Formula 6-guia-1oct08-72
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Educación Básica
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Tabla decontenidoFórmula como respuesta
a los estándares básicos
de competencias ......................... 3
Tabla de estándares
grados 6 a 7 ................................... 5
Así es el Libro del alumno .......... 6
Así es el Libro de actividades ... 7
Unidad 1
Lógica y conjuntos
Planeador ...................................... 8
Sugerencias metodológicas
y proyectos integradores ........... 9
Prueba Saber .............................. 10
Unidad 2
Los números naturales
Planeador .................................... 11
Sugerencias metodológicas
y proyectos integradores ......... 12
Prueba Saber .............................. 13
Unidad 3
Teoría de números
Planeador .................................... 14
Sugerencias metodológicas
y proyectos integradores ......... 15
Prueba Saber .............................. 16
Unidad 4
Fracciones y decimales
Planeador .................................... 17
Sugerencias metodológicas
y proyectos integradores ......... 18
Prueba Saber .............................. 19
Unidad 5
Números enteros
Planeador .................................... 20
Sugerencias metodológicas
y proyectos integradores ......... 21
Prueba Saber .............................. 22
Unidad 6
Geometría
Planeador .................................... 23
Sugerencias metodológicas
y proyectos integradores ......... 24
Prueba Saber .............................. 25
Unidad 7
Estadística
Planeador .................................... 26
Sugerencias metodológicas
y proyectos integradores ......... 27
Prueba Saber .............................. 28
El movimiento pedagógico
de la Escuela Nueva .................. 29
Acerca de la programación
neurolingüística ......................... 30
Glosario básico de términos
de evaluación educativa .......... 31
El libro Fórmula de Sexto grado, Guía del edu-cador para la Educación Básica ha sido ela-borado según el plan de la Empresa Editorial y bajo su responsabilidad por las siguientes personas del Departamento de Investigación Educativa de EDITORIAL VOLUNTAD S. A.
Autoría: Luis Enrique Gutiérrez CastañoEspecialista en Pedagogía Grupal
Andrea Viviana Saavedra GarzónLicenciada en Matemáticas
Javier Alfonso Cely RuizLicenciado en Matemáticas
Edición: Víctor Hernando Ardila GutiérrezLicenciado en Matemáticas
Deisy Yanira Camargo GarcíaLicenciada en Matemáticas
Coordinación de las pruebas de campoAndrea Escobar ViláEspecialista en Psicología del Consumidor
Coordinación de equidad de género y adecuación a la diversidad culturalMiriam Cristy León Acosta
Diseño gráfi co Gina Andrea Navas NegretDiego Sánchez Cristancho
DiagramaciónDiego Sánchez Cristancho
Coordinación de diagramaciónGina Andrea Navas Negret
IlustraciónLuz Patricia Colorado CorreaEnrique Martínez FerreiraMarlén Mora Rincón
Documentación gráfi caIngrid Alejandra Pineda Becerra
Diseño de carátulaGonzalo Ochoa Martínez
Dirección de arteJorge Alberto Osorio [email protected]
Gerencia editorialCarlos William Gómez Rosero M. ScISBN Tomo 978-958-02-2685-7 ISBN Colección 978-958-02-2530-0© EDITORIAL VOLUNTAD S. A. 2009Derechos reservados. Es propiedad del Editor. Esta publicación no puede ser reproducida en todo ni en parte, ni archivada o trasmitida por ningún medio electrónico, mecánico, de graba-ción, de fotocopia, de microfi lmación o en otra forma, sin permiso previo del Editor. Depósito legalPrimera edición, 2009EDITORIAL VOLUNTAD S. A.Carrera 7a. No. 24-89 Piso 24Teléfono 2410444 - Fax 2410439Bogotá, D. C. - Colombia.www.voluntad.com.coSus comentarios comuníquelos al área de Matemá[email protected] en Colombia.Printed in Colombia.
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Fórmula como respuesta a los estándares básicos de competencias
Competencia matemática
Una noción amplia de competencia la señala como un conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafec-tivas y psicomotoras que se relacionan entre sí de manera apropiada para facilitar el desempeño fl exi-ble, efi caz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores. Esta noción supera la más usual y restringida que describe la competencia como saber hacer en contexto en tareas y situaciones distintas de aquellas a las cuales se aprendió a respon-der en el aula de clase.
Las competencias matemáticas no se alcanzan por ge-neración espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema signifi cativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos.
En un sentido superior, la competencia no sólo implica lo conceptual: saber qué y saber por qué, sino lo procedi-mental que está más cercano a la acción y se relaciona con las técnicas y las estrategias y que puede identifi -carse como el saber cómo.
Toda esta concepción se enmarca dentro de la enseñan-za para la comprensión.
Los cinco procesos generales de la actividad matemática
Los cinco procesos generales que se contemplan en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas son: formu-lar y resolver problemas; modelar procesos y fenóme-nos de la realidad; comunicar; razonar; formular, com-parar y ejercitar procedimientos y algoritmos.
Dicha clasifi cación en cinco procesos generales tiene en cuenta que existen traslapes y relaciones e interac-ciones múltiples entre ellos.
Los cinco tipos de pensamiento matemático
Ser competente en las matemáticas requiere ser dies-tro, efi caz y efi ciente en el desarrollo de cada uno de los procesos generales, en los cuales cada estudiante pasa por distintos niveles de competencia. Además de
relacionarse con esos cinco procesos, ser competente en matemáticas se concreta de manera específi ca en el pensamiento lógico y el pensamiento matemático, el cual se subdivide en los cinco tipos de pensamiento propuestos en los Lineamientos Curriculares: el numé-rico, el espacial, el métrico o de medida, el aleatorio o probabilístico y el variacional.
• El pensamiento numérico y los sistemas numéricos
Hace énfasis en la comprensión del uso y de los signifi -cados de los números y de la numeración; la compren-sión del sentido y signifi cado de las operaciones y de las relaciones entre números, y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación.
• El pensamiento espacial y los sistemas geométricos
El pensamiento espacial, se entiende como "... el con-junto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones menta-les de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o re-presentaciones materiales"
• El pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas
Los conceptos y procedimientos propios de este pensa-miento hacen referencia a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantida-des, su medición y el uso fl exible de los sistemas métri-cos o de medidas en diferentes situaciones.
• El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos
Este tipo de pensamiento, llamado también probabilísti-co, ayuda a tomar decisiones en situaciones de incerti-dumbre, de azar, de riesgo o de ambigüedad por falta de información confi able, en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar.
Ayuda a buscar soluciones razonables a problemas en los que no hay una solución clara y segura.
• El pensamiento variacional y los sistemas algebrai-cos y analíticos
Tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identifi cación y la caracterización de la variación y el
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cambio en diferentes contextos, así como con su des-cripción, modelación y representación en distintos sis-temas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráfi cos o algebraicos.
Contextos
Hay al menos tres tipos o niveles de contexto: el contex-to inmediato o contexto de aula, creado por el espacio físico, por las normas explícitas o implícitas con las que se trabaja en clase y por la situación problema prepara-da por el docente; el contexto escolar o contexto insti-tucional, confi gurado por los escenarios de las distintas actividades diarias, la arquitectura escolar, las tradicio-nes y los saberes de los estudiantes, docentes emplea-dos administrativos y directivos, así como por el PEI, las normas de convivencia, el currículo explícito de las dis-tintas áreas curriculares y el llamado "currículo oculto" de la institución, y el contexto extraescolar o contexto sociocultural, conformado por todo lo que pasa fuera de la institución en el ambiente de la comunidad local, de la región, el país y el mundo.
Sobre la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación
La enseñanza de las matemáticas supone un conjunto de variados procesos mediante los cuales el docente planea, gestiona y propone situaciones de aprendizaje matemáti-co signifi cativo y comprensivo –y en particular situacio-nes problema– para sus alumnos y así permite que ellos desarrollen su actividad matemática e interactúen para reconstruir y validar en forma personal y colectiva el sa-ber matemático. A continuación se describen y analizan algunas maneras de dinamizar estas interacciones.
• Partir de situaciones de aprendizaje signifi cativo y comprensivo de las matemáticas.
• Diseñar procesos de aprendizaje mediados por esce-narios culturales y sociales.
• Vencer la estabilidad e inercia de las prácticas de la enseñanza.
• Aprovechar la variedad y efi cacia de los recursos di-dácticos.
• Refi nar los procesos de evaluación.
Los estándares se distribuyen en cinco conjuntos de grados (primero a tercero, cuarto a quinto, sexto a sépti-mo, octavo a noveno y décimo a undécimo).
El conjunto de estándares debe entenderse en términos de procesos de desarrollo de competencias de manera gradual e integrada. Los estándares identifi can niveles de avance en procesos graduales que, incluso, no son termi-nales en el conjunto de grados para el que se proponen.
La organización curricular de cada institución, en cohe-rencia con su PEI, debe buscar el desarrollo de un traba-
jo integrado en los distintos pensamientos, más que el progreso en cada uno de ellos independientemente de los demás.
Cómo se formula cada estándar
Los Estándares Básicos de Competencias Matemáticas que aparecen en cada una de las cinco columnas, se encabezan por el tipo de pensamiento respectivo y los sistemas asociados con él, y satisfacen la siguiente es-tructura:
La estructura de los estándares básicos
Conceptos y procedimientos matemáticos
Procesos generales Contextos
Los estándares para cada pensamiento se basan en la interacción entre la faceta práctica y la formal de las matemáticas y entre el conocimiento conceptual y el procedimental. Esta propuesta requiere reconocer que si bien el aprendizaje de las matemáticas se inicia en las
matemáticas informales de los estudiantes en contextos del mundo real y cotidiano escolar y extraescolar, se re-quiere entretejer los hilos de aprendizaje para construir contextos y situaciones que permitan avanzar hacia las matemáticas formales.
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Pensamiento numérico
y sistemas numéricos
Pensamiento
espacial y sistemas
geométricos
Pensamiento
métrico y siste-
mas de medidas
Pensamiento
aleatorio y sistemas
de datos
Pensamiento varia-
cional y sistemas alge-
braicos y analíticos
• Resuelvo y formulo problemas en
contextos de medidas relativas.
• Utilizo números racionales, en sus
distintas expresiones (fracciones,
razones, decimales o porcentajes)
para resolver problemas en contex-
tos de medida.
• Justifi co la extensión de la repre-
sentación polinomial decimal
usual de los números naturales a la
representación decimal usual de los
números racionales.
• Reconozco y generalizo propieda-
des de las relaciones entre números
racionales (simétrica, transitiva,
etc.) y de las operaciones entre ellos
(conmutativa, asociativa, etc.) en
diferentes contextos.
• Resuelvo y formulo problemas
utilizando propiedades básicas de
la teoría de números, como las de la
igualdad, las de las distintas formas
de la desigualdad y las de la adición,
sustracción, multiplicación, división
y potenciación.
• Justifi co procedimientos aritméticos
utilizando las relaciones y propieda-
des de las operaciones.
• Formulo y resuelvo problemas en
situaciones aditivas y multiplicati-
vas, en diferentes contextos.
• Resuelvo y formulo problemas cuya
solución requiere de la potencia-
ción o radicación.
• Justifi co el uso de representaciones
y procedimientos en situaciones de
proporcionalidad directa e inversa.
• Justifi co la pertinencia de un cálculo
exacto o aproximado en la solución
de un problema y lo razonable o no
de las respuestas obtenidas.
• Establezco conjeturas sobre
propiedades y relaciones de los
números, utilizando calculadoras o
computadores.
• Justifi co la elección de métodos
e instrumentos de cálculo en la
resolución de problemas.
• Reconozco argumentos combinato-
rios como herramienta para inter-
pretación de situaciones diversas
de conteo.
• Represento objetos
tridimensionales
desde diferentes
posiciones y vistas.
• Identifi co y describo
fi guras y cuerpos ge-
nerados por cortes
rectos y transver-
sales de objetos
tridimensionales.
• Clasifi co polígonos
en relación con sus
propiedades.
• Predigo y comparo
los resultados de
aplicar transforma-
ciones rígidas (tras-
laciones, rotaciones,
refl exiones) y homo-
tecias (ampliaciones
y reducciones) sobre
fi guras bidimensio-
nales en situaciones
matemáticas y en el
arte.
