquier vector tangente que no se anule yW"

transportarlo paralelamente a lo largo de .W"

55.Sea una curva diferenciable con Defina# % % V #À ß Q ! œ :Þ8 ∞

X 0 œ##

ß:. 0 ‰

.> !¹ . Pruebe que X − X Q#ß: :

SOLUCIÓN: Sea una carta en torno de Yß 0 :

X 0 œ<ß:

. 0‰.> !

# ¹ , usando la regla de la cadena tenemos

. 0‰.> !

:w# ¹ œ .0 0 : ‰ !#


así , también se cumple. Ahora X 0 œ .0 ‰ ! a0 − Y<ß: :w ∞# V

X 0 1 œ . 0 1 ‰ ! œ .0 .1 ‰ ! œ .0 ‰ ! .1 ‰ !<ß: : : : ::w w w w# # # #

esta última relación es debida al hecho de ser el producto escalar lineal,así ,X 0 1 œ X 0 X 1<ß: <ß: <ß:

.X ,0 œ . ,0 ‰ ! œ ,.0 ‰ ! œ , † X 0Å

.

<ß: : <ß::w w# #

es linealAhora, X 0ß 1 œ . 01 ß ! œ 0 : .1 1 : .0 ß ! <ß: : ::

w w# #

œ 0 : .1 ß ! . : .0 ß ! : :w w# #

œ 0 : .1 ‰ ! 1 : .0 ‰ ! œ 0 : X 1 1 : X 0: : <ß: <ß:w w# #

Luego .X − X Q<ß: :

56.Sea . Pruebe que es unaf f8 œ ÖE − Q+> d ÎX<+D+E œ !×Þ 88‚8

variedad . ¿Cual es su dimensión?. ¿Se puede demostrar que elV∞

conjunto de las matrices ortogonales esb 8 œ ÖE − Q+> d ÎEE œ 3.×8‚8>

una variedad de dimensión V∞ 8 8"# ?.

SOLUCIÓN: " Consideremos la aplicación siguienteV∞

0 À d µ Q d dµ88‚8

#

dada por , donde . Hallemos susi si0 B œ B œ

"ß 3 œ 4!ß 3 Á 4œ34 34 34 34

3ß4œ"

8

$ $

gradiente

f0 œ B ß B ßâß B ßâß B— $ $ $ $` ` ` ``B `B `B `B

34 34 34 3434 34 34 34 34 34 34 34

"" "# ## 88

œ "ß !ßá!ß ! ß "ßá ß ! ßá ß !ß !ßá"

8 8 8ðóóñóóò ðñò ðñò

esto nos implica que , por otra parte0 − V∞

f $8 œ 0 ! œ ÖE − Q d Î + œ X<+D+E œ !×"8‚8 34 34

34œ"

8

Puesto que , se sigue de un resultado básico quef0 E Á !ß aE − 8f

0 ! 8 "" # ∞ es una -variedad de clase .V# 0 À Q d d µ dµ Consideremos ahora la aplicación , ,V f∞ 8" 8

8‚88#

donde "matrices simétricas", definida por . Se sabef — ——d œ 0 œ8 ‡

que es un valor regular de entonces concluimos queM − d 0f 8

‰ d œ 8 œ 0 M8 " ∞b V es una variedad de clase y de dimensión8 8 " 8 "# 8 8

# #= .Queremos ahora probar que la derivada dada por0 À Q d dw 8

8‚8— f0 † L œ L Lw ‡ ‡— — — , es sobre y por lo tanto de rango máximo, enefecto, demos , entonces tomando obtenemos lo= − d Z œf 8 =

#—

deseado, pues =0 † Z œ œ =w ‡ ‡ ‡= = = =

# # # #ˆ ‰ ˆ ‰— — — —— ——— —‡


Obsérvese que es un subconjunto cerrado de por serb 8 Q d8‚8

imagen inversa de por la función continua , luego el grupo ortogonalM 0

es cerrado y acotado en o sea es compacto.d 88#b

57.Una isometría desde en es una función que conserva eld d 0$ $

producto interno de vectores tangentes. Pruebe que es un0‡

isomorfismo, cuando es una isometría. Pruebe que una isometría es un0

difeomorfismo.SOLUCIÓN: " 0 preserva . distanciaEn efecto, Ö. 0 B ß 0 C × œ 0 B 0 C ß 0 B 0 C #

œ 0 B ß 0 B # 0 B ß 0 C 0 C ß 0 C œ

œ Bß B # Bß C Cß C œ B Cß B C œ Ö. Bß C ×#

Luego .. 0 B ß 0 C œ . Bß C# 0 es uno a uno

En efecto, .0 B œ 0 C Í . 0 B ß 0 C œ ! Í . Bß C œ ! Ê B œ C

$ 0 d lleva una base ortonormal de en una base ortonormal.$

En efecto, sea una base ortonormal de entoncesÖ/ ß / ß / × d" # $$

" œ / ß / œ 0 / ß 0 / " " " "

! œ / ß / œ 0 / ß 0 / " # " #

" œ / ß / œ 0 / ß 0 / # # # #

Luego es un conjunto ortonormal de y por lo tantoÖ0 / ß 0 / ß 0 / × d" # $$

forma una base de d Þ$

% 0 es una aplicación lineal.Si demostramos que , ya; − d ;ß 0 B C 0 B 0 C œ !$

;ß 0 B 0 B œ ! 0 B C œ 0 B 0 Cα α tendremos entonces que y0 B œ 0 Bα α , de donde la linealidad.Sea una base ortonormal entonces esÖ/ ß / ß / × Ö0 / ß 0 / ß 0 / ×" # $ " # $

también base ortonormal de , ahorad$

0 / ß 0 B C œ / ß B C œ / ß B / ß C œ3 3 3 3

œ 0 / ß 0 B 0 / ß 0 C 3 3

de donde tenemos <0 / ß 0 B C 0 / ß 0 B 0 / ß 0 C œ !3 3 3

o sea que para todo 3 œ "ß #ß $

0 / ß 0 B C 0 B 0 C œ ! ‡3

por lo tanto para cualquier tenemos y se tiene; − d ; œ 0 /$

3œ"

$

3 3α

<;ß 0 B C 0 B 0 C œ 0 / ß 0 B C 0 B 0 C 3œ"

$

3 3α

œ 0 / ß 0 B C 0 B 0 C œ !3œ"

$

3 3α‡

Luego .0 B C 0 B 0 C œ ! Í 0 B C œ 0 B 0 C


Ahora 0 / ß 0 B œ / ß B œ / ß B 3 3 3α α α œ 0 / ß 0 B œ 0 / ß 0 B α α3 3

por lo tanto < 0 / ß 0 B 0 B œ ! ‡‡3 α α

y para todo ; − d$

;ß 0 B 0 B œ 0 / ß 0 B 0 B α α α α α3œ"

$

3 3

œ 0 / ß 0 B 0 B œ ! œ !3œ" 3œ"

$ $

3 3 3α α α α‡‡

Por lo tanto tenemos que o sea que .0 B 0 B œ ! 0 B œ 0 Bα α α α

& d dUna aplicación lineal de en tiene por derivada a ella misma pues,$ $

0 B 2 œ 0 B 0 2 < 2 < 2 œ ! 0 œ 0 con por lo tanto ‡

Conclusión que es lineal y uno a uno por lo tanto es un0 œ 0 0‡ ‡

isomorfismo lineal.' 0 0 0 àSi es isometría entonces es un difeomorfismo: Basta mostrar a "

que ya existe por ser uno a uno y lineal además es también una0isometría, en efecto; . Bß C œ 0 0 B ß 0 0 B œ 0 B ß 0 C " " " "

58.Defina por línea recta que contiene y el origen0 À W d 0 : œ :8 8

en . Pruebe que es y dos a uno. Para , el polo Norted 0 : œ !ß !ß "8" ∞V

de , calcule para , halle su matriz JacobianaW 0 0 À W d# # #‡ß: .

SOLUCIÓN: Sabemos que el espacio proyectivo es el conjunto de8 dtodas las rectas que pasan por el origen. Los elementosL § d8"

L − d8 pueden ser descritos por un sistema de coordenadashomogéneas. Cada vector no nulo es una base de@ œ C ß C ßá ß C − L" # 8"

L > Á !ß >@ L y para cada es aún una base de . Como las coordenadasC ß C ßáC > Á !" # 8", definidas a menos de un factor arbitrario se llamancoordenadas homogéneas de .LPodemos introducir coordenadas no homogéneas en siempre que8 dtrabajemos localmente. Para cada , sea el conjunto deα œ "ß #ßá ß 8 " Yα

todas las rectas que pasan por el origen en cuyas coordenadas,d8"

homogéneas satisfacen la condición . Sea C ß C ßá ß C C Á ! B À Y d" # 8" 8αα α

definida por . GeométricamenteB L œ C C ß C ßá ß C ß C ßá ß Cαα α α" " # " " 8"

B L − d Lα8 es obtenida por la intersección de la recta con el hiperplano

C œ "ßα obteniéndose despues la -ésima coordenada. Se demuestraα

luego que es un atlas de .U œ ÖB À Y d Î œ "ß #ßá ß 8 "× dα α8 8α

Otra manera de obtener el espacio proyectivo es tomar el espacioßcociente de la esfera por la relación de equivalencia que

8 8 8"d W § d

identifica cada con su antípoda ; los puntos de son: − W : − W d8 8 8

denotados por . Es claro que la aplicación queÖ:ß :× J À d d 8 8

lleva en la recta de ligando esos dos puntos es unaÖ :ß :× d ß8"


biyección. Se sigue de lo anterior que es dos a uno pues0 À W d ß8 8los puntos anteriores y de son identificados en y: : W d8 8claramente es .V∞

59.Sea una -variedad con conexión . En una carta Q 8 f YßV :∞

definimos los símbolos de Cristoffel como las funciones queÖ × 8>3 $34

resultan de las ecuaciones f œ`

`B54 3

` ``B `B

3

354>

Calcule los símbolos de Christoffel para la conexión canónica en .d$

Pruebe que .> >3 345 54œ

SOLUCIÓN: Primero hallamos las llamadas primera y segunda identidad deChristoffel.PRIMERA IDENTIDAD DE CHRISTOFFEL.Denotemos para mayor comodidad1 œ ß 1 1 1

34 3 4 3 4 5

` ` ` ` ``B `B `B `B `B45 35 34 y calculemos

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ``B `B `B `B `B `B `B `B `B `B `B `B45 35 34

3 4 5 3 4 5 4 3 5 5 3 41 1 1 œ ß ß ß

œ f ß ßf f ß ßf ` ` ` ``B `B `B `B3 3 4 44 5 4 5 3 5 3 5

` ` ` ` ` ` ` ``B `B `B `B `B `B `B `B

. f ß ßf ` ``B `B5 5

3 4 3 4

` ` ` ``B `B `B `B

Ahora, Ò ß Ó œ !à f ß ßf œ !` ` ` ` ` `

`B `B `B `B `B `B5 4 3 4 4 5` `

`B `B5 3

también <f ß f ß œ # f ß ` ` `

`B `B `B4 3 33 5 4 5 4 5

` ` ` ` ` ``B `B `B `B B `B

ßf ßf œ !` ` ` ``B `B `B `B3 5 3 4

` ``B `B4 5

Por lo tanto tenemos: <f ß œ 1 1 1`

`B3 4 5 3 4 5

` ` " ` ` ``B `B # `B `B `B45 35 34Š ‹

en esta forma se tiene <f ß œ ß œ ß œ 1`

`B3 4 5 4 5 4 5

` ` ` ` ` ``B `B `B `B `B `B

6 6 6

6 6 634 34 34 65> > >

Obteniéndose así .Š ‹

6

634 65 45 35 34

" ` ` `# `B `B `B> 1 œ 1 1 1

3 4 5

SEGUNDA FORMULA DE CHRISTOFFEL. La primera identidad puede escribirse enla forma matricial siguiente: .ˆ ‰ Š ‹>6

34 65 45 35 34" ` ` `# `B `B `B1 œ 1 1 1

3 4 5

Puesto que es una matriz invertible, sea su inversa obteniéndoseˆ ‰1 16556

que ˆ ‰ ˆ ‰Š ‹>6 56

34" ` ` `# `B `B `B45 35 34œ 1 1 1 1

3 4 5

o sea


ˆ ‰ Œ Š ‹>6 5634

5

" ` ` `# `B `B `B45 35 34œ 1 1 1 1

3 4 5

de donde .>6 56

34" ` ` `# `B `B `B45 35 34œ 1 1 1 1

5Š ‹

3 4 5

Ahora en el problema propuesto tenemos que en 1 œ ß d34` ``B `B

$3 4

o en general en por lo tanto (ver el problema , más adelante)d &$8

` ` ` ` ` ` ` ``B `B `B `B `B `B `B `B54

4 4 5 4 5 4 5 41 œ ß œ H ß ßH

<œ H ß H ß œ !Å

Vale el teorema de Schwarz

` ` ` ``B `B `B `B5 4 5 4

Luego . Ahora>634 œ !

>6 5634

5

" ` ` `# `B `B `B45 35 34œ 1 1 1 1Š ‹

3 4 5

>346 56

5

" ` ` `# `B `B `B35 45 43œ 1 1 1 1Š ‹

4 3 5

Como , se sigue que .1 œ ß œ ß œ 1 œ34 43` ` ` ``B `B `B `B 34 43

6 63 4 4 3

> >

60.Sea asociado a la -variedad de clase , .X Q œ Ö :ß\ × 8 Q: :−Q∞V

Defina : por . Dada una carta en , sea1 1 :X Q Q :ß\ œ : Y ß Q:

Y § X Q Y œ Y B œ B ‰ 3 œ "ß #ßá ß 8 Y donde y sea para en . Si1 1"3 3

:ß\ − Y \ œ , â , B :ß\ œ ,

s: : " 8 3 : 3` `

`B `By , entonces sea . Luego," 8

se define la -carta en . Pruebe que#8 Y à B ß B ßá ß B ß B ßá ß B X Qs sˆ ‰" # 8 " 8

X Q #8con este atlas es una -variedad de clase V∞.SOLUCIÓN: Sea un -atlas para entonces , ahoraÖ Y ß × 8 Q Y œ Qα α α: ∪consideremos y se demuestra que es un -atlas para Ö Y ß × #8 X Qˆ ‰α α:

donde Y œ Y ß œ ‰α α αα1 : : 1"

Tenemos ∪ ∪ ∪α α α

1 1 1Y œ Y œ Y œ Q œ XQα α α" " "Š ‹

Sea ahora : dado por:α α αY Z § d#8

:α :ß B œ B : ßá ß B : ß , ß , ßá ß ,: " 8 " # 8

Los sistemas así obtenidos constituyen un atlas de dimensión de: ´α #8

XQ À Y [ § d. Este atlas es diferenciable de clase pues si esV :∞ 8" " "

otro sistema de coordenadas en con ø y si indicamosQ Y ∩ Y Áα "

abreviadamente el cambio de coordenadas mediante: :" α‰ "

B ß B ßá ß B C ß C ßá ß C" # 8 " # 8

entonces el sistema donde y: 1" " " " "À Y [ § d Y œ Ys

#8 "

, con :" ˆ ‰:à\ œ C : ß C : ßá ß C : ß , ß , ßá ß , \ œ ,: " # 8 " # 8 : 33œ"

8``C3

se relaciona con el sistema a través del cambio de coordenadas : : :α " α‰

dado por


ŒB ß B ßá ß B ß , ß , ßá ß , C ß C ßá ß C ß , ßá ß ," # 8 " # 8 " # 8 3 33 3

`C `C`B `B

" 8

3 3

la cual sin duda es diferenciable de clase .V∞

Nótese que la matriz Jacobiana de la aplicación esta formada por: :" α‰ "

cuatro bloques cuadrados , tomando el aspecto8 ‚ 8

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

Š ‹Œ Š ‹

`C`B

` C `C`B `B `B5

3

4

#3 3

5 4 4

!

,

así el determinante Jacobiano de la aplicación es igual a: :" α‰ "

’ Š ‹“./> `C`B

#3

4 y por lo tanto, es mayor de cero en todos los puntos. En otras

palabras el atlas sobre es coherente, en particular es siempre´

XQ XQorientable, no importando que lo sea o no.Q

61.Sean y variedades de clase y una aplicación deQ R 0 À Q R8 8 ∞V

clase . Se define por . PruebeV∞‡ ‡ : ‡ß: :0 À X Q XR 0 :à\ œ 0 : ß 0 \µ µ

que esta bien definida y es de clase0µ‡ .V∞

SOLUCIÓN: Se tienen dos hipótesis dadas por" 0 À Q R : œ ; 0 : œ 0 ; à esta bien definida así si , entonces # 0 À Q R 0 \ es de clase , así es de clase .V V∞ ∞

‡: :

0 À X Q X Rµ‡ esta bien definida

Tómese ,:ß\ œ ;ß\ Í : œ ; • \ œ \: ; : ;

pero , \ œ \ Í \ 1 œ \ 1 a1 −: ; : ;

∞V

Ahora 0 \ 1 œ \ 1 ‰ 0 œ \ 1 ‰ 0 œ 0 \ 1‡: : : ; ‡; ;Å

1 ‰ 0 − V∞

Así, , 0 \ 1 œ 0 \ 1 a1 −‡: : ‡; ;

∞V

De donde tenemos 0 : œ 0 ; • 0 \ œ 0 \‡: : ‡; ;

Obteniéndose que 0 : ß 0 \ œ 0 ; ß 0 \‡: : ‡; ;

o sea 0 :ß\ œ 0 ;ß\

µ µ‡ : ‡ ;

Así, esta bien definida.0µ‡

0µ‡

∞ es de clase :VPor la hipótesis y es un campo en por lo tanto# 0 − \ X QV V∞ ∞

: :

0 \ − 0 ß œ 0 ß 0 \µ

‡: : ‡ ‡ ∞V por lo tanto, como es de clase

V V∞ ∞‡en cada componente, se sigue que es de clase .0µ


62.Una curva diferenciable en una variedad con conexión es una# Q f

geodésica si donde es el campo de vectores tangentes a .f X œ ! XX #

Calcular las geodésicas en dibuje sus resultadosd ß$ .SOLUCIÓN: Sea un sistema de coordenadas en torno de B ß B ßá ß B >" # 8 5

# w $ $

3œ"

8. B ‰

.> `B> >

`Š ‹ Š ‹> œ X > œ d ß 3. d3

3

#

#. Sea un atlas para , sea

# VÀ M d d>È + > ß + > ß + >

$ $ ∞

" # $

una curva en de clase entonces

X > œ Š ‹ Š ‹3œ"

$. B ‰

.> `B> >

`3

3

#

#

œ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ˆ ‰ ˆ ‰. B‰ . C ‰ . D‰.> `B .> `C .> `D> > > >

` ` `> >

# # #

# # #

donde hemos usado Deseamos que sea unaB ß B ß B œ Bß Cß D Þ >" # $ #

geodésica, o sea, debemos tener ! œ f X œ f † X ß f † X ß f † XX

. B‰ . C‰ . D‰.> .> .>> > >

Œ Š ‹ Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹ Š ‹# # #

así, debemos tener que pues en general ! œ f † X Ê f œ ! ß X Á !Š ‹ Š ‹. B‰ . B‰

.> .>> >

# #

pues en general ! œ f † X Ê f œ !ß X Á !Š ‹ Š ‹. C‰ . C‰.> .>> >

# #

pues en general ! œ f † X Ê f œ ! ß X Á !Š ‹ Š ‹. D‰ . D‰.> .>> >

# #

de estas tres últimas igualdades obtenemos que Š ‹ Š ‹ Š ‹. B‰ . C‰ . D‰

.> .> .>> > >" # $

# # #œ G ß œ G ß œ G

de donde+ > œ B ‰ > œ G > . ß + > œ C ‰ > œ G > . + > œ G > ." " " # # # $ $ $# # y Luego # > œ + > ß + > ß + > œ G > . ßG > . ßG > . ß" # $ " " # # $ $


tratándose de rectas en . Luego concluimos que las geodésicas en d d$ $

son líneas rectas.

63.Sea una -variedad con conexión . En la carta sean Q 8 f YßV : >∞ 345

los símbolos de Christoffel de . Sea una segunda carta de conf Z ß Q<

Y ∩ Z Á f Z ßµø. Sean los símbolos de Christoffel de en .> <45

3

Supongamos que y calcule los en términos de los en .8 œ # Y ∩ Zµ> >

3

45 453

¿Qué pasa en ?d# .Nota: Una métrica Riemaniana en una variedad diferenciable es unaQley que hace corresponder a cada punto un producto interno: − Q ß X:: en el espacio tangente que varia diferenciablemente en elsiguiente sentido: Si es un sistema de coordenadas:" 8À Y § d Qlocales en torno de con y: B ß B ßá ß B œ ; − Y: :"

" # 8"

` ` ``B `B `B

"; 34 " 8

3 3 4; œ . !ßá ß "ßá ß ! ; ß ; œ 1 B ßá ß B: entonces es

una función diferenciable en . Las funciones son llamadasY 134expresiones de la métrica en sentido de las coordenadas:" 8À Y § d Q .SOLUCIÓN: Sea una carta en y , así obtenemos un sistema deYß Q : − Q:coordenadas de manera que los símbolos de ChristoffelB ß B ßá ß B" # 8

345>

estan dados por f œ``B3 4 5

` ``B `B

5

543>

Si es otra carta en y obtenemos un nuevo sistema deZ ß Q : − Q<coordenadas de manera que los símbolos de Christoffel paraC ß C ßá ß C" # 8

este nuevo sistema de coordenadas estarán dados por .

f œµ

``C3 4 5

` ``C `C

543

5>

Ahora como ø, sea entonces tenemosY ∩ Z Á : − Y ∩ Z

` ` ` ``B `C `B `C `B `B: :

`C `C

: : :

"

3 3 3 3 3 3

3 3l œ l Í œŠ ‹ ¹ ¹ Š ‹:

Ahora f f f` `

`C `B3 34 4 4 3 4 4``B `B3 3

`C3"

4 43` ` ``C `B `B `B `B `B

`C `C" " "

`Cœ œŠ ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ œ Š ‹ Š ‹ Š ‹œ`C

`B `B `B `B `B `B

" " "` ``C `C3

3 3 4 4 4 4

# 4 4`

`B3

f


œ Š ‹ ’ Š ‹ “ Š ‹ Š ‹`C `C`B `B `B `B `B `B `B

" " " "` ``C `C3 3

3 3 4 4 3 4 4

# 4 4`

`B3

f

De donde tenemos

Š ‹ ’ Š ‹ “ Š ‹ Š ‹5œ" 5œ"

# #

43

5 ` ` ``C `B `B `B `B `B `B `B

`C `C" " " "

`C `C435> >

µœ

5 3 3 4 4 3 4 5

3 3# 4 4

para . Variando obtenemos un sistema de ecuaciones,3 œ "ß #ß 4 œ "ß # 3ß 4

de donde se obtiene la relación entre los y los , dados> >µ

43 435

¿Qué pasa en ?. Como solamente tiene una carta entonces d d œ !# # 543>

como ya vimos en el problema .&*

64.Sea y defina y en los demás casos . EstaQ œ d œ œ " œ !# " " 5#" "# 43> > >

definición induce una conexión en . Calcular las geodésicas enf d#

d ßf#

SOLUCIÓN: " d Veamos primero cual es esta conexión en . Sabemos del#

problema que&*

f ``B3 4 5 " #

` ` ` ``B `B `B `B

5œ"

#

435 " #

43 43œ œ > > >

Entonces , pues f `

`B" " " #

` ` ``B `B `B

" # " #"" "" "" ""œ œ ! œ œ !> > > >

f ``B" # " # "

` ` ` ``B `B `B `B

" # "#" #" #"œ œ ß œ "> > >pues

f ``B# " " # "

` ` ` ``B `B `B `B

" # ""# "# "#œ œ œ "> > >, pues

f ``B# # " #

` ` ``B `B `B## ## ## ##

" # " #œ œ !ß œ œ !> > > > pues Ahora sean entonces\ß] − QD \ œ + + ß ] œ " # " #

` ` ` ``B `B `B `B" # " #

- -

entonces f ] œ f ] œ + f ] + f ]\ #+ +" #

` ` ` ``B `B `B `B" # " #

"

œ + f + f " " # # " #` ` ` `

`B `B `B `B` ``B `B" #" # " #

Š ‹ Š ‹- - - -

œ + f + f + f + f" " " # # " # #` ` ` `

`B `B `B `B` ` ` ``B `B `B `B" " # #" # " #

Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹- - - -

œ + + f + + f + " " " " " # #` ` ``B `B `B `B `B `B `B `B

` ` ` ` `Š ‹ Š ‹ Š ‹- - -" # "

" " " " # # # "` `

`B `B" "

- -

+ f + + f# " # # #` ` `

`B `B `B `B`- -` `

`B `B# #" # # #

#Š ‹- .Usando los valores de de arriba tenemos:f `

`B3 4

``B

f ] œ + + + + + +\ " " " # # # " #` ` ` ``B `B `B `B `B `B `B `B `B `B

` ` ` ` ` `Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹- - - -" # " #

" " " # " # " " # #- -

o sea quef ] œ + + + + + +\ " # " # # " " #

` ` ` ``B `B `B `B `B `B

` `š Š ‹ Š ‹ › š Š ‹ Š ‹›- - - -" # # #

" " " " # #- -

# Primero veamos antes algunas cosas generales.


Sea una variedad, un subconjunto abierto de sea Q Y Q ß8 8

\ ß\ ßá ß\ Y Y" # 8∞una base de . Se definen funciones en porD V

f \ œ \\ 4 34œ"

8

453

5>

Sea una aplicación en . Si es un campo en con5 V 5À +ß , Y Y ] >∞

dominio entonces define funciones en este dominio por (como+ß , + >3

en el problema )'#

] > œ + > \ >3 3 5

Sea un sistema de coordenadas en torno de de ,B ß B ßá ß B > Y § Q" # 885

> − +ß , 1 > œ B ‰ l +ß ,. Ahora hacemos en y tenemos el campo3 3 >5

tangente a 5 >

X > œ 1 > \ >w3 4 5

donde . Se dice que es a lo largo de cuando1 > œ ] >w4

.1.>

4 paralelo 5

f ] œ ! \ ] f ] œ !X X. Sustituyendo y en obtenemos una ecuacióndiferencial de gran utilidad, en efecto, ! œ f ] œ f + \ œ f + \ œ X+ \ + f \X X 3 3 X 3 3 3 3 X 3

3 3 3Œ

œ + \ + f \3 œ + \ + 1 > f \3 3 4

w w w3 33 3 3 3 \ 31 > \ > 4

4

w4 4 45

œ + \ + 1 > \ œ + \ + 1 \3 4 3 3 4

3 3w w 5 w w 5

3 3 5 3 3 54 45 5

34 34> >

Cambiando el índice por en la primera suma tenemos que:3 5

! œ + \ + 1 \5 5

5 4w w 5

5 3 534

34>

! œ Ö+ \ + 1 ×\5

w w 55 45 3 5

3434>

Como los son linealmente independientes, entonces obtenemos la\5

condición para que sea paralelo a ] > 5

.+.> .>

343.1 5

345 4 + œ !>

En el caso de ser una geodésica se debe tener entonces con5 f X œ !X

X œ 1 \ > ß X4

4w

4 5 5o sea que es paralelo a y por lo tanto debemos tener

que . 1 .1.> .> .>

34345 .1#

5 3#

4 œ !>

Universalmente conocida como la ecuación diferencial de las geodésicas auna variedad.En particular en nuestro problema tenemos

. 1 .1.> .> .>

3ß4œ"

#ß#534

.1#5 3#

4 œ !>


Efectuando la suma obtenemos

. 1 .1 .1 .1 .1.> .> .> .> .>

3œ"

#5 53" 3#

#5 3 " 3 ## œ !ˆ ‰> >

o sea que . 1 .1 .1 .1 .1 .1 .1 .1 .1

.> .> .> .> .> .> .> .> .>5 5 5 5"" #" "# ##

#5 " " # " " # # ## œ !> > > >

Esto para , así obtenemos el siguiente sistema5 œ "ß 5 œ #

ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰

. 1 .1 .1 .1 .1.> .> .> .> .>

" " " """ #" "# ##

# #

. 1 .1 .1 .1 .1.> .> .> .> .>

# # # #"" #" "# ##

# #

#" " " # ##

## " " # ##

œ !

