formulario - Universidad Veracruzana

[EGEL-IALI]

EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURAEN INGENIERÍA EN ALIMENTOS

Dirección General Adjunta de los EGEL

ABRIL • 2013

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EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURAEN INGENIERÍA EN ALIMENTOS

Dirección General Adjunta de los EGEL

ABRIL • 2013

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Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarán el Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería en alimentos (EGEL-IALI) y está vigente a partir de enero de 2013. El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido está sujeto a revisiones periódicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y críticas que hagan los miembros de las comunidades académicas de instituciones de educación superior de nuestro país, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del Consejo Técnico del examen. El Ceneval y el Consejo Técnico del EGEL-IALI agradecerán todos los comentarios que puedan enriquecer este material. Sírvase dirigirlos a:

Dirección General Adjunta de los EGEL Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. Altavista (poner nueva dirección)

Col. Guadalupe Inn Del. Álvaro Obregón

C.P. 01020 México, D.F. Tel: 01 (55) 5322-9200, ext. 5113

http://www.ceneval.edu.mx Email: [email protected]

D. R. 2013 Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. (Ceneval)

Directorio

Dirección General Mtro. Rafael Vidal Uribe

Dirección General Adjunta de los Exámenes

Generales para el Egreso de la Licenciatura (EGEL) Lic. Jorge Hernández Uralde

Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

M. en C. Laura Delgado Maldonado

Coordinación del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería en alimentos (EGEL-IALI)

Lic. Rafael Enrico Sánchez Mayorga

Consejo Técnico

Dra. Ruth Pedroza Islas Universidad Iberoamericana

Mtro. Juan Antonio Nevero Muñoz

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

Dra. Mayra Márquez González Universidad de Guadalajara

Dra. Tania García Herrera Universidad Veracruzana

Mtra. Beatriz Álvarez Mayorga Universidad Autónoma de Querétaro

I.A. Alicia de Anda Salazar

Universidad Autónoma de San Luis Potosí

Dra. Mirna Patricia Santiago Gómez Universidad Tecnológica de la Mixteca

D. en C. Q. Gabriela Sánchez Olguín

Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo

Dra. Myrna Alicia Abrajan Villaseñor Universidad Autónoma de Aguascalientes

Dra. María Leticia Calderón Fernández

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

Dr. Francisco Javier Barragán Vázquez Universidad de Colima

Dra. María Guadalupe Lucía Basurto Cadena

Universidad de Guanajuato

Mtro. Eduardo Perez Basurto Universidad Juárez Autónoma de Tabasco

M. en C. Virginia Pérez Flores

Universidad Autónoma de Yucatán

Mtro. Victor Manuel Moo Huchin Instituto Tecnológico Superior de Calkiní

Dr. Enrique Sauri Duch

Instituto Tecnológico de Mérida

Dra. Lilia Arely Prado Barragán Asociación Mexicana de Ciencias de los

Alimentos (AMECA)

M. en C. Francisco Javier Ramírez Castellanos

Colegio Mexicano de Ingenieros Bioquímicos

Contenido

Desarrollo de productos alimentarios ............................................................... 10

Distribuciones de muestreo ............................................................................................ 10

Estimaciones puntuales .................................................................................................. 10

Estimaciones de intervalo ............................................................................................... 10

Prueba de hipótesis (una muestra) ................................................................................. 11

Prueba de hipótesis (dos muestras) ............................................................................... 13

Pruebas para diferencias entre medias: tamaños de muestra pequeños ...................... 13

Prueba de diferencias entre medias con muestras dependientes .................................. 14

Pruebas para diferencias entre porciones: muestras grandes ....................................... 15

Ji cuadrada como prueba de interdependencia .............................................................. 15

Prueba de bondad de ajuste: distribución binomial, Poisson y normal .......................... 16

Análisis de varianza ........................................................................................................ 17

Inferencias acerca de la varianza de una población ....................................................... 18

Inferencias acerca de la varianza de dos poblaciones ................................................... 19

Regresión lineal .............................................................................................................. 19

Error estándar de la estimación y coeficiente de determinación .................................... 20

Operaciones unitarias para la conservación o transformación de los alimentos.............................................................................................................. 21

Tablas de equivalencia ................................................................................................... 21

Conversión ...................................................................................................................... 22

Constante R de la ley de los gases ................................................................................ 22

Aceleración normal de la gravedad ................................................................................ 22

Balance general de materia y energía ............................................................................ 23

Fracciones molares ........................................................................................................ 23

Intercambiadores de calor y evaporación ...................................................................... 23

Coeficiente de ensuciamientos típicos ........................................................................... 27

Valores típicos de los coeficientes de transferencia de calor globales en los intercambiadores de tubo y coraza ................................................................................. 27

Secado ............................................................................................................................ 28

Liofilización ..................................................................................................................... 31

Esterilización ................................................................................................................... 32

Enfriamiento .................................................................................................................... 33

Gráfica para determinar la temperatura en el centro de una esfera de conducción de calor en estado no estacionario. ..................................................................................... 34

Congelación .................................................................................................................... 35

Emulsificación ................................................................................................................. 39

Agitación y mezclado ...................................................................................................... 40

Valores de las constantes KL y KT para tanques que tienen cuatro deflectores, con anchura igual al 10% del diámetro del tanque ................................................................ 43

Mezclado de sólidos ....................................................................................................... 43

Presión osmótica ............................................................................................................ 45

Cristalización .................................................................................................................. 46

Filtración ......................................................................................................................... 47

Precipitación y sedimentación ........................................................................................ 47

Centrifugación ................................................................................................................. 48

Desplazamiento lineal de las partículas en flotación y sedimentación ........................... 49

Viscosidad cinemática .................................................................................................... 49

Estática de fluidos ........................................................................................................... 50

Diagrama de Moody ....................................................................................................... 51

Propiedades y comportamiento de los fluidos ................................................................ 52

Mecánica de fluidos ........................................................................................................ 52 Ecuación de estado para gases ideales ................................................................................... 53

Datos térmicos de algunos productos alimenticios ......................................................... 54

Capacidades caloríficas de alimentos (valores promedio de Cp a 273-373 K o 0-100 °C) ........................................................................................................................................ 55

Conductividades térmicas, densidades y viscosidades de alimentos ............................ 57

Diseño y operación de procesos alimentarios ................................................. 59

Balances de calor ........................................................................................................... 59

Transferencia de calor en estado estacionario ............................................................... 59

Conducción ..................................................................................................................... 59

Pared compuesta ............................................................................................................ 60

En tuberías ..................................................................................................................... 60

Convección ..................................................................................................................... 60

Convección Natural ........................................................................................................ 61

Convección Forzada ....................................................................................................... 62

Radiación ........................................................................................................................ 63

Transferencia de calor en estado no estacionario .......................................................... 63

Transferencia de masa ................................................................................................... 64

Difusividad ...................................................................................................................... 64

Mecánica de fluidos ........................................................................................................ 64

Estática ........................................................................................................................... 64

Dinámica ......................................................................................................................... 64

Formulación y evaluación de proyectos ......................................................................... 66

Presupuestos de ingresos .............................................................................................. 66

Presupuesto de utilidades .............................................................................................. 68

Rentabilidad .................................................................................................................... 69

Tasa mínima aceptable de rendimiento (TMAR) ............................................................ 69

Valor Presente Neto ....................................................................................................... 69

Indicadores financieros ................................................................................................... 69

Conducción en estado no estacionario; temperatura en el centro de una esfera, una lámina y un cilindro. ........................................................................................................ 70

Algunas propiedades del aire y el agua .......................................................................... 71

Tablas: Propiedades del agua saturada (líquido –vapor) ............................................... 72

Gráfica de rugosidad relativa .......................................................................................... 75

Gestión de la calidad alimentaria ....................................................................... 76

Tabla para determinar el NMP de microorganismos ...................................................... 76

Tabla para determinar el NMP de microorganismos ...................................................... 76

Tabla para control de procesos ...................................................................................... 78

Tabla de gráficos por atributos ....................................................................................... 79

Tabla de muestreo sencillo por límite del promedio de calidad final (LPCF) 2.0%......... 80

Tabla de Dodge-Romig de muestreo único para una tolerancia del porcentaje defectuoso en un lote (LTPD) = 2.5% ............................................................................. 81

Tabla de Dodge-Romig de muestreo único para una tolerancia del porcentaje defectuoso en un lote (LTPD) = 1.0% ............................................................................. 82

Tabla de Cálculo de los límites de control para las cartas X y S con tamaño de muestra variable ............................................................................................................. 83

Tabla. Tabla de distribución de probabilidad normal estándar ...................................... 85

Tabla de la carta de control de la fracción disconforme con tamaño de la muestra variable ........................................................................................................................... 86

Tabla de letras de código para el tamaño de la muestra (MIL,STD 105E) .................... 87

Tabla para la inspección normal - muestreo único (MIL,STD 105E) .............................. 88

Tabla para la inspección reducida - muestreo único (MIL,STD 105E), tabla II-C ........... 89

Curvas OC de la letra de código para el tamaño de la muestra K, (MIL,STD 105E) .... 90

Tabla de inspección de Dodge-Romig – planes de muestreo único para AOQL= 3.0% 91

Tabla de inspección de Dodge-Romig de muestreo único para una tolerancia del porcentaje defectuoso en un lote (LTPD) = 1.0% ........................................................... 92

Tabla de los factores para construir cartas de control para variables ............................ 93

Tabla de valores de cuartiles de la distribución t Student .............................................. 94

Tabla de valores cuartiles de la distribución Chi-cuadrada. ........................................... 95

Tabla de valores de cuartiles de la distribución F ........................................................... 96

Tabla de valores de la función de la distribución acumulativa binomial ....................... 102

Tabla de valores de la función de distribución de U P(U < Uo ); Uo s el argumento; n1 < n2; 3 < n2 < 10. ............................................................................................................. 107

Tabla de valores de la función de distribución de U P(U < Uo ); Uo s el argumento; n1 < n2; 3 < n2 < 10. Continuación 1 .................................................................................... 108

Tabla de valores de la función de distribución de U P (U < Uo); Uo s el argumento; n1 < n2; 3 < n2 < 10. Continuación 2 .................................................................................... 109

Tabla de valores de la función de distribución de U P(U < Uo ); Uo s el argumento; n1 < n2; 3 < n2 < 10. Continuación 3 ..................................................................................... 110

Tabla de valores de la función de distribución de U P(U < Uo ); Uo s el argumento; n1 < n2; 3 < n2 < 10. Continuación 4 .................................................................................... 111

Tabla de valores críticos de T en la prueba de rangos con signo de Wilcoxon: n = 5 (1 ) 50 .................................................................................................................................. 113

Tabla de valores de Δ * para determinar el número de replicaciones en un DCA ........ 114

Tabla de valores de K = α / s 1para β = 0.80 γ = 0.05 para pruebas de de una cola; 0.1 para pruebas de dos colas ........................................................................................... 119

Tabla de valores de cuartiles superiores de la distribución de la estadística Dn de Kolmogorov-Smirnov .................................................................................................... 121

Tabla de rangos significativos para la prueba del rango múltiple de Duncan............... 122

Tabla de puntos porcentuales del estadístico del rango studentizado ......................... 124

Tabla de valores críticos para la prueba de Dunnett para comparar tratamientos con un control. Continuación 1 ................................................................................................. 127

Gráfica de probabilidad de aceptación de la hipótesis ................................................. 130

10

Desarrollo de productos alimentarios

Distribuciones de muestreo

x

x

x

n

Xz

μ μσσ

μσ

=

=

−=

Si n/N≥.05, entonces 1x

N n

Nn

σσ −=−

Estimaciones puntuales

xix

n=

( )22

1i Xx

sn

−=

−

( )2

1Xix

ns−

−=

#exitos enla muestrap

n=

Estimaciones de intervalo

Para muestras grandes y σ conocida

/ 2 / 2 / 2,x x x

x z x z x zα α ασ σ σ ± = − +

Para muestras grandes y σ desconocida

x

s

ns = para poblaciones infinitas

1x

s N ns

Nn

−=−

para poblaciones finitas y n/N≥.05

11

/ 2 / 2 / 2,x x x

x z s x z s x z sα α α ± = − +

Para muestras pequeñas (n≤30) y σ desconocida

/ 2 / 2 / 2, tx x xx t s x t s x t sα α ± = − +

Para porciones y muestras grandes

p

pq

nσ =

/ 2 / 2 / 2,p p pp z p z p zα α ασ σ σ ± = − +

Determinación del tamaño de muestra en la estimación

2/ 2z

nk

α σ =

para medias

2/ 2

2

z pqn

kα=

para porciones

Prueba de hipótesis (una muestra) Prueba de hipótesis cuando se conoce σ. = −

• Prueba de 2 extremos: : = :µ ≠ No rechazar | | ≤ ⁄

• Prueba de 1 extremo (inferior) : ≥

12

:µ < No rechazar ≥

• Prueba de 1 extremo (superior) : ≤ :µ > No rechazar ≤

Prueba de hipótesis de porciones: muestras grandes = =

• Prueba de 2 extremos:

: = : ≠ No rechazar : | | ≤ ⁄

• Prueba de 1 extremo (inferior)

: ≥ : < No rechazar : ≥

• Prueba de 1 extremo (superior)

: ≤ : > No rechazar : ≤

Prueba de hipótesis de medias cuando no se conoce σ = − = √

• Prueba de 2 extremos : = : ≠ No rechazar si | | ≤ ∝⁄

• Prueba de 1 extremo (inferior)

13

: ≥ : > No rechazar ≥

• Prueba de un extremo (superior) : ≤ : > No rechazar H sit ≤ tα

Prueba de hipótesis (dos muestras) Diferencias entre medias: tamaños de muestras grandes

= + = + = ( )

• Prueba de 2 extremos : − = 0 : − ≠ 0 No rechazar H si | | ≤ ⁄

• Prueba de extremo inferior : − ≥ 0 : − < 0 No rechazar si | | ≥

• Prueba de extremo superior : − ≤ 0 : − > 0 No rechazar si ≤

Pruebas para diferencias entre medias: tamaños de muestra pequeños = ( − 1) + ( − 1)+ − 2 ; = 1 + 1 ; = ( − ) − ( − )

Buscar los valores t con + − 2 grados de libertad • Prueba de 2 extremos

14

: − = 0 : − ≠ 0 No rechazar si | | ≤ ⁄

• Prueba de extremo inferior : − ≥ 0 : − < 0 No rechazar si ≥

• Prueba de extremo superior : − ≤ 0 : − > 0 No rechazar si ≤

Prueba de diferencias entre medias con muestras dependientes =

= √

• Prueba de 2 extremos : = 0 : ≠ 0 No rechazar | | < ⁄ | | < ⁄

• Prueba de extremo inferior : ≥ 0 : < 0 No rechazar ≥ ≥ ∝

• Prueba de extremo superior : ≤ 0 : > 0

No rechazar ≤ ≤

15

Pruebas para diferencias entre porciones: muestras grandes =

= + = ( ) ( )

• Prueba de 2 extremos : − = 0 : − ≠ 0 No rechazar si | | ≤ ⁄

• Prueba de extremo inferior : − ≥ 0 : − < 0 No rechazar si ≥

• Prueba de extremo superior : − ≤ 0 : − > 0 No rechazar si z ≤ zα

Valor “p” De 2 extremos = 1 − 2 ( ) De 1 extremo = 0.5 − ( ) No rechazar Ho si p≥α

Ji cuadrada como prueba de interdependencia

0H : La variable de columna es independiente de la variable de fila.

0H : la variable de columna no es independiente de la variable de fila.

-Obtener la tabla de contingencia con las frecuencias observadas (fi). -Obtener la tabla de frecuencias esperadas (ei).

( )( )ij

Total de fila Total de columnae

n=

16

-Obtener

22

1 1

( )m nij ij

i j ij

f e

eχ

= =

−=

*Buscar 2αχ con (n-1)(m-1) grados de libertad y α nivel de significancia.

No rechazar H0 si 2 2

αχ χ≤

Prueba de bondad de ajuste: distribución binomial, Poisson y normal Ho: La población tiene una distribución (binomial, Poisson, o normal) de probabilidad. Ho: La población no tiene una distribución (binomial, Poisson o normal) de probabilidad. -Tomar una muestra aleatoria y asentar las frecuencias observadas (fi) -Calcular las frecuencias esperadas (ei)

-Calcular el estadístico

22 ( )i i

i

i i

f e

e

e p n

χ −=

=

.

-No rechazar Ho si 22

αχ χ≤ para α nivel de significación.

**Nota: para hacer una distribución binomial °L= k-r-1 donde r son las estimaciones puntuales utilizadas.

Distribución binomial ( ) r n rn rP r C p q −=

Distribución Poisson. ( )!

xeP x

x

λλ −

=

17

Análisis de varianza

Ho: 1 2 ....... kμ μ μ= =

Ho: No todas las medias µi son iguales.

-Calcular la varianza población dentro de las muestras = ( )2

1 1

jk j

j

n x x

k=

−

− donde:

1 1

jnk

ijj i

T

x

xn

= ==

xij= observación i de la muestra j nj: tamaño de la muestra j

k

T jj

n n= suma de los tamaños de la muestra.

-Calcular la varianza población dentro de las muestras 2

σ 2

2 1

( 1)k

j jj

T

n s

n kσ =

−=

−

donde:

( ) 2

2 11

jn

jj

jT

n s

sn k

=

−=

−

( )2

1

jn

ij ji

j

j

x xx

n=

−=

-Calcular el estadístico de prueba =

-No rechazar Ho= si F Fα≤

donde Fα se extrae de la distribución F con k-1 grados de libertad en el

numerador, y Tn k− en el denominador.

18

Inferencias acerca de la varianza de una población

( ) ( )2 22

2 21 / 2/ 2

1 1n s n s

αα

σχχ −

− −≤ ≤ intervalo de confianza para la varianza. Donde los

valores 2χ se basan en la distinción ji cuadrada con n-1 grados de libertad y

1 α− es el coeficiente de confianza. Prueba de Hipótesis

( )0

22

2

1

H

n sχ

σ−

=

-De dos extremos

220

22

:

:Ho

a Ho

H

H

σ σσ σ

=

≠

No rechazar Ho si 1 / 2

22 2/ 2α αχ χ χ− ≤ ≤

-De extremo inferior:

0

0

220

22

:

:H

a H

H

H

σ σ

σ σ

≥

<

No rechazar Ho si : 22

1 αχ χ −≥

-De extremo superior

0

0

220

22

:

:H

a H

H

H

σ σ

σ σ

≤

>

No rechazar Ho si : 22

1 αχ χ −≤

19

Inferencias acerca de la varianza de dos poblaciones

21

22

sF

s= 1 2

1 2

1( 1, 1,1 / 2)( 1, 1, / 2)

F n nF n n

αα

− − − =− −

/ 2F y Fα α

Se basan en la distribución F con 1 1n − grados de libertad en el

numerador y con 2 1n − grados en el denominador. -De dos extremos

2 20 1 2

2 21 2

:

:a

H

H

σ σσ σ

=

≠

No rechazar Ho si / 2F Fα≤

-De extremo superior

2 20 1 2

2 21 2

:

:a

H

H

σ σ

σ σ

≤

>

No rechazar Ho si F Fα≤

Regresión lineal

2 2

ˆ

XY

X

y a bx

xy nb

x n

a y bX

= +−

=−

= −

20

Error estándar de la estimación y coeficiente de determinación

Coeficiente de determinación Coeficiente de correlación L a estimación de ( )y x con un nivel de confianza

(con n-2 grados de libertad) es:

( )

( )( )

2

2

22

2

22

2 2

2

ˆ2

2ˆ

1

1

e

e

y ys

n

y a y b xys

n

y yr

y y

a y b xy nyr

y ny

r r

−=

−

− −=

−

−= −

−

+ −= −

−

=

( ) / 2ˆ ey x t sα±

21

Operaciones unitarias para la conservación o transformación de los alimentos

Tablas de equivalencia Longitud

m in ft mi 1 metro 1 39.37 3.281 6.214x10-4

1 pulgada 2.54x10-2 1 8.333x10-2 1.578x10-5

1 pie 0.3048 12 1 1.894x10-4

1 milla 1609 6.336x104 5280 1

Masa kg uma lb

1 kilogramo 1 6.022x1026 2.205 1 unidad de masa atómica 1.661x10-27 1 3.662x10-27

1 libra 0.4536 2.732x1026 1

Fuerza dina N lbf kgf

1 dina 1 10-5 2.248x10-6 1.020x10-6

1 newton 105 1 0.2248 0.1020 1 libra fuerza 4.448x105 4.448 1 0.4536 1 kilogramo fuerza 9.807x105 9.807 2.205 1

Presión

atm mm Hg Pa bar 1 atmósfera 1 760 1.013x105 1.013 1 mm Hg 1.316x10-3 1 133.3 1.333x10-3

1 pascal 9.869x10-6 7.501x10-3 1 10-5

1 bar 0.987 750.062 105 1

Energía, trabajo, calor Btu hp·h J cal kWh eV

1 Btu 1 3.929x10-4 1055 252 2.930x10-4 6.585x1021

1 hp∙h 2545 1 2.385x106 6.413x105 0.7457 1.676x1025

1 joule 9.481x10-4 3.725x10-7 1 0.2389 2.778x10-7 6.242x1018

1 caloría 3.969x10-3 1.560x10-6 4.186 1 1.163x10-6 2.613x1019

1 kWh 3413 1.341 3.600x106 8.600x105 1 2.247x1025

1 electronvolt 1.519x10-22 5.967x10-26 1.602x10-19 3.827x10-20 4.450x10-26 1

22

Conversión 1 slug = 32.174 lb = 14.5439 kg 1 ft3 = 0.0283 m3 = 28.3 L 1 atm = presión atmosférica

= 760 torr = 760 mm Hg = 1.013 bar = 10.33 mca (metros columna de agua) = 101.325 kPa = 14.7 lb/ft2 = 29.92 in Hg = 33.91 pca (pies columna de agua)

1 cP (centiPoise) = 10-2 P (Poise) 1 cP (centiPoise) = 10-5 Pa·s 1 ct (centistoke) = 10-2 st (stoke) 1 ct = 10-6 m2/s

Constante R de la ley de los gases Valor volumétrico Unidades

1.9872 1.9872 82.057 8314.34 82.057 x 10-3

8314.34 10.731 0.7302 1545.3 8314.34

cal g/g mol • K btu/mol lb • °R cm3 atm/mol g • K J/mol kg • K m3 • atm/kg mol • K kg • m2/s2 • kg mol • K ft3 • lbf/plug2 • mol lb • °R ft3 • atm/lb mol • °R ft • lbf/lb mol • °R m3 Pa/kg mol • K

Aceleración normal de la gravedad g = 9.80665 m/s2 g = 980.665 cm/s2 g = 32.174 ft/s2 gc = (factor de conversión gravitatorio) = 32.1740 lbm · ft/lbf · s

2 = 980.665 gm · cm/gf · s

2

23

Balance general de materia y energía Entradaporlasfronterasdelsistema − Salidaporlasfronterasdelsistema + generacióndentrodelsistema− Consumodentrodelsistema = Acumulacióndentrodelsistema

Fracciones molares ó = ó ( ) = ( ) ( )

Intercambiadores de calor y evaporación = Δ = Δ Δ = ( − ) − ( − ) ( − )/( − )

= −−

Y = T − TT − T

ΔT = F ΔT Donde: Q=velocidad de transferencia de calor m=masa Cp=capacidad calorífica a presión constante U=coeficiente total de transferencia de calor A=área de transferencia de calor ∆T=diferencia de temperaturas ∆ =media logarítmica de la diferencia de temperatura

=temperatura de entrada del fluido caliente =temperatura de salida del fluido caliente =temperatura de entrada del fluido frío =temperatura de salida del fluido frío

Z=relación adimensional para el cálculo del factor corrección Y=relación adimensional para el cálculo del factor corrección

24

∆ =diferencia de temperatura corregida =factor de corrección

Factor de corrección FT para la media logarítmica de las diferencias de temperaturas en intercambiadores de un paso por la coraza y dos pasos por los tubos (intercambiador 1-2)

Factor de corrección FT para la media logarítmica de las diferencias de temperaturas en intercambiadores de dos pasos por la coraza y cuatro pasos por los tubos (intercambiador 2-4)

25

Factor de corrección FT para la media logarítmica de las diferencias de temperatura para intercambiadores de flujo transversal [Z = (Thi – Tho)/(Tco - Tci)] Paso sencillo, fluido mezclado en la coraza, otro fluido no mezclado.

Factor de corrección FT para la media logarítmica de las diferencias de temperatura para intercambiadores de flujo transversal [Z = (Thi – Tho)/(Tco - Tci)] Paso sencillo, ambos fluidos no mezclados.

26

Eficiencia ε de un intercambiador de calor a contracorriente

Eficiencia ε de un intercambiador de calor de flujo en paralelo

27

Coeficiente de ensuciamientos típicos hd

(W/m2•K) hd

(btu/h•ft2•°F)

Agua destilada y de mar 11350 2000 Agua municipal 5680 1000 Agua fangosa 1900-2840 350-500 Gases 2840 500 Líquidos Volátiles 2840 500 Aceites vegetales y minerales 1990 350

Valores típicos de los coeficientes de transferencia de calor globales en los intercambiadores de tubo y coraza ( / • K) ( /ℎ • ft • °F) De agua a agua 1140-1700 200-300 De agua a solución salina 570-1140 100-200 De agua a líquidos orgánicos 570-1140 100-200 De agua a vapor de condensación 1420-2270 250-400 De agua a gasolina 340-570 60-100 De agua a gas de petróleo 140-340 25-60 De agua a aceite vegetal 110-285 20-50 De gas de petróleo a gasóleo 110-285 20-50 De vapor a agua hirviendo 1420-2270 250-400 De agua a aire (tubo con aletas) 110-230 20-40 De orgánicos ligeros a orgánicos ligeros 230-425 40-75 De orgánicos pesados a orgánicos pesados

55-230 10-40

28

Secado Gráfica de humedad para mezclas de aire y vapor de agua a una presión total de 101.325 kPa (760 mm de Hg).

(Tomado de R.E. Treybal, Mass-Transfer Operations, 3a. ed., Nueva York:McGraw-Hiii Book Company, 19X0. Reproducida con ouforizncibx.)

