Planificaciones matemáticas 2016 1er período. ing ariel marcillo
Formulario de Matemáticas Para Ing.
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PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Sean a, b, c, constantes reales y y, u, v, w funciones reales de variable real que dependen de x.
I)límx→a
[c ]=c
II)límx→a
[ x ]=a
III)límx→a
[cu ]=c límx→a
[u ]
IV)
límx→a [ cu ]= c
límx→a
[u ]; lím [u ]
x→a≠0
V)límx→a [ uc ]=
límx→a
[u ]
c;c≠0 , c=
constante.
VI)límx→a
[u+v−w ]=límx→a
[u ]+límx→a
[v ]− límx→a
[w ]
VII)límx→a
[uvw ]=límx→a
[u ] límx→a
[ v ] límx→a
[w ]
VIII)
límx→a [ uv ]=
límx→a
[u ]
límx→a
[v ]si límx→a
[v ]≠0
IX)límx→a
[ub]=[ límx→a (u ) ]límx→a
[b ]
X)límx→a
[uv ]=[ límx→a (u ) ]límx→a
[v ]
Formulario de matemáticas para ingenieros
XI)límx→a
[ n√u ]=n√ límx→a
[u ] ;
XII)límx→a
[ sen (u ) ]=sen [límx→a(u ) ]
XIII)límx→a
[ logn (u ) ]=logn [ límx→a (u ) ]XIV)
límx→3
x2−9x−3
=límx→3
( x+3 ) (x−3 )x−3
=límx→ 3
[x+3 ]=3+3=6
Límites importantes
1)
límx→0 [ sen ( x )
x ]=1 ; 2)
límx→0
[1+x ]1/ x=e ;
3)
límh→0[ f ( x+h )−f ( x )
h ]=f '( x )
4)
límx→0 [ a
x−1x ]=In(a );a>0 ;
5)
límx→∞[1+ 1x ]
x
=e
6)
límx→∞
an xn+an−1 x
n−1+ .. .+a0bm x
m+bm−1 xm−1+. ..+b0 =
Formulario de matemáticas para ingenieros
m, n Є N, Funciones racionales.
Condiciones de continuidad para f(x) en x = a.
1) f (a )= exista; 2) límx→a
[ f ( x )]=exista; 3)
límx→a
[ f ( x )]=f (a )
Derivación
FORMULARIO DE DERIVACIÓN
Sean a, b, c, e, ∏, n, m, c1, c2,…,cn, constantes reales donde, e=2.71828182846… es la base de los logaritmos naturales o neperianos, ∏=3.141599265359…
Sean y, u, v, w, u1,…,un funciones de x tales que sus primeras derivadas.
dydx,dudx,dvdx,dwdx,du1dx
,du2dx
,. .. ,dundx
existen .
I) Derivación de las operaciones definidas en las funciones reales de variable real.
Propiedad aditiva.
1)
ddx [u1+u2+. ..+un]=
du1dx
+du 2dx
+. ..+dundx
Propiedad homogénea.
2)
ddx
[cu ]=c dudx
Propiedad de linealidad.
ddx [c1u1+c2u2+. ..+cn un ]=c1
du1dx
+c2du2dx
+.. .+cndundx
Observación: Las propiedades 1 y2 son equivalentes a la propiedad 3. Es decir, si las propiedades 1 y 2 son ciertas y recíprocamente; si la propiedad 3 es cierta, entonces se puede demostrar que las propiedades 1 y 2 también son ciertas.
Formulario de matemáticas para ingenieros
Nota: A la expresiónc1u1+c2u2+. ..+cn un se le llama combinación lineal de
las n funciones u1+u2+. ..+un .
Derivada de un producto de dos funciones.
4)
ddx
[uv ]=u dvdx
+v dudx
Derivada de un producto de tres funciones.
5)
ddx
[uvw ]=uv dwdx
+uw dvdx
+vw dudx
Derivada del producto de n funciones.
6)
ddx [u1u2 . . .un]=u1u2 .. .un−1
du ndx
+.. .u2u3 . ..undu1dx
7)
ddx [ cu ]=
−c dudxu2
;u≠0
8)
ddx [ uc ]=
dudxc;c≠0
9)
ddx
[√u ]=dudx2√u
;u>0
10)
ddx
[ n√um ]= m
nn√un−m
⋅dudx;m<n ;m,n∈Z
Formulario de matemáticas para ingenieros
11)
ddx
[ n√um ]=mn√un−mn
⋅dudx;m>n :m,n∈Z
Derivada del cociente de dos funciones.
12)
ddx [ uv ]=
vdudx
−u dvdx
v2
Derivada de la composición de dos funciones y =y (u); u =u(x) “regla de la cadena”.
13)
dydx
=dydu
⋅dudx
=
dydudxdu ; 13a)
d2 y
dx2= ddu [ dydx ]⋅[ 1dxdu ]
, para funciones paramétricas.
Derivada de la composición de tres funciones y= y (u); u =u (v); v=v(x)”regla de la cadena”.
14)
dydx
=dydu
⋅dudv
⋅dvdx
Derivada de la composición de n funciones y = y (u1).
u1=u1 (u2) . ..un−1 ;un−1=un−1(un );un=un (x ) ,Regla de la
cadena.
