FORMULARIO MATEMATICA

FORMULARIO DE MATEMATICA

Recopilado por: Fernando Guerrero, Alejandro Villacis † Página 1

Geometría Analítica

• Distancia entre dos puntos (trayectoria rectilínea)

1 2 2 1x x Eje horizontalΡ Ρ = − →

1 2 2 1y y Eje VerticalΡ Ρ = − →

• Puntos en una recta

1 2

1x rx

xr

+=+

1 2

2x x

x+= 1 22

3x x

x+=

Punto Medio. Punto de Trisección.

1 2

1y ry

yr

+=+

1 2

2y y

y+= 1 22

3y y

y+=

• Distancia entre dos puntos (trayectoria inclinada)

( ) ( )2 21 2 1 2 1 2x x y yΡ Ρ = − + −

• Pendiente

2 1

2 1

y ym

x x

−=−

• Ángulo entre dos rectas

1

mf mitg

mf miθ −=

+ ⋅ mf pendiente final=

mi pendiente inicial=



• Rectas Paralelas y Perpendiculares

1 2m m= 1 2 1m m las pendientes son inversamente negativas⋅ = →

• Ecuación de una recta Pendiente

0Ax By C Forma General+ + = → Am

B= −

- Ecuación Punto - Pendiente

1

1

y ym

x x

−=−

1 1( )m x x y y− = −

( )1 1y y m x x− = −

- Ecuación de la Recta dada su pendiente y su ordenada de origen.

( )0y b m x− = −

y b mx− =

y mx b= +



- Ecuación de la Recta dados dos puntos cualquiera

1 2

1 2

y ym

x x

−=−

( )1 21 1

1 2

y yy y x x

x x

−− = − −

- Ecuación Simétrica

( )00b

y a x aa

−− = −−

( )by x a

a= − −

ay bx ab= − +

bx ay ab

ab ab ab+ =

1x y

a b+ =



- Recta horizontal

y k=

0eje x y =

- Recta Vertical

x k=

0eje y x =

• Puntos del Triangulo

- Baricentro: Punto de intersección de las medianas de un triángulo.

1 2 3 1 2 3;3 3

x x x y y y+ + + +

- Ortocentro: Punto de intersección de las alturas de un triángulo.

- Incentro: Punto de intersección de las bisectrices de un triángulo.

El incentro es el centro de la circunferencia.

Los lados del triángulo son tangentes a la circunferencia inscrita.

Circuncentro: Punto de intersección de las mediatrices de un triángulo.

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.



• Recta de Euler

Baricentro

Circuncentro Recta de Euler. En un triángulo equilátero todos estos puntos

Ortocentro coinciden.

• Distancia de un punto a una recta.

( )1 1,P x y

1 12 2

Ax By Cd

A B

± + +=± +

• Distancia dirigida de una recta dada. • Radical: a) Si C ≠ O, r es de signo contrario a C.

1 12 2

Ax By Cd

A B

+ +=± +

b) Si C ≠ O y B ≠ O, r y B tienen el mismo signo

c) Si C = B = O, r y A tienen el mismo signo.

- Si la recta dada no pasa por el origen, d es positiva o negativa según el punto P y el origen estén en lados opuestos o del mismo lado de la recta.

La Circunferencia

• Ecuación de la Circunferencia.



( ) ( )( ) ( )

2 2

2 22

r x h y k

r x h y k

= − + −

= − + +

( ) ( )2 2 2x h y k r Forma Ordinaria− + + = →

• Forma general de la ecuación de la Circunferencia.

( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

2 2 2 2 22 2x y hx ky h k r O+ − − + + − =

2 2 2 2 22 2x y Dx Ey F O D h E h F h k r+ + + + = → = − = − = + −

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 22 2

4 4

x Dx y Ey F

D Ex Dx y Ey F

+ + + = −

+ + + = − + +

2 2 2 22 2 4

4 4 4D E D E F

x Dx y Ey + −+ + + + + =

2 2 2 2 42 2 4D E D E F

x y+ − + + + =

a) Si 2 2 4D E F O+ − > , la ecuación es una circunferencia con el centro en el punto

( )2, 2D E− − y un radio igual a 2 21 2 4 .D E F+ −



b) Si 2 2 4D E F O+ − = , la ecuación es con frecuencia la de una circunferencia con radio 0.

Sin embargo representa un solo punto de coordenadas ( )2, 2D E− − .

c) Si 2 2 4D E F O+ − < , la ecuación no representa ningún lugar geométrico.

• Ecuación de la Circunferencia dados tres puntos

La ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados no colineales

( )1 1 1,P x y , ( )2 2 2,P x y , ( )3 3 3,P x y viene dada por el determinante.