30

= 18.0228.97 −

= 18.0228.97 −

= 100

= 100

= 1.005 + 1.88 ( : / • ) = 0.24 + 0.45 ( é : / • °F) = (2.83 10 + 4.5683 10 ) ( : / = (2.83 10 + 4.5683 10 ) ( é : / ) =

Donde: aw = actividad de agua CS = calor húmedo en una mezcla de aire y vapor de agua H = humedad Hs = humedad de saturación HP = porcentaje de humedad HR = porcentaje de humedad relativa pA= presión parcial del vapor de agua en el aire

=presión de vapor del agua pura a la temperatura T px = presión de vapor de la sustancia x a la temperatura T P = presión total pA = presión parcial del vapor de agua en el aire a la temperatura establecida pAS = presión de vapor del agua pura a la temperatura establecida vH = volumen húmedo de una mezcla de aire y vapor de agua T = temperatura

31

Liofilización = ℎ( − ) =

∆− = 11ℎ + ∆

−

= 11 + RT∆´

−

= 4 ∆ 1− − − 2 + 2

Donde: q=flujo específico de calor h=coeficiente externo de transferencia de calor Te=temperatura externa del gas Ts=temperatura de la superficie del sólido seco Tf=temperatura del plano de sublimación o capa congelada k=conductividad térmica del sólido seco kg=coeficiente externo de transferencia de masa ∆L=espesor de la capa seca MA=peso molecular del agua NA=flujo específico del vapor de agua Pew=presión parcial del vapor de agua en la fase total externa del gas Pfw=presión parcial del vapor de agua en equilibrio con el plano congelado de sublimación R=velocidad de secado t=tiempo de secado entre los límites de t=0 cuando x1=1.0, y t=t cuando x2= x2 T=temperatura promedio en la capa seca D´=difusividad promedio efectiva en la capa seca Vs=volumen del material sólido ocupado inicialmente por una unidad de kg de agua. ∆ / =calor de sublimación ∆ =calor latente de sublimación del hielo

32

Esterilización = 122.303 = 12

= = • 10( )/ + • 10( )/ +…+ • 10( )/ ( é , ° ) = • 10( . )/ + • 10( . )/ + …+ • 10( . )/ ( , ° ) Curva de destrucción térmica: gráfica del tiempo de reducción decimal contra temperatura

Donde: D=tiempo para reducir el número de original de C. botulinum en 10-1

t=tiempo de muerte térmica k=velocidad de reacción a=constante empírica R=constante de los gases T=temperatura absoluta E=energía de activación t1, t2, tn=tiempo de cada periodo de calentamiento T1, T2, Tn=temperatura de cada periodo de calentamiento F0=tiempo en min a 250°F (121.1 °C) que producirá el mismo grado de esterilización que el proceso dado a la temperatura T, para el organismo Cl. botulinum z= cantidad de cambio de temperatura, en grados, que se necesita para que haya un cambio de diez veces en el valor de D.

33

Pasteurización = log = • 10( )/ Donde: T1=temperatura estándar de 150°F (62.8°C) T=temperatura del proceso real z= cantidad de cambio de temperatura, en grados, que se necesita para que haya un cambio de diez veces en el valor de D. N0=número original de organismos viables N= número de organismos viables en un tiempo dado

=tiempo de reducción decimal a la T1

Enfriamiento = ℎ ( − ) = ∆ = 1∑ ( ℎ é ) = ( ) = = = ℎ

Donde: Α=difusividad térmica Cp=capacidad calorífica ρ=densidad h=entalpía x=espesor del material a enfriar x1=x/2 m=masa λ=calor latente de congelación ki=conductividad térmica de cada componente k=conductividad térmica

=fracción volumétrica de cada componente

34

Gráfica para determinar la temperatura en el centro de una esfera de conducción de calor en estado no estacionario.

35

Congelación = ℎ ( − ) = ( − ) = − 2ℎ + 8 = − ℎ + ( é ) Donde: q=calor que sale en el tiempo t h=entalpía A=área superficial t=tiempo de congelación ρ=densidad del material que se está congelando λ=calor latente Ts=temperatura en la superficie del material que se va a congelar Tf=temperatura de congelación T1=temperatura del medio ambiente P= para una placa infinita, para una esfera, para un cilindro infinito

R= para una placa infinita, para una esfera, para un cilindro infinito

a=espesor de placa a congelar x=espesor de capa congelada k=conductividad térmica del material congelado h=coeficiente de transferencia de calor = −−

= ( ú ) = 1 = ℎ ( ú )

36

= ( ú ó ) =

Donde: H=coeficiente de transmisión de calor del medio refrigerante k1=conductividad térmica del alimento en estado líquido o no congelado Cp1=calor específico en estado líquido ρ1=densidad del alimento en estado líquido x1=distancia al centro térmico desde la superficie del alimento α1=conductividad térmica del alimento = − kW = 18.6 °C g/ gmol (Constante criogénica del agua) C = Masa del soluto (masa del soluto disuelto en 100 g de agua) M = Peso molecular del soluto TC = °C Si conocemos la humedad (H = 100*W) del producto podemos obtener C:

= ∗ W = H/100 Fracción de agua S = 1-W Fracción de sólidos Existen ecuaciones empíricas específicas para diferentes tipos de productos: Levy (1979) propone para TC en °C Vacuno = −3 1 − 1

Porcino = −0.9° Ovino = −0.75 − 1

Algunos valores experimentales Carnes y pescados: -1°C chicharos: -1.1 °C peras: -2.4 °C Zumo de naranja concentrado a 80 °Brix: -6 °C Zumo de manzana concentrado a 80 °Brix:-10 °C = 1 − 1

= 18(1 − )

37

G = W-E =

X: Fracción molar de agua NO congelada L: Calor latente de fusión del agua (6003 J/mol) R: Constante de los gases ideales (8.314 J/mol●K) T0: Temperatura de fusión del agua (273.15 K) T: Temperatura de almacenamiento E: fracción másica de agua NO congelada G: fracción de hielo en el producto y=proporción de agua congelada

= ( )( )( ó ℎ ) L = 335 J/kg y la temperatura se maneja en K (para la ecuación de Chen) ∆ = ( − ) + + ( − ) C+ = Calor específico del alimento sin congelar (kJ/kg●K) C- = Calor específico del alimento congelado (kJ/kg●K) y = Proporción de agua congelada L = 335 (kJ/kg) W = Fracción de agua en el alimento Ti = Temperatura inicial TC = Temperatura de inicio de congelación T = Temperatura de almacenamiento ∆ = ( − ) + ( − ) ( ó Levy) La ecuación de Levy es válida únicamente para la siguiente condición de la temperatura de almacenamiento (T): T < TC - 6°C k y n: constantes y dependen de cada tipo de alimento Para vacuno = 0.066 + 0.36 + 0.217 = 4.18(11.31 − 43.7 + 106.33 ) Para pescado = 0.116 + 0.19 + 0.6 = 4.18(6.58 − 38.6 + 101 )

38

= ( ∞) ∆ = = ( − ∞) 2ℎ + 8 ( )

= ( − ∞) ℎ + ( í ) =

= 4

Donde: A = Área x = a/2 a = espesor t = tiempo de congelación P y R dependen de la geometría del producto Por ejemplo para una esfera: P = 1/6 R = 1/24, para un cilindro: P = 1/4 R = 1/16 = 1+ 1ℎ ( ) h=coeficiente convectivo de transferencia de calor U=coeficiente global de transferencia de calor Donde: L es el espesor del empaque, y K es la conductividad del empaque.

39

Emulsificación

Ψ =

= = 6Ψ

= 6Ψ

= 21.6 . . . .(tamañomediodelasgotasaguasabajodeunaplacaconorificio) = 0.058(1 + 5.4 ) . (dispersióndeloslíquidosenturbinasestandarde6palas)

= . . donde: =

− = 6 ( − ) = (ecuacióndelafuerza lotanteneta) = 6( − /

= 6( − / (velocidadesbajasdelgas) , = 4.15 ( ) .. . / + 0.9(bajasretencionesdegas(Ψ < 0.15) , = = 0.194 . (Frdebeestarcomprendidoentre0.5y2.0) =

, = = 1.36 . (Frestácomprendidoentre0.5y1.0)

40

Donde: Ψ=fracción de volumen de fase dispersa existente en el sistema a=área interfacial por unidad de volumen Dp=diámetro de las burbujas o gotas. N=número de gotas o burbujas

=diámetro medio volumen-superficie o diámetro medio de Sauter. ρc=densidad de la fase líquida continua D = diámetro de la tubería Do = diámetro del orificio = velocidad media del líquido a través de la tubería μc = viscosidad de la fase continua f=factor de fricción=(D∆P)/(2ρcV L) Fb =fuerza flotante total Fg =fuerza de gravedad ρd =densidad de la fase dispersa Ds´= diámetro medio de las burbujas P=potencia V=velocidad resultante absoluta en el impulsor qg=flujo de gas en el punto de redispersión NQ,g=Número de flujo en el punto de redispersión del gas.

Agitación y mezclado

El consumo de potencia en tanques grandes puede predecirse exactamente a partir de las curvas de Np VS. NRe, tales como las que se presentan en las figuras siguientes. = = ( ) =

= = ( ) = ( lujoturbulento)

41

. = . . Δ. .

= 0.224 ( ) .( / ) . . Ψ / / (agitadoresdeturbina) = 0.06(1 + 9 ) . (dispersióndelíquidosconturbinasdeseispalas) = ( )/ =

= ( /4) = 4

Donde: NP=número de potencia Re =número Reynolds Fr= número de Froude n=velocidad de giro D=diámetro del rodete v=velocidad ρ=densidad μ=viscosidad KL, KT=constante para tanques nc= velocidad crítica del agitador Da= diámetro del agitador v = viscosidad cinemática Dp= tamaño medio de las partículas g = aceleración de la gravedad Δρ = diferencia de densidad ρ= densidad del fluido B= 100 x peso de sólido/peso de líquido S = constante

42

Número de potencia NP frente a NRe para turbinas de seis palas. Para la porción de trazos de la curva D, el valor de NP que se obtiene de la figura hay que multiplicarlo por NFr

Numero de potencia NP frente a NRe para rodetes de tres palas. Para las porciones de trazos de las curvas B, C y D, el valor de NP que se obtiene de la figura hay que multiplicarlo por NFr

43

Valores de las constantes KL y KT para tanques que tienen cuatro deflectores, con anchura igual al 10% del diámetro del tanque

Tipo de impulsor KL KT

Impulsor hélice, tres palas Paso 1.0 41 0.32 Paso 1.5 48 0.87 Turbina Disco de seis palas (S3=0.25, S4=0.2) 65 5.75 Seis palas inclinadas (45°, S4=0.2) --- 1.63 Cuatro palas inclinadas (45°, S4=0.2) 44.5 1.27 Paleta plana, dos palas (S2=0.2) 36.5 1.70 Impulsor HE3 43 0.28 Cinta helicoidal 52 --- Ancla 300 0.35 Hélice, paso cuadrado, tres palas 41.0 0.32 Paso de 2, tres palas 43.5 1.00 Turbina, seis palas planas 71.0 6.30 Seis palas curvas 70.0 4.80 Turbina de ventilador, 6 palas 70.0 1.65 Palas planas, dos palas 36.5 1.70 Turbina cerrada 6 palas curvas 97.2 1.08 Con estator, sin deflectores 172.5 1.12

Mezclado de sólidos = ∑ ( − )− 1 = ∑ − ∑− 1

= (1 − ) = = ( − 1) (1 − )∑ − ∑

= (1 − )

44

Donde: N=número de muestras puntuales Xi=fracción numérica de un componente en cada muestra

=valor promedio de las fracciones numéricas medidas =desviación estándar

m= fracción global de un componente en la mezcla. IP=índice de mezcla para pastas σe=desviación estándar teórica para una mezcla completamente al azar Aumento de escala en agitadores = / =

= 1

= = = V1= volumen del tanque original V2= volumen final del tanque deseado R=relación o razón de aumento de escala (adimensional) DT1= altura del líquido en el tanque original DT2= altura final del líquido en el tanque J1= grosor de la pared del tanque original J2= grosor de la pared final deseada W1= altura o anchura del agitador original W2= altura o anchura final del agitador N1= velocidad del agitador original N2= velocidad final del agitador

45

Presión osmótica = = − ln

∏ = presión osmótica c= concentración (kg/m3) T= temperatura (K) R= cte universal de los gases M = peso molecular Vm=volumen molar del liquido puro XA=fracción molar del líquido puro

46

Cristalización = ( − ´) = ( ´− ) = ( − ) = ∆

= − = ( − ) Donde: K=coeficiente total de transferencia ky=coeficiente normal de transferencia de masa ks=coeficiente de la reacción superficial yA=concentración de sobresaturación en términos de fracción mol de A y A´ =concentración en fracción mol de A en la superficie yAe=concentración de saturación

=velocidad en kg mol de A/s Ai=área de la superficie ΔL=crecimiento de longitud At=tiempo en horas G=velocidad de crecimiento D1, D2= dimensión lineal con respecto al tiempo t1, t2=tiempo

47

Filtración = 2 + = (−∆ ) = (−∆ ) Donde V= es el volumen total de filtrado t= tiempo Kp= constante de filtración (s/m6) Rm= resistencia del medio filtrante (m-1)

= viscosidad del líquido cs= concentración de sólidos (kg/m3)

=resistencia específica de la torta (m/kg) B=constante de filtración (s/m3) −∆ = cambio o caída de presión (N/m2)

Precipitación y sedimentación = 4 −3

= 24

vt= velocidad de precipitación libre (longitud/tiempo) g= aceleración de la gravedad Dp=diámetro de partícula (longitud)

=densidad de la partícula sólida (masa/volumen) = densidad del líquido (masa/volumen)

CD= coeficiente de resistencia al flujo (adimensional) = número de Reynolds

48

Centrifugación = 0.001118 (sistema internacional)

= 0.000341 (sistema inglés)

= fuerza centrífuga en términos de la fuerza de gravedad (gravedades)

r= radio (longitud) N= revoluciones por minuto de la centrífuga = 260

=velocidad angular (rad/s) = ( − ) V= volumen del tazón de la centrífuga b= altura del tazón de la centrífuga (m)

= radio 2 de la centrífuga (m) = radio 1 de la centrífuga (m)

= ( − )18 ln 2+ ( −

qc=velocidad de flujo (m3/s) =densidad de la partícula sólida (kg/m3)

= densidad del líquido (kg/m3) = viscosidad del líquido

Dpc=diámetro de la partícula que llega a la mitad de la distancia entre r1 y r2 (diámetro crítico)

=velocidad angular (rad/s)

49

Precipitación de partícula en una centrífuga de sedimentación de tazón tubular

Desplazamiento lineal de las partículas en flotación y sedimentación = ( ) (para flotación)

= ( ) (para sedimentación) V= velocidad de desplazamientos Dp = diámetro de la partícula

= viscosidad del líquido = densidad del líquido = densidad de la partícula

g= aceleración de la gravedad

Viscosidad cinemática v=viscosidad cinemática

= viscosidad del líquido = densidad del líquido

ρμν =

50

Estática de fluidos

γ = W

V

γ ρ= ⋅ =p h g h

Principio de Pascal

=f F

a A

γ = peso específico (N/m3)

W = peso (N)

V = volumen (m3) p = presión hidrostática (N/m2 o Pa) ρ = densidad (kg/m3) g = aceleración gravitacional (m/s2) h = altura (m) f = fuerza aplicada en el émbolo menor (N) a = área del émbolo menor (m2) F = fuerza obtenida en el émbolo mayor (N) A = área del émbolo mayor (m2)

Pérdidas de carga 2

régimen turbulento2f

L vh f

D g=

2

2

2

2

γ

γ

+ + =

= + + + − +

IN

F B T

OUT

p vZ

g

p vZ h h h

g

hf = pérdidas de carga (m)

f = coeficiente de fricción

D = diámetro de la tubería (m)

L = longitud de la tubería (m)

g = aceleración gravitacional (m/s2)

v = altura de velocidad (m/s)

Z = altura geodésica (m)

p = altura de presión (m)

hF = pérdidas hidráulicas por fricción en tuberías y accesorios (m)

hB = altura proporcionada por la bomba (m)

hT = altura absorbida por la turbina (m)

51

Diagrama de Moody

52

Propiedades y comportamiento de los fluidos Densidad absoluta para líquidos

ρ = m

V

a 4 °C:

32

kg1 000

mρ =H O

32

slug1.94

ftρ =H O

Viscosidad absoluta

μ τ= y

v

F dv

A dyτ μ= =

Viscosidad cinemática

μρ

=u

Presión

= Fp

A

ρ = densidad (kg/m3 ) m = masa del fluido (kg) V = volumen del fluido (m3) A = área (m2) v = velocidad (m/s) y = espesor (m) μ = viscosidad absoluta (Pa s) τ = esfuerzo cortante del fluido (Pa) u = viscosidad cinemática (m2/s) p = presión (N/m2 o Pa) F = fuerza (N)

Mecánica de fluidos 1 1 2 2=V A V A

• •

ρ=m V 3/4/=Ns n Q H

1/4 /=Ds DH Q 1 in H2O = 248.8 Pa HL = K(V/2g) P =QρgH

1 1 2 2=V A V A = ecuación de continuidad •

m = flujo de masa (kg/s) =Ns velocidad específica (m/s)

Q = caudal (m3/s) H = altura o carga hidráulica (m) (ft) n = revoluciones por minuto (rpm)

=Ds diámetro específico (m) HL = pérdida de energía (m) K = coeficiente de resistencia V = velocidad del fluido (m/s) g = gravedad (m/s2) P= potencia

Ct = np·dh Np = re·2+1

Ct = capacidad del tinaco np = número de personas

53

dh = dotación por habitante Np = número de personas re = recámaras

Cc = dt·rdt = Np·dh r = dt

Cc = capacidad de la cisterna dt = dotación total r = reserva rdt = reserva dotación total dh = dotación por habitante Np = número de personas re = recámaras

Sistema Inglés [ ](8.3 gal min ) / 33000= ⋅ ⋅HP H

Sistema Internacional (9.575 ) / 33000= ⋅ ⋅HP G H

gal/min = galones por minuto G = gasto (L/min) H = altura o carga hidráulica (m) (ft)

2(2.9727 ) / 231=C d L C = capacidad de la tubería (L)

((2500 ) / 13.9 )= ⋅ ⋅V H D L V = velocidad en tuberías (ft/s) D = diámetro de la tubería (in) H = carga de agua arriba del centro de la tubería

(ft) L = longitud de la tubería (in)

4= CmPu

TW

T = capacidad del tanque hidroneumático Cm = ciclos de trabajo de la bomba cada hora Pu = capacidad de la bomba en (L/min) W = abatimiento del agua del tanque en %

Ecuación de estado para gases ideales PV = n R T

P = presión del gas V = volumen del gas n = número de moles de gas R = constante universal de los gases ideales T = temperatura del gas

RM = 8 314.3 J/(kmol·K) vM = RM T RM = MR

M = masa molar Procesos en gases ideales

v = constante

54

Datos térmicos de algunos productos alimenticios Punto de

congelación Porcentaje

de agua

Calor especifico Calor latente de fusión

°F °C

Por encima de

congelación kcal/kg °C

Por debajo de congelación kcal/kg °C

Btu/lb kcal/kg

Frutas

Manzanas 28 -2 84 0.86 0.45 121 67

Plátanos 28 -2 75 0.8 0.42 110 61

Toronjas 28 -2 89 0.91 0.46 126 70

Melocotón 29 -2 87 0.9 0.46 124 69

Piña tropical 29 -2 85 0.88 0.45 122 68

Sandías 29 -2 92 0.97 0.48 132 73

Legumbres

Espárragos 30 -1 93 0.94 0.48 134 74

Judías verdes 30 -1 89 0.91 0.47 128 71

Col 31 -1 92 0.94 0.47 132 73

Zanahoria 30 -1 88 0.86 0.45 126 70

Maíz 29 -1 76 0.80 0.43 108 60

Guisantes 30 -1 74 0.79 0.42 106 59

Tomates 30 -1 95 0.95 0.48 134 74

Carne

Bacon 20 0.5 0.3 30 17

Vaca 29 -2 75 0.77 0.4 110 61

Pescado 28 -2 70 0.76 0.4 100 66

Cordero 28 -2 70 0.76 0.4 100 66

Puerco 28 -2 60 0.68 0.38 85 47

Ternera 29 -2 63 0.71 0.4 90 50

55

Capacidades caloríficas de alimentos (valores promedio de Cp a 273-373 K o 0-100 °C)

Material H2O

(% en peso) CP

(kJ/kg·K) Manzanas 75-85 3.73-4.02 Puré de manzana 4.02* Espárragos Frescos 93 3.94† Congelados 93 2.01‡ Tocino magro 51 3.43 Puré de plátano 3.66§ Carne de res 72 3.43 Pan blanco 44-45 2.72-2.85 Mantequilla 15 2.30¶ Melón 92.7 3.94† Zanahoria 88.2 3.81-3.94 Queso suizo 55 2.68† Maíz dulce Fresco 3.32† Congelado 1.77‡ Crema con 45-60% de grasa

57-73 3.06-3.27

Pepino 97 4.10 Huevos Frescos 3.18† Congelados 1.68‡ Yema de huevo 4.00 2.81 Bacalao Fresco 70 3.18 Congelado 70 1.72‡ Harina 12-13.5 1.80-1.88 Hielo 100 1.958II Helado Fresco 58-66 3.27† Congelado 58-66 1.88‡ Cordero 70 3.18* Macarrones 12.5-13.5 1.84-1.88 Leche de vaca Entera 87.5 3.85 Descremada 91 3.98-4.02 Aceite de oliva 2.01** Naranjas

56

Material H2O

(% en peso) CP

(kJ/kg·K) Frescas 87.2 3.77† Congeladas 87.2 1.93‡ Guisantes, secos 14 1.84 Guisantes verdes Frescos 74.3 3.31† Congelados 74.3 1.76‡ Sopa de guisantes 4.10 Ciruelas 75-78 3.52 Cerdo Fresco 60 2.85† Congelado 60 1.34‡ Papas 75 3.52 Aves Frescas 74 3.31† Congeladas 74 1.55‡ Sardinas 57.4 3.01 Salchichas alemanas Frescas 60 3.60† Congeladas 60 2.35† Alubias Frescas 88.9 3.81† Congeladas 88.9 1.97† Tomates 95 3.98† Ternera 63 3.22 Agua 100 4.185** *32.8 °C ¶4.4 °C. † Por encima del punto de congelación. II-20 °C. ‡ Por debajo del punto de congelación ** 20 °C. § 24.4 °C

57

Conductividades térmicas, densidades y viscosidades de alimentos

Material H2O (%en peso)

Temperatura(K)

k (W/m·k)

P (kg/m3)

µ [(Pa·s)103,

o cP ] Jugo de manzana 87.4 293.2 0.559 Puré de manzana 295.7 0.692 Manzana 85.6 275.2-309.2 0.393 Carne de res, magra 78.8 308.2 0.458 Carne de res, con grasa

0.19

Mantequilla 15 277.6 0.197 998 Melón 0.571 Huevo Clara 309.2 0.577 Yema 306.2 0.338 Pescado Fresco 273.2 0.431 Congelado 263.2 1.22 Harina de trigo 8.8 0.450 Miel 12.6 275.4 0.50 Hielo 100 273.2 2.25 100 253.2 2.42 Cordero 71 278.8 0.415 Leche Entera 293.2 1 030 2.12 Descremada 274.7 0.538 298.2 1 041 1.4 Aceite Hígado de bacalao

298.2 924

Maíz 288.2 921 Olivo 293.2 0.168 919 84 Cacahuate 277.1 0.168 Frijol de soya 303.2 919 40 Naranjas 61.2 303.5 0.431 Peras 281.9 0.595 Carne de puerco magra

Fresca 74 275.4 0.460 Congelada 258.2 1.109 Papas Crudas 0.554 Congeladas 260.4 1.09 977 Salmón Fresco 67 277.1 0.50

58

Material H2O (%en peso)

Temperatura(K)

k (W/m·k)

P (kg/m3)

µ [(Pa·s)103,

o cP ] Congelado 67 248.2 1.30 Solución sacarosa 80 294.3 1 073 1.92 Pavo Fresco 74 276.0 0.502 Congelado 248.2 1.675 Ternera Fresca 75 335.4 0.485 Congelada 75 263.6 1.30 Agua 100 293.2 0.602 100 273.2 0.569

59

Diseño y operación de procesos alimentarios

Balances de calor = ∆

Q = cantidad de calor (kJ) m = masa de producto (kg) Cp = calor específico (kJ/kg °C) ∆T = diferencia de temperatura (°C)

=

Q = cantidad de calor (kJ) λ = calor latente de cambio de estado o diferencia de entalpías) (kJ/kg) = masa de vapor (kg)

Cp = ( (1 ° ) + (0.2 ° )

Cp = calor específico (kJ/kg °C) Y = fracción masa de agua X = fracción masa de sólidos

Eficiencia térmica

=í óí x 100

Potencia = Potencia (kW) Q = cantidad de calor (kJ) t = tiempo (s)

Transferencia de calor en estado estacionario

Conducción Pared simple

= q = velocidad de transferencia de calor (kJ/s) k = conductividad térmica (kJ/s●m●°C) x = espesor de la pared (m) A = área de transferencia de calor (m2) ∆T = diferencia de temperatura (°C)

60

Pared compuesta = ∆ q = velocidad de transferencia de calor (kJ/s) U = coeficiente global de transferencia de calor (kJ/s●m2●°C) A = área de transferencia de calor (m2) ∆T = diferencia de temperatura (°C)

= 1+ +…+ U = coeficiente global de transferencia de calor (kJ/s●m2●°C) k = conductividad térmica (kJ/s●m●°C) x = espesor (m)

En tuberías = 2 ln( )⁄

q = velocidad de transferencia de calor (kJ/s) k = conductividad térmica (kJ/s●m●°C) ro= radio externo del tubo (m) ri= radio interno del tubo (m) L = longitud del tubo (m) ∆T = diferencia de temperatura (°C)

Convección = ℎ ∆ q = velocidad de transferencia de calor (kJ/s) hc = coeficiente de transferencia de calor por convección (kJ/s●m2●°C) A = área de transferencia de calor (m2) ∆T = diferencia de temperatura (°C)

=ℎ Nu = Número de Nusselt hc = coeficiente de transferencia de calor por convección (kJ/s●m2●°C) D = Diámetro (m) (en algunos casos puede sustituirse por la longitud) k = conductividad térmica (kJ/s●m●°C)

Pr =

Pr = Número de Prandt Cp = calor específico (kJ/kg °C) µ = viscosidad (Pa●s) k = conductividad térmica (kJ/s●m●°C)

61

= ∆

= 1+2

Gr = Número de Grashof D = Diámetro (m) (en algunos casos puede sustituirse por la longitud) δ = densidad (kg/m3) g =aceleración por la gravedad (9.81 m/s2) β = coeficiente de expansión térmica (1/°K) ∆T = diferencia de temperatura (°C) µ = viscosidad (Pa●s)

Nota: los valores de k, µ, δ se buscan en tablas a temperatura promedio entre la fuente y el receptor.

Convección Natural Superficies planas y cilindros verticales = 0.53( × ) . para 104 <

(Pr x Gr) <109 = 0.12( × ) . para 109 <

(Pr x Gr) <1012

Si el fluido es aire: ℎ = 1.3(∆ / ) . para 104 < (Pr

x G ) <109 ℎ = 1.8(∆ / ) . para 109 < (Pr

x Gr) <1012

Nu = Número de Nusselt Pr = Número de Prandt Gr = Número de Grashof hc = coeficiente de transferencia de calor por convección (kJ/s●m2●°C) L = longitud (m)

Cilindros horizontales = 0.54( × ) . para 103 <

(Pr x Gr )<109

Si el fluido es aire: ℎ = 1.3(∆ / ) . para 104 < (Pr

x G ) < 109 ℎ = 1.8(∆ / ) . para 109 < (Pr

x Gr) <1012

Nu = Número de Nusselt Pr = Número de Prandt Gr = Número de Grashof hc = coeficiente de transferencia de calor por convección (kJ/s●m2 °C) L = longitud (m)

62

Convección Forzada Diferencia moderada de temperaturas y flujo laminar = 4 Flujo turbulento = 0.023 . . para Re > 2100 y Pr > 0.5 = 0.027( )⁄ . . . para Re > 10000 Para gases = 0.02 .