15)
dydx
= dydu1
⋅du1du2
.. .dun−1dun
⋅dundx
Derivada de la función inversa f-1 (x); x= x-1(y).
Formulario de matemáticas para ingenieros
16)
ddx
= 1dxdy
ódxdy
= 1dydx
II) Derivación de las funciones elementales.
II) a) Derivación de las funciones constante e identidad.
17)
ddx
( c )=0 18)
ddx
( x )=1
II) b) Derivación de las funciones logarítmicas.
19)
ddx [log v(u )]=
vIn(v ) dudx
−uIn (u) dvdx
uvIn2 (v )
20)
ddx [ logv (a ) ]=−
In (a ) dvdx
vIn2 (v ); a>0
21)
ddx [ loga (u ) ]=
loga (e )u
dudx
= 1uIn (a )
dudx;a>0 ;a≠0
22)
ddx [ log10 (u ) ]=
log10 (e )u
dudx
= 1uIn (10 )
dudx
23)
ddx
[ In (u ) ]=1ududx
=
dudxu
II) c) Derivación de potencias de funciones.
Formulario de matemáticas para ingenieros
24)
ddx
[uv ]=vuv−1 dudx
+ In (u )⋅uv dvdx; [u=f (x ); v=g( x )]
25)
ddx
[un ]=nun−1 dudx; [u=f ( x ) ;n=cte . ]
26)
ddx
[au ]=au⋅In (a ) dudx; [u=f ( x ); a=cte . ]
27)
ddx
[ xn ]=nxn−1 ; [u=x ;n=cte . ]
28)
ddx
[eu ]=eu dudx
[u=f ( x );e=2 .718. . . ]
II) d) Derivación de las funciones trigonométricas circulares directas.
29)
ddx
[sen (u ) ]=cos (u ) dudx
30)
ddx
[cos (u ) ]=−sen (u ) dudx
31)
ddx
[ tan (u ) ]=sec2 (u ) dudx
32)
ddx
[cot (u ) ]=−csc2 (u ) dudx
33)
ddx
[sec (u ) ]=sec (u ) . tan (u ) dudx
Formulario de matemáticas para ingenieros
34)
ddx
[csc (u ) ]=−csc (u ) . cot (u ) dudx
II) e) Derivación de las funciones trigonométricas circulares inversas.
35)
ddx
[arcsen (u ) ]=dudx
√1−u2
36)
ddx
[arccos (u ) ]=−
dudx
√1−u2
37)
ddx
[arctan (u ) ]=dudx
1+u2
38)
ddx
[arc cot (u ) ]=−
dudx
1+u2
39)
ddx
[arc sec (u ) ]=dudx
u√u2−1
40)
ddx
[arc csc (u ) ]=−
dudx
u√u2−1
Formulario de matemáticas para ingenieros
II) f) Derivación de las funciones trigonométricas hiperbólicas directas.
41)
ddx
[senh (u ) ]=cosh (u ) dudx
42)
ddx
[cosh (u ) ]=senh (u ) dudx
43)
ddx
[ tanh (u ) ]=sec h2 (u ) dudx
44)
ddx
[coth (u ) ]=−csch2 (u ) dudx
45)
ddx
[sec h (u ) ]=−sec h (u ) . tanh (u ) dudx
46)
ddx
[csc h (u ) ]=−csc h (u ) . coth (u ) dudx
II) g) Derivación de las funciones trigonométricas hiperbólicas inversas.
47)
ddx
[arcsenh (u ) ]=dudx
√1+u2
48)
ddx
[arccosh (u ) ]dudx
√u2−1, u>0
Formulario de matemáticas para ingenieros
49)
ddx
[arctan h (u ) ]=dudx
1−u2,−1<u<1
50)
ddx
[arc coth (u ) ]=dudx
1−u2
51)
ddx
[arc sec h (u ) ]=−
dudx
u√1−u2,0<u<1
52)
ddx
[arc csc h (u ) ]=−
dudx
u√1+u2
Fórmula para derivar implícitamente.
Nota: Es necesario que la expresión esté igualada con cero.
53)
y '=dydx
=−
∂∂ x
[ f ( x , y ) ]∂
∂ y[ f ( x , y ) ]
.Donde y el numerador es constante real, igual que x del denominador. Solo es válida para la primera derivada.
Longitudes
Subtangente=
y1Dx y
.
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Tangente= √ (sub tan )2+( y1)2=
y1y'
√1+( y ' )2.
Subnormal= y1D x y .
Normal= √ (subnorm )2+( y1 )2= y1√1+( y ' )2 .
Ecuaciones de la:
Tangente:
y− y1=D x y ( x−x1) ; Normal : y− y1=− 1D x y
(x−x1) .Ángulo entre dos rectas.
1)
tan (θ )=m2−m11+m1m2
;m1m2≠−1;m2 es la pendiente final y m1 es la
pendiente inicial del ángulo en estudio, medido en sentido positivo.
CASOS ESPECIALES.