2 2

2 21 1 1 12 22 2 2 22 23 3 3 3

11

011

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

++

=++

La Parábola

• Parábola de vértice en el origen.

:Eje x :Eje y

( ),0F P ( )0,F P

Ecuación Directriz x P= − Ecuación Directriz y P= −

P derechaφ> P arribaφ>

P izquierdaφ< P abajoφ<



• Primer problema fundamental.

Gráfica de una ecuación: Tenemos la ecuación con las variables x e y, de la siguiente forma: f (x, y) = 0. Hay un número infinito de valores para x e y, que se toman como coordenadas.

- Definición 1

El Conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se llama gráfica de una ecuación, o bien, su lugar geométrico.

- Definición 2

Cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan a la ecuación, pertenecen a la gráfica de la ecuación. Las coordenadas de los puntos de un lugar geométrico están restringidas por su ecuación, dicho puntos están localizados en posiciones que forman un trazo indefinido llama-do curva gráfica o lugar geométrico.

+ Intercepciones con los ejes.

Llamaremos intercepciones de una curva con el eje x a la abscisa del punto de intercepción de la curva con el eje. La intercepción con el eje y es la ordenada del punto de intercepción de la curva con dicho eje. Para encontrar las intersecciones con el eje x, debemos darle a y el valor de 0; y para encontrar las intersecciones con el eje y, daremos el valor de 0 a x.

+ Simetría

Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta, si esta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio. La recta con respecto a la cual son simétricos los dos puntos…

a) Simetría con respecto al eje x.

Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable (y) es reemplazada por (-y); la curva es simétrica con respecto al eje x.

b) Simetría con respecto al eje y.

Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable (x) es reemplazada por (-x); la curva es simétrica con respecto al eje y.



c) Simetría con respecto al origen.

Si la ecuación de una curva no se altera al reemplazar las variables (x) y (y) por (-x) y (-y), res-pectivamente, la curva es simétrica respecto al origen.

+ Extensión de una curva

Con este término podemos expresar la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de (x) y (y) son valores reales.

1) Da la localización general de la curva en el plano coordenado.

2) Indica si la curva es cerrada o es de extensión indefinida.

Los intervalos para los cuales los valores de (x) y (y) son reales, se determina, simplemente, resolviendo una ecuación dada para (y), en términos de (x), y para (x) en términos de (y).

Despejar (x), analizar (y) Rango

Despejar (y), analizar (x) Dominio

Hay que ver que el discriminante sea >0 y que el denominador sea

• Asintotas

Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen. La distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tien-de a cero, dicha recta se llama asuntota a la curva. Esta definición implica dos cosas:



1) Una curva que tiene una asintota, no es cerrada o de extensión finita, sino que se extiende indefinidamente.

2) Una curva se aproxima a la asintota más y más a medida que se extiende más y más en el plano coordenado.

La Elipse

ć Punto medio del segmento FF=

ÁA Eje menor=

´VV Eje mayor=

Re ( )Eje normal cta y Perpendicular al eje focal=

Ćuerda BB=

´DD Diámetro=

´FP y F P Radios Vectores=

• Eje focal

( ),P x y Punto cualquiera de la elipse=

2 2

2 2 1 1rax yEcuación

a b+ = →

2 2ax b y

b= ± −

2 2ay a x

b= ± −



2 2 2b a c= − ( );V a o= ±

22bLado Recto

a= 2Eje mayor a=

( ),F c o= ± 2Eje menor b=

• Centro en el Origen. - Eje focal paralelo al eje x con centro (h, k)

( ) ( )2 2

2 2 1 2dax h y kEcuación Ordinaria

a b

− −+ = →

1 1

2 2 1x y

a b+ = 1x x h= −

1y y k= −

2Eje mayor a= 2 2 2a b c= +

2Eje menor b= a distancia del centro al vertice=

22bLado Recto

a= a r h= −

( ),V v k= ( ),F h c k+ ( )´ ,F h c k−

c distancia del centro al focal=



- Eje focal Eje y. Centro en el origen (0,0)

2 2

2 2 1 1rax yEcuación Ordinaria de la Elipse

b a+ = →

2 2bx a x

a= ± −

2bx

a= ±

2 2ay b x

b= ± −

( )0,F c= ±

2 2 2a b c= +

22bLado Recto

a=

2c a be

a a

−= =

( ), 0V a= ±

2Eje mayor a=

2Eje menor b=



- Eje focal paralelo al eje y Centro en (h,k)

12 12

2 2 1 1rax y

b a+ = →

( ) ( )2 2

2 2 1x b y k

b a

− −+ =

22bLado Recto

a=

( ),V h r=

1 ,x x h= − 1x x h= +

1 ,y y h= − 1y y h= +

2Eje mayor a=

2Eje menor b=

a distancia del centro al vertice=

( ),F h k c+ ( )´ ,F h k c−




La Hipérbola

• Eje focal Eje x. Centro en el origen.