• Resuelvo y formulo
problemas que
involucren relacio-
nes y propiedades
de semejanza y
congruencia usando
representaciones
visuales.
• Resuelvo y formulo
problemas usando
modelos geométri-
cos.
• Identifi co caracterís-
ticas de localización
de objetos en
sistemas de repre-
sentación cartesiana
y geográfi ca.
• Utilizo técnicas
y herramientas
para la construc-
ción de fi guras
planas y cuerpos
con medidas
dadas.
• Resuelvo y for-
mulo problemas
que involucren
factores escalares
(diseño de ma-
quetas, mapas).
• Calculo áreas
y volúmenes
a través de
composición y
descomposición
de fi guras y
cuerpos.
• Identifi co rela-
ciones entre dis-
tintas unidades
utilizadas para
medir cantida-
des de la misma
magnitud.
• Resuelvo y for-
mulo problemas
que requieren
técnicas de
estimación.
• Comparo e inter-
preto datos prove-
nientes de diversas
fuentes (prensa,
revistas, televisión,
experimentos, con-
sultas, entrevistas).
• Reconozco la
relación entre un
conjunto de datos y
su representación.
• Interpreto, produz-
co y comparo repre-
sentaciones gráfi cas
adecuadas para
presentar diversos
tipos de datos.
• Uso medidas de
tendencia central
(media, mediana,
moda) para inter-
pretar compor-
tamiento de un
conjunto de datos.
• Uso modelos para
discutir y predecir
la posibilidad de
ocurrencia de un
evento.
• Conjeturo acerca
del resultado de
un experimento
aleatorio usando
proporcionalidad y
nociones básicas de
probabilidad.
• Resuelvo y formulo
problemas a partir
de un conjunto
de datos presen-
tados en tablas,
diagramas de
barras, diagramas
circulares.
• Predigo y justifi co
razonamientos
y conclusiones
usando información
estadística.
• Describo y repre-
sento situaciones de
variación relacionando
diferentes represen-
taciones (diagramas,
expresiones verbales
generalizadas y tablas).
• Reconozco el conjunto
de valores de cada una
de las cantidades varia-
bles ligadas entre sí en
situaciones concretas
de cambio (variación).
• Analizo las propiedades
de correlación positiva
y negativa entre varia-
bles, de variación lineal
o de proporcionalidad
directa y de propor-
cionalidad inversa en
contextos aritméticos y
geométricos.
• Utilizo métodos infor-
males (ensayo y error,
complementación) en
la solución de ecuacio-
nes.
• Identifi co las caracte-
rísticas de las diversas
gráfi cas cartesianas (de
puntos, continuas, for-
madas por segmentos,
etc.) en relación con la
situación que represen-
tan.
Tabla de estándares grados 6 a 7
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[ 6 ]
Así es el Libro del alumno 6
Resumen y refuerzo Aquí se muestran las relacio-nes que existen entre los conceptos abordados a lo largo de la unidad y se proponen algunas actividades de apoyo y seguimiento.
Marco histórico En esta sección se señalan algunos de los acontecimientos ocu-rridos en forma contemporánea con el desarrollo del tema que es el motivo de estudio en la unidad y que infl uenciaron o acompañaron su evolución.
El estudiante se da cuenta que cada temática abordada ha evolucionado y evolu-ciona de manera permanente en el tiempo.
Aplicaciones reales Son hechos o acciones en los que se usan de manera perma-nente los temas que se abordan en la unidad. Buscan que el estudiante entienda la aplicabilidad de las matemáticas en su entorno próximo.
Temáticas Giran en torno al desarrollo de los conceptos básicos de la uni-dad. Comienzan con la formulación de un logro, una pregunta o actividad diagnóstica a la que se le denomina Comparte lo que sabes y continúa con la formalización de las ideas y conceptos y la inclusión de ejemplos.
Práctica en contexto Son las actividades propias de la temática. A cada una de ellas o conjunto de ellas se les identifi ca con una competencia par-ticular.
Al pie de página aparecen las competencias y los desempeños esperados con el desarrollo de las actividades y problemas.
Tecnología En esta sección se entiende la Tecnología como un conjunto de sabe-res que permiten fabricar objetos y modifi car el medio ambiente para satisfacer las necesidades y deseos huma-nos. Fórmula orienta en esta sección hacia la Educación Tecnológica como disciplina escolar abocada a la familiari-zación con las tecnologías más importantes.
Pruebas de Mejoramiento Apuntan hacia la evaluación de los procesos y desempeños de los estudiantes. Estas pruebas no solamente se abordan desde la perspectiva nacional (Prueba Saber e ICFES) sino que tienen en cuen-ta marcos más universales (Pruebas TIMSS y PISA).
Otras seccionesRespuestas Orientan a los estudiantes y les permite reco-nocer sus avances y difi cultades.
Glosario Listado de términos comunes y usuales en el de-sarrollo de las temáticas en todo el texto.
Bibliografía Recursos utilizados en la elaboración del tex-to o sugeridos para la ampliación de las temáticas.
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[ 7 ]
Así es el Libro de actividades – problemario
El Libro de actividades hace su énfasis en el desarrollo de un pensamiento orientado hacia la solución de problemas.
Este Libro de actividades acompaña al libro del estudiante unidad por unidad para que los profesores encuentren en él un material de permanente uso.
Cada unidad del libro de actividades comienza con un preámbulo al tema de estudio y unas actividades introductorias que sirven como diagnóstico.
El desarrollo de las temáticas se orienta de la misma forma que el libro del estudiante: se parte con la formulación de un logro y de una actividad de inicio: COMPARTE LO QUE SABES.
Práctica en contexto
Aquí se proponen las actividades y problemas corres-pondientes a las temáticas de cada unidad del libro del estudiante.
Competencias
Tanto en la cabecera del enunciado de las actividades como al pie de las páginas, se señalan las competencias particulares o proce-sos que se busca desarrollar con cada actividad y los desempeños o indicadores de logros enlazados con alguna de las competencias generales: propositiva, argumentativa o interpretativa.
Pruebas de mejoramiento
Buscan evidenciar los logros de los estudiantes a partir del desarrollo de pruebas nacionales e internacionales (Saber, ICFES, TIMSS, PISA).
Calendario matemático
Problemas diarios encaminados a desarrollar los procesos de pensamiento que cita el documento de Estándares Básicos por competencias.
Otras secciones
Respuestas Orientan a los estudiantes y les permite reconocer sus avances y difi cultades.
Glosario Listado de términos comunes y usuales en el desarrollo de las temáticas en todo el texto.
Bibliografía Recursos utilizados en la elaboración del texto o sugeridos para la ampliación de las temáticas.
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Unidad 1 Lógica y conjuntosPlaneador Unidad 1Grado Sexto Período ........................ Tiempo previsto: ........................Tiempo real: ........................
Contenidos Estándares Recursos propuestosMetodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Lógi
ca y
con
junt
os
Pensamiento lógico
• Representar
y validar
proposiciones
lógicas.
• Representar
situaciones
problemáticas
mediante el
uso de conjun-
tos.
• Realizar
operaciones
lógicas y
asociarlas con
las represen-
taciones de
conjuntos.
• Reconocer el
uso de la lógi-
ca conjuntos
en diversos
contextos.
• Representación de
proposiciones median-
te el uso de conjuntos.
• Compuertas lógicas
And y Or.
• Tablas de verdad.
• Termómetro.
• Plano cartesiano.
Actividades con compuertas lógicas en:
http://www.profesor-
molina.com.ar/electro-
nica/componentes/int/
comp_log/and.swf
http://docencia.udea.
edu.co/SistemasDiscre-
tos/contenido/d_cir-
cuitos.html
Actividades con conjuntos y plano cartesiano en:
http://www.guiamath.
net/
http://www.edilatex.
com/index_archivos/
algebra5tintas.pdf
http://personal.
redestb.es/jlabreu/des-
cartes/plano.htm
• Representación
de proposiciones
mediante diagra-
mas de Venn.
• Uso del lenguaje
de la lógica en
diversos contex-
tos.
• Lectura de
documentos
científi cos en
los que se use
el lenguaje de la
lógica.
• Uso de diagra-
mas de com-
puertas lógicas
combinadas.
• Uso de los
mapas como
modelos de pla-
nos cartesianos.
Razonamiento
• Interpreta la
validez, desde el
punto de vista de
la lógica, de enun-
ciados y proposi-
ciones en diversas
situaciones.
• Identifi ca la
operación lógica
pertinente en di-
versos contextos.
Procedimientos
• Usa diagramas de
Venn para repre-
sentar enunciados
lógicos.
Solución de problemas
• Analiza, resuelve
y plantea situacio-
nes donde se in-
volucran la lógica
y los conjuntos.
Comunicación
• Realiza dibujos
para representar
problemas de
lógica.
• Da ejemplos
reales en los que
es importante un
uso de la lógica.
Modelación
• Convierte
expresiones del
lenguaje cotidia-
no al simbólico y
matemático.
Tecnología
Las compuertas
lógicas como mo-
delos de conjun-
ción y disyunción.
Sociales
Ubicación de
sitios en la ciudad
mediante sus
coordenadas en el
plano.
Castellano
Uso e interpreta-
ción del lenguaje
de la lógica en
diversos textos.
Ciencias
Clasifi cación de
los seres de la
naturaleza.
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Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
Sugerencias metodológicas
A. Manejo de ideas previas
1. Describa situaciones en donde se vea la necesidad de usar las proposiciones, los conjuntos y el plano cartesiano. Haga énfasis en que usamos la lógica en muchas situaciones de la vida diaria cuando toma-mos decisiones.
2. Pida a sus estudiantes que den ejemplos de proposi-ciones y que evalúen su valor de verdad. También pí-dales que den ejemplos de proposiciones cuyo valor de verdad dependa del objeto del que se habla.
B. Formalización de la idea o concepto
1. Muestre las compuertas lógicas como ayuda en la solución de los planteamientos de la lógica.
2. Dé las condiciones necesarias para que una propo-sición compuesta sea verdadera y vaya llenado las tablas de verdad correspondientes.
3. Plantee y explique las diferentes propiedades de las operaciones entre conjuntos y las leyes de la lógica.
4. Muestre que el plano cartesiano es un modelo válido en muchas situaciones escolares y extraescolares. Válgase de planos de la ciudad o de gráfi cas de la física que apoyen esta idea.
5. Diagrame un plano de los alrededores del colegio, donde el colegio es el origen.
C. Práctica
1. Solicite la ayuda de varios estudiantes, donde al-gunos de ellos den ejemplos de proposiciones y los otros le asignen el valor de verdad.
2. Dadas dos o más proposiciones, pida a los estudian-tes que las evalúen en su conjunción, su disyunción, su implicación o su doble implicación. Pida que modi-fi quen las proposiciones para que la composición de ellas arroje un valor de valor dado de antemano.
3. Solicite a los estudiantes que empleen símbolos apropiados para cada operación lógica y de conjun-tos.
4. Estimule a los estudiantes para que planteen sus propios problemas en los que utilicen la lógica y se apoyen en la representación de conjuntos en su so-lución.
5. Solicite a los estudiantes que busquen modelos de plano cartesiano y que expliquen su uso.
D. Identifi cación de las difi cultades
En algunos casos se presentan difi cultades para:
1. diferenciar proposiciones de expresiones que no lo son.
Alternativa:
Elabore una cartelera de dos columnas como:
No proposición Proposición
Simple Compuesta
Solicite a los estudiantes que la completen con fra-ses adecuadas a cada requerimiento.
2. identifi car el valor de verdad de proposiciones lógi-cas compuestas a partir del valor de verdad de sus componentes.
Alternativa:
Construya ejemplos de proposiciones compuestas, evalúe su valor de verdad. Ahora, haga lo contrario: a partir del valor de verdad de una proposición com-puesta, pida a los estudiantes que den ejemplos de proposiciones simples que hagan que se satisfaga ese valor de verdad.
Proyectos integradores
Ciencias
Tome la temperatura de algún estudiante con un termó-metro durante algunos días y luego registre esa informa-ción en una tabla y luego, en un plano cartesiano.
