FORMULARIO Y TABLAS DE LA ASIGNATURA ESTADSTICA APLICADA A LA EDUCACIN

Grado de Educacin Social Grado de Pedagoga

Documento de utilizacin autorizada en las pruebas presenciales de la UNED por el Equipo docente de la asignatura (v. 2014)

Arturo Galn Gonzlez (Coordinador)

Ramn Prez Juste Jos Luis Garca Llamas

Jos Quintanal Daz

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NDICE

Pgina I. FORMULARIO

Captulo 5 3 Captulo 6 4 Captulo 7 5 Captulo 8 6 Captulo 9 11 Captulo 10 11 Captulo 11 12 Captulo 12 14

II. TABLAS reas y ordenadas de la curva de distribucin normal 17 Distribucin t de Student 25 Distribucin Ji-cuadrado 26 Coeficiente de correlacin tetracrico (rt) 27

3

FORMULARIO Y TABLAS

ESTADSTICA APLICADA A LA EDUCACIN

I. FORMULARIO Se incorporan a continuacin las frmulas estadsticas recogidas en los captulos del texto bsico de la asignatura.

CAPTULO 5

Media aritmtica:

espuntuaciondetotalNmeroespuntuacionlastodasdeSumaX =

NX

X i= Desviacin Media: D.M. =

sujetosdetotalNmeromedialaydirectapuntuacincadaentresdiferencialasdesumaladeabsolutoValor

D.M. = ( )

NXXi

Desviacin tpica sesgada:

S = ( )sujetosdetotalNmero

aritmticamedialaydirectapuntuacincadaentresdiferencialasdeSuma 2)

S = ( )

NXXi

2

Varianza:

S2= ( )2

NXXi

4

Desviacin tpica insesgada:

S = ( )

1

2

N

XX i

S2= ( )2

1

NXXi

Amplitud o recorrido: A= 1+ imenorimayor XX Coeficiente de variacin:

V= ( )100Xs

Desviacin tpica y varianza en variables dicotmicas: s = qp. ; s2 = p.q Asimetra: ndice de Pearson:

As =sMX 0

Curtosis:

g2 = ( )

31 41

4

=

i

n

ii fXX

N

CAPTULO 6

Puntuacin diferencial: x = XXi

Puntuacin tpica: z =sx

sXXi =

5

Puntuaciones tipificadas o escalas derivadas: T = az + b; donde b = (nueva media), a = s (nueva desviacin tpica) y z = puntuacin tpica Clculo de percentiles:

( )

1

1

inf100 a

f

fnC

LCi

Ia

m

+=

, donde a es el valor del intervalo.

El valor

nC100

toma la forma de (D / 10) n en el caso de los deciles; de (Q / 4) n en el de los

cuartiles y de (1 / 2) n en el de la Mediana.

CAPTULO 7 CORRELACIONES a) Coeficiente de correlacin de Pearson (r)

( )[ ] ( )[ ]2222

=

YYnXXn

YXYXnrxy Puntuaciones directas

=

22

yx

yxrxy Puntuaciones diferenciales

b) Coeficiente de correlacin de Spearman (rs)

( )16

1 22

=

nnD

rs

Dnde n nos indica el nmero de sujetos o de pares de puntuaciones y D es la diferencia de rangos o posiciones que ocupa un mismo sujeto en dos variables distintas. c) Coeficiente de Contingencia (C)

22

+

=n

C Dnde ( )2

1 1

2 = =

=

G

g

c

c e

eo

fff A su vez

t

cfe f

fff

=

6

d) Coeficiente de correlacin biserial-puntual (rbp)

qp

sXXr

t

tpbp

= qp

sXXr

t

qpbp

=

e) El coeficiente PHI ( )

( )( )( )( )DBDCCABADACB

++++

=

f) El coeficiente de correlacin tetracrico (rt)

DACBrt

=

En el numerador figura el producto cruzado de la diagonal donde coinciden los mismos signos, mientras que en el denominador figura el cruce en que no coinciden los valores, es decir, son distintos. Existe otro procedimiento directo, si bien exige disponer de una calculadora que incorpore las funciones trigonomtricas, en este caso el coseno, mediante a siguiente frmula:

+

=DACB

DArt180cos El valor as obtenido es el coeficiente de correlacin.

g) Coeficiente de correlacin biserial (rb)

yp

s

XXr

t

tp

b

= yqp

s

XXr

t

qp

b

=

CAPTULO 8 (Los elementos sombreados corresponden a contenidos no obligatorios)

FIABILIDAD Y VALIDEZ a) Fiabilidad como estabilidad y equivalencia

( )[ ] ( )[ ]2222

=

YYnXXn

YXYXnrxy Puntuaciones directas

Correlacin de Pearson entre las dos aplicaciones sucesivas (estabilidad) o bien entre la aplicacin de la prueba y su equivalente.