2 2

2 2 1 1rax yEcuación

a b− = →

2 2by x a

a= ± −

2 2ax y b

b= ± −

2 2 2b c a= −

22b

Lado Rectoa

=

1c > ( ), 0F c= ±

´VV Eje transverso= ´EE Cuerda Focal= ( ), 0V a= ±

Eje y Eje normal= ´LL Lado Recto= 2Eje transverso a=

´AA Eje conjugado= ´DD Diámetro= 2Eje conjugado b=

´BB Cuerda= ´FP y F P Radios Vectores=

• Eje focal Paralelo al eje x. Centro (h, k)



12 12

2 2 1 2dax yEcuación

a b− = →

( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

a b

− −− =

2

2

2bLado Recto

a=

• Eje focal y Centro en el origen

2 2

2 2 1y x

a b− =

2

2

2bLado Recto

a=

• Eje focal paralelo al eje x. Centro (h, k)

12 12

2 2 1y x

a b− =

2

2

2bLado Recto

a=

a distancia del centro al vertice=


( ),F h c k+ ( )´ ,F h c k Eje focal paralelo al eje x− →

( )´ ,F h k c Eje focal paralelo al eje y− →

( ),F h k c+



Funciones y Límites

• Función

Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x en un conjunto, de-nominado dominio, un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos de denominan rango de la función.

• Funciones Par e Impar

- Función Par. – Función Impar

Si ( ) ( )f x f x− = ( ) ( )f x f x− = −

Es simétrica con respecto al eje y Es simétrica con respecto al origen

• Funciones especiales

- Función Valor Absoluto. – Función Máximo Entero.

El mayor entero que es menor o igual a x.

• Operaciones con Funciones

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +



( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = −

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x⋅ = ⋅

( ) ( )( )

f xfx

g g x

=

• Composición de funciones

Si f actúa sobre x para producir f(x) y luego g actúa sobre f(x) para producir g (f(x)), decimos que hemos compuesto (g) con (f). La función resultante, llamada composición de g con f, se denota Así:

(g o f)(x) = g(f(x))

• Límites

Decir que lim f(x) = L significa que cuando x está cerca, pero diferente de c, entonces f(x) está cerca de L

• Límites Unilaterales

Cuando la función da un salto (como lo hace II x II); entonces el límite no existe en los puntos

del salto. Para tales funciones, es natural introducir límites unilaterales. El símbolo x c+→

significa que x se aproxima a c por la derecha, y x c−→ significa que x se aproxima a c por la izquierda.

• Teorema A

( ) ( ) ( )lim , lim limx c x c x c

f x L si y solo si f x L y f x L− +→ → →

= = =



• Significado preciso del límite.

Decir que ( )limx c

f x L→

= significa que para cada 0∈> dada (no importa que tan pequeña)

existe una correspondencia 0,δ > tal que ( ) ,f x L− <∈ siempre que 0 ;x c δ< − < esto

es:

( )0 x c f x Lδ< − < − <∈

• Teoremas de Límites.

- Teorema A.

Sea n un entero positivo, k una constante y f y g funciones que tengan límites en c. Tenemos:

1. limx c→

K K=

2. limx c→

x c=

3. limx c→

( ) ( )limx c

Kf x K f x→

=

4. limx c→

( ) ( ) ( ) ( )lim limx c x c

f x g x f x g x→ →

+ = +

5. limx c→

( ) ( ) ( ) ( )lim limx c x c


− = −



6. limx c→

( ) ( ) ( ) ( )lim limx c x c


⋅ = ⋅

7. limx c→

( )( )

( )( ) ( )

lim, lim 0

limx c

x cx c

f xf xcon tal que g x

g x g x→

→→

= ≠

8. ( ) ( )lim limnn

x c x cf x f x

→ → =

9. ( ) ( ) ( )lim lim , lim 0n nx c x c x c

f x f x siempre que f x cuando n sea par→ → →

= >

- Teorema B

Teorema de sustitución.

Si f es una función polimonial o una función racional, entonces ( ) ( )limx c

f x f c→

= con tal que

( )f c esté definida. En el caso de una función racional, esto significa que el valor del denomi-

nador en c no sea cero.

- Teorema C

Teorema del emparedado.

Sean f, g y h funciones que satisfacen f para toda x cercana a c, excepto posiblemente en c. Si



La Derivada

• Los problemas con el mismo tema.

- Recta tangente.

La recta tangente o la curva y = f(x) en el punto P(c, f(c)) es aquella recta que pasa por P con pendiente

Siempre y cuando este límite exista y no sea

- Velocidad instantánea.