œ !

> > > >

> > > >

Como y en los otros caso, obtenemos> > >" " 5#" "# 34œ œ " œ !

. 1 .1 .1.> .> .>. 1.>

#" " ##

###

# œ !

œ !

Resolviendo la segunda ecuación tenemos , por lo. 1 .1.> .> "#

# ## œ ! Ê œ G

tanto 1 > œ G > . œ B ‰ > œ B ># " " " "5Llevando este valor en la primera ecuación tenemos: . 1 .1

.> .>"#

" "# #G œ !

Haciendo , entonces .1.> ?

w w" " "

?"w

œ ? ? #G ? œ ! Í ? œ #G ? Í œ #G

Í P ? œ #G > G Í ? œ G /8 " # ##G >"

o sea que .1

.> # " # ##G > #G >" " "œ G / Í 1 > œ / .α

así 1 > œ / . œ B ‰ > œ B >" # # # ##G >α 5"

De donde se obtiene 5 αˆ ‰> œ B > ß B > œ G > . ß / ." # " " # #

#G >"

La cual es la familia de geodésicas deseadas.

65.En el problema , se probó que es una -variedad de clase '! X Q #8 V∞

¿Cómo se llama una aplicación tal que ?\ À Q X Q ‰\ œ 3.1 Q

SOLUCIÓN: La proyección es diferenciable pues, en términos1 À X Q Qde coordenadas locales en y del sistema correspondiente en

: :Qµ

X Q ß se expresa como una proyección1 .B ß B ßá ß B ß ß ßá ßá B ß B ßá ß B" # 8 " # " # 8α α α

8

La respuesta a la pregunta es ahora que la aplicación es un\ À Q X Qcampo vectorial tal que, para todo , . Esto equivale a: − Q \ : œ :1decir que un campo vectorial es una correspondencia que asocia a cadapunto un vector tangente a en el punto , siendo: − Q \ − X Q Q :: :

\ : œ :ß\ − X Q: . Luego, esta definición es equivalente a la que esdada en los diferentes textos.

66.Revise que la definición de para una función0 À X Q X R‡: : 0 :

0 À Q R7 8 está de acuerdo con la definición de la derivada de Frechet


H0 : Q œ ddado en los cursos de variedades de M. Spivak cuando y7 7

R œ8 d8.SOLUCIÓN: Sabemos de los cursos de variedades de M. Spivak que0 À Y § d d Y d

7 8 7 , abierto de es derivable en el sentido de Frecheten si existe una aplicación lineal tal que: − Y X À d d7 8

0 : 2 œ 0 : X 2 < 2

donde , se denota . Por álgebra lineal se demuestralim2Ä∞

< 2m2m œ ! X œ H0 :

que donde son las funciones coordenadas.H0 : œ l 0 À d dŠ ‹`0`B :

5 75

3

Ahora sabemos que se define por 0 À X Q X 0 \ 2 œ \ 2 ‰ 0‡: : ‡: : :0 :

Sabemos también que existe un isomorfismo dado por: À d X d8 8:

: :+ ß + ßá ß + œ + l À X d d" # 8 3 : :3œ"

8``B

" 8 83

con inversa dada por

: - - - -"

3œ"

8

3 : " # 8``BŒ

3l œ ß ßá ß . Considerando según la teoría general a

B ß B ßá ß B Q :" # 7 como un sistema de coordenadas de en yC ß C ßá ß C R 0 :" # 8 un sistema de coordenadas de en entonces

0 œ , œ 0 C‡: 53 ‡: 5` ` ` ``B `C `B `C: 0 : : 0 :5œ" 5œ"

7 8Œ Œ¹ ¹ ¹ ¹Œ3 5 3 5

œ œ¹ ¹ ¹ ¹Œ Œ Œ5œ" 5œ"

7 7` C ‰0

`B `C `B `C: 0 : : 0 :

` ``05

3 5 3 5

5

de donde se ha usado el hecho de que .C ‰ 0 œ 055

Tomemos y con los atlas canónicos y seand d d ß 3. ß d ß 3.7 8 7 8

: <À d X d À d X d7 7 8 8: : y los isomorfismos ya conocidos. Los

siguientes diagramas nos dan la respuesta porque las dos definicionescoinciden

X d X d / œ È0 0

: 37 8‡:

0 :` ``B `B `C: : 0 :

‡:

5œ"

7`0¹ ¹ ¹Œ Œ :

3 3 5

5

: < : < pues, " "ß

d d / È ß ßá ßH0 : H0 +7 8

3`0 `0 `0`B `B `B: : :

Œ ¹ ¹ ¹ " # 7

3 3 3

Estos diagramas nos completan totalmente nuestro problema.

67.Sea . Demostrar que 0 À d d 0 œ ∞> È >ß > Þˆ ‰# "

">

!sin

l

SOLUCIÓN: Tomemos la siguiente partición de Ò!ß "Ó T œ !ß ß ß ßâß ß ß ß "š ›# # # # # #

#8" #8$ #8& & $1 1 1 1 1 1

Esta partición determina sobre el camino los siguientes puntosš ›Š ‹ Š ‹ Š ‹Œ!ß ! ß ß ß ß ßâß ß ß ß ß "ß "# # # #

#8" #8" #8$ #8$ $ $# " # " # " # "

1 1 1 1 1 1 1 1

8 $ #8"

sin

Se sabe que


l 0ß : œ l0 > 0 > l3œ!

8"

33"

Realizando las sustituciones pertinentes llegamos a quel Š ‹ ˆ ‰ ˆ ‰0ß : œ â Þ"# # # # # # #

#8" #8$ #8" $ & $1 1 1 1 1 1 1 sin

œ â # " # # # # # # Þ"#8" #8$ #8" $ & $1 1š ›ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ sin

pero esta suma puede ser minorada de la siguiente manera l ˆ ‰0ß : â" " " " "

# $ % 81

Como es arbitrariamente grande, se sigue que8

l l!"

l:lÄ! 8Ä∞

" "8Œ0 œ 0ß : œ ∞Þlim lim 1

68. + T § U Ê 0ßT Ÿ 0ßU l l

, 0 œ Þ 0ß T Probar usando que + l lsupT

SOLUCIÓN: + 0ß T œ l0 > 0 > l Sabemos que l5œ!

8"

5" 5

donde es una partición de . Sea ahoraT œ Ö> ß > ßá ß > × Ò+ß ,Ó! " 8

U œ Ö= ß = ßá ß = × Ò+ß ,Ó T § U9 " 7 otra partición de tal que , esto, si existealgún tal que para algún , ahora bien= − U = − Ò> ß > Ó 5 − Ö!ß "ß #ßá ß 8×4 4 5" 5

0 > 0 > œ 0 > 0 = 0 = 0 >5 5" 5 4 4 5"

o sea que |0 > 0 > l Ÿ l0 > 0 = l l0 = 0 > l5 5" 5 4 4 5"

y por lo tanto

5œ!

8" 7"

5" 5 4" 44œ!

l0 > 0 > l Ÿ l0 = 0 = l

o sea l l0ß T Ÿ 0ßU, ! Mostremos ahora que dado , existe tal que% $

lT l Ê l 0ß T 0 l 0 œ 0ß T$ %l l l l, entonces .supT

En efecto; dada una partición , siempre se obtiene una partición másTfina que , digamos tal que , luego por T T lT l +! ! $

l l l0ß T Ÿ 0ß T Ÿ 0 ! %Si para alguna partición T 0ß T 0l lentonces sea ! Ÿ 0ß T 0% l l!

se tiene l l l lˆ ‰0ß T Ÿ 0ß T 0 0ß T!

%

lo cual es imposible , luego po 0 œ Þ 0ß Tl lsupT

Recíprocamente; supongamos que existe, de la definición de ,l 0 supdado existe tal que .% T ! Ÿ 0 0ß T ! ! #l l %

Sea , de la continuidad uniforme de la aplicaciónT œ Ö> ß > ßá ß > ßá ß > ×! ! " 5 8

0 > ß 0 > œ 0 > ß > > l Ê l0 > 0 > l Î%8" #w wexiste tal que |$ $ %

Si , entonces es más fina que y lT l T ∪ T T ! Ÿ 0 0ß T ∪ T $ ! ! ! #l l %


! Ÿ 0ß T ∪ T 0ß T † #8 œl l! %8 #% %

Por lo tanto se tiene | .l l0ß T 0 l œ% %

# # %

69.Sean caminos diferenciables . Mostrar+ß , À M d + • , À M d> È+ > • , >

$ $

que .+ • , > œ + > • , > + > • , >w w w

SOLUCIÓN: Debemos recordar algunos resultados

º º3 0 B > ß C > œB > C >B > C >

entonces" "

# #

..>

. ..> .> "

# "

" ". ..> .># #

0 B > ß C > œ B > C >

B > B >

B > C >

B > C >º º º º"

33 + > œ + > ß + > ß + > ß , > œ , > ß , > ß , > Sea " # $ " # $

+ > • , > œ ß ß+ > , > + > , > + > , >+ > , > + > , > + > , >Œº º º º º º# # " " " "

$ $ $ $ # #

además el determinante de una matriz es igual al determinante de sutranspuesta por lo tanto+ > • , > œ ß ß

+ > + > + > + > + > + >, > , > , > , > , > , >Œº º º º º º# $ " $ " #

# $ " $ " #

333 Tomando derivada

Œº º º º º º+ > • , > œ ß ß+ > + > + > + > + > + >, > , > , > , > , > , >

w # $ " $ " #

# $ " $ " #

w

œ ß ß+ > + > + > + > + > + >, > , > , > , > , > , >º º º º º º# $ " $ " #

# $ " $ " #

w w w

œ Œº º º º º º º º º º+ > + > + > + > + > + >, > , > , > , >

ß ß+ > + > + > + >, > , > , > , > , > , >

# $ " $ " #w w w w w w

# $ " $

# $ " $

# $ " $w w w w

" #

+ > + >, > , >º º" #w w" #

œ Œ Œº º º º º º º º º º+ > + > + > + > + > + >, > , > , > , >

ß ß ß , > , > , > , > , > ,

+ > + > + > + >w w w w w w# $ " $ " #

# $ " $ " #

# $ " $w w w w# $ " $

º º> , > , >ß

+ > + >" #w w" #

œ + > • , > + > • , >w w .

70.Mostrar que las tangentes a la curva parametrizada regular0 > œ $>ß $> ß #> C œ D B œ !# $ forman un ángulo constante con la recta .SOLUCIÓN: La recta puede ser escrita en la siguiente forma C œ D B œ !

< > œ !ß !ß ! > "ß !ß " < > œ >ß !ß >, o sea, en la forma . Un vectortangente a la curva tiene por ecuación . Ahora0 > œ $ß '>ß '>w #

< > † 0 > œ >ß !ß > † $ß '>ß '> œ > $ '>w # #

Por otro lado |< > l œ > > œ > #È È# #


l0 > l œ * '> $'> œ $ '> œ $ '>w ## % # #È ÉAsí el ángulo formado por , denotado por , será dado por la< > ß 0 >w )relación cosÞ œ œ œ) < > 0 > > $'>

l< > ll0 > l ##> $'>

#È Èw #

w #

o sea, =) 1arccosÈ## %

! !œ %& 5$'! œ #51

De todas maneras el ángulo formado es constante e independiente de >Þ

71.Un disco circular de radio unitario rueda sin deslizarse sobre una rectaen el plano del disco; la figura descrita por el punto de la circunferenciadel disco es llamada .cicloide

+ 0 À d d Obtenga una curva parametrizada cuyo trazo sea la cicloide#

y determine sus puntos singulares., Calcule la longitud de arco de la cicloide correspondiente a una

rotación completa del disco.SOLUCIÓN: + +<-9TU œ + † TEUs Se sabe que la longitud del

Como el círculo rueda de hasta sin deslizar, entonces .! U +<-9TU œ !U

Se observa que el camino recorrido por es proporcional al ángulo T UETs

formando con cada instante, por lo tanto podemos seleccionar el ánguloUET œ > +>ß "s como parámetro, en ese caso son las coordenadas delcentro del círculo, estamos interesados en las coordenadas delBß Cpunto . De la figura se sabe lo siguienteT B œ + Þ>ß C œ + Þ>w wsin cospor otra parte B œ +> B œ +> + Þ> œ + > Þ>w sin sin C œ " C œ " + Þ>w cosEn nuestro caso particular por lo tanto+ œ "

B œ > Þ>sin C œ " Þ>cosAsí la curva parametrizada estará determinada por 0 > œ > Þ>ß " Þ>sin cos


Hallemos los puntos singulares de la curva para esta parametrización,esto es 0 > œ " Þ>ß Þ> œ !ß !w cos sinesto implica que cos sinÞ> œ "ß Þ> œ !

o sea que > œ !ß „ # ß „ % ßá ß „ #51 1 1

, Hallemos la longitud del arco correspondiente a una rotacióncompleta del disco. l ' ' É0 œ l0 > l.> œ " Þ> > .>! !

# #w # #1 1 cos sin œ " > # Þ> > .> œ # " Þ> .>' 'È È

! !# ## #1 1cos cos sin cos

œ # " Þ> .> œ # Þ .> œ # # ÞÈ ' 'È ˆ ‰¹! !# # > >

# #

#

!

1 1 1

cos sin cos

.œ % Þ Þ! œ )cos cos1

72.Dada la curva parametrizada donde 0 = œ + ß + ß , - œ + ,ˆ ‰cos sin= = =- - -

# # #

+ = Mostrar que el parámetro es la longitud de arco, 0 Þ Determine la curvatura y la torsión de - 0 Determinar el plano osculador de .. = !\ Muestre que una recta que contenga a encuentra el eje en un(

ángulo constante e igual a 1#/ 0 !\Muestre que la tangente a forma un ángulo constante con el eje .

SOLUCIÓN: + l0 l œ "ß Según la teoría general basta probar que en efectow

0 = œ ß ßw + = + = ,- - - - -

ˆ ‰sin cos

l0 = l œ œ œ œ "w + = + = , + = = , + ,- - - - - - - - - -

# # # #É É Éˆ ‰# # # # # # #

# # # # # #sin cos sin cosˆ ‰, 5 = œ l0 = l 0 = œ ß ß !ww ww + = + =- - - -así como entonces# #cos sin

|0 = l œ œww + = =- - - -

# # l+lÉ ˆ ‰#

% #cos sin

Luego 5 = œ l+l-#

Se sabe que la torsión es tal que , de donde7 7(, = œw

y , = œ > = • = œw w 0 =m0 = m( (

ww

ww

o sea que

( ˆ ‰= œ œ ß ß !Š ‹ ß!

= =- -

+ = + =- -# #- -

+-#

cos sin, Æ+ !

cos sin

y por lo tanto (w " = " =

- - - -ˆ ‰= œ ß ß !sin cos

puesto que > = œ 0 = œ ß ßˆ ‰w + = + = ,

- - - - -sin cosse tiene que , = œ ß ß • ß ß !w + = + = , " = " =

- - - - - - - - -ˆ ‰ ˆ ‰sin cos sin cos


œ ß ß

! !

» » » » » »+ = " = + = " =- - - - - - - -

, ,- -

+ = " =- - - -

+ = " =- - - -

cos cos sin sin sin sincos cos

œ ß ß œ ß ß !ˆ ‰ ˆ ‰, = , = + = = + = = , = =- - - - - - - - + + - - -# # # # #cos sin sin cos cos sin cos sin

Ahora ,, = œ =w 7(o sea = ., = = = =

- - - - -#ˆ ‰ ˆ ‰cos sin cos sinß ß ! ß ß !7

Luego =-7 ,-#

- 0 = = El plano osculador es el engendrado por los vectores y así;´ (w

´ œ ß ß ß ß ß !’ “ˆ ‰ ˆ ‰+ = + = , = =- - - - - - -sin cos cos sin

. S^ !ß !ß = Posiblemente este mal, ya que tomando se tiene que: sea un vector sobre en ese casoS^

cosÞ œ œ œ œ !)ˆ ‰È!ß!ß= † =

l !ß!ß= ll = l =

!ß!ß= † ß ß!

=† !(

(

cos sincos sin

= =- -

# #= =- -

o sea que = ) 1#

/ . S^ Al igual que la parte , parece que esté mal, ya que tomando setiene cosÞ œ œ œ œ „:

ˆ ‰Ê È!ß!ß= †0 =

l !ß!ß= ll0 = l -

!ß!ß= † ß ß =†

l !ß!ß= l† l=l† "

,w

w

+ = + = , ,- - - - - -

+ = + = ,# # #

- - -# # ## #- -

sin cos

sin cos

o sea es un ángulo constante.:

74.Muestre que una condición necesaria y suficiente para que este0 M

sobre una esfera, es que donde y esV V X œ -98=> V œ ß X œ V# w # w# " "5 7

la derivada de en relación a y .V = V = Á !ß a=w

SOLUCIÓN: Necesidad: Considérese | .0 = l œ -98=> Í 0 = † 0 = œ -98=>#

Derivando se tiene . Derivado una vez más se tiene0 = † 0 = œ !w

0 = † 0 = 0 = † 0 = œ !ww w w

pero o sea que , además se sabe0 = † 0 = œ l0 = l œ " 0 = † 0 = " œ !w w w # ww

que , entonces0 = œ 5 = † =ww ( 5 = † = † 0 = " œ !(

de donde ( = † 0 = œ "5 =

lo cual es equivalente a ( = † 0 = œ V = "

Derivando se tiene5 = † = † 0 = " œ !(

V = = V = =ÒV = Ó V =

" w( (w w

# † 0 = = † 0 = œ !(

o sea que ÒV = = V = = Ó † 0 = V = = † 0 = œ !( ( (w w w

pero , luego( (= † > = œ = † 0 = œ !w

ÒV = = V = = Ó † 0 = œ !( (w w

Ahora de donde( 7w = œ 5> , ÒV = 5> , V = = Ó † 0 = œ !7 (w


o sea V = 5> † 0 = V = , = † 0 = V = = † 0 = œ !7 (w

pero ya que y = por lo tanto> † 0 = œ 0 = † 0 = œ ! l0 = l œ -w # "X7

- "X

wV = , = † 0 = V = = † 0 = œ !(

o sea que V = , = † 0 = XV = = † 0 = œ !w (

de esta manera se tiene V = † , = † 0 = XV = † V = œ !w

ya que se ha usado o sea entonces" = † 0 = œ V =( , = † 0 = œ XV = #w

dado que entonces se puede simplificar. Las relaciones y < = Á ! " #

implica que esta en el plano formado por y esto significa que0 = , ( 0 = œ E, F(donde y son términos por determinar y con tal fin procedemosE F , † 0 = œ E † , F † † , œ E , † , F † , œ E( (

Å, † , œ "ß • ß † , œ !(

De se tiene entonces que # E œ XV = Þw

Ahora multiplicando escalarmente por se tiene,( ( ( ( ( ( († 0 = œ † E † , F † œ E † , F † œ F

Å† œ " • , † œ !( ( (

De se tiene entonces que , por lo tanto" F œ V = 0 = œ XV = † , V =w (Ahora 0 = † 0 = œ XV = , V = † XV , V =w w( (

œ XV = , † , XV , † VXV † , V = † œ X V V œ -98=>Þw w w # w ## ##( ( ( (

Suficiencia: Veamos inicialmente que es0 = V V X,ß( w

independiente de , en efecto;= 0 = V V X, œ 0 = V V V X V X , V X,( ( (w w w w ww w w w ww

œ 0 V V , 5> V X V X , V XÅŠ ‹( 77(

w

wœ ,5>, œ

w w ww w w w( 7 7(

œ 0 V, V5> V X V X ,Å

> œ 0 ß • ßV5 œ "ß • ß X œ "w

w ww w w

7

7

œ V, V X, V X , œ V X V X ,7 ww w w ww w wVX

ˆ ‰ œ œ !

ˆ ‰VV X V X X ,

X

ww w w#

ya que por hipótesis, , derivando se tiene:V V X œ -98=># w ##

#VV # V V X # V X X œ !w w ww # w w#

como se tiene#V Á !w

,V V X V X X œ !ww # w w

o sea que 0 = V V X, œ G98=>( w

de donde


0 = œ G V X, Vw (Ahora |0 = l œ 0 = † 0 = œ G V X, V † G V X, V# w w( (

œ G V X V œ -98=># w ##

de donde se tiene el problema.

75.Mostrar que la torsión de es dada por donde7 70 = œ 0 = •0 †0 =

5 =

w ww www

#

5 = 0es la curvatura de .SOLUCIÓN:Puesto que la fórmula se transforma en,@ œ m0 m ! > œw 0

m0 m

w

w

0 œ @>w . Ahora derivando esta relación tenemos 0 œ > @> œ > 5@ww w #.@ .@

.= .= (

ya que en este caso . Efectuando el producto vectorial pedido,> œ @5w (tenemos 0 • 0 œ @> • > 5@ œ @> • > @> • 5@w ww # #.@ .@

.= .=ˆ ‰ ˆ ‰( (

œ @ > • > 5@ > • œ 5@ > • œ 5@ ,.@.=

$ $ $( (

en particular cuando la curva esta parametrizada por la longitud de arco,se tiene y en este caso @ œ " 0 • 0 œ 5, Þw ww

Ahora, 0 œ > 5@ œ > > 5 @ #5@ 5@www # w w # # w.@ . @ .@ .@

.= .= .= .=

wˆ ‰( ( ( (#

#

œ > @5 5 @ # 5@ 5@ 5@> @,. @ .@ .@.= .= .=

# ##

# ( ( ( 7

ya que en este caso - , así( 7w œ @5> @ ,

0 œ 5@ , 5 @ > # 5@ 5 @ 5@ >www $ # $ #.@ .@ . @.= .= .=7 7 ( ( (

#

#

y por lo tanto0 • 0 † 0 œ Ð 5@ , 5 @ > # 5@ 5 @ 5@ >Ñ † 5@ ,w ww www $ # $ # $.@ .@ . @

.= .= .=7 7 ( ( (#

#

œ 5 @ , † , 5 @ > † , # 5 @ † , 5 @ † , 5@ † , 5@ > † ,# ' $ ' # % $ % % $.@ .@ . @.= .= .=7 7 ( ( (

#

#

puesto que , se sigue que, † , œ "ß > † , œ !ß † , œ !(

0 • 0 † 0 œ 5 @w ww www # '7en particular cuando esta parametrizada por la longitud de arco se tiene0@ œ " 0 • 0 † 0 œ 5 ßde donde obteniéndose finalmente lo deseadow ww www #7

=-7 0 = •0 = †0 =

5 =

w ww www

#

76.Dada la función diferenciable , mostrar que la curva5 = ß = − M

parametrizada plana que tiene por curvatura es dada por5 œ 5 = ß

0 = œ Þ = .= +ß Þ = .= ,' 'cos sinα α

donde y la curva está determinada a menos de unaα )'= œ 5 = .= ß

translación del vector y de una rotación del ángulo . Use este hecho+ß , )

para determinar la curva espiral logarítmica dada por 5 = œ "= .