2) Si
m1=∞;tan (θ )=
m2m1
−1
1m1
+m2
=− 1m2
Formulario de matemáticas para ingenieros
3) Si
m2=∞;tan (θ )=1−
m1m2
m1+1m2
= 1m1
Integración
FORMULARIO DE INTEGRACIÓN
Sean a, b, c, e, ∏, n, c1, c2,…, cn, constantes reales donde, e =2.71828182846… es la base de los logaritmos naturales ó Neperianos; ∏= 3.14159265359…
Sean y, u, v, w, u1,…, un funciones de x tales que sus primeras integrales.
∫ ydx ;∫udx;∫ vdx;∫wdx ;∫ u1dx ;∫u1dx ,∫u2 dx , . .. ,∫ undxexisten.
I) Propiedades básicas de la integral.
Propiedad aditiva.
1) ∫ [u1+u2+ .. .+un ]dx=∫ u1dx+∫u2dx+. ..+∫undxPropiedad homogénea.
2) ∫ ( cu )dx=c∫ udx
Propiedad de linealidad
3)
∫ [ c1u1+c2u2+ .. .+cnun ]dx=c1∫u1dx+c2∫u2 dx+. . .+cn∫undxFórmula de integración por partes.
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4) ∫udv=uv−∫vduObservación: Las propiedades aditiva y homogénea son equivalentes a la propiedad de la linealidad, ya que la existencia de (1) y (2), implica la existencia de (3) y recíprocamente, la existencia d (3) implica la existencia de (1) y (2).
Nota: A la expresión c1u1+c2u2+. ..+cn un se le llama combinación lineal de
las n funciones u1 , u2 ,. .. , un .
II) Integración de las funciones elementales.
II) z) Integración de las funciones: u=0 ;u=1 ;u=m .
5) ∫0 dx=c 6) ∫1dx=x+c 7) ∫mdx=mx+c
II) b) Integración de potencias de funciones.
8) ∫undu=un+1
n+1+c ;n≠−1
9) ∫ duu
=∫undu=In (u )+c ;n=−1
10) ∫ audu= au
In (a )+c
11) ∫ eu du=eu+c
II) c) Integración de funciones logarítmicas.
12) ∫ loga (u )du=u [loga (u )−1 ]+c
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13) ∫ log10 (u )du=u [log10 (u )−1 ]+c
14) ∫ In (u )du=u [ In (u )−1 ]+cII) d) Integración de las funciones trigonométricas circulares directas.
15) ∫ sen (u )du=−cos (u )+c
16) ∫cos (u )du=sen (u )+c
17) ∫ tan (u )du=−In [cos (u ) ]+c=In [sec (u ) ]+c
18) ∫cot (u )du=In [ sen (u ) ]+c=−In [ csc (u ) ]+c
19) ∫sec (u )du=In [sec (u )+ tan (u ) ]+c20)
∫csc (u )du=In [csc (u )−cot (u ) ]+c=−In [csc (u )+cot (u ) ]+c
21) ∫sec2 (u )du=tan (u )+c
22) ∫csc2 (u )du=−cot (u )+c
23) ∫sec (u ) . tan (u )du=sec (u )+c
24) ∫csc (u ) .cot (u )du=−csc (u )+c ;
24a) ∫sec (u ) .csc (u )du=In [ tan (u ) ]+c=−In [cot (u ) ]+c
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25)
∫sec3 (u )du=12
[sec (u ) . tan (u )+ In [sec (u )+ tan (u ) ] ]+c
26)
∫csc3 (u )du=12
[−csc (u ) .cot (u )+ In [ csc (u )−cot (u ) ] ]+cFórmulas de reducción.
27)
∫ senn (u )du=−senn−1 (u ) cos (u )
n+ n−1
n∫ senn−2 (u )du ;n≠0
28)
∫cosn (u )du=cosn−1 (u ) sen (u )
n+ n−1
n∫ cosn−2 (u )du ;n≠0
29) tann (u )du=tan
n−1 (u )n−1
−∫ tann−2 (u )du ;n≠1
30) ∫cotn (u )du=−
cotn−1 (u )n−1
−∫ cotn−2 (u )du; n≠1
31)
∫secn (u )du=secn−2 (u ) tan (u )n−1
+ n−2n−1∫ sec
n−2 (u )du ;n≠1
32)
∫cscn (u )du=−cscn−2 (u ) cot (u )
n−1+ n−2n−1∫ csc
n−2 (u )du ;n≠1
33)∫ eau sen (bu )du=
eau [asen (bu )−bcos (bu ) ]a2+b2
+c
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34) ∫ eau cos (bu )du=
eau [bsen (bu )+acos (bu ) ]a2+b2
+c
35) ∫ eau senn (u )du=
eau senn−1 (u ) [asen (u )−ncos (u ) ]a2+n2
+
n (n−1 )a2+n2
∫ eau senn−2 (u )du
36)
∫ eau cosn (u )du=eau cosn−1 (u ) [acos (u )+nsen (u ) ]
a2+n2+
n (n−1 )a2+n2
∫ eaucosn−2 (u )du
37)
∫uneaudu=1auneau−n
a∫un−1eaudu= eax
an+1[an xn−nan−1 xn−1+
n (n−1 )an−2 xn−2−n (n−1 ) (n−2 )an−3+xn−3+ .. .+(−1 )nn! ]+cII) e) Integración de las funciones trigonométricas circulares inversas.
