Formulario Geometría Analítica

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UAEM Facultad de Ingeniería Formulario: Geometría Analítica David Isaías Jaimes Reyes Universidad Autónoma del Estado de México UAEM Facultad de IngenieríaFormulario: “Geometría Analítica” Elaborado por: David Isaías Jaimes Reyes Estudiante de Ingeniería en Electrónica

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Este formulario lo elabore durante el semestre que tome geometría analítica en la UAEMex, espero y les sirvaLe hice una modificación, en el anexo 1 de trigonometría le agregue algunas identidades de potencias y le agregue un anexo de identidades hiperbolicas.

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UAEM Facultad de Ingeniería Formulario: Geometría Analítica

David Isaías Jaimes Reyes

Universidad Autónoma del Estado de México

UAEM

“Facultad de Ingeniería”

Formulario:

“Geometría Analítica”

Elaborado por:

David Isaías Jaimes Reyes

Estudiante de Ingeniería en Electrónica

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Formulario “Geometría Analítica”

1. VECTORES EN EL PLANO

Coordenadas del punto

medio de un segmento

(

)

Vector Posición

Magnitud de un segmento

Magnitud de un vector

|| || √

Ángulo (Dirección del Vector)

(

)

Dirección Opuesta de un Vector

Si

Si

Vector Unitario

|| ||

Producto Escalar de dos Vectores

Sean y , entonces

Vectores Paralelos

o

Vectores Perpendiculares

Ángulo entre dos Vectores

(

|| |||| ||)

Proyección Ortogonal de dos Vectores

(

|| ||)

Componente (Magnitud del Vector )

|| ||

Vector Ortogonal

Sean

2. VECTORES EN EL ESPACIO

Coordenadas del punto

medio de un segmento

(

)

Vector Posición

Magnitud de un segmento

Magnitud de un vector

|| || √

Ángulos o cosenos directores

Vector Unitario

|| ||

o también

Producto Escalar de dos Vectores

Sean y , entonces

Producto Vectorial

Sean y entonces

[

]

Producto Triple Mixto

Sean , y

entonces

[

]

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Ángulo entre dos Vectores (Espacio)

(

|| |||| ||)

Proyección Ortogonal de dos Vectores (Espacio)

(

|| ||)

Componente (Magnitud del Vector ) (Espacio)

|| ||

3. GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

La recta en el plano

Ecuación General o Forma Cartesiana

Ecuación Vectorial

Ecuaciones Paramétricas

Pendiente “ ”

Forma punto- pendiente

Forma pendiente- intersección

Forma Intersección de una Recta

Rectas Paralelas

Rectas Perpendiculares

Forma Normal de la Ecuación de una Recta

Distancia de una Recta a un Punto dado

| |

Distancia dirigida de una Recta a un Punto dado

Ecuaciones de las bisectrices de dos rectas que se cortan

Y

Si es de signo contrario a

Si y B tienen en mismo signo

Si tienen el mismo signo

Vector Paralelo a una Recta

( )

Vector Normal a una Recta

Ángulo entre dos Rectas

Distancia entre Rectas Paralelas

| |

|| ||

, 𝑡

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4. SECCIONES CÓNICAS

*En la parábola y la hipérbola y en la circunferencia y la elipse [ ]

CÓNICA CARACTERÍSTICAS

Circunferencia

Constantes radio

Primera ecuación ordinaria

Centro en el origen

Segunda ecuación ordinaria

Centro en el punto

Longitud del lado recto -------

Excentricidad

Ecuación Vectorial Con centro en el

origen

Centro en

Algunas

ecuaciones

paramétricas

Con centro en el

origen

Centro en

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Parábola

Constantes distancia del vértice al foco

distancia del vértice a la

directriz Foco sobre el eje

Primera ecuación

ordinaria

Vértice en el origen

Eje focal

coincide con

el eje

Directriz: foco

Eje focal

coincide con

el eje

Directriz: foco

Segunda ecuación

ordinaria

Vértice en el punto

Eje focal

coincide con

el eje

Eje focal

coincide con

el eje

Longitud del lado recto

Excentricidad

Ecuación generan de la cónica careciendo

del termino

Ya sea ó

Casos excepcionales Dos rectas coincidentes; dos rectas paralelas

(Ningún lugar geométrico)

Ecuación Vectorial Con centro en el

origen

Rotada y con

centro en el

origen

Centro en

Rotada y con

centro en

Algunas ecuaciones

paramétricas

Con centro en el

origen

Rotada y con

centro en el

origen

Centro en

Rotada y con

centro en

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Elipse

Constantes longitud del eje mayor

longitud del eje menor

distancia entre los focos

Focos sobre el eje mayor

Primera ecuación

ordinaria

Centro en el origen

Eje focal

coincide con el

eje

Focos ,

Eje focal

coincide con el

eje

Focos ,

Segunda ecuación

ordinaria

Vértice en el punto

Eje focal

coincide con el

eje

Eje focal

coincide con el

eje

Longitud del lado recto

Excentricidad

(Para la circunferencia, )

Ecuación generan de la cónica careciendo

del termino

y del mismo signo

Para la circunferencia,

Casos excepcionales Punto

(Ningún lugar geométrico)