SOLUCIÓN:En el caso de las curvas planas de Frenet es simple. Por loß

tanto, sea denotando el ángulo que hace con eje α > BEntonces > œ Þ ß Þ œ Þ † / Þ † /cos sin cos sinα α α α" #

Nótese que debe ser . También, puesto que es ortogonal a ,l>l " >(

podemos escribir .( α αœ Þ ß Þsin cosDerivando se tiene: > œ Þ ß Þ œ Þ ß Þ œw w w w wα α α α α α α α (sin cos sin cosy ( α α α α α α α αw w w w wœ Þ ß Þ œ Þ ß Þ œ >cos sin cos sinPero cuando las fórmulas de Frenet se reducen a: 7 ( (œ ! > œ 5 ß œ 5>w w

Así cuando y de arriba son soluciones de la ecuación , entonces> œ 5( αw

α )'= œ 5 = .= "

Habiendo determinado , tenemos entoncesα 0 = œ >.= G œ Þ = .= +ß Þ = .= , #' ' 'cos sinα α

Obteniéndose que el cambio en la constante de integración en define"la translación en y por lo tanto una rotación de la curva alrededor delα =origen. Un cambio en la constante de integración en define la#transformación de la curva. Nótese que si para todo , entonces5 Á ! =

αw Á ! =Þ para todo Esto nos lleva a introducir como el parámetro en ,α αœ = #obteniéndose .0 = œ Þ = ß Þ = . G œ Þ = ß Þ = . G' 'cos sin cos sinα α α α α α.= "

. 5 =α

Las ecuaciones son las ecuaciones intrínsecas de la espiral5 œ ß œ !"= 7

logarítmica. Por lo tanto entonces , esto esα αw "= "œ 5 œ œ Þ= Glg

= œ / 5 œ œ /α αG G"=

" " y , se sigue que 0 œ Þ ß Þ . G œ / Þ ß Þ . G' 'α α α α α α α"

5 # #G

ααcos sin cos sin"

œ / Þ . ß / Þ . Gˆ ‰' 'α αG G#

" "cos sinα α α α

œ / Þ Þ ß / Þ Þ Gˆ ‰‡" "# #

G G#

α α" "cos sin sin cosα α α α

œ / # Î% ß # Î% G"#

G"#

α Š ‹È ÈŠ ‹cos sinα 1 α 1

Si escogemos y , obtenemosG œ Î%ß G œ ! œ Î%" #1 " α 1

0 œ / Þ ß Þ" " ""

#È " cos sin

la cual es en coordenadas polares la espiral logarítmica.' '‡ G G G" G/ Þ . œ / Þ / Þ / Þ .α α α α" " "cos cos sin cosα α α α α α Å

integrando por parteso sea .# / Þ . œ / Þ Þ' α αG G" "cos cos sinα α α α


Análogamente # / Þ . œ / Þ Þ' α αG G" "sin sin cosα α α α

77.Sean espacios vectoriales de dimensión finita, dotados deIß J

producto interno. Dada una transformación lineal probar queX À I J ß

las siguientes afirmaciones son equivalentes:3 ?ß @ − I X?ß X@ œ ?ß @ Cualesquiera sean , se tiene 33 lX?l œ l?l ? − I Se tiene para todo 333 Ö/ ß / ßá ß / × IDado cualquier conjunto ortonormal en ," # 8

ÖX/ ß X/ ßá ß X/ ×" # 8 es un conjunto ortonormal.3@ I XExiste una base ortonormal de que es transformada por en una

base ortonormal de J .SOLUCIÓN: 3 Ê 33 Obviamente se tiene, ya que lX?l œ X?ß X? œ ?ß ? œ l?l

# 3 #

33 Ê 333 Ö/ ß / ßá ß / × I Si es un conjunto ortonormal de , entonces" # 8

si si / ß / œ œ

"ß 3 œ 4!ß 3 Á 43 4 34œ $

Ahora sea la imagen de por , veamosÖX/ ß X/ ßá ß X/ × Ö/ ß / ßá ß / × X" # 8 " # 8

que es ortonormal, , X/ ß X/ œ / ß / œ ! 3 Á 43 4 3 4

‡

X/ ß X/ œ / ß / œ "ß 3 œ 43 3 3

‡

3

‡ Se conoce la siguiente identidad Bß C œ ÖmB Cm mB Cm ×

""%

# #

Así, X/ ß X/ œ ÖmX/ X/ m mX/ X/ m ×3 4 3 4 3 4

"%

# #

œ ÖmX / / m mX / / m ×"% 3 3 4

# #ˆ ‰4

œ Öm/ / m m/ / m × œ / ß / œ33 "

% 3 4 3 4 3 4 34# # $

" Esta identidad es válida cuando son espacios reales, en el casoIßJcomplejo tomando el producto interno bajo la forma:

Bß C œ 3 mB 3 Cm8œ"

%8 8 #

y la identidad también se tiene en el caso complejo.333 Ê 3@ IComo es un espacio de dimensión finita, entonces existeÖ@ ß @ ßá ß @ × I" # 8 una base de , entonces por el proceso de Gram-Schmidtconstruimos un conjunto ortonormal dondeÖA ßA ßá ßA ßá ßA ×" # 3 8

A œ ß A œ @ A ß 3 œ #ß $ ßá ß 8" 3 3 5@l@ l mA m

5œ"

3"@ ßA "

" 5

3 5


este conjunto claramente es ortonormal, por ejemplo veamos que esortogonal

A ßA œ @ ßA "3 3 45œ"

3"@ ßA A ßA

mA m4

3 5 5 4

5

para se tiene 4 œ "ß 3 œ # à

A ßA œ @ ßA œ @ ßA @ ßA A ßA # " " " " " " " " "@ ßA A

mA m" " "

" ÅlA l œ "

"

œ @ ßA @ ßA A ßA œ @ ßA @ ßA lA l" " " " " " " " " " "#

œ @ ßA @ ßA œ !Å

lA l œ ""#

" " " "

Supongamos inductivamente que A ßA œ !ß 5 Á 4 #5 4

para comprobemos que es igual a 3 Ÿ 4 Ÿ 3 4 " !

A ßA œ @ ßA 3 4 3 45œ"

3"@ ßA A ßA

mA m3 5 5 4

5

œ @ ßA œ @ ßA 3 4 3 4@ ßA A ßA @ ßA mA m

mA m mA m3 4 4 4 3 4 4

4 4

#

œ @ ßA @ ßA mA m œ @ ßA @ ßA œ !Å

mA m œ "

3 4 3 4 4 3 4 3 4

4

En forma análoga se muestra la ortonormalidad, así por se tiene333 ÖXA ß XA ßá ß XA × œ" # 8 ´

es un conjunto ortonormal de , además,J es linealmente´independiente ya que - - -" " # # 8 8XA XA â XA œ !

multiplicando por se tieneXA3

- - -" " 3 3 3 3 8 8 3<XA ß XA â XA ß XA â XA ß XA œ !

entonces -3 œ !ß a3 œ "ß #ß ßá ß 8

´ es una base Í I œ .37JSe acepta el hecho de que sea sobreyectiva, en ese caso seaX tal que C − J Ê bB − I œ ÒA ßA ßáA Ó XB œ C" # 8

pero o sea obteniéndose B œ A Ê XB œ X A C œ XA CŒ3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8

3 3 3 3 3 3- - -

como una combinación lineal de .ÖXA ß XA ßá ß XA ×" # 8

3@ Ê 3 Ö+ ß + ßá ß + × I Sea una base ortonormal de ," # 8

?ß @ − I œ ÒÖ+ ßá ß + ×Ó Í ? œ + • @ œ +" 8 3 3 3 33œ" 3œ"

8 8

- .

ahora ?ß @ œ + ß + œ + ß +

3œ" 4œ" 3œ"4œ"

8 8 8 8

3 3 4 4 3 4 3 4- . - .

œ + ß + œ3œ" 3œ"

8 8

3 3 3 3 3 3- . - .

Por otra parte


X?ß X@ œ X + ß X + œ X+ ß X+ Œ3œ" 4œ" 3œ" 4œ"

8 8 8 8

3 3 4 4 3 3 4 4- . - .

œ X+ ß X+ œ X+ ß X+ œÅ3@

3œ" 4œ" 3œ" 3œ"

8 8 8 8

3 4 3 4 3 3 3 3 3 3- . - . - .Å

X+ ß X+ œ "3 3

esto implica que . X?ß X@ œ ?ß @

78.Sean espacios vectoriales de dimensión finita provisto deIßJ

producto interno. Consideremos y como espacios métricos conI J

distancia dada por la norma. Sea una aplicación que preserve la0 À I J

distancia, esto es para cualquier . Probarl0 B 0 C l œ lB Cl Bß C − I

que existen un vector y una isometría lineal tales que, − J X À I J

0 B œ X † B , para todo .B − I

SOLUCIÓN: Sea . Claramente esta bien definida yaX À I J XB ÈX † B œ 0 B 0 !

que si además es un espacio vectorial entoncesB œ C Ê 0 B œ 0 C J X † B œ 0 B 0 ! œ 0 C 0 ! œ X † CSe tiene que ahora tenemosX † ! œ 0 ! 0 ! œ !ß

" lX † B X † Cl œ l0 B 0 ! 0 C 0 ! l œ l0 B 0 C l œ lB Clß aBß aC

# lX † Bl œ lX † B X † !l œ lB !l œ lBlß aB − I

$ lXB XCl œ X † B X † Cß X † B X † C œ#

œ X † Bß X † B # X † Bß X † C X † Cß X † C

œ lX † Bl # X † Bß X † C lX † Cl œ lBl # X † Bß X † C lCl# # # ##

% lB Cl œ B Cß B C œ Bß B # Bß C Cß C #

œ lBl # Bß C lCl# #

Simplificando y realizando las operaciones convenientes se tiene XBß XC œ Bß C "

' Ö/ ß / ßá ß / × Iß Sea una base ortonormal de entonces" 8#

ÖX/ ß X/ ßá ß XI × J ? œ ? /" # 8 3 33œ"

8

es un conjunto otonormal de , ya que sean

y veamos que ya queX ? / œ ? X / œ @Œ3œ" 3œ"

8 8

3 3 3 3

m X ? / ? X / m œ mX ? @m Œ3œ" 3œ"

8 8

3 3 3 3

œ X ? / ? X / ß X ? / ? X / Œ Œ3œ" 3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8 8

3 3 3 3 3 3 3 3

œ mX?m m@m # ? X?ß X/ œ #m?m # ? ?ß / # # #

3œ" 3œ"

8 8

3 3 33 Åm?m œ m@m X/ ß X / œ / ß / ,puesto que < 3 4 3 4

œ #m?m # ?ß ? / œ #m?m #m?m œ !# # #

3œ"

8

3 3


así es una base del espacio vectorial que es un subespacio vectorialX Ide J Þ

( B − I B œ B / X † B Sea , así , consideremos su imagen y examinemos3œ"

8

3 3

su -ésima componente4

XBß X/ œ Bß / œ B / ß / œ B / ß / œ B4 4 3 3 4 3 3 4 43œ" 3œ"

8 8

Sea ahora otro elemento; , consideremos la imagen yC − I C œ C / X † C3œ"

8

3 3

examinemos su -ésima componente4

<XCß X/ œ Cß / œ C / ß / œ C / ß / œ C4 4 3 3 4 3 3 4 43œ" 3œ"

8 8

Claramente por el hecho de ser espacio vectorial se tiene:I B C − Iß

B C œ B / C / œ B C /3œ" 3œ"

8 8 8

3 3 3 3 3 3 36œ"

consideremos ahora su imagen por o sea y como lo venimosX ß X B Chaciendo obtenemos su -ésima coordenada ó componente4

X B C ß X/ œ B Cß / œ B C / ß / 4 4 3 3 3 43œ"

8

œ B C / ß / œ B C3œ"

8

3 3 3 4 4 4

Puesto que es un subespacio vectorial podemos pensar enX I X B C X † B X † Cy observemos su -ésima componente (fija durante todo el razonamiento)4 X B C X † B X † Cß X/ œ4

œ X B C ß X/ X † Bß X/ X † Cß X/ œ B C B Cˆ ‰4 4 4 4 4 44

o sea X B C X † B X † Cß X/ œ !4

Esto se puede hacer para cada luego4 X B C X † B X † C œ !Por lo tanto X B C œ XB XC

Ahora hacemos un razonamiento análogo con , donde es algún- -B − Iescalar no nulo - - -B œ B / œ B /

3œ" 3œ"

8 8

3 3 3 3

podemos considerar y observar su -ésima coordenadaX B 4-

X B ß X/ œ Bß / œ B / ß / œ B / ß / - - - -4 4 3 3 4 3 3 43œ" 3œ"

8 8

œ B / ß / œ B3œ"

8

3 4 4- -3

Por otra parte , entonces tómese y obsérvese suX B − X I X B-4-ésima coordenada


X B ß X/ œ X B ß X/ œ Bß / œ B / ß / œ- - - -Œ4 4 4 3 3 43œ"

8

œ B / ß / œ B- -Œ3œ"

8

3 3 4 4

o sea <- -X B ß X/ œ B4 4

Ahora tomemos y calculemos su -ésimaX B X B − X I 4- -componente X B X B ß X/ œ X B ß X/ XB ß X/ - - - -4 4 4

œ B B œ !- -4 4

Esto implica que ya que el proceso se puede hacer a4 X B X B œ ! Í X B œ X B- - - -

De todo lo anterior se sigue que es una isometría lineal sobre suXimagen o lo que es lo mismo una isometría de en .I J

79.Sean y como en el problema anterior. Probar que las siguientesI J

afirmaciones con respecto a una transformación lineal sonX À I J

equivalentes3 Y À I J Á ! Existe una inmersión isométrica y una costante real 3

tales que .X œ Y3

33 Á ! X?ß X@ œ ?ß @ Existe una constante real tal que para3 3#

cualquier .?ß @ − I

333 Ö/ ß / ßá/ × I Para toda base ortonormal en , los vectores" # 8

ÖX/ ß X/ ßá ß X/ ×" # 8 son dos a dos ortogonales y tienen la misma longituddiferente de .!3@ Á ! lX?l œ l?l ? − I Existe real, constante con para todo 3 3

@ I Existe una base ortonormal de formada por vectores cuyostranformados son dos a dos ortogonales y tienen la misma longitud Á !

SOLUCIÓN: Por hipótesis de implicación existe real, ahora 3 Ê 33 Á !3

X?ß X@ œ Y ? ß Y @ œ Y ? ßY @ œ ?ß @ 3 3 3 3# #Å

Y es isometría33 Ê 333 ÖX/ ß X/ ßá ß X/ × Sea el conjunto imagen de la base ortogonal" # 8

Ö/ ß / ßá ß / ×" # 8 , X/ ß X/ œ / ß / œ † ! œ !3 4 3 4

# #33 3 Á 43 3

X/ ß X/ œ / ß / œ a3 œ "ßá ß 83 3 3 3# #3 3

o sea que | , X/ l œ l l a3 œ "ß #ßá ß 83 3

333 Ê 3@ Á !Por hipótesis de implicación existe real tal que3

| , X/ l œ a3 œ "ß #ßá ß 83 3


para esta base ortonormal sea , entonces .Ö/ ß / ßá ß / × ? − I ? œ /" # 8 3 33œ"

8

-

Así tenemos

lX?l œ X?ß X? œ X / ß X / #

3œ" 4œ"

8 8

3 3 4 4Œ - -

œ X / ß X / œ X/ ß X/ œ3œ" 4œ"

8 8

3 3 4 4 3 4 3 4 33 4 3

#- - - - - 3

œ œ / ß / œ / ß / œ l?l3 - 3 - - 3 - - 3# # # # # #

3 3 4 43 3 4 3 4 3 3 4 4

6Œ

Así lX?l œ l?l3

3@ Ê @ Ö@ ß @ ßá ß @ × ISi es una base arbitraria del espacio vectorial ," # 8

entonces según el proceso de Gram-Schmidt existe una base ortonormalde dada por , donde ya lo dijimosI ÖA ßA ßá ßA ×" # 8

A œ ß A œ @ ß 3 œ #ß $ßá ß 8" 3 3@l@ l mA m

5œ"

3"@ ßA A"

" 5

3 5 5

Ahora, esta base es transformada por en .X ÖXA ß XA ßâß XA ×" # 8

Conocemos una identidad llamada "identidad polarizada" dada por , o en Bß C œ lB Cl lB Cl aBß aC − I J" "

% %# #

esta identidad es verdadera en efecto, se supone Bß C œ Cß B " " " "

% % % %# #lB Cl lB Cl œ B Cß B C B Cß B C

œ Ö Bß B # Bß C Cß C Bß B # Bß C Cß C ×"%

œ % Bß C œ Bß C "%

Teniendo en cuenta la anterior identidad, se tiene, XA ß XA œ lXA XA l lXA XA l3 4 3 4 3 4

" "% %

# #

œ lX A A l lX A A l œ lA A l lA A l" " " "% % % %3 4 3 4 3 4 3 4

# # # # # #3@3 3

, œ Ö lA A l lA A l × œ A ßA œ † ! œ ! 3 Á 43 3 3# # # # #" "% %3 4 3 4 3 4

Por otra parte lXA l œ lA l œ ß a3 œ "ß #ßá ß 8Þ3 33 3

@ Ê 3 X À I J Ö/ ß / ßá ß / ×B È XB

Sea dada en la hipótesis general. Sea " # 8

una base ortonormal de la cual existe por hipótesis, también se tieneIque , .lX / l œ Á ! a3 œ "ß #ßá83 3

Definimos Y À I JB È XB

3

Y X es una transformación lineal, ya que lo es Y B C œ œ œ œ Y B Y C- . - . - .X B C XB XC XB XC- .

3 3 3 3- .

Ahora es una isometría, ya queY

lYBl œ l l œ lXBl œ XBß XB œ X / ß X / # # #XB " " "

3 43 3 4 43 3 3 3# # # Œ - -

œ X/ ß X/ œ X/ ß X/ œ X/ ß X/ " " "

3 4 3 4 33 3 4 4 3 4 3 4 3 33

#3 3 3# # #- - - - -


œ œ"

3 33 3# # #

3# - 3 -

por otra parte, lBl œ Bß B œ / ß / œ / ß / œ# #

3 4 3 4 33 3 4 4 3 4 3 4 3- - - - -

Luego | YBl œ lBlß aB − I

esto implica por un problema anterior que es una inmersión isométrica.Y

80.Sea un abierto. Una aplicación diferenciable se llamaY § d 0 À Y d7 8

conforme cuando , para cada , la derivada es unaB − Y 0 B À d dw 7 8

transformación lineal conforme. Probar:+ À d d La parametrización estereográfica , dada por: # $

: Š ‹Bß C œ ß ß#BB C " B C " B C "

#C B C "# # # # # #

# #

es conforme., 0 À Y d Se dice que una aplicación diferencial preserva ángulos8

cuando, para cada y cada par de caminos regulares B − Y ß À ß Y- . % %

con se tiene- .! œ ! œ Bß

cos cosèëëëéëëëê èëëëëëëëëéëëëëëëëëêÒ ! ß ! Ó œ Ò 0 ! ß 0 ! Ó

s s- . - -w w w w

Pruebe que es conforme, sí y solamente si, preserva ángulos0 .SOLUCIÓN: Tomemos la base natural de , la cual como es+ Ö/ ß / × d" #

#

sabido, es una base ortonormal. Miremos sus imágenes, la:w # $À d dcual es una transformación lineal inyectiva de rango .#

``C

w#

#C #B # B C " #C #C #C B C "B C "

B C " B C " B C "

: œ Bß C † / œ ß ß: Š ‹# # # # # ## # #

# # # # # #

``B

w"

# B C " #B #B #C #B #B B C " #B B C "

B C " B C " B C "

: œ Bß C † / œ ß ß: Š ‹# # # # # #

# # # # # ## # #

Ahora calculemos el producto interno de estas dos ` `

`B `C)BC B C " )BC B C "

B C " B C " B C "

"'BC: :† œ Š ‹# # # #

# # # # # #% % %

-

œ œ !)BCÒB C "B C "#Ó

B C "

# # # #

# # %

Ahora ¹ ¹`

`C

#"'B C "'C

B C " B C " B C "

% B C ": Bß C œ # # #

# # # # # #% % %

# # #

œ %B C B C " #B #B C #C %C%B C "

# # % % # # # # %# # %

ˆ ‰ œ œ% B C "

B C "%

B C "

# # #

# # % # # #

¹ ¹ Š ‹``B

#"

B C "# # # # ##: BÞC œ % C B " "'B C "'B

# # %

œ B C " œ% %B C "

# # #

B C "# # % # # #


Esto indica que la imagen de una base ortonormal es un conjuntoortogonal y tienen la misma longitud luego es una:w # $À d dtransformación conforme y por lo tanto es una aplicación conforme.:, 0 b Á ! Supongamos que es conforme esto es tal que3

0 ! ß 0 ! œ ! ß ! - . 3 - .w w # w w

entonces

cos cosèëëëëëëëëéëëëëëëëëê èëëëéëÒ 0 ! ß 0 ! Ó œ œ œ

s- .w w 0 ! ß 0 ! ! ß !

l 0 ! ll 0 ! l l ! ll ! lˆ ‰- . 3 - .

- . 3 - .

w w

w w

# w w

# w w

ëëêÒ ! ß ! Ó

s- .w w

Recíprocamente, supongamos que esta definida en un conjunto abierto0y sea tomemosB − Y , ,- . - - .> œ B > Ê ! œ B • ! œ‡ w ‡

, ,. . .> œ B >@ Ê ! œ B • ! œ @w

esto para todo , tan pequeño de modo que ,> − ß > ß > − Y% % % - .esto siempre es posible puesto que es abierto. Ahora sabemos queY

.0 B † ß0 B †@l0 B † ll0 B †@l l ll@l

ß@w ‡ w

w ‡ w ‡

‡.. .

.œ

Se tiene3 Ö/ ß / ßá ß / × d ß Sea base ortonormal de veamos que" # 8

8

Ö0 B / ß 0 B / ßá ß 0 B / ×w w w" # 8 es un conjunto ortonormal, en efecto,

0 B / ß0 B / / ß/ l0 B / ll0 B / l l/ ll/ l 3 4

w w3 4 3 4

w w3 4 3 4

œ œ / ß / œ !

Luego < 0 B / ß 0 B / œ !ß 3 Á 4w w3 4

33 0 B / l œ l0 B / l Á ! a3 Á 4 Veamos que | , w w3 4

puesto que preserva ángulos, se tiene .0 B œw wα α

Luego , entonces sea entonces " œ œ l0 B / l œ l0 B / lßl/ l l0 B / ll/ l l0 B / l

w w3 4

4 4

3 3

w

w

| por la parte del problema anterior se0 B † / l œ Á !ß 3 œ "ß #ßá ß 8 333w3 3

cumple entonces que es conforme.0 w

81.Hallar los puntos de la esfera en los cuales la funciónB C D œ -# # #

0 Bß Cß D œ B C D# # # alcanza su valor máximo. Calcular ese máximo. Concluirque la media geométrica de tres números positivos no excede su mediaaritmética.SOLUCIÓN: 1<+.Þ0 œ #BC D ß #B CD ß #B C D# # # # # #

1<+.Þ1 œ #Bß #Cß #D

Puesto que se debe tener, , se tiene que1<+.Þ0 œ 1<+.Þ1-

#BC D œ # B Ê B C D œ B# # # # # #- -

#B C D œ # C Ê B C D œ C# # # # # #- -

#B C D œ # D Ê B C D œ D# # # # # #- -


Sumando tenemos o sea que$B C D œ B C D œ -# # # # # #- -

B C D œ Þ# # # -$-

Además se tiene - - -B œ C œ D œ B C D# # # # # #

De las dos últimas relaciones se recibe - - - -B œ C œ D œ# # # -

$

o sea que B œ C œ D œ# # # -

$

de donde B œ C œ D œ „ È -

$

Así tenemos entonces que 0 Bß Cß D œ „ „ „ œˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰È È È- - - -

$ $ $ #(

# # # $

Este valor es el máximo ya que el mínimo se encuentra en el punto!ß !ß ! Þ Esto implica que

, 0 Bß Cß D Ÿ 0 „ ß „ ß „ aBß aCß aDˆ ‰È È È- - -$ $ $

o sea que B C D Ÿ œ# # # G

#( #(B C D$ # # # $

esto implica que È$ # # #

B C D Ÿ# # # B C D$

de donde la media geométrica de números positivos es menor o igual a lamedia aritmética, lo cual queriamos probar.