Nu = Número de Nusselt Re= Número de Reynolds Pr = Número de Prandt µ = viscosidad del fluido (Pa●s) Pa●s = kg/ms µs= viscosidad superficial (Pa●s); viscosidad del fluido a la temperatura de la tubería

Superficies planas = 0.036 . . para Re > 2 x 104

Para aire ℎ = 5.7 + 3.9 ; para v < 5 m/s ℎ = 7.4 . ; para 5 < v < 30 m/s

Nu = Número de Nusselt Re= Número de Reynolds Pr = Número de Prandt hc = coeficiente de transferencia de calor por convección (kJ/s●m2●°C) v= velocidad del aire(m/s)

Exterior de tubos = 0.26 . . para Re > 200 = 0.86 . . para 1 < Re < 200

Nu = Número de Nusselt Re= Número de Reynolds Pr = Número de Prandt

63

Radiación = ( − ) q= velocidad de transferencia de calor (kJ/s) A= área de transmisión de calor (m2) ε = emisividad

σ= cte Stefan-Boltzman (5.73 x 10-8 J/m2●s●K4) T1= Temperatura del emisor (K) T2= Temperatura del receptor (K)

Transferencia de calor en estado no estacionario =ℎ

Bi= Número de Biot hc = coeficiente de transferencia de calor por convección (kJ/s●m2 °C) d= dimensión media característica (diámetro/2 o longitud/2) (m) k =conductividad térmica (kJ/s●m●°C)

Cuando Bi< 0.2 = ℎ −−

Cuando Bi> 0.2 Relacionar en gráfica:

versus =

t= tiempo (s) m= masa del producto (kg) Cp = calor específico del producto (kJ/kg●°C) hc = coeficiente de transferencia de calor por convección (kJ/s●m2●°C) A= área (m2) Tc= temperatura del fluido que calienta o enfría (°C) T1= temperatura inicial del producto (°C) T2= temperatura final del producto (°C) d= dimensión media característica (diámetro/2 o longitud/2) (m) Fo= Número de Fourier k =conductividad térmica (kJ/s●m●°C)

64

Transferencia de masa

Difusividad Ley de Fick ∙ = −

∙ = Flujo molar del componente A en la

dirección z (kgmol/s●m2) DAB= difusividad másica de la molécula A en B (m2/s)

CA= Concentración de A (kg●mol/m3) z= distancia de difusión (m)

Mecánica de fluidos

Estática = ℎ

P= presión (Pa) δ= densidad (kg/m3) h= altura del fluido (m) g= aceleración por la gravedad (9.81 m/s2)

Pabs= Patm + Pman

Pabs-vacío= Patm - Pman-vacío

Pabs = Presión absoluta (kPa)

Patm = Presión atmosférica (kPa)

Pman = Presión manométrica (kPa)

Dinámica Ecuación de continuidad = Fluidos incompresibles =

δ1= densidad del fluido (kg/m3)en el punto 1 δ2= densidad del fluido (kg/m3)en el punto 2 A1= área (m2) en el punto 1 A2= área (m2) en el punto 2 v1 = velocidad (m/s) en el punto 1 v2 = velocidad (m/s) en el punto 2

Ecuación de Bernoulli Sin fricción ni energía mecánica ℎ + 2 + = ℎ + 2 + Considerando energía mecánica y de fricción ℎ + 2 + + = ℎ + 2 + +

h= altura del fluido (m) g= aceleración por la gravedad (9.81 m/s2) v= velocidad (m/s) P= presión (Pa) δ= densidad (kg/m3) (1)= en el punto 1 (2) = en el punto 2 = Energía mecánica (kJ/kg) = Energía de fricción (kJ/kg)

∆P = caída de presión debido a la fricción (Pa)

65

= ∆

Ecuación de Torricelli (Tubo Pitot) = √2 ℎ

h= altura del fluido (m) g= aceleración por la gravedad (9.81 m/s2) v= velocidad (m/s)

Tubo Venturi = 11 − ( )⁄ 2( − )

v= velocidad (m/s) P= presión (Pa) δ= densidad (kg/m3) D = diámetro (m) (1)= en el punto 1 (2) = en el punto 2

Potencia de una bomba Potencia = ×

Potencia (hp) E = Energía mecánica (kJ/kg) m = flujo másico (kg/s) = =

= flujo másico (kg/s) δ= densidad (kg/m3)

= flujo volumétrico (m3/s) A = área transversal ( ) (m2) v= velocidad (m/s)

Energía de fricción (Ecuación de Fanning-D’Arcy) = 2

= Energía de fricción (kJ/kg)

f= factor de fricción v= velocidad (m/s) D = diámetro de tubería (m) L = longitud de tubería (m)

Factor de fricción Flujo laminar = 64

Flujo turbulento Consultar Diagrama de Moody Re versus Rugosidad Relativa (“relative roughness”)

Rugosidad Relativa = ∈

(se obtiene de gráfica de acuerdo al tipo de material y diámetro de tubería)

f= factor de fricción Re = Número de Reynolds

ε = aspereza del material D = diámetro Rugosidad relativa (adimensional)

66

Formulación y evaluación de proyectos

Inversión total = Inversión fija + Capital de trabajo

Capital de trabajo= Activo circulante – Pasivo circulante Activo circulante = suma de: Inventario de materias primas Inventario de producto en proceso Inventario de producto terminado Cuentas por cobrar Efectivo en caja Pasivo circulante = cuentas por pagar

Costo unitario de manufactura = ó

Inventario de materia prima= (consumo mensual) (costo de materia prima)

Inventario de producto en proceso = (producción mensual) (costo unitario)

Inventario de producto terminado = (producción mensual) (costo unitario)

Cuentas por cobrar = (producción mensual) (precio de venta)

Efectivo en caja = (producción mensual) (costo unitario)

Cuentas por pagar = (producción mensual) (costo unitario)

Presupuestos de ingresos

Ingresos = (volumen de producción) (precio de venta)

67

Presupuesto de egresos = suma de: Costos variables de operación

Cargos fijos de inversión

Cargos fijos de operación Costos fijos

Gastos generales Costos variables de operación = suma de:

a) Materias primas

b) Mano de obra directa

c) Personal de supervisión inmediato (mano de obra indirecta)

d) Servicios auxiliares

e) Mantenimiento y reparación

f) Suministros de operación

Cargos fijos de inversión= suma de:

a) Depreciaciones y amortizaciones

b) Impuestos sobre la propiedad

c) Seguros sobre la planta

Cargos fijos de operación= se estima en base a un porcentaje (30-60%) del costo total de mano de obra Gastos generales = suma de:

a) Gastos administrativos

b) Gastos de distribución y venta

c) Gastos de investigación y desarrollo

d) Gastos financieros

Gastos a,b,c, se estiman como un porcentaje de los ingresos

Gastos financieros= Pago de intereses de los créditos

68

Presupuesto de utilidades Utilidad Bruta = Presupuesto de ingresos – Presupuesto de egresos

Utilidad Neta = Utilidad bruta – Impuestos + reparto de utilidades Punto de equilibrio

Punto de equilibrio= Volumen de producción (tal que los ingresos son iguales a los egresos) = −

VP= Volumen de producción CF= Costos fijos PV= Precio de venta CU= Costo unitario

69

Rentabilidad =

Tasa mínima aceptable de rendimiento (TMAR) TMAR = índice inflacionario + premio al riesgo

Valor Presente Neto VPN = F(1 − i)

Cuando VPN = 0, i es igual a la

TIR

VPN = Valor presente neto

t = Periodo o ejercicio fiscal

F = Flujo neto de efectivo

i = Tasa supuesta (%)

Indicadores financieros =

á = −

ó =

á =

70

Conducción en estado no estacionario; temperatura en el centro de una esfera, una lámina y un cilindro.

71

Algunas propiedades del aire y el agua

Temperatura Conductividad térmica Viscosidad Calor específico Densidad

°F °C BTU/ft●h●°F kcal/m●h●°C lb/ft●h cP Btu/lb●°F

kcal/kg●°C lb/ft g/L

Aire

-100 -73 0.0109 0.0162 0.0328 0.0136 0.238 0.110 1.760 -18 0.0133 0.0198 0.0400 0.0165 0.239 0.086 1.3632 0 0.0140 0.0208 0.0420 0.0173 0.240 0.081 1.29

100 38 0.0154 0.023 0.0462 0.0191 0.240 0.071 1.14200 93 0.0174 0.026 0.0520 0.0215 0.241 0.060 0.96300 149 0.0193 0.029 0.058 0.024 0.243 0.052 0.83400 204 0.0212 0.0315 0.066 0.026 0.245 0.046 0.74

Agua

32 0 0.33 0.49 4.54 1.87 1.01 62 1.0 40 4 0.33 0.49 3.70 1.53 1.01 62 1.0 60 16 0.34 0.51 2.74 1.16 1.00 62 1.0 80 27 0.35 0.52 2.10 0.87 1.00 62 1.0

100 38 0.36 0.54 1.64 0.68 1.00 62 0.99150 66 0.38 0.57 1.05 0.43 1.00 61 0.98200 93 0.39 0.58 0.73 0.30 1.00 60 0.96

72

Tablas: Propiedades del agua saturada (líquido –vapor)

73

Fuente: Foust/Wenzel/Clump/Maus/Andersen. Principios de Operaciones Unitarias. Rugosidad relativa en función del diámetro para tubos de varios materiales( 1 plg=25.4)

74

Dimensiones del tubo convencional de acero* (Norma ASA B36.10-1975) (1in =25.4; 1 in2 = 564.16 mm2; 1 ft = 0.3048 m; 1 ft2 = 0.0929 m2).

Tamaño nominal Diámetro Número Espesor Diámetro

Área de sección

Área seccional

Circunferencia pies o superficie ft²/ft de

longitud del tubo (in) externo (in) de cédula de pared (in) interno (in) transversal interna, de metal ft²

(in²) Externa Interna

⅛ 0.405 40 0.068| 0.269 0.072 0.0004 0.106 0.0705 80 0.095 0.215 0.093 0.00025 0.106 0.0563

¼ 0.54 40 0.088 0.364 0.125 0.00072 0.141 0.0954 80 0.119 0.302 0.157 0.0005 0.141 0.0792

⅜ 0.675 40 0.091 0.493 0.167 0.00133 0.177 0.1293 80 0.126 0.423 0.217 0.00098 0.177 0.111

½ 0.84 40 0.109 0.622 0.25 0.00211 0.22 0.163 80 0.147 0.546 0.32 0.00163 0.22 0.143

¾ 1.05 40 0.113 0.824 0.333 0.00371 0.275 0.2158 80 0.154 0.742 0.433 0.003 0.275 0.1942

1 1.315 40 0.133 1.049 0.494 0.006 0.344 0.2745 80 0.179 0.957 0.639 0.00499 0.344 0.2505

1¼ 1.66 40 0.14 1.38 0.669 0.0104 0.435 0.362 80 0.191 1.278 0.881 0.00891 0.435 0.335

1½ 1.9 40 0.145 1.61 0.799 0.01414 0.498 0.422 80 0.2 1.5 1.068 0.01225 0.498 0.393

2 2.375 40 0.154 2.067 1.075 0.0233 0.622 0.542 80 0.218 1.939 1.477 0.0205 0.622 0.508

2½ 2.875 40 0.203 2.469 1.704 0.03322 0.753 0.647 80 0.276 2.323 2.254 0.02942 0.753 0.609

3 3.5 40 0.216 3.068 2.228 0.0513 0.917 0.804 80 0.3 2.9 3.016 0.04587 0.917 0.76

3½ 4 40 0.226 3.548 2.68 0.0687 1.047 0.93 80 0.318 3.364 3.678 0.0617 1.047 0.882

4 4.5 40 0.237 4.026 3.173 0.0884 1.178 1.055 80 0.337 3.826 4.407 0.07986 1.178 1.002

5 5.563 40 0.258 5.047 4.304 0.139 1.456 1.322 80 0.375 4.813 6.112 0.1263 1.456 1.263

6 6.625 40 0.28 6.065 5.584 0.2006 1.734 1.59 80 0.432 5.761 8.405 0.181 1.734 1.51

8 8.625 40 0.322 7.981 8.396 0.3474 2.258 2.09 80 0.5 7.625 12.76 0.3171 2.258 2

10 10.75 40 0.365 10.02 11.9 0.5475 2.814 2.62 80 0.593 9.564 18.92 0.4989 2.814 2.503

12 12.75 40 0.406 11.938 15.77 0.7773 3.338 3.13 80 0.687 11.376 26.03 0.7058 3.338 2.98

75

Gráfica de rugosidad relativa

76

Gestión de la calidad alimentaria

Tabla para determinar el NMP de microorganismos Para 3 tubos, cada uno con 0.1, 0.01 y 0.001 g de inóculo, los NMP por gramo y con intervalos de confidencia de 95 por ciento.

Tubos posit.

NMP/g

Lim.Conf. Tubos posit.

NMP/g

Lim.Conf.

0.1 0.01 0.001 Bajo alto 0.1 0.01 0.001 Bajo Alto

0 0 0 <3.0 -- 9.5 2 2 0 21 4.5 42

0 0 1 3 0.15 9.6 2 2 1 28 8.7 94

0 1 0 3 0.15 11 2 2 2 35 8.7 94

0 1 1 6.1 1.2 18 2 3 0 29 8.7 94

0 2 0 6.2 1.2 18 2 3 1 36 8.7 94

0 3 0 9.4 3.6 38 3 0 0 23 4.6 94

1 0 0 3.6 0.17 18 3 0 1 38 8.7 110

1 0 1 7.2 1.3 18 3 0 2 64 17 180

1 0 2 11 3.6 38 3 1 0 43 9 180

1 1 0 7.4 1.3 20 3 1 1 75 17 200

1 1 1 11 3.6 38 3 1 2 120 37 420

1 2 0 11 3.6 42 3 1 3 160 40 420

1 2 1 15 4.5 42 3 2 0 93 18 420

1 3 0 16 4.5 42 3 2 1 150 37 420

2 0 0 9.2 1.4 38 3 2 2 210 40 430

2 0 1 14 3.6 42 3 2 3 290 90 1,000

2 0 2 20 4.5 42 3 3 0 240 42 1,000

2 1 0 15 3.7 42 3 3 1 460 90 2,000

2 1 1 20 4.5 42 3 3 2 1100 180 4,100

2 1 2 27 8.7 94 3 3 3 >1100 420 --

Tabla para determinar el NMP de microorganismos Para 5 tubos, cada uno con 0.1, 0.01 y 0.001 g de inóculo, los NMP por gramo y con intervalos de confidencia de 95%.

77

Tubos posit. NMP/g

Lím. conf. Tubos posit NMP/g

Lím. conf. 0.1 0.01 0.001 Bajo Alto 0.1 0.01 0.001 Bajo Alto 0 0 0 <1.8 -- 6.8 4 0 2 21 6.8 40 0 0 1 1.8 0.09 6.8 4 0 3 25 9.8 70 0 1 0 1.8 0.09 6.9 4 1 0 17 6 40 0 1 1 3.6 0.7 10 4 1 1 21 6.8 42 0 2 0 3.7 0.7 10 4 1 2 26 9.8 70 0 2 1 5.5 1.8 15 4 1 3 31 10 70 0 3 0 5.6 1.8 15 4 2 0 22 6.8 50 1 0 0 2 0.1 10 4 2 1 26 9.8 70 1 0 1 4 0.7 10 4 2 2 32 10 70 1 0 2 6 1.8 15 4 2 3 38 14 100 1 1 0 4 0.7 12 4 3 0 27 9.9 70 1 1 1 6.1 1.8 15 4 3 1 33 10 70 1 1 2 8.1 3.4 22 4 3 2 39 14 100 1 2 0 6.1 1.8 15 4 4 0 34 14 100 1 2 1 8.2 3.4 22 4 4 1 40 14 100 1 3 0 8.3 3.4 22 4 4 2 47 15 120 1 3 1 10 3.5 22 4 5 0 41 14 100 1 4 0 11 3.5 22 4 5 1 48 15 120 2 0 0 4.5 0.79 15 5 0 0 23 6.8 70 2 0 1 6.8 1.8 15 5 0 1 31 10 70 2 0 2 9.1 3.4 22 5 0 2 43 14 100 2 1 0 6.8 1.8 17 5 0 3 58 22 150 2 1 1 9.2 3.4 22 5 1 0 33 10 100 2 1 2 12 4.1 26 5 1 1 46 14 120 2 2 0 9.3 3.4 22 5 1 2 63 22 150 2 2 1 12 4.1 26 5 1 3 84 34 220 2 2 2 14 5.9 36 5 2 0 49 15 150 2 3 0 12 4.1 26 5 2 1 70 22 170 2 3 1 14 5.9 36 5 2 2 94 34 230 2 4 0 15 5.9 36 5 2 3 120 36 250 3 0 0 7.8 2.1 22 5 2 4 150 58 400 3 0 1 11 3.5 23 5 3 0 79 22 220 3 0 2 13 5.6 35 5 3 1 110 34 250 3 1 0 11 3.5 26 5 3 2 140 52 400 3 1 1 14 5.6 36 5 3 3 180 70 400 3 1 2 17 6 36 5 3 4 210 70 400 3 2 0 14 5.7 36 5 4 0 130 36 400 3 2 1 17 6.8 40 5 4 1 170 58 400 3 2 2 20 6.8 40 5 4 2 220 70 440 3 3 0 17 6.8 40 5 4 3 280 100 710 3 3 1 21 6.8 40 5 4 4 350 100 710 3 3 2 24 9.8 70 5 4 5 430 150 1,100 3 4 0 21 6.8 40 5 5 0 240 70 710 3 4 1 24 9.8 70 5 5 1 350 100 1100 3 5 0 25 9.8 70 5 5 2 540 150 1700 4 0 0 13 4.1 35 5 5 3 920 220 2600 4 0 1 17 5.9 36 5 5 4 1600 400 4600

5 5 5 >1600 700 --

78

Tabla para control de procesos

Límites para el control de procesos

Con valores específicos y σ

conocidos Sin valores específicosµ y σ

desconocidos

Tipo LCC LSC LIC LCC LSC LIC

X y R Subgrupos reducidos

Para medias: µ

Para rangos: D2 σ

µ + A σ

D2 σ

µ - Aσ

D1 σ

x

R

2x A R+

D4 R

2x A R−

D3 R

X y S Subgrupos reducidos

Para medias: µ

Para desv. estándar: c3 σ

µ + A σ

B6 σ

µ - A σ

B5 σ

x

S

3x A S+

B4 S

3x A S−

B3 S

X y S Subgrupos grandes

Para medias: µ

Para desv. estándar: σ

3n

σμ +

32n

σσ +

3n

σμ −

32n

σσ −

x

S

S

x 3n

+

SS 3

2n+

Sx 3

n−

SS 3

2n−

LSC: Límite superior de control LIC: Límite inferior de control LCC: Límite central de control

79

Tabla de gráficos por atributos

Gráficos por atributos

Tipo LCC LSC LIC Proporción defectuosa 1. Con una especificación dada P´ p´ (1 p´ )

P ' 3n

−+ p´ (1 p´ )

P ' 3n

−−

2. Sin especificación P p(1 p)P 3

n

−+ p(1 p)

P 3n

−−

Número de elementos defectuosos 3. Con una especificación dada n P´ n P ' 3 n p´ (1 p´ )+ − n P ' 3 n p´ (1 p´ )− −

4. Sin especificación n P n P 3 np(1 p)+ − n P 3 np(1 p)− −

Número de defectos 5. Con una especificación dada C´ C' 3 C+ C ' 3 C´−

6. Sin especificación C C 3 C+ C 3 C− Número de defectos por unidad 7. Con una especificación dada C '

n C' 3

C'n n

+

C ' 3

C'n n

−

8. Sin especificación C

n C 3

Cn n

+

C 3C

n n

−

Gráfico de deméritos D 2 2 21 1 2 2 k k

D 3 W C W C . . .W C+ + + 2 2 21 1 2 2 k k

D 3 W C W C . . .W C− + +

80

Tabla de muestreo sencillo por límite del promedio de calidad final (LPCF) 2.0% TABLA DE MUESTREO SENCILLO POR LÍMITE DEL PROMEDIO DE CALIDAD FINAL (LPCF) = 2.0%

Tamaño de lote

Promedio del proceso Promedio del proceso Promedio del proceso Promedio del proceso Promedio del proceso Promedio del proceso

0 a 0.04% 0.05 a 0.40% 0.41 a 0.80% 0.81 a 1.20% 1.21 a 1.60% 1.61 a 2.00%

n c Pt % n c Pt % n c Pt % n c Pt % n c Pt % n c Pt %

1-15 Todas 0 … Todas 0 … Todas 0 … Todas 0 … Todas 0 … Todas 0 …

16-50 14 0 13.6 14 0 13.6 14 0 13.6 14 0 13.6 14 0 13.6 14 0 13.6

51-100 16 0 12.4 16 0 12.4 16 0 12.4 16 0 12.4 16 0 12.4 16 0 12.4

101-20O 17 0 12.2 17 0 12.2 17 0 12.2 17 0 12.2 35 1 10.5 35 1 10.5

201-300 17 0 12.3 17 0 12.3 17 0 12.3 37 1 10.2 37 1 10.2 37 1 10.2

301-400 18 Q 11.8 18 0 11.8 38 1 10.0 38 1 10.0 38 1 10.0 60 2 8.5

401-500 18 0 11.9 18 0 11.9 39 1 9.8 39 1 9.8 60 2 8.6 60 2 8.6

501-600 18 0 11.9 18 0 11.9 39 1 9.8 39 1 9.8 60 2 8.6 60 2 8.6

601-800 18 0 11.9 40 1 9.6 40 1 9.6 65 2 8.0 65 2 8.0 85 3 7.5

801-1000 18 0 12.0 40 1 9.6 40 1 9.6 65 2 8.1 65 2 8.1 90 3 7.4

1001-2000 18 0 12.0 41 1 9.4 65 2 8.2 65 2 8.2 95 3 7.0 120 4 6.5

2001-3000 18 0 12.0 41 1 9.4 65 2 8.2 95 3 7.0 120 4 6.5 180 6 5.8

3001-4000 18 0 12.0 42 1 9.3 65 2 8.2 95 3 7.0 155 5 6.0 210 7 5.5

4001-5000 18 0 12.0 42 1 9.3 70 2 7.5 125 4 6.4 155 5 6.0 245 8 5.3

5001-7000 18 0 12.0 42 1 9.3 95 3 7.0 125 4 6.4 185 6 5.6 280 9 5.1

7001-10 000 42 1 9.3 70 2 7.5 95 3 7.0 155 5 6.0 220 7 5.4 350 11 4.8

10 001-20 000 42 1 9.3 70 2 7.6 95 3 7.0 190 6 5.6 290 9 4.9 460 14 4.4

20 001-50 000 42 1 9.3 70 2 7.6 125 4 6.4 220 7 5.4 395 12 4.5 720 21 3.9

50 001-100 000 42 1 9.3 95 3 7.0 160 5 5.9 290 9 4.9 505 15 4.2 955 27 3.7

81

Tabla de Dodge-Romig de muestreo único para una tolerancia del porcentaje defectuoso en un lote (LTPD) = 2.5%

Tamaño de lote

Promedio del proceso






0 a 0.05% 0.06 a 0.50% 0.51 a 1.00% 1.01 a 1.50% 1.51 a 2.00% 2.01 a 2.50% n c Pr% n c Pr% n c Pr% n c Pr% n c Pr% n c Pr%

1-10 Todas … Todas 0 … Todas 0 … Todas 0 … Todas 0 … Todas 0 … 11-50 11 0 17.6 11 0 17.6 11 0 17.6 11 0 17.6 11 0 17.6 11 0 17.6

51-100 13 0 15.3 13 0 15.6 13 0 15.3 13 0 15.3 13 0 15.3 13 0 15.3 101-200 14 0 14.7 14 0 14.7 14 0 14.7 29 1 12.9 29 1 12.9 29 1 12.9 201-300 14 0 14.9 14 0 14.9 30 1 12.7 30 1 12.7 30 1 12.7 30 1 12.7 301-400 14 0 15.0 14 0 15.0 31 1 12.3 31 1 12.3 31 1 12.3 48 2 10.7 401-500 14 0 15.0 14 0 15.0 32 1 12.0 32 1 12.0 49 2 10.6 49 2 10.6 501-600 14 0 15.1 32 1 12.0 32 1 12.0 50 2 10.4 50 2 10.4 70 3 9.3 601-800 14 0 15.1 32 1 12.0 32 1 12.0 50 2 10.5 50 2 10.5 70 3 9.4

801-1000 15 0 14.2 33 1 11.7 33 1 11.7 50 2 10.6 70 3 9.4 90 4 8.5 1001-2000 15 0 14.2 33 1 11.7 55 2 9.3 75 3 8.8 95 4 8.0 120 5 7.6 2001-3000 15 0 14.2 33 1 11.8 55 2 9.4 75 3 8.8 120 5 7.6 145 6 7.2 3001-4000 15 0 14.3 33 1 11.8 55 2 9.5 100 4 7.9 125 5 7.4 195 8 6.6 4001-5000 15 0 14.3 33 1 11.8 75 3 8.9 100 4 7.9 150 6 7.0 225 9 6.3 5001-7000 33 1 11.8 55 2 9.7 75 3 8.9 125 5 7.4 175 7 6.7 250 10 6.1

7001-10 000 34 1 11.4 55 2 9.7 75 3 8.9 125 5 7.4 200 8 6.4 310 12 5.8 10 001-20 000 34 1 11.4 55 2 9.7 100 4 8.0 150 6 7.0 260 10 6.0 425 16 5.3 20 001-50 000 34 1 11.4 55 2 9.7 100 4 8.0 180 7 6.7 345 13 5.5 640 23 4.8

50 001-100 34 1 11.4 80 3 8.4 125 5 7.4 235 9 6.1 435 16 5.2 800 28 4.5 n = tamaño de muestra; c = número de aceptación. Todos = indica que todas las piezas del lote se deben de inspeccionar. Pr= porcentaje de defectuosos tolerable en el lote con un riesgo del consumidor (Pc) de 0.10

82

Tabla de Dodge-Romig de muestreo único para una tolerancia del porcentaje defectuoso en un lote (LTPD) = 1.0%

Tamaño de lote Promedio del procesoPromedio del procesoPromedio del procesoPromedio del procesoPromedio del procesoPromedio del proceso

0 a 0.05% 0.06 a 0.50% 0.51 a 1.00% 1.01 a 1.50% 1.51 a 2.00% 2.01 a 2.50% n c Pr% n c Pr% n c Pr% n c Pr% n c Pr% n c Pr%

1-10 Todas … Todas 0 … Todas 0 … Todas 0 … Todas 0 … Todas 0 …

11-50 11 0 17.6 11 0 17.6 11 0 17.6 11 0 17.6 11 0 17.6 11 0 17.6

51-100 13 0 15.3 13 0 15.6 13 0 15.3 13 0 15.3 13 0 15.3 13 0 15.3

101-200 14 0 14.7 14 0 14.7 14 0 14.7 29 1 12.9 29 1 12.9 29 1 12.9

201-300 14 0 14.9 14 0 14.9 30 1 12.7 30 1 12.7 30 1 12.7 30 1 12.7

301-400 14 0 15.0 14 0 15.0 31 1 12.3 31 1 12.3 31 1 12.3 48 2 10.7

401-500 14 0 15.0 14 0 15.0 32 1 12.0 32 1 12.0 49 2 10.6 49 2 10.6

501-600 14 0 15.1 32 1 12.0 32 1 12.0 50 2 10.4 50 2 10.4 70 3 9.3

601-800 14 0 15.1 32 1 12.0 32 1 12.0 50 2 10.5 50 2 10.5 70 3 9.4

801-1000 15 0 14.2 33 1 11.7 33 1 11.7 50 2 10.6 70 3 9.4 90 4 8.5

1001-2000 15 0 14.2 33 1 11.7 55 2 9.3 75 3 8.8 95 4 8.0 120 5 7.6

2001-3000 15 0 14.2 33 1 11.8 55 2 9.4 75 3 8.8 120 5 7.6 145 6 7.2

3001-4000 15 0 14.3 33 1 11.8 55 2 9.5 100 4 7.9 125 5 7.4 195 8 6.6

4001-5000 15 0 14.3 33 1 11.8 75 3 8.9 100 4 7.9 150 6 7.0 225 9 6.3

5001-7000 33 1 11.8 55 2 9.7 75 3 8.9 125 5 7.4 175 7 6.7 250 10 6.1

7001-10 000 34 1 11.4 55 2 9.7 75 3 8.9 125 5 7.4 200 8 6.4 310 12 5.8

10 001- 20 000 34 1 11.4 55 2 9.7 100 4 8.0 150 6 7.0 260 10 6.0 425 16 5.3

20 001-50 000 34 1 11.4 55 2 9.7 100 4 8.0 180 7 6.7 345 13 5.5 640 23 4.8

50 001-100 000 34 1 11.4 80 3 8.4 125 5 7.4 235 9 6.1 435 16 5.2 800 28 4.5

n = tamaño de muestra; c = número de aceptación. Todos = indica que todas las piezas del lote se deben de inspeccionar. Pr= porcentaje de defectuosos tolerable en el lote con un riesgo del consumidor (Pc) de 0.10