Tecnología
Construya una gráfi ca con los lugares que ocupan los estudiantes dentro del salón de clase y explíquesela so-bre el plano cartesiano. Indíqueles que en el programa Excel la información se ubica de manera análoga.
Fila 4
Fila 3
Fila 2
Fila 1
Columna 1 Columna 2 Columna 3
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[ 10 ]
Prueba SaberElige la respuesta correcta para cada una de las pregun-tas 1 a 5.
1. Una proposición se diferencia de cualquier otro enunciado que no lo es, en que
a. la proposición siempre es verdadera.
b. la proposición siempre es falsa.
c. la proposición tiene un único valor de verdad.
d. la proposición puede representarse mediante conjuntos.
2. El valor de verdad de una proposición compuesta depende de:
a. el valor de verdad de la primera proposición.
b. el valor de verdad de la segunda proposición.
c. el valor de verdad de las dos proposiciones.
d. el valor de verdad de alguna de las dos proposiciones.
3. Si una proposición se compone de tres proposicio-nes simples su valor de verdad:
a. es siempre verdadero.
b. es siempre falso.
c. depende de la proposición que se compone con ellas.
d. no puede establecerse.
4. Una conjunción es:
a. una operación entre conjuntos.
b. una operación entre proposiciones lógicas.
c. una operación matemática.
d. una proposición.
5. De la tabla de valor de verdad de una implicación puede concluirse que:
a. una proposición falsa no puede implicar una pro-posición verdadera.
b. una proposición verdadera no puede implicar una proposición falsa.
c. una proposición verdadera puede implicar una proposición falsa.
d. una proposición falsa siempre implica una propo-sición falsa.
Resuelve los siguientes problemas de lógica.
6. Armando, Basilio, Carlos y Dionisio fueron, con sus mujeres a comer. En el restaurante, se sentaron en una mesa redonda, de forma que:
- Ninguna mujer se sentaba al lado de su marido.
- Enfrente de Basilio se sentaba Dionisio.
- A la derecha de la mujer de Basilio se sentaba Carlos.
- No había dos mujeres juntas.
¿Quién se sentaba entre Basilio y Armando?
a. La mujer de Dionisio.
b. La mujer de Basilio.
c. La mujer de Carlos.
d. La mujer de Armando.
7. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gim-nasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica cada una?
El razonamiento lógico que conduce a la respuesta es:
a. Carmen es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; la más baja es la nadadora. La gimnasta no es Carmen, ni Beatriz (mujer casada). Por eliminación, la tenista es Bea-triz.
b. Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; la más baja es la nada-dora. La gimnasta no es Beatriz (mujer casada), es Carmen. Por eliminación, la tenista es Carmen.
c. Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; la más baja es la na-dadora. La gimnasta no es Ana, ni Beatriz (mujer casada), es Carmen. Por eliminación, la tenista es Beatriz.
d. Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es la tenista; la más baja es la nadadora. La gimnasta no es Ana, ni Beatriz (mujer casada). Por tanto, la tenista es Beatriz.
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[ 11 ]
Unidad 2 Los números naturalesPlaneador Unidad 2
Grado Sexto Período ........................ Tiempo previsto: ........................Tiempo real: ........................
Contenidos Estándares Recursos propuestosMetodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Los n
úmer
os n
atur
ales
Pensamiento numérico y sistema numéricos
• Reconozco y generalizo
propiedades de las
relaciones entre núme-
ros naturales y de las
operaciones entre ellos
(conmutativa, asocia-
tiva, etc.) en diferentes
contextos.
• Resuelvo y formulo
problemas utilizando
propiedades bási-
cas de la teoría de
números, como las de
la igualdad, las de las
distintas formas de la
desigualdad y las de la
adición, sustracción,
multiplicación, división
y potenciación.
• Justifi co procedi-
mientos aritméticos
utilizando las relaciones
y propiedades de las
operaciones.
• Formulo y resuelvo pro-
blemas en situaciones
aditivas y multiplica-
tivas, en diferentes
contextos.
• Resuelvo y formulo pro-
blemas cuya solución
requiere de la potencia-
ción o radicación.
• Justifi co la pertinencia
de un cálculo exacto o
aproximado en la solu-
ción de un problema y
lo razonable o no de las
respuestas obtenidas.
• Establezco conjeturas
sobre propiedades y
relaciones de los núme-
ros, utilizando calcula-
doras o computadores.
• Justifi co la elección de
métodos e instrumen-
tos de cálculo en la re-
solución de problemas.
• Lecturas sobre los
sistemas de nume-
ración en diversas
culturas.
• Tablas de valor de
posición.
• Línea del tiempo
usada como modelo
de la recta numérica.
• Tablas con operacio-
nes incompletas.
• Tablas con informa-
ción de precios para
proponer problemas
a partir de ellas.
• Gráfi cas estadísticas
de las que se infi era
información numéri-
ca.
Actividades con números binarios en:
http://www.trebol-
a.com/2006/03/29/
numeros-binarios-y-
un-truco-de-magia/
http://platea.pntic.
mec.es/~lgonzale/tic/
binarios/aritmetica.
html
Actividades con números romanos en:
http://www.vivir.com/
vivir/universidad/in-
dex.htm?http://www.
vivir.com/vivir/univer-
sidad/convnumroma-
nos.htm
http://sauce.pntic.
mec.es/~ebac0003/
descartes/romanos/
normas.htm
Actividades con la recta numérica en:
http://descartes.cnice.
mecd.es/WEB_EDA/
Documentos/mate-
riales/JR_Galo/2ESO/
enteros/m0030.htm
• Luego de lec-
turas acerca de
los sistemas de
numeración, un
buen ejercicio
es comparar-
los unos con
otros desde
sus ventajas y
desventajas.
• Completar ta-
blas de valor de
posición, una
vez que usted
haga la lectura
de algunos
números.
• Búsqueda de
situaciones en
las que se evi-
dencie el uso de
modelos mate-
máticos: envío
de correos
electrónicos,
crecimientos
de poblaciones,
incremento de
salarios, etc.
• Representación
en la recta nu-
mérica de even-
tos históricos.
El uso de este
recurso puede
emplearse para
mejorar en los
estudiantes el
uso adecuado
de las escalas.
Razonamiento
• Determina las semejan-
zas y diferencias de los
sistemas de numeración.
• Deduce y aplica propie-
dades de las operaciones
básicas y las aplica.
• Hace inferencias a partir
del estudio de gráfi cas
estadísticas en las que se
involucran cantidades
enteras.
Procedimientos
• Usa las reglas de forma-
ción de cantidades en
diferentes sistemas de
numeración para escribir
cantidades.
• Usa la reciprocidad de
las operaciones con
naturales para agilizar
cálculos numéricos.
• Usa de forma correcta la
recta numérica.
• Resuelve ecuaciones y
explica el paso a paso
para ello.
Solución de problemas
• Analiza, resuelve y plan-
tea situaciones donde se
involucran los números
naturales.
Comunicación
• Realiza dibujos para
interpretar situaciones
problemáticas.
• Entiende la informa-
ción numérica que se
presenta en los medios
de comunicación.
• Convierte expresiones
del lenguaje cotidiano a
un lenguaje simbólico y
matemático.
Modelación
Usa la recta numérica
como modelo para
interpretar situaciones
numéricas.
Ciencias
• Uso de modelos
de crecimiento
poblacional
para analizar el
incremento de
una población y
sus consecuen-
cias para el me-
dio ambiente.
Sociales
• Ubicación de
fechas históricas
en la recta
numérica.
• Conversión de
una escala de
temperatura en
otra.
Economía
familiar
• Usa las opera-
ciones básicas
para contribuir
al buen manejo
del dinero en las
compras de la
casa.
Informática
• Identifi ca el uso
del sistema de
numeración
binario en los
sistemas infor-
maticos.
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➔
[ 12 ]
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
Sugerencias metodológicas
A. Manejo de ideas previas
1. Describa situaciones en donde se vea la necesidad de usar las operaciones de los números naturales. Por ejemplo: el alza de la canasta familiar, una comparación entre el precio del dólar y el del petróleo, estaturas, ve-locidad de los automoviles, encuestas de interés, etc.
2. Haga notar a sus estudiantes que los números na-turales se usan en diversas circunstancias y tiene múltiples usos: para ordenar, para cuantifi car, para codifi car, para contar, etc. Pregunte a sus estudian-tes en cuáles de esas situaciones es válido aplicar las operaciones básicas.
3. Indague a sus estudiantes acerca de lo que piensan acerca del uso del número en los inicios de la huma-nidad: ¿cómo creen que se sumaba en la antigüedad? ¿Por qué se originaron las operaciones?
B. Formalización de la idea o concepto
Defi na un número natural como cualquiera de los nú-meros: 0, 1, 2, 3... o el mismo conjunto excluyendo el 0 según otros autores, que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.
Señale que algunos matemáticos (especialmente los de teoría de números) prefi eren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, espe-cialmente los de teoría de conjuntos, lógica e infor-mática, tienen la postura opuesta.
C. Práctica
1. Plantee varios ejemplos donde se haga uso de los nú-meros naturales en diversos contextos matemáticos y no matemáticos: para medir (pensamiento métrico); para entender estadísticas (pensamiento aleatorio); para establecer propiedades y regularidades numé-ricas (pensamiento variacional).
2. Solicite a los estudiantes que establezcan relaciones entre las formas de representar un número en dife-rentes sistemas de numeración.
3. Estimule a los estudiantes para que planteen sus propios problemas en los que utilicen los conceptos y propiedades de los números naturales. Pregunte
acerca de las razones por las que es importante co-nocer las propiedades de las operaciones entre natu-rales.
4. Use la recta numérica no solamente para recono-cer relaciones de orden sino para evidenciar lo que ocurre al sumar y restar naturales. Muestre la recta como un modelo matemático de gran ayuda.
5. Haga énfasis en las clases en la solución de proble-mas. El módulo de actividades es muy útil para ello.
6. Tome la sección económica de la prensa y ubique las tablas que presenta, explique la importancia de los datos numéricos en ellas.
D. Identifi cación de las difi cultades
En algunos casos se presentan difi cultades para:
1. recordar las tablas de multiplicar.
Alternativa:
muestre y enseñe regularidades numéricas que per-mitan a los estudiantes reconstruir las tablas cuando tengan problemas con su memorización.
2. entender para qué sirven las propiedades de las operaciones.
Alternativa:
use las propiedades para agilizar cálculos como pro-ductos por 11, descomponiéndolo como 10 + 1 y usan-do la propiedad distributiva, etc.
Proyectos integradores
Economía familiarRealice una lectura con los estudiantes sobre los recibos de los servicios públicos, las cifras y lo que indican y las barras estadísticas que se manejan en ellos.
LiteraturaSugiera lecturas de libros como Malditas matemáticas o Alicia en el País de los números de Carlo Frabetti.
Infórmatica • Haga notar la utilización del sistema binario en los
sistemas de información. Haga lecturas acerca de su manejo y su utilidad en este contexto.
• Dibuje y realice algunas operaciones en el sistema de numeración binaria.
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[ 13 ]
Prueba Saber 1. María forma triángulos agregando cada vez dos
palitos de fósforos como se muestra abajo.
El número de triángulos que se forma con 71 fósfo-ros es:
3 fósforos 5 fósforos 7 fósforos 9 fósforos
a. 30 b. 34 c. 35 d. 36
2. Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m y el de las unidades es n, enton-ces a + 1 es igual a:
a. m + n + 1 c. 10 m + n + 1
b. 100 m + n + 1 d. 100 m + 10 n + 1
3. El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cer-cada es de 40 m2 , ¿cuál es el largo de la piscina de la fi gura?a. 3 m b. 6 m c. 12 m d. 10 m
1m
1m 1m
1m
4. Dos hermanos deciden ahorrar juntos las propinas que reciben de su padre durante un año. Al fi nal de este período lograron reunir $ 192 000. Si el herma-no mayor ahorró el triple de lo que ahorró el menor. El ahorro correspondiente de cada uno es:
a. el hermano mayor: $ 48 000 y el menor $ 144 000.
b. el hermano mayor: $ 190 000 y el menor $ 2 000.
c. el hermano mayor: $ 144 000 y el menor: $ 48 000
d. el hermano mayor: $ 150 000 y el hermano menor: $ 42 000
5. En una fi nca hay sólo corderos y gallinas. Patricia y Ana deben contar cuántos animales hay allí. Cada una cuenta a su manera. Cuando regresan, Patricia dice que contó 192 patas y Ana, que contó las ca-bezas, llegó a 60. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el corral?
a. 24 gallinas y 36 corderos.
b. 36 corderos y 24 gallinas.
c. 12 gallinas y 72 corderos.
d. 72 corderos y 12 gallinas.