82.Sean una superficie definida implícitamente por yW § d Bß Cß D œ !$ :

: œ +ß ,ß - − d W$ un punto fuera de . Use el método de los multiplicadoresde Lagrange para probar que si es un punto situado a una; œ Bß Cß D − W

distancia mínima de entonces es normal a la superficie .: ß :; W

SOLUCIÓN: Sea 0 À d d; Èl; :l

$

#

así ß 0 ; œ ; :ß ; : œ B +ß C ,ß D - ß B +ß C ,ß D - Se sabe que para un particular de se tiene el mínimo de sobre ,; W 0 Wentonces según los métodos de multiplicadores de Lagrange se tiene queen , esto implica que y son; À 1<+. ; œ 1<+. 0 ; 1<+. ; 1<+. 0 ;: - :paralelos pero es normal a en , entonces es normal1<+. ; W ; 1<+. 0 ;:a , pero y por otra parteW 1<+. 0 œ B +ß C ,ß D -:; œ B +ß C ,ß D - :;, esto implica evidentemente que; es normal aWß lo cual queríamos probar

83.Sean números tales que Probar que+ß ,ß -ß .ß /ß 0 ß 1 /1 0 !Þ#

3 /B #0BC 1C œ ! Bß C B œ C œ ! Se tiene para reales, si y sólo si # #


33 W œ Ö Bß C − d À /B #0BC 1C œ "×El conjunto es una curva# # #

compacta333 À d Ö !ß ! d Bß C œLa función definida por posee el: :# +B #,BC-C

/B #0BC1C

# #

# #

máximo y el mínimo en d Ö !ß ! ×#

3@ El máximo y el mínimo de son las raíces de la ecuación: -

-# # #/1 0 +1 #,0 /- +- , œ !-

SOLUCIÓN: Si entonces claramente3 B œ C œ !

/B #0BC 1C œ / † ! #0! † ! / † ! œ !# # # #

Ahora supongamos que /B #0BC 1C œ !# #

como /1 0 ! Í /1 0 !# #

entonces , así podemos factorizar , nos queda/ !ß 1 ! /

/ B # BC C C C œ !Š ‹# # # #0 0 1 0/ / / /

# #

# #

Í B C / 1/ 0 C œ ! Ê B C œ ! • / 1/ 0 C œ ! Š ‹0 0/ /

## # # # # #

pero luego , por lo tanto como/ !ß 1/ 0 ! C œ ! B C œ !ß# 0/

entonces .B œ !

33 W " Veamos que es una curva, para esto veamos que es un valorregular de . Estudiemos los puntos críticos de: Bß C œ /B #0BC 1C "# #

esta función f œ #/B #0Cß #0B #1C œ !ß ! Í: Š ‹# /B0C œ!

# 0B1C œ!

o sea ” •” • ” •/ 0 B !0 1 C !

œ

Este sistema homogéneo de ecuaciones tiene la propiedad de tener sudeterminante diferente de cero ya que . Luego tieneß ß œ /1 0 !

/ 00 1º º #

una única solución que es justamente la solución trivial . Así esB œ C œ ! "

un valor regular y es la imagen recíproca de un valor regular por ,W :luego es una curva.Ahora se sabe que si el discriminante es mayor que cero, la formacuadrática correspondiente es una elipse, pero esto se tiene ya que %0 %/1 œ % 0 /1 !# #

por lo tanto la curva es una elipse, así la curva es cerrada en luego pord#

un teorema bien conocido de topología, es un conjunto compacto.W

333 À d Ö !ß ! × d Bß C œ Sea definida por . Veamos que: :# +B #,BC-C/B #0BC1C

# #

# #

es , : - - -Bß C − d Ö !ß ! ×

: - - :Bß C œ œ œ Bß C+ B #, B C - C +B #,BC-C

/ B #0 B C 1 C /B #0BC1C- - - - -

- - - - -

# #

# #

# # #

# # #


Luego es una función homogénea de grado . Se sabe que es un: Bß C ! W

conjunto compacto según , entonces toda función continua definida33sobre él, toma máximo y mínimo sobre .WSea un punto en el cual toma un máximo sobre , entoncesB ß C − W W! ! :: - - :B ß C d Ö !ß ! ×! !

# es un máximo de en , esto debido justamente alhecho de ser homogénea, ya que si es un punto: B ß C − d Ö !ß ! ×" "

#

distinto de donde toma máximo, entonces existe tal que- - : .B ß C! !

. . . . :B ß C − W B ß C Á B ß C" " " " ! W y el cual era el punto donde | era!

máximo, esto es contradictorio, Luego es un valor máximo.po B ß C: - -! !

Análogamente si es un punto donde | toma mínimo entonces5ß 6 : W

- - : : - -5ß 6 d Ö !ß ! ×ß 5ß 6 es un punto donde toma mínimo en y será#

mínimo por lo tanto.3@ W /B #0BC 1C œ "Como sobre , , basta entonces hallar los máximos# #

y mínimos de la función sobre claramente.0 Bß C œ +B #,BC -C W# #

Según el método de los multiplicadores de Lagrange se tiene f0 œ #+B #,Cß #,B #-C œ #/B #0Cß #0B #1C-o sea # +B ,C œ # /B 0C-

# ,B -C œ # 0B 1C-

en escritura matricial, tenemos ” •” • ” •” •+ , B / 0 B

, - C 0 1 Cœ -

Como entonces existe o sea queº º ” •/ 0 / 00 1 0 1

œ /1 0 !#"

” • ” •” • ” •/ 0 + , B B0 1 , - C C

œ"

-

o sea Q\ œ \-

donde Q œ ß • ß \ œ/ 0 + , B0 1 , - C” • ” • ” •"

Esto implica que el máximo de es el mayor valor propio de la matriz0Qß 0 Qßy el mínimo de es el menor valor propio de luego hallemos estosvalores propios

” • ” •/ 0 1 00 1 0 /

œ"

"/10#

Así; Q œ œ1 0 + , 0 / , -

"O

+1,0 ,10-O O

/,+0 -/0,O 5

” •” • – —La ecuación característica sera:

lQ Ml œ œ !

-

-

-» »+1,0 ,10-O O,/+0 -/0,

O O

o sea


"O# º º+1 ,0 O ,1 0-

,/ +0 -/ ,0 Oœ !

--

de donde Ò +1 ,0 OÓÒ -/ 0, OÓ ,/ +0 1, 0- œ !- -

o sea+1 ,0 -/ 0, O +1 #,0 -/ , /1 +,10 ,-/0 O +0 - œ !- -# # # #

o sea que +-/1 ,-/0 , 0 +,10 O +1 #,0 -/ , /1 +,10 # # #-

+-/0 +-0 O œ !# # #-

de donde +- /1 0 , /1 0 O +1 #,0 -/ O œ !# # # # #- -

Í O +- , O +1 #,0 -/ O œ !# # #- -

Simplificando se tiene que los valores propios de son lasO œ /1 0 Q#

raíces de la ecuación - -# # #/1 0 +1 #,0 -/ +- , œ !

lo cual deseábamos demostrar.

84.Muestre que el parabolóide es difeomorfo al plano.D œ B C# #

SOLUCIÓN: Sea un parabolóide definido por .W Bß C œ Bß Cß B C: # #

Claramente es una parametrización de y por lo tanto es un: :W Bß Chomeomorfismo local y es un difeomorfismo. Ahora:

W d ‚ d œ dBß Cß B C È Bß C# #

#<

cuya matriz Jacobiana tiene rango la proyección ” •" ! #B! " #C

#ß <

o función altura es diferenciable como su inversa es que es:diferenciable se sigue que y son difeomorfos.W d#

85.Construya un difeomorfismo entre la elipsoide B D+ , -

C# #

# # #

#

œ "ß

+ , - y la esfera B C D œ "Þ# # #

SOLUCIÓN: Sea I œ Ö Bß Cß D Î œ "×B D+ , -

C# #

# # #

#

W œ Ö Bß Cß D − d ÎB C D œ + ×# $ # # # #

Considérese ) À d dBß Cß D È Bß Cß D

$ $

+ +, -

ˆ ‰) es una biyección y es diferenciable, su inversa )" $ $

, -+ +

À d dBß Cß D È Bß Cß Dˆ ‰

también es diferenciable, luego es un difeomorfismo en . Ahora) d$

consideremos | ) I

$

+ +, -

œ 0 À I dBß Cß D È Bß Cß Dˆ ‰

El recorrido de es ya que0 W#


B C D œ B C D œ + œ +Å

Bß Cß D − I

# # # # # #+ + + + B D, - , - + , -

# # Cˆ ‰ ˆ ‰ Š ‹# # # #

# # # # #

#

su inversa es )" " # $W

, -+ +

l œ 0 À W dBß Cß D È Bß Cß D

# ˆ ‰El recorrido de es , ya que0 I"

B B D ++ , - + + + + +

C D C B C D# # # #

# # # # # # # #

, -+ +

# ## # # #

œ œ œ œ "ˆ ‰ ˆ ‰ Æ

Bß Cß D − W#

Luego es un difeomorfismo de sobre como0 À I W I WBß Cß D È Bß Cß Dˆ ‰# #

, -+ +

queríamos mostrar.

86.Muestre que la definición de diferenciabilidad de una función) )À Y § W d dada en los textos, es equivalente a la siguiente: esdiferenciable en , si es la restricción de una función diferenciable a: − Y

un abierto de que contiene a d :Þ$

SOLUCIÓN: Ê Z § d d : l À Z d) Sea abierto de que contiene a , es$ $ $Z)

diferenciable. Sea una parametrización tal que : :À [ [ : œ :ß! !

: − [ [ œ Z ∩ Y À [ d! ! [. Ahora tomando se tiene que | es)diferenciable, ya que | coincide con pues . Ahora) )[ Zl [ § Z

) : ) :‰ ‰= | es diferenciable.[

É " : − Y W À Y Y : œ :) Sea , una parametrización de , tal que : : :! !

donde , es dada en la siguiente forma: œ ? ß @ − Y § d! ! ! !# :

: : : :?ß @ œ ?ß @ ß ?ß @ ß ?ß @" # $

Además según la definición de parametrización, se puede suponer ` ß

?ß@: ::

" # Á !

Definimos a continuación una extensión de de la siguiente forma: F

: : :À Y ‚ d d

?ß @ß > ?ß @ ß ?ß @ ß ?ß @ >È!

$

" # $

cuya matriz Jacobiana

N+-9, œ

!

!

"

F

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

` ``? @` ``? `@` `? `@

: ::

: :

: ::

" "

# #

$ $

tiene la propiedad de tener

./> N+-9, œ œ Á !F » »` ``? `@` ` ?ß@`? `@

` ß: :

: : :: :

" "

# #

" #

Además .F : : : :? @ ß ! œ ? ß @ ß ? ß @ ß ? ß @ œ : œ :!ß ! " ! ! # ! ! $ ! ! !

Aplicando el teorema de la función inversa se tiene que existe unavecindad abierta de digamos una vecindad abierta de: œ ? ß @ ß ! [ ß Z! ! ! : :!


: œ :F F! tal que es un difeomorfismo y donde existe su inversa,denotémosla , así0 , ,0 À [ Z 0 : œ :: : !!

0 es un difeomorfismo.$ Definimos a continuación la siguiente función

)

) :

µÀ [ § Y ‚ d d

?ß @ß > È ?ß @ † /!

>

esta función es la composición de funciones diferenciables, porconsiguiente es diferenciable. Tomando = se obtiene el) ) )

µ µ µµ‰ 0"

resultado deseado ya que ) )µµ

œ¹Z ∩W

En efecto, basta estudiarlo en el punto .:) ) ) ) ) ) : )µ µ µ µ µµ

: œ ‰ 0 : œ 0 : œ : œ ? ß @ ß ! œ ? ß @ Þ/ œ :Š ‹" " !! ! !! !

87.Muestre que los planos tangentes a la superficie dada porD B0 œ ! !ß !ß ! Þˆ ‰C

B , pasan todos por el origen SOLUCIÓN: Sea . Sea un punto cualquiera de la: ˆ ‰Bß Cß D œ D B0 :C

B !

superficie definida por . El plano tangente viene dado por: Bß Cß D œ ! X W:!

la ecuación B B : C C : D D : œ !! ! ! ! !

` ` ``B `C `D: : :

!

Ahora, aplicando adecuadamente la regla de la cadena se tiene `

`B `B B `B B B `B B` ` `C C C C: œ ÖD B0 × œ ÖB0 × œ 0 B 0ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰

œ 0 BÖ0 × œ 0 Ö0 ×ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰C C C C CB B `B B B B

w w`ˆ ‰CB

En particular se tiene en :! `

`B B B B! !C C Cw: ˆ ‰ Š ‹: œ Ö0 × : 0! !

! !

Ahora `

`C `C B `C B B `C` `C C C w `: œ ÖD B0 × œ B Ö0 × œ BÖ0 ×ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰C

B

œ BÖ0 × œ Ö0 ×ˆ ‰ ˆ ‰C CB B B

w w"

En se tiene:!


y ` ``C B `D! !

C w: :ˆ ‰: œ Ö0 × : œ "

Luego ˆ ‰ ˆ ‰Š ‹B B Ö Ö0 × : 0 × C C Ö0 : × D D œ !! ! ! ! !C C C CB B B B

w w! !

! !

Para ver que este plano pasa por entonces reemplazamos!ß !ß !B œ C œ D œ ! y veamos que se satisface la ecuación, en efecto, B Ö0 × : B 0 C Ö0 × : D œ B 0 D œ !! ! ! ! ! ! ! !

C C C C CB B B B B

w w! ! !

! ! !ˆ ‰ ˆ ‰Š ‹ Š ‹ .

88.Si una vecindad coordenada de una superficie regular puede serparametrizada en la forma , donde y son0 ?ß @ œ 0 ? 0 @ 0 ? 0 @" # " #

curvas parametrizadas regulares, entonces los planos tangentes a lolargo de las curvas coordenadas de esa vecindad son paralelos a unarecta.SOLUCIÓN: Sean , y .0 ? œ B ? ß B ? B ? 0 @ œ C @ ß C @ ß C @" " # $ # " # $

Puesto que son curvas parametrizadas entonces se sigue que0 ? ß 0 @" #

0 ? Á !ß 0 @ Á !w w" # , así

0 ?ß @ œ 0 ? 0 @ œ B ? C @ ß B ? C @ ß B ? C @" # " " # # $ $

El plano tangente a en esta dado porW :

X W œ 0 : † d œ † dB ? C @B ? C @B ? C @

:w # #

w w" "w w# #w w$ $

Ô ×Õ Ø

Tomemos una curva coordenada y supongamos que ésta esB ? ß B ? ß B ? ? Á ! B ? ß B ? ß B ? Á !" ! # ! $ ! ! ! ! !

w w w" # $ para algún entonces

es una recta tangente a .0 ?"

Por otra parte los vectores de la matriz forman una baseÔ ×Õ ØB ? C @B ? C @B ? C @

w w" "w w# #w w$ $

del plano tangente en cada punto por lo tanto variando los: ? ß @ @!

planos son paralelos a la recta .B ? ß B ? ß B ? Á !w w w" # $! ! !

Análogamente con la otra curva coordenada.

89.Muestre que, en un punto elíptico, las direcciones principales bisectana las direcciones asintóticas.SOLUCIÓN: Usando la fórmula de Euler se sigue que O : œ † @ œ 5 : 5 :8 : " #

# #C ) )cos sindonde determina las direcciones principales, siendo@ œ / /" #

# #cos sin) )/ ß / X W / @Þ" # : " la base ortonormal de y el ángulo formado por y )

Puesto que es un punto hiperbólico y tienen signos: 5 : 5 :" #

opuestos. Las direcciones asintóticas se hallan cuando , así5 : œ !8

podemos resolver la ecuación 5 : 5 : œ !" ## # ‡cos sin) )


obteniendo que da las dos direcciones de . Así lastan# w5 :

5 :) œ R :"

#

direcciones principales y asintóticas se bisectan formando un ángulo .)‡ Á ! œ ! Nótese que , por que si , entonces en ese caso las doscos cos) )

direcciones coinciden.

90.Mostrar que si una superficie es tangente a un plano a lo largo de unacurva , los puntos de esa curva son parabólicos o planares.SOLUCIÓN: Sea un campo continuo de vectores unitarios, enR À WC #

este caso es constante ya que es un plano. Sea unaC α À M Gparametrización de , puesto que . Se toma la compuestaG M §α CR ‰ À M Wα la cual también es constante claramente. Derivando, se tiene#

R ‰ > œ R > ‰ > œ !α α αw w w

De aquí se sigue entonces que . Entonces por el teorema deR † @ œ ! † @w:

Olinde Rodrigues, se sigue que es valor propio de para todo ,@ R @entonces es línea de curvatura de y o es igual a cero. Ahoraα G 5 5" #

para todo , , donde es el ángulo de : † @ œ ! œ 5 œ 5 5 @C α α α: 8 " ## #cos sin

con una de las direcciones principales que en este caso es el mismo @ÞSupongamos que entonces . Cuando entonces5 œ !ß 5 œ ! œ !" #

#sin sinα α

5 ß# puede ser diferente de cero o puede ser igual a cero, así para todo: − G : 5 œ !, es un punto parabólico o planar. Supongamos ahora que #

! œ 5 5 Ê 5 œ !" # "# # #cos sin cosα α α

como se sigue que en este caso todo punto es planarcosα Á ! 5 œ ! : − G"

91.Muestre que la curvatura media en el punto es dada porL : − W

L œ 5 ."! 81

1' ) )

donde es la curvatura normal en , siguiendo la dirección que hace5 :8 )

un ángulo con una dirección fija) .SOLUCIÓN:Se sabe por la fórmula de Euler que


5 : œ 5 : 5 :8 " ## #cos sin) )

así " "

! !8 " ## #

1 1

1 1' '5 . œ Ö5 : 5 : ×.) ) ) ) )cos sinœ Ò5 : . 5 : . Ó"

" #! !# #

1

1 1' 'cos sin) ) ) )

œ Ò5 : . 5 : . Ó" # " " #" #! !# #1

1 1) )' 'cos cos) )

œ 5 Ð 5 Ð œ Ò5 5 Ó œ œ LÞ" # # "" # " ## % # % # # #! !

5 51 1

) ) ) ) 1 11 1’ ¹ ¹ “sin sec " #

92.Muestre que la suma de las curvaturas normales en un punto de unasuperficie, para cualquier par de direcciones ortogonales, es constamte.SOLUCIÓN:Sean , las dos? œ Þ † / Þ † / ? œ Þ † / Þ † /" " " " # # # " # #cos sin cos sin) ) ) )

direcciones ortogonales, esto implica que

, en paticular =ó) ) ) )" # # "

#

#

# œ

Ú ÞÛ ßÜ à

1

1

1

3

ahora, , esto5 ? œ 5 5 ß 5 ? œ 5 58 " " " # " 8 # " # # ## # # #cos sin cos sin) ) ) )

teniendo en cuenta la fórmula de Euler y el teorema de Meusnier.Sumando las dos igualdades anteriores se tiene que 5 ? 5 ? œ 5 5 5 58 " 8 # " " " # # #

# # # #cos sin cos sin) ) ) )2 1 œ 5 Ò Ó 5 Ò Ó" " " # " "

# # # ## #cos cos sin sin) ) ) )ˆ ‰ ˆ ‰1 1

œ 5 Ò Ö × Ó 5 Ò Ö × Ó" " " # " "# # # #

# #cos cos sin sin) ) ) )ˆ ‰ ˆ ‰1 1

œ 5 5 " " " # " "# # #Š ‹ ˆ ‰cos sin sin cos) ) ) )

#

œ 5 5 œ 5 5 œ -98=>Þ" # " " " ## #cos sin) )

93.Muestre que si la curvatura media se anula en un punto no-planar,entonces ese punto posee dos direcciones asintóticas ortogonales.SOLUCIÓN:Si , entonces esto significa que L : œ ! 5 : œ 5 : ß" #

implicándose que el punto es hiperbólico y las direcciones asintóticas:se bisectan con las direcciones principales en un ángulo , o sea que, tan# 5 : 5 :

5 : 5 : %) )œ œ œ " œ „" #

# #

1

Esto implica que las dos direcciones son ortogonales y estan dadas por ? œ † / † /" " #% %cos sin1 1

? œ † / † / œ † / † /# " # " #% % % %cos sin cos sinˆ ‰ ˆ ‰1 1 1 1

Claramente ya que ? ¼ ? ? ß ? œ !Þ" " ##

94.Suponga que y se intersectan a lo largo de una curva , bajo unW W G" #

ángulo . Pruebe que es constante si y sólo si cuando esα α: ß : − G : G

línea de curvatura de entonces es línea de curvatura de W G W" #Þ

SOLUCIÓN: Ê Ñ : R >Se sabe que es constante. Sea el vector unitarioα "

normal en el vector unitario en a , entonces:ß R > : W# #


R ßR œ !ß R ßR œ !" #" #

w w

Sea una parametrización de en , entonces según el teorema de0 > G :Olinde Rodrigues , además R > œ 0 > "w w

" "-

es perpendicular a y a 0 > R R #w" #

Ahora es constante, esto significa que α : R ßR œ -98=>Þ" #

Derivando tenemos > R > ßR > œ R > ßR > R > ßR > œ !" # # "

w w w" #

teniendo en cuenta tenemos" 0 > ßR R ßR > œ !-" # "

w w#

-" # "w w

# 0 > ßR R ßR > œ !

pero según se tiene que , luego .# 0 > ßR œ ! R ßR > œ !w w# " #

Esto significa que es paralelo a y por consiguiente a , asíR > R 0 >w w w# "

existe tal que . Según el teorema de O. Rodrigues se- -# #w w#R > œ 0 >

sigue que es una línea de curvatura de .G W#

É R œ 0) Sabemos ahora por el teorema de O. Rodrigues que yw w" "-

R œ 0 Rw w# # #- . Tomando producto interno la primera por y la segunda por

R" y sumando nos queda: > R ßR R ßR œ 0 ßR 0 ßR w w w w

" ## " " # # "- - œ 0 ßR 0 ßR - -" # # "

w w

Pero por se sabe que es perpendicular a y a , luego# 0 > R Rw" #

< > y0 ßR œ ! 0 ßR œ !w w# "

por consiguiente , de R ßR R ßR œ ! Í R ßR œ !w w" ## " " #

w

donde < Esto significa que el ángulo es constante.R ßR œ -98=>Þ :" # α

95.Muestre que si una superficie es dada en la forma entoncesD œ 0 Bß C

haciendo tenemos 0 œ :ß 0 œ ;ß 0 œ <ß 0 œ =ß 0 œ > / œ ßB C BB BC CC<

": ;È # #

0 œ = > <>= "": ; ": ; ": ;": ; #

"; <#:;= ": >È È È# # # # # #

#

# # #

# #

ß 1 œ ß O œ ß L œ .SOLUCIÓN:Una parametrización de la superficie es dada por: Bß C œ Bß Cß 0 Bß C , de aquí tenemos : :B B BB BBœ "ß !ß 0 œ "ß !ß : œ !ß !ß 0 œ !ß !ß < : :C C BC BCœ !ß "ß 0 œ !ß "ß ; œ !ß !ß 0 œ !ß !ß =


:CC CCœ !ß !ß 0 œ !ß !ß >

Ahora <I œ ß œ " :: :B B

#

J œ ß œ "ß !ß : ß !ß "ß ; œ :;: :B C

K œ ß œ !ß "ß ; ß !ß "ß ; œ " ;: :C C#

J œ : ; ß IK œ " : " ;# # # # #

IK J œ " ; : : ; : ; œ " : ;# # # # # # # # #

entonces È ÈIK J œ " : ;# # #

./> ß ß œ œ <" ! !! " !: ; <

â ââ ââ ââ ââ ââ â: : :B C BB

./> ß ß œ œ =" ! !! " !: ; =

â ââ ââ ââ ââ ââ â: : :B C BC

./> ß ß œ œ >" ! !! " !: ; >

â ââ ââ ââ ââ ââ â: : :B C CC

Así; / œ œ./> ß ß

IKJ

<": ;È È: : :B C BB

# # #

0 œ œ./> ß ß

IKJ

=": ;È È: : :B C BC

# # #

1 œ œ./> ß ß

IKJ

>": ;È È: : :B C CC

# # #

Ahora ./1 œ ß 0 œ Ê /1 0 œ<> = <>=": ; ": ; ": ;

# ## # # # # #

#

Así, .O œ œ/10 <>=": ;

#

IKJ# #

#

# #

Por otro lado tenemos /K œ ß #0J œ ß 1I œ< "; ": >

": ; ": ; ": ;

#:;=È È È# #

# # # # # #

/K #0J 1I œ < "; #:;= ": >

": ;È# #

# #

Así à L œ œ" "# IKJ #/K#0J1I < "; #:;= ": >

": ;#

# #

# # $É

96.Muestre que cuando las líneas coordenadas son las líneas decurvatura, entonces las curvaturas principales y son dadas por y5 5" #

/I

1K " #. Calcule y en una superficie de revolución5 5 .SOLUCIÓN: + Se sabe que una condición necesaria y suficiente para que lascurvas coordenadas de una parametrización sean líneas de curvatura esßque .J œ 0 œ !