83

Tabla de Cálculo de los límites de control para las cartas X y S con tamaño de muestra variable Carta Carta S

Muestra n

S A3 LCL UCL B3 B4 LCL UCL 1 5 74010 0.0148 1.427 73.987 74.015 0 2.089 0 0.020 2 3 73.996 0.0046 1954 73982 74.02 0 2.568 0 0.025 3 5 74.008 0.0147 1427 73.987 74.015 0 2.089 0 0.02 4 5 74.003 0.0091 1 .427 73987 74015 0 2.089 0 0.020 5 5 74.003 0.0122 1.427 73.987 74.015 0 2089 0 0.020 6 4 73.996 0.0099 1.628 73.985 74.017 0 2266 0 0.022 7 4 73999 0.0055 1.628 73.985 74.017 0 2266 0 0.022 8 5 73997 0.0123 1.427 73987 74.015 0 2089 0 0.020 9 4 74004 0.0064 1.628 73.985 74017 0 2.266 0 0.022

10 5 73.998 0.0063 1.427 73.987 74.015 0 2.089 0 0.020 11 5 73.994 0.0029 1.427 73.987 74.015 0 2089 0 0.020 12 5 74.001 0.0042 0.427 73.987 74.015 0 2089 0 0.020 13 3 73994 0.01 0.954 73982 74.02 0 2568 0 0.025 14 5 73990 0.0153 0.427 73.987 74.015 0 2089 0 0.02 15 s 74008 0.0087 1.954 73.982 74.02 0 2.568 0 0.025 16 5 73.997 0.0078 1.427 73.987 74.105 0 2089 0 0.020 17 4 73999 0.0115 0.628 73.985 74017 0 2226 0 0.022 18 5 74007 0.007 1.427 73.987 74.015 0 2.089 0 0.02 19 5 73998 0.0085 1.427 73987 74.015 0 2.089 0 0.020 20 3 74.008 0.0068 0.954 73982 74.02 0 2.568 0 0.025 21 5 74 0.0122 1.427 73987 74.015 0 2.089 0 0.020 22 5 74.002 0.0074 1.427 73987 74.015 0 2.089 0 0.020 23 3 74002 0.0119 1 .427 73987 74.015 0 2.089 0 0.020 24 5 74005 0.0087 L427 73987 74.015 0 2089 0 0.020 25 5 73.998 0.0162 1427 73.987 74015 0 2.089 0 0.020

x

x

85

Tabla. Tabla de distribución de probabilidad normal estándar

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.5 0.504 0.508 0.512 0.516 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.591 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.67 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.695 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.719 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.758 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.791 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.834 0.8365 0.8389 1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.877 0.879 0.881 0.883 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.898 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.937 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.975 0.9756 0.9761 0.9767 2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.983 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.985 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.989 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.992 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.994 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.996 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.997 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.998 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.999 0.999

3.1 0.999 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

86

Tabla de la carta de control de la fracción disconforme con tamaño de la muestra variable

Número de

muestra i

Tamaño de la

muestra ni

Número de unidades

disconformes D¡

Fracción disconforme

muestra

i ip = D / n

Desviación estándar

Pi

(0.096)(0.904)σ =

n

Límites de control

LCL UCL

1 100 12 0.120 0.029 0.009 0.1832 80 8 0.100 0.033 0 0.1953 80 6 0.075 0.033 0 0.1954 100 9 0.090 0.029 0.009 0.1835 110 10 0.091 0.028 0.012 0.1806 110 12 0.109 0.028 0.012 0.1807 100 11 0.110 0.029 0.009 0.1838 100 16 0.160 0.029 0.009 0.1839 90 10 0.110 0.031 0.003 0.18910 90 6 0.067 0.031 0.003 0.18911 110 20 0.182 0.028 0.012 0.18012 120 15 0.125 0.027 0.015 0.17713 120 9 0.075 0.027 0.015 0.17714 120 8 0.067 0.027 0.015 0.17715 110 6 0.055 0.028 0.012 0.18016 80 8 0.100 0.033 0 0.19517 80 10 0.125 0.033 0 0.19518 80 7 0.088 0.033 0 0.19519 90 5 0.056 0.031 0.003 0.18920 100 8 0.080 0.029 0.009 0.18321 100 5 0.050 0.029 0.009 0.18322 100 8 0.080 0.029 0.009 0.18323 100 10 0.100 0.029 0.009 0.18324 90 6 0.067 0.031 0.003 0.18925 90 9 0.100 0.031 0.003 0.189 2450 234 0.096

87

Tabla de letras de código para el tamaño de la muestra (MIL,STD 105E) Niveles de inspección especiales Niveles de inspección

Tamaño del lote o carga

S-l S-2 S-3 S-4 I II III

2 a 8 A A A A A A B9 a 15 A A A A A B C 16 a 25 A A B B B C D 26 a 50 A B B C C D E 51 a 90 B B C C C E F

91 a 150 B B C D D F O 151 a 280 B C D E E G H 281 a 500 B C D E F H J

501 a 1 200 C C E F G J K 1 201 a 3 200 C D B G H K L 3201 a 10000 C D F G J L M

10001 a 35000 C D . F H K M N 35001 a 150 000 D E G J L N P

150 001 a 500 000 D E G J M P Q 500 00 1 en adelante D E H K N Q R

88

Tabla para la inspección normal - muestreo único (MIL,STD 105E)

Usar el primer plan de muestreo abajo de la flecha Usar el primer plan de muestreo arriba de la flecha Ac Número de aceptación Re Número de rechazo

89

Tabla para la inspección reducida - muestreo único (MIL,STD 105E), tabla II-C

90

Curvas OC de la letra de código para el tamaño de la muestra K, (MIL,STD 105E)

91

Tabla de inspección de Dodge-Romig – planes de muestreo único para AOQL= 3.0% Promedio del proceso

0 ― 0.06% 0.07 ― 0.60% 0.61 ― 1.20% 01.21― 1.80% 1.81 ― 2.40% 2.41 ― 3.00%

LTPD LTPD LTPD LTPD LTPD LTPD

Tamaño del lote n c % n c % n c % n c % n c % n c %

1-10 Todos 0 ― Todos 0 ― Todos 0 ― Todos 0 ― Todos 0 ― Todos 0 ―

11-50 10 0 19.0 10 0 19.0 10 0 19.0 10 0 19.0 10 0 19.0 10 0 19.0

51-100 11 0 18.0 11 0 18.0 11 0 18.0 11 0 18.0 11 0 18.0 22 1 16.4

101-200 12 0 17.0 12 0 17.0 12 0 17.0 25 1 15.1 25 1 15.1 25 1 15.1

201-300 12 0 17.0 12 0 17.0 26 1 14.6 26 1 14.6 26 1 14.6 40 2 12.8

301 -400 12 0 17.1 12 0 17.1 26 1 14.7 26 1 14.7 41 2 12.7 41 2 12.7

401-500 12 0 17.2 27 1 14.1 27 1 14.1 42 2 12.4 42 2 12.4 42 2 12.4

501-600 12 0 17.3 27 1 14.2 27 1 14.2 42 2 12.4 42 2 12.4 60 3 10.8

601-800 12 0 17.3 27 1 14.2 27 1 14.2 43 2 12.1 60 3 10.9 60 3 10.9

801-1000 12 0 17.4 27 1 14.2 44 2 11.8 44 2 11.8 60 3 11.0 80 4 9.8

1001-2000 12 0 17.5 28 1 13.8 45 2 11.7 65 3 10.2 80 4 9.8 100 5 9.1

2001-3000 12 0 17.5 28 1 13.8 45 2 11.7 65 3 10.2 100 5 9.1 140 7 8.2

3001-4000 12 0 17.5 28 1 13.8 65 3 10.3 85 4 9.5 125 6 8.4 165 8 7.8

4001-5000 28 1 13.8 28 1 13.8 65 3 10.3 85 4 5.5 125 6 8.4 210 10 7.4

5001-7000 28 1 13.8 45 2 11.8 65 3 10.3 105 5 8.8 145 7 8.1 235 11 7.1

7001-10000 28 1 13.9 46 2 11.6 65 3 10.3 105 5 8.8 170 8 7.6 280 13 6.8

10001-20000 28 1 13.9 46 2 11.7 85 4 9.5 125 6 8.4 215 10 7.2 380 17 6.2

20001-50000 28 1 13.9 65 2 10.3 105 5 8.8 170 8 7.6 310 14 6.5 560 24 5.7

50 001-100 000 28 1 13.9 65 2 10.3 125 6 8.4 215 10 7.2 385 17 6.2 690 29 5.4

92

Tabla de inspección de Dodge-Romig de muestreo único para una tolerancia del porcentaje defectuoso en un lote (LTPD) = 1.0%


0 ― 0.01% 0.011 ― 0.10% 0.11 ― 0.20% 0.21― .30% 0.31 ― 0.40% 0.41 ― 0.50%

tamaño del lote AOQL AOQL AOQL AOQL AOQL AOQL

1-120 Todos 0 0 Todos 0 0 Todos 0 0 Todos 0 0 Todos 0 0 Todos 0 0 121-150 120 0 0,06 120 0 0.06 120 0 0.06 120 0 0.06 120 0 0.06 120 0 0.06

151-200 140 0 0.08 140 0 0.08 140 0 0.08 140 0 0.08 140 0 0.08 140 0 0.08

201-300 165 0 0.1 165 0 0.1 165 0 0.1 165 0 0.1 165 0 0.1 165 0 0.10

301-400 175 0 0.12 175 0 0.12 175 0 0.12 175 0 0.12 175 0 0,12 175 0 0.12

401-500 180 0 0.13 180 0 0.13 180 0 0.13 180 0 0.13 180 0 0.13 180 0 0.13

501-600 190 0 0.13 190 0 0.13 190 0 0.13 190 0 0.13 190 0 0.13 305 1 0.14

601-800 200 0 0.14 200 0 0.14 200 0 0.14 330 1 0.15 330 1 0.15 330 1 0.15

801-1000 205 0 0.14 205 0 0.14 205 0 0.14 335 1 0.17 335 1 0.17 335 1 0.17

1001-2000 220 0 0.15 220 0 0.15 360 1 0.19 490 2 0.21 490 2 0.21 610 3 0.22

2001-3000 220 0 0.15 375 1 0.2 505 2 0.23 630 3 0.24 745 4 36 870 5 0.26

3001-4000 225 0 0.15 380 1 0.2 510 2 0.23 645 3 0.25 880 5 0.28 1000 6 0.29

4001-5000 225 0 0.16 380 1 0.2 520 2 0.24 770 4 0.28 895 5 0.29 1120 7 0.31

5001-7000 230 0 0.16 385 1 0.21 655 3 0.27 780 4 0.29 1020 6 0.32 1260 8 0.34

7001-10000 230 0 0.16 520 2 0.25 660 3 0.28 910 5 0.32 1 150 7 0.34 1500 10 0.37

10001-20000 390 1 0.21 525 2 0.26 785 4 0.31 1 040 6 0.35 1 400 9 0.39 1980 14 0.43

20001-50000 390 1 0.21 530 2 0.26 920 5 0.34 1 300 g 0.39 1 890 13 0.44 2570 19 0.48

50001-100000 390 1 0.21 670 3 0.29 1 040 6 0.36 1 420 9 0.41 2 120 15 0.47 3150 23 0.50

93

Tabla de los factores para construir cartas de control para variables Observaciones en la

muestra

Carta de promedios Carta para desviaciones estándar Carta para rangosFactores para los límites de

control Factores para la línea

central Factores para los límites de control Factores para la línea central Factores para los límites de control

n A A2 A3 C4 1/C4 B3 B4 B5 B6 d2 1/d2 d3 D1 D2 D3 D42 2.121 1.880 2.659 0.7979 1.2533 0 3.267 0 2.606 1.128 0.8865 0.853 0 3.686 0 3.2673 1.732 1.023 1.954 0.8862 1.1284 0 2.568 0 2.276 1.693 0.5907 0.888 0 4.358 0 2.5754 1.500 0.729 1.628 0.9213 1.0854 0 2.266 0 2.088 2.059 0.4857 0.880 0 4.698 0 2.2825 1.342 0.577 1.427 0.9400 1.0638 0 2.089 0 1.964 2.326 0.4299 0.864 0 4.918 0 2.1156 1.225 0.483 1.287 0.9515 1.0510 0.030 1.970 0.029 1.874 2.534 0.3946 0.848 0 5.078 0 2.0047 1.134 0.419 1.182 0.9594 1.0423 0.118 1.882 0.113 1.806 2.704 0.3698 0.833 0.204 5.204 0.076 1.9248 1.061 0.373 1.099 0.9650 1.0363 0.185 1.815 0.179 1.751 2.847 0.3512 0.820 0.388 5.306 0.136 1.8649 1.000 0.337 1.032 0.9693 1.0317 0.239 1.761 0.232 1.707 2.970 0.3367 0.808 0.547 5.393 0.184 1.816

10 0.949 0.308 0.975 0.9727 1.0281 0.284 1.716 0.276 1.669 3.078 0.3249 0.797 0.687 5.469 0.223 1.77711 0.905 0.285 0.927 0.9754 1.0252 0.321 1.679 0.313 1.637 3.173 0.3152 0.787 0.811 5.535 0.256 1.74412 0.866 0.266 0.886 0.9776 1.0229 0.354 1.646 0.346 1.610 3.258 0.3069 0.778 0.922 5.594 0.283 1.71713 0.832 0.249 0.850 0.9794 1.0210 0.382 1.618 0.374 1.585 3.336 0.2998 0.770 1.025 5.647 0.307 1.69314 0.802 0.235 0.817 0.9810 1.0194 0.406 1.594 0.399 1.563 3.407 0.2935 0.763 1.118 5.696 0.328 1.67215 0.775 0.223 0.789 0.9823 1.0180 0.428 1.572 0.421 1.544 3.472 0.2880 0.756 1.203 5.741 0.347 1.65316 0.750 0.213 0.763 0.9835 1.0168 0.448 1.552 0.440 1.526 3.532 0.2831 0.750 1.282 5.782 0.363 1.63717 0.728 0.203 0.739 0.9845 1.0157 0.466 1.534 0.458 1.511 3.588 0.2787 0.744 1.356 5.82 0.378 1.62218 0.707 0.194 0.718 0.9854 1.0148 0.482 1.518 0.475 1.496 3.640 0.2747 0.739 1.424 5.856 0.391 1.62819 0.688 0.187 0.698 0.9862 1.0140 0.497 1.503 0.490 1.483 3.689 0.2711 0.734 1.487 5.891 0.403 1.59720 0.671 0.180 0.680 0.9869 1.0133 0.510 1.490 0.504 1.470 3.735 0.2677 0.729 1.549 5.921 0.415 1.58521 0.655 0.173 0.663 0.9876 1.0126 0.523 1.477 0.516 1.459 3.778 0.2647 0.724 1.605 5.951 0.425 1.57522 0.640 0.167 0.647 0.9882 1.0119 0.534 1.466 0.528 1.448 3.819 0.2618 0.720 1.659 5.979 0.434 1.56623 0.626 0.162 0.633 0.9887 1.0114 0.545 1.455 0.539 1.438 3.858 0.2592 0.716 1.710 6.006 0.443 1.55724 0.612 0.157 0.619 0.9892 1.0109 0.555 1.445 0.549 1.429 3.895 0.2567 0.712 1.759 6.031 0.451 1.54825 0.600 0.153 0.606 0.9896 1.0105 0.565 1.435 0.559 1.420 3.931 0.2544 0.708 1.806 6.056 0.459 1.541

para n>25

3A =

n 34

3A =

c n 4

4 ( n - 1 )c

4 n - 3

34

3B = 1 -

c 2 ( n - 1 ) 44

3B = 1 -

c 2 ( n - 1 )

6 4

3B = c +

2 ( n - 1 )5 4

3B = c -

2 ( n - 1 )

94

Tabla de valores de cuartiles de la distribución t Student α

v 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005

1 1 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 636,578

2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,92 4,303 6,965 9,925 31,6

3 0,765 0,978 1,25 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924

4 0,741 0,941 1,19 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,61

5 0,727 0,92 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869

6 0,718 0,906 1,134 1,44 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959

7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408

8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,86 2,306 2,896 3,355 5,041

9 0,703 0,883 1,1 1,383 1,833 2,262 2,821 3,25 4,781

10 0,7 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

11 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437

12 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318

13 0,694 0,87 1,079 1,35 1,771 2,16 2,65 3,012 4,221

14 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,14

15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073

16 0,69 0,865 1,071 1,337 1,746 2,12 2,583 2,921 4,015

17 0,689 0,863 1,069 1,333 1,74 2,11 2,567 2,898 3,965

18 0,688 0,862 1,067 1,33 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922

19 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883

20 0,687 0,86 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,85

21 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,08 2,518 2,831 3,819

22 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792

23 0,685 0,858 1,06 1,319 1,714 2,069 2,5 2,807 3,768

24 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745

25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,06 2,485 2,787 3,725

26 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707

27 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689

28 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674

29 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,66

30 0,683 0,854 1,055 1,31 1,697 2,042 2,457 2,75 3,646

40 0,681 0,851 1,05 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551

60 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2 2,39 2,66 3,46

120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,98 2,358 2,617 3,373

∞ 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,96 2,326 2,576 3,29

95

Tabla de valores cuartiles de la distribución Chi-cuadrada. Para v > 100 Tómese X2 = 1/2 (Zα + (2 v -1) 1/2) 2: Zα es la desviación normal estandarizada correspondiente al nivel de significancia y se muestra en la parte inferior de la tabla.

αv 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.75 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.01 1 3.93E-05 1.57E-04 9.82E-04 3.93E-03 1.58E-02 0.102 0.455 1.323 2.71 3.84 5.02 6.63 6.63 2 1.00E-02 2.01E-02 5.06E-02 0.103 0.211 0.575 1.386 2.77 4.61 5.99 7.38 9.21 9.21 3 7.17E-02 0.115 0.216 0.352 0.584 1.213 2.37 4.11 6.25 7.81 9.35 11.34 11.344 0.207 0.297 0.484 0.711 1.064 1.923 3.36 5.39 7.78 9.49 11.14 13.28 13.28

5 0.412 0.554 0.831 1.145 1.61 2.67 4.35 6.63 9.24 11.07 12.83 15.09 15.096 0.676 0.872 1.237 1.635 2.2 3.45 5.35 7.84 10.64 12.59 14.45 16.81 16.817 0.989 1.239 1.69 2.17 2.83 4.25 6.35 9.04 12.02 14.07 16.01 18.48 18.488 1.344 1.647 2.18 2.73 3.49 5.07 7.34 10.22 13.36 15.51 17.53 20.1 20.1 9 1.735 2.09 2.7 3.33 4.17 5.9 8.34 11.39 14.68 16.92 19.02 21.7 21.7

10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.74 9.34 12.55 15.99 18.31 20.5 23.2 23.2

11 2.6 3.05 3.82 4.57 5.58 7.58 10.34 13.7 17.28 19.68 21.9 24.7 24.7 12 3.07 3.57 4.4 5.23 6.3 8.44 11.34 14.85 18.55 21 23.3 26.2 26.2 13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 9.3 12.34 15.98 19.81 22.4 24.7 27.7 27.7 14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 10.17 13.34 17.12 21.1 23.7 26.1 29.1 29.1 15 4.6 5.23 6.26 7.26 8.55 11.04 14.34 18.25 22.3 25 27.5 30.6 30.6

16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.91 15.34 19.37 23.5 26.3 28.8 32 32 17 5.7 6.41 7.56 8.67 10.09 12.79 16.34 20.5 24.8 27.6 30.2 33.4 33.4 18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 13.68 17.34 21.6 26 28.9 31.5 34.8 34.8 19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 14.56 18.34 22.7 27.2 30.1 32.9 36.2 36.2 20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 15.45 19.34 23.8 28.4 31.4 34.2 37.6 37.6

21 8.03 8.9 10.28 11.59 13.24 16.34 20.3 24.9 29.6 32.7 35.5 38.9 38.9 22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 17.24 21.3 26 30.8 33.9 36.8 40.3 40.3 23 9.26 10.2 11.69 13.09 14.85 18.14 22.3 27.1 32 35.2 38.1 41.6 41.6 24 9.89 10.86 12.4 13.85 15.66 19.04 23.3 28.2 33.2 36.4 39.4 43 43 25 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 19.94 24.3 29.3 34.4 37.7 40.6 44.3 44.3

26 11.16 12.2 13.84 15.38 17.29 20.8 25.3 30.4 35.6 38.9 41.9 45.6 45.6 27 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11 21.7 26.3 31.5 36.7 40.1 43.2 47 47 28 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 22.7 27.3 32.6 37.9 41.3 44.5 48.3 48.3 29 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 23.6 28.3 33.7 39.1 42.6 45.7 49.6 49.6 30 13.79 14.95 16.79 18.49 20.6 24.5 29.3 34.8 40.3 43.8 47 50.9 50.9

40 20.7 22.2 24.4 26.5 29.1 33.7 39.3 45.6 51.8 55.8 59.3 63.7 63.7 50 28 29.7 32.4 34.8 37.7 42.9 49.3 56.3 63.2 67.5 71.4 76.2 76.2 60 35.5 37.5 40.5 43.2 46.5 52.3 59.3 67 74.4 79.1 83.3 88.4 88.4 70 43.3 45.4 48.8 51.7 55.3 61.7 69.3 77.6 85.5 90.5 95 100.4 100.480 51.2 53.5 57.2 60.4 64.3 71.1 79.3 88.1 96.6 101.9 106.6 112.3 112.390 59.2 61.8 65.6 69.1 73.3 80.6 89.3 98.6 107.6 113.1 118.1 124.1 124.1

100 67.3 70.1 74.2 77.9 82.4 90.1 99.3 109.1 118.5 124.3 129.6 135.8 135.8

Zα -2.58 -2.33 -1.96 -1.64 -1.28 -0.674 0 0.674 1.282 1.645 1.96 2.33 2.33

96

Tabla de valores de cuartiles de la distribución F gl Grados de libertad del denominador

numerador V2

V1 α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 0.1 39.86 8.526 5.5383 4.5448 4.0604 3.7759 3.5894 3.4579 3.3603 3.285 3.2252 3.1765

0.05 161.45 18.513 10.128 7.7086 6.6079 5.9874 5.5914 5.3177 5.1174 4.9646 4.8443 4.7472 0.025 647.79 38.506 17.4434 12.2179 10.007 8.8131 8.0727 7.5709 7.2093 6.9367 6.7241 6.5538 0.01 4052.18 98.503 34.1162 21.1977 16.2582 13.745 12.2464 11.2586 10.5614 10.0443 9.646 9.3302 0.005 16210.72 198.501 55.552 31.3328 22.7848 18.635 16.2356 14.6882 13.6136 12.8265 12.2263 11.7542

2 0.1 49.5 9 5.4624 4.3246 3.7797 3.4633 3.2574 3.1131 3.0065 2.9245 2.8595 2.8068 0.05 199.5 19 9.5521 6.9443 5.7861 5.1433 4.7374 4.459 4.2565 4.1028 3.9823 3.8853 0.025 799.5 39 16.0441 10.6491 8.4336 7.2599 6.5415 6.0595 5.7147 5.4564 5.2559 5.0959 0.01 4999.5 99 30.8165 18 13.2739 10.9248 9.5466 8.6491 8.0215 7.5594 7.2057 6.9266 0.005 19999.5 199 49.7993 26.2843 18.3138 14.5441 12.404 11.0424 10.1067 9.427 8.9122 8.5096

3 0.1 53.59 9.162 5.3908 4.1909 3.6195 3.2888 3.0741 2.9238 2.8129 2.7277 2.6602 2.6055 0.05 215.71 19.164 9.2766 6.5914 5.4095 4.7571 4.3468 4.0662 3.8625 3.7083 3.5874 3.4903 0.025 864.16 39.165 15.4392 9.9792 7.7636 6.5988 5.8898 5.416 5.0781 4.8256 4.63 4.4742 0.01 5403.35 99.166 29.4567 16.6944 12.06 9.7795 8.4513 7.591 6.9919 6.5523 6.2167 5.9525 0.005 21614.74 199.166 47.4672 24.2591 16.5298 12.9166 10.8824 9.5965 8.7171 8.0807 7.6004 7.2258

4 0.1 55.83 9.243 5.3426 4.1072 3.5202 3.1808 2.9605 2.8064 2.6927 2.6053 2.5362 2.4801 0.05 224.58 19.247 9.1172 6.3882 5.1922 4.5337 4.1203 3.8379 3.6331 3.478 3.3567 3.2592 0.025 899.58 39.248 15.101 9.6045 7.3879 6.2272 5.5226 5.0526 4.7181 4.4683 4.2751 4.1212 0.01 5624.58 99.249 28.7099 15.977 11.3919 9.1483 7.8466 7.0061 6.4221 5.9943 5.6683 5.412 0.005 22499.58 199.25 46.1946 23.1545 15.5561 12.0275 10.0505 8.8051 7.9559 7.3428 6.8809 6.5211

5 0.1 57.24 9.293 5.3092 4.0506 3.453 3.1075 2.8833 2.7264 2.6106 2.5216 2.4512 2.394 0.05 230.16 19.296 9.0135 6.2561 5.0503 4.3874 3.9715 3.6875 3.4817 3.3258 3.2039 3.1059 0.025 921.85 39.298 14.8848 9.3645 7.1464 5.9876 5.2852 4.8173 4.4844 4.2361 4.044 3.8911 0.01 5763.65 99.299 28.2371 15.5219 10.967 8.7459 7.4604 6.6318 6.0569 5.6363 5.316 5.0643 0.005 23055.8 199.3 45.3916 22.4564 14.9396 11.4637 9.5221 8.3018 7.4712 6.8724 6.4217 6.0711

6 0.1 58.2 9.326 5.2847 4.0097 3.4045 3.0546 2.8274 2.6683 2.5509 2.4606 2.3891 2.331 0.05 233.99 19.33 8.9406 6.1631 4.9503 4.2839 3.866 3.5806 3.3738 3.2172 3.0946 2.9961 0.025 937.11 39.331 14.7347 9.1973 6.9777 5.8198 5.1186 4.6517 4.3197 4.0721 3.8807 3.7283 0.01 5858.99 99.333 27.9107 15.2069 10.6723 8.4661 7.1914 6.3707 5.8018 5.3858 5.0692 4.8206 0.005 23437.11 199.333 44.8385 21.9746 14.5133 11.073 9.1553 7.952 7.1339 6.5446 6.1016 5.757