6. Emilio recorre 200 metros en su entrenamiento del primer día y cada día duplica lo hecho el día ante-rior. Para saber cuántos metros habrá recorrido el día décimo del entrenamiento se debe:
a. multiplicar 200 metros por 10.
b. multiplicar 200 metros por la suma:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.
c. sumar 200 metros diez veces.
d. multiplicar 200 metros por la suma
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
7. Dos toneles contienen en conjunto 108 litros de vino. Si pasáramos 4 litros de un tonel al otro, éste contendría el doble de vino que el primero. El nú-mero de litros de vino que contiene cada tonel en forma respectiva es:
a. 40 y 68
b. 70 y 38
c. 58 y 50
d. 60 y 48
8. Al tratar de encontrar un número de dos cifras que al sumarle 9 se convierte en otro número con las mismas dos cifras en orden invertido, se obtiene:
a. una respuesta única.
b. más de una respuesta.
c. infi nitas respuestas.
d. exactamente cinco respuestas.
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[ 14 ]
Unidad 3 Teoría de númerosPlaneador Unidad 3
Grado Sexto Período ................................ Tiempo previsto: ........................Tiempo real: ........................
Contenidos EstándaresRecursos
propuestos
Metodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Teor
ía d
e nú
mer
os
Pensamiento numé-rico y sistemas de numeración
• Resuelvo y formulo
problemas utilizando
propiedades básicas de
la teoría de números.
• Justifi co procedimien-
tos aritméticos utili-
zando las relaciones
y propiedades de las
operaciones.
• Justifi co la pertinencia
de un cálculo exacto
o aproximado en la
solución de un pro-
blema y lo razonable
o no de las respuestas
obtenidas.
• Establezco conjeturas
sobre propiedades
y relaciones de los
números, utilizando
calculadoras o compu-
tadores.
• Justifi co la elección de
métodos e instrumen-
tos de cálculo en la re-
solución de problemas.
• Clasifi co los naturales
en primos y compues-
tos.
• Encuentro el m.c.m.
y el m.c.d de un con-
junto de números y lo
uso en la solución de
problemas.
• Representación de
los conjuntos de
divisores y múltiplos
mediante diagramas
de Venn.
• Calculadora para
reconocer regulari-
dades numéricas y
verifi car soluciones
de ejercicios y pro-
blemas.
• Lecturas sobre crite-
rios de divisibilidad y
números primos.
• Diagramas de árbol
para la descomposi-
ción de un número
en factores primos.
• Diagramas del m.c.d
y del m.c.m.
Actividades con los criterios de divisibilidad en:
http://sauce.pntic.
mec.es/jdiego/glosa-
rio/divisibilidad.swf
http://www.
nuevaalejandria.
com/archivos-curri-
culares/matemati-
cas/nota-008.htm
Actividades con números primos y compuestos en:
http://www.
matematicas.
net/paraiso/cripto.
php?id=primos
http://mimosa.pntic.
mec.es/jgomez53/
matema/cono-
cer/10000_primos.
htm
Actividades con m.c.d. y m.c.m en:
http://lubrin.
org/mat/spip.
php?article717.
• Preguntas acer-
ca de aquellos
números que
no tienen más
que dos diviso-
res.
• Utilización del
concepto de
criptografía
para explicar
la importancia
de los números
primos y su
utilización.
• Planteamiento
de problemas
reales en los
que se requiera
del m.c.d. y/o
del m.c.m.
• Diagramas de
descomposi-
ción en factores
primos.
• Utilización de
un algoritmo
para determi-
nar los números
primos meno-
res que 100.
Razonamiento
• Reconoce las diferencias
entre un múltiplo y un
divisor.
• Identifi ca y aplica los
criterios de divisibilidad
de un número.
Procedimientos
• Realiza por medio de
diagramas la descompo-
sición de un número en
factores primos.
• Establece relaciones en-
tre múltiplos y divisores
para hallar el m.c.d y el
m.c.m.
• Aplica los criterios de
divisibilidad para hallar
los números primos y
compuestos en diversos
contextos.
Solución de problemas
• Plantea, analiza y
resuelve problemas con
el m.c.d. y el m.c.m.
Comunicación
• Sabe claramente las
razones por las que
un número es primo o
compuesto.
• Justifi ca claramente
la escogencia entre el
m.c.d. y el m.c.m. en la
solución de situaciones
de la vida cotidiana.
Modelación
* Expresa problemas de
la vida cotidiana en
términos de la teoría de
números.
Valores
Discute con sus compa-
ñeros los métodos que
utiliza para solucionar
una situación de la vida
real.
Ciencias
• Determina a partir
de los múltiplos del
tiempo de vida del
C14, los periodos
en los que el carbo-
no 14 pierde masa.
• Utiliza la defi ni-
ción de múltiplo
para determinar
las coincidencias
en los horarios de
alimentación en un
zoológico.
Ingeniería
• Maximiza o mini-
miza la cantidad
de material en una
construcción a
partir del m.c.d. y el
m.c.m.
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➔
[ 15 ]
Sugerencias metodológicas
A. Manejo de ideas previas
1. Describa situaciones en las que se vea la necesidad de usar los múltiplos, los divisores, los criterios de divisibili-dad, los números primos y compuestos.
2. Haga notar a sus estudiantes con un lenguaje sencillo, el uso de los múltiplos y divisores en la vida cotidiana, por ejemplo: los múltiplos y divisores de las unidades de medida metro, decámetro, libra, kilogramo, arroba, tonelada, etc.
B. Formalización de la idea o concepto
1. Muestre que los divisores y los múltiplos son de ayuda en la solución de problemas de la vida cotidiana.
2. Tome comestibles u otros objetos de uso cotidiano que se presenten al público subdivididos en partes iguales, y pregunte a sus estudiantes las diferentes formas en que pueden repartirlo.
3. Plantee diferencias entre un divisor y un múltiplo como que el divisor siempre es menor o igual al número y el múl-tiplo siempre es mayor o igual que el número.
4. Aclare que los criterios de divisibilidad se utilizan no sólo en la descomposición en factores primos sino también en la solución de problemas.
5. Recuerde a sus estudiantes que los números primos son aquellos que tienen únicamente dos divisores y los nú-meros compuestos son aquellos que tienen como mínimo tres divisores.
6. Explique que existen dos números naturales que no son ni primos, ni compuestos (el 0 y el 1).
C. Práctica 1. Escoja a tres o cuatro estudiantes al azar y solicíteles que
digan en voz alta un dígito. Luego, construya los números que se pueden escribir con las diferentes combinaciones de los números dados y determine cuáles de estos núme-ros son primos, cuáles son compuestos y cuáles son sus divisores y sus primeros 20 múltiplos.
2. Plasme diferentes cantidades y expresiones donde los estudiantes puedan ver con claridad los criterios de la di-visibilidad de los números.
3. Mencione varios errores al intentar decidir si un número es divisible por otro y las correcciones respectivas.
4. Solicite a los estudiantes que empleen símbolos matemá-ticos para expresar a qué clase pertenece un número, si a los números compuestos o a los primos.
5. Estimule a los estudiantes para que planteen sus propios problemas en los que utilicen los conceptos y propiedades de la teoría de números.
6. Solicite a los estudiantes que dibujen varios diagramas de árbol y construyan maquetas con descomposición de los números en factores primos.
7. Pida a los estudiantes que construyan números que sean divisibles por cierto número después de que usted haya indicado el criterio de divisibilidad correspondiente.
8. Cuente a sus estudiantes que acerca de la infi nitud de los números primos, no se ha dicho la última palabra y que se ha encontrado un número primo mayor que los demás.
Cuénteles que con la ayuda de un programa de computa-ción se ha podido encontrar el primo más grande. Invítelos a consultar por Internet acerca de este tema.
9. Use esquemas de conjuntos para mostrar relaciones entre los divisores o los múltiplos de dos números. Pregunte acer-ca de lo que signifi ca la intersección de estos conjuntos.
D. Identifi cación de las difi cultades
En algunos casos se presentan difi cultades para: di-ferenciar el m.c.d. del m.c.m.
Alternativa:
Proponga diversas circunstancias reales en las que se hace evidente el uso de uno y otro concepto.
Por ejemplo, dividir un objeto o colección de objetos en cierta cantidad de partes iguales y elegir la que satisfaga una condición de maximización.
Discuta acerca del concepto que se debe usar para resol-ver problemas de coincidencias.
• Si voy a la casa de Pablo cada 3 días y a la de Juan cada 5 días, ¿cada cuántos días los visitó el mismo día?
Proyectos integradores
Búsqueda de estrategiasDibuje con sus estudiantes un aeropuerto con aviones que llegan y que salen y determine con ellos cuando se habla de congestión aérea o tráfi co aéreo y cómo puede apli-carse la Teoría de números para solucionar el problema.
CienciasEl tiempo de rotación de los planetas. ¿Cada cuántos años se encontrarán sobre la misma línea?
MúsicaVea con los estudiantes video conciertos y determine con ellos qué instrumentos suenan al tiempo, cada cuánto suenan y redacte con ellos problemas acerca de las coincidencias de sonidos.
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
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[ 16 ]
Prueba SaberEn la Panadería el Buen Pan, todos los días llevan los huevos, cada 2 días la harina, cada 3 días, la levadura y cada 4, el azúcar y la sal.
1. El número de días que deben pasar para que todos los productos lleguen al mismo tiempo es:
a. 6 b. 12 c. 9 d. 15
2. ¿Cada cuántos días llegan al mismo tiempo los huevos y la harina?
a. 1 b. 3 c. 2 d. 4
3. Los productos que llegan al mismo tiempo cada tercer día son:
a. los huevos y la levadura.
b. la harina y la levadura.
c. la levadura, el azúcar y la sal.
d. los huevos y el azúcar.
4. ¿Cuántos productos coinciden cada 6 días?
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
5. ¿Al cabo de 16 días qué productos coinciden?
a. huevos, sal y harina.
b. harina, levadura, azúcar y sal
c. huevos, harina y levadura.
d. huevos, harina, azúcar y sal.
6. José necesita varios trozos de listones de igual longitud. Le interesa que tengan la máxima longi-tud posible y que no le sobre ningún pedazo y los tiene que cortar de dos listones de 72 centímetros y de 48 centímetros". Una estrategia de solución es:
a. sumar 48 y 72 y dividir esta suma entre 2.
b. restar 72 de 48 y dividir la diferencia entre 2.
c. hallar el máximo común divisor de 48 y 72.
d. hallar el mínimo común múltiplo de 48 y 72.
7. En una fi nca rectangular de 196 metros de largo y 128 metros de ancho queremos plantar árboles. Si entre el límite del terreno y los árboles han de
quedar 6 metros, y éstos están plantados a distan-cias iguales. ¿Cuántos se podrán plantar de mane-ra que la distancia entre ellos sea máxima? Para resolver este problema se puede:
a. sumar 196 y 128 y dividir esta suma entre 2.
b. restar 128 de 196 y dividir la diferencia entre 2.
c. hallar el máximo común divisor de 128 y 196.
d. hallar el mínimo común múltiplo de 128 y 196.
8. El menor número posible que dividido por 15, 20 y 25 da en cada caso un resto igual a 7 es:
a. 307 b. 614 c. 500 d. 225
9. Se quiere alambrar un terreno que tiene forma de cuadrilátero irregular cuyos lados miden: 320 m, 208 m, 396 m y 168 m. Se desea que los postes estén equidistantes y que en cada vértice haya un poste. ¿Cuál es la mayor distancia a la que pueden colocarse?
a. 2 m b. 5 m c. 6 m d. 4 m
10. En el problema anterior, ¿cuál es el número de postes que debe colocarse en total?
a. 250 b. 273 c. 253 d. 280
11. María y Pedro tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola. ¿Cuántos collares iguales pueden hacer?
a. 8 b. 7 c. 5 d. 10
12. Julia tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja?
a. 60 b. 120 c. 30 d. 180
13. Para ir al cine dos niños no se ponen de acuerdo. Uno va cada 5 días y otro cada 6. Si coincidieron el 24 de diciembre, ¿qué día volverán a coincidir?