También se conoce que pero por hipótesisO œ ß L œ ß/10 /K#0J1IIKJ # IKJ

"#

# #

las líneas coordenadas son líneas de curvatura entonces se sigue queJ œ 0 œ ! à O œ ß L œ, así . Pero por otra parte/1 /K1I

IK # IK"

se sabe que y O œ 5 † 5 ß ß L œ" #

5 5#

" #


entonces por tanteo tenemos dos posibilidades para la elección de y 5 5" #

, ˆ ‰ ˆ ‰5 œ • 5 œ ß ” 5 œ • 5 œ" # " #/ /I K I K

1 1

Pero la segunda opción es desechada ya que en ese caso se tendría ." " / "

# # I K # IK" #1 1K/Iˆ ‰5 5 œ œ Á L po

Por lo tanto de donde se sigue5 œ • 5 œ" #/I K

1

" " / " /KKI# # I K # IK" #

1ˆ ‰ ˆ ‰5 5 œ œ œ LÞ

, Una superficie de revolución esta dada por la parametrización 0 : : <?ß @ œ @ Þ?ß @ Þ?ß @cos sindonde constituyen una parametrización de la curvaC œ @ ß D œ @: <generatriz, se tiene entonces; 0 : :? œ @ Þ?ß @ Þ?ß !sin cos 0 : : <@

w w wœ @ Þ?ß @ Þ?ß @cos sin 0 : : 0 : :?? ?@

w wœ @ Þ?ß @ Þ?ß ! ß œ @ Þ?ß @ Þ@ß !cos sin sin cos 0 : : <@@

ww ww wwœ @ Þ?ß @ Þ?ß @cos sin I œ @ ß J œ !ß K œ @ @ ß: : <# w w# #

IK œ @ @ @: : <# w w# #Š ‹ È ÉIK J œ @ @ @# w w# #: : <

/ œ œ

â ââ ââ ââ ââ ââ âÉ É

@ Þ? @ Þ? @ Þ?@ Þ? @ Þ? @ Þ?! @ !

@ @ @ @

@ @

: : :: : :

<

: : < : <

< :

sin cos coscos sin sin

w

w

w

w w w w# # #

w

@ #

0 œ !

1 œ œ

â ââ ââ ââ ââ ââ âÉ

@ Þ? @ Þ? @ Þ?@ Þ? @ Þ? @ Þ?! @ @

@ @ @

: : :: : :

< <

: : <


w ww

w ww

w ww

w w# #

œ @ @

@ Þ? @ Þ? @ Þ? @ Þ?@ Þ? @ Þ? @ Þ? @ Þ?

@ @ @ @

< <: : : :: : : :

: : < :

w wwww w

ww w

w w# #

º º º ºÉ É

sin cos sin coscos sin cos sin

: <w w# #@ @

œ < < : :

: <

ww w w ww

w w# #É@ @ @ @

@ @

de donde se tiene que 5 œ œ œ"

/I

@ @ @

@ @ @ @ @ @

< : <

: : < : : <

w w

# # # # #w w w wÉ É .5 œ œ#

1K

@ @ @

@ @

< < : <

: <

ww w w ww

w w# # $Éˆ ‰

97.Muestre que en el origen de la hiperboloide se tiene!ß !ß ! D œ +BC

O œ +# y L œ !Þ

SOLUCIÓN:Sabemos por teoría general que , constituye: Bß C œ Bß Cß +BCuna parametrización de la hiperboloide, ahora : : : :B C BC BBœ "ß !ß +C ß œ !ß "ß +B ß œ !ß !ß + ß œ !ß !ß ! ß

:CC œ !ß !ß !


Ahora, I œ ß œ " + C: :B B# #

J œ ß œ "ß !ß +C ß !ß "ß +B œ + BC: :B C#

K œ ß œ !ß "ß +B ß !ß "ß +B œ " + B: :C C# #

de donde tenemos que

/ œ œ œ !./> ß ß

IKJ

" ! !! " !+C +B !

"+ B + CÈ È

â ââ ââ ââ ââ ââ â: : :B C BB

# # # # #

0 œ œ œ./> ß ß

IKJ

" ! !! " !+C +B +

"+ B + C "+ B + C+È È È

â ââ ââ ââ ââ ââ â: : :B C BC

# # # # # # # # #

1 œ œ œ !./> ß ß

IKJ

" ! !! " !+C +B !

"+ B + CÈ È

â ââ ââ ââ ââ ââ â: : :B C CC

# # # # #

Ahora /0 0 œ œ# + +

"+ B + C"+ B + C

# #

# # # # # # # # #É O œ œ/10

IKJ+

"+ B + C

#

#

#

# # # # #

en el origen tenemos de donde B œ C œ ! O œ +#

L œ œ œ" "# IKJ #/K#0J1I #+ BC†+ + BC

"+ B + C "+ B + C "+ B + C#

# $

# # # # # # # ## # # # $È É

en el origen tenemos , de donde .B œ C œ ! L œ !

98.Sea un punto de una superficie . Tome como origen y el plano: W :

tangente en , como plano de un sistema de coordenadas; sea: B ‰ C

D œ 0 Bß C :la representación de una vecindad de , en ese sistema.Muestre que el paraboloide D œ B 0 #BC0 C 0 ‡"

## #

BB BC CC

obtenido del desarrollo de Taylor alrededor de y despreciando: œ !ß !

los términos de tercer orden en adelante tiene en un punto elíptico,:

hiperbólico o planar según sea un paraboloide elíptico, hiperbólico, un‡

cilindro parabólico o un plano. La superficie es llamada un‡

paraboloide osculador de en W :.SOLUCIÓN: " : œ !ß ! X WMostremos que si entonces coincide con el plano:

B ‰ C 0 !ß ! œ 0 !ß ! œ ! en cuyo caso se tiene .B C

En efecto, basta ver que "ß !ß 0 ß !ß "ß 0 † d œ "ß !ß ! ß !ß "ß ! † dB C entonces, Š ‹ Š ‹"ß!ß! œ "ß!ß0 !ß"ß0 "ß!ß! œ ß ß 0 0

!ß"ß! œ !ß"ß0 !ß"ß0 !ß"ß! œ ß ß 0 0α α α α α α" " " " " "" B # C " # " B # C

" B # C " # " B # CÍ

lo cual es completamente equivalente a Š ‹ Š ‹"œ ß!œ ß 0 0 œ!

!œ ß"œ ß 0 0 œ!0 œ!0 œ!

α α α α" " " "

α"

" # " B # C

" # " B # C

" B

# CÍ

o sea que 0 !ß ! œ 0 !ß ! œ !B C


# *& D œ 0 Bß C W Por el problema , se tiene que para en se tiene: O œ œ 0 0 0

0 0 0

"0 0BB CC

#BC

BB CC BC#

# #B C

#ˆ ‰ Å0 œ 0 œ 0 !ß ! œ 0 !ß ! œ !B C B C

y

L œ œÆ"

# #

"0 0 #0 0 0 "0 0

"0 0

0 0ˆ ‰Éˆ ‰C B BB CC

# #BB B C BC CC

# #B C

$

0 œ 0 œ 0 !ß ! œ 0 !ß ! œ !B C B C

$ W Tomemos ahora la siguiente parametrización para : ˆ ‰Bß C œ Bß Cß B 0 #BC0 C 0"

## #

BB BC CC

se tiene : :B BB BC BBß B œ "ß !ß B0 C0 Ê !ß ! œ "ß !ß !

: :C BC CC CBß C œ !ß "ß B0 C0 Ê !ß ! œ !ß "ß !

: :BB BB BB BBBß C œ !ß !ß 0 Ê !ß ! œ !ß !ß 0 !ß ! : :BC CC CC CCBß C œ !ß !ß 0 Ê !ß ! œ !ß !ß 0 !ß !

Ahora I œ !ß ! ß !ß ! œ "ß !ß ! ß "ß !ß ! œ ": :B B

J œ !ß ! ß !ß ! œ "ß !ß ! ß !ß "ß ! œ !: :B C

K œ !ß ! ß !ß ! œ !ß "ß ! ß !ß "ß ! œ ": :C C

IK J œ " † " ! œ "#

/ œ œ œ 0 ß 1 œ œ œ 0

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â âÈ È" ! !! " !! ! 0

IKJ IKJ

0 !ß!" "BB CC

" ! !! " !! ! 0 0 !ß!BB

# #

BB CC CC

0 œ œ œ 0

â ââ ââ ââ ââ ââ âÈ" ! !! " !! ! 0

IKJ

0 !ß!" BC

BC

#

BC

Ahora O œ œ œ 0 0 0/10

IKJ "

0 0 0BB CC BC

##

#

BB CC BC#

L œ œ œ"# IKJ # #/K#0J1I 0 †"#†0 †!0 †" 0 0

#BB BC CC BB CC

Así y coinciden con y de la parte O L O L #

% D œ B 0 #BC0 C 0 Según la geometría analítica "#

# #BB BC CC

representa un paraboloide elíptico si: 3 f œ 0 0 0 !BC

#BB CC

o sea que pero en este caso entonces0 0 0 ! O œ 0 0 0 !BB CC BB CCBC BC# #

como así es un punto elíptico, en este casoO œ ./> .R ! ::

representa un paraboloide33 D œ B 0 #BC0 C 0"#

# #BB BC CC

hiperbólico si , o sea que puestof œ 0 0 0 ! 0 0 0 !BC BC# #

BB CC BB CC

que la curvatura Gaussiana se sigue queO œ 0 0 0 ! ßBB CC BB#

O œ ./> .R !ß :: o sea que representa un punto hiperbólico.333 D œ B 0 #BC0 C 0 Si representa un cilindro parabólico"

## #

BB BC CC

entonces y algunos de los es diferente def œ 0 0 0 œ ! 0 ß 0 ß 0BC#

BB CC BB BC CC

cero. Pero se tiene que;


-< .R @ ß @ œ @ œ B 0 #0 BC C 0 Á !: : BB BC CC" "# #

# #CÅ

@ œ Bß C − X W œ B ‰ C:

entonces se sigue que y O œ ./> R œ 0 0 0 œ ! .R Á !: BC CC :BB

#

así representa en este caso un punto parabólico.:3@ D œ B 0 #BC0 C 0 Si es un plano, entonces"

## #

BB BC CC

.0 0 0 œ ! • 0 œ 0 œ 0 œ !BC#

BB CC BB CC BC

Como =" "

# #: BB BC CC# #C @ 0 !ß ! † B #0 !ß ! † BC 0 !ß ! † C œ !

Å@ œ Bß C − X W œ B ‰ C:

se obtiene que O œ ./> .R œ ! • .R œ !: :

por lo tanto, es un punto planar.:

99.Determine las líneas asintóticas y las líneas de curvatura de lahelicoide y muestre que su curvatura esB œ @ Þ?ß C œ @ Þ?ß D œ -?cos sinigual a cero.SOLUCIÓN: Se sabe que constituye una: ?ß @ œ @ Þ?ß @ Þ?ß -?cos sinparametrización de la helicoide por lo tanto : :? @œ @ Þ?ß @ Þ?ß - œ Þ?ß Þ?ß !sin cos cos sin : : :?@ ?? @@œ Þ?ß Þ?ß ! œ @ Þ?ß @ Þ?ß ! œ !ß !ß !sin cos cos sin I œ ß œ @ ? @ ? - œ @ -: :? ?

# # # # # # #sin cos J œ ß œ @ Þ? Þ? @ Þ? Þ? œ !: :? @ sin cos sin cos K œ ß œ ? ? œ ": :@ @

# #cos sin IK J œ @ - † " ! œ @ -# # # # #

Ahora

/ œ œ œ œ !./> ß ß - @ Þ? Þ?@ Þ? Þ@

IKJ

@ Þ? Þ? @ Þ?@ Þ? Þ? @ Þ?

- ! !

@ - @ -È È È

â ââ ââ ââ ââ ââ â: : :? @ ??

# # # # #


cos sin cos sin

0 œ œ œ œ./> ß ß - ? ?

IKJ

@ Þ? Þ? Þ?@ Þ? Þ? Þ?

- ! !

@ - @ - @ -

-È È È È

â ââ ââ ââ ââ ââ â: : :? @ ?@

# # # # # # #

# #

sin cos sincos sin cos

cos sin

1 œ œ œ !./> ß ß

IKJ

@ Þ? Þ? !@ Þ? Þ? !

- ! !

@ -È È

â ââ ââ ââ ââ ââ â: : :? @ @@

# # #

sin coscos sin

Así, si alguna parametrización de la helicoide tiene entonces las/ œ 1 œ !ß

líneas coordenadas satisfacen la ecuación / ? #0 ? @ 1 @ œ ! Í #0 ? @ œ !w w w w w w# #

o sea que son las líneas asintóticas de la helicoide,Š ‹? œ! ?œ-98>@ œ! @œ-98=>

w

w Ê Š ‹donde ? @ Á !ß ? ß @ − X WÞw w w w` `

`? `@ :: :

Las líneas de curvatura se encuentran en


â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â º º@ ? @ ?

I J K/ 0 1

œ œ

@ ? @ ?

@ - ! "! !

@ ?

@ - "

w w w w# w w w w# #

# #

-

@ -

-

@ -

w w# #

# #

ÈÈ

# #

# #

œ @ ? @ - œ !-

@ -w w # ## #È # #

Š ‹Como entonces se tiene- Á !

@ ? @ - œ ! Í @ œ ? @ -w w # # w w # ## # # #

Tomando raíz cuadrada se tiene , de donde tenemos@ œ ? @ -w w # #È ? œ œ œw @ " @ -

- @ l-l l-l" "

w w

# # @ @- -

# #

@-

w

È É Éˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰

Para hallar la función primitiva de esta ecuación diferencial procedemospor los métodos tradicionales del cálculo de integrales por medio desustitución trigonométrica, así, hacemos @ @

- -

w #œ Þ Ê œ .tan sec) ) )ˆ ‰y en esta forma se tiene: =ˆ ‰

É ˆ ‰ È@-

w

@-

#

# #

#"

.

"

sec sectan sec) ) )

) )œ . œ Þ .) ) )sec

o sea que ' ˆ ‰

É ˆ ‰@-

w

@-

#"

@ @- -

#œ Þ . œ Þ Þ G œ " G' Œ É ˆ ‰sec lg sec tan lg) ) ) )

œ @ - @ ElgŠ ‹È # #

donde es una constante de integración, luegoE

? œ @ - @ E-l-l

# #lgŠ ‹Èy las líneas de curvatura son dadas por ? œ „ @ - @ ElgŠ ‹È # #

Ahora L œ œ œ !" "

# IKJ # @ -/K#0J1I !†K# †!!† @ -

# # #

-

- @# ## #È

o sea que la curvatura media es cero.

100.Pruebe que el hecho de un campo de vectores sea diferenciable en elpunto no depende del sistema de coordenadas escogidas en .: − W :

SOLUCIÓN:Sean dos parametrizaciones de en tales que si es un: <ß W : Acampo de vectores diferenciable A : œ : :α : " :? @

A : œ : :α < " <‡ ‡? @

y supóngase que son diferenciables, mostremos entonces queα ": ß :α " <‡ ‡: ß : para cualquier otra parametrización son diferenciables. Sesabe que dadas dos parametrizaciones en un punto de una superficie:entonces se pueden relacionar mediante


” • ” •” • ” •< : : :< : : :? ? ? @

@ @ ? @œ œ

+ , + ,- . - .

de donde se tiene Š ‹< : :

< : :? ? @

@ ? @

œ+ ,œ- . "

Así, sustituyendo en se tieneA : œ œ : : "α: ": α < " <? @ ? @‡ ‡

α: ": α : : " : :? @ ? @ ? @‡ ‡ œ + , - .

œ + - , .α " : α " :‡ ‡ ‡ ‡? @

Luego Š ‹ Š ‹ Š ‹ˆ ‰α α " α α

" α " " "= ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡+ - + -

œ , . , .Í œ

como entonces existe así./> Á !Š ‹ Š ‹+ , + ,- . - +

"

” • ” • ” • ” •” •α α α" " "

‡

‡

""

+.,-œ œ+ , . ,- . - +

de donde =” • ” •α α "

" α "

‡

‡"

+.,-

. , - +

o sea que α "‡ ‡. , + -

+.,- +.,-œ ß œα " " α

Luego son diferenciables ya que , son diferenciables.α " α "‡ ‡ß

101.Pruebe que el campo de vectores obtenido en el toro, parametrizandotodos los meridianos por la longitud de arco y tomando sus vectorestangentes, es diferenciable.SOLUCIÓN:La función dada por: À d X À#

: ?ß @ œ < Þ? + @ß < Þ? + Þ@ß < Þ?cos cos cos sin sinconstituye una parametrización del toro.Los meridianos se encuentran cuando es constante, así que a@continuación y en adelante se considera constante; se va a definir un@

homeomorfismo de de la siguiente forma:!ß # d1 -

- . :'œ l ?ß @ l.?!w

!.

por el teorema de la función inversa, el rango de es debidamente-seleccionado con el objeto de que sea un difeomorfismo "nótese que-- :w w

!? Á ! l ?ß @ l œ < Á !ya que ". Ahora : :w

! ? !?ß @ œ ?ß @ œ < Þ? Þ@ß < Þ? Þ@ß < Þ?sin cos sin sin cosde donde tenemos |:w

!# # # # # # # #È?ß @ l œ < ? ? < ? @ < ?sin cos sin sin cos


l ?ß @ l œ < @ < Þ? œ <ß:w # # #È sin cosasí; - '? œ <.? œ <?ß!

?

tomando se tiene que-" "<? œ ?

< : - : - :ˆ ‰? œ ‰ ? œ ? œ" " ?<

œ + < @ ß + < @ ß <ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰cos cos cos sin sin? ? ?< < <! !

o sea una parametrización de un meridiano del toro. Tomando ahora < ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰?ß @ œ + < Þ@ß + < Þ@ß <cos cos cos sin sin? ? ?

< < <

se obtiene una parametrización del toro para la cual los meridianosquedan parametrizadas por la longitud de arco. Ahora el vectordiferenciable definido tomando , dondeA ? œ œ ?: : <?

w

< w ? ? ?< < <

ˆ ‰? œ Þ@ß Þ@ßsin cos sin sin coses un campo de vectores del toro y como cada uno de sus componenteses derivable se sigue que el campo así definido es diferenciable.

102.Pruebe que un campo de vectores en una superficie regular A W § d$

es diferenciable si y sólo si, como función de en esW d ß A À W d$ $

diferenciable.SOLUCIÓN: É ß) Es claro que si son diferenciables evidentemente seα "tiene que para toda parametrización de ; con y: α " :W A œ A A A œ" # " ?

A œ# @: es diferenciable.Ê A ß) Supongamos que es diferenciable, para probar que sonα "diferenciables, podemos admitir que la parametrización es de: À Y Y!

clase y que , donde sonG AßA ßA À Y d A B œ ß A B œ5 $" # " ? # @: :

funciones de clase tales que para todo es base deG B − Y ß ÖA B ßA B ×<! " #

X W A B œ B A B B A B: B " # y además .α "

Tomando las coordenadas, se tiene A B œ B A B B A B" " "

" #α "

A B œ B A B B A B# # #" #α "

A B œ B A B B A B$ $ $" #α "

Para todo la matriz tiene rango y se puede admitir sinB − Y A B #! 43ˆ ‰

perdida de generalidad que º ºA B A B

A B A BÁ !ß aB − Y" #

" "

" ## # !

Entonces podemos resolver el sistema A B œ B A B B A B" " #

" #α "


A B œ B A B B A B# # #" #α "

por la regla de Crammer, se obtienen y en función de los s, por loα " Aß

tanto son diferenciables.

103.Admítase que no existe campo alguno de vectores tangentes nonulos y diferenciable, en la esfera y muestre que lo mismo sucede para laelipsoide B D

+ , -C# #

# # #

#

œ "Þ

SOLUCIÓN: Se sabe que existe un difeomorfismo entre la esfera y0 À I W#

la elipsoide. Sea un campo de vectores en , si existe talA I : − W ; − I#

que . Se define ahora sobre el siguiente campo de vectores0 ; œ : W#

@ : œ 0 ; A ; − X W : − Ww # #: ! entonces por la hipótesis existe tal que

@ : œ 0 ; A ; 0 ; œ : 0 ;! ! ! !w w donde Como es un difeomorfismo se.

sigue tal que , así no existe campo de vectores no nulob; − I A ; œ !! !

sobre el elipsoide.

104. + G § W G Si una curva es línea de curvatura y geodésica entonces es plana., Si una geodésica no rectilínea es plana, entonces ella es una línea de

curvatura.- Dé un ejemplo de una línea de curvatura plana que no es geodésica.

SOLUCIÓN: + G GSea una curva regular conexa. Si es línea de curvatura,entonces para toda parametrización por longitud de arco de por0 B Gßel teorema de O. Rogrigues, se tiene: dondeR > œ > 0 >w w-R > œ R 0 > > > y es una función diferenciable de . En esas-condiciones es la curvatura principal en la dirección de . > 0 > Þ- w

Como es geodésica entonces . Tomando y0 > R > œ „ 8 > R > œ 8 >derivando en relación a >Þ R > œ 8 > œ 50 > , >w w w

Åfórmula de Frenet

7

entonces como comparando los coeficientes se tieneR > œ > 0 >w w- y - 7 - 7> 0 > œ 50 > , > ß > œ 5 œ !w w

Luego la curva es plana, ya que . Como y- 7 5 0 > , > œ ! 0 >w w

, > son linealmente independentes (por formar parte del triedro deFrenet) se sigue que y . Entonces es una curva- 7 5 œ ! œ ! G

plana. Análogamente, cuando se toma R œ 8Þ

, 0 >Sea geodésica parametrizada por la longitud de arco. En ese casoR > œ „ 8 > Þ R > œ 8 > ß Como antes podemos tomar derivando se tiene R > œ 8 > œ 50 > , >w w w 7Como por hipótesis es plana y no rectilínea y , así,0 > œ ! 5 Á !7

R > œ 50 > 0 >w w . Por el teorema O. Rodrigues se sigue que es unalínea de curvatura.


- G Sea un paralelo de la esfera que no es círculo máximo

Una parametrización de esta dada porG 1 @ œ Þ? Þ@ß Þ? Þ@ ß Þ?sin cos sin sin cos! ! !

1 @ œ Þ? Þ@ß Þ? Þ@ß !w! !sin sin sin cos

1 @ œ Þ? Þ@ß =/8Þ? Þ@ß !ww! !sin cos sin

l1 @ l œ @ ? @ ? œ =/8 ? œ =/8?ww # # # # #! ! ! !

È Ècos sin sin sinpor lo tanto tenemos que .( (œ @ œ œ Þ@ß Þ@ß !1 @

l1 @ l

ww

ww cos sinAhora sea : ?ß @ œ Þ? Þ@ß Þ? @ß Þ?sin cos sin sin cosuna parametrización de la esfera hallemos el vector normal deW ß R#

Gauss. :? œ Þ? Þ@ß Þ? Þ@ß Þ?cos cos cos sin sin :@ œ Þ? Þ@ß Þ? Þ@ß !sin sin sin sin : :? @

# #• œ ? Þ@ß ? Þ@ß Þ? Þ?sin sin sin cos cos sin l • l œ ? @ @ ? ?: :? @

% # # # #Èsin sin cos cos sin œ ? ? ? œ ? ? ? œ l Þ?lÈ Èsin cos sin sin sin cos sin% # # # # #

R œ œ: :: :? @

? @

•l • l Þ?

Þ? Þ? Þ@ß Þ? Þ@ß Þ?sin sin cos sin sin cossin

así, . En se tieneR ?ß @ œ Þ? Þ@ß Þ? Þ@ß Þ? ? ß @sin cos sin sin cos !

R @ œ R ? ß @ œ Þ? Þ@ß Þ? Þ@ß Þ?! ! ! !sin cos sin sin cos y( @ œ Þ@ß Þ@ß !cos sinentonces si así que no es geodésica. Ahora si R Á ? Á G ? œ( ! !# #

1 1

R ß @ œ Þ Þ@ß Þ Þ@ß Þ œ Þ@ß Þ@ß ! œ ˆ ‰ ˆ ‰1 1 1 1# # # #sin cos sin sin cos cos sin (

en ese caso el círculo máximo es geodésica.

105.Una curva es geodésica y asintótica si y sólo si es una recta.G § W G

SOLUCIÓN: Ê G 5 œ !) Si es una línea asintótica entonces ahora8

5 œ 5 5 G 5 œ ! 5 œ ! Ê 5 œ !# # # #1 8 8. Como es geodésica entonces , luego .

Entonces es una rectaGÉ G 5 œ !) Si es una recta entonces . Ahora 5 œ œ 0 = ßR • 0 = œ !ßR • 0 = œ !1

H0 =.=

ww w wŠ ‹w

Å0 = œ 5 † œ !ww (

así es geodésica.G


Ahora como es recta, así Rß 5 : œ 5 : G 5 œ !( 8

5 : œ Rß ! : œ ! :ß 5 œ ! G8 8 esto en cada por lo tanto . Así es unalínea asintótica.