38) ∫ arcsen (u )du=uarcsen (u )+√1−u2+c
39) ∫ arccos (u )du=uarccos (u )−√1−u2+c
40) ∫ arctan (u )du=uarctan (u )−1
2In [1+u2 ]+c
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41) ∫ arc cot (u )du=uarc cot (u )+1
2In [1+u2]+c
42) ∫ arc sec (u )du=uarc sec (u )−1
2In [1+√u2−1 ]+c
43) ∫ arc csc (u )du=uarc csc (u )+ 1
2In [1+√u2−1 ]+c
II) f) Integración de las funciones trigonométricas hiperbólicas directas.
44) ∫ senh (u )du=cosh (u )+c
45) ∫cosh (u )du=senh (u )+c
46) ∫ tanh (u )du=−In [cosh (u ) ]+c=In [sech (u ) ]+c
47) ∫coth (u )du=In [senh (u ) ]+c=−In [csc h (u ) ]+c
48) ∫sec h (u )du=arctan [ senh (u ) ]+c
49) ∫csc h (u )du=In [sech (u )−coth (u ) ]+c
50) ∫sec2h (u )du=tanh (u )+c
51) ∫csc2h (u )du=−coth (u )+c
52) ∫sec h (u ) . tanh (u )du=−sec (u )+c
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53) ∫csc h (u ) .coth (u )du=−csc h (u )+c
II) g) Integración de las funciones trigonométricas hiperbólicas inversas.
54) ∫ arcsenh (u )du=uarcsenh (u )−√u2+1+c
55) ∫ arccosh (u )du=uarccosh (u )−√u2−1+c
56) ∫ arctanh (u )du=u arctanh (u )+ 1
2In [1−u2 ]+c
57) ∫ arc coth (u )du=uarc coth (u )+ 1
2In [1−u2]+c
58) ∫ arc sech (u )du=uarc sec h (u )+arcsen (u )+c
59) ∫ arc csch (u )du=uarc csc h (u )+arcsenh (u )+c
II) h) Descomposición de una fracción racional algebraica propia en suma de fracciones racionales propias más sencillas, llamadas “fracciones parciales simples”. En caso de que se trate de una fracción impropia (grado de p[x] ≥ grado de q[x], se hace una división de polinomios y se indica esta como la suma de un entero más una fracción propia.
Para descomponer cualquier fracción racional algebraica propia R[x]=p[x]/q[x], grado de p[x]< grado de q [x], en fracciones parciales, es conveniente factorizar en su mínima expresión al polinomio q [x] del denominador de la fracción R[x].
Por lo que resultan 4 posibles casos.
1° CASO. Cuando todos o alguno de los factores del denominador son de primer grado y ninguno de ellos se repite, entonces la descomposición de esta fracción es de la siguiente forma:
Formulario de matemáticas para ingenieros
p ( x )q ( x )
=p ( x )
(x−r1 ) (x−r2 ) .. . ( x−rn )=
A1x−r1
+A2x−r2
+.. .+Anx−rn
Donde A1, A2,…, An son constantes que se deben determinar y r1, r2,…,rn son las raíces reales distintas del polinomio q[x], n Є N.
2° CASO. Cuando el denominador contiene por lo menos un factor de primer grado x-r el cual se repite k veces, entonces la descomposición corresponde de dicho factor es de la siguiente forma:
p ( x )q ( x )
=p ( x )
( x−r )k=
A1( x−r )k
+ A
(x−r )k−1+. ..+ A
( x−r )1
Donde A1, A2,…, Ak son constantes que se deben determinar y r es la raíz real del polinomio q[x], k Є N.
3°CASO. Cuando el denominador contiene por lo menos un factor cuadrático ax2+bx+c irreductible en el campo de los números reales y b2- 4ac<0 el cual no se repite, entonces la descomposición correspondiente a dicho factor es de la siguiente forma:
p ( x )q ( x )
=p ( x )
(a1 x2+b1 x+c1) . . .(ak x2+bk x+ck )=
=A1 x+B1
a1x2+b1 x+c1
+.. .+Ak x+Bk
ak x2+bk x+ck Donde A1, A2,…, Ak; B1,
B2,.., Bk son constantes que se deben determinar, K Є N.
4°CASO. Cuando el denominador contiene por lo menos un factor cuadrático ax2+bx+c irreductible en el campo de los números reales y b2-4ac<0 en cual se repite K veces, entonces la descomposición correspondiente a dicho factor es de la siguiente forma:
Formulario de matemáticas para ingenieros
p ( x )q ( x )
=p ( x )
[ax2+bx+c ]k=
A1 x+B1
[ax 2+bx+c ]k+
A2 x+B2
[ ax2+bx+c ]k−1+
. ..+Ak x+Bk
[ax2+bx+c ]1 Donde A1, A2,.., Ak; B1, B2,…,Bk son constantes que se deben determinar, K Є N.
II) i) Radicales algebraicos que pueden transformarse en funciones trigonométricas elementales directas (sin radicales), mediante una sustitución trigonométrica adecuada.