Ecuación Vectorial Con centro en el

origen

Rotada y con

centro en el

origen

Centro en

Rotada y con

centro en

Algunas ecuaciones

paramétricas

Con centro en el

origen

Rotada y con

centro en el

origen

Centro en

Rotada y con

centro en

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Hipérbola

Constantes longitud del eje transverso

longitud del eje conjugado

distancia entre los focos

Focos sobre el eje transverso

Primera ecuación

ordinaria

Centro en el origen

Eje focal

coincide con el

eje

Focos ,

Eje focal

coincide con el

eje

Focos ,

Segunda ecuación

ordinaria

Centro en el punto

Eje focal

coincide con el

eje

Eje focal

coincide con el

eje

Longitud del lado recto

Excentricidad

Ecuación generan de la cónica careciendo

del termino

y de signo distinto

Casos excepcionales Dos rectas que se cortan

Ecuación Vectorial Con centro en el

origen

Rotada y con

centro en el

origen

Centro en

Rotada y con

centro en

Algunas ecuaciones

paramétricas

Con centro en el

origen

Rotada y con

centro en el

origen

Centro en

Rotada y con

centro en

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Opcional

ROTACIÓN DE EJES ( )

ECUACIONES DE ROTACIÓN

En términos de

En términos de

TEOREMA:

Si la ecuación

es tal que , y si se obtiene de un sistema de coordenadas al tomar los ejes un ángulo que satisface

entonces, en coordenadas , la ecuación tendrá la forma

EL DISCRIMINANTE

Considérese una ecuación de segundo grado

a) Si la ecuación representa una elipse, una circunferencia, un punto o bien no tiene gráfica.

b) Si la ecuación representa una hipérbola o una pareja de rectas que se intersectan.

c) Si la ecuación representa una parábola, una recta, una pareja de rectas paralelas o bien no tiene

gráfica.

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5. COORDENADAS POLARES

CRITERIOS DE SIMETRÍA

a) Una curva en coordenadas polares es simétrica con respecto al eje si al sustituirse por en su ecuación

se produce una ecuación equivalente.

b) Una curva en coordenadas polares es simétrica con respecto al eje si al sustituirse por en su

ecuación se produce una ecuación equivalente.

c) Una curva en coordenadas polares es simétrica con respecto al origen si al sustituirse por en su ecuación

se produce una ecuación equivalente.

GRÁFICAS COMÚNES

Cardiodes y Limacos

Limaco Cardiode Limaco

Lemniscatas

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Espirales

Rosas

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6. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

La recta en el espacio

Ecuación Vectorial

Sean y , entonces:

Ecuaciones Paramétricas

Ecuación Simétrica o Forma Cartesiana

El plano

Ecuación Vectorial Sean , y , entonces:

Ecuaciones Paramétricas

Forma Punto – Normal Sean y , entonces:

Distancia entre un Punto y el Plano

| |

, 𝑡

, 𝑠 𝑡

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7. SUPERFICIES CUADRICAS

Superficie Ecuación Ecuaciones

Paramétricas

Esfera

Traza Plano e

Circunferencia Paralelo al plano

Circunferencia Paralelo al plano

Circunferencia Paralelo al plano

[ ] [ ]

Elipsoide

Traza Plano e

Elipse Paralelo al plano

Elipse Paralelo al plano

Elipse Paralelo al plano

La superficie es una esfera si

[ ] [ ]

Hiperboloide de un hoja

Traza Plano e

Elipse Paralelo al plano

Hipérbola Paralelo al plano

Hipérbola Paralelo al plano

El eje del hiperboloide corresponde a

la variable cuyo coeficiente es

negativo.

⟨ ⟩, [ ]

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Superficie Ecuación Ecuaciones

Paramétricas

Hiperboloide de dos hojas

Traza Plano e

Elipse Paralelo al plano

Hipérbola Paralelo al plano

Hipérbola Paralelo al plano

El eje del hiperboloide corresponde a

la variable cuyo coeficiente es

positivo. No hay traza en el plano

coordenado perpendicular a este eje

⟨ ⟩ [ ]

Cono elíptico

Traza Plano e

Elipse Paralelo al plano

Hipérbola Paralelo al plano

Hipérbola Paralelo al plano

El eje del cono corresponde a la

variable cuyo coeficiente es negativo.

Las trazas en los planos coordenados

paralelos a este eje son rectas que se

cortan.

⟨ ⟩ [ ]

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Superficie Ecuación Ecuaciones

Paramétricas

Paraboloide Elíptico

Traza Plano e

Elipse Paralelo al plano

Parábola Paralelo al plano

Parábola Paralelo al plano

El eje del paraboloide corresponde a

la variable elevada a la primera

potencia.

[

[ ]

Paraboloide hiperbólica

Traza Plano e

Hipérbola Paralelo al plano

Parábola Paralelo al plano

Parábola Paralelo al plano

El eje del paraboloide corresponde a

la variable elevada a la primera

potencia.

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

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ANEXO 1

“TRIGONOMETRÍA”

Resolución de un Triángulo - Rectángulo

Razones Trigonométricas

Resolución de un Triángulo – Oblicuángulo

Ley de Senos

Ley de Cosenos

Identidades fundamentales

Fórmulas de Adición

Fórmulas de Resta

Fórmulas para Ángulos Negativos

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Fórmulas de Doble Ángulo

Potencias

Fórmulas de Semiángulos

Fórmulas de Confusión

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Fórmulas de Producto a Suma

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Fórmulas de Suma a Producto

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

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ANEXO 2

“Funciones Hiperbólicas”

Razones Hiperbólicas

Identidades fundamentales

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ANEXO 3

“PLANO POLAR”

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Referencias

Arcos, Ismael. Geometría Analítica para Estudiantes de Ingeniería. 2a Edición. Editorial Kali.

Lehman, Charles H. Geometría Analítica. Editorial Limusa. 2004.

Anton, Howard. Cálculo y Geometría Analítica: Volumen II. Editorial Limusa. 1986.

Larson, Hostetle, Edward. Cálculo II de varias variables. 8a edición. Mc. Graw Hill. 2006.