106.Considere dos meridianos de una esfera, y haciendo un ánguloG G" #

: en el punto . Transporte, paralelamente, el vector tangente de T A G" ! "

en el punto inicial , a lo largo de y , hasta el punto dondeT G G T ß" " # #

los dos meridianos se reencuentran, obteniendo, respectivamente y .A A" #

Calcule el ángulo entre y A" A#.SOLUCIÓN:G G" #y como meridianos de una esfera son geodésicas de esaesfera. Sean el vector tangente a en el punto y el vectorA G T @! " " ! tangente

a en el punto . Transportando a lo largo de y a lo largo deG T @ G A# " ! # !

G T ß" # hasta llegar al punto ellos forman un ángulo , pues el trasporte:paralelo a lo largo de una geodésica conserva los ángulos (recuérdeseque una geodésica es una curva cuyas tangentes en cada uno de suspuntos forman un campo de vectores paralelos a la superficie quecontiene la curva). Tranportando ahora el vector a lo largo de ésteA G ß! #

formará un ángulo con el vector . De ahí, el ángulo entre los: @"transportes de a lo largo de y de a lo largo de es igualA G A A G A! # " ! # #

a pues y es decir, estan en el mismo plano.# A ßA @ − X W ß: " # " :"

107. Muestre que la curvatura geodésica de una curva en el puntoG § W

: − G G es igual a la curvatura de la curva plana obtenida proyectando sobre el plano tangente según la normal a la superficie en X W ß: :Þ

SOLUCIÓN:Sea , el vector tangente unitario a en . Sea : − G X G : R À W W#


el vector normal unitario a en Se construye ahora un triedroG :Þ

ortonormal en tomando . Sea una: Y œ R • X = œ ? = ß @ =: :parametrización de la curva . Cada punto de puede ser escrito comoG Guna combinación lineal de los elementos que forman el triedroortonormal así , ahora , , y se calculan de la: α " # α " #= œ X Y Rsiguiente forma: = ß X œ Xß X Yß X Rß X œ: α " # α = ßY œ XßY YßY RßY œ: α " # " = ßR œ XßR YßR RßR œ: α " # #así, .: : : := œ = ß X X = ßY Y = ßR RTomando la proyección según la normal obtenemos una curva dadaG:

por : : :: = œ = ß X X = ßY Y

derivando tenemos . =

.= .= .=. = . =: : :: œ ß X X ßY Y œ >ß X X >ß Y Y

donde > œ œ =. =.=

w: :

• •. =.=

#:#

:œ > ß X X > ß Y Y œ 5 ß X X 5 ßY Y

Å

> œ 5•

(

( (

Veamos ahora que es tangente a la curva proyección; si es> œ @/->9< =: :

la longitud de arco de la curva proyectada tenemosG:

> œ > œ œ œp

:. . . .=.= .= .= .= .=

.=: : :: : : :

: :‚

pero , luego .= . . ..= .= .= .=: : :

w w" #

# #: : : :œ œ l l > œ l lÉˆ ‰ ˆ ‰ ‚: :Å

œ ß: : :: : :" #

: : :

Sea la curvatura de la curva proyectada , para hallar su valor5 G: :

procedemos como sigue: | . . . . . .

.= .= .= .= .= .= .=# #.: : : : : :: : : : : :

#

#l œ ß Ê l l œ # ß

Ahora . .

.= .= .= .= l l. . # ß l l œ l l œ: : : :

:: : : :

w ww

w:

ÉPor lo tanto

5 œ œ œ l l l l œ œ:‡ > > .= .

p p

= .= .= .= .= .= .=. .= . l l

l l

. .

. : :

: : : :

. .#: : : :

.=# .=

w: ß w ww

l lw

. :.=

$Š ‹‚‚: : :

: : : :

:

:

œ: : : : :

:

ww w # w w ww: : : : :

:w %

l l ß

l l

así

5 œ‡:

ß ß

l l

. . . . . .: : : : : :.= .= .= .=

# #

.=# #.=. :.=

%

: : : : : :

:

Ahora en tenemos que las curvas y tienen tangentes iguales: G G:

en por el teorema de Meusnier y tienen la misma curvatura: ß G G:

normal . Por otro lado tenemos que en 5 : X œ >8

=< . ..= .=: :: :>ß > > >ß Y Y œ > Ê l l œ "

Å >ß Y œ !


..=

#:#

:œ 5 ß > > 5 ßY Y œ 5 ßY Y( ( (

Å5 ß > > œ !(

donde como ya dijimos es la curvatura de la curva , ahora5ß ß G

5 œ œ 5 œ >ß > 5 ßY Y >ß 5 ß Y Y >: :>p

=‡:( ( (.

. :

œ 5 ßY Y >ß Y 5 ßY > œ 5 ßY Y( ( (Æ

>ß Y œ !

œ 5 ßR • > R • >Å

Y œ R • >

(

œ ßR • = R • = œ 5Å

5 œ( ..=:w

. =.=

w w: :

:w

: : (

de aquí resulta que 5 œ ßR • = œ 5: 1

. =.=

w:w

:

así el problema queda mostradoNótese aquí que es ya que es unitario y( : (:

wR • = œ R • >

perpendicular a por lo tanto como es perpendicular a se sigue> R • > >que coincide con ( R • >Þ

108.Pruebe que, si un abierto de una superficie admite dosZ § W W

familias diferenciables ortogonales de geodésicas, entonces la curvaturaGaussiana de es nulaZ .SOLUCIÓN:Parametrizamos a de tal forma que en el abierto lasW Z § Wcurvas coordeadas se corten? œ -98=>ß @ œ -9=8>ortogonalmente, consideradas como las familias ortogonales degeodésicas dadas (la existencia de esa parametrización de esZ § Wgarantizada por un resultado de la teoría general). Entre las curvasŠ ‹?œ-98=>ß @œ@ >

?œ? > ß@œ-98=> siendo geodésicas satisfacen las ecuaciones de conexión

siguientes ? ? # ? @ @ œ !ww " w " w w " w

"" "# ### #> > >

@ ? # ? @ @ œ !ww # w # w w # w"" "# ##

# #> > >

Por lo tanto para y se tiene? > œ ? @ > œ -98=>

Š ‹? ? œ!

? œ!

ww " w""

#

""# w #

>

>"

y para y se tiene? œ -98=> @ œ @ >

Š ‹>

>##" w #

ww w### #

@ œ!

@ @ œ!#

Como las curvas coordenadas se cortan ortogonamente tenemos 0 ¼ 0? @

por lo tanto entonces los símbolos deJ œ 0 ß 0 œ ! ß? @

Christoffel serán dados por > > > >"" "" ##

" # " #" " " "# I # K # K # KI I K Kœ ß œ ß œ ß œ $? @ ? @

##

de donde sustituyendo en y respectivamente los términos de " # $tenemos


Œ ? ? œ!

? œ!

ww w"# II?

"# KI@ w # "w

como entonces luego ? Á ! ? Á ! I œ !Þw@

Ahora Œ @ œ!

@ @ œ!

"# KK? w #

ww w"# KK@ #w

Como en entonces así que . Como # @ > Á -98=> @ > Á ! K œ ! J œ !w w?

entonces según un resultado ¿cuál? tenemos que la curvatura Gaussianaviene dada por O œ "

# IK IK IK

I K

@ ?È È ÈšŠ ‹ Š ‹ ›@ ?

como se ha probado esto implica entonces que , lo cualK œ I œ ! O œ !? @

queríamos mostrar.

109.Muestre que, si entoncesJ œ !ß 5 œ "

# IK IK IK

I K

@ ?È È Èš ›Š ‹ Š ‹@ ?

SOLUCIÓN:Se sabe que cuando , entonces los símbolos de ChristoffelJ œ !

se tiene > > >"" "# ##

# " #" " "# K # I # KI I K

œ ß œ ß œ@ @ @

> > >## "# """ # "" " "

# I # K # IK K Iœ ß œ ß œ? ? ?

También se sabe que: I5 œ > > > > > > > > > >"# "" "# "" "# "# "" ## "" "#

" # " # # # # # " #? @

œ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰Š ‹" " " " " " " " "# K # K # I # K # K # K # K # I # KK I I I K I K I K

? @

#? @ @ @ ? @ @ ? ?

œ "# K K %IK %K %K %IK

K K K I KI KI K I K I KŠ ‹?? ? @ ?# # #

# # # #@@ @ @ @ @ ? ?

œ "% IK#IK K# K I#I KI#I K I I KI K II K I KK?? ? @@ @ @ @ ? @ @ ? ?

# # #

#

o sea que5 œ #I IK I K I IK #K IK K I K I K"

% IK @@ @ @ @ ?? ? ? ?# #

#˜ ™

œ "

# IK

I IKI I KIK #K IKK I KIK

# IKÈ š ›@@ @ @ @ ?? ? ?$Î#

œ "

# IK

I IKI I KIK K IKK

IK IKÈÈ È Ÿ@@ @ @ @ ?? ?

"

# IK # IK

I KIK? ?È È

œ œ 5Þ"

# IK IK IK

I K

@ ?È È ÈœŠ ‹ Š ‹@ ?

110.Muestre que, si y entonces I œ K œ ?ß @ J œ !ß 5 œ f- -"#

#- lg

donde indica el Laplaciano de la función . Concluya de estof # ` ``? `@: :# #

#: :

que, si y , entoncesI œ K œ ? @ - J œ !# # # 5 œ -98=> œ %-Þ

SOLUCIÓN:En el problema anterior hacemos I œ K œ Bß C-

5 œ œ œ" "# #@ ?

† † - - - - - -

- - - - - - - -š › š ›ˆ ‰ ˆ ‰@ ? @@ @ ?? ?# #

# #


œÚ ÞÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÛ ßÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÝ áÜ à

f œ

Å#

œ ß œ

œ ß

lg-` ` † `?

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`?# #?? ?

` ``@

@#

lg lg

lg lg

- - - - --- -

- --- `@# #

@@ @† #

@@ @ ?? ?# #

# #

œ

† †

- - -

-

- - - - - -- -

f"#

#- lg-

Ahora tomando = tenemos- ? @ -# # #

-?# # # #$ $

œ # ? @ - #? œ %? ? @ -

-??# # # #$ %

œ % ? @ - %? $ ? @ - #?

œ ? @ - % #%? ? @ -Š ‹# # # # #$ "

œ ? @ - % ? @ - #%?# # # # #%

œ ? @ - %? %@ %- #%?# # # # #%

œ ? @ - #!? %@ %-# # # #%

Análogamente se tiene -@

# # $œ %@ ? @ -

-@@# # # #%

œ ? @ - #!@ %? %-

Así como se tiene que5 œ "#

† † - - -

- - - - - -š ›@@ @ ?? ?# #

# #

5 œÅ

Š ‹- -@# # ## # $# $

œ %? ? @ - œ %?

"#

? @ - ? @ - #!@ %? %- %@- -

-# # # # # # $# % #

#

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#

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5 œ ? @ - #!? %@ %- #!@ %? %- "#

# # # # # #'

-$ š Ò %@ %? Ó ›# # $-

œ "'? "'@ )- "'@ "'?"#

$ # # # #-$ š ’ “›-

.œ )- œ %-"#

$-$-

111.Verifique que las superficies 0 ?ß @ œ ? Þ@ß ? Þ@ß Þ?cos sin lg 0 ?ß @ œ ? Þ@ß ? Þ@ß @cos sintienen la misma curvatura Gaussiana en los puntos , y, y no0 ?ß @ 0 ?ß @

obstante, la aplicación no es una isometría, eso muestra que la0 ‰ 0"

"recíproca" del teorema de Gauss no es verdadera. Hallemos la curvatura mediante la fórmula , así;SOLUCIÓN: 5 œ /10

IKJ

#

0 œ Þ@ß Þ@ß 0 œ !ß !ß ? ??" "? ?

ˆ ‰ ˆ ‰cos sin #


0 œ ? Þ@ß ? Þ@ß ! ß 0 œ Þ@ß Þ@ß ! ß 0 œ ? Þ@ß ? Þ@ß !@ ?@ @@sin cos sin cos cos sin I œ 0 ß 0 œ @ @ œ " œ? ?

# # " " ? "? ??

cos sin # ##

#

J œ 0 ß 0 œ ? Þ@ Þ@ ? Þ@ Þ@ œ !? @ cos sin cos sin K œ 0 ß 0 œ ? @ ? @ œ ?@ @

# # # # #sin cos IK J œ ? † œ ? " Ê IK J œ ? "# # #? "

?# #

#

#È È

/ œ œ œ œ./> 0 ß0 ß0

IKJ

Þ@ ? Þ@ !Þ@ ? Þ@ !

"Î? ! "Î?

? " ? " ? ? "

? @? @ "È È È È

â ââ ââ ââ ââ ââ â? @ ??

#

#

# # #

"?#

# #

cos sinsin cos

cos sin

0 œ œ œ œ !./> 0 ß0 ß0

IKJ

Þ@ ? Þ@ Þ@Þ@ ? Þ@ Þ@

! !

? " ? "

? Þ@ Þ@? Þ@ Þ@È È È

â ââ ââ ââ ââ ââ â? @ ?@

#

"?

# #

"?

cos sin sinsin cos cos

cos sin cos sin

1 œ œ œ./> 0 ß0 ß0

IKJ

Þ@ ? Þ@ ? Þ@Þ@ ? Þ@ ? Þ@

! !

? " ? "

?È È È

â ââ ââ ââ ââ ââ â? @ @@

#

"?

# #

cos sin cossin cos sin

De donde tenemos

5 œ œ œ "/10IKJ ? "

"? "

#

# #

" ?

? ? " ? "# #

# #

Š ‹Š ‹È È Ahora para tenemos0 0 œ Þ@ß Þ@ß ! 0 œ !ß !ß !? ??cos sin0 œ ? Þ@ß ? Þ@ß " ß 0 œ Þ@ß Þ@ß ! ß 0 œ ? Þ@ß ? Þ@ß !@ ?@ @@sin cos sin cos cos sin

I œ 0 ß 0 œ @ @ œ "? ?# #cos sin

J œ 0 ß 0 œ ? Þ@ Þ@ ? Þ@ Þ@ œ !? @ cos sin cos sin K œ 0 ß 0 œ ? @ ? @ " œ " ? ß IK J œ " ?@ @

# # # # # # #sin cos

/ œ œ œ !./> 0 ß0 ß0

IKJ

Þ@ ? Þ@ !Þ@ ? Þ@ !

"Î? ! !

? "

ˆ ‰È È

â ââ ââ ââ ââ ââ â? @ ??# #

cos sinsin cos

0 œ œ œ œ./> 0 ß0 ß0

IKJ

Þ@ ? Þ@ Þ@Þ@ ? Þ@ Þ@! " !

? " ? " ? "

@ @ "ˆ ‰È È È È

â ââ ââ ââ ââ ââ â? @ ?@# # # #

# #

cos sin sinsin cos cos

cos sin

1 œ œ œ œ !./> 0 ß0 ß0

IKJ

Þ@ ? Þ@ ? Þ@Þ@ ? Þ@ ? Þ@! " !

? " ? "

? Þ@ Þ@? Þ@ Þ@ˆ ‰È È È

â ââ ââ ââ ââ ââ â? @ @@# # #

cos sin cossin cos sin

cos sin cos sin

Así obtenemos que

5 œ œ œ #/10

IKJ

"?"

? "

#

# #

"

? "#

#

# #

Š ‹È

De y se tiene que o sea que , y, tienen la misma curvatura" # 5 œ 5 0 0Gaussiana.Sea , para que sea una isometría es condición2 œ 0 ‰ 0 À W W 2"

0 0

necesaria y suficiente que , , . Pero en nuestroI œ I K œ K J œ J0 0 00 0 0

caso particular se tiene , I œ Á " œ I K œ ? Á " ? œ K0 0

? "? 0 0

# ##

#

Luego no es una isometría.2 œ 0 ‰ 0"


112.Sean superficies transversales (es decir, se cortanW ß W § d" #$

transversalmente) : − W ∩ W Ê X W Á X W" # : " : #

Probar que si y se cortan transversalmente entonces es unaW W W ∩ W" # " #

curva.SOLUCIÓN:Sean superficies y tómese entonces existenW ß W § d : − W ∩ W" # " #

$

Z : W ß Z : W : − Z ∩ W § W" " # # " " "vecindad de en vecindad de en tales que ,: − Z ∩ W § W# # #, entonces @ : œ Z ∩ W ∩ Z ∩ W œ Z ∩ Z ∩ W ∩ W § W ∩ W" " # # " # " # " #

es también una vecindad de .:Existen abiertos de yY ßY d" #

#

Š ‹::" " " " "

# # # # #

ÀY Z ∩W WÀY Z ∩W W

es parametrización de es parametrización de

tales que Š ‹:

:" " " "

# # # #

?ß@ œ B ?ß@ ßC ?ß@ ßD ?ß@?ß@ œ B ?ß@ ßC ?ß@ ßD ?ß@

Ahora puesto que , por ser y superficies transversales, seX W Á X W W W: " : # " #

sigue que , y ,` ` ` `

`? `@ `? `@: : : :" " # #: • : : • :

no son paralelos, por lo tanto la matriz

– —` ` `B `C `D

` ` ``B `C `D

: : ::: : :

" " "

# # #

tenemos dos filas linealmente independientes y por lo tanto tiene rango #en todos los puntos de entonces por el teorema de la funciónW ∩ W ß" #

implícita existe una vecindad de tal que y esm m: : œ ∩ W ∩ W :v v" #

el gráfico de una función definida en un intervalo abierto de ,M d0 À M d W ∩ W . Así localmente es una curva, puesto que esto se puede#

" #

hacer para cada punto entonces se sigue que es una: − W ∩ W W ∩ W" # " #

curva.

113.Sea definida por .: 1 :À M ‚ !ß # W ?ß @ œ B ? Þ@ß B ? Þ@ß D ?cos sinCalcular ecuaciones del plano tangente en el punto , y los` `

`? `@: :ß ?ß @ œ ::

productos ; probar que es una parametrización. ß ß l l ß l l` ` ` ``? `@ `? `@

# #: : : : :

SOLUCIÓN:Puesto que con definen una curva regular\ ? ß^ ? ? − Mentonces existen por lo tanto\ ? ß^ ?w w

``?

w w w: œ B ? Þ@ß B ? Þ@ß D ?sin sin `

`@: œ B ? Þ@ß B ? Þ@ß !sin cos

ya que las funciones son derivables continuamente, ahorasin cosÞ@ß Þ@

ß œ B ? B ? Þ@ Þ@ B ? B ? Þ@ Þ@ œ !` ``? `@

w w: : cos sin sin cos l l œ B ? @ B ? @ D ? œ B ? Ö @ @× D ?``?

# w # w # w w # # w# # # # #: cos sin cos sin œ B ? D ?w w# #


l l œ B ? Ö @ @× œ B ?``@

# # ## #: sin cosDe lo anterior se deduce lo siguiente:" es diferenciable, ya que existen , : ` `

`? `@: :

# y son ortogonales, esto implica que son linealmente` ``? `@: :

independientes ya que y , o, , esto es debido a queB ? Á ! B D Á ! a? − Mw w

se trata de una curva en revolución y se ha impuesto esta condición, así| son ambas distintas de cero. Luego , , o sea ` ``@ `?

# # w w! !

: :l ß l l : Á ! a: Á !: :

es inyectiva.$ es uno a uno inyectiva ya que si:

B ? Þ@ß B ? Þ@ß D ? œ B ? Þ@ ß B ? Þ@ ß D ?cos sin cos sin" " " " "

entonces se tiene: B ? Þ@ œ B ? Þ@cos cos" "

B ? Þ@ œ B ? Þ@sin sin" "

D ? œ D ?"

pero se sabe que y son funciones que definen la curva luego sonB D Ginyectivas, así D ? œ D ? Ê ? œ ?" "

De aquí se sigue que , por lo tanto se reduce a ,B ? œ B ? Š ‹"Þ@œ Þ@Þ@œ Þ@

sin sincos cos

"

"

de la primera de las dos igualdades anteriores se recibe que, @ œ @1 "

ya que en este caso sin sin sin cos cos sin sin sinÞ@ œ @ œ Þ Þ@ Þ Þ@ œ " Þ@ œ Þ@1 1 1" " " ""

pero luegocos cos cos cos sin sin cosÞ@ Á @ œ Þ Þ@ Þ Þ@ œ Þ@ ß1 1 1" " " "

necesariamente debe ser .@ œ @"Construyamos ahora la inversa de , se sabe que si: 1À M ‚ !ß # W: ß : ß : − W ? @" # $ entonces existe un único y un único tal que

: œ B ? Þ@ß : œ B ? Þ@ß : œ D B" # $cos sinesto nos da una visión para definir en efecto esta: 1"ß 0 À W M ‚ !ß #dada de la siguiente manera

si

si 0 : ß : ß : œ

D : ß B ? !

D : ß B ? !

ÚÛÜ

Š ‹Š ‹" # $

"$

:

: :

"$

:

: :

arcsin

arcsin

#

" ## #

#

" ## #

ÈÈ

0 B ? Á !ß a? esta bién definida ya que por lo tanto .È É: : œ B ? @ @ œ lB B l Á !" #

# # # # #cos sinAhora ya que así;0 ‰ œ M. 0 ‰ ?ß @ œ 0 B ? Þ@ß B B Þ@ß D ? ß: :M‚ !ß#1 cos sin

si

si 0 ?ß @ œ

D D ? ß B ? !

D D ? ß B ? !

ÚÛÜ

Š ‹Š ‹:

" B ? Þ@B ?

" B ? Þ@B ?

arcsin

arcsin

sin

sin

œ œ ?ß @?ß Þ@?ß Þ@œ arcsin sin

arcsin sinAhora , en efecto: ‰ 0 œ M.W


: :

Þßà

ÚÛÜ

Š ‹Š ‹0 : ß : ß : œD : ß B ? !

D : ß B ? !" # $

"$

:

: :

"$

:

: :

arcsin

arcsin

#

" ## #

#

" ## #

ÈÈ

si

si

œ

ÚÛÜ

Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹Š ‹B D : ß B D : ß D D :

B D : ß B D :

" " "$ $ $

: :

: : : :

" "$ $

:

: :

cos arcsin sin arcsin

cos arcsin sin

# #

" # " ## # # #

#

" ## #

È ÈÈ Š ‹ ß D D :arcsin :

: :"

$#

" ## #È

pero se sabe que: por lo tanto : œ D ? D : œ ?Þ$ $"

cos arcsin sin arcsinŠ ‹ Š ‹Ë ” • É É: :

: : : :

#: : : :

: : : :# #

" # " ## # # #

# " # ## # # #

" # " ## # # #È Èœ " œ " œ

œ œl: l l: l

: : lB ? l" "

" ## #È

Por lo tanto

:

Þßà

ÚÛÜ

Š ‹Š ‹0 : ß : ß : œ œ : ß : ß :B ? ß B ? ß :

B ? ß B ? ß :" # $ " # $

: :lB ? l lB ? l $

: :lB ? l lB ? l $

" #

" #

Claramente es derivable ya que es diferenciable y es una0 ß D Þ" arcsin αfunción diferenciable. De todo lo anterior es un homeomorfismo con:inversa diferenciable o sea un difeomorfismo. Esto completa el hecho deque es una parametrización.:

114.Verificar la validez de la siguienta afirmación dondeŒ ``? `? `@

` `

``@ `? `@

` `

: < <

: < <

œ+ ,

œ - .

” •+ ,- .

: À Y Y ßes la matriz Jacobiana de en el punto , siendo < : :"! !

< À Z Z W! parametrizaciones de una superficie .SOLUCIÓN:Sea ahora derivando y aplicando la regla de la: < < :œ ‰ ‰ ß"

cadena se tiene: : < < : < : < < :w w " " w "

! ! ! ! !w w

: œ Ò ‰ : Ó ‰ ‰ : œ ; ‰ ‰ : "

Ahora :w! ! !

` ``? `@Š ‹: œ : ß :: : esta es una matriz pero la consideramos en$ ‚ #

forma vectorial para mayor facilidad.:w

! ! !` ``? `@Š ‹; œ ; ß ;: :

Ahora por lo tanto< : < : < :" " "" #‰ œ ‰ ß ‰ œ \ ?ß @ ß ] ?ß @

– —< :" w!

`\ `\`? `@! !

`] `]`? `@! !

‰ : œ: :

: :

Así regresando a se tiene"

Š ‹ Š ‹ – —` `? `@ `? `@ `] `]! ! ! !

$‚# $‚#

` ``\ `\`? `@

`? `@ #‚#

: ::

< <: ß : œ ; ß ; † œ

œ † † ß † †Š ‹` ` ` ``? `? `@ `? `? `@ `@ `@

`\ `] `\ `]

$‚#

< < < <

de donde se tiene que `

`? `? `? `@ `? `? `@! ! !` ` ` ``\ `]: < < < <: œ † ; † ; œ + ,


``@ `@ `? `@ `@ `? `@! ! !

`\ `]` ` ` `: < < < <: œ † ; † ; œ - .

de aquí se concluye entonces que es la matriz Jacobiana de” •+ -, .

< :" ‰ ; lo cual queriamos mostrar.