7

b) Fiabilidad como consistencia interna b.1.Procedimiento de Spearman-Brown

xx

xxxx r

rR+

=1

2

xxr se calcula mediante el coeficiente de correlacin de Pearson entre las mitades, as llamamos X1 a

las puntuaciones de los tems impares (1 mitad) y X2 a la suma de los tems pares (2 mitad).

Siendo: ( )[ ] ( )[ ]

=

22

22

21

21

2121

XXnXXn

XXXXnrxx

b.2.Procedimiento de Rulon

22

1t

dxx s

sr =

Para llegar a determinar el valor del coeficiente de fiabilidad debemos calcular previamente tanto la varianza de las diferencias como la total. b.3.Procedimiento de Guttman

+= 2

22

2112

t

aaxx s

ssr

Debemos calcular la varianza total y los valores de las varianzas de las mitades (impares/pares).

( )

1

22

121

=

nnX

Xs a

b.4.Procedimiento de Kuder-Richardson

= 22

1 t

t

e

exx s

qpsn

nr

Para tems dicotmicos, dnde ne se refiere al nmero de elementos de que consta la prueba. Adems p es la proporcin de sujetos que aciertan y q = 1 - p; esta operacin se debe realizar con cada uno de los tems, pues el valor que necesitamos es la suma de pq de todos los elementos.

8

b.5.Procedimiento alfa de Cronbach

= 2

2

11 t

i

ss

nn

Donde: n: nmero de elementos o tems de la prueba; 2is : varianza de cada uno de los tems y

2ts :

varianza de las puntuaciones totales de la prueba c) Algunas cuestiones relacionadas con la fiabilidad c.1. Fiabilidad y longitud

( )xxxx

xx rnnrR

)11 +=

Rxx ser la fiabilidad alcanzada y n es el nmero de veces que la prueba se alarga o se acorta, esto es, el cociente entre el nmero de elementos de va a tener la prueba y los que tena la prueba original:

N =inicialeselementodeNmero

finaleselementosdeNmero

De la frmula anterior despejamos n y nos queda:

( )( )xxxxxxxx

RrrRn

=11

c.2. Intervalo para la puntuacin verdadera El intervalo se expresa: medAv zXX 2/=

Donde el error tpico de medida es: xxxmed rs = 1 c.3. Lmites para la puntuacin verdadera de un sujeto El intervalo se expresa: medAv zXX 2/= c.4. Comparacin de las puntuaciones de dos sujetos en la misma prueba

meddif

CB XXCR.

..

=

Donde el error tpico de la diferencia de medida se calcula de la siguiente forma: 21.. xxxmeddif rs =

9

d) Validez predictiva de las pruebas:

( )[ ] ( )[ ]2222

=

YYnXXn

YXYXnrxy

Correlacin de Pearson entre las puntuaciones en la prueba (X) y en el criterio (Y). d.1. Algunos coeficientes relacionados con la validez d.1.1. Coeficiente de determinacin Se representa por d y su valor consiste en elevar al cuadrado el coeficiente de validez:

22 88,0== xyrd d.1.2. Coeficiente de alienacin Se representa por k y se obtiene mediante: 21 xyrk = d.1.3. Coeficiente de valor predictivo Se representa mediante E y se obtiene: 2111 xyrkE == d.2. Validez y longitud de una prueba

xxxx

xyxy

rnrr

R+

=

1

Donde Rxy se trata de la nueva validez, rxy es la validez original, rxx es el valor inicial del coeficiente de fiabilidad y n es el cociente entre el nmero de elementos finales y los elementos iniciales.

De la ecuacin anterior despejamos n:

xxxy

xy

xx

rRr

rn

=

2

21

d.3. Prediccin de puntuaciones

a) En puntuaciones directas: ( ) YXXss

rY ix

yxy +='

b) En puntuaciones diferenciales: xss

ryx

yxy='

c) En puntuaciones tpicas: xxyy zrz ='

10

Error tpico de estimacin:

( )21 xyyest rs = Intervalos de confianza: a) Puntuaciones directas: estzY ' 2/ ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS O TEMS DE UNA PRUEBA a. ndice de dificultad (I.D.)

nADI =..

Donde A nos indica el nmero de sujetos que aciertan el tem y n el nmero de sujetos que lo intentan. Para elementos de varias alternativas de respuesta la frmula que debemos aplicar es la siguiente:

nn

EADI a 1..

=

Donde A es el nmero de aciertos, E el nmero de errores y na el nmero de alternativas de respuesta del tem. b. ndice de homogeneidad (I.H.)

BAABBA

BAAB

ssrssssrHI

2..

