SISTEMA DE COMUNICACIONES DIGITALES

TEORÍA DE LA INFORMACIÓNCantidad de Información Entropía Longitud promedio Distancia de Hamming y Mínima de

Hamming

I ( xi )=−log2P ( xi )=log21P(xi)

−log2P ( xi ) : [bit ]−logⅇP ( xi ) : [nat ]

−log10P (xi ) : [hartley ]

H (X )=∑i=1

n

P ( xi ) I ( xi)

Hr ( X )=H ( X )log2r

L=∑i=1

n

¿∗P ( xi )

¿ :Númeroelementosdepalabra código(N1001=4)L≥Hr (X )

P1=01011d (P1, P2 )=2P2=00010d (P1, P3 )=1P3=11011d (P2 ,P3 )=3

d (P1 , P2 )=2dmin (H )=1

Demostración de I(x)P(xi) I (xi)1 01/2 a0 ∞(muyalta)

Eficiencia

η=Hr (X )L

1 :Max

RedundanciaRed=1−η

Peso de una P.CW (Pn )W (P1 )=3

:número deelementosdiferentes de cero(número de1 s )W (P1⊕P2 )=d (P1 , P2)

d (P1 , P2 ) : espacio vectorial n dimensionado . Númerodeelementosdiferenctes entre P.C .de igual longitud

dmin (H ) :menor distanciade Hammingentre P.C . válidas .Debe ser lomayor posible

Demostración de H(x)Cantidad de información Total:

Q [X ]=m 1∗I ( x 1 )+m2∗I ( x 2 )+…+mn∗I ( xn )

Q [X ]n

=m1∗I ( x1 )

n+m2∗I ( x2 )

n+…+

mn∗I ( xn )n

simn

=fr= veces que serepite el símbolototal desímbolos

¿ número deeventos favorablesnúmerode eventos totales vetificadoscuando n→∞⇒ fr ( xi )≅ P (xi)

Q [X ]n

=H (X )=P(xi) I (xi)

Si sebusca→dmin(H)≥Detectar l errores l+1Corregir t errores 2 t+1Detectar l y corregirt erroressil>t

l+t+1

BER y Proporción Residual de Error

BER= bits erradosbits transmitidossi=¿

110;acepta1bit errado por cada10.

PRE=bits erroneos nodetectadosbits transmitidos

sebusca que tiendana0

Códigos compactos o de Huffman

Se ordenan las probabilidades de mayor a menor

Se agrupan las últimas r probabilidades en la nueva Fuente Reducida

La última fuente reducida debe tener r símbolos

Condición : r+α (r−1 )=n;encaso deno cumplir seagregan símbolos con P ( x )=0,00 α : debe ser entero , con aproximaciónalinmediato superior

REGRESIÓN:

Se conserva el símbolo de la probabilidad regresiva y se agrega todas las permutaciones r-arias

Para los símbolos faltantes se agregan los que no se usaron de la fuente reducida

En cado de probabilidad igual se escribe el primer símbolo

EJEMPLO 1 de fuente Ternaria (3)Fuente original en desorden

Fuente original ordenada

Fuente Reducida 1 Fuente Reducida 2

X 1→0,10 X 5→0,30 1 X 5→0,30 1 X 9→0,44 0

X 2→0,15 X 3→0,18 00 X 8→0,26 2 X 5→0,30 1

X 3→0,18 X 2→0,15 01 X 3→0,18 00 X 8→0,26 2

X 4→0,06 X 7→0,11 02 X 2→0,15 01

X 5→0,30 X 1→0,10 20 X 7→0,11 02

X 6→0,10 X 6→0,10 21

X 7→0,11 X 4→0,06 22

Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00

EJEMPLO 2 de fuente Binaria (2)

Fuente original ordenada

Fuente Reducida 1

Fuente Reducida 2

Fuente Reducida 3

Fuente Reducida 4

Fuente Reducida 4

X 5→0,30 01 X 5→0,30 01 X 5→0,30 01 X 10→0,31 00 X 11→0,39 1 X 12→0,61 0

X 3→0,18 11 X 3→0,18 11 X 9→0,21 10 X 5→0,30 01 X 10→0,31 00 X 11→0,39 1X 2→0,15 001 X 8→0,16 000 X 3→0,18 11 X 9→0,21 10 X 5→0,30 01X 7→0,11 100 X 2→0,15 001 X 8→0,16 000 X 3→0,18 11

X 1→0,10 101 X 7→0,11 100 X 2→0,15 001X 6→0,10 0000 X 1→0,10 101X 4→0,06 0001

Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00

EJEMPLO 3 de fuente Pentaternaria (5)Fuente original en desorden Fuente original ordenada Fuente Reducida 1