115.Sea una superficie conexa conjunto de las orientaciones de ,W Y W

entonces es vacío o tiene dos elementos.Y

SOLUCIÓN:Supongamos que es orientable, entonces existe un campoWnormal de vectores unitarios tal que( À W d$

" ( es continua# : ¼ X W a: − W( : , $ l : l œ " a: − W( ,

Como la colocación de un vector normal sobre puede ser hecha deX W:dos maneras: y su opuesta , entonces consideremos( (: : se tiene se tieneE œ Ö: − WÎ : × F œ Ö; − WÎ ; ×( (

E Á F Á Wø y ø ya que se está suponiendo orientable. Se tiene estoncesE ∩F œ E ∩F Á Í b: − W Xø ya que si ø tal que en se tiene! :!

( ( : <: œ : À Y Y ß À Z Z! ! ! !, esto significa que existen parametrizaciones de tales que y para algún W : − Y ; œ : ; − Z! ! ! ! !<

y se tiene: esto según un resultado de` ``? `@ `? `@

" ` `: : < <• œ ./> N+-9, •< :

la teoría general y aquí esto implica que de hecho no./>N+-9, ! W< :"

es orientable, lo cual es ( ) contradictorio. Por lo tanto ø.po E ∩F œAfirmamos ahora que , en efecto , ahora sea E ∪F œ W E ∪ F § W B − Wentonces puesto que se ha supuesto orientado existe un campo normalWde vectores tal que en se tienen dos posibilidades o( (À W d X W B $

B

B B − E B − F B − E ∪ F E ∪F œ W( , o sea que o por lo tanto de donde .E : − E À W d , en efecto, sea entonces como es unaes abierto ( $

aplicación continua, entonces existe una vecindad de tal que Z : a> − Zse tiene , por lo tanto , o sea, existe vecindad de tal que( > > − E Z :: − Z § E E así es abierto.Análogamente, sea , esto es, se tiene que , como es; − F ; À W d( ( $

continua, existe vecindad de tal que para todo se tiene oY ; > − Y >(sea que , por lo tanto y esto equivale> − F a; − F bY − ; ; − Y § Fµa afirmar que es abierto.FAhora se sabe que es conexo esto implica que uno de los dos o W E Fdebe ser vacío ø . Así el conjunto de las orientaciones de tieneY Wexactamente dos elementos (cuando es orientable), aquel para la cualWF œ E œ Yø y aquel para la cual ø y constituyen los dos elementos de .Si no es orientable entonces se tiene que øW Y œ Þ

Existen otras demostraciones de este resultado , por ejemplo entopología algebráica se define orientación como el número distinto degeneradores que tiene el último grupo de homología. Ahora es fácil


construir una homología para mostrar que un conjunto conexo de esd8

contráctil, en este caso y según los axiomas de Eilemberg Stingroot, elúltimo grupo de homología de (como subconjunto conexo de ) esW d8

igual al último grupo de homología de uno de sus puntos. Puesto que Wse supone orientado y se conoce que el último grupo de homología deun punto es isomorfo a entonces el número distinto de generadores™de es dos ,y, por lo tanto el número de orientaciones posibles de™ " "W es dos.

116.Si (siendo y conexos) tiene exactamente dos componentesY ∩ Z Y Z

conexas y tiene Jacobiano en una componente y Jacobiano< :" ! !

en la otra. Entonces no es orientable.W

SOLUCIÓN:Sea , entonces es conexo. Supongamos que esW œ Y ∪ Z W Worientable entonces se sigue del problema anterior que el conjunto delas orientaciones tiene cardinal (dos), por lo tanto se puede suponer#

que tenga la orientación positiva(+) esto significa que dadasW: <À Y Y ß À Z Z Y ∩ Z Á! ! con ø (como se tiene por hipótesis) entonces Š ‹./> ‰ !

Y∩ZJacobiano

para todos los puntos de < :

:

"

" "

Ahora sean y dos componentes conexas de , según la[ [ Y ∩ Z" #

hipótesis

es tal que para todos los puntos de œ< : < :

:

" "[ [

""

‰ l ./>N+-9, ‰ l !

[#: :" "

" "

y

œ< : < :

:

" "[# [

"

‰ l ./>N+-9, ‰ l !

[$: :" "

#es tal que

para todos los puntos de

2De la proposición junto con y el hecho de que# ß ": :" "

"[ § Y ∩ Z implican la existencia de un punto: − [ ∩ Y ∩ Z! "

" ": : tal que ./>N+-9, ‰ : ! • ./>N+-9, ‰ l : !< : < :" "

! ![:""

esta proposición es claramente contradictoria por lo tanto nopo Wpuede ser orientable.

117.Defina "camino regular" y "camino parametrizado por la longitud dearco". Dé ejemplos para cada caso.SOLUCIÓN: Sea un abierto de (esto es un intervalo abierto) y M d À M d: 8

una función continua, es un camino regular si:ˆ ‰3 ß 5 " es diferenciable de clase : V5

33 es un homeomorfismo local:333 es inyectiva:w


Sea , se dice un camino parametrizado por la longitud de: :À M d M$

arco cuando dado | | entonces% $ !ß bT œ Ö> œ +ß > ßá ß > œ ,× T ! " 8

| , donde | , l l l: : % : : : ßT l lT œ Ö> > × ß T œ l > > lmax 3" 3 3" 33œ!

8"

entonces se puede probar que .l ': :œ l > l.>+

, w

Si , entonces se dice que está "parametrizadal ': : :œ l > l.> œ , + M+, w

por la longitud de arco"Si es parametrizada por la longitud de arco es equivalente a decir: Mque .l > l œ "ß a> − M:w

Los ejemplos se los dejamos al cibernavegante interesado.

118.Sea el gráfico de una función una función de claseW − d 0 À Y d$!

V5 !5 " Y definida en un abierto del plano.+ WPruebe que es una superficie de clase .V5

, 0Obtenga en función de las coordenadas de un vector unitario normala en un punto W : œ B ß C ß D − W! ! !

SOLUCIÓN: + W œ Ö Bß Cß D ÎD œ 0 Bß C × Sea . Tomemos la siguienteparametrización , se tiene: Bß C œ Bß Cß 0 Bß C3 es diferenciable, ya que claramente existen las derivadas parciales y:

son continuas, más aún son de clase V5 5 "33 es un homeomorfismo, ya que basta escribir la aplicación inversa:

de que es , la proyección , así puesto que es continua se sigue que: 1 1$ $$

: es un homeomorfismo. Ô ×Ö ÙÕ Ø333 Bß C œ

" !! " Puesto que se tiene que tiene rango dos por lo: :w w

`0 `0`B `C

tanto es biunívoca, o sea inyectiva., : À W d Basta tomar la función dada por( $

( : œ œ œ œ` ``B `C B ! ! C` ``B `C

B C B C : :

B C B C: : :

# # #

B C

B C! !# #

: :

: :

•

l • l

! " " !0 0 0 0

ß ß" !! "

! " " !0 0 0 0

" !! "

0 ß0 ß"

0 0 "

0 B ßC ß0Œº º º º º º

Ëº º º º º º É ÉB ßC ß"

0 B ßC 0 B ßC "

! !

B C! !# #

! ! ! !

119.Sea una superficie W § d 5 "$ 5V

+ ß 0 À W d 0 : À X W dDefina "aplicación de clase y su derivada V 5 8 w 8:

en un punto ".: − W

, W 0 : œ ! : − WPruebe que si es conexa y para todo entoncesw

0 À W d8 es constante.


- , W : − W Use para probar que si es conexa y para todo se tiene: ¼ X W W: entonces es parte de una esfera.SOLUCIÓN: + 0 À W d Una aplicación es una función de clase si para8 OVtoda parametrización se tiene que es de: :À Y Y § W 0 ‰ À Y d! !

8

clase y además esta dada por: SiV5 w 8:0 : À X W d

α α α> À M Y 0 : ‰ ! œ 0 ‰ !> È ? > ß @ >

es un camino, entonces !w w w

, : : : : :; œ : 0 ‰ ; œ 0 ; † ; œ 0 ; † f ; œ !ßw w w w

por otra parte 0 ‰ ; œ : ß : œ # ß † : œ !: : : : :w w

! ! ! ;w

De estas dos últimas igualdades y como es conexo se sigue queW0 ‰ œ -98=> Í ; : ß ; : œ -98=>Þ: : :! !

, À Y Y § W W :ß Sea es una parametrización de en torno de es decir: !

: − Y : œ : Y Y œ Y, . Se puede tomar conexa, así es conexo y se: :! !"

tiene que: , 0 : œ œ ! Ê 0 ‰ : œ ! a: − Y œ Yw "0‰ :

:w

! ! !::

w!

w!

: : .

Como es conexo y se sigue del análisis en queY 0 ‰ À Y § d d ß d! !8 8 8:

0 ‰ œ -98=> ß a: − Y Ê 0 Y œ -98=> Í 0 Y œ -98> Y: :! ! ! para todo

abierto de W Ê 0 œ -98=>Þ

- 0 À W d : − d: È : : ß : :

Sea donde . Tómese por otra parte! !

! $

α α αÀ M W @ œ ! ß ! œ : de manera que , y derivando se tienew

0 : † @ œ 0 ‰ ! œ : ! ß : ! ! œ # ß : !w ww w!α α α α α

œ # @ß : : ! .Ahora entonces sea una parametrización de esto significa: ¼ X W Wß: :

que : ¼ f Í : † f : œ !: :

Se impone ahora la condición de que sea un punto donde todos los:! f : ß : − W f : œ 0 :: : se cortan, entonces en ese caso , asíw

tendríamos que . Como es conexa se sigue entonces que 0 : † @ œ ! W 0w

es constante o sea y esta contenida en una : : ß : : œ -98=>Þ W! !

esfera de . d$

120.Sean superficies en Supongamos que es orientable yW ß W d Þ W" # #$

existe un difeomorfismo local . Pruebe que es orientable.0 À W W W" # "

SOLUCIÓN:Sea orientable, es decir existe un conjunto deW# Æparametrizaciones que cubren a tales que si estanW À Y Y ß À Z Z# ! !: <en y si ø entonces . Ahora se tiene:Æ, Z ∩ Y Á ./>N+-9, ‰ !< :"

" 0 ‰ : es un difeomorfismo


# 0 ‰ À Y W W: ! # # define una parametrización de $ W 0 œSea un conjunto de parametrizaciones para entonces, esP P" Æ

un conjunto de parametrizaciones para W#

% WComo es orientable entonces:#

S 0 Y œ W−

" ! #∪:

:P

Dadas en con ø entonces elS À Y Y ß À Z Z Z ∩ Y Á# " ! " !: < Pcambio de parametrización posee determinante Jacobiano positivo< :

"

""

en los puntos :"" Z ∩ Y

& S S ßProbemos que cumple también y en efectoP " #

S 0 Y œ Y − W 0 Y œ W−

" ! " ! #" con cubren a , pues , así,: : :

:P

P∪

W œ 0 W œ 0 0 Y œ 0 0 Y œ Y− − −

" # ! ! !" " "∪ ∪ ∪

: : :: : :

P P P

S À Y Y ß À Z Z Y ∩ Z Á# ! ! Dadas en con ø entonces: < P

0 Y ∩ 0 Z Á ./> 0 ‰ 0 ‰ !ˆ ‰ø en esta forma pues,: <" w

./> 0 ‰ 0 ‰ œ ./> ‰ 0 ‰ 0 ‰ œ ./> ‰ !ˆ ‰: < : < : <" w " " "w w

en . Luego es orientable:""Y ∪ Z W

121. Muestre que, una catenaria lasB œ Þ@ † Þ?ß C œ Þ@ † Þ?ß D œ @ßcosh cos cosh sinlíneas asintóticas son dadas por ? @ œ -98=> ? @ œ -98=>y .SOLUCIÓN: La catenaria es una superficie de revolución B œ Þ@ † Þ? œ @ † Þ?cosh cos cos:

C œ Þ@ † Þ? œ @ † Þ?cosh sin sin:

D œ @ œ @<Se sabe por teoría general que en este caso / œ ß 0 œ !ß 1 œ

< : < : < :

: < : <

w w ww ww w

w w w w# # # #É ÉAhora < < : :w ww w wwœ "ß œ !ß œ Þ@ß œ Þ@sinh cosh : <w w # ## # œ " @ œ @sinh coshasí, sustituyendo nos queda / œ œ "ß 0 œ !ß 1 œ œ " Þ@ "† Þ@!

@ @

cosh coshcosh coshÈ È# #

Ahora las líneas asintóticas son dadas por la ecuación / ? #0? @ 1 @ œ !w w w w# #

de donde se tiene por sustitución - ? @ œ ! Í ? œ @w w w w# # # #

Tomando la raíz cuadrada se tiene así integrando se tiene? œ „ @ ßw w

? @ œ -98=> ß ? @ œ -98=> que es lo que se quería.

122.Probar que toda superficie compacta posee por lo menos un puntoW

elíptico. Concluya de aquí que tiene una infinidad de puntos elípticos. W


SOLUCIÓN:Sea una aplicación de la superficie a que0 À W d W d: Èm:m#

indica la distancia al cuadrado de un punto de S al origen. Puesto que Wes compacta, es continua por ser la función distancia, por lo tanto 0 0toma máximo y mínimo, digamos que para se tiene es7 − W 0 7 œ m7m#

el máximo. Con radio se construye una esfera con centro en el< œ m7m# #

origen y es claro que la superficie queda toda dentro de esta esfera por lotanto la curvatura de la esfera en este punto será mayor que la5 7

curvatura de en este punto, o sea . Sea ahora unW 5 7 ! ""<#

camino definido en el intervalo y que pasa por . EntoncesÒ ß Ó 7 œ !0 0 α

claramente toma máximo en ya que es continua por ser0 ‰ Wαcompuesta de funciones continuas y lo hace justamente en el punto > œ !

o sea en , y tómese . Con el objeto de mostrar 7 ! ß ! œ " "α αw w

derivamos , se tiene:0 ‰ > œ > ß > #α α α. 0‰ . 0‰

.> .>w

>œ!α αœ # > ß > > œ ! l œ !α α , en se obtiene , esto por

definición de máximo. Así que o sea que y son ! ß7 œ !ß 7 !α αw w

ortogonales ahora derivando nuevamente se tiene . 0‰

.>ww w w

# α œ # > ß > # > ß > α α α α

en se sigue, según la condición para ser máximo, se debe tener que> œ !. 0‰

.> >œ!w w ww

#

#

α l Ÿ !ß ! ß ! ! ß7 Ÿ ! o sea que , pero se haα α α

impuesto que en esta forma . ! ß ! œ " " ! ß7 Ÿ !α α αw w ww

Por lo tanto tomando como vector normal se tiene que7<

! ß œ 5αww 7< 8 a la curvatura normal siguiéndose que

" 7 "< < <

ww8 ! ß !ß 5 α o sea en particular esta relación se tiene

para las curvaturas principales dadas por . Luego5 ß 5 " #" "< <

5 7 œ 5 † 5 !" #"<# , lo cual queríamos demostrar.

123. + = œ + B C Halle las curvaturas principales del parabolóide en# #

el punto .!ß !ß !

, Halle la curvatura media y la curvatura Gaussiana del hiperbolóideD œ +BC B œ C œ ! en el punto .


SOLUCIÓN: + Bß Cß + B CTomemos como parametrización , la cual: # #

claramente esta bien definida, de aquí se tiene : :B BBß C œ "ß !ß #+B Ê !ß ! œ "ß !ß ! : :C CBß C œ !ß "ß #+C Ê !ß ! œ !ß "ß !

: :BC BCBß C œ !ß !ß !ß Ê !ß ! œ !ß !ß !

: :BB BBBß C œ !ß !ß #+ Ê !ß ! œ !ß !ß #+ : :CC CCBß C œ !ß !ß #+ Ê !ß ! œ !ß !ß #+

I œ ß œ " %+ B Ê I œ ": :B B# #

!

J œ ß œ %+ BC Ê J œ !: :B C#

!

K œ ß œ " %+ C Ê K œ ": :C C# #

!

IK J œ " %+ B %+ C Ê IK J œ "# # # # # #!

/ œ œ œ #+l ß ß l

IKJ

" ! !! " !! ! #+

": : :B C BB

#È

â ââ ââ ââ ââ ââ â

0 œ œ œ !l ß ß l

IKJ

" ! !! " !! ! !

": : :B C BC

#È


1 œ œ œ #+l ß ß l

IKJ

" ! !! " !! ! #+

": : :B C CC

#È

â ââ ââ ââ ââ ââ âCuando las líneas coordenadas son líneas de curvatura, en eseJ œ 0 œ !

caso las curvaturas principales y estan dadas por y por5 5 5 œ 5 œ" # " #/I K

1

lo tanto en el punto 5 œ #+ ß 5 œ #+ !ß !ß !" #

, + Como en la parte hacemos uso de la parametrización: Bß C œ Bß Cß +BC así: : :B BBß C œ "ß !ß +C Ê !ß ! œ "ß !ß ! : :C CBß C œ !ß "ß +B Ê !ß ! œ !ß "ß !

: :BB BBBß C œ !ß !ß !ß Ê !ß ! œ !ß !ß ! : :BC BCBß C œ !ß !ß + Ê !ß ! œ !ß !ß +

: :CC CCBß C œ !ß !ß ! Ê !ß ! œ !ß !ß !

I œ ß œ " + C Ê I œ ": :B B# #

!

J œ ß œ + BC Ê J œ !: :B C#

!

K œ ß œ " + B Ê K œ ": :C C# #

!

IK J œ " + B + C Ê IK J œ "# # # # # #!

/ œ œ œ !l ß ß l

IKJ

" ! !! " !! ! !

": : :B C BB

#È


0 œ œ œ +l ß ß l

IKJ

" ! !! " !! ! +

": : :B C BC

#È


1 œ œ œ !l ß ß l

IKJ

" ! !! " !! ! !

": : :B C CC

#È



así, , O œ œ œ + L œ œ œ !/10 /K#0J1IIKJ " # IKJ "

!+ " !†"#†+!†"##

# #

#

124. Sea un campo de vectores de clase en una superficie , conA WV∞

A : Á ! : − W para un cierto . Pruebe que existe una parametrización0 0À Z Z : œ A Z! ? de una vecindad de , tal que en .SOLUCIÓN: Sea parametrización de para . Sabemos que: À Y Z W Z ® :!

como es un difeormorfismo, se construye un campo en tal: A B Y! !

que o sea que , puesto queA B œ B A B A B œ Ò B Ó A B: : : :w w "

! !

:w! !B Á !ß aB − Y : Á ! B − Y. Como podemos encontrar un tal que

A B Á !ß A! !más aún por la continuidad de , ya que es compuesta defunciones continuas, se puede construir tal que .Y A B Á !ß aB − Y! ! !

Ahora por el teorema del flujo tubular existe una vecindad rectangularZ!

y un difeomorfismo (un flujo tubular) de en tal que transforma una6 Z Y! !

línea coordenada en una trayectoria de A!.Tomando se obtiene la parametrización deseada ya que0 : 6œ ‰ 0 : 6 : 6? ?

``?

wœ ‰ œ ‰ œ AÅ Å

regla de la cadena Š ‹construcción de es trayectoria de

AA!

? !6

125.Pruebe que si una superficie encuentra un plano siguiendo unW C

ángulo constante , entonces es una línea de curvatura de Á ! W ∩ WÞC

SOLUCIÓN: Sea un campo continuo de vectores unitarios, en esteR À WCcaso es constante ya que es un plano. Sea unaC α CÀ M ∩ W


parametrización de , puesto que se toma la compuestaC α C∩ W M §R ‰ À M Wα la cual también es constante. Derivando se tieneR ‰ > œ R > ‰ > œ ! "α α αw w w

De aquí se sigue entonces que R † @ œ ! † @ß @ − ∩ W #:w C

Entonces por el teorema de O. Rodrigues se sigue que es un valor@propio de , entonces es una línea de curvatura del plano. Ahora seaRw αR W ∩ WW un campo de vectores continuos unitarios de a lo largo de .CComo el ángulo entre y es constante tenemos ,C W ß R ßR œ -98=>W

por lo tanto . De tenemos R ßR R ßR œ ! #Ww w

W

R ßR R ß ! œ ! R ßR œ !ßw wW WW , o sea que esto significa que

R R >w w wW # es paralelo a y por consiguiente paralelo a así existe tal queα -

R œ > ∩ Ww wW #- α C. Del teorema de O. Rodrigues se obtiene que es una

línea de curvatura de .W

126.Defina los siguientes conceptos:+ Campo de vectores tangentes a lo largo de un camino., Derivada covariante- Campo de vectores paralelos.

SOLUCIÓN: Sea una superficie y una parametrización. Sea+ W À Y W: !

- -À M W W À N W una curva en . Tomando de la forma- :?ß @ œ ? > ß @ > una curva parametrizada por longitud de arco. Uncampo de vectores a lo largo de - esta definido porA > œ ? @: : -? @

w w o sea es un campo de vectores tangentes a en cadapunto., À M W W A > Sea un camino en y un campo de vectores a lo largo de-A. Se define como la proyección normal dederivada covarianteˆ ‰.A

.> sobre el plano tangente en cada punto y esta dado porHA.> œ + +? +@ ,? ,@ , +? +@ ,? ,@w " w " w " w " w w # w # w # w # w

"" "# "# ## "" "# "# ##? @> > > > : > > > > :

donde y son tales que + > , > A > œ + > , >: :? @

- W À M W W : − W A > Sea una superficie regular una curva en , sea y -un campo de vectores tangentes a . Se dice que es un - A campo de


vectores paralelos a lo largo de , si la derivada covariante de es- Anula para cada punto que pertenece a , es decir, es campo de vectoresM Aa lo largo de es un campo de vectores paralelo - Í œ !ß a> − MÞHA

.>

127.Pruebe, a partir de la definición que si es una geodésica- À M W

entonces es constantel > l-w .SOLUCIÓN: Sabemos de la definición que como es un campoH >

.>w-w

œ ! >-

de vectores a lo largo de dado por- > , > ß > œ ! Í # > ß > œ ! Í > ß > œ !- - - - - -w ww w ww w w w

por la conexidad de la curva por ser imagen continua de un intervalo sesigue que l > l œ -98=> œ 5 Á !Þ-w

128.Usando apenas la definición, determine las geodésicas de un cilíndrode revolución.SOLUCIÓN: Se sabe que toda recta contenida en una superficie es unageodésica por lo tanto en el cilindro la generatriz es una geodésica.Consideremos una parametrización del cilindro dada por : ?ß @ œ < Þ?ß < Þ?ß @cos sinSin perder generalidad se puede tomar , así y< œ " ?ß @ œ Þ?ß Þ?ß @: cos sinuna curva en el cilindro esta dada por , con- > œ Þ? > ß Þ? > ß @ >cos sincampo de vectores tangentes dado por -w w w w> œ Þ? > † ? ß Þ? > † ? ß @sin cosademás -ww w ww w ww ww# #Š ‹> œ Þ? > † ? Þ? > † ? ß Þ? > † ? Þ? > † ? ß @cos sin sin cos

Ahora : :? @œ Þ?ß Þ?ß ! ß œ !ß !ß "sin cosAdemás . Así, si es una ß œ !ß ß œ @ œ !- : - : -ww ww ww

? @

geodésica en el cilindro entonces .@ œ ! Ê @ œ +> ,ww

Por otra parte ß œ Þ? Þ? † ? ? † ? Þ? Þ? ? ? ! œ ?- :ww w # ww w # ww

?# #cos sin sin cos sin cos

o sea ? œ ! Ê ? œ -> .Þww

129. Pruebe que una línea asintótica es una geodésica si y sólo si es unarecta.SOLUCIÓN: ) Ê Sea una línea asintótica entonces , o sea su- 5 œ !8

curvatura normal es nula. Como es una geodésica entonces se tiene que-5 œ ! 5 œ 5 5 œ !1

# # #1 8. Pero sabemos que , esto implica que es una-

recta.É 5 œ !) Supongamos que es una recta entonces . Por otra parte se-

sabe que , así esto implica que es5 œ 5 ßR œ !ßR œ ! 5 œ !8 8 8 -


una línea asintótica. Ahora tenemos , entonces5 œ 5 5 œ ! ! œ !1 8# # #

5 œ !1 por lo tanto es una geodésica.-

130.Pruebe que si una geodésica es una línea de curvatura entonces ellaes plana.SOLUCIÓN: Sea una curva parametrizada por la longitud de arco. Si- À M W- ( es parametrización de una geodésica entonces y . Si es5 œ ! R œ „ G1

línea de curvatura se tiene por el teorema de O. Rodrigues que" R > œ 0 > > donde = es una función diferenciable, por otraw w. . .

parte derivando se tieneR œ ß(# R œ œ 50 > , >w w w( 7

ÅFórmula de Frenet

Por lo tanto de y se tiene" # . 70 > œ 50 > , >w w

lo cual es equivalente a escribir . 7 5 0 > , > œ !w

Como y forma parte del triedro de Frenet ellos son linealmente0 > , >w

independientes, esto implica que y . Así como es una. 7 5 œ ! œ ! G

curva conexa entonces es una curva plana.GObsérvese que es una curva conexa geodésica para todo laG Í : − Gparametrización es a una vez coordenada de por la longitud de0 = 0ßarco , y un camino geodésico.=

131.Enuncie los teoremas de existencia y unicidad de las geodésicas y delas trayectorias paralelas a lo largo de un camino.SOLUCIÓN: Sea una curva parametrizada en y - À M W W A − X W ß > − W! !>- !

entonces existe un único a lo largo de concampo paralelo A > >-A > œ A! !.Dado un punto y un vector existe un y una única: − W A − X W !: %

geodésica parametrizada tal que .1 À ß W 1 ! œ :ß 1 ! œ A% % w

132.Sea una superficie tal que dos cualesquiera de sus puntos puedenW

ser ligados por una geodésica, sea un isomorfismo local. Probar0 À W d#

que es una biyección.0

SOLUCIÓN: Como es un isomorfismo local basta sólo con probar que es0 0inyectiva, para esto supongamos que y que , entonces0 : œ 0 ; : Á ;según la hipótesis, existe una geodésica parametrizada tal que- À M W- -! œ :ß " œ ; M œ Ò!ß "Ó sin perdida de generalidad hemos tomado y| , en esta forma se tiene que-wl œ -98=> œ G Á !