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[ 17 ]
Unidad 4 Fracciones y decimales
Planeador unidad 4Grado Sexto Período ............................. Tiempo previsto: ........................Tiempo real: ........................
Contenidos Estándares Recursos propuestosMetodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Frac
cion
es y
dec
imal
es
Pensamiento nu-mérico y sistemas numéricos
• Utilizar números
(fracciones, decima-
les, razones, porcen-
tajes) para resolver
problemas.
• Justifi car opera-
ciones aritmé-
ticas utilizando
las relaciones y
propiedades de las
operaciones.
• Resolver y formular
problemas cuya
solución requiere
de la potenciación o
radicación.
• Justifi car la elección
de métodos e
instrumentos de
cálculo en la resolu-
ción de problemas.
• Información de las
sección económica
y de tecnología en
los periódicos.
• Planos con dis-
tancias con cifras
decimales y la
escala a la que se
encuentran.
• Extractos banca-
rios o de tarjetas de
crédito.
• Calculadora o
programa Excel.
Actividades con fracciones en:
http://www.cidse.
itcr.ac.cr/revistama-
te/SoftDidactico/
Fracciones3/index.
html
(Se puede bajar
un software para
operaciones con
fracciones).
http://www.
unabvirtual.edu.
co/related/atees/co-
lombia/documen-
tos/atees_juan/
nacional_mat/Ra-
cionales/aplica.
html
(Actividades y pro-
blemas propues-
tos).
• Recolección
y análisis de
información
signifi cati-
va para los
estudiantes
dentro o fuera
del colegio.
• Uso de mapas
para calcular
distancias
entre puntos
sobre él y esti-
mar distancias
reales.
• Lectura de
extractos
bancarios y
obtención de
la información
de tasas de
interés y mora
para entender
este tipo de
documentos.
• Manejo y pro-
gramación de
calculadora y
computador
en diferentes
cálculos, en
especial para
porcentajes.
• Maratones
de cálculo
mental de
porcentajes
especiales y
fracciones de
un número.
• Estimación
de respuestas
a ejercicios
fracciones y
decimales.
Razonamiento
• Identifi ca fracciones
y da ejemplos de
expresiones que no
lo sean.
• Clasifi ca fracciones y
números decimales.
Procedimientos
• Aplica las operacio-
nes entre fracciones
y decimales, sus
relaciones y propie-
dades en diversos
contextos.
Solución de proble-mas
• Analiza, resuelve y
plantea problemas
con fracciones, deci-
males y porcentajes.
Comunicación
• Representa fraccio-
nes y decimales en
forma gráfi ca.
• Lee y comparte
información sobre
temas que involu-
cran porcentajes,
fracciones y decima-
les.
Modelación
• Expresa situaciones
en lenguaje matemá-
tico que involucra
porcentajes, decima-
les y fracciones.
Valores
• Trabaja en equipo y
respeta las opiniones
de los demás.
Economía
• Análisis de la
variación de
los indicadores
económicos en
un intervalo
de tiempo y
determinación
de cuál de ellos
afecta a perso-
nas cercanas.
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➔
[ 18 ]
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
A. Manejo de ideas previas
1. Hable a sus estudiantes de situaciones en donde se vea la necesidad de hacer uso de las fracciones y los decimales. La medición del tiempo y el conteni-do de las bebidas gaseosas son una buena opción. En cuanto a los decimales, muestre ejemplos don-de la medición se hace en kilómetros y pida que se transforme en unidades menores que arrojen cifras decimales o cite que en la comercialización del oro, pequeñas partes decimales de un gramo son de gran valor.
2. Es bueno asociar la fracción con su gráfi ca e inclu-so en la adición y sustracción se puede hacer uso de ella para expresarlas con el mismo denominador.
B. Formalización de la idea o concepto
1. Si bien es bueno usar la interpretación gráfi ca para varias situaciones, es importante hacer énfasis en la concepción de una fracción como el cociente entre dos naturales.
2. Muestre que el hecho de que si una fracción esté conformada por números más grandes, no indica que la fracción sea mayor que otra.
3. En la potenciación, muestre que la potencia de un nú-mero racional no siempre es mayor que la base. Esto le mostrará a los estudiantes que esta operación no funciona como en los naturales donde la potencia siempre es mayor o igual que la base.
C. Práctica
1. Según la defi nición de fracción como cociente, pida a los estudiantes que den ejemplos de expresiones que no correspondan a fracciones.
2. Haga mucho trabajo de ubicación de las fracciones en la recta, tanto en forma vertical como horizontal.
3. Válgase de situaciones en las que la fracción es un elemento importante: contenido nutricional de los alimentos, estadísticas, situaciones deportivas para formular y solucionar problemas, etc.
4. Cuando los diferentes procesos operativos con de-cimales estén afi anzados, use la calculadora como herramienta de apoyo. Aprovéchela para mostrar por ejemplo que 2,000 equivale a 2 o que 3, 500 = 3,5.
5. Al comienzo de la explicación de porcentajes, expli-que que se trata de una comparación por cada cien (una fracción con denominador 100). Por ejemplo, el 40 % de 200 se interpreta como el producto de 40 por 200 y ese producto se divide entre 100. Pida que cal-culen otros porcentajes y pida que siempre verbali-cen el proceso.
6. Haga cálculo mental con porcentajes sencillos como 10%, 20%, 25%, 50%, 200%, de una cantidad como 300. Luego, cambie la cantidad por otras cantidades que no sean múltiplos de 10.
7. Hable de los decimales en contextos como los indi-cadores económicos, el crecimiento de la población mundial, la capacidad de almacenamiento de compu-tadores o cualquier dispositivo digital, esto hará que vean el contexto de la temática.
D. Identifi cación de las difi cultades
Algunas difi cultades que se pueden presentar al:
1. sumar o restar fracciones homogéneas operando los respectivos numeradores y denominadores.
Alternativa:
Muestre con un ejemplo que no es correcto. Por ejem-plo, que de adicionar dos botellas de medio litro cada una, se llena una completa y no sólo dos cuartos.
2. ordenar números decimales con diferente canti-dad de cifras en la parte decimal.
Alternativa:
Pídales que completen con ceros al fi nal, para que los números queden de la misma cantidad de cifras en la parte decimal y luego sí realicen la comparación.
Proyectos integradores
Economía
Pida a los estudiantes que observen las noticias econó-micas, en especial los indicadores económicos, que ha-gan una tabla de la variación que presentan los mismos. Invítelos a que indaguen por el signifi cado de términos como DTF, Iva, 4 x mil y si alguno de estos índices involu-cra a alguien cercano y de qué forma.
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[ 19 ]
Prueba Saber
1. Las letras EA signifi can efectivo anual que corres-ponde al interés anual que se debe pagar por una compra hecha en determinado mes. Según el ex-tracto, es cierto decir que el interés EA:
a. se mantiene constante.
b. llegó a su punto más bajo en el año 2006.
c. para el mes correspondiente al extracto es del 1,86 %.
d. equivale a 1,86% multiplicado por 12 que es el nú-mero de meses.
2. La expresión ATM PR canje recibido nacional sig-nifi ca que fueron avances, es decir dinero que se sacó del cajero. El monto de todos los avances he-chos por el dueño de la tarjeta es:
a. $ 900 000 c. 810 000
b. $ 800 000 d. 910 00
3. La diferencia entre el interés EA para los años 2007 y el 2006 fue de
a. 22, 89 %.
b. No se puede determinar esta diferencia.
c. 4, 34 %
d. 20, 41 %
4. No todo el cupo de la tarjeta puede disponerse para avances, situación que se puede leer en el extracto. El porcentaje del cupo total que se puede gastar en avances es del
a. 50 % b. 100% c. 75 % d. 80 %
5. El número de cuotas pendientes de la compra he-cha en Alkosto es
a. 12 b. 8 c. 10 d. 2
Información de un extracto bancario.
Responde las preguntas de acuerdo con la información del extracto
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[ 20 ]
Planeador unidad 5
Grado Sexto Período .............................. Tiempo previsto: ........................Tiempo real: ........................
Contenidos EstándaresRecursos
propuestos
Metodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Núm
eros
ent
eros
Pensamiento numérico y sistemas numé-ricos.
• Reconocer la ne-
cesidad de am-
pliar el conjunto
de los números
naturales.
• Reconocer
el uso de los
números enteros
en diversos
contextos.
• Representar nú-
meros enteros.
• Completar
tablas para obte-
ner y generalizar
regularidades.
• Realizar
operaciones
aritméticas de
manera precisa
con números
enteros.
• Adquirir una
comprensión
sólida de las
relaciones y
operaciones
entre números
enteros.
• Formular y re-
solver problemas
utilizando nú-
meros enteros.
• Mapas.
• Termómetro.
• Plano cartesiano.
• Reglas gradua-
das.
• Ábacos para
sumar.
Actividades con números enteros en:
http://descartes.
cnice.mecd.
es/materiales_di-
dacticos/ente-
ros2/index.htm
http://w3.cnice.
mec.es/eos/Mate-
rialesEducativos/
primaria/mate-
maticas/conma-
tes/unid-4/nume-
ros-enteres2.htm
Actividades con el plano cartesia-no en:
http://www.
guiamath.net/
http://www.
edilatex.com/in-
dex_archivos/al-
gebra5tintas.pdf
http://personal.
redestb.es/jla-
breu/descartes/
plano.htm
Test en:
http://www.
thatquiz.org/es/
Applets en Java:
http://www.
walter-fendt.
de/m14s/
• Reconocimiento
de expresiones
que requieren
del uso de
números negati-
vos.
• Comparación
de magnitudes
perceptibles y
familiares.
• Organización de
datos en tablas.
• Comparación
de resultados de
diversos juegos,
en donde la
columna de los
resultados se
debe obtener
razonadamen-
te a partir de
comparaciones.
• Representa-
ción de parejas
ordenadas en el
plano cartesia-
no.
• Realización de
operaciones
con números
enteros en las
que falten datos.
• Desarrollo de
polinomios
aritméticos,
teniendo en
cuenta jerarquía
de operaciones.
• Desarrollo de
problemas en
los que falten o
sobren datos.
Razonamiento
• Interpreta gráfi ca-
mente cambios de
temperatura, deudas,
escalas de puntos
sobre y bajo el nivel
del mar.
• Identifi ca y aplica las
operaciones básicas
entre números ente-
ros.
• Establece relaciones
entre las operaciones
con números enteros.
Procedimientos
• Efectúa correctamen-
te operaciones entre
números enteros.
• Grafi ca parejas
ordenadas en el plano
cartesiano.
• Desarrolla polino-
mios aritméticos
usando en forma
apropiada la jerarquía
de las operaciones.
Solución de proble-mas
• Analiza, resuelve y
plantea problemas
con números enteros.
Comunicación
• Describe situaciones
en las que intervienen
los números enteros.
• Realiza gráfi cas para
representar números
enteros en la recta
numérica y en el pla-
no cartesiano.
Modelación
• Convierte expre-
siones del lenguaje
cotidiano al lenguaje
matemático.
Sociales
• Usa mapas de
meridianos para
hallar diferencias
horarias entre
países.
• Realiza compa-
raciones entre
temperaturas
promedio de dife-
rentes planetas.
• Lee un mapa
topográfi co y
ubica puntos de
referencia de él
sobre una recta.
Unidad 5 Números enteros
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➔
[ 21 ]
Sugerencias metodológicas
A. Manejo de ideas previas1. Describa situaciones en donde se vea la necesidad de
usar números negativos. Por ejemplo: temperaturas bajo cero, deudas, pérdidas, alturas bajo el nivel del mar, cro-nologías, etc.
Mediante dichos ejemplos, haga notar a sus estudiantes que los números enteros tienen variedad de aplicaciones en la vida diaria.