Observación: Todas aquellas integrales que contengan uno y solo uno de los factores siguientes:
[a2−u2]m /2; [a2+u2]m /2
; [u2−a2 ]m/2;∀m∈Ζ . Pueden
transformarse respectivamente en integrales de funciones trigonométricas elementales. (Eliminando el radical correspondiente). Con el fin de facilitar su integración.
RA) Si[a2−u2]m /2
; hágase
u=asen (θ ) ⇒ [ a2−u2]m /2=am cosm (θ )
RB) Si [a2+u2 ]m/2; hágase
u=a tan (θ )⇒ [a2+u2]m /2=am secm (θ )
RC) Si [u2−a2]m /2
; hágase
u=a sec (θ )⇒ [u2−a2 ]m/2=am tanm (θ )
Si un integrando contiene un radical de índice dos elevado a cualquier potencia real fuera positiva, se puede hacer una sustitución trigonométrica, que convenga de acuerdo a los signos de la variable ya a la constante del binomio que están dentro del radical. Se presentan 3 casos.
Tabla resumen de sustitución trigonométrica.
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II) j) Transformación de las seis funciones trigonométricas circulares elementales directas en fracciones racionales algebraicas.
Para convertir cualquier función trigonométrica circular elemental en fracciones algebraicas, debe efectuarse el siguiente cambio de variable en la identidad de la tangente del ángulo mitad.
Sea: tan [u /2 ]=z . .. (1 ) .
tan [ u2 ]=√ 1−cos (u )1+cos (u )
=z⇔1−cos (u )1+cos (u )
=z2⇔1−cos (u )=
z2 [1+cos (u ) ]1−cos (u )=z2+z2cos (u )⇔ z2 cos (u )+cos (u )=
Formulario de matemáticas para ingenieros
1−z2⇔ [ z2−1 ] cos (u )=1−z2cos (u )=1−z2
1+z2
Por Teorema de Pitágoras.
[AC ]2+ [BC ]2= [AB ]2⇔ [BC ]2= [AB ]2− [AC ]2
[BC ]2= [1+z2 ]2− [1−z2]2=1+2 z2+ z4−1+2 z2−z4∴[BC ]2=4 z2 ; BC=2 z
1.-
sen (u )= 2 z
1+z2 2.-
cos (u )=1−z2
1+z2
3.-
tan (u )= 2 z
1−z2 4.- cot (u )=1−z
2
2 z
5.-
sec (u )= 1+z2
1−z2 6.- csc (u )=1+z
2
2 z
7.- 2arctan ( z ) 8.-
du= 2dz
1+z2
II) k) Integración de algunas funciones algebraicas.
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60) ∫ du
a2−u2= 12a
In[ a+ua−u ]+c
61) ∫ du
u2+a2=1aarctan [ ua ]+c=−1
aarc cot
ua+c
62) ∫ du
u2−a2= 12a
In[ u−au+a ]+c
63)
∫ du
√a2−u2=arcsen[ ua ]+c=−arccos[ ua ]+c
64)
∫ du
√u2+a2=In [u+√u2+a2 ]+c
65)
∫ du
√u2−a2=In [u+√u2−a2 ]+c
66)
∫ du
u√a2−u2=−
1aIn[ a+√a2−u2
u ]+c67)
∫ du
u√u2+a2=−
1aIn [ a+√u2+a2
u ]+c=1a In [ √u2+a2−au ]+c
Formulario de matemáticas para ingenieros
68)
∫ du
u√u2−a2 )=1aarc sec[ ua ]+c=−1
aarc csc [ ua ]+c
69) ∫ √a2−u2du=u
2√a2−u2+ a
2
2arcsen [ ua ]+c
70)
∫ √u2+a2 du=u2√u2+a2+ a
2
2In [u+√u2+a2 ]+c
71)
∫ √u2−a2du=ua
√u2−a2−a2
2In [u+√u2−a2 ]+c
72)
∫ du
u2√u2±a2=− √u2±a2
±a2u+c
73)
∫ du
u2√a2−u2=−√a2−u2
a2u+c
74)
∫u2√a2−u2du=u8
[2u2−a2 ]√a2−u2+ a4
8arcsen[ ua ]+c
75) ∫u2√u2±a2du=u
8[2u2±a2 ]√u2±a2−a4
8
In [u+√u2±a2]+cÁrea de figuras planas
Formulario de matemáticas para ingenieros
76) Ax=∫a
b[ y ] dx
77) Ay=∫a
b[x ] dy
Volúmenes de sólidos de revolución
78) Vx=π∫a
b [ y2 ]dx=π∫a
b [ f ( x ) ]2dx ;método del disco.
79) Vy=2π∫a
bx [ y ]dx=2π∫a
bx [ f ( x ) ] dx;
método de anillos ó cortezas.
80) Vx=π∫a
b [ [ f ( x ) ]2−[ g ( x ) ]2]dx ;f(x), radio mayor, g(x) radio menor.
81)
Vx=πr2
a2∫a
b [ x2 ] dx;cono circular recto; a = altura; r = radio.