7 0.1 58.91 9.349 5.2662 3.979 3.3679 3.0145 2.7849 2.6241 2.5053 2.414 2.3416 2.2828 0.05 236.77 19.353 8.8867 6.0942 4.8759 4.2067 3.787 3.5005 3.2927 3.1355 3.0123 2.9134 0.025 948.22 39.355 14.6244 9.0741 6.8531 5.6955 4.9949 4.5286 4.197 3.9498 3.7586 3.6065 0.01 5928.36 99.356 27.6717 14.9758 10.4555 8.26 6.9928 6.1776 5.6129 5.2001 4.8861 4.6395 0.005 23714.57 199.357 44.4341 21.6217 14.2004 10.7859 8.8854 7.6941 6.8849 6.3025 5.8648 5.5245

8 0.1 59.44 9.367 5.2517 3.9549 3.3393 2.983 2.7516 2.5893 2.4694 2.3772 2.304 2.2446 0.05 238.88 19.371 8.8452 6.041 4.8183 4.1468 3.7257 3.4381 3.2296 3.0717 2.948 2.8486 0.025 956.66 39.373 14.5399 8.9796 6.7572 5.5996 4.8993 4.4333 4.102 3.8549 3.6638 3.5118 0.01 5981.07 99.374 27.4892 14.7989 10.2893 8.1017 6.84 6.0289 5.4671 5.0567 4.7445 4.4994 0.005 23925.41 199.375 44.1256 21.352 13.961 10.5658 8.6781 7.4959 6.6933 6.1159 5.6821 5.3451

9 0.1 59.86 9.381 5.24 3.9357 3.3163 2.9577 2.7247 2.5612 2.4403 2.4403 2.2735 2.2135

0.05 240.54 19.385 8.8123 5.9988 4.7725 4.099 3.6767 3.3881 3.1789 3.1789 2.8962 2.7964

0.025 963.28 39.387 14.4731 8.9047 6.6811 5.5234 4.8232 4.3572 4.026 4.026 3.5879 3.4358

0.01 6022.47 99.388 27.3452 14.6591 10.1578 7.9761 6.7188 5.9106 5.3511 5.3511 4.6315 4.3875

0.005 24091 199.388 43.8824 21.1391 13.7716 10.391 8.5138 7.3386 6.5411 6.5411 5.5368 5.2021

10 0.1 60.19 9.392 5.2304 3.9199 3.2974 2.9369 2.7025 2.538 2.4163 2.4163 2.2482 2.1878

0.05 241.88 19.396 8.7855 5.9644 4.7351 4.06 3.6365 3.3472 3.1373 3.1373 2.8536 2.7534

0.025 968.63 39.398 14.4189 8.8439 6.6192 5.4613 4.7611 4.2951 3.9639 3.9639 3.5257 3.3736

0.01 6055.85 99.399 27.2287 14.5459 10.051 7.8741 6.6201 5.8143 5.2565 5.2565 4.5393 4.2961

0.005 24224.49 199.4 43.6858 20.9667 13.6182 10.25 8.3803 7.2106 6.4172 6.4172 5.4183 5.0855

11 0.1 60.47 9.401 5.2224 3.9067 3.2816 2.9195 2.6839 2.5186 2.3961 2.3961 2.2269 2.166

97

gl Grados de libertad del denominador

numerador V2

V1 α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.05 242.98 19.405 8.7633 5.9358 4.704 4.0274 3.603 3.313 3.1025 3.1025 2.8179 2.7173

0.025 973.03 39.407 14.3742 8.7935 6.5678 5.4098 4.7095 4.2434 3.9121 3.9121 3.4737 3.3215

0.01 6083.32 99.408 27.1326 14.4523 9.9626 7.7896 6.5382 5.7343 5.1779 5.1779 4.4624 4.2198

0.005 24334.36 199.409 43.5236 20.8243 13.4912 10.132 8.2697 7.1045 6.3142 6.3142 5.3197 4.9884

12 0.1 60.71 9.408 5.2156 3.8955 3.2682 2.9047 2.6681 2.502 2.3789 2.3789 2.2087 2.1474

0.05 243.91 19.413 8.7446 5.9117 4.6777 3.9999 3.5747 3.2839 3.073 3.073 2.7876 2.6866

0.025 976.71 39.415 14.3366 8.7512 6.5245 5.3662 4.6658 4.1997 3.8682 3.8682 3.4296 3.2773

0.01 6106.32 99.416 27.0518 14.3736 9.8883 7.7183 6.4691 5.6667 5.1114 5.1114 4.3974 4.1553

0.005 24426.37 199.416 43.3874 20.7047 13.3845 10.034 8.1764 7.0149 6.2274 6.2274 5.2363 4.9063

13 0.1 60.9 9.415 5.2098 3.8859 3.2567 2.892 2.6545 2.4877 2.364 2.364 2.193 2.1313

0.05 244.69 19.419 8.7287 5.8911 4.6552 3.9764 3.5503 3.259 3.0476 3.0476 2.7614 2.6602

0.025 979.84 39.421 14.3045 8.715 6.4876 5.329 4.6285 4.1622 3.8306 3.8306 3.3917 3.2393

0.01 6125.86 99.422 26.9831 14.3065 9.8248 7.6575 6.41 5.6089 5.0545 5.0545 4.3416 4.0999

0.005 24504.54 199.423 43.2715 20.6027 13.2934 9.9501 8.0968 6.9384 6.153 6.153 5.1649 4.8358

14 0.1 61.07 9.42 5.2047 3.8776 3.2468 2.8809 2.6426 2.4752 2.351 2.351 2.1792 2.1173

0.05 245.36 19.424 8.7149 5.8733 4.6358 3.9559 3.5292 3.2374 3.0255 3.0255 2.7387 2.6371

0.025 982.53 39.427 14.2768 8.6838 6.4556 5.2968 4.5961 4.1297 3.798 3.798 3.3588 3.2062

0.01 6142.67 99.428 26.9238 14.2486 9.77 7.6049 6.359 5.5589 5.0052 5.0052 4.2932 4.0518

0.005 24571.77 199.428 43.1716 20.5148 13.2148 9.8774 8.0279 6.8721 6.0887 6.0887 5.1031 4.7748

15 0.1 61.22 9.425 5.2003 3.8704 3.238 2.8712 2.6322 2.4642 2.3396 2.3396 2.1671 2.1049

0.05 245.95 19.429 8.7029 5.8578 4.6188 3.9381 3.5107 3.2184 3.0061 3.0061 2.7186 2.6169

0.025 984.87 39.431 14.2527 8.6565 6.4277 5.2687 4.5678 4.1012 3.7694 3.7694 3.3299 3.1772

0.01 6157.28 99.433 26.8722 14.1982 9.7222 7.559 6.3143 5.5151 4.9621 4.9621 4.2509 4.0096

0.005 24630.21 199.433 43.0847 20.4383 13.1463 9.814 7.9678 6.8143 6.0325 6.0325 5.0489 4.7213

16 0.1 61.35 9.429 5.1964 3.8639 3.2303 2.8626 2.623 2.4545 2.3295 2.3295 2.1563 2.0938

0.05 246.46 19.433 8.6923 5.8441 4.6038 3.9223 3.4944 3.2016 2.989 2.989 2.7009 2.5989

0.025 986.92 39.435 14.2315 8.6326 6.4032 5.2439 4.5428 4.0761 3.7441 3.7441 3.3044 3.1515

0.01 6170.1 99.437 26.8269 14.1539 9.6802 7.5186 6.275 5.4766 4.924 4.924 4.2134 3.9724

0.005 24681.47 199.437 43.0083 20.371 13.0861 9.7582 7.9148 6.7633 5.9829 5.9829 5.0011 4.6741 20 0.1 61.74 9.441 5.1845 3.8443 3.2067 2.8363 2.59473 2.42464 2.29832 2.20074 2.12305 2.05968

0.05 248.01 19.446 8.6602 5.8025 4.5581 3.8742 3.44452 3.15032 2.93646 2.77402 2.64645 2.54359

0.025 993.1 39.448 14.1674 8.5599 6.3286 5.1684 4.46674 3.99945 3.66691 3.41854 3.22614 3.07277

0.01 6208.73 99.449 26.6898 14.0196 9.5526 7.3958 6.15544 5.35909 4.808 4.40539 4.09905 3.85843

0.005 24835.97 199.45 42.7775 20.1673 12.9035 9.5888 7.75396 6.6082 5.83184 5.27402 4.85522 4.52992

25 0.1 62.05 9.451 5.1747 3.8283 3.1873 2.8147 2.57139 2.39992 2.27246 2.17388 2.09531 2.03116

0.05 249.26 19.456 8.6341 5.7687 4.5209 3.8348 3.40361 3.10813 2.89318 2.72978 2.60136 2.49773

0.025 998.08 39.458 14.1155 8.501 6.2679 5.1069 4.40455 3.93666 3.60353 3.3546 3.16164 3.00774

0.01 6239.83 99.459 26.579 13.9109 9.4491 7.296 6.05795 5.26314 4.71303 4.31106 4.00509 3.76469

0.005 24960.34 199.46 42.591 20.0024 12.7554 9.4511 7.62299 6.48171 5.70844 5.15282 4.73563 4.41151

98


numerador V2

V1 α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 0.1 62.26 9.458 5.1681 3.8174 3.1741 2.8 2.55546 2.38302 2.25472 2.15543 2.07621 2.01149

0.05 250.1 19.462 8.6166 5.7459 4.4957 3.8082 3.37581 3.07941 2.86365 2.69955 2.57049 2.46628

0.025 1001.41 39.465 14.0805 8.4613 6.2269 5.0652 4.36239 3.89402 3.56041 3.31102 3.11762 2.96328

0.01 6260.65 99.466 26.5045 13.8377 9.3793 7.2285 5.99201 5.19813 4.64858 4.24693 3.94113 3.70079

0.005 25043.63 199.466 42.4658 19.8915 12.6556 9.3582 7.53449 6.39609 5.62479 5.07055 4.65434 4.33092

40 0.1 62.53 9.466 5.1597 3.8036 3.1573 2.7812 2.5351 2.36136 2.23196 2.13169 2.05161 1.9861

0.05 251.14 19.471 8.5944 5.717 4.4638 3.7743 3.34043 3.04278 2.82593 2.66086 2.53091 2.42588

0.025 1005.6 39.473 14.0365 8.4111 6.175 5.0125 4.30888 3.83978 3.50547 3.2554 3.06133 2.90635

0.01 6286.78 99.474 26.4108 13.7454 9.2912 7.1432 5.90845 5.11561 4.56665 4.16529 3.85957 3.61918

0.005 25148.15 199.475 42.3082 19.7518 12.5297 9.2408 7.42245 6.28754 5.51858 4.96594 4.55082 4.22815

60 0.1 62.79 9.475 5.1512 3.7896 3.1402 2.762 2.51422 2.3391 2.20849 2.10716 2.02612 1.95973

0.05 252.2 19.479 8.572 5.6877 4.4314 3.7398 3.30432 3.0053 2.78725 2.62108 2.49012 2.38417

0.025 1009.8 39.481 13.9921 8.3604 6.1225 4.9589 4.2544 3.78445 3.4493 3.1984 3.00353 2.84777

0.01 6313.03 99.482 26.3164 13.6522 9.202 7.0567 5.82357 5.03162 4.48309 4.08186 3.77607 3.53547

0.005 25253.14 199.483 42.1494 19.6107 12.4024 9.1219 7.30875 6.17718 5.41041 4.85919 4.445 4.12292

80 0.1 62.93 9.479 5.1469 3.7825 3.1316 2.7522 2.50358 2.32772 2.19648 2.09458 2.01301 1.94615

0.05 252.72 19.483 8.5607 5.673 4.415 3.7223 3.28598 2.98623 2.76752 2.60075 2.46925 2.36277

0.025 1011.91 39.485 13.9697 8.3349 6.096 4.9318 4.22678 3.75634 3.42072 3.16935 2.97402 2.81781

0.01 6326.2 99.487 26.2688 13.6053 9.157 7.013 5.78061 4.98904 4.44066 4.03942 3.73353 3.49276

0.005 25305.8 199.487 42.0696 19.5397 12.3383 9.0619 7.25126 6.12129 5.35553 4.80496 4.39116 4.06929

120 0.1 63.06 9.483 5.1425 3.7753 3.1228 2.7423 2.49279 2.31618 2.18427 2.08176 1.99965 1.93228

0.05 253.25 19.487 8.5494 5.6581 4.3985 3.7047 3.26745 2.96692 2.74752 2.58012 2.44802 2.34099

0.025 1014.02 39.49 13.9473 8.3092 6.0693 4.90445 4.1989 3.72794 3.3918 3.13991 2.94408 2.78737

0.01 6339.39 99.491 26.2211 13.5581 9.1118 6.96902 5.73729 4.94605 4.39777 3.99648 3.69044 3.44944

0.005 25358.57 199.491 41.9895 19.4684 12.2737 9.00146 7.19332 6.0649 5.30011 4.75013 4.33666 4.01495

∞ 0.1 63.33 9.491 5.1337 3.7607 3.105 2.72219 2.47081 2.2926 2.15926 2.05545 1.97214 1.90365

0.05 254.31 19.496 8.5265 5.6281 4.365 3.66891 3.2298 2.92762 2.70672 2.53793 2.40452 2.29625

0.025 1018.25 39.498 13.9021 8.2574 6.0154 4.84916 4.1424 3.67025 3.33292 3.07986 2.88286 2.725

0.01 6365.83 99.499 26.1253 13.4632 9.0205 6.88013 5.64963 4.8589 4.31066 3.90909 3.60255 3.36092

0.005 25464.33 199.5 41.8285 19.3249 12.1437 8.87948 7.07617 5.95069 5.18766 4.63866 4.22567 3.90407

99

Tabla de valores de cuartiles de la distribución F. Continuación gl Grados de libertad del denominador

numerador V2

V1 α 13 14 15 16 20 25 30 40 60 80 120 ∞ 1 0.1 3.1362 3.1022 3.0732 3.0481 2.97465 2.91774 2.88069 2.83535 2.79107 2.76931 2.74781 2.70559

0.05 4.6672 4.6001 4.5431 4.494 4.35124 4.2417 4.17088 4.08475 4.00119 3.96035 3.92012 3.84155 0.025 6.4143 6.2979 6.1995 6.1151 5.87149 5.68637 5.56753 5.42394 5.28561 5.21835 5.15233 5.02404 0.01 9.0738 8.8616 8.6831 8.531 8.09596 7.7698 7.56248 7.3141 7.07711 6.96269 6.85089 6.63515 0.005 11.3735 11.0603 10.798 10.575 9.94393 9.47531 9.17968 8.82786 8.49462 8.33461 8.17883 7.87979

2 0.1 2.7632 2.7265 2.6952 2.6682 2.58925 2.52831 2.48872 2.44037 2.39325 2.37015 2.34734 2.30264 0.05 3.8056 3.7389 3.6823 3.6337 3.49283 3.38519 3.31583 3.23173 3.15041 3.11077 3.07178 2.99582 0.025 4.9653 4.8567 4.765 4.6867 4.46126 4.29093 4.18206 4.05099 3.92527 3.86433 3.80464 3.68902 0.01 6.701 6.5149 6.3589 6.2262 5.84893 5.568 5.39035 5.17851 4.97743 4.88074 4.78651 4.60538 0.005 8.1865 7.9216 7.7008 7.5138 6.98646 6.5982 6.35469 6.06643 5.79499 5.66524 5.53929 5.2986

3 0.1 2.5603 2.5222 2.4898 2.4618 2.38009 2.31702 2.27607 2.22609 2.17741 2.15355 2.12999 2.08385 0.05 3.4105 3.3439 3.2874 3.2389 3.09839 2.99124 2.92228 2.83875 2.75808 2.71878 2.68017 2.605 0.025 4.3472 4.2417 4.1528 4.0768 3.8587 3.69427 3.58936 3.46326 3.34252 3.28408 3.22689 3.11626 0.01 5.7394 5.5639 5.417 5.2922 4.93819 4.67546 4.50974 4.31257 4.12589 4.0363 3.9491 3.78182 0.005 6.9258 6.6804 6.476 6.3034 5.8177 5.46152 5.23879 4.97584 4.72899 4.61127 4.49717 4.27964

4 0.1 2.4337 2.3947 2.3614 2.3327 2.24893 2.18424 2.14223 2.09095 2.04099 2.01649 1.9923 1.94492 0.05 3.1791 3.1122 3.0556 3.0069 2.86608 2.75871 2.68963 2.60597 2.52522 2.48588 2.44724 2.37202 0.025 3.9959 3.8919 3.8043 3.7294 3.5147 3.35301 3.24993 3.12611 3.00766 2.95036 2.89431 2.78595 0.01 5.2053 5.0354 4.8932 4.7726 4.43069 4.17742 4.01788 3.82829 3.64905 3.56311 3.47953 3.31936 0.005 6.2335 5.9984 5.8029 5.6378 5.17428 4.83509 4.62336 4.37378 4.13989 4.02851 3.92065 3.7153

5 0.1 2.3467 2.3069 2.273 2.2438 2.15823 2.09216 2.04925 1.99682 1.94571 1.92064 1.89587 1.84733 0.05 3.0254 2.9582 2.9013 2.8524 2.71089 2.60299 2.53355 2.44947 2.36827 2.32872 2.28985 2.21419 0.025 3.7667 3.6634 3.5764 3.5021 3.28906 3.12868 3.02647 2.90372 2.78631 2.72953 2.67399 2.56663 0.01 4.8616 4.695 4.5556 4.4374 4.10268 3.85496 3.69902 3.51384 3.33888 3.25505 3.17355 3.01744 0.005 5.791 5.5623 5.3721 5.2117 4.76157 4.43267 4.22758 3.98605 3.75995 3.65236 3.54823 3.35015

6 0.1 2.283 2.2426 2.2081 2.1783 2.09132 2.02406 1.98033 1.92688 1.87472 1.84911 1.82381 1.77417 0.05 2.9153 2.8477 2.7905 2.7413 2.59898 2.49041 2.42052 2.33585 2.25405 2.21419 2.17501 2.09869 0.025 3.6043 3.5014 3.4147 3.3406 3.12834 2.96855 2.8667 2.74438 2.62737 2.57077 2.5154 2.40836 0.01 4.6204 4.4558 4.3183 4.2016 3.87143 3.62717 3.47348 3.29101 3.11867 3.03611 2.95585 2.80216 0.005 5.4819 5.2574 5.0708 4.9134 4.47215 4.14999 3.94921 3.71291 3.49183 3.38668 3.28494 3.09149

7 0.1 2.2341 2.1931 2.1582 2.128 2.0397 1.97138 1.92692 1.87252 1.81939 1.79329 1.76748 1.71678 0.05 2.8321 2.7642 2.7066 2.6572 2.51401 2.40473 2.33434 2.24902 2.16654 2.12632 2.08677 2.00968 0.025 3.4827 3.3799 3.2934 3.2194 3.00742 2.8478 2.74603 2.62378 2.50679 2.45018 2.39479 2.28766 0.01 4.441 4.2779 4.1415 4.0259 3.69874 3.45675 3.3045 3.12376 2.95305 2.87127 2.79176 2.63951 0.005 5.2529 5.0313 4.8473 4.692 4.25689 3.93937 3.74156 3.50881 3.29111 3.18759 3.08744 2.89704

8 0.1 2.1953 2.1539 2.1185 2.088 1.99853 1.92925 1.88412 1.82886 1.77483 1.74825 1.72196 1.67026 0.05 2.7669 2.6987 2.6408 2.5911 2.44706 2.33706 2.26616 2.18017 2.09697 2.05637 2.01643 1.93851 0.025 3.388 3.2853 3.1987 3.1248 2.9128 2.75311 2.65126 2.52886 2.41167 2.35494 2.29941 2.19194 0.01 4.3021 4.1399 4.0045 3.8896 3.56441 3.32394 3.17262 2.99298 2.82328 2.74196 2.66291 2.51146 0.005 5.0761 4.8566 4.6744 4.5207 4.08997 3.77577 3.58006 3.34979 3.13444 3.03203 2.93296 2.74459

9 0.1 2.1638 2.122 2.0862 2.0553 1.96485 1.89469 1.84896 1.7929 1.73802 1.711 1.68425 1.63158

0.05 2.7144 2.6458 2.5876 2.5377 2.39281 2.2821 2.2107 2.12403 2.0401 1.99911 1.95876 1.87998

0.025 3.312 3.2093 3.1227 3.0488 2.83655 2.67664 2.57461 2.45194 2.33441 2.27748 2.22173 2.11377

0.01 4.1911 4.0297 3.8948 3.7804 3.45668 3.21722 3.06652 2.88756 2.71845 2.6374 2.55857 2.40751

0.005 4.9351 4.7173 4.5364 4.3838 3.95644 3.64468 3.45048 3.22198 3.00827 2.90662 2.80828 2.62126

10 0.1 2.1376 2.0954 2.0593 2.0281 1.93674 1.86578 1.81949 1.76269 1.70701 1.67957 1.65238 1.59878

0.05 2.671 2.6022 2.5437 2.4935 2.34788 2.23647 2.16458 2.07725 1.99259 1.95122 1.91046 1.8308

0.025 3.2497 3.1469 3.0602 2.9862 2.77367 2.61347 2.51119 2.38816 2.2702 2.21303 2.15701 2.04845

0.01 4.1003 3.9394 3.8049 3.6909 3.36819 3.12941 2.97909 2.80055 2.63175 2.55081 2.47208 2.3211

0.005 4.8199 4.6034 4.4235 4.2719 3.847 3.53705 3.34396 3.11675 2.90418 2.80305 2.7052 2.51903

11 0.1 2.1155 2.0729 2.0366 2.0051 1.91288 1.8412 1.79438 1.73689 1.68046 1.65262 1.62501 1.57052

0.05 2.6347 2.5655 2.5068 2.4564 2.30999 2.19793 2.12556 2.03758 1.95221 1.91046 1.86929 1.78874

100


numerador V2

V1 α 13 14 15 16 20 25 30 40 60 80 120 ∞

0.025 3.1975 3.0946 3.0078 2.9337 2.72086 2.5603 2.45775 2.33431 2.21586 2.15842 2.1021 1.99286

0.01 4.0245 3.864 3.7299 3.6162 3.29411 3.05577 2.90569 2.72735 2.55867 2.47775 2.399 2.2479

0.005 4.724 4.5085 4.3295 4.1785 3.75555 3.44697 3.25471 3.02842 2.81664 2.71586 2.61832 2.43266

12 0.1 2.0966 2.0537 2.0171 1.9854 1.89236 1.82 1.7727 1.71456 1.65743 1.62921 1.6012 1.54585

0.05 2.60366 2.53424 2.47531 2.42466 2.27758 2.16489 2.09206 2.00346 1.9174 1.87526 1.8337 1.75227

0.025 3.15318 3.05015 2.96328 2.88905 2.67583 2.51489 2.41203 2.28816 2.16919 2.11145 2.05482 1.94485

0.01 3.96033 3.80014 3.66624 3.55269 3.23112 2.99306 2.8431 2.66483 2.49612 2.41514 2.3363 2.18492

0.005 4.64289 4.42811 4.24975 4.09935 3.67791 3.37038 3.17873 2.9531 2.74186 2.6413 2.54393 2.35851

13 0.1 2.08019 2.03704 2.00015 1.96824 1.87451 1.80153 1.75378 1.69503 1.63723 1.60865 1.58026 1.52406

0.05 2.57693 2.50726 2.44811 2.39725 2.24951 2.13623 2.06296 1.97376 1.88702 1.84451 1.80255 1.72025

0.025 3.11504 3.01189 2.9249 2.85056 2.63694 2.47561 2.37244 2.24811 2.12861 2.07056 2.0136 1.90287

0.01 3.9052 3.74524 3.61151 3.4981 3.17686 2.93895 2.78902 2.61073 2.44188 2.36079 2.28181 2.13004

0.005 4.57328 4.35915 4.18131 4.03136 3.61111 3.30439 3.1132 2.88804 2.67714 2.57669 2.47941 2.29402

14 0.1 2.06583 2.02243 1.98532 1.95321 1.85883 1.78527 1.7371 1.67778 1.61934 1.59041 1.56166 1.50465

0.05 2.55362 2.48373 2.42436 2.37332 2.22496 2.11111 2.03742 1.94764 1.86024 1.81738 1.77503 1.69187

0.025 3.08185 2.97859 2.89148 2.81702 2.603 2.44126 2.33777 2.21298 2.09294 2.03458 1.97728 1.86577

0.01 3.85734 3.69754 3.56394 3.45063 3.1296 2.89175 2.74181 2.5634 2.39435 2.31311 2.23395 2.0817

0.005 4.51289 4.29929 4.12189 3.97229 3.553 3.2469 3.05605 2.8312 2.6205 2.5201 2.42282 2.23731

15 0.1 2.05316 2.00953 1.97222 1.93992 1.84494 1.77083 1.72227 1.66241 1.60337 1.57411 1.545 1.48721

0.05 2.53311 2.463 2.40345 2.35222 2.20327 2.08889 2.0148 1.92446 1.83644 1.79322 1.7505 1.66649

0.025 3.05271 2.94932 2.86209 2.78752 2.5731 2.41095 2.30715 2.1819 2.06131 2.00264 1.94499 1.83269

0.01 3.81537 3.6557 3.52219 3.40895 3.08804 2.85019 2.70018 2.52162 2.3523 2.27088 2.1915 2.03871

0.005 4.45998 4.24682 4.06978 3.92048 3.50196 3.19634 3.00573 2.78108 2.57046 2.47005 2.37271 2.18697

16 0.1 2.04189 1.99805 1.96055 1.92808 1.83253 1.75793 1.709 1.64863 1.58901 1.55944 1.52999 1.47143

0.05 2.51492 2.44461 2.38488 2.33348 2.18398 2.06909 1.99462 1.90375 1.81511 1.77156 1.72846 1.64362

0.025 3.02691 2.92339 2.83605 2.76136 2.54654 2.384 2.27989 2.15418 2.03304 1.97406 1.91607 1.80297

0.01 3.77825 3.61868 3.48525 3.37205 3.0512 2.81329 2.66319 2.48442 2.3148 2.23318 2.15357 2.00018

0.005 4.41324 4.20045 4.02371 3.87465 3.45676 3.1515 2.96105 2.73653 2.5259 2.42543 2.32799 2.1419220 0.1 2.00698 1.96245 1.92431 1.89127 1.79384 1.71752 1.66731 1.60515 1.54349 1.51276 1.48207 1.42067

0.05 2.45888 2.3879 2.32754 2.27557 2.12416 2.00747 1.93165 1.83886 1.74798 1.70316 1.65868 1.57063

0.025 2.94767 2.84369 2.7559 2.68079 2.46448 2.30045 2.19516 2.06771 1.94447 1.88427 1.82492 1.70862

0.01 3.66461 3.50522 3.37189 3.25874 2.93774 2.69932 2.54866 2.36888 2.19781 2.11527 2.03459 1.8785

0.005 4.27032 4.05853 3.88259 3.73417 3.31779 3.01327 2.82304 2.59842 2.3872 2.28622 2.18811 2.00006

25 0.1 1.97776 1.9326 1.89387 1.8603 1.76108 1.6831 1.63163 1.56767 1.50389 1.47196 1.43992 1.37534