Si un objeto se mueve a lo largo de un de un eje coordenado con función de posición f(t), en-tonces su velocidad instantánea en el c es:

Siempre que el límite exista y no sea

- La Derivada

Una derivada de una función f es otra función f cuyo valor en cualquier número c es:



Siempre que el límite exista y no sea

• Reglas para encontrar derivadas.

- Teorema A

Regla para la función constante

Si f(x) = k, donde k es una constante, entonces para cualquier x, f(x) = o, esto es:

( ) 0Dx K =

- Teorema B.

Regla para la función identidad.

Si f(x) = k,

( ) 1Dx K =

- Teorema C.

Regla para la Potencia.

Si



( ) 1n nDx x nx −=

- Teorema D.

Regla del múltiplo constante

Si k es una constante y f es una función diferenciable, entonces

( )Dx K f x K Dx⋅ = ⋅ ( )f x

- Teorema E.

Regla para la suma.

Si f y g son funciones diferenciables, entonces

( ) ( )Dx f x g x Dx+ = ( )f x Dx+ ( )g x

En palabras la derivada de una suma es la suma de las derivadas.

- Teorema F.

Regla para la diferencia.




( ) ( )Dx f x g x Dx− = ( ) ( )f x D x− ( )g x

- Teorema G.

Regla para el producto.


Esto es,

( ) ( ) ( )Dx f x g x f x Dx= ( ) ( )g x g x Dx+ ( )f x

La derivada de un producto de dos funciones es la primera por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera.

- Teorema H.

Regla para el cociente.

Sean f y g funciones diferenciables, con. Entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

´ ´g x f x f x g xfx

g g x

− =



Es decir

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )2

f x g x Dxf x f x Dxg xDx

g x g x

−=

• Derivadas de Funciones Trigonométricas.

- Teorema A.

Las funciones ( ) ( )yf x sen x g x cos x= = son diferenciales. De hecho

- Teorema B

• La Regla de la Cadena

- Teorema A

Ecuaciones de Segundo Grado

• Forma

• Fórmula General



Logaritmos

• Definición

Es el número “x” al cual se le debe elevar una base “a” para N.

• Bases

10 10 1000x = …; 3x = → Logaritmo Vulgar (Log)

e 2,7182e = …; 5xe = → Logaritmo Neperiano (In)

• Notaciones

10 1000x = → Notación exponencial

Log1000 x= → Notación Logarítmica

3x =

5xe = 1,609 5e =

1,609 5e =

2,7182e =

• Propiedades de los logaritmos.

Son reglas generales para la solución de problemas que contengan logaritmos. Cada una puede ser demostrada y comprobada su validez.

1 El logaritmo de la base siempre es 1.



1nLog n = ( )1n n=

10 10 1Log =

2 El logaritmo de 1 siempre es 0, cualquiera que sea la base

1 0nLog = ( )0 1n =

3 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.

a a aLog N M Log N Log M⋅ = +

aLog M m= aLog N n=

ma M= na N=

m nN M a +⋅ =

aLog N M m n⋅ = +

a a aLog N M Log M Log N⋅ = +

4 El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el loga-ritmo del divisor.

a a a

MLog Log M Log N

N= −



aLog M m= aLog N n=

ma M= na N=

a

MLog m n

N= −

a a a

MLog Log M Log N

N= −

5 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia.

Ka aLog M K Log M=

aLog M m=

ma M=

( )Km Ka M=

Km Ka M=

KaLog M Km=

Ka aLog M K Log M=

6 El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radical dividido para el índice del radical.

1na aLog M Log M

n=

1 2nna aLog M Log M=

aLog M m=



11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

D a a a

a a a

=

ma M=

( )1 2 1 2nm na M=

1 2 1 2m n na M=

1 21 2 nm M=

1 21 2n nam Log M=

1na aLog M Log M

n=

• Ecuaciones con Logaritmos.

Son ecuaciones cuya incógnita está presente en el exponente de la misma.

Se resuelve aplicando las propiedades y leyes de los logaritmos.

Matrices

• Concepto.

Es un conjunto ordenado de números reales dispuestos en filas y columnas. Se denota con letras mayúsculas y se encierra entre paréntesis ( ) o entre corchetes [ ].

aij

i = fila j = columna



• Matriz Nula.

Es aquella cuyos elementos son cero.

0 00 0

E

=

E →Matriz Nula.

• Matriz Transpuesta.

Es aquella donde las filas se cambian por columnas.

3 2 58 1 2

Aπ

= −

32 85 1 2

A

π = −

• Igualdad de Matrices.

Dos matrices son iguales sí solo sí:

1. Tienen las mismas dimensiones. (igual número de filas y columnas)

2. Cada elemento aij tiene que ser igual.

• Suma y Reta de matrices.