X 1→0,10 X 5→0,30 0 X 5→0,30 0

X 2→0,15 X 3→0,18 2 X 10→0,26 1

X 3→0,18 X 2→0,15 3 X 3→0,18 2

X 4→0,06 X 7→0,11 4 X 2→0,15 3

X 5→0,30 X 1→0,10 10 X 7→0,11 4

X 6→0,10 X 6→0,10 11

X 7→0,11 X 4→0,06 12

X 8→0,00 X 8→0,00 13

X 9→0,00 X 9→0,00 14

Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00

r+α (r−1 )=nα=15+α (4 )=75+1 (5−1 )=nα=7−54

=12n=9

CÓDIGOS DE LÍNEA

Pueden empezar en alto o bajo

Se supone una primera violación par

Se verifica: Pulsos de Violación (V) alternados en polaridad

1s lógicos y Pulsos Bipolares (B) alternados en polaridad

Código HDBn (Bipolar de alta densidad de orden n)

Número de 1s después de la última Violación, si es 0→par

Par Impar

Polaridad+ -00- 000+- +00+ 000-

n=3 Bipolar(B) Violación(V) Violación(V)No más de n+1 ceros consecutivos

Código BnZS (Sustitución de Ceros Bipolar de orden n)

Número de 1s después de la última Violación, si es 0→par

Par Impar

Polaridad+ -0- 00+- +0+ 00-

n=3 Bipolar(B) Violación(V) Violación(V)Número de Bipolares (B) entre violaciones debe ser Impar

CÓDIGO BLOQUE

r :redundancia=q=n−k

Lineales o Sistemáticos (n,k) 2n>2k

Se llaman asi porque al sumar dos palabras código válidas en módulos dos (⊕) se genera otra palabra código válida incluyendo al vector nulo

Palabra código nulo. Todos los elementos son cero.

P1+P0=P1d (P1 , P0 )=3W (P1+P0 )=3

Bloque. Se agrega redundancia sin alterar la posición relativa del mensaje

m0m1m2…mk−1 r0 r1…r q−1

A B XOR A⊕B0 0 0 Iguales 0

Diferentes 10 1 11 0 11 1 0

M 1n=( A|B )Matriz ampliadaM 1k :Vector MensajeCódigo :X 1n=(M 1k|R1q )X=M 1kGk nGk n:MatrizGeneradora

Gk n=( I k k|Pk q )Pk q :Condición ,debe tener por lomenosdos 1 s lógicos por fila .No se puedenrepetir las filas

Matriz Identidad (debe ser cuadrática): I 33=1 0 00 1 00 0 1

MultiplicacióndeMatrices :M ab∗Nbc=Pac

Eficiencia :Rc=kn=n−qn

=1−qn≅ 1a≫1 (relación10a1 )→a=10 q

n→0

Mensaje :M 14=m0m1m2m3

Redundancia :R13=r0r 1r2

PalabraCódigo : X17=m0m1m2m3∨r0 r1r 2

La idea es encontrar:

R13=M 14 P43

P43=

1 1 00 1 11 0 11 1 14 X3

: Segenera aleatoriamente , pero sugúnlacondición

R13=( r0r 1r2 )= (m0m1m2m3 )1x 4(1 1 00 1 11 0 11 1 1

)4 x 3

: semultiplica segúnmatrices pero se sumaenmódulodos

r0=m0⊕0⊕m2⊕m3r1=m0⊕m1⊕0⊕m3r2=0⊕m1⊕m2⊕m3

Palabras Código Válidas Generadas (2k=16)Número m0 m1 m2 m3 r0 r1 r2 W (X )1 0 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 1 1 1 1 43 0 0 1 0 1 0 1 34 0 0 1 1 0 1 0 35 0 1 0 0 0 1 1 36 0 1 0 1 1 0 0 37 0 1 1 0 1 1 0 48 0 1 1 1 0 0 1 49 1 0 0 0 1 1 0 310 1 0 0 1 0 0 1 311 1 0 1 0 0 1 1 412 1 0 1 1 1 0 0 413 1 1 0 0 1 0 1 414 1 1 0 1 0 1 0 415 1 1 1 0 0 0 0 316 1 1 1 1 1 1 1 7

CÓDIGOS BLOQUECódigos LinealesPalabra Mensaje Redundancia Palabra Código

M 1k R1q=M1k Pk qMatriz Generadora

Gk n=(I k k∨Pk q)

X1n=(M 1k∨R1q)X1n=M 1kGk n

Detección de Errores (Decodificación Síndrome)Matriz Verificadora de Datos

H qn=(PT qk∨I qq) XT H=X HT=0 (sin errores )S=Y HTY=X+E

(E=0nohay errores )(E≠0hay errores)

S=Y HT

S=(X+E)HT

S=X HT+E HT

S=EH T :se vaa tener 2q−1vectores síndromecon1omaserrores pero para cadapalabra código