0.05 2.41232 2.34069 2.27973 2.22721 2.07392 1.95545 1.87825 1.78346 1.69019 1.64398 1.59796 1.50621

0.025 2.88212 2.77765 2.6894 2.61384 2.39594 2.2303 2.12372 1.99434 1.86872 1.80711 1.74617 1.626

0.01 3.57096 3.41159 3.27822 3.16497 2.8434 2.60411 2.4526 2.2714 2.09837 2.01461 1.93249 1.77275

0.005 4.15279 3.94168 3.76623 3.61818 3.20254 2.89812 2.70764 2.48229 2.26975 2.16783 2.06856 1.87734

30 0.1 1.95757 1.91193 1.87277 1.83879 1.73822 1.65895 1.60648 1.54108 1.47554 1.44258 1.40938 1.34195

101


numerador V2

V1 α 13 14 15 16 20 25 30 40 60 80 120 ∞

0.05 2.38033 2.30821 2.24679 2.19384 2.03909 1.91919 1.84087 1.74443 1.64914 1.60173 1.55434 1.45921

0.025 2.83725 2.73238 2.64374 2.56781 2.3486 2.18162 2.07394 1.94292 1.8152 1.75233 1.68994 1.56612

0.01 3.50704 3.3476 3.21411 3.10073 2.77848 2.53831 2.38597 2.20338 2.02848 1.94353 1.86001 1.6966

0.005 4.0727 3.86194 3.68675 3.53887 3.12341 2.81871 2.62778 2.40148 2.18743 2.08449 1.98395 1.7893

40 0.1 1.93147 1.88516 1.84539 1.81084 1.70833 1.62718 1.57323 1.50562 1.43734 1.40272 1.3676 1.29522

0.05 2.33918 2.26635 2.20428 2.15071 1.99382 1.8718 1.79179 1.6928 1.59427 1.54489 1.4952 1.39409

0.025 2.77969 2.67422 2.58501 2.50853 2.28732 2.11826 2.00887 1.8752 1.74405 1.67904 1.61415 1.4837

0.01 3.42529 3.26564 3.13191 3.01825 2.69475 2.45299 2.29921 2.11423 1.93602 1.84893 1.76285 1.59247

0.005 3.97044 3.76 3.58499 3.43721 3.02153 2.71598 2.52406 2.29584 2.07887 1.97393 1.87095 1.66939

60 0.1 1.90429 1.85723 1.81676 1.78156 1.67678 1.59335 1.53757 1.46716 1.3952 1.35825 1.32034 1.24005

0.05 2.2966 2.22295 2.16011 2.10581 1.94636 1.82173 1.73957 1.63725 1.53431 1.48211 1.42901 1.31817

0.025 2.72036 2.61415 2.52423 2.44707 2.22336 2.05164 1.94001 1.80277 1.66679 1.59866 1.52994 1.38847

0.01 3.34129 3.18127 3.04713 2.93305 2.60771 2.36369 2.20785 2.01941 1.83626 1.74588 1.65569 1.47321

0.005 3.86553 3.65525 3.48027 3.33241 2.91588 2.60875 2.41515 2.18384 1.96217 1.85398 1.74685 1.53279

80 0.1 1.89026 1.84279 1.80193 1.76636 1.66028 1.57554 1.51866 1.44652 1.37221 1.3337 1.29382 1.20734

0.05 2.27472 2.20061 2.13733 2.08262 1.92169 1.79551 1.71206 1.60767 1.50185 1.44773 1.3922 1.27365

0.025 2.68996 2.58333 2.49298 2.41542 2.19023 2.0169 1.90388 1.76437 1.62519 1.55488 1.4834 1.33305

0.01 3.29836 3.13809 3.00368 2.88931 2.56277 2.3173 2.16011 1.96937 1.78282 1.69007 1.59683 1.40435

0.005 3.812 3.60172 3.42667 3.2787 2.86145 2.55316 2.35837 2.1249 1.89984 1.78924 1.67894 1.45429

120 0.1 1.87591 1.828 1.78672 1.75075 1.64326 1.55703 1.49891 1.42476 1.34757 1.30707 1.26457 1.16873

0.05 2.25241 2.17781 2.11406 2.0589 1.89632 1.7684 1.68345 1.57661 1.46727 1.41068 1.35189 1.22157

0.025 2.65903 2.55192 2.46112 2.38311 2.15624 1.98106 1.86642 1.7242 1.58103 1.50791 1.43268 1.26865

0.01 3.25476 3.09419 2.95945 2.84474 2.51678 2.26956 2.11076 1.91719 1.72632 1.63045 1.53299 1.32486

0.005 3.75769 3.54735 3.37218 3.22403 2.8058 2.49605 2.29977 2.06356 1.83411 1.72025 1.60551 1.36405

∞ 0.1 1.84623 1.79732 1.75509 1.71821 1.60742 1.51765 1.45642 1.37697 1.29154 1.24468 1.19267 1.00814

0.05 2.20649 2.13075 2.06591 2.0097 1.84325 1.71106 1.62234 1.50899 1.38938 1.32481 1.254 1.01046

0.025 2.59554 2.48732 2.39543 2.31635 2.08542 1.90562 1.7868 1.63724 1.48228 1.39989 1.31061 1.01247

0.01 3.1655 3.00413 2.86854 2.75294 2.42131 2.16951 2.00636 1.80485 1.60081 1.49439 1.38074 1.01482

0.005 3.64666 3.43599 3.26036 3.11164 2.69054 2.37665 2.17616 1.93192 1.68869 1.56357 1.43134 1.01642

102

Tabla de valores de la función de la distribución acumulativa binomial P

n k 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 1 0 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 1 1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 2 0 0.9025 0.81 0.7225 0.64 0.5625 0.49 0.4225 0.36 0.3025 0.25 2 1 0.095 0.18 0.255 0.32 0.375 0.42 0.455 0.48 0.495 0.5 2 2 0.0025 0.01 0.0225 0.04 0.0625 0.09 0.1225 0.16 0.2025 0.25 3 0 0.8574 0.729 0.6141 0.512 0.4219 0.343 0.2746 0.216 0.1664 0.125 3 1 0.1354 0.243 0.3251 0.384 0.4219 0.441 0.4436 0.432 0.4084 0.375 3 2 0.0071 0.027 0.0574 0.096 0.1406 0.189 0.2389 0.288 0.3341 0.375 3 3 0.0001 0.001 0.0034 0.008 0.0156 0.027 0.0429 0.064 0.0911 0.125 4 0 0.8145 0.6561 0.522 0.4096 0.3164 0.2401 0.1785 0.1296 0.0915 0.0625 4 1 0.1715 0.2916 0.3685 0.4096 0.4219 0.4116 0.3845 0.3456 0.2995 0.25 4 2 0.0135 0.0486 0.0975 0.1536 0.2109 0.2646 0.3105 0.3456 0.3675 0.375 4 3 0.0005 0.0036 0.0115 0.0256 0.0469 0.0756 0.1115 0.1536 0.2005 0.25 4 4 0 0.0001 0.0005 0.0016 0.0039 0.0081 0.015 0.0256 0.041 0.0625 5 0 0.7738 0.5905 0.4437 0.3277 0.2373 0.1681 0.116 0.0778 0.0503 0.0313 5 1 0.2036 0.3281 0.3915 0.4096 0.3955 0.3602 0.3124 0.2592 0.2059 0.1563 5 2 0.0214 0.0729 0.1382 0.2048 0.2637 0.3087 0.3364 0.3456 0.3369 0.3125 5 3 0.0011 0.0081 0.0244 0.0512 0.0879 0.1323 0.1811 0.2304 0.2757 0.3125 5 4 0 0.0005 0.0022 0.0064 0.0146 0.0284 0.0488 0.0768 0.1128 0.1563 5 5 0 0 0.0001 0.0003 0.001 0.0024 0.0053 0.0102 0.0185 0.0313 6 0 0.7351 0.5314 0.3771 0.2621 0.178 0.1176 0.0754 0.0467 0.0277 0.0156 6 1 0.2321 0.3543 0.3993 0.3932 0.356 0.3025 0.2437 0.1866 0.1359 0.0938 6 2 0.0305 0.0984 0.1762 0.2458 0.2966 0.3241 0.328 0.311 0.278 0.2344 6 3 0.0021 0.0146 0.0415 0.0819 0.1318 0.1852 0.2355 0.2765 0.3032 0.3125 6 4 0.0001 0.0012 0.0055 0.0154 0.033 0.0595 0.0951 0.1382 0.1861 0.2344 6 5 0 0.0001 0.0004 0.0015 0.0044 0.0102 0.0205 0.0369 0.0609 0.0938 6 6 0 0 0 0.0001 0.0002 0.0007 0.0018 0.0041 0.0083 0.0156 7 0 0.6983 0.4783 0.3206 0.2097 0.1335 0.0824 0.049 0.028 0.0152 0.0078 7 1 0.2573 0.372 0.396 0.367 0.3115 0.2471 0.1848 0.1306 0.0872 0.0547 7 2 0.0406 0.124 0.2097 0.2753 0.3115 0.3177 0.2985 0.2613 0.214 0.1641 7 3 0.0036 0.023 0.0617 0.1147 0.173 0.2269 0.2679 0.2903 0.2918 0.2734 7 4 0.0002 0.0026 0.0109 0.0287 0.0577 0.0972 0.1442 0.1935 0.2388 0.2734 7 5 0 0.0002 0.0012 0.0043 0.0115 0.025 0.0466 0.0774 0.1172 0.1641 7 6 0 0 0.0001 0.0004 0.0013 0.0036 0.0084 0.0172 0.032 0.0547 7 7 0 0 0 0 0.0001 0.0002 0.0006 0.0016 0.0037 0.0078 8 0 0.6634 0.4305 0.2725 0.1678 0.1001 0.0576 0.0319 0.0168 0.0084 0.0039 8 1 0.2793 0.3826 0.3847 0.3355 0.267 0.1977 0.1373 0.0896 0.0548 0.0313 8 2 0.0515 0.1488 0.2376 0.2936 0.3115 0.2965 0.2587 0.209 0.1569 0.1094 8 3 0.0054 0.0331 0.0839 0.1468 0.2076 0.2541 0.2786 0.2787 0.2568 0.2188 8 4 0.0004 0.0046 0.0185 0.0459 0.0865 0.1361 0.1875 0.2322 0.2627 0.2734 8 5 0 0.0004 0.0026 0.0092 0.0231 0.0467 0.0808 0.1239 0.1719 0.2188 8 6 0 0 0.0002 0.0011 0.0038 0.01 0.0217 0.0413 0.0703 0.1094 8 7 0 0 0 0.0001 0.0004 0.0012 0.0033 0.0079 0.0164 0.0313 8 8 0 0 0 0 0 0.0001 0.0002 0.0007 0.0017 0.0039 9 0 0.6302 0.3874 0.2316 0.1342 0.0751 0.0404 0.0207 0.0101 0.0046 0.002 9 1 0.2985 0.3874 0.3679 0.302 0.2253 0.1556 0.1004 0.0605 0.0339 0.0176 9 2 0.0629 0.1722 0.2597 0.302 0.3003 0.2668 0.2162 0.1612 0.111 0.0703 9 3 0.0077 0.0446 0.1069 0.1762 0.2336 0.2668 0.2716 0.2508 0.2119 0.1641 9 4 0.0006 0.0074 0.0283 0.0661 0.1168 0.1715 0.2194 0.2508 0.26 0.2461

9 5 0 0.0008 0.005 0.0165 0.0389 0.0735 0.1181 0.1672 0.2128 0.2461 9 6 0 0.0001 0.0006 0.0028 0.0087 0.021 0.0424 0.0743 0.116 0.1641

103

P n k 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 9 7 0 0 0 0.0003 0.0012 0.0039 0.0098 0.0212 0.0407 0.0703 9 8 0 0 0 0 0.0001 0.0004 0.0013 0.0035 0.0083 0.0176 9 9 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0003 0.0008 0.002

10 0 0.5987 0.3487 0.1969 0.1074 0.0563 0.0282 0.0135 0.006 0.0025 0.001 10 1 0.3151 0.3874 0.3474 0.2684 0.1877 0.1211 0.0725 0.0403 0.0207 0.0098 10 2 0.0746 0.1937 0.2759 0.302 0.2816 0.2335 0.1757 0.1209 0.0763 0.0439 10 3 0.0105 0.0574 0.1298 0.2013 0.2503 0.2668 0.2522 0.215 0.1665 0.1172 10 4 0.001 0.0112 0.0401 0.0881 0.146 0.2001 0.2377 0.2508 0.2384 0.2051

10 5 0.0001 0.0015 0.0085 0.0264 0.0584 0.1029 0.1536 0.2007 0.234 0.2461 10 6 0 0.0001 0.0012 0.0055 0.0162 0.0368 0.0689 0.1115 0.1596 0.2051 10 7 0 0 0.0001 0.0008 0.0031 0.009 0.0212 0.0425 0.0746 0.1172 10 8 0 0 0 0.0001 0.0004 0.0014 0.0043 0.0106 0.0229 0.0439 10 9 0 0 0 0 0 0.0001 0.0005 0.0016 0.0042 0.0098 10 10 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0003 0.001

11 0 0.5688 0.3138 0.1673 0.0859 0.0422 0.0198 0.0088 0.0036 0.0014 0.0005 11 1 0.3293 0.3835 0.3248 0.2362 0.1549 0.0932 0.0518 0.0266 0.0125 0.0054 11 2 0.0867 0.2131 0.2866 0.2953 0.2581 0.1998 0.1395 0.0887 0.0513 0.0269 11 3 0.0137 0.071 0.1517 0.2215 0.2581 0.2568 0.2254 0.1774 0.1259 0.0806 11 4 0.0014 0.0158 0.0536 0.1107 0.1721 0.2201 0.2428 0.2365 0.206 0.1611

11 5 0.0001 0.0025 0.0132 0.0388 0.0803 0.1321 0.183 0.2207 0.236 0.2256 11 6 0 0.0003 0.0023 0.0097 0.0268 0.0566 0.0985 0.1471 0.1931 0.2256 11 7 0 0 0.0003 0.0017 0.0064 0.0173 0.0379 0.0701 0.1128 0.1611 11 8 0 0 0 0.0002 0.0011 0.0037 0.0102 0.0234 0.0462 0.0806 11 9 0 0 0 0 0.0001 0.0005 0.0018 0.0052 0.0126 0.0269

11 10 0 0 0 0 0 0 0.0002 0.0007 0.0021 0.0054 11 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0002 0.0005

12 0 0.5404 0.2824 0.1422 0.0687 0.0317 0.0138 0.0057 0.0022 0.0008 0.0002 12 1 0.3413 0.3766 0.3012 0.2062 0.1267 0.0712 0.0368 0.0174 0.0075 0.0029 12 2 0.0988 0.2301 0.2924 0.2835 0.2323 0.1678 0.1088 0.0639 0.0339 0.0161 12 3 0.0173 0.0852 0.172 0.2362 0.2581 0.2397 0.1954 0.1419 0.0923 0.0537 12 4 0.0021 0.0213 0.0683 0.1329 0.1936 0.2311 0.2367 0.2128 0.17 0.1208

12 5 0.0002 0.0038 0.0193 0.0532 0.1032 0.1585 0.2039 0.227 0.2225 0.1934 12 6 0 0.0005 0.004 0.0155 0.0401 0.0792 0.1281 0.1766 0.2124 0.2256 12 7 0 0 0.0006 0.0033 0.0115 0.0291 0.0591 0.1009 0.1489 0.1934 12 8 0 0 0.0001 0.0005 0.0024 0.0078 0.0199 0.042 0.0762 0.1208 12 9 0 0 0 0.0001 0.0004 0.0015 0.0048 0.0125 0.0277 0.0537

12 10 0 0 0 0 0 0.0002 0.0008 0.0025 0.0068 0.0161 12 11 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0003 0.001 0.0029 12 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0002

13 0 0.5133 0.2542 0.1209 0.055 0.0238 0.0097 0.0037 0.0013 0.0004 0.0001 13 1 0.3512 0.3672 0.2774 0.1787 0.1029 0.054 0.0259 0.0113 0.0045 0.0016 13 2 0.1109 0.2448 0.2937 0.268 0.2059 0.1388 0.0836 0.0453 0.022 0.0095 13 3 0.0214 0.0997 0.19 0.2457 0.2517 0.2181 0.1651 0.1107 0.066 0.0349 13 4 0.0028 0.0277 0.0838 0.1535 0.2097 0.2337 0.2222 0.1845 0.135 0.0873

13 5 0.0003 0.0055 0.0266 0.0691 0.1258 0.1803 0.2154 0.2214 0.1989 0.1571 13 6 0 0.0008 0.0063 0.023 0.0559 0.103 0.1546 0.1968 0.2169 0.2095 13 7 0 0.0001 0.0011 0.0058 0.0186 0.0442 0.0833 0.1312 0.1775 0.2095 13 8 0 0 0.0001 0.0011 0.0047 0.0142 0.0336 0.0656 0.1089 0.1571 13 9 0 0 0 0.0001 0.0009 0.0034 0.0101 0.0243 0.0495 0.0873

104

P n k 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

13 10 0 0 0 0 0.0001 0.0006 0.0022 0.0065 0.0162 0.0349 13 11 0 0 0 0 0 0.0001 0.0003 0.0012 0.0036 0.0095 13 12 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0005 0.0016 13 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001

14 0 0.4877 0.2288 0.1028 0.044 0.0178 0.0068 0.0024 0.0008 0.0002 0.0001 14 1 0.3593 0.3559 0.2539 0.1539 0.0832 0.0407 0.0181 0.0073 0.0027 0.0009 14 2 0.1229 0.257 0.2912 0.2501 0.1802 0.1134 0.0634 0.0317 0.0141 0.0056 14 3 0.0259 0.1142 0.2056 0.2501 0.2402 0.1943 0.1366 0.0845 0.0462 0.0222 14 4 0.0037 0.0349 0.0998 0.172 0.2202 0.229 0.2022 0.1549 0.104 0.0611

14 5 0.0004 0.0078 0.0352 0.086 0.1468 0.1963 0.2178 0.2066 0.1701 0.1222 14 6 0 0.0013 0.0093 0.0322 0.0734 0.1262 0.1759 0.2066 0.2088 0.1833 14 7 0 0.0002 0.0019 0.0092 0.028 0.0618 0.1082 0.1574 0.1952 0.2095 14 8 0 0 0.0003 0.002 0.0082 0.0232 0.051 0.0918 0.1398 0.1833 14 9 0 0 0 0.0003 0.0018 0.0066 0.0183 0.0408 0.0762 0.1222

14 10 0 0 0 0 0.0003 0.0014 0.0049 0.0136 0.0312 0.0611 14 11 0 0 0 0 0 0.0002 0.001 0.0033 0.0093 0.0222 14 12 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0005 0.0019 0.0056 14 13 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0002 0.0009 14 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001

15 0 0.4633 0.2059 0.0874 0.0352 0.0134 0.0047 0.0016 0.0005 0.0001 0 15 1 0.3658 0.3432 0.2312 0.1319 0.0668 0.0305 0.0126 0.0047 0.0016 0.0005 15 2 0.1348 0.2669 0.2856 0.2309 0.1559 0.0916 0.0476 0.0219 0.009 0.0032 15 3 0.0307 0.1285 0.2184 0.2501 0.2252 0.17 0.111 0.0634 0.0318 0.0139 15 4 0.0049 0.0428 0.1156 0.1876 0.2252 0.2186 0.1792 0.1268 0.078 0.0417

15 5 0.0006 0.0105 0.0449 0.1032 0.1651 0.2061 0.2123 0.1859 0.1404 0.0916 15 6 0 0.0019 0.0132 0.043 0.0917 0.1472 0.1906 0.2066 0.1914 0.1527 15 7 0 0.0003 0.003 0.0138 0.0393 0.0811 0.1319 0.1771 0.2013 0.1964 15 8 0 0 0.0005 0.0035 0.0131 0.0348 0.071 0.1181 0.1647 0.1964 15 9 0 0 0.0001 0.0007 0.0034 0.0116 0.0298 0.0612 0.1048 0.1527

15 10 0 0 0 0.0001 0.0007 0.003 0.0096 0.0245 0.0515 0.0916 15 11 0 0 0 0 0.0001 0.0006 0.0024 0.0074 0.0191 0.0417 15 12 0 0 0 0 0 0.0001 0.0004 0.0016 0.0052 0.0139 15 13 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0003 0.001 0.0032 15 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0005 15 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

16 0 0.4401 0.1853 0.0743 0.0281 0.01 0.0033 0.001 0.0003 0.0001 0 16 1 0.3706 0.3294 0.2097 0.1126 0.0535 0.0228 0.0087 0.003 0.0009 0.0002 16 2 0.1463 0.2745 0.2775 0.2111 0.1336 0.0732 0.0353 0.015 0.0056 0.0018 16 3 0.0359 0.1423 0.2285 0.2463 0.2079 0.1465 0.0888 0.0468 0.0215 0.0085 16 4 0.0061 0.0514 0.1311 0.2001 0.2252 0.204 0.1553 0.1014 0.0572 0.0278

16 5 0.0008 0.0137 0.0555 0.1201 0.1802 0.2099 0.2008 0.1623 0.1123 0.0667 16 6 0.0001 0.0028 0.018 0.055 0.1101 0.1649 0.1982 0.1983 0.1684 0.1222 16 7 0 0.0004 0.0045 0.0197 0.0524 0.101 0.1524 0.1889 0.1969 0.1746 16 8 0 0.0001 0.0009 0.0055 0.0197 0.0487 0.0923 0.1417 0.1812 0.1964 16 9 0 0 0.0001 0.0012 0.0058 0.0185 0.0442 0.084 0.1318 0.1746

16 10 0 0 0 0.0002 0.0014 0.0056 0.0167 0.0392 0.0755 0.1222 16 11 0 0 0 0 0.0002 0.0013 0.0049 0.0142 0.0337 0.0667 16 12 0 0 0 0 0 0.0002 0.0011 0.004 0.0115 0.0278 16 13 0 0 0 0 0 0 0.0002 0.0008 0.0029 0.0085 16 14 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0005 0.0018

105

P n k 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 16 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0002 16 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

17 0 0.4181 0.1668 0.0631 0.0225 0.0075 0.0023 0.0007 0.0002 0 0 17 1 0.3741 0.315 0.1893 0.0957 0.0426 0.0169 0.006 0.0019 0.0005 0.0001 17 2 0.1575 0.28 0.2673 0.1914 0.1136 0.0581 0.026 0.0102 0.0035 0.001 17 3 0.0415 0.1556 0.2359 0.2393 0.1893 0.1245 0.0701 0.0341 0.0144 0.0052 17 4 0.0076 0.0605 0.1457 0.2093 0.2209 0.1868 0.132 0.0796 0.0411 0.0182

17 5 0.001 0.0175 0.0668 0.1361 0.1914 0.2081 0.1849 0.1379 0.0875 0.0472 17 6 0.0001 0.0039 0.0236 0.068 0.1276 0.1784 0.1991 0.1839 0.1432 0.0944 17 7 0 0.0007 0.0065 0.0267 0.0668 0.1201 0.1685 0.1927 0.1841 0.1484 17 8 0 0.0001 0.0014 0.0084 0.0279 0.0644 0.1134 0.1606 0.1883 0.1855 17 9 0 0 0.0003 0.0021 0.0093 0.0276 0.0611 0.107 0.154 0.1855

17 10 0 0 0 0.0004 0.0025 0.0095 0.0263 0.0571 0.1008 0.1484 17 11 0 0 0 0.0001 0.0005 0.0026 0.009 0.0242 0.0525 0.0944 17 12 0 0 0 0 0.0001 0.0006 0.0024 0.0081 0.0215 0.0472 17 13 0 0 0 0 0 0.0001 0.0005 0.0021 0.0068 0.0182 17 14 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0004 0.0016 0.0052

17 15 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0003 0.001 17 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 17 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

18 0 0.3972 0.1501 0.0536 0.018 0.0056 0.0016 0.0004 0.0001 0 0 18 1 0.3763 0.3002 0.1704 0.0811 0.0338 0.0126 0.0042 0.0012 0.0003 0.0001 18 2 0.1683 0.2835 0.2556 0.1723 0.0958 0.0458 0.019 0.0069 0.0022 0.0006 18 3 0.0473 0.168 0.2406 0.2297 0.1704 0.1046 0.0547 0.0246 0.0095 0.0031 18 4 0.0093 0.07 0.1592 0.2153 0.213 0.1681 0.1104 0.0614 0.0291 0.0117

18 5 0.0014 0.0218 0.0787 0.1507 0.1988 0.2017 0.1664 0.1146 0.0666 0.0327 18 6 0.0002 0.0052 0.0301 0.0816 0.1436 0.1873 0.1941 0.1655 0.1181 0.0708 18 7 0 0.001 0.0091 0.035 0.082 0.1376 0.1792 0.1892 0.1657 0.1214 18 8 0 0.0002 0.0022 0.012 0.0376 0.0811 0.1327 0.1734 0.1864 0.1669 18 9 0 0 0.0004 0.0033 0.0139 0.0386 0.0794 0.1284 0.1694 0.1855

18 10 0 0 0.0001 0.0008 0.0042 0.0149 0.0385 0.0771 0.1248 0.1669 18 11 0 0 0 0.0001 0.001 0.0046 0.0151 0.0374 0.0742 0.1214 18 12 0 0 0 0 0.0002 0.0012 0.0047 0.0145 0.0354 0.0708 18 13 0 0 0 0 0 0.0002 0.0012 0.0045 0.0134 0.0327 18 14 0 0 0 0 0 0 0.0002 0.0011 0.0039 0.0117

18 15 0 0 0 0 0 0 0 0.0002 0.0009 0.0031 18 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0006 18 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 18 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19 0 0.3774 0.1351 0.0456 0.0144 0.0042 0.0011 0.0003 0.0001 0 0 19 1 0.3774 0.2852 0.1529 0.0685 0.0268 0.0093 0.0029 0.0008 0.0002 0 19 2 0.1787 0.2852 0.2428 0.154 0.0803 0.0358 0.0138 0.0046 0.0013 0.0003 19 3 0.0533 0.1796 0.2428 0.2182 0.1517 0.0869 0.0422 0.0175 0.0062 0.0018 19 4 0.0112 0.0798 0.1714 0.2182 0.2023 0.1491 0.0909 0.0467 0.0203 0.0074

19 5 0.0018 0.0266 0.0907 0.1636 0.2023 0.1916 0.1468 0.0933 0.0497 0.0222 19 6 0.0002 0.0069 0.0374 0.0955 0.1574 0.1916 0.1844 0.1451 0.0949 0.0518 19 7 0 0.0014 0.0122 0.0443 0.0974 0.1525 0.1844 0.1797 0.1443 0.0961 19 8 0 0.0002 0.0032 0.0166 0.0487 0.0981 0.1489 0.1797 0.1771 0.1442 19 9 0 0 0.0007 0.0051 0.0198 0.0514 0.098 0.1464 0.1771 0.1762

106

P n k 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 19 10 0 0 0.0001 0.0013 0.0066 0.022 0.0528 0.0976 0.1449 0.1762 19 11 0 0 0 0.0003 0.0018 0.0077 0.0233 0.0532 0.097 0.1442 19 12 0 0 0 0 0.0004 0.0022 0.0083 0.0237 0.0529 0.0961 19 13 0 0 0 0 0.0001 0.0005 0.0024 0.0085 0.0233 0.0518 19 14 0 0 0 0 0 0.0001 0.0006 0.0024 0.0082 0.0222

19 15 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0005 0.0022 0.0074 19 16 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0005 0.0018 19 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0003 19 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