22 +

=

Donde rAB es la correlacin entre el tem y el total, sA la desviacin tpica de las puntuaciones en la prueba, sB la desviacin tpica en el tem que se calcula qpsB = . c. ndice de validez (I.V.) Para seleccionar el coeficiente de correlacin ms adecuado habr que tener en cuenta las condiciones de los datos, tanto las referidas a los elementos como al criterio. Pueden usarse los coeficientes biserial-puntual (dicotmicos), el biserial, el tetracrico o el Phi.

qp

sXX

rt

tp

bp

=

11

CAPTULO 9 Prueba de Ji cuadrado (2) de bondad de ajuste al modelo normal:

2 = ( ) e

co

fff 2

CAPTULO 10

Normas cronolgicas: C.I. = EM / EC; C.I. = (EM / EC) x 100 Cuantiles:

( )

1

1

inf100 a

f

fnC

LCi

Ia

m

+=

El valor

nC100

toma la forma de (D / 10) x n en el caso de los deciles; de (Q / 4) x n en el de los

cuartiles y de (1 / 2) x n en el de la Mediana. Normas tpicas:

z = sx

sXXi =

Puntuaciones tpicas normalizadas:

T = 50 + 10 z S = 50 + 20 z Estaninos: 5 + 2z Pentas: 3 + z

12

MUESTREO

Tamao de muestra infinita: n = 22

Eqpz

Tamao de una muestra finita: n = ( )( ) ( )qpzNENqpz

+22

2

1

Error muestral para muestras infinitas: E = ( )n

qpz 2

Error muestral para muestras finitas: E = ( ) ( )( ) nNnNqpz

1

2

Intervalo de confidencial: IC = puntuacin EM , donde EM es el error muestral.

CAPTULO 11

ESTIMACIN DE PARMETROS

a) De la media aritmtica

INTERVALO DE CONFIANZA: Intervalo confidencial de la media: IC = EMX donde: EM es el ERROR MUESTRAL: En el caso de muestras pequeas y grandes, EM =

( ) xt

2

O como alternativa slo en caso de muestras grandes EM =

( ) xZ

2

, donde

ERROR TPICO DE LA MEDIA ( x ): Error tpico de una distribucin muestral de medias (si en el clculo de s se utiliz la s insesgada):

Ns

x =

Error tpico de una distribucin muestral de medias (si en el clculo de s se utiliz la s sesgada):

1=

Ns

x

13

b) De una proporcin

Simplemente se sustituye la s por qp ; N

qpx

= o

1

=N

qpx

c) Estimacin de la puntuacin verdadera en una prueba Error tpico de medida: xxts rs = 1 Intervalo de confianza en torno a la puntuacin de un sujeto: IC = Xi EM d) Intervalo de confianza de la puntuacin estimada en la regresin lineal simple Error tpico de estimacin: est = s ( )21 xyy r Intervalo de confianza en torno a la puntuacin estimada en el criterio: IC = Y' EM e) Estimacin del parmetro correlacin de Pearson: Error tpico del coeficiente de correlacin de Pearson: muestras grandes:

r =1

1N

Error tpico del coeficiente de correlacin de Pearson: muestras pequeas:

r =1

1 2

N

r

Intervalo de confianza en torno a r de Pearson, donde EM es igual a error muestral: IC = r EM Error muestral (EM) en torno al r de Pearson: EM = z ( ) r 2

f) Estimacin del parmetro diferencia de medias: Intervalo de confianza a partir de diferencia de medias: IC = ( ) EMXX 21 , donde EM =

( ) ( )212 XXZ

14

Y donde ( )21 XX para muestras grandes e independientes es:

( ) 11 2

22

1

21

21 +

=

NNxx

Y para muestras pequeas o grandes e independientes:

( )2121

22

211 11

221 NNNNNN

XX +++

=

g) Estimacin del parmetro diferencia de proporciones: Error tpico de diferencia de proporciones:

( ) NNqppp

1121

+=

CAPTULO 12

Frmula para el contraste de medias para diseos de dos grupos independientes (estadstico t) en el caso de muestras grandes y pequeas:

t =| X 1 - X 2 | -0

X 1-X 2;

+

+

+

=

2121

222

211

21

N1

N1

2NNNN

0XXt

ss

Frmula para el contraste de medias para diseos de dos grupos independientes (estadstico Z), slo vlido para muestras grandes:

z = | X 1 - X 2 | -0

X 1-X 2

donde

+

=1N1N 2

22

1

21S

2X-1XS

15

Frmula general para el contraste de medias para diseos de dos grupos correlacionados:

2X-1X

21 0|XX|t

=

donde:

+

=11

1

112r

1N1N2

2

22

1

21

2X-1XSSSS

TAMAO DEL EFECTO Tamao del efecto d de Cohen para diseos de dos grupos independientes

dcombinada

1 2=

XX ,

donde la combinada es:

c21

222

211

N +N)s(N+)s(N=

16

II. TABLAS

17

18

19

20

21

22

23

24

25

0,450 0,250

26

27

Valores estimados de rt correspondientes a los valores del cociente BC/AD