- Suma de Matrices.

+ Para sumar dos o más matrices, estas deben tener las mismas dimensiones.



+ El resultado de la suma de dos matrices, es una matriz en la que cada elemento es la de los dos elementos de la misma fila y la misma columna.

+ La matriz resultante debe tener las mismas dimensiones que las matrices sumadas.

+ La suma de matrices tienen propiedad conmutativa.

+ La suma de matrices es asociativa.

+ Para una matriz A, la inversa aditiva es –A.

- Restas de Matrices.

+ Las matrices a restarse deben tener las mismas dimensiones.

+ Debemos tener en cuenta las leyes de los signos.

• Multiplicación de una matriz por un escalar.

Si k R∈ y A M∈ , entonces kA es una matriz en la que cada elemento es el producto de k y el elemento de A en el mismo reglón y la misma columna. Por tanto Ak KA=

• Multiplicación de Matrices.

Si A es una matriz m n× y B es una matriz m n× , entonces el producto AB es la matriz m n× cuyos elementos se obtienen en la forma siguiente: para evaluar el elemento del reglón i, columna i, se multiplican los elementos del reglón i de A por los respectivos elementos de la columna i de B y se suman los productos.

3 45 6

a b c

d e f

=3 4 3 4 3 35 6 5 6 5 6a d b e c f

a d b e c f

+ + + + + +



↓↓

1

d b

ad bc ad bcAc a

ad bc ad bc

−

− − −=

− − −

• Matriz Inversa Multiplicativa

Es la matriz que al multiplicarse por su original nos da como resultado la matriz identidad.

1 23 4

1 00 1

a b

c d

=

Matriz Matriz Matriz

Original inversa Identidad

(A) multiplicativa

• Resolución de Sistemas Ecuaciones mediante multiplicación de matrices.

1) 3 8x y− = A Z B⋅ = → Multiplica ambos lados de la igualdad por la matriz

2) 5 2 9x y+ = − inversa multiplicativa de ( )1A A− .

( )2 2× ( )2 1× ( )2 1×

1 35 2

−

89

x

y

= −

↓ ↓ ↓

A Z B



1

2 317 17

5 117 17

A−

= −

( )1 1A A Z B A− −⋅ ⋅ = ⋅

1I Z B A−⋅ = ⋅

1Z B A−= ⋅

Determinantes

• Concepto

Es un número real asociado a una matriz cuadrada.

Sdfs

• Propiedades de los determinantes

1) Si en una matriz se intercambian las filas y las columnas del determinante no se altera.

2) Si se multiplica los elementos de una fila o columna por una constante k; entonces el de-terminante queda también multiplicado por dicha constante.

3) Si B es una matriz que se obtiene reemplazando una fila (o columna) de B por la suma de él más un múltiplo de otra fila (o columna), entonces el determinante de A es igual al determi-nante de B.



4) Si dos filas (o columnas) de una matriz son idénticas, entonces su determinante es cero.

5) Si una fila (o columna) de una matriz es múltiplo de otra fila (o columna), entonces su de-terminante es cero.

6) Si una fila (o columna) de una matriz está formada por ceros, entonces el determinante es cero.

7) Si B es una matriz que se obtiene intercambiando dos de las filas de otra matriz A, entonces el determinante B es igual a menos determinante A.

• Métodos para hallar el determinante. - Método 1.

Regla de Cramer.

- Método 2.

Método de Sarros.

- Método 3.

Por elementos de una fila (menor complementario, cofactores)

Escojo la segunda fila porque contiene un cero.

Halla el cofactor de los elementos de la fila 2.

Vemos las coordenadas, si la suma es impar anteponemos el signo negativo.

- Método 4.

Por elementos de una columna (menor complementario, cofactores)



Realizamos el mismo procedimiento que en el método 3.

- Método 5.

Generación de ceros en una fila o columna.

Multiplico la columna 1 por (-3) y le sumo a la columna 2.

Multiplico la columna 1 por 2 y le sumo a la columna 3.

Progresiones

• Concepto

Es una serie de números que siguen cierto orden.

1) 2,4,6,8,10 … Progresión Aritmética.

2) 3,9, 27,81, 243 … Progresión Geométrica.

3) 1 1 1 1 1, , , ,2 4 6 8 10

… Progresión Armónica.

4) 0,1,1, 2,3,5,8,13, 21 … Progresiones Especiales.

• Progresiones Aritméticas



Progresión que se obtiene al sumar el término anterior con una constante.

Último término

Primer término

Números de términos a considerar

Razón o diferencia

- Calcular la suma de “n” términos

11

nrSn a

r

−=−

• Progresiones Geométricas

Progresiones que se obtienen al multiplicar el término anterior por una constante.