20 0 0.3585 0.1216 0.0388 0.0115 0.0032 0.0008 0.0002 0 0 0 20 1 0.3774 0.2702 0.1368 0.0576 0.0211 0.0068 0.002 0.0005 0.0001 0 20 2 0.1887 0.2852 0.2293 0.1369 0.0669 0.0278 0.01 0.0031 0.0008 0.0002 20 3 0.0596 0.1901 0.2428 0.2054 0.1339 0.0716 0.0323 0.0123 0.004 0.0011 20 4 0.0133 0.0898 0.1821 0.2182 0.1897 0.1304 0.0738 0.035 0.0139 0.0046

20 5 0.0022 0.0319 0.1028 0.1746 0.2023 0.1789 0.1272 0.0746 0.0365 0.0148 20 6 0.0003 0.0089 0.0454 0.1091 0.1686 0.1916 0.1712 0.1244 0.0746 0.037 20 7 0 0.002 0.016 0.0545 0.1124 0.1643 0.1844 0.1659 0.1221 0.0739 20 8 0 0.0004 0.0046 0.0222 0.0609 0.1144 0.1614 0.1797 0.1623 0.1201 20 9 0 0.0001 0.0011 0.0074 0.0271 0.0654 0.1158 0.1597 0.1771 0.1602

20 10 0 0 0.0002 0.002 0.0099 0.0308 0.0686 0.1171 0.1593 0.1762 20 11 0 0 0 0.0005 0.003 0.012 0.0336 0.071 0.1185 0.1602 20 12 0 0 0 0.0001 0.0008 0.0039 0.0136 0.0355 0.0727 0.1201 20 13 0 0 0 0 0.0002 0.001 0.0045 0.0146 0.0366 0.0739 20 14 0 0 0 0 0 0.0002 0.0012 0.0049 0.015 0.037

20 15 0 0 0 0 0 0 0.0003 0.0013 0.0049 0.0148 20 16 0 0 0 0 0 0 0 0.0003 0.0013 0.0046 20 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0002 0.0011 20 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0002 20 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

107

Tabla de valores de la función de distribución de U P(U < Uo ); Uo s el argumento; n1 < n2; 3 < n2 < 10.

n2 = 3

n1

U0 1 2 3

0 0.25 0.10 0.05

1 0.50 0.20 0.10

2 0.40 0.20

3 0.60 0.35

4 0.50

n2 = 4

n1

U0 1 2 3 4

0 0.2000 0.0667 0.0286 0.0143

1 0.4000 0.1333 0.0571 0.0286

2 0.6000 0.2667 0.1143 0.0571

3 0.4000 0.2000 0.1000

4 0.6000 0.3143 0.1714

5 0.4286 0.2429

6 0.5714 0.3429

7 0.4429

8 0.5571

n2 = 5

n1 U0 1 2 3 4 5 0 0.1667 0.0476 0.0179 0.0079 0.0040

1 0.3333 0.0952 0.0357 0.0159 0.0079

2 0.5000 0.1905 0.0714 0.0317 0.0159

3 0.2857 0.1250 0.0556 0.0278

4 0.4286 0.1964 0.0952 0.0476

5 0.5714 0.2857 0.1429 0.0754

6 0.3929 0.2063 0.1111

7 0.5000 0.2778 0.1548

8 0.3651 0.2103

9 0.4524 0.2738

10 0.5476 0.3452

11 0.4206

12 0.5000

108

Tabla de valores de la función de distribución de U P(U < Uo ); Uo s el argumento; n1 < n2; 3 < n2 < 10. Continuación 1

n2 = 6

n1

U0 1 2 3 4 5 6

0 0.1429 0.0357 0.0119 0.0048 0.0022 0.0011

1 0.2857 0.0714 0.0238 0.0095 0.0043 0.0022

2 0.4286 0.1429 0.0476 0.0190 0.0087 0.0043

3 0.5714 0.2143 0.0833 0.0333 0.0152 0.0076

4 0.3214 0.1310 0.0571 0.0260 0.0130

5 0.4286 0.1905 0.0857 0.0411 0.0206

6 0.5714 0.2738 0.1286 0.0628 0.0325

7 0.3571 0.1762 0.0887 0.0465

8 0.4524 0.2381 0.1234 0.0660

9 0.5476 0.3048 0.1645 0.0898

10 0.3810 0.2143 0.1201

11 0.4571 0.2684 0.1548

12 0.5429 0.3312 0.1970

13 0.3961 0.2424

14 0.4654 0.2944

15 0.5346 0.3496

16 0.4091

17 0.4686

18 0.5314

109

Tabla de valores de la función de distribución de U P (U < Uo); Uo s el argumento; n1 < n2; 3 < n2 < 10. Continuación 2

n2 = 7

n1

U0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.1250 0.0278 0.0083 0.0030 0.0013 0.0006 0.0003

1 0.2500 0.0556 0.0167 0.0061 0.0025 0.0012 0.0006

2 0.3750 0.1111 0.0333 0.0121 0.0051 0.0023 0.0012

3 0.5000 0.1667 0.0583 0.0212 0.0088 0.0041 0.0020

4 0.2500 0.0917 0.0364 0.0152 0.0070 0.0035

5 0.3333 0.1333 0.0545 0.0240 0.0111 0.0055

6 0.4444 0.1917 0.0818 0.0366 0.0175 0.0087

7 0.5556 0.2583 0.1152 0.0530 0.0256 0.0131

8 0.3333 0.1576 0.0745 0.0367 0.0189

9 0.4167 0.2061 0.1010 0.0507 0.0265

10 0.5000 0.2636 0.1338 0.0688 0.0364

11 0.3242 0.1717 0.0903 0.0487

12 0.3939 0.2159 0.1171 0.0641

13 0.4636 0.2652 0.1474 0.0825

14 0.5364 0.3194 0.1830 0.1043

15 0.3775 0.2226 0.1297

16 0.4381 0.2669 0.1588

17 0.5000 0.3141 0.1914

18 0.3654 0.2279

19 0.4178 0.2675

20 0.4726 0.3100

21 0.5274 0.3552

22 0.4024

23 0.4508

24 0.5000

110


n2 = 8

n1 U0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.1111 0.0222 0.0061 0.0020 0.0008 0.0003 0.0002 0.0001

1 0.2222 0.0444 0.0121 0.0040 0.0016 0.0007 0.0003 0.0002

2 0.3333 0.0889 0.0242 0.0081 0.0031 0.0013 0.0006 0.0003

3 0.4444 0.1333 0.0424 0.0141 0.0054 0.0023 0.0011 0.0005

4 0.5556 0.2000 0.0667 0.0242 0.0093 0.0040 0.0019 0.0009

5 0.2667 0.0970 0.0364 0.0148 0.0063 0.0030 0.0015

6 0.3556 0.1394 0.0545 0.0225 0.0100 0.0047 0.0023

7 0.4444 0.1879 0.0768 0.0326 0.0147 0.0070 0.0035

8 0.5556 0.2485 0.1071 0.0466 0.0213 0.0103 0.0052

9 0.3152 0.1414 0.0637 0.0296 0.0145 0.0074

10 0.3879 0.1838 0.0855 0.0406 0.0200 0.0103

11 0.4606 0.2303 0.1111 0.0539 0.0270 0.0141

12 0.5394 0.2848 0.1422 0.0709 0.0361 0.0190

13 0.3414 0.1772 0.0906 0.0469 0.0249

14 0.4040 0.2176 0.1142 0.0603 0.0325

15 0.4667 0.2618 0.1412 0.0760 0.0415

16 0.5333 0.3108 0.1725 0.0946 0.0524

17 0.3621 0.2068 0.1159 0.0652

18 0.4165 0.2454 0.1405 0.0803

19 0.4716 0.2864 0.1678 0.0974

20 0.5284 0.3310 0.1984 0.1172

21 0.3773 0.2317 0.1393

22 0.4259 0.2679 0.1641

23 0.4749 0.3063 0.1911

24 0.5251 0.3472 0.2209

25 0.3894 0.2527

26 0.4333 0.2869

27 0.4775 0.3227

28 0.5225 0.3605

29 0.3992

30 0.4392

31 0.4796

32 0.5204

111


n2 = 9 n1

U0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.1000 0.0182 0.0045 0.0014 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 1 0.2000 0.0364 0.0091 0.0028 0.0010 0.0004 0.0002 0.0001 0.0000 2 0.3000 0.0727 0.0182 0.0056 0.0020 0.0008 0.0003 0.0002 0.0001 3 0.4000 0.1091 0.0318 0.0098 0.0035 0.0014 0.0006 0.0003 0.0001 4 0.5000 0.1636 0.0500 0.0168 0.0060 0.0024 0.0010 0.0005 0.0002 5 0.2182 0.0727 0.0252 0.0095 0.0038 0.0017 0.0008 0.0004 6 0.2909 0.1045 0.0378 0.0145 0.0060 0.0026 0.0012 0.0006 7 0.3636 0.1409 0.0531 0.0210 0.0088 0.0039 0.0019 0.0009 8 0.4545 0.1864 0.0741 0.0300 0.0128 0.0058 0.0028 0.0014 9 0.5455 0.2409 0.0993 0.0415 0.0180 0.0082 0.0039 0.0020

10 0.3000 0.1301 0.0559 0.0248 0.0115 0.0056 0.0028 11 0.3636 0.1650 0.0734 0.0332 0.0156 0.0076 0.0039 12 0.4318 0.2070 0.0949 0.0440 0.0209 0.0103 0.0053 13 0.5000 0.2517 0.1199 0.0567 0.0274 0.0137 0.0071 14 0.3021 0.1489 0.0723 0.0356 0.0180 0.0094 15 0.3552 0.1818 0.0905 0.0454 0.0232 0.0122 16 0.4126 0.2188 0.1119 0.0571 0.0296 0.0157 17 0.4699 0.2592 0.1361 0.0708 0.0372 0.0200 18 0.5301 0.3032 0.1638 0.0869 0.0464 0.0252 19 0.3497 0.1942 0.1052 0.0570 0.0313 20 0.3986 0.2280 0.1261 0.0694 0.0385 21 0.4491 0.2643 0.1496 0.0836 0.0470 22 0.5000 0.3035 0.1755 0.0998 0.0567 23 0.3445 0.2039 0.1179 0.0680 24 0.3878 0.2349 0.1383 0.0807 25 0.4320 0.2680 0.1606 0.0951 26 0.4773 0.3032 0.1852 0.1112 27 0.5227 0.3403 0.2117 0.1290 28 0.3788 0.2404 0.1487 29 0.4185 0.2707 0.1701 30 0.4591 0.3029 0.1933 31 0.5000 0.3365 0.2181 32 0.3715 0.2447 33 0.4074 0.2729 34 0.4442 0.3024 35 0.4813 0.3332 36 0.5187 0.3652 37 0.3981 38 0.4317 39 0.4657 40 0.5000

112

Tabla de valores de la función de distribución de U P (U < Uo); Uo s el argumento; n1 < n2; 3 < n2 < 10. Continuación 4 n2 = 10

n1 U0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.0909 0.0152 0.0035 0.0010 0.0003 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 1 0.1818 0.0303 0.0070 0.0020 0.0007 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 2 0.2727 0.0606 0.0140 0.0040 0.0013 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 3 0.3636 0.0909 0.0245 0.0070 0.0023 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001 0.0000 4 0.4545 0.1364 0.0385 0.0120 0.0040 0.0015 0.0006 0.0003 0.0001 0.0001 5 0.5455 0.1818 0.0559 0.0180 0.0063 0.0024 0.0010 0.0004 0.0002 0.0001 6 0.2424 0.0804 0.0270 0.0097 0.0037 0.0015 0.0007 0.0003 0.0002 7 0.3030 0.1084 0.0380 0.0140 0.0055 0.0023 0.0010 0.0005 0.0002 8 0.3788 0.1434 0.0529 0.0200 0.0080 0.0034 0.0015 0.0007 0.0004 9 0.4545 0.1853 0.0709 0.0276 0.0112 0.0048 0.0022 0.0011 0.0005

10 0.5455 0.2343 0.0939 0.0376 0.0156 0.0068 0.0031 0.0015 0.0008 11 0.2867 0.1199 0.0496 0.0210 0.0093 0.0043 0.0021 0.0010 12 0.3462 0.1518 0.0646 0.0280 0.0125 0.0058 0.0028 0.0014 13 0.4056 0.1868 0.0823 0.0363 0.0165 0.0078 0.0038 0.0019 14 0.4685 0.2268 0.1032 0.0467 0.0215 0.0103 0.0051 0.0026 15 0.5315 0.2697 0.1272 0.0589 0.0277 0.0133 0.0066 0.0034 16 0.3177 0.1548 0.0736 0.0351 0.0171 0.0086 0.0045 17 0.3666 0.1855 0.0903 0.0439 0.0217 0.0110 0.0057 18 0.4196 0.2198 0.1099 0.0544 0.0273 0.0140 0.0073 19 0.4725 0.2567 0.1317 0.0665 0.0338 0.0175 0.0093 20 0.5275 0.2970 0.1566 0.0806 0.0416 0.0217 0.0116 21 0.3393 0.1838 0.0966 0.0506 0.0267 0.0144 22 0.3839 0.2139 0.1148 0.0610 0.0326 0.0177 23 0.4296 0.2461 0.1349 0.0729 0.0394 0.0216 24 0.4765 0.2811 0.1574 0.0864 0.0474 0.0262 25 0.5235 0.3177 0.1819 0.1015 0.0564 0.0315 26 0.3564 0.2087 0.1185 0.0667 0.0376 27 0.3962 0.2374 0.1371 0.0782 0.0446 28 0.4374 0.2681 0.1577 0.0912 0.0526 29 0.4789 0.3004 0.1800 0.1055 0.0615 30 0.5211 0.3345 0.2041 0.1214 0.0716 31 0.3698 0.2299 0.1388 0.0827 32 0.4063 0.2574 0.1577 0.0952 33 0.4434 0.2863 0.1781 0.1088 34 0.4811 0.3167 0.2001 0.1237 35 0.5189 0.3482 0.2235 0.1399 36 0.3809 0.2483 0.1575 37 0.4143 0.2745 0.1763 38 0.4484 0.3019 0.1965 39 0.4827 0.3304 0.2179 40 0.5173 0.3598 0.2406 41 0.3901 0.2644 42 0.4211 0.2894 43 0.4524 0.3153 44 0.4841 0.3421 45 0.5159 0.3697 46 0.3980 47 0.4267 48 0.4559 49 0.4853 50 0.5147

113

Tabla de valores críticos de T en la prueba de rangos con signo de Wilcoxon: n = 5 (1 ) 50 Unilateral Bilateral n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9 n = 10 P = 0;05 P = 0;10 1 2 4 6 8 11 P = 0;025 P = 0;05 1 2 4 6 8 P = 0;01 P = 0;02 0 2 3 5 P = 0;005 P = 0;01 0 2 3 Unilateral Bilateral n = 11 n = 12 n = 13 n = 14 n = 15 n = 16 P = 0;05 P = 0;10 14 17 21 26 30 36 P = 0;025 P = 0;05 11 14 17 21 25 30 P = 0;01 P = 0;02 7 10 13 16 20 24 P = 0;005 P = 0;01 5 7 10 13 16 19 Unilateral Bilateral n = 17 n = 18 n = 19 n = 20 n = 21 n = 22 P = 0;05 P = 0;10 41 47 54 60 68 75 P = 0;025 P = 0;05 35 40 46 52 59 66 P = 0;01 P = 0;02 28 33 38 43 49 56 P = 0;005 P = 0;01 23 28 32 37 43 49 Unilateral Bilateral n = 23 n = 24 n = 25 n = 26 n = 27 n = 28 P = 0;05 P = 0;10 83 92 101 110 120 130 P = 0;025 P = 0;05 73 81 90 98 107 117 P = 0;01 P = 0;02 62 69 77 85 93 102 P = 0;005 P = 0;01 55 68 68 76 84 92 Unilateral Bilateral n = 29 n = 30 n = 31 n = 32 n = 33 n = 34 P = 0;05 P = 0;10 141 152 163 175 188 201 P = 0;025 P = 0;05 127 137 148 159 171 183 P = 0;01 P = 0;02 111 120 130 141 151 162 P = 0;005 P = 0;01 100 109 118 128 138 149 Unilateral Bilateral n = 35 n = 36 n = 37 n = 38 n = 39 n = 40 P = 0;05 P = 0;10 214 228 242 256 271 287 P = 0;025 P = 0;05 195 208 222 235 250 264 P = 0;01 P = 0;02 174 186 198 211 224 238 P = 0;005 P = 0;01 160 171 183 195 208 221 Unilateral Bilateral n = 41 n = 42 n = 43 n = 44 n = 45 n = 46 P = 0;05 P = 0;10 303 319 336 353 371 389 P = 0;025 P = 0;05 279 295 311 327 344 361 P = 0;01 P = 0;02 252 267 281 297 313 329 P = 0;005 P = 0;01 234 248 262 277 292 307 Unilateral Bilateral n = 47 n = 48 n = 49 n = 50 P = 0;05 P = 0;10 408 427 446 466 P = 0;025 P = 0;05 379 397 415 434 P = 0;01 P = 0;02 345 362 380 398 P = 0;005 P = 0;01 323 339 356 373

114

Tabla de valores de Δ * para determinar el número de replicaciones en un DCA

t = 2 t = 3 t = 4

1 ― β 1 ― β 1 ― β

r 0.7 0.8 0.9 0.7 0.8 0.9 0.7 0.8 0.9

2 4.863 5.653 6.796 4.883 5.570 6.548 4.872 5.504 6.395

3 2.703 3.071 3.589 2.957 3.325 3.838 3.904 3.460 3.967

4 2.104 2.381 2.767 2.335 2.618 3.010 2.468 2.754 3.148

5 1.792 2.024 2.348 1.997 2.236 2.568 2.119 2.362 2.698

6 1.590 1.796 2.081 1.775 1.987 2.280 1.888 2.104 2.401

7 1.446 1.632 1.890 1.615 1.808 2.073 1.719 1.916 2.186

8 1.335 1.507 1.745 1.492 1.670 1.915 1.590 1.771 2.020

9 1.247 1.407 1.629 1.394 1.560 1.788 1.486 1.655 1.888

10 1.175 1.325 1.534 1.313 1.469 1.684 1.400 1.559 1.778

11 1.113 1.256 1.454 1.245 1.393 1.596 1.328 1.479 1.686

12 1.061 1.197 1.385 1.186 1.327 1.521 1.266 1.409 1.607

13 1.016 1.145 1.326 1.135 1.270 1.456 1.211 1.349 1.538

14 0.975 1.100 1.273 1.090 1.220 1.398 1.164 1.296 1.478

15 0.940 1.060 1.226 1.050 1.175 1.347 1.121 1.249 1.424

16 0.908 1.024 1.185 1.015 1.135 1.301 1.083 1.206 1.375

17 0.879 0.991 1.147 0.982 1.099 1.259 1.049 1.168 1.331

18 0.852 0.961 1.112 0.953 1.066 1.222 1.017 1.133 1.292

19 0.828 0.934 1.081 0.926 1.036 1.187 0.988 1.101 1.255

20 0.806 0.909 1.052 0.901 1.008 1.155 0.962 1.071 1.222

21 0.786 0.886 1.025 0.878 0.982 1.126 0.938 1.044 1.191

22 0.767 0.865 1.000 0.857 0.959 1.099 0.915 1.019 1.162

23 0.749 0.845 0.977 0.837 0.936 1.073 0.894 0.996 1.135

24 0.733 0.826 0.956 0.819 0.916 1.050 0.874 0.974 1.110

25 0.717 0.809 0.936 0.802 0.897 1.028 0.856 0.953 1.087

115

Tabla de valores de Δ * para determinar el número de replicaciones en un DCA. Continuación 1

t = 5 t = 6 t = 7

1 ― β 1 ― β 1 ― β r 0.7 0.8 0.9 0.7 0.8 0.9 0.7 0.8 0.9 2 4.889 5.490 6.333 4.922 5.505 6.317 4.963 5.534 6.327 3 3.197 3.562 4.065 3.283 3.647 4.149 3.358 3.723 4.224 4 2.568 2.856 3.251 2.650 2.940 3.337 2.721 3.013 3.412 5 2.211 2.457 2.795 2.287 2.535 2.876 2.352 2.602 2.945 6 1.973 2.191 2.492 2.042 2.264 2.567 2.102 2.326 2.632 7 1.798 1.997 2.271 1.863 2.065 2.341 1.919 2.123 2.401 8 1.664 1.848 2.100 1.725 1.911 2.166 1.777 1.965 2.223 9 1.556 1.728 1.963 1.613 1.787 2.026 1.662 1.839 2.080 10 1.466 1.628 1.850 1.521 1.685 1.910 1.568 1.734 1.961 11 1.391 1.544 1.755 1.443 1.599 1.812 1.488 1.645 1.861 12 1.326 1.472 1.673 1.376 1.524 1.727 1.419 1.569 1.774 13 1.269 1.409 1.602 1.317 1.459 1.654 1.358 1.502 1.699 14 1.220 1.354 1.539 1.266 1.402 1.589 1.305 1.444 1.633 15 1.175 1.305 1.483 1.220 1.351 1.531 1.258 1.391 1.573 16 1.135 1.261 1.432 1.178 1.306 1.479 1.216 1.344 1.520 17 1.099 1.221 1.387 1.141 1.264 1.433 1.177 1.302 1.472 18 1.066 1.184 1.345 1.107 1.226 1.390 1.142 1.263 1.428 19 1.036 1.151 1.307 1.076 1.192 1.351 1.110 1.228 1.388 20 1.009 1.120 1.273 1.047 1.160 1.315 1.081 1.195 1.351 21 0.983 1.092 1.240 1.021 1.131 1.282 1.053 1.165 1.317 22 0.960 1.065 1.210 0.996 1.104 1.251 1.028 1.137 1.285 23 0.938 1.041 1.183 0.973 1.078 1.222 1.004 1.111 1.256 24 0.917 1.018 1.157 0.952 1.055 1.195 0.982 1.086 1.228 25 0.898 0.997 1.132 0.932 1.033 1.170 0.962 1.064 1.203

116


t = 8 t = 9 t = 10

1 ― β 1 ― β 1 ― β r 0.7 0.8 0.9 0.7 0.8 0.9 0.7 0.8 0.9 2 5.009 5.572 6.350 5.056 5.613 6.382 5.104 5.657 6.419 3 3.426 3.791 4.293 3.488 3.854 4.356 3.545 3.913 4.416 4 2.784 3.078 3.479 2.841 3.136 3.540 2.893 3.191 3.596 5 2.409 2.662 3.008 2.461 2.716 3.064 2.509 2.766 3.116 6 2.155 2.381 2.689 2.203 2.431 2.741 2.247 2.477 2.789 7 1.968 2.174 2.455 2.013 2.221 2.504 2.054 2.263 2.548 8 1.823 2.014 2.274 1.865 2.057 2.319 1.903 2.097 2.361 9 1.706 1.884 2.128 1.746 1.926 2.171 1.782 1.963 2.210 10 1.609 1.777 2.006 1.647 1.816 2.048 1.681 1.852 2.085 11 1.527 1.687 1.904 1.563 1.724 1.943 1.596 1.758 1.979 12 1.457 1.609 1.816 1.491 1.644 1.853 1.522 1.677 1.888 13 1.395 1.540 1.739 1.428 1.575 1.775 1.458 1.606 1.808 14 1.340 1.480 1.671 1.372 1.513 1.706 1.401 1.544 1.738 15 1.292 1.427 1.611 1.323 1.459 1.644 1.351 1.488 1.675 16 1.248 1.379 1.556 1.278 1.410 1.589 1.305 1.438 1.619 17 1.209 1.335 1.507 1.238 1.365 1.539 1.264 1.393 1.568 18 1.173 1.295 1.462 1.201 1.325 1.493 1.227 1.351 1.521 19 1.140 1.259 1.421 1.167 1.288 1.451 1.192 1.314 1.479 20 1.110 1.226 1.384 1.136 1.253 1.413 1.161 1.279 1.440 21 1.082 1.195 1.349 1.108 1.222 1.377 1.131 1.247 1.403 22 1.056 1.166 1.316 1.081 1.193 1.344 1.104 1.217 1.370 23 1.032 1.139 1.286 1.057 1.165 1.313 1.079 1.189 1.338 24 1.009 1.114 1.258 1.033 1.140 1.285 1.056 1.163 1.309 25 0.988 1.091 1.232 1.012 1.116 1.258 1.033 1.139 1.282

117


t = 11 t = 13 t = 15

1 ― β 1 ― β 1 ― β r 0.7 0.8 0.9 0.7 0.8 0.9 0.7 0.8 0.9 2 5.152 5.702 6.458 5.245 5.792 6.541 5.334 5.879 6.625 3 3.599 3.968 4.472 3.697 4.069 4.576 3.785 4.161 4.670 4 2.942 3.241 3.649 3.030 3.333 3.744 3.109 3.415 3.830 5 2.553 2.812 3.164 2.633 2.895 3.251 2.705 2.970 3.329 6 2.288 2.519 2.834 2.361 2.596 2.914 2.426 2.664 2.986 7 2.091 2.303 2.590 2.160 2.374 2.665 2.220 2.437 2.732 8 1.939 2.134 2.400 2.002 2.201 2.470 2.059 2.260 2.533 9 1.815 1.998 2.247 1.875 2.061 2.313 1.929 2.117 2.372 10 1.713 1.885 2.120 1.770 1.945 2.183 1.820 1.998 2.239 11 1.626 1.790 2.012 1.680 1.847 2.073 1.728 1.897 2.126 12 1.551 1.707 1.920 1.603 1.762 1.977 1.649 1.810 2.028 13 1.486 1.635 1.839 1.536 1.688 1.894 1.580 1.734 1.944 14 1.428 1.572 1.767 1.476 1.622 1.821 1.519 1.667 1.868 15 1.376 1.515 1.704 1.423 1.564 1.755 1.464 1.607 1.801 16 1.330 1.464 1.646 1.375 1.512 1.696 1.415 1.554 1.741 17 1.288 1.418 1.595 1.332 1.464 1.643 1.371 1.505 1.686 18 1.250 1.376 1.547 1.293 1.421 1.594 1.330 1.460 1.636 19 1.215 1.338 1.504 1.257 1.381 1.550 1.293 1.420 1.591 20 1.183 1.302 1.464 1.223 1.345 1.509 1.259 1.382 1.549 21 1.153 1.270 1.427 1.193 1.311 1.471 1.228 1.348 1.510 22 1.126 1.239 1.393 1.164 1.279 1.436 1.198 1.315 1.474 23 1.100 1.211 1.361 1.138 1.250 1.403 1.171 1.285 1.440 24 1.076 1.184 1.332 1.113 1.223 1.373 1.145 1.257 1.409 25 1.053 1.160 1.304 1.090 1.197 1.344 1.122 1.231 1.379

118


t = 20 t = 25 t = 30

1 ― β 1 ― β 1 ― β r 0.7 0.8 0.9 0.7 0.8 0.9 0.7 0.8 0.9 2 5.539 6.086 6.829 5.722 6.272 7.018 5.886 6.441 7.191 3 3.977 4.359 4.877 4.138 4.527 5.053 4.279 4.674 5.208 4 3.278 3.592 4.015 3.419 3.739 4.171 3.542 3.868 4.307 5 2.856 3.129 3.497 2.983 3.261 3.637 3.092 3.376 3.758 6 2.565 2.810 3.139 2.681 2.931 3.268 2.780 3.036 3.379 7 2.349 2.572 2.874 2.455 2.684 2.993 2.548 2.781 3.095 8 2.179 2.386 2.666 2.279 2.491 2.777 2.365 2.582 2.874 9 2.042 2.236 2.498 2.136 2.335 2.603 2.217 2.420 2.694