Algunas situaciones que puede aprovechar para facilitar la introducción del concepto, son las que implican transforma-ciones como: Ganar - perder; Añadir - quitar; Subir - bajar.
2. Compare series cronológicas y secuencias temporales sen-cillas: días de la semana, partes del día, estaciones, etc.
Compare cantidades que tengan que ver con precios: cuesta más, cuesta menos, etc.
B. Formalización de la idea o concepto1. Compare resultados de juegos como tiro al blanco, fútbol,
carreras de autos y deportes en general.2. Pídale a sus estudiantes que realicen gráfi cas de tempera-
turas tomadas cada hora, en diferentes puntos durante una jornada escolar y que organicen los resultados en una tabla.
3. Haga énfasis en que la ubicación de los enteros negativos en la recta es convencional, y en que las divisiones deben ser iguales, sin importar la escala. Pídales que dibujen va-riedad de rectas en diferentes posiciones y con los núme-ros negativos a un lado y a otro, y luego escoja la represen-tación convencional, haciéndoles ver que hubiera podido escoger cualquier otra.
4. Use diferentes formas de comparar números enteros: la recta numérica, la simulación de una máquina, el concep-to de valor absoluto.
5. Plantee y explique las diferentes relaciones entre las opera-ciones con números enteros: la resta también es una suma.
6. Recalque que en una pareja ordenada, el primer número se representa en el eje de las X y el segundo número se representa en el eje de las Y.
7. Sobre un plano localice tesoros escondido a partir de una serie de mensajes que se pefi eran a desplazamientos y medidas relativas.
C. Práctica1. Dibuje una recta en el piso, marcando un punto de refe-
rencia. Ubique a varios estudiantes a la misma distancia del punto de referencia y de manera intercalada, haga que se ubiquen uno a la derecha y otro a la izquierda, mirando en direcciones opuestas.
2. Solicite a los estudiantes que dibujen una recta para re-presentar a cada persona con números enteros.
3. Solicite a sus estudiantes que dibujen varios diagramas de planos cartesianos y los explique.
4. Estimule a los estudiantes para que planteen sus propios problemas en los que utilicen los conceptos y operaciones de los números enteros.
5. Las actividades deben estar encaminadas a la elabora-ción de diagramas, esquemas, gráfi cos, etc., en las que intervengan números enteros.
D. Identifi cación de las difi cultades
En algunos casos se presentan difi cultades para:
• sumar y restar números enteros.
Alternativa
Use reglas graduadas para trabajar la suma como un desplazamiento con dichas reglas.
Use el ábaco para sumar. La suma de dos números cua-lesquiera representados en las rectas de afuera viene dada por el número representado por el punto de la recta intermedia alineado con los anteriores:
Proyectos integradores
Sociales
1. Con la ayuda de un mapamundi, ubique diferentes países del mundo sobre él. Al tiempo, marque los países en un mapa previamente pegado en el ta-blero y halle diferencias horarias.
2. Use mapas topográfi cos en los que se utilicen nú-meros negativos para señalar alturas por encima y por debajo del nivel del mar.
3. Explicada la cronología islámica, traslade a una rec-ta del tiempo, fechas de la cronología occidental.
Ciencias
1. Tome la temperatura del aula de clase en diferentes horarios y días, después solicite a los estudiantes que realicen una tabla y que grafi quen los datos recolectados.
2. Realice experimentos con agua, hielo, etc., estu-diando las temperaturas y su comportamiento en diferentes mezclas.
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
3
2
1
0
-1
-2
3
2
1
0
-1
-2
6
5
3
4
2
1
0
-2
-1
-4-3
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-5 -5
-5 -5
-20 5
5 -10
15 20
20 15
0123456789
10111213141516171819202122232425
5 10 15 200123456789
10111213141516171819202122232425
5 10 15 20
0123456789
10111213141516171819202122232425
5 10 15 20
[ 22 ]
Prueba SaberElige la respuesta para cada una de las siguientes pre-guntas.
1. De las siguientes situaciones, la que indica una operación que involucra cantidades negativas es:
a. a un ingreso se le adiciona otro adicional.
b. a una pérdida se le agrega una más.
c. se advierte que una persona tiene fi ebre.
d. luego de haber ascendido 1 000 metros, una per-sona logra ascender 1 000 metros más.
2. En un juego de tiro al blanco, Camilo obtiene los siguientes puntajes en cinco juegos, cada uno de dos lanzamientos: –5, –10, 5, –20 y 15.
Para obtener el puntaje del cuarto juego, los dardos de Camilo cayeron:
a. una vez en 15 y otra en 5.
b. dos veces en –10.
c. dos veces en –5.
d. una vez en 15 y otra en 5.
3. Con un equipo de respiración, es posible bucear hasta una profundidad de 75 m.
Jaime va de vacaciones a San Andrés con su familia y registra todas las inmersiones que efectúa durante los dos primeros días.
El primer día Jaime baja 3 m para practicar respira-ción. El segundo día baja 6 m y luego, 12 m más para estudiar la vida marina.
La diferencia entre la profundidad que alcanzó el segun-do y el primer día fue de:
a. 12 m b. 15 m c. 20 m d. 11 m
4. Nicolás desea medir la variación de temperatura de la gelatina líquida, usando agua fría para bajarla. Al sumergir el líquido en el agua, él marca la hora exacta. La gelatina líquida está a 24 °C. Él examina el líquido cada vez que la temperatura disminuye 3 °C y elabora una gráfi ca con los resultados.
La gráfi ca que representa las anotaciones de Nicolás, es:
a. b.
c.
5. Con respecto a la ubicación de los números ente-ros sobre la recta puede afi rmarse que
a. los enteros negativos se encuentran hacia la de-recha del cero.
b. Los enteros positivos se encuentran a la izquier-da de cero.
c. Cualquier entero positivo se encuentra a la mis-ma distancia de cero que su opuesto.
d. Cualquier entero positivo se encuentra al doble de distancia de cero que su opuesto.
6. La suma de los enteros a y –b se nota como:
a. a + b b. a + (–b) c. a – (–b) d. 0
7. La diferencia de a con –b equivale a:
a. a – b b. a + b c. b – a d. 0
tem
pera
tura
(°C)
tiempo (minutos)
tem
pera
tura
(°C)
tiempo (minutos)
tem
pera
tura
(°C)
tiempo (minutos)
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[ 23 ]
Planeador Unidad 6
Grado Sexto Período .............................. Tiempo previsto: ........................Tiempo real: ........................
Contenidos EstándaresRecursos
propuestos
Metodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Geo
met
ría
Pensamiento espacial y siste-mas geométri-cos
• Reconocer ele-
mentos básicos
para la descrip-
ción y organiza-
ción del espacio:
puntos, rectas y
planos.
• Reconocer rela-
ciones básicas
para la descrip-
ción y organiza-
ción del espacio:
paralelismo y
perpendiculari-
dad.
• Identifi car y
describir fi guras.
• Clasifi car
polígonos en
relación con sus
características.
• Describir formas
y fi guras con di-
ferentes lengua-
jes geométricos
(palabras, símbo-
los, expresiones
o fi guras).
• Predecir y
comparar los
resultados de
aplicar transfor-
maciones rígidas
sobre fi guras
bidimensionales.
• Reconocer fi gu-
ras equivalentes
y justifi car tal re-
lación mediante
el criterio de las
transformacio-
nes geométricas.
• Regla y compás.
• Papel calcante.
• Transportador.
• Plano cartesia-
no.
Actividades de geometría en:
http://www.sec-
tormatematica.
cl/enlaces.htm
http://www.
matematicas.
net/
Actividades con Cabri en:
http://teleline.
terra.es/perso-
nal/joseantm/
http://www.
jazzfree.com/
jazz6/cpaulo/
Test en:
http://www.
thatquiz.org/es/
• Reconocimiento
de características
y propiedades de
las fi guras.
• Comprensión de
las propiedades
de las fi guras me-
diante construc-
ción de modelos.
• Establecimiento
de conexiones
lógicas entre
las formas y sus
propiedades.
• Utilización de las
propiedades da-
das de una fi gura
para dibujarla o
construirla.
• Comprensión del
concepto de mo-
delo matemático
que representa
relaciones entre
objetos.
Razonamiento
• Reconoce clases de
fi guras equivalentes
según diferentes
criterios de clasifi ca-
ción.
Procedimientos
• Mide por métodos
directos e indirectos
ángulos.
• Clasifi ca fi guras
planas.
• Utiliza el plano car-
tesiano para localizar
polígonos.
• Usa las transforma-
ciones geométricas
para generar y anali-
zar fi guras.
Solución de problemas
• Busca propiedades,
regularidades y
relaciones en fi guras
geométricas.
• Formula y comprueba
conjeturas acerca de la
solución de problemas
geométricos.
Comunicación
• Valora el uso co-
rrecto del vocabu-
lario adecuado para
conseguir claridad y
precisión al describir
hechos geométricos.
• Describe adecuada-
mente las propieda-
des de una fi gura.
• Comprende las cua-
lidades de una buena
defi nición.
Modelación
• Reconoce un objeto
a partir de una des-
cripción y viceversa.
Artes
• Proponga la cons-
trucción de una
caja para los rega-
los de una fi esta de
cumpleaños a par-
tir de su desarrollo
bidimensional.
Guíe la actividad
para que los estu-
diantes reconozcan
rectas paralelas y
secantes, oblicuas
y perpendiculares.
• Muestre diferentes
formas de elaborar
teselados y motive
a los estudiantes a
que creen algunos
con fi guras geomé-
tricas regulares e
irregulares.
Ciencias
Muestre cómo
las formas que
presentan algunos
animales son pro-
ducto de la evolu-
ción que buscan
su preservación
y además, en su
mayoría confor-
man un ejemplo
de simetría.
Unidad 6 Geometría
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[ 24 ]
Sugerencias metodológicas A. Manejo de ideas previas1. Describa objetos del salón de clases en los que sea posible
identifi car puntos, líneas, planos, ángulos y polígonos.2. Trabaje con ilusiones ópticas y haga ejercicios de vi-
sualización para que sus estudiantes reconozcan que la percepción no es sufi ciente para el conocimiento de muchas propiedades de los objetos geométricos, ya que los sentidos engañan.
3. Muéstreles ejemplos variados para que ellos puedan discernir entre lo que puede asumirse como cierto en un dibujo y lo que no.
4. Represente físicamente los movimientos de traslación, rotación y refl exión.
B. Formalización de la idea o concepto1. Para llegar a buenas defi niciones de conceptos geomé-
tricos, es necesario que lleve a sus estudiantes a que descubran las características esenciales de los obje-tos geométricos, a que describan sus características y a que analicen variadas defi niciones encontradas en diversos medios.
2. Seleccione gran variedad de ejemplos y contraejem-plos para identifi car en ellos las características rele-vantes e irrelevantes del concepto que se esté traba-jando. Los ejemplos deben seleccionarse de tal manera que las características irrelevantes de más frecuente aparición sean variadas.
3. Llame la atención de sus estudiantes hacia las carac-terísticas de las fi guras mediante preguntas y explica-ciones. Por ejemplo, en el caso de la construcción del concepto de cuadrilátero pregunte: ¿es necesario que los segmentos rectilíneos sean todos de la misma lon-gitud? o, ¿cómo es posible que estas dos fi guras sean cuadriláteros si una tiene dos lados largos y dos lados cortos, y la otra tiene los cuatro lados iguales?
4. Después de efectuar transformaciones, pídales que usen el compás para comparar las longitudes de los segmentos correspondientes, y el transportador para comparar los ángulos correspondientes.
C. Práctica 1. Haga que señalen diferentes rectas identifi cables en el
salón de clase, como los bordes de los escritorios, de las mesas y de las ventanas. Use estos ejemplos para llegar a la defi nición de ángulo como un par de rayos con un mismo origen.
2. Ahora repita el ejercicio dibujando esta vez rectas, ra-yos, segmentos de recta y planos no similares.
Después de mostrar cómo dibujar rectas, rayos, seg-mentos de recta y planos no similares, discuta con los estudiantes sobre la diferencia entre estas fi guras.
