formulario de limites
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2.2.1. Teoremas sobre Límites Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantes propiedades de los límites de funciones y son al mismo tiempo útiles herramientas que permiten determinar, en muchos casos, el límite de una función, sin tener que recurrir al empleo directo de la definición. TEOREMA 2.1 (Unicidad del Límite) Si y , entonces . 1 ) ( L x f Lim a x = → 2 ) ( L x f Lim a x = → 2 1 L L = En palabras: Si una función tiene límite en un punto a, dicho límite es único. TEOREMA 2.2 (Algebra de Límites) Sean: n, un entero positivo; k, una constante real, y f y g funciones tales que y existen. Entonces: ) ( x f Lim a x → ) ( x g Lim a x → 1. (El límite de una constante es la constante). k k Lim a x = → 2. (Límite de la función identidad). a x Lim a x = → 3. (Todo factor constante puede “sacarse” del límite). ) ( ) ( x f Lim k x kf Lim a x a x → → ⋅ = 4. (El límite de una suma de funciones [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( x g Lim x f Lim x g x f Lim a x a x a x → → → + = + es la suma de los límites). 5. (El límite de la diferencia de funciones [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( x g Lim x f Lim x g x f Lim a x a x a x → → → − = − es la diferencia de los límites). 6. (El límite de un producto [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( x g Lim x f Lim x g x f Lim a x a x a x → → → ⋅ = ⋅ es el producto de los límites). 7. ) ( ) ( ) ( ) ( x g Lim x f Lim x g x f Lim a x a x a x → → → = siempre que (El límite de un cociente es 0 ) ( ≠ → x g Lim a x el cociente de los límites).
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2.2.1. Teoremas sobre Límites Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantes propiedades de los límites de funciones y son al mismo tiempo útiles herramientas que permiten determinar, en muchos casos, el límite de una función, sin tener que recurrir al empleo directo de la definición. TEOREMA 2.1 (Unicidad del Límite) Si y , entonces . 1)( LxfLim
ax=
→ 2)( LxfLimax
=→ 21 LL =
En palabras: Si una función tiene límite en un punto a, dicho límite es único. TEOREMA 2.2 (Algebra de Límites) Sean: n, un entero positivo; k, una constante real, y f y g funciones tales que
y existen. Entonces:
)( xfLimax→
)( xgLimax →
1. (El límite de una constante es la constante). kkLim
ax=
→
2. (Límite de la función identidad). axLim
ax=
→
3. (Todo factor constante puede “sacarse” del límite). )()( xfLimkxkfLim
axax →→⋅=
4. (El límite de una suma de
funciones
[ ] )()()()( xgLimxfLimxgxfLimaxaxax →→→
+=+
es la suma de los límites). 5. (El límite de la diferencia de
funciones
[ ] )()()()( xgLimxfLimxgxfLimaxaxax →→→
−=−
es la diferencia de los límites). 6. (El límite de un producto [ ] )()()()( xgLimxfLimxgxfLim
axaxax →→→⋅=⋅
es el producto de los límites).
7. )(
)(
)()(
xgLim
xfLim
xgxfLim
ax
ax
ax→
→
→= siempre que (El límite de un cociente es 0)( ≠
→xgLim
ax
el cociente de los límites).
8. [ ] [ ]nax
n
axxfLimxfLim )()(
→→= (El límite de una potencia es la potencia
del límite) Consecuencias importantes L.1. Si , existen, entonces: )(),...,(),( 21 xfLimxfLimxfLim naxaxax →→→
. [ ] )(...)()()(...)()( 2121 xfLimxfLimxfLimxfxfxfLim naxaxaxnax →→→→
±±±=±±±
L.2. [ ] )(...)()()(...)()( 2121 xfLimxfLimxfLimxfxfxfLim naxaxaxnax →→→→
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
L.3. Si n es un entero positivo, nn
axaxLim =
→
L.4. Como caso particular del límite de un cociente, se tiene: axLim
ax
11=
→ si . 0≠a
En general, si n es un entero positivo y , entonces: 0≠a nnax axLim 11
=→
L.5. (Límite de la función polinómica).
[ ] 011
1011
1 ...... babababbxbxbxbLim nn
nn
nn
nnax
++++=++++ −−
−−→
Esto significa que para calcular el límite en a de una función polinómica, basta sustituir la
variable x por a. L.6. (Límite de una función racional) Si m y n son enteros positivos, , entonces: 0,0 ≠≠ mn cb
01
11
011
1
011
1
011
1
......
......
cacacacbababab
cxcxcxcbxbxbxb
Lim mm
mm
nn
nn
mm
mm
nn
nn
ax ++++++++
=++++++++
−−
−−
−−
−−
→
siempre que: . 0... 01
11 ≠++++ −
− cacacac mm
mm
El límite en a de una función racional (cociente de dos polinomios) se obtiene sustituyendo por a la variable x, siempre que no se anule el denominador.
TEOREMA 2.3 (Límite de funciones iguales) Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un intervalo I que contiene al punto a y tales que: 1. para todo , excepto posiblemente en a. )()( xgxf = Ix ∈ 2. existe y es L. )( xgLim
ax →
Entonces, LxfLim
ax=
→)(
Asi, por ejemplo, las funciones:
=
≠−
−−=
32
33
352)(
2
xsi
xsix
xxxf y , son iguales en todos los
puntos del eje real, excepto en el punto .
12)( += xxg
3=a
fig. 2.3.
A pesar de la diferencia entre las dos funciones en x = 3, .
Así que de acuerdo con el teorema 2.3,
7)12()(33
=+=→→
xLimxgLimxx
7)(3
=→
xfLimx
Observación: Si en el ejemplo anterior se evaluara directamente el , se tendría: )(
3xfLim
x →
00
333)3(5)3(2
3352)(
22
33=
−−−
=−
−−=
→→ xxxLimxfLim
xx
Esto sería una incorrecta aplicación del teorema sobre álgebra de límites. ¿Por qué?
El “cociente” 00 no es un número real; se conoce en el Cálculo como una forma indeterminada
(no puede determinarse a primera vista el valor exacto del límite). Sin embargo, usando manipulaciones algebráicas, se puede transformar la función en otra equivalente que tiene límite y que de acuerdo con el teorema 2.3, coincide con el límite de f (x). Efectuar el proceso algebráico y simplificar, se conoce en el lenguaje del cálculo como: “Eliminar la indeterminación”.
Asi, )3(
)3)(12(3
3523
2
3 −−+
=−
−−=
→→ xxxLim
xxxLim
xx (factorizando)
= (simplificación) )12(3
+→
xLimx
7132 =+⋅= En los ejercicios resueltos 3, 4, 5, 6 y 7 de la sección 2.4. se ilustra nuevamente este procedimiento. TEOREMA 2.4 (Teorema del Sánduche) Sean f(x), g(x) y h(x) tres funciones definidas en un intervalo I, excepto posiblemente en el punto y, tales que: Ia ∈ 1. para todo )()()( xhxgxf ≤≤ { }( )aIx −∈ 2. . LxhLimxfLim
axax==
→→)()(
Entonces, . Este importante teorema, cuya ilustración gráfica aparece en la
figura 2.4., será de gran utilidad para demostrar que:
LxgLimax
=→
)(
1sen0
=→ t
tLimt
. Igualmente, se usa en
el cálculo integral para calcular áreas bajo curvas, usando las llamadas: sumas aproximantes.
fig. 2.4.