.0 : ß .0 ; œ ! • : Á ; Í .0 ! ß .0 " œ ! • : Á ;- -

Ahora por ser una aplicación geodésica local se tiene0


.0 ! ß .0 " œ ! ß " - - - -De estas afirmaciones recibimos que lo cual es :ß ; œ ! • : Á ; po

contradictorio, así es uno a uno.0

133.Pruebe que si es una superficie compacta no homeomorfa a unaW

esfera, entonces existen en puntos donde y .W 5 !ß 5 œ ! 5 !

SOLUCIÓN: + b: − W 5 : ! W tal que , ya que si es una superficiecompacta entonces se sabe que existe un punto que es elíptico o: − Wsea en donde 5 !Þ

, b: − W 5 œ ! a: − W 5 : Á !tal que , ya que si , entonces puede sucederque en cuyo caso sería homeomorfa a una esfera lo5 : !ß a: − W W po

cual sería contradictorio con la hipótesis. O puede suceder quea: − Wß 5 : ! W po, entonces no habrían puntos elípticos en esto escontradictorio pues por hipótesis es compacta ver parte .W +- b: − W 5 : ! a: − W 5 : ! tal que , puesto que si , . Entonces por el

teorema de Gauss-Bonnet así el conjunto de los' 'W

5. œ # W !5 1k

puntos elípticos es abierto y es entonces homeomorfa a una esfera yaWque la esfera es la única superficie compacta cuya característica de Euler-Poincare es positiva, salvo isomorfisomos .po

134. Sea un subconjunto abierto conteniendo al círculo unitarioY § d#

H Þ À Y d ß D œ 0 D ß 1 D ß# # ∞Sea una aplicación de clase dada por : V :

D − Y 0 D 1 D œ " D − Y tal que para todo .# #

+ œ ! D œ Bß C − Y Muestre que para todo `0 `1 `0 `1`B `C `C `B', 0.1 1.0 W H Calcule . es el borde de

W

" #

"

- ß Concluya que no existe una aplicación en las condiciones de arriba,:

con .:l œ M./8>3.+.W"

SOLUCIÓN: : :À Y d D œ 0 D ß 1 D 0 D 1 D œ " ‡ , , # # #

+ ‡ De la ecuación , se sigue que

y entonces0 D † 0 D 1 D † 1 D œ !w w

de donde0 D .B .C 1 D .B .C œ !Š ‹ Š ‹`0 `0 `1 `1`B `C `B `C


luegoŠ ‹ Š ‹0 D 1 D .B 0 D 1 D .C œ !ß`0 `1 `0 `1`B `B `C `C

0 D 1 D œ !ß 0 D 1 D œ ! Í`0 `1 `0 `1`B `B `C `C

y se tiene:0 D œ 1 D ß 0 D œ 1 D`0 `1 `0 `1`B `B `C `C

" 0 D œ ! ‡ ß 1 D Á ! œ Si , por la ecuación entonces y tenemos`1 `1`B `C

`0 `1 `0 `1`B `C `C `Bœ ! œ

# 1 D œ ! Análogamente si $ 0 D Á ! Á 1 D Si , entonces multiplicando en cruz la útima ecuación de

arriba en , tenemosß +

0 D † 1 D † œ 0 D † 1 D † Ê œ !Þ`0 `1 `0 `1 `0 `1 `0 `1`B `C `C `B `B `C `C `B

, Por el teorema de Stokes, tenemos que ' ' '

W W H" " #0.1 1.0 œ A œ .A

donde y entoncesA œ 0.1 1.0

.A œ .B .C • .B .C .B .C • .B .CŠ ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹`0 `0 `1 `1 `1 `1 `0 `0`B `C `B `C `B `C `B `C

œ .B • .C .B • .C .B • .C .B • .C œ !ß`0 `1 `0 `1 `1 `0 `1 `0`B `C `C `B `B `C `C `B

esto por la parte luego ' '+ ß A œ .A œ !W H" #

- œ M. Suponiendo por contradicción que exista tal que | , entonces: : W"

para todo , tenemos y en yD − W D œ D 0 Bß C œ Bß 1 Bß C œ C W" ":entonces tenemos ' ' '

W W H" " #0 Þ.1 1.0 œ B.C C.B œ .B • .C .C • .B

œ #.B • .C œ # < œ # Á !'H#

1 1#

lo cual es una contradicción con .po ,

135. Sea una -forma diferencial en un abierto con A " Y § d .A œ !Þ#

+ Q Y `QSea una región acotada de , cuyo borde es una curva regular.Muestre que '

`QA œ ! ', A œ .A œ ! A œ #Considere . Muestre que y sin embargo ,C.BB.C

B C# #V

1

donde es el círculo frontera de la región acotadaG B C œ "ß# #

Y œ Ö Bß C − d à B C Ÿ "×Þ +# # # Explique la aparente contradicción con .SOLUCIÓN: + A À Y dß .A œ !

Por el teorema de Stokes, tenemos ' ' '

`Q Q QA œ .A œ ! œ !


, A œ Y Notemos que la forma no esta definida en todo y si enC.BB.CB C# #

Y Ö !ß ! × !ß ! Â Gß A'. Como es lícito escribir y calcular .

V

Parametrizando por donde , sólo quedaG À !ß # G > œ Þ>ß Þ>: 1 : cos sinafuera el punto y entonces tenemos y Š ‹"ß ! B C œ "ÞBœ Þ>Ê.Bœ Þ> .>

Cœ Þ>Ê.Cœ Þ> .># #cos sin

sin cos

Luego y además A œ Þ> Þ> .> Þ> Þ> .> œ .> A œ .> œ # Þsin sin cos cos ' 'V !

#11

Ahora y entoncesA œ .B .CCB C B C

B# # # #

.A œ . • .B . • .C œ .C • .B .B • .CŠ ‹ Š ‹C C B C B

BB

B C#C# # ## #

# # # #

B C B C# # # #Š ‹ Š ‹La aparente contradicción con esta en el hecho de que está+ ß Adefinida en cuyo borde es que no es una curvaY Ö !ß ! ×ß G ∪ Ö !ß ! ×

regular; no es compacta, luego no podemos aplicar el teorema deYStokes.

136. Sean un abierto, una función de clase y unY § d 0 À Y d B − Y7 "!V

punto tal que Sea el conjunto de todos los vectores0 B œ !ß 0 B Á !Þ I! !w

velocidad de los caminos tales que y- - % % -w!! À ß Y ! œ B

0 > œ ! > − ß Þ I- % %para todo Pruebe que es un subespacio vectorialde dimensión del espacio .7 " d7

SOLUCIÓN: y 0 B œ ! 0 B Á !ß 0 B œ B .B â B .B! ! ! ! " ! 7w w `0 `0

`B `B" 7

0 B @ œ B ßá ß Bw

! ! !`0 `0`B `BŠ ‹ puede ser identificado con el vector el cual

" 7

llamamos 1<+.0 B Þ!

Sea , la segunda@ œ Ö ! − d à ! œ B ß 0 > œ !ß À ß d ×- - - - % %w 7 7!

condición significa que la imagen de por está contenida en la ß% % -superficie -dimensional y vamos a demostrar justamente7 " 0 !"

que es el espacio vectorial tangente a en el punto .I 0 ! B"!


Si entonces y como el subespacio generado por0 B Á !ß @ œ 1<+.0 B Ò@Ów! !

@ " d tiene dimensión en el espacio7

Ò@Ó œ Ö? − d Î? ¼ @× œ Ö? − d Î? @ œ !×¼ 7 7 †tiene dimensión 7 "

Probemos que . Si entonces y tenemosI œ Ò@Ó ! − I 0 > œ !¼ w- -

0 > † > œ ! 0 B † ! œ ! @ † ! œ !w w w w w!- - - -, luego , o sea y entonces

- %w ¼ ¼ ¼! − Ò@Ó I § Ò@Ó ? − Ò@Ó !, es decir, . Si , tomemos suficientementepequeño y definamos por y probemos que- % % -À ß d > œ B >?7

!

- - - -w w!! − I ! œ B > œ ? 0 ‰ >. Tenemos que y . Definiendo y

derivando, tenemos 0 ‰ > œ 0 > † > œ 0 > † ? œ ! Ê 0 ‰ > œ -- - - - -w w w w

Å? − Ò?Ó¼

, luego 0 ‰ ! œ 0 ! œ 0 B œ ! Ê - œ ! • 0 ‰ > œ ! ? − IÞ- - -!

137. Analice si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsasÞ+ A #Existe una forma diferencial cerrada , de grado y clase ,V∞

definida en tal que .d ß A œ #7 'W#

1

, H œ ÖB − d à lBl "×ß Y d 0 À H YSean un abierto de y una8 8

aplicación de clase . Para toda forma diferencial cerrada en , esV∞ ‡A Y 0 A

exacta en D.- 0 À Ò+ß ,Ó d m0 > m !Sea un camino continuo tal que , para todo8 %

> − Ò+ß ,ÓÞ m 0 > .>m , +Entonces '+,

%

. A œ +.B ,.CSea una forma diferencial de clase definida en unV∞

abierto . Si para todo camino diferenciable cerrado yY § d A œ !# '# #

continuo en , entonces existe una función de clase tal queY 0 À Y d V∞

A œ .0 .SOLUCIÓN: ; pues si es cerrada, entonces y por el+ A .A œ !Falsoteorema de Stokes tenemos , donde ' ' '

W# H HA œ .A œ ! œ ! H œ ÖB − d ÎlBl Ÿ "×$

, A 5 Y 0 A œ .A ; Sea una -forma diferencial en . Entonces esVerdadera ‡

una -forma diferencial en con 5 H . 0 A œ 0 .A œ 0 † ! œ !‡ ‡ ‡

Como es una variedad contráctil, podemos aplicar aquí el lema deHPoincare la -forma y entonces existe una -forma en tal‡ ‡5 0 A 5 " Hαque , sea, es exacta en .. œ 0 A 0 A Hα ‡ ‡


‡ Q ALema de Poincare:Sea una variedad diferenciable contráctil y una -forma en con Entonces existe una -forma en 5 Qß .A œ !Þ 5 " Qα

tal que . œ !α

- 0 À Ò!ß # Ó d 0 > œ Þ>ß Þ> ; sea el camino definido por Falso 1 # cos sintenemos que yl0 > l œ > > œ "Ècos sin# #

' ' 'Š ‹! ! !# # #

! !# #1 1 1 1 10 > .> œ Þ> .>ß Þ> .> œ Þ>l ß ÞCl œ !ß !cos sin sin cos

y entonces |'!#10 > .>l œ ! "

. A œ ß ß A œ .B .C d Ö !ß ! × : Tome o en como esFalso " BD B C B C

C ## # # #

fácil verificar.

138.Sean abierto en y una aplicación con Y d 0 À Y d H0$ # ∞BV

sobreyectiva para todo . Pruebe que para todo compacto B − Y O

contenido en , la función alcanza su máximo en la frontera de Y OÞl0lO

Nota: es la restricción de la función | a .l0 lO 0l O

SOLUCIÓN: . Por un resultado, es una aplicación abierta0 À Y § d d 0$ #

Entonces si | toma máximo en el punto entonces existe0l D − M8>ÐOÑßO !

un abierto tal que y tal que abierto en .Z D − Z § O § Y 0 D − 0 Z d! !#

Ahora, siendo abierto en y existe una bola0 Z d 0 D − 0 Z#!

F œ F 0 D à < § 0 Z C − F! . Entonces, para todo , tenemos que existeB − Z 0 B œ C F 0 D tal que , además por ser una bola abierta de centro ,!

va a existir un tal que y por hipótesis 6 6 6! ! ! ! !− F l l l0 D l œ 0 B ß

B − Z § Oà B − O l0 B l 0 D po! ! ! ! entonces existe tal que ,contradicción.

139.Sea la aplicación antípoda de la esfera y sea elE À W W W A# # #

elemento de área de . Muestre queW#

+ E A œ A ‡

, 0 À W ‚ Ò!ß "Ó WNo existe una aplicación diferenciable tal que# #

l0 D l lDl Q 0"$ si . Pruebe que es un polinomio.

SOLUCIÓN: Nótese que es la -forma tal que si entoncesA # ?ß @ − X W:


A : ?ß @ œ ?ß @área del paralelogramo formado por Nótese ahora que como tenemos que comoE : œ : X W œ X W:

# #E :

espacio vectorial, pero como espacios vectorialesX W Á X W:# #

E :

orientados. Esta afirmación es verdadera, pues los vectores son los/ ß /" #

mismos en los dos planos, pero .R : œ R :+ E À Ö X W × Ö X W × Sea formas en formas en ‡ # #

: E :

E A ?ß @ œ A E : † E : † ?ßE : † @ œ A ?ß @‡ w w: E :

como es lineal entonces .E .E œ E:

Pero , pues es bilineal. EntoncesA ?ß @ œ " " A ?ß @ AE : E : E :

E A ?ß @ œ A ?ß @ œ ò ?ß @ X W œ A ?ß @‡ #: E : E : :área orientada del en

Luego -E A œ AÞ‡

, Q œ W ‚ Ò!ß "ÓConsideremos la variedad compacta con borde#

orientado `Q œ W ‚ ! W ‚ "9# #

el signo significa que tomamos con la orientación inducida de W ‚ " Q9 #

Supóngase que existe tal que y 0 À Q W 0 :ß ! œ E : 0 :ß " œ : œ M : Þ#

Como es -forma en de dimensión , tenemos y entoncesA # W # .A œ !#

! œ 0 .A œ .0 A œ 0 A œ 0 A 0 A œ' ' ' ' 'W ‚Ò!ß"Ó#

# W ‚!W ‚" # ## #‡ ‡ ‡ ‡ ‡

W ‚Ò!ß"Ó W ‚! W ‚"ÅT. de Stokes

œÅ

0 œ M W ‚ "0 œ E W ‚ !

pues en y en

#

#

' ' ' 'W ‚! W ‚" W

‡ ‡# # #

W#E A A œ E A A

Entonces concluimos que . Pero por la parte tenemos' 'W W

‡# #E A œ A + ß

que y entonces contradictorio, luegoE A œ A E A œ A po‡ ‡' 'W W# #

no existe 0Þ

140. Analice si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsasÞ


+ A "Sea una forma diferencial de grado y clase definida en elV

parabolóide y tal que . Entonces existeW œ Ö Bß Cß D à D œ B C × .A œ !# #

una función con 0 À W d .0 œ AÞ

, A A • A œ ! Para toda forma diferencial , se tiene .SOLUCIÓN: + WVerdadera: Pues si parametrizamos por: Bß C œ Bß Cß B C# # vemos que es una variedad contráctil pues:

L À W ‚ Ò!ß "Ó W

Bß C ß > È >Bß >C œ Bß Cß > B CŠ ‹Š ‹: : # # #

L :ß " œ Bß C œ :: L :ß ! œ !ß ! œ !ß !ß ! œ :: !.Por el lema de Poincare existe una -forma con o sea ! 0 À W d .A œ !ß A

es exacta., d Tomemos la forma en dada porFalsa: %

A œ B .B • .B B .B • .B" # # $ % entoncesA • A œ #B B .B • .B • .B • .B Á !" # " # $ %

141. Sea una función real diferenciable, cuyo dominio es0 À Y d Y § d$

un abierto que contiene una esfera unitaria . Si el valor máximo de enW 0#

W B − W# #! es alcanzado en un punto , pruebe que existe un número real -

tal que para todo0 B † 2 œ B ß 2 w! !- 2 − d Þ$

SOLUCIÓN:Sea dada por . Entonces 1 À Y d 1 B œ Bß B 1 " œ W" #

Si es tal que es máximo, por el método de losB − W 0 B! !

#

multiplicadores de Lagrange tenemos que o1<+.0 B œ 1<+. 1 B! !.equivalentemente, ; entonces si , tenemos0 B œ 1 B 2 − dw w $

! . 0 B † 2 œ 1 B † 2 œ # B ß 2 œ # B ß 2 ßw w

! ! ! !. . .pues


1 B † 2 œ Bß 2 2ß B œ # Bß 2 ßw

basta entonces tomar .- .œ #

142.Pruebe que si todas las geodésicas de una superficie conexa son planas,W

entonces es parte de un plano o de una esfera.W

SOLUCIÓN: 3 W Supongamos que las geodésicas de una superficie conexa sonrectilíneas entonces claramente esta contenida en un planoW33 Supongamos ahora que todas las geodésicas de una superficie son planas

y no rectilíneas, entonces sea y una dirección en , por el teorema de: − W :existencia de geodésicas, existe una única geodédesica pasando por , que- :no es rectilínea y tal que su derivada coincide con la dirección dada en .:Afirmación: es una línea de curvatura.-En efecto, es geodésica, así; derivando tenemos- (R œ R œ œ 50 > , œ 50 > "w w w w( 7

Å Åœ !fórmula de Frenet es plana7 -

donde es una parametrización por longitud de arco de . De se sigue0 > "-según el teorema de O. Rodrigues que es una línea de curvatura.-Tomando en todas la direcciones posibles entonces se obtiene geodésicas:que son lineas de curvatura. O sea que es un punto umbilical de . Por la: Warbitrariedad de , se sigue que esta constituido entéramente por puntos: Wumbilicales por lo tanto según un resultado general esta contenida en unWplano o en una esfera.Nota: umbilical Un punto de una superficie se dice si todas las: − Wdirecciones en , son líneas de curvatura ( o sea son direcciones principales).:

APENDICE

Estoy seguro que si el navegante ha estudiado con cuidado esta asignatura,está en capacidad de resolver, por cuenta propia, problemas como los que acontinuación les propongo, los cuales pueden ser considerados como unaprueba para chequearse, con el fin de prepararse para un examen decalificación.

143. Analice si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas+ 8 dUna -forma diferencial en es nula8"


, A 5 d 5 Ÿ 8 A • A œ !Si es una -forma diferencial en , , entonces 8

- A 5 d ß 5Si es una -forma diferencial en una -forma diferencial en8 :

d 0 À d d ß7 8 8y es una aplicación diferenciable entonces 0 A • œ 0 A • " 0‡ ‡ ‡5: :

0 .A œ . 0 A‡ ‡

- El número de formas diferenciables linealmente independientes degrado en es: o u $ d "$ß ß "!ß ß )&

. 5 " dUna -forma diferenciable en es una suma finita de formas de8

tipo , donde es una -forma diferencial.A • .B A 53

0 A œ + .B = +Una forma exterior se dice de clase si las funciones M M M

poseen derivadas parciales continuas hasta el orden . Si es de clase ,= A =

entonces es de clase 0 A =‡

es de clase .A =Þ

144.Analice si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas+ Si una variedad de dimensión cuatro contiene una faja de Möbius, no

es orientable., Q `Q `Q Sea una variedad con borde . Si es orientable, entoncesQ es orientable.- A "Sea una -forma diferencial definida en el parabolóideW œ Ö Bß Cß D − d à D œ B C × .A œ !$ # # . Suponga que . Entonces existe unafunción diferenciable tal que 0 À W W .0 œ AÞ

. Existe una variedad orientable de dimensión tres, cuyo borde es elplano proyectivo.145.Sean y formas diferenciables en una variedad . Muestre queA A Q" #

si , son cerradas y es exacta, entonces es cerrada yA A A A • A" # # " #

exacta.146.Sea una variedad de dimensión , compacta, conexa, orientable yQ 8

sin borde ø . Sea una -forma diferencial en Muestre`Q œ A 8 " QÞ

que existe tal que .: − Q .A : Á !

147.Sean dos variedades de dimensión compactasQ ßQ § d 8" #8

orientables, con bordes y . Suponga que . Sea `Q `Q Q § Q `Q A" # # " "

una -forma diferencial en . Pruebe que: ' '8 " Q A œ A" `Q`Q" #


148.Sea dada por0 À d d# %

0 Bß C œ ÞBß ÞBß ÞCß ÞC ß Bß C − dŠ ‹" " " "

# # # ##È È È Ècos sin cos sin

Pruebe que:+ 0 es una inmersión, 0 d X 0# # es homeomorfa a un toro ; por lo tanto induce una

aplicación 0 À X d Þµ # %

- 0 À X dµ # % es un zambullido.

149. Sea el producto cartesiano de dos variedades diferenciablesQ ‚R

Q R y con la estructura diferencial producto. Pruebe que la aplicación(proyección) dada por , es1 1À Q ‚R R 7ß8 œ 8ß 7 − Qß8 − R

diferenciable.150.Sea una variedad compacta, orientable y con borde ø .Q `Q Á

Pruebe que no existe una aplicación diferenciable tal que la0 À Q `Q

restricción identidad en .0l œ `Q`Q

151. Muestre que no existe una inmersión del círculo unitario en0 À W d"

la recta real .d

152.Sean una superficie y un plano.Pruebe que: si todosW § d § d$ $C

los puntos de estan situados del mismo lado de , entoncesW C

: − ∩ W Ê œ X W WC C C: ( esto es , es tangente a en todos los puntos deC ∩ W)153.Sean una superficie compacta y una aplicación normal deW R À W W#

Gauss. Pruebe que .Ö „ R : à : − W× œ W#

154.Sea un paralelo de radio en una esfera unitaria .G œ G < < W#

Dislocándose paralelamente un vector tangente a lo largo de , él retorna al@ G

punto de partida formando un ángulo con la posición inicial. Pruebeα αœ <

que, para todo suficientemente pequeño, se tiene que .< < <α 1*"!

#

(Nota: Un dislocamiento también es conocido como un transporte paralelo)155.Una superficie topológica de es un subconjunto tal que parad W § d$ $

todo existe una vecindad de en y un homeomorfismo: − W Z : d$

0 À Y § d Z ∩ W Y d Z ∩ W# #de un abierto de sobre .+ WQue condición es necesario incrementar para que sea una superficie

regular.


, W : − WDefina plano tangente a una superficie topológica en y muestre queél es un subespacio de dimensión de , que contiene a los vectores# d$

velocidad en de todas las curvas diferenciables de pasando por : W :Þ

156.Sea una superficie regular compacta de curvatura GaussianaW § d$

positiva. Probar que dos geodésicas de homeomorfas al círculo siempre seW

intersectan.

D‘’LLƒ

BIBLIOGRAFIA

- Differential Geometry. Auslander L., A Harper International Edition 1967.- Bourbaki, N., , Fascicule de Résultats, Herman,Théorie des ensembles París,1958- Formas Diferenciais e aplicaçõesDo Carmo, M., , Impa, Río de Janeiro, 1971.- Do Carmo, M., Editora Universidade Elementos de geometria diferencial, do Brasilia, 1971.- Do Carmo, M., Monografia IMPA 1970Introduc ão ã Geometria global, ¸- Notas de Geometria Riemaniana, Do Carmo, M., Monografia IMPA, 1970.- Differential Geometry of Curves and Surfaces, Do Carmo, M., Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall.- Formes différentiellesCartan, H., , Hermann, París, 1967.- Godbillon, C., Hermann Geometrie Differentielle et mecanique Analytique, ´ ´ ´ ´ Collection, 1969.- Harle. C., Monografía IMPA. 1971.Geometria Diferencial, - Hicks. N. J., an Nostrand Company,Notes on Differential Geometry. D. v 1965.- Geometria Diferencial. Harle. C., Monografia IMPA. 1971.- Halmos, P.R., , Cecsa, México D.F., 1965.Teoría Intuitiva de Conjuntos- Lima, E.L., , IMPA, Río de Janeiro, 1961.Introdução à Topogia Diferencial- Lima, E.L., , IMPA, Río de Janeiro, 1973.Variedades Diferenciaveis- Marsden, J.E. & Tromba, A.J., , Fondo Educ.Cálculo Vectorial Interamericano, S.A., 1981.


- Muñoz, J.M., , 4a. Ed., U.N., 2002.Introducción a la Teoría de Conjuntos- O'Neill, B., , Academy Press, Inc. London, 1969.Elementary Differential Geometry- O'Neill, B., , Academic Press, N.Y., 1983.Semi-Riemannian Geometry- Suppes, P., , Editorial Norma, Cali, Col. 1968. Teoría Axiomática de Conjuntos

. .

Espero que el lector haya obtenido algún provecho de este trabajo en elaprendizaje de las Formas Diferenciables y Geometría.Exitos y bienvenidos a la investigación por internet.Cualquier comentario favor hacerlo llegar a:[email protected]@tutopia.com

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