3. En papel calcante, haga que trabajen la noción de trián-gulo, a través de sus propiedades geométricas.
4. Haga que los estudiantes construyan varias fi guras geométricas en cartulina y las recorten, para que luego demarquen sobre el piso el contorno de dichas fi guras, las deslicen sin girarlas y demarquen el contorno nue-vamente. Pregúnteles que relación encuentran entre la fi gura geométrica inicial y la fi nal.
D. Identifi cación de las difi cultades
En algunos casos se presentan difi cultades para:1. comprender que las fi guras pueden clasifi carse en di-
ferentes tipos.Alternativa:No le dé a sus estudiantes defi niciones acabadas para que las memoricen. Haga que lleguen a las defi niciones esti-mulándolos con preguntas adecuadas. Por ejemplo: lee la siguiente defi nición de altura de un triángulo:“Una altura de un triángulo es un segmento per-pendicular desde un vértice del triángulo a la recta que contiene el lado opuesto”.Determina si las siguientes defi niciones son equiva-lentes a la defi nición anterior. Ilustra con dibujos tus respuestas: a. una altura de un triángulo es un segmento que va des-
de un vértice al lado opuesto. b. una altura de un triángulo es un segmento que va des-
de un vértice del triángulo al lado opuesto y es perpen-dicular a éste.
c. una altura de un triángulo es un segmento que es per-pendicular a uno de sus lados.
2. formular frases que muestren relaciones entre fi guras.Alternativa:
Escoja actividades que posibiliten procesos de construc-ción de conceptos geométricos que lo lleven a discernir entre las representaciones que encajan dentro de una de-fi nición y las que no.Dibuje varias rectas, rayos, segmentos de recta y planos que tengan características comunes. Trace un rayo y un segmento que sean subconjuntos de una recta dada. Gra-fi que después una segunda recta en el mismo papel y trace un rayo y un segmento de recta correspondientes a esa recta. Con estas dos rectas, construya el plano corres-pondiente, es decir, el plano que las contiene. Después de mostrar cómo dibujar rectas, rayos, segmentos de recta y planos similares, discuta con los estudiantes sobre la simi-litud entre estas fi guras.
Proyectos integradores
Artes Por medio de la construcción de teselados, estudie propiedades de polígonos.
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
➔
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A B
CD
1 2
3
ab
c
mn
o
r
43˚
65˚
[ 25 ]
Prueba Saber 1. Con respecto a los conceptos de punto, recta,
rayo y segmento puede decirse que:
a. no pueden defi nirse pues nadie ha visto un punto, ni una recta, ni un rayo, ni un segmento.
b. son conceptos que se intuyen pero que no pue-den defi nirse de manera explícita.
c. son ideas propias de la geometría que sólo se construyen pero no se defi nen porque no existen.
d. Puede defi nirse lo que es un punto pero no lo que es una recta, un segmento o un rayo.
2. si se tiene una recta paralela…
a. es posible construir otra que sea paralela a ella.
b. es posible trazar infi nitas rectas paralelas que pasen por un punto exterior a ella.
c. Es posible construir una y solamente una recta paralela que pase por un punto exterior a ella.
d. es imposible construir una recta paralela por un punto exterior a ella.
3. Un ángulo puede medirse con el uso de:a. una regla.b. un compás.c. un transportador.d. un termómetro.
4. Cuando dos rectas paralelas son atravesadas por una tercera recta siempre se obtienen:
a. cuatro ángulos rectos.b. ocho ángulos.c. diez ángulos.d. cuatro ángulos.
5. Con respecto a un rombo y un cuadrado puede afi rmarse que:
a. todo cuadrado es rombo.
b. todo rombo es cuadrado.
c. todo rombo es la mitad de un cuadrado.
d. todos los rombos y cuadrados tienen la misma área.
6. La información demuestra que el cuadrilátero es un trapecio, porque:
a. es una fi gura con cuatro lados rectos.
b. Los ángulos 2 y 3 son suplementarios y los ángu-los B y C también.
c. Los ángulos 1 y 3 son congruentes, los ángulos 1 y 2 son suplementarios, por lo tanto, si las rectas son paralelas los ángulos 2 y 3 deben ser suple-mentarios.
d. Todos los ángulos son agudos y hay dos lados paralelos.
7. En la fi gura, la medida del ángulo a, es:
a. 25º b. 15º c. 75º d. 10º
8. Dos ángulos suplementarios son:
a. m y o b. b y r c. o y c d. a y b
9. La medida del ángulo n es:
a. 52º b. 72º c. 62º d. 82º
10. La medida del ángulo c, es:
a. 120º b. 112º c. 95º d. 115º
Para cada una de las siguientes preguntas, elige la opción correcta:
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[ 26 ]
Planeador unidad 7
Grado Sexto Período .............................. Tiempo previsto: ........................Tiempo real: ........................
Contenidos EstándaresRecursos
propuestos
Metodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Est
adís
tica
Pensamiento aleatorio y siste-mas de datos
• Comparar e
interpretar datos
provenientes de
diversas fuentes.
• Construir
diferentes tipos
de diagramas a
partir de una co-
lección de datos.
• Interpretar
diagramas y cal-
cular frecuencias,
medianas, modas
y medias a partir
de ellos.
• Conjeturar acerca
del resultado de
un experimento
aleatorio.
• Tablas y diagra-
mas obtenidos
de periódicos.
• Dados
• Fichas de domi-
nó.
Actividades de probabilidad en:
http://thales.
cica.es./rd/
Recursos/
rd98/Mate-
maticas/36/
matematicas-
36.html
http://www.
elosiodelosan-
tos.com
http://olmo.
pntic.mec.
es/~mrodri7
• Reconocimiento
de la relación
entre un conjun-
to de datos y su
representación.
• Interpretación,
producción y
comparación de
representaciones
gráfi cas adecua-
das para presen-
tar diversos tipos
de datos.
• Uso de medidas
de tendencia
central para
interpretar el
comportamiento
de un conjunto
de datos.
• Uso de modelos
para predecir la
posibilidad de
ocurrencia de un
evento.
Razonamiento• Interpreta la infor-
mación contenida
en una tabla o en un
diagrama.
Procedimientos• Construye diagra-
mas a partir de una
colección de datos.
• Calcula medidas de
tendencia central
de un conjunto de
datos.
• Predice y justifi ca
razonamientos
y conclusiones
usando información
estadística.
Solución de problemas
• Resuelve y formula
problemas a partir
de un conjunto de
datos presentados
en tablas y diagra-
mas.
Comunicación• Lee, datos, tablas
y diagramas con
comprensión.
• Describe correcta-
mente el compor-
tamiento de un
conjunto de datos.
Modelación• Evalúa diferentes
representaciones
gráfi cas de los mis-
mos datos.
Sociales
• Recolecte estadís-
ticas sobre movi-
mientos telúricos
en distintos lugares
del mundo.
• Interpretación de
encuestas y censos
poblacionales, ¿por
qué son útiles?
Ciencias
Estadísticas acerca
de la extinción de
algunos animales.
Educación
física y deportes
Récords del mun-
do.
Países más meda-
llistas.
Unidad 7 Estadística
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[ 27 ]
Sugerencias metodológicas
A. Manejo de ideas previas
• Inicie con una situación problema que sea de inte-rés. Por ejemplo, pregunte a sus estudiantes si han escuchado el comentario acerca de que hay más mujeres que hombres y que corresponden dos mu-jeres a cada hombre. Busque datos actualizados de la población por género en algunos países y elabore con ellos la tabla que represente los datos. Pregunte si la afi rmación dada es válida a la luz de las estadís-ticas o si pueden establecer otros tipos de relación reales.
B. Formalización de la idea o concepto
1. Después de completar la tabla conduzca la discusión sobre el comentario inicial por medio de preguntas como las siguientes: ¿hay países donde son más nu-merosos los hombres?, ¿en cuáles países hay más mujeres?
2. Guíe a los estudiantes a elaborar un diagrama de do-ble barra haciéndoles ver que es más práctico para resolver este tipo de preguntas.
3. Hágales ver que se le debe colocar un título al gráfi -co y que éste debe describir su contenido de manera breve pero completa. También es importante especi-fi car la región, las unidades de medida, la fecha a la que corresponden los datos, etc.
C. Práctica
1. Motive a sus estudiantes para que elaboren encues-tas de gustos y preferencias sobre datos de interés para ellos. Oriéntelos a la organización de los resul-tados que obtienen, cuidando los detalles en cada diagrama que realicen.
2. Permita que con los datos que ellos mismos organi-zan, puedan hacer predicciones sobre la ocurrencia de eventos.
D. Identifi cación de las difi cultades
En algunos casos se presentan difi cultades para:
1. hallar la media ponderada de un conjunto de datos.
Alternativa:
Determinar un valor desconocido en un conjunto peque-ño de datos para obtener un valor medio dado haciendo un uso comprensivo del algoritmo, multiplicando el valor medio por el número de valores para hallar la suma total y de ahí, el valor faltante.
2. comprender el signifi cado de la media aritmética.
Alternativa:
Preguntar y refl exionar acerca de cuestiones como: ¿qué quiere decir que el número medio de niños por fa-milia es 2,3?, o ¿qué quiere decir que el salario promedio de un empleado sea $ 450 000?
Invite a los estudiantes a hallar la media de las edades de los integrantes del curso o de sus edades.
Pregunte si es posible hallar la media si se tienen datos cualitativos como color de los ojos, preferencias por un programa de televisión, etc.
Proyectos integradores
Comercio
Proponga la creación de una cafetería escolar por gru-pos. Para la creación de la cafetería, cada grupo debe elaborar una encuesta sobre las preferencias de sus compañeros por la comida. Guíelos para que organicen la información en tablas, y para que la representen por medio de diagramas.
Con los resultados obtenidos, pida que calculen las me-didas de tendencia central para que escojan los produc-tos de más demanda y con ellos elaboren el inventario de las cosas que venderían.
Haga que escojan un nombre, un slogan y una imagen para la cafetería.
Oriéntelos para que tomen decisiones acerca de qué ti-pos de producto deben vender y a qué precio.
Revise el trabajo y formúleles preguntas en las que de-ban usar conceptos sencillos de probabilidad. Por ejem-plo, pregúnteles: Si Juan tiene $ 3 000, ¿qué combina-ciones puede hacer para comprar unas onces?, o, ¿cuál es la probabilidad de que “x” producto se venda más?
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
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Niñas
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Niñas
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Niñas
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Prueba SaberEl uso de Internet ha crecido de forma acelerada en la última década.
La tabla muestra las estadísticas del número de usuarios de Internet por regiones hasta 2007:
Región Usuarios de internet Población total
África 43 995 700 933 448 292Asia 459 476 825 3 712 527 624Europa 337 878 613 809 624 686Oriente Medio 33 510 500 193 452 727Norteamérica 234 788 864 334 538 018Latinoamérica/caribe 115 759 709 556 606 627Oceanía / Australia 19 039 390 34 468 443
1. De acuerdo con la información de la tabla, la canti-dad de personas que no usaron Internet en África hasta 2 007 fue:
a. 125 365 126 c. 889 452 592
b. 785 231 654 d. 988 478 360
2. La diferencia entre personas que no usaron Internet en Oriente Medio y Oceanía, es:
a. 159 942 227 c. 158 984 284
b. 15 429 053 d. 144 513 174
3. En una bolsa hay 3 bolas rojas y 6 azules. Ganas si sacas de la bolsa, con los ojos cerrados, una bola roja. ¿Qué tan probable es ganar?
a. es imposible.
b. es poco probable.
c. tienes el 50% de probabilidad de ganar.
d. tienes menos probabilidad de ganar que de perder.
4. A un grupo de niños y niñas se les preguntó si les gustaba o no las verduras. Los resultados se pre-sentan en la siguiente tabla:
Gusto
GéneroLes gusta No les gusta
Niños 15 25Niñas 10 30
¿Qué gráfi co representa de mejor manera la distribución entre niñas a las que les gusta y a las que no les gusta las verduras?
5. La tabla muestra los tipos de golosinas que tiene un tendero para regalar el día de los niños:
Golosinas para regalar
Tipo de golosina Cantidad de cada golosina
Chocolatinas 14Panelitas 13Bocadillos 14Bombones 16
¿Cuáles golosinas tienen la misma probabilidad de salir si se saca uno al azar y sin ver.
a. chocolatina y bombón. c. panelita y bocadillo.b. bocadillo y chocolatina. d. bombón y panelita.