- Calcular la suma de “n” términos

• Progresión Armónica

Es la progresión reciproca de una progresión aritmética.

• Progresiones Especiales

Este tipo de progresiones siguen sus propias reglas.



Análisis Combinatorio

• Concepto

Es una rama de las matemáticas que estudia la forma en que puede combinarse elementos.

- Permutaciones

- Combinaciones

- Probabilidades

• Permutaciones

Dados n elementos, las permutaciones son el número de formas en que se pueden ordenarse esos ele-mentos. En general el número de permutaciones Pn es:

!Pn n=

• Variaciones

Cuando tenemos n elementos pero queremos realizar grupos con p elementos.

• Combinaciones

Si se dispone de n elementos, las



Teorema del Binomio

• Concepto.

El teorema del binomio permite resolver este tipo de expresiones:

( ) na b+

Podemos desarrollar este tipo de expresiones, para cualquier “n”, usando la fórmula llamada Teorema del Binomio.

• Propiedades de los binomios.

1) El primer término del desarrollo del binomio es siempre n (también el último).

( ) na b+ =

2) El segundo término es 1nna b−

3) Los exponentes del primer término disminuyen en 1 al pasar de un término al siguiente del desarrollo. En cambio con los exponentes del segundo término pasa lo contrario, pues aumen-ta de 1 en 1.

4) Al multiplicar el coeficiente de cualquier término, por el exponente de “a” en ese término, y dividimos el resultado para el número de posición de ese término. El resultado es el coeficien-te del término que le sigue en el desarrollo.



5) En cualquier término del desarrollo, si sumamos los exponentes de a y b, el resultado es “n”.

6) El desarrollo contiene siempre 1n + términos.

7) Los coeficientes de los términos equidistantes de los términos, son iguales

• Teorema del Binomio.

Las propiedades anteriores, que se verifican fácilmente en cada uno de los casos particulares considerados, sugieren la siguiente fórmula para calcular el valor natural de n:

El Triángulo de Pascal.

( )( )( )( )( )( )( )( )

0

1

2

3

4

5

6

7

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

+

+

+

+

+

+

+

+

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

Es una disposición de números que nos revela los coeficientes numéricos de cada término en el desarro-llo del binomio.



• Fórmulas para hallar un término general.

En ciertas operaciones en donde se aplica la matemática de los binomios, es necesario hallar un término del desarrollo, más no todo del desarrollo.

• Teorema del Binomio aplicado a exponentes fraccionarios y negativos.

…n también puede ser un número negativo o fraccionario (o los dos). Entonces cuando n es negativo o fraccionario, la fórmula del binomio se transforma en:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 3 11 1 2 1 2 ... 21 1

1! 2! 3! 1 !n rn n n n n n n n n rnx

x x x xr

−− − − − − − ++ = + + + +

−



Funciones Trigonométricas

• Definición de las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo

El triángulo ABC tiene un ángulo recto (90º) en C y lados de longitud a, b, c. Las funciones tri-gonométricas del ángulo A se define de la siguiente manera:

a cateto opuesto

Seno de A sen Ac hipotenusa

= = =

b cateto adyacente

Coseno de A cos Ac hipotenusa

= = =

a cateto opuesto

Tangente de A tan Ab cateto adyacente

= = =

a cateto adyacente

Cotangente de A cot A b cateto opuesto

= = =

c hipotenusa

Secante de A sec A b cateto adyacente

= = =

c hipotenusa

Cosecante de A csc A a cateto opuesto

= = =

• Tabla de Identidades

1) 1

Sen ACsc A

= 22) Csc A Ctg A Sec A= ⋅

2) Sen A Tan A Cos A= ⋅ 23) 2

22

Sec ACsc A

Tan A=



3) Cos A

Sen ACtg A

= 24) Ctg A

Csc ACsc A

=

4) Tan A

Sen ASec A

= 25) 2 21Sec A Tan A= +

5) 2 21Sen A Cos A= − 26) 1

Sec ACos A

=

6) 2 2Sen A Tan A Cos A= ⋅ 27) Sec A Tan A Csc A= ⋅

7) 2 21Cos A Sen A= − 28) 2 2Sec A Tan A Csc A= ⋅

8) 1

Cos ASec A

= 29) Csc A

Sec ACtg A

=

9) Cos A Ctg A Sen A= ⋅ 30) Tan A

Sec ASen A

=

10) Ctg A

Cos ACsc A

= 31) 2 2 1Ctg A Csc A= −

11) 2

2 2

1 11 Csc ACos A

Cos A Csc A

−= − = 32) 1

Ctg ATan A

=

12) Sen A

Cos ATan A

= 33) Ctg A Cos A Csc A= ⋅



13) 1

Tan ACtg A

= 34) Cos A

Ctg ASen A

=

14) Tan A Sen A Sec A= ⋅ 35) Csc A

Ctg ASec A

=

15) Sen A

Tan ACos A

= 36) 2 2 1Sen A Cos A+ =

16) Sec A

Tan ACsc A

= 37) 1Cos A Sec A⋅ =

17) 2 2 1Tan A Sec A= − 38) 1Sen A Csc A⋅ =

18) 2

11

Tan ACsc A

=−

39) 1Tan A Ctg A⋅ =

19) 2 2 1Tan Sec A= − 40) 2 2 1Sec A Tan A− =

20) 2 21Csc A Ctg A= + 41) 2 2 1Csc A Ctg A− =

21) 1

Csc ASen A

=



• Funciones de la suma y diferencia de dos ángulos

1) ( )Sen x y Sen x Cos y Cos x Sen y+ = +

2) ( )Sen x y Sen x Cos y Cos x Sen y− = −

3) ( )Cos x y Cos x Cos y Sen x Sen y+ = −

4) ( )Cos x y Cos x Cos y Sen x Sen y− = +

• Tangente y Cotangente de la suma y diferencia de dos ángulos

1) ( )1Tan x Tan y

Tan x yTan x Tan y

++ =−

2) ( )1Tan x Tan y

Tan x yTan x Tan y

−− =+

3) ( ) 1Ctg x Ctg yCtg x y

Ctg y Ctg x

⋅ −+ =+

4) ( ) 1Ctg x Ctg yCtg x y

Ctg y Ctg x

⋅ +− =−

• Funciones de ángulos dobles

1) ( )2 2Sen x Sen x Cos x=

2) ( ) 2 22Cos x Cos x Sen x= −

3) ( ) 22 1 2Cos x Sen x= −

4) ( ) 22 2 1Cos x Cos x= −



5) ( ) 2

221

Tan xTan x

Tan x=

−

• Funciones de ángulos mitad

1) 22 2A A

Sen A Sen Cos=

2) 2 2

2 2A A

Cos A Cos Sen= −

3) 2

2 21 2

Tan ATan A

Tan A=

−

4) 1

2 2A Cos A

Sen−= ±

5) 1

2 2A Cos A

Cos+= ±

6) 1

2 1A Cos A

TanCos A

−= ±+

7) 2 1A Sen A

TanCos A

=+

8) 1

2A Cos A

TanSen A

−=

• Ley del Seno

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

a b c

Sen A Sen B Sen C= =



• Ley del Coseno

En un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.

2 2 2 2a b c bc Cos A∗= + −

2 2 2 2b a c ac Cos B∗= + −

2 2 2 2c a b ab Cos C∗= + −

Despejando los cosenos

2 2 2

2b c a

Cos Abc

+ −=

2 2 2

2a c b

Cos Bac

+ −=

2 2 2

2a b c

Cos Cab

+ −=

• Ley de la Tangente

La suma de los lados de un triángulo es a su diferencia como la tangente de la mitad de la suma de los ángulos opuestos a estos lados es la tangente de la mitad de la diferencia de estos ángulos.

( )( )

( )( )

12

12

tan A Ba b

a b tan A B

++=

− −



( )( )

( )( )

12

12

tan C Ac a

c a tan C A

++=

− −

• Valores exactos de las funciones trigonométricas de algunos ángulos

( )( )

( )( )