Superficies de sólidos de revolución
82) Sx=2π∫a
by [1+[ y ' ]2]1/2dx
Longitud de arco
83) Lon .arc .=∫a
b [1+[ y ' ]2]1 /2dx;
en x.
84) Lon .arc .=∫a
b [1+[ x ' ]2 ]1/2dy ;en y.
85) Lon .arc .=∫a
b [ (dx )2+(dy )2]1/2 ;para funciones paramétricas.
SERIES ELEMENTALES
De las funciones trigonométrica directas.
Formulario de matemáticas para ingenieros
1.
sen ( x )=x+ x3
3 !+ x
5
5!− x7
7 !+ x
9
9 !− x11
11!+ x
13
13 !− x17
17 !+. ..
(−1 )n+1
(2n−1 ) !x2 n−1+. .. ;n=1,2 ,. ..
2.
cos (x )=1− x2
2!+ x
4
4 !− x6
6 !+ x
8
8 !− x10
10 !+ x
12
12!− x14
14 !+. ..
+(−1 )n+1
(2n−2 ) !x2 n−2+ .. .; n=1,2 , .. .
(Para todos los valores reales de x).
3. tan (x )= x+ x
3
3+2 x
5
15+17 x
7
315+62 x
9
2835+.. .+
22n (22n−1 )Bn(2n ) !
x2 n−1+ .. .
[Donde x2 <∏2/4 y En representa los números de Bernoulli].
4.
cot ( x )=1x− x3− x3
45−2 x
5
945− x7
4725−. . .−
22nBn(2n ) !
x2n−1−. ..
[Donde x2<∏2 y Bn representa los número de Bernoulli].
Formulario de matemáticas para ingenieros
5.
sec (x )=1+ x2
2+ 5x
4
24+61x
6
720+277 x
8
8064+ .. .+En x
2 n+. ..
[Donde x2<∏2/4 y En representa los números de Euler].
6.
csc ( x )=1x+x6+7 x3
360+31 x5
15120+127 x7
604800+.. .+
2 (2n−1−1 )Bn(2n )!
x2n−1+. ..[Donde x2<∏2 y Bn representa los números de Bernoulli]
De las funciones trigonométricas inversas
7.
arcsen ( x )=x+ x3
2.3+ 1.3 x
5
2 .4 .5+ 1.3 .5 x
7
2 .4 .6 .7+. ..+
1 .3 . .. (2n−1 ) x2n+1
2n .n ! (2n+1 )+. .. ;n=1,2 ,. ..Donde [x2 < 1,-∏/2 <arc sen(x) <∏/2].
8.
arccos ( x )=π2−(x+ x3
2.3+ 1 .3x
5
2 .4 . 5+ 1 .3. 5 x
7
2 .4 . 6 .7+. ..+
1.3 .. . (2n−1 ) x2n+1
2n .n! (2n+1 )+.. .)
;n=1,2 ,. ..Donde [x2<1,0< arc sen (x)<∏].
9.
arctan (x )=x− x3
3+ x
5
5− x7
7+ x
9
9− x11
11+.. .−
(−1 )n+1
2n−1x2 n−1+ .. .;
n=1,2 ,. ..Donde (x2 <1)
Formulario de matemáticas para ingenieros
10.
arc cot (x )=π2−x+ x
3
3− x5
5+ x
7
7− x9
9+ x
11
11−. ..−
(−1 )n+1
2n−1x2n−1+. .. ;
Donde (x2 <1)
11.
arc sec ( x )=π2−1x+ 1
3 x3− 1
5x5+ 1
7 x7−. ..+
(−1 )n
(2n−1 ) x2n−1
+. .. ;n=1,2 ,. ..Donde (x > 1).
12.
arc csc ( x )=−π2+ 1x− 1
3 x2+ 1
5 x5− 1
7 x7+.. .−
(−1 )n+1
(2n−1 ) x2n−1
+. .. ;n=1,2 ,. ..Donde (x < - 1).
De las funciones trigonométricas hiperbólicas directas.
13. senh ( x )=x+ x
3
3 !+ x
5
5!+ x
7
7 !+ x
9
9 !+ x11
11!+. ..
+ x2n+1
(2n+1 )!+. . .;|x|<∞
14. cosh ( x )=1+ x
2
2!+ x
5
4 !+ x
6
6 !+ x
8
8 !+ x10
10!+.. .
+ x2n
(2n )!+. . .;|x|<∞
Formulario de matemáticas para ingenieros
15. tanh (x )=x− x3
3+ 2x
5
15−17 x
7
315+62 x
9
2835 !−. ..+
(−1 )n−122 n (22 n−1 )Bn(2n )!
x2m−1±.. .
[Donde |x|<∏/2 y Bn representa los números de Bernoulli].
16.
coth ( x )=1x+ x3− x3
45+ 2 x
5
945− x7
4725+. ..+
(−1 )n+122nBn(2n )!
x2n−1±. . .[Donde 0 < |x| <∏ & Bn representa los números de Bernoulli].
17. sec h (x )=1− x2
2!+ 5 x
4
4 !−61x
6
6 !+135 x
8
8 !−. . .+
+(−1 )nEn
(2n )!x2 n−1±.. .
[Donde |x|<∏/2 & En representa los números de Euler].