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Este movimiento surgió a fi nes del siglo pasado con la fi nalidad de abordar una renovación de la educación y de la problemática escolar.
Es un movimiento educativo esencialmente prác-tico que se desarrolló, sobre todo, en escuelas privadas.
La concepción de la Escuela Nueva recoge ade-más del conjunto de teorías y principios de algu-nos autores (Rousseau, Pestalozzi, Flöbel...) que tendieron a replantearse las formas tradiciona-les de la enseñanza como consecuencia lógica de los progresos científi cos que se daban de forma rápida en aquella sociedad.
Surgió el interés por el estudio del niño en sus aspectos biológicos y psicológicos, y la refl exión en torno a los mecanismos para aprender y no sólo la preocupación para enseñar.
Es signifi cativa la escuela de Abbotsholome, creada por C. Reddie cuyas ideas básicas con-sistieron en que la escuela no debe ser un medio artifi cial separado de la vida, sino un pequeño mundo real, práctico que ponga a los alumnos en contacto con la naturaleza y la realidad de las cosas, y donde no sólo debe enseñarse la teoría de los fenómenos sino también su práctica.
Estas experiencias, ideas y progresos pedagó-gicos se propagaron con intensidad, y surgieron distintas escuelas que procuraban introducir cambios en su funcionamiento docente y a las que se les denominó nuevas.
La Escuela Nueva comenzó a reformularse las ideas de la escuela progresista en Estados uni-dos sobre los principios del pragmatismo peda-
gógico de Dewey, según los cuales la escuela es una sociedad viva y sus planteamientos básica-mente sociales: hay que preparar al alumno para la vida y familiarizarse con el medio social.
Principios pedagógicos
Los principios pedagógicos en torno a los cuales se organizan los distintos métodos y técnicas de la Escuela Nueva son:
La individualización: Individualizar la enseñan-za es respetar al niño en sus aptitudes y capa-cidades para que él mismo desde dentro pueda desarrollar lo mejor de sí mismo y ponerse en si-tuación dinámica de aprendizaje y de responsa-bilidad. Se trata de una educación que toma en cuenta las peculiaridades individuales sin negar la socialización.
La socialización: Esta pedagogía pretende educar al individuo para la sociedad y surge de la radical necesidad de asociarse para vivir, desarrollarse y perfeccionarse. A través de actividades escolares realizadas en grupos se desarrollan en el alumno hábitos positivos de convivencia y cooperación social que le preparan para la vida misma.
La globalización de la enseñanza: Comienza a surgir la enseñanza por el todo organizada con un criterio unitario y totalizador. Como los suje-tos perciben las cosas en su totalidad los con-tenidos de la enseñanza, se deben organizar en unidades globales o centros de interés para el alumno.
La autoeducación: Considera al niño el centro de toda la actividad escolar y la causa principal de su saber.
El movimiento pedagógico de la escuela nueva
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La Programación Neurolingüística es un modelo de comunicación conformado por una serie de técnicas, cuyo aprendizaje y práctica están en-focados al desarrollo humano.
Estudia cómo nos comunicamos con nosotros mismos (comunicación intrapersonal) y por ende cómo nos comunicamos con otros (comu-nicación interpersonal).
La Programación Neurolingüística (PNL) es una escuela de pensamiento pragmático que sostiene que en última instancia toda conducta humana se desarrolla sobre una “estructura” o “plantilla de pensamiento” aprendida, la cual puede ser detec-tada para ser modelada (copiada) por otras perso-nas y obtener con ello similares resultados.
La PNL sostiene que es posible cambiar o repro-gramar esta estrategia o plantilla de pensamien-to, si es que hay algo que limite o para potenciar algún recurso, comportamiento o creencia, con el fi n mejorar la calidad de vida.
La PNL defi ne tres elementos como constitu-yentes claves de la conducta humana:
El sistema nervioso (el soporte neurológico).
El lenguaje que sirve para la comunicación externa e interna (con uno mismo) es verbal y no verbal.
La conducta que se puede aprender.
Es difícil establecer una defi nición concluyente de PNL.
Algunos la defi nen como el arte y la «ciencia» de la excelencia personal.
Un objetivo de la PNL es el de construir nuevas opciones de aprendizaje.
La PNL explica el proceso de aprendizaje de un proceso en una serie de etapas por las que pasa el individuo que aprende:
1. Incompetencia inconsciente (No se sabe qué es un coche y, mucho menos, conducirlo).
2. Incompetencia consciente (momento en el que más se aprende. El conductor es consciente de que no sabe conducir y lo intenta).
3. Competencia consciente (El conductor ya sabe conducir y presta demasiada aten-ción al proceso como embrague, intermi-tentes, palanca de cambio de marchas...).
4. Competencia inconsciente (Se libera la atención del consciente. El individuo rea-liza la acción sin ser prácticamente cons-ciente y puede dirigir así su atención para otras cosas. Así vemos a un conductor ha-blar, escuchar música, fumar, etc., mien-tras conduce).
La PNL es el estudio de la estructura de la ex-periencia subjetiva. Es el estudio de cómo hace-mos modelos. Hace referencia al “proceso”,no trabaja con contenidos
Acerca De La Programación Neurolingüística
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Glosario básico de términos de evaluación educativa
Competencia
“Es la manifestación en la actuación (desempeños) de los conocimientos y la inteligencia en determinado con-texto, siendo la inteligencia ‘un potencial bio-psicológi-co’ para procesar información que sirve para resolver problemas o crear productos.
Currículo
“Es el conjunto de criterios, planes de estudio, meto-dologías y procesos que contribuyen a la formación integral y a la construcción de la identidad cultural na-cional, regional y local, incluyendo también los recursos humanos, académicos y físicos para poner en práctica las políticas y llevar a cabo el proyecto educativo insti-tucional.”
Educación Básica
La Educación Básica corresponde a la identifi cada en el artículo 356 de la Constitución Política como educación básica obligatoria, la cual es desarrollada en dos ciclos: el de educación primaria y el de educación secundaria. Comprende nueve (9) grados y se estructura en torno a un currículo común, conformado por las áreas funda-mentales del conocimiento y de la actividad humana.
Educación formal
Se entiende por educación formal aquella que se im-parte en establecimientos educativos aprobados, en una secuencia regular de ciclos lectivos, con sujeción a pautas curriculares progresivas, y conducente a grados y títulos.
La educación formal a que se refi ere la ley 115, se orga-niza en tres (3) niveles:
• El Preescolar: Comprende mínimo un grado obligato-rio.
• La Educación Básica: Con una duración de nueve (9) grados que se desarrolla en dos ciclos:
• La Educación Básica Primaria de cinco (5) grados.
• Educación Básica Secundaria de cuatro (4) grados.
Educación media
La educación media constituye la culminación, conso-lidación y avance en el logro de los niveles anteriores y comprende dos grados, el décimo (10°) y el undécimo (11°). Tiene como fi n la comprensión de las ideas y los valores universales y la preparación para el ingreso del educando a la educación superior y al trabajo.
Educación media académica
La educación media académica permite preparar al es-tudiante, según sus intereses y capacidades, profundi-zar en un campo específi co de las ciencias, las artes o las humanidades y acceder a la educación superior.
Educación media técnica
La educación media técnica permite preparar a los estudiantes para el desempeño laboral en uno de los sectores de la producción y de los servicios, y para la continuación de la educación superior.
Educación no formal
La educación no formal es la que se ofrece con el objeto de complementar, actualizar, suplir conocimientos y for-mar, en aspectos académicos o laborales sin sujeción al sistema de niveles y grados establecidos en art. 11 de la Ley General de Educación.
Educación para grupos étnicos
Se entiende por educación para grupos étnicos la que se ofrece a grupos o comunidades que integran la na-cionalidad y que posean una cultura, una lengua, unas tradiciones y unos fueros propios y autóctonos. Esta educación debe estar ligada al ambiente, al proceso productivo, al proceso social y cultural, con el debido respeto de sus creencias y tradiciones.
Educación Preescolar
La educación preescolar corresponde a la que se ofrece al niño y la niña para su desarrollo integral en los aspec-tos biológico, cognoscitivo, psicomotriz, socio-afectivo y espiritual, a través de experiencias de socialización pedagógicas y recreativas. Esta educación comprende por lo menos un grado obligatorio.
Equipo de gestión institucional
El equipo de gestión institucional es el grupo de directi-vos y docentes con aptitudes complementarias. Se con-sideran responsables y se basan en un muy buen nivel de confi anza. Está dedicado al logro del mejoramiento de los resultados de la acción educativa. Actúa en torno a un conjunto de metas de desempeño comunes y un mismo método de trabajo.
Estándar de contenido
"Lo que los profesores debieran enseñar y lo que se espe-ra que los estudiantes aprendan, en descripciones claras y específi cas sobre habilidades y conocimientos."
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Estándares básicos de competencias
"Son niveles básicos de competencia que los estudian-tes deben alcanzar en determinada área y en determi-nado conjunto de grados."
Estándares curriculares
"Son criterios que especifi can lo que los estudiantes deben saber y ser capaces de hacer."
Estándar de desempeño
"Defi nen grados de dominio o niveles de logro y respon-den a la pregunta ¿Cuán bueno es lo sufi cientemente bueno? Describen qué clase de desempeño representa un logro inadecuado, aceptable, o sobresaliente."
Estándar de oportunidad
"Defi nen la disponibilidad de los recursos que las es-cuelas, distritos y el estado proporcionan para que los estudiantes puedan alcanzar los estándares de conte-nido y de desempeño."
Evaluación de competencias básicas
Eje de la estrategia para el mejoramiento de la calidad de la educación. Establece los estándares de compe-tencias que los estudiantes y las estudiantes deben al-canzar en las áreas de lenguaje, matemáticas y ciencias naturales, para conocer qué tan lejos están los niños y jóvenes de que aprendan lo que deben aprender.
Indicador de logro
"Son indicios, señales, rasgos o conjuntos de rasgos, da-tos e informaciones perceptibles que si se confrontan con lo que se espera, pueden considerarse como evidencias signifi cativas de la evolución del desarrollo humano."
Lineamientos curriculares
Son el fundamento pedagógico, fi losófi co y epistemo-lógico de las áreas del conocimiento. "Con ellos se pre-tende atender la necesidad de orientaciones y criterios nacionales sobre los currículos, sobre la función de las áreas y sobre nuevos enfoques para comprenderlas y enseñarlas."
Plan de área: Es el "mapa de navegación" de cada una de las áreas del conocimiento, donde se estructuran y explican, entre otros, los siguientes aspectos:
1. Antecedentes
2. Sentido
3. Estructura
4. Ejes
5. Contenidos: Estándares, competencias básicas, logros.
6. Metodología
7. Evaluación: Aspectos e instrumentos, estándares de desempeño.
8. Planes para estudiantes con difi cultades.
9. Recursos.
Plan de estudios: Es el esquema estructurado de las áreas obligatorias y optativas con sus respectivas asig-naturas que forman parte del currículo. Debe contener al menos los siguientes aspectos:
1. La intención e identifi cación de los contenidos de cada área.
2. Las correspondientes actividades pedagógicas.
3. La distribución del tiempo del proceso educativo.
4. Los logros, competencias y conocimientos.
5. Los criterios y procedimientos para evaluar el aprendizaje y el desarrollo de capacidades.
6. Planes para estudiantes con difi cultades en su aprendizaje.
7. La metodología aplicable a cada una de las áreas.
8. Indicadores de desempeño para auto evaluación institucional.
Plan de mejoramiento institucional
Es una herramienta gerencial de mejoramiento institu-cional, con la cual es posible reorientar el camino de la institución educativa hacia unos propósitos y resulta-dos queridos y acordados, a partir de una caracteriza-ción y priorización de los problemas más sentidos de la institución.
Rotación de estudiantes
Es un sistema pedagógico de optimización de todos los espacios físicos de una institución educativa, que busca mejorar la calidad y la cobertura mediante la or-ganización y administración de aulas por áreas del co-nocimiento, que responden a un diseño institucional, de grado y de área.
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