12

12

tan B Cb c

b c tan B C

++=

− −



Ángulos A en grados

Ángulos A en radianes

Sen A

Cos A Tan A Cot A Sec A

Csc A

0 0 0 1 0 ∞ 1 ∞

1 5 12π ( )1 4 6 2− ( )1 4 6 2+ 2 3− 2 3+ 6 2− 6 2+

3 0 6π 1 2 1 2 3 1 3 3 3 2 3 3 2

4 5 4π 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2

60 3π 1 2 3 1 2 3 1 3 3 2 2 3 3

7 5 5 12π ( )1 4 6 2+ ( )1 4 6 2− 2 3+ 2 3− 6 2+ 6 2−

9 0 2π 1 0 ± ∞ 0 ± ∞ 1

105 7 12π ( )1 4 6 2+ ( )1 4 6 2− ( )2 3− + ( )2 3− − ( )6 2− + 6 2−

120 2 3π 1 2 3 1 2− 3− 1 3 3− 2− 2 3 3

135 3 4π 1 2 2 1 2 2− 1− 1− 2− 2

150 5 6π 1 2 1 3 3− 1 3 3− 3− 2 3 3− 2

165 11 12π ( )1 4 6 2− ( )1 4 6 2+ ( )2 3− − ( )2 3− + ( )6 2− − 6 2+

180 π 0 1− 0 ± ∞ 1− ± ∞

195 13 12π ( )1 4 6 2− − ( )1 4 6 2+ 2 3− 2 3+ ( )6 2− − ( )6 2− +

210 7 6π 1 2− 1 2 3− 1 3 3 3 2 3 3− 2−

225 5 4π 1 2 2− 1 2 2− 1 1 2− 2−

240 4 3π 1 3 3− 1 2− 3 1 3 3 2− 2 3 3−

255 17 12π ( )1 4 6 2− +

( )1 4 6 2− 2 3+ 2 3− ( )6 2− + ( )6 2− −



270 3 2π 1− 0 ± ∞ 0 ± ∞ 1−

285 19 12π

( )1 4 6 2− +

( )1 4 6 2− ( )2 3− + ( )2 3− − 6 2+ ( )6 2− −

300 5 3π 1 2 3− 1 2 3− 1 3 3− 2 2 3 3−

315 7 4π 1 2 2− 1 2 2 1− 1− 2 2−

330 11 6π 1 2− 1 2 3 1 3 3− 3− 2 3 3 2−

345 23 12π ( )1 4 6 2− − ( )1 4 6 2− +

( )2 3− − ( )2 3− +

6 2− ( )6 2− +

360 2π 0 1 0 ∞ 1 ± ∞



Fórmulas Geométricas

• Rectángulo de longitud b y anchura a

Área ab=

Perímetro 2 2a b= +

• Paralelogramo de altura h y base b

Área bh ab= =

Perímetro 2 2a b= +

• Triángulo de altura h y base b

Área1 12 2

bh ab= =

Área ( )( )( )s s a s b s c= − − − donde ( )12

s a b c= + +

Perímetro a b c= + +

• Trapecio de altura h y lados paralelos a y b

Área ( )12

h a b= +

Perímetro



• Polígono regular de n lados iguales de longitud

Área( )( )

2 2 cos1 1cot4 4

nnb nb

n sen n

πππ

= =

Perímetro nb=

• Círculo de Radio r

Área π= 2r

Circunferencia (perímetro) 2 rπ=

• Sector de un círculo de radio r

Área

Longitud del arco

• Radio de la circunferencia inscrita en un triángulo de lados a, b, c

( )( )( )s s a s b s cr

s

− − −=

Donde ( )12

s a b c= + + = semiperímetro

• Radio de la circunferencia circunscrita en un triángulo de lados a, b, c

( )( )( )4abc

Rs s a s b s c

=− − −



Donde ( )12

s a b c= + + = semiperímetro

• Polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio r

Áreaº

2 21 2 1 3602 2

nr sen nr senn n

π= =

Perímetro 2nπ= 2sen nrn

π =º180

senn

• Polígono regular de n lados circunscrito en una circunferencia de radio r

Áreaº

2 2 180tan tannr nrn n

π= =

Perímetroº1802 tan 2 tannr nr

n n

π= =

• Segmento de un círculo de radio r

Área de la zona sombreada 212

r=

• Elipse de semieje mayor a y semieje menor b

Área abπ=

Perímetro 2 2 204 1a k sen dπ θ θ= −

( )2 22 1 2 a bπ= + [Aproximadamente]



Donde 22 bk a a= −

• Segmento de Parábola

Área 28

ab=

Longitud del arco 2 2 2

2 21 4 16162 8

b a b aABC b a In

a b

+ += + +

• Paralelepípedo rectángulo de longitud a, altura b, anchura c

Volumen abc=

Área de la superficie ( )2 ab ac bc= + +

• Paralelepípedo con Área A de la sección transversal y h la altura

Volumen Ah abc= = sen θ

• Esfera de radio r

Volumen 343

rπ=

Área de la superficie 24 rπ=

• Cilindro circular recto de radio r y altura h



Volumen 2r hπ=

Área de la superficie lateral 2 rhπ=

• Cilindro circular de radio r y altura inclinada

Volumen

Área de la superficie lateral

• Cilindro de área A de sección transversal y altura inclinada

Volumen

Área de la superficie lateral

• Cono circular recto de radio r y altura h

Volumen 213

r hπ=

Área de la superficie lateral 2 2r r hπ= + = ( ) ( )22a b h b aπ= + + −

• Pirámide de área A de la base y altura h

Volumen13

Ah=

• Casquete esférico de radio r y altura h



Volumen (de la región sombreada) ( )21 33

h r hπ= −

Área de la superficie 2 rhπ=

• Tronco del cono circular recto de radios a, b y altura h

Volumen ( )2 213

h a ab bπ= + +

Área de la superficie lateral ( ) ( )22a b h b aπ= + + −

( )a bπ= +

FORMULARIO MATEMATICA

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