18.
csc h (x )=1x−x6+7x3
360−31x5
15120+. ..−
2 (−1 )n (22n−1−1 ) Bn(2n ) !
x2n−1±. . .[Donde 0 < |x| <∏ & Bn representa los números de Bernoulli].
De las funciones trigonométricas hiperbólicas inversas.
Formulario de matemáticas para ingenieros
19.
arcsenh ( x )=x− x3
2 .3+ 1 .3 x
5
2.4 .5− 1 .5 x7
2 .4 .6 .7+. ..−
(−1 )n1 .3.5 (2n−1 )2n .n ! (2n+1 )
x2n+1±.. .20.
arccosh ( x )=±[In (2 x )− 1
2.3 x2−
1 .3
2.4 .5 x4−.. .−
1 .3.5 .. . (2n−1 )22 .n ! (2n−1 ) x2 n
+. ..]Donde x>1.
21.
arctan h (x )=x+ x3
3+ x
5
5+ x
7
7+.. .+ x
2 n+1
2n+1+. .. ;con|x|<1
22.
arc coth ( x )=1x+ 1
3 x3+ 1
5 x5+ 1
7 x7+. . .+ 1
(2n+1 ) x2n+1+.. . ;con|x|>1
23.
arc sec h ( x )=In( 2x )− 14 x2− 332
x4− 596
x6−351024
x8−632560
x10−. ..
24.
arc csch ( x )=In( 2x )+ 14 x2− 332x4+ 5
96x6−35
1024x8+632560
x10−. ..
De las funciones exponenciales.
25.
e=1+ 11!
+ 12 !
+ 13 !
+ 14 !
+ 15 !
+ 16 !
+ 17 !
+ 18!
+. . .+ 1(n−1 )!
+. . .
Formulario de matemáticas para ingenieros
26.
e x=1+ x1!
+ x2
2 !+ x
3
3 !+ x
4
4 !+ x
5
5 !+ x
6
6 !+ x
7
7 !+ x
8
8!+. . .+
xn−1
(n−1 ) !+. .. ,∀ x∈ R
27.
ax=1+xIn (a )+[ xIn (a ) ]22 !
+[ xIn (a ) ]33 !
+. ..+[ xIn (a ) ]n−1
(n−1 ) !+. .. ;∀ x∈R28.
xx=1+xIn ( x )+[ xIn ( x ) ]22!
+[ xIn ( x ) ]33 !
+. ..+[ xIn ( x ) ]n−1
(n−1 ) !+. .. ;∀ x∈R
Binomio de Newton.
29.
(a+b )n=an+nan−1b+.. .+ n!(n−k )!
an−kbk+. . .+bn ;
∀ n∈ R ,k∈N ,k=0,1,2. .n ,30.
(a−b )n=an−nan−1b+. . .+ (−1 )n n!(n−k ) !
an−k bk+ .. .+(−1 )nbn ;
∀ n∈ R ,k∈N ,k=0,1,2. .nDonde n!=1.2.3.4…(n-1)n;N=Núm. Naturales; R=Números Reales.
De las funciones logarítmicas.
Formulario de matemáticas para ingenieros
31.
In ( x )=( x−1 )−12
(x−1 )2+ 13
( x−1 )3−14
( x−1 )4+. ..−
(−1 )n+1 ( x−1 )n
n+.. . ;n=1,2 , .. .
Donde 0 < x ≤ 2
32.
In (a+x )=Ina+ xa− x2
2a2+ x3
3a3− x 4
4a4+ x5
5a5−. . .−
(−1 )n+1 ( x−1 )n
nan+.. . ;n=1,2 , .. .
Donde a > 0, -a < x x + ∞.
De Taylor.
33.
f ( x )=∑n=0
∞ f n (a )n!
( x−a)n=f (a )+f ' (a ) ( x−a )+ f' ' (a )2 !
( x−a )2+ f' ' ' (a )3 !
( x−a )3+ fIV (a )4 !
( x−a )4+ .. .
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.
F (t )= £-1{F (s )} F ( s )= £{F ( t )}
1
Formulario de matemáticas para ingenieros
Propiedad homogénea.
Cf (t ) C= Constante.
Cf (t )
2Propiedad aditiva.
f 1 ( t )+ f 2( t )
F1 (s )+F2 ( s )
3Propiedad lineal
C1 f 1 ( t )+C2 f 2 ( t )
C1F1 ( s)+C2F2 (s )
4Función Escalón Unitario
U c ( t )=U ( t−c )e−cs
s; s>0
5Primera propiedad de traslación
eat f (t )
F ( s−a )
6Segunda propiedad de traslación
f ( t−c )U c ( t )e−cs F ( s)
7Propiedad del cambio de escala
f (bt ) Cf (t )8
Producto de tn por f(t)
tn f ( t ); n=0,1,2 , .. ,(−1 )n d
nF (s )dsn
=(−1 )nFn (s )
F (t )= £-1{F (s )}F ( s )= £{F ( t )}
9Propiedad de la 1ra. Derivada.
Y ' (t )SY (S )−Y (0 )
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10Propiedad de la 2da. Derivada.
Y ' ' ( t )S2Y (S )−SY−Y ' (0 )
11Propiedad de la 3ra. Derivada.
Y ' ' ' (t )S3Y (S )−S2Y (0 )−SY ' (0 )−Y ' ' (0 )
12Propiedad de la na. Derivada
Y n ( t )SnY (S )−Sn−1Y (0 )−.. .−Y n−1 (0 )
13Teorema de Convolución.
∫0
t
f (t−r )g (r )dr
F (S )G (S )
14Transformación de una Integral.
∫a
t
f ( x )dx ;a>0
F (S )S
−1S∫0
a
f ( x )dx
15Caso Particular.
∫0
t
f ( x )dx ;a=0
F (S )S
16División de f (t) por t.
f (t )t
∫S
∞
F (u )du
FÓRMULAS BASICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.
F (t )= £-1{F (s )} F ( s )= £{F ( t )}
1
C; Constante
Formulario de matemáticas para ingenieros
Cs ; s>0
21
1s ; s>0
3t 1
s2 ; s>0
4
t2 2
s3 ; s>05
t33!
s4 ; s>0
6
tn ;n=0,1,2 ,. . ,n !
sn+1 ; s>0
7
tP ; P>−1 Γ (p+1 )sP+1
; s>0
F (t )= £-1 F ( s )= £{F ( t )}
Formulario de matemáticas para ingenieros
{F (s )}8
eat ;a= Contante.
1s−a ; s>a
9
sen (bt )
b
s2+b2 ; s>0
10
cos (bt )
s
s2+b2 ; s>0
11
eat sen (bt )
b
(s−a )2+b2 ; s>a
12
eat cos (bt )
s−a(s−a )2+b2 ; s>a
13
senh (bt )b
s2−b2 ; s>|b|14
cosh (bt )
s
s2−b2 ; s>|b|
15
eat senh (bt )
b
(s−a )2−b2 ; s>a
16
eat cosh (bt )
s−a(s−a )2−b2 ; s>a
Formulario de matemáticas para ingenieros
F (t )= £-1{F (s )} F ( s )= £{F ( t )}
17
tneat ;n=0,1,2, . .. ,n !
(s−a )n+1 ; s>a
18
tsen (bt )2bs
(s2+b2)2 ;
19
t cos (bt )s2−b2
(s2+b2)2 ;
20
sen (bt )−bt cos (bt )2b3
(s2+b2)2 ;
21
sen (bt )+bt cos (bt )2bs2
(s2+b2)2 ;
22
tsenh (bt )2bs
(s2−b2 )2 ;
23
t cosh (bt )s2+b2
(s2−b2 )2 ;
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ESPECIALES
Formulario de matemáticas para ingenieros
F (t )= £-1{F (s )} F ( s )= £{F ( t )}
Función Escalón Unitario1
U c (t )=U (t−c ) ;c>0e−cs
s ; s>0Función Rampa
2
f ( t )=t ; t>0
1
s2 ; s>0Función Rampa
3
δ ( t−t0 )e−t0s ;
Función Impulso Unitario con centro en t0=0.
4
δ (t ) .
1 ;
Producto de f(x) por s(t-t0).5
f ( t ) δ (t−t0 )e−t0s f (t 0 );
Producto de f (t) por S(t).6
f (t ) δ (t )f (0 ) ;
Función Periódica7
f (t )=f (t+λ ) ; λ= Periodo.
∫0
λ
e−st f (t )dt
1−e−λs ;
BIBIOGRAFÍA
Formulario de matemáticas para ingenieros
1. A. ANDRADE, P. GARCIA, 19884, Cálculo diferencial e integral, 1ra, ed. Dirección General de Publicaciones, México.
2. F. AYRES, 1993, Cálculo diferencial e integral. Ed. Mc Graw Hill, 3ra, México.3. DEMIDOVICH, 1993, Problemas y ejercicios de análisis matemáticos. 9a, Ed. Mir,
Moscú.4. FINNEY, Thomas, 2010 Cálculo de una variable. 12na, Ed. Pearson, México.5. GRANVILLE, W. A., 1980, Cálculo diferencial e integral. 1a, Ed. Limusa, México.6. HASSER, Norman B., 1990, Análisis matemático. Tomo I. 2a, Ed. Trillas, México.7. LANG, Serge, 1990, Cálculo. 1a, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana, México.8. LARSON-HOSTETLER, 2010, Cálculo 1. 8va, Ed. Mc Graw Hill, México.9. LEITHOLD, L., 1996, El Cálculo. Ed. 7ma, Oxford, México.10. Pursell Edwin j., 2007, Cálculo, 9na, Ed. Pearson Educación, México.11. REPETTO, Celina, 1989, Manual de Análisis Matemático. 1a, Ed. Macchi, Tomos 1 y
2, México.12. STEWART, 2008, Cálculo de una Variable. Trascendentes tempranas, 6a, Ed.
CENGAGE, México.13. SWOKOWSKI W., Earl., 1989, Cálculo con geometría analítica. 2a, Ed.
Iberoamericana, México.14. ZILL G., Dennis., 1993, Cálculo con geometría analítica. 2a, Ed. Iberoamericana.
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