10 1.928 2.111 2.359 2.017 2.205 2.458 2.094 2.286 2.544 11 1.831 2.005 2.240 1.916 2.094 2.335 1.989 2.171 2.417 12 1.747 1.913 2.138 1.829 1.999 2.228 1.899 2.073 2.307 13 1.674 1.833 2.048 1.752 1.916 2.135 1.820 1.986 2.211 14 1.610 1.763 1.969 1.685 1.842 2.053 1.750 1.910 2.126 15 1.552 1.700 1.899 1.625 1.776 1.980 1.687 1.842 2.050 16 1.500 1.643 1.835 1.571 1.717 1.914 1.631 1.781 1.981 17 1.453 1.591 1.778 1.521 1.663 1.854 1.580 1.725 1.920 18 1.410 1.544 1.725 1.477 1.614 1.799 1.534 1.674 1.863 19 1.371 1.502 1.677 1.436 1.569 1.749 1.491 1.628 1.811 20 1.335 1.462 1.633 1.398 1.528 1.703 1.452 1.585 1.764 21 1.302 1.425 1.592 1.363 1.490 1.661 1.416 1.545 1.720 22 1.271 1.391 1.554 1.331 1.454 1.621 1.382 1.509 1.679 23 1.242 1.360 1.519 1.300 1.421 1.584 1.351 1.474 1.641 24 1.215 1.330 1.486 1.272 1.390 1.550 1.321 1.442 1.605 25 1.189 1.302 1.455 1.246 1.361 1.518 1.294 1.412 1.572

119

Tabla de valores de K = α / s 1para β = 0.80 γ = 0.05 para pruebas de de una cola; 0.1 para pruebas de dos colas

df2

r 1 2 3 4 5 6 8 12 16 24 32 ∞

1 13.8 8.52 7.39 6.93 6.68 6.51 6.31 6.13 6.04 5.96 5.92 5.79

2 5.88 3.51 3.02 2.81 2.7 2.62 2.53 2.45 2.41 2.37 2.35 2.3

3 4.3 2.55 2.2 2.03 1.96 1.91 1.85 1.78 1.75 1.72 1.7 1.65

4 3.55 2.1 1.8 1.67 1.6 1.56 1.5 1.45 1.43 1.4 1.39 1.36

5 3.12 1.85 1.58 1.47 1.41 1.37 1.32 1.28 1.25 1.23 1.22 1.18

6 2.81 1.66 1.43 1.32 1.27 1.23 1.19 1.15 1.13 1.11 1.1 1.07

7 2.56 1.52 1.3 1.21 1.16 1.12 1.08 1.05 1.03 1.02 1.01 0.979

8 2.37 1.41 1.21 1.12 1.07 1.04 1 0.972 0.956 0.94 0.932 0.91

9 2.23 1.32 1.14 1.05 1.01 0.978 0.944 0.913 0.898 0.883 0.875 0.854

10 2.11 1.25 1.07 0.993 0.952 0.925 0.893 0.863 0.849 0.835 0.828 0.805

12 1.92 1.14 0.975 0.902 0.865 0.84 0.811 0.784 0.771 0.758 0.752 0.732

14 1.77 1.05 0.899 0.831 0.797 0.775 0.748 0.723 0.71 0.699 0.693 0.676

16 1.65 0.976 0.838 0.775 0.743 0.722 0.697 0.673 0.662 0.651 0.646 0.631

18 1.56 0.921 0.79 0.731 0.701 0.681 0.658 0.635 0.624 0.614 0.609 0.594

20 1.48 0.873 0.75 0.693 0.665 0.646 0.624 0.602 0.592 0.583 0.578 0.563

25 1.32 0.779 0.669 0.619 0.593 0.577 0.557 0.538 0.529 0.52 0.515 0.502

30 1.2 0.708 0.608 0.563 0.54 0.525 0.507 0.489 0.481 0.473 0.469 0.456

40 1.04 0.613 0.526 0.486 0.467 0.454 0.438 0.423 0.416 0.409 0.405 0.395

50 0.925 0.548 0.471 0.435 0.417 0.405 0.391 0.378 0.371 0.365 0.362 0.353

60 0.844 0.499 0.429 0.396 0.38 0.369 0.356 0.344 0.338 0.333 0.33 0.322

80 0.73 0.432 0.371 0.342 0.328 0.319 0.308 0.298 0.292 0.288 0.285 0.278

100 0.652 0.385 0.331 0.306 0.293 0.285 0.275 0.266 0.261 0.257 0.255 0.249

120

Tabla de valores de K = α / s 1para β = 0.95 γ = 0.05 para pruebas de de una cola; 0.1 para pruebas de dos colas. Continuación 1

df2

r 1 2 3 4 5 6 8 12 16 24 32 ∞

1 57.1 19.5 14.4 12.6 11.6 11 10.4 9.85 9.58 9.33 9.21 8.86

2 24.2 7.74 5.6 4.77 4.39 4.15 3.86 3.61 3.49 3.38 3.33 3.19

3 17.6 5.58 4.03 3.39 3.13 2.94 2.74 2.55 2.46 2.39 2.35 2.23

4 14.5 4.58 3.28 2.79 2.56 2.4 2.23 2.08 2.01 1.94 1.91 1.82

5 12.6 3.97 2.88 2.41 2.23 2.09 1.93 1.82 1.76 1.69 1.66 1.58

6 11.2 3.55 2.57 2.17 2 1.38 1.73 1.82 1.67 1.52 1.49 1.42

7 10.3 3.26 2.36 1.99 1.83 1.72 1.58 1.48 1.43 1.38 1.36 1.3

8 9.7 3.05 2.19 1.86 1.7 1.6 1.48 1.39 1.34 1.29 1.27 1.21

9 9.12 2.87 2.06 1.75 1.6 1.5 1.39 1.3 1.26 1.21 1.19 1.13

10 8.62 2.72 1.95 1.65 1.51 1.42 1.32 1.23 1.19 1.15 1.13 1.07

12 7.83 2.47 1.77 1.5 1.37 1.29 1.2 1.12 1.08 1.04 1.02 0.971

14 7.22 2.28 1.63 1.38 1.26 1.19 1.11 1.03 0.993 0.959 0.942 0.893

16 6.73 2.13 1.52 1.29 1.18 1.11 1.03 0.959 0.924 0.893 0.878 0.834

18 6.35 2.01 1.44 1.22 1.11 1.04 0.972 0.904 0.872 0.842 0.828 0.785

20 6.02 1.9 1.36 1.15 1.05 0.991 0.921 0.858 0.827 0.798 0.785 0.744

25 5.37 1.7 1.22 1.03 0.94 0.884 0.822 0.765 0.738 0.712 0.7 0.663

30 4.89 1.54 1.11 0.935 0.855 0.804 0.748 0.695 0.671 0.847 0.636 0.605

40 4.23 1.33 0.962 0.809 0.739 0.696 0.646 0.601 0.58 0.56 0.55 0.525

50 3.78 1.19 0.854 0.722 0.661 0.622 0.577 0.537 0.518 0.5 0.492 0.469

60 3.45 1.09 0.778 0.658 0.602 0.567 0.525 0.49 0.472 0.456 0.448 0.428

80 2.98 0.94 0.672 0.569 0.52 0.49 0.454 0.423 0.408 0.395 0.388 0.369

100 2.67 0.84 0.6 0.508 0.465 0.438 0.405 0.378 0.365 0.353 0.347 0.329

121

Tabla de valores de cuartiles superiores de la distribución de la estadística Dn de Kolmogorov-Smirnov

1― α

n 0.8 0.85 0.9 0.95 0.99

1 0.9 0.925 0.95 0.975 0.995

2 0.684 0.726 0.776 0.842 0.929

3 0.565 0.597 0.642 0.708 0.828

4 0.494 0.525 0.564 0.624 0.733

5 0.446 0.474 0.51 0.565 0.669

6 0.41 0.436 0.47 0.521 0.618

7 0.381 0.405 0.438 0.486 0.577

8 0.358 0.381 0.411 0.457 0.543

9 0.339 0.36 0.388 0.432 0.514

10 0.322 0.342 0.368 0.41 0.49

11 0.307 0.326 0.352 0.391 0.468

12 0.295 0.313 0.338 0.375 0.45

13 0.284 0.302 0.325 0.361 0.433

14 0.274 0.292 0.314 0.349 0.418

15 0.266 0.283 0.304 0.338 0.404

16 0.258 0.274 0.295 0.328 0.392

17 0.25 0.266 0.286 0.318 0.381

18 0.244 0.259 0.278 0.309 0.371

19 0.237 0.252 0.272 0.301 0.363

20 0.231 0.246 0.264 0.294 0.356

25 0.21 0.22 0.24 0.27 0.32

30 0.19 0.2 0.22 0.24 0.29

35 0.18 0.19 0.21 0.23 0.27 Fórmula para una n mayor

1,07

n

1,14

n

1,22

n

1,36

n

1,63

n

122

Tabla de rangos significativos para la prueba del rango múltiple de Duncan r0,01 (p,f)

P

f 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 100

1 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90

2 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14

3 8.26 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.9 9 9 9.3 9.3 9.3

4 6.51 6.8 6.9 7 7.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.5 7.5 7.5

5 5.7 5.96 6.11 6.18 6.26 6.33 6.4 6.44 6.5 6.8 6.8 6.8

6 5.24 5.51 5.65 5.73 5.81 5.88 5.95 6 6 6.3 6.3 6.3

7 4.95 5.22 5.37 5.45 5.53 5.61 5.69 5.73 5.8 6 6 6

8 4.74 5 5.14 5.23 5.32 5.4 5.47 5.51 5.5 5.8 5.8 5.8

9 4.6 4.86 4.99 5.08 5.17 5.25 5.32 5.36 5.4 5.7 5.7 5.7

10 4.48 4.73 4.88 4.96 5.06 5.13 5.2 5.24 5.28 5.55 5.55 5.55

11 4.39 4.63 4.77 4.86 4.94 5.01 5.06 5.12 5.15 5.39 5.39 5.39

12 4.32 4.55 4.68 4.76 4.84 4.92 4.96 5.02 5.07 5.26 5.26 5.26

13 4.26 4.48 4.62 4.69 4.74 4.84 4.88 4.94 4.98 5.15 5.15 5.15

14 4.21 4.42 4.55 4.63 4.7 4.78 4.83 4.87 4.91 5.07 5.07 5.07

15 4.17 4.37 4.5 4.58 4.64 4.72 4.77 4.81 4.84 5 5 5

16 4.13 4.34 4.45 4.54 4.6 4.67 4.72 4.76 4.79 4.94 4.94 4.94

17 4.1 4.3 4.41 4.5 4.56 4.63 4.68 4.73 4.75 4.89 4.89 4.89

18 4.07 4.27 4.38 4.46 4.53 4.59 4.64 4.68 4.71 4.85 4.85 4.85

19 4.05 4.24 4.35 4.43 4.5 4.56 4.61 4.64 4.67 4.82 4.82 4.82

20 4.02 4.22 4.33 4.4 4.47 4.53 4.58 4.61 4.65 4.79 4.79 4.79

30 3.89 4.06 4.16 4.22 4.32 4.36 4.41 4.45 4.48 4.65 4.71 4.71

40 3.82 3.99 4.1 4.17 4.24 4.3 4.34 4.37 4.41 4.59 4.69 4.69

60 3.76 3.92 4.03 4.12 4.17 4.23 4.27 4.31 4.34 4.53 4.66 4.66

100 3.71 3.86 3.98 4.06 4.11 4.17 4.21 4.25 4.29 4.48 4.64 4.65

∞ 3.64 3.8 3.9 3.98 4.04 4.09 4.14 4.17 4.2 4.41 4.6 4.68

123

Tabla de rangos significativos para la prueba del rango múltiple de Duncan. Continuación 1

r0,05 (p,f)

P

f 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 100

1 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

2 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09

3 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5

4 3.93 4.01 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02

5 3.64 3.74 3.79 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83

6 3.46 3.58 3.64 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68

7 3.35 3.47 3.54 3.58 3.6 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61

8 3.26 3.39 3.47 3.52 3.55 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56

9 3.2 3.34 3.41 3.47 3.5 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52

10 3.15 3.3 3.37 3.43 3.46 3.47 3.47 3.47 3.47 3.48 3.48 3.48

11 3.11 3.11 3.11 3.11 3.11 3.11 3.11 3.11 3.11 3.11 3.11 3.11

12 3.08 3.08 3.08 3.08 3.08 3.08 3.08 3.08 3.08 3.08 3.08 3.08

13 3.06 3.06 3.06 3.06 3.06 3.06 3.06 3.06 3.06 3.06 3.06 3.06

14 3.03 3.03 3.03 3.03 3.03 3.03 3.03 3.03 3.03 3.03 3.03 3.03

15 3.01 3.01 3.01 3.01 3.01 3.01 3.01 3.01 3.01 3.01 3.01 3.01

16 3 3.15 3.23 3.3 3.34 3.37 3.39 3.41 3.43 3.47 3.47 3.47

17 2.98 3.13 3.22 3.28 3.33 3.36 3.38 3.4 3.42 3.47 3.47 3.47

18 2.97 3.12 3.21 3.27 3.32 3.35 3.37 3.39 3.41 3.47 3.47 3.47

19 2.96 3.11 3.19 3.26 3.31 3.35 3.37 3.39 3.41 3.47 3.47 3.47

20 2.95 3.1 3.18 3.25 3.3 3.34 3.36 3.38 3.4 3.47 3.47 3.47

30 2.89 3.04 3.12 3.2 3.25 3.29 3.32 3.35 3.37 3.47 3.47 3.47

40 2.86 3.01 3.1 3.17 3.22 3.27 3.3 3.33 3.35 3.47 3.47 3.47

60 2.83 2.98 3.08 3.14 3.2 3.24 3.28 3.31 3.33 3.47 3.48 3.48

100 2.8 2.95 3.05 3.12 3.18 3.22 3.26 3.29 3.32 3.47 3.53 3.53

∞ 2.77 2.92 3.02 3.09 3.15 3.19 3.23 3.26 3.29 3.47 3.61 3.67

124

Tabla de puntos porcentuales del estadístico del rango studentizado q0,01 (p,f)

P

f 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 90 135 164 186 202 216 227 237 246 253 260 266 272 272 282 286 290 294 298

2 14.00 19.00 22.30 24.70 26.60 28.20 29.50 30.70 31.70 32.60 33.40 31.40 34.80 35.40 36.00 36.50 37.00 37.50 37.90

3 8.26 10.60 12.20 13.30 14.20 15.00 15.60 16.20 16.70 17.10 17.50 17.90 18.20 18.50 18.80 19.10 19.30 19.50 19.80

4 6.51 8.12 9.17 9.96 10.60 11.10 11.50 11.90 12.30 12.60 12.80 13.10 13.30 13.50 13.70 13.90 14.10 14.20 14.40

5 5.70 6.97 7.80 8.42 8.91 9.32 9.67 9.97 10.24 0.48 10.70 10.89 11.08 11.24 11.40 11.55 11.68 11.81 11.93

6 5.24 6.33 7.03 7.56 7.97 8.32 8.61 8.87 9.10 9.30 9.49 9.65 9.81 9.95 10.08 10.21 10.32 10.43 10.54

7 4.95 5.92 6.54 7.01 7.37 7.68 7.94 8.17 8.37 8.55 8.71 8.86 9.00 9.12 9.24 9.35 9.46 9.55 9.65

8 4.74 5.63 6.20 6.63 6.96 7.24 7.47 7.68 7.87 8.03 8.18 8.31 8.44 8.55 8.66 8.76 8.85 8.94 9.03

9 4.60 5.43 5.96 6.35 6.66 6.91 7.13 7.32 7.49 7.65 7.78 7.91 8.03 8.13 8.23 8.32 8.41 8.49 8.57

10 4.48 5.27 5.77 6.14 6.43 6.67 6.87 7.05 7.21 7.36 7.48 7.60 7.71 7.81 7.91 7.99 8.07 8.15 8.22

11 4.39 5.14 5.62 5.97 6.25 6.48 6.67 6.84 6.99 7.13 7.25 7.36 7.46 7.56 7.65 7.73 7.81 7.88 7.95

12 4.32 5.04 5.50 5.84 6.10 6.32 6.51 6.67 6.81 6.94 7.06 7.17 7.26 7.36 7.44 7.52 7.59 7.66 7.73

13 4.26 4.96 5.40 5.73 5.98 6.19 6.37 6.53 6.67 6.79 6.90 7.01 7.10 7.19 7.27 7.34 7.42 7.48 7.55

14 4.21 4.89 5.32 5.63 5.88 6.08 6.26 6.41 6.54 6.66 6.77 6.87 6.96 7.05 7.12 7.20 7.27 7.33 7.39

15 4.17 4.83 5.25 5.56 5.80 5.99 6.16 6.31 6.44 6.55 6.66 6.76 6.84 6.93 7.00 7.07 7.14 7.20 7.26

16 4.13 4.78 5.19 5.49 5.72 5.92 6.08 6.22 6.35 6.46 6.56 6.66 6.74 6.82 6.90 6.97 0.29 7.09 7.15

17 4.10 4.74 5.14 5.43 5.66 5.85 6.01 6.15 6.27 6.38 6.48 6.57 6.66 6.73 6.80 6.87 6.94 7.00 7.05

18 4.07 4.70 5.09 5.38 5.60 5.79 5.94 6.08 6.20 6.31 6.41 6.50 6.58 6.65 6.72 6.79 6.85 6.91 6.96

19 4.05 4.67 5.05 5.33 5.55 5.73 5.89 6.02 6.14 6.25 6.34 6.43 6.51 6.58 6.65 6.72 6.78 6.84 6.89

20 4.02 4.64 5.02 5.29 5.51 5.69 5.84 5.97 6.09 6.19 6.29 6.37 6.45 6.52 6.59 6.65 6.71 6.76 6.82

24 3.96 4.54 4.91 5.17 5.37 5.54 5.69 5.81 5.92 6.02 6.11 6.19 6.26 6.33 6.39 6.45 6.51 6.56 6.61

30 3.89 4.45 4.80 5.05 5.24 5.40 5.54 5.65 5.76 5.85 5.93 6.01 6.08 6.14 6.20 6.26 6.31 6.36 6.41

40 3.82 4.37 4.70 4.93 5.11 5.27 5.39 5.50 5.60 5.69 5.77 5.84 5.90 5.96 6.02 6.07 6.12 6.17 6.21

60 3.76 4.28 4.60 4.82 4.99 5.13 5.25 5.36 5.45 5.53 5.60 5.67 5.73 5.79 5.84 5.89 5.93 5.98 6.02

120 3.70 4.20 4.50 4.71 4.87 5.01 5.12 5.21 5.30 5.38 5.44 5.51 5.56 5.61 5.66 5.71 5.75 5.79 5.83

∞ 3.64 4.12 4.40 4.60 4.76 4.88 4.99 5.08 5.16 5.23 5.29 5.35 5.40 5.45 5.49 5.54 5.57 5.61 5.65

125

Tabla de puntos porcentuales del estadístico del rango del rango studentizado. Continuación 1

q0,05 (p,f)

P

f 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 18.1 26.7 32.8 37.2 40.5 43.1 45.4 47.3 49.1 50.6 51.9 53.2 54.3 55.4 56.3 57.2 58 58.8 59.6

2 6.09 8.28 9.8 10.89 11.73 12.43 13.03 13.54 13.99 14.39 14.75 15.08 15.38 15.65 15.91 16.14 16.36 16.57 16.77

3 4.5 5.88 6.83 7.51 8.04 8.47 8.85 9.18 9.46 9.72 9.95 10.16 10.35 10.52 10.69 10.84 10.98 11.12 11.24

4 3.93 5 5.76 6.31 6.73 7.06 7.35 7.6 7.83 8.03 8.21 8.37 8.52 8.67 8.8 8.92 9.03 9.14 9.24

5 3.64 4.6 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.8 6.99 7.17 7.32 7.47 7.6 7.72 7.83 7.93 8.03 8.12 8.21

6 3.46 4.34 4.9 5.31 5.63 5.89 6.12 6.32 6.49 6.65 6.79 6.92 7.04 7.14 7.24 7.34 7.43 7.51 7.59

7 3.34 4.16 4.68 5.06 5.35 5.59 5.8 5.99 6.15 6.29 6.42 6.54 6.65 6.75 6.84 6.93 7.01 7.08 7.16

8 3.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.4 5.6 5.77 5.92 6.05 6.18 6.29 6.39 6.48 6.57 6.65 6.73 6.8 6.87

9 3.2 3.95 4.42 4.76 5.02 5.24 5.43 5.6 5.74 5.87 5.98 6.09 6.19 6.28 6.36 6.44 6.51 6.58 6.65

10 3.15 3.88 4.33 4.66 4.91 5.12 5.3 5.46 5.6 5.72 5.83 5.93 6.03 6.12 6.2 6.27 6.34 6.41 6.47

11 3.11 3.82 4.26 4.58 4.82 5.03 5.2 5.35 5.49 5.61 5.71 5.81 5.9 5.98 6.06 6.14 6.2 6.27 6.33

12 3.08 3.77 4.2 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27 5.4 5.51 5.61 5.71 5.8 5.88 5.95 6.02 6.09 6.15 6.21

13 3.06 3.73 4.15 4.46 4.69 4.88 5.05 5.19 5.32 5.43 5.53 5.63 5.71 5.79 5.86 5.93 6 6.06 6.11

14 3.03 3.7 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 5.13 5.25 5.36 5.46 5.56 5.64 5.72 5.79 5.86 5.92 5.98 6.03

15 3.01 3.67 4.08 4.37 4.59 4.78 4.94 5.08 5.2 5.31 5.4 5.49 5.57 5.65 5.72 5.79 5.85 5.91 5.96

16 3 3.65 4.05 4.34 4.56 4.74 4.9 5.03 5.15 5.26 5.35 5.44 5.52 5.59 5.66 5.73 5.79 5.84 5.9

17 2.98 3.62 4.02 4.31 4.52 4.7 4.86 4.99 5.11 5.21 5.31 5.39 5.47 5.55 5.61 5.68 5.74 5.79 5.84

18 2.97 3.61 4 4.28 4.49 4.67 4.83 4.96 5.07 5.17 5.27 5.35 5.43 5.5 5.57 5.63 5.69 5.74 5.79

19 2.96 3.59 3.98 4.26 4.47 4.64 4.79 4.92 5.04 5.14 5.23 5.32 5.39 5.46 5.53 5.59 5.65 5.7 5.75

20 2.95 3.58 3.96 4.24 4.45 4.62 4.77 4.9 5.01 5.11 5.2 5.28 5.36 5.43 5.5 5.56 5.61 566 5.71

24 2.92 3.53 3.9 4.17 4.37 4.54 4.68 4.81 4.92 5.01 5.1 5.18 5.25 5.32 5.38 5.44 5.5 5.55 5.59

30 2.89 3.48 3.84 4.11 4.3 4.46 4.6 4.72 4.83 4.92 5 5.08 5.15 5.21 5.27 5.33 5.38 5.43 5.48

40 2.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4.39 4.52 4.63 4.74 4.82 4.9 4.98 5.05 5.11 5.17 5.22 5.27 5.32 5.36

60 2.83 3.4 3.74 3.98 4.16 4.31 4.44 4.55 4.65 4.73 4.81 4.88 4.94 5 5.06 5.11 5.15 5.2 5.24

120 2.8 3.36 3.69 3.92 4.1 4.24 4.36 4.47 4.56 4.64 4.71 4.78 4.84 4.9 4.95 5 5.04 5.09 5.13

∞ 2.77 3.32 3.63 3.86 4.03 4.17 4.29 4.39 4.47 4.55 4.62 4.68 4.74 4.8 4.84 4.98 4.93 4.97 5.01

126

Tabla de valores críticos para la prueba de Dunnett para comparar tratamientos con un control

d0,05 (α ― 1,f)

Comparaciones de dos colas

α ― 1 = número de medias de tratamientos (sin incluir el control)

f 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 2.57 3.03 3.29 3.48 3.62 3.73 3.82 3.9 3.97

6 2.45 2.86 3.1 3.26 3.39 3.49 3.57 3.64 3.71

7 2.36 2.75 2.97 3.12 3.24 3.33 3.41 3.47 3.53

8 2.31 2.67 2.88 3.02 3.13 3.22 3.29 3.35 3.41

9 2.26 2.61 2.81 2.95 3.05 3.14 3.2 3.26 3.32

10 2.23 2.57 2.76 2.89 2.99 3.07 3.14 3.19 3.24

11 2.2 2.53 2.72 2.84 2.94 3.02 3.08 3.14 3.19

12 2.18 2.5 2.68 2.81 2.9 2.98 3.04 3.09 3.14

13 2.16 2.48 2.65 2.78 2.87 2.94 3 3.06 3.1

14 2.14 2.46 2.63 2.75 2.84 2.91 2.97 3.02 3.07

15 2.13 2.44 2.61 2.73 2.82 2.89 2.95 3 3.04

16 2.12 2.42 2.59 2.71 2.8 2.87 2.92 2.97 3.02

17 2.11 2.41 2.58 2.69 2.78 2.85 2.9 2.95 3

18 2.1 2.4 2.56 2.68 2.76 2.83 2.89 2.94 2.98

19 2.09 2.39 2.55 2.66 2.75 2.81 2.87 2.92 2.96

20 2.09 2.38 2.54 2.65 2.73 2.8 2.86 2.9 2.95

24 2.06 2.35 2.51 2.61 2.7 2.76 2.81 2.86 2.9

30 2.04 2.32 2.47 2.58 2.66 2.72 2.77 2.82 2.86

40 2.02 2.29 2.44 2.54 2.62 2.68 2.73 2.77 2.81

60 2 2.27 2.41 2.51 2.58 2.64 2.69 2.73 2.77

120 1.98 2.24 2.38 2.47 2.55 2.6 2.65 2.69 2.73

∞ 1.96 2.21 2.35 2.44 2.51 2.57 2.61 2.65 2.69

127

Tabla de valores críticos para la prueba de Dunnett para comparar tratamientos con un control. Continuación 1

d0,01 (α ― 1,f)

Comparaciones de dos colas


f 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 4.03 4.63 4.98 5.22 5.41 5.56 5.69 5.8 5.89

6 3.71 4.21 4.51 4.71 4.87 5 5.1 5.2 5.28

7 3.5 3.95 4.21 4.39 4.53 4.64 4.74 4.82 4.89

8 3.36 3.77 4 4.17 4.29 4.4 4.48 4.56 4.62

9 3.25 3.63 3.85 4.01 4.12 4.22 4.3 4.37 4.43

10 3.17 3.53 3.74 3.88 3.99 4.08 4.16 4.22 4.28

11 3.11 3.45 3.65 3.79 3.89 3.98 4.05 4.11 4.16

12 3.05 3.39 3.58 3.71 3.81 3.89 3.96 4.02 4.07

13 3.01 3.33 3.52 3.65 3.74 3.82 3.89 3.94 3.99

14 2.98 3.29 3.47 3.59 3.69 3.76 3.83 3.88 3.93

15 2.95 3.25 3.43 3.55 3.64 3.71 3.78 3.83 3.88

16 2.92 3.22 3.39 3.51 3.6 3.67 3.73 3.78 3.83

17 2.9 3.19 3.36 3.47 3.56 3.63 3.69 3.74 3.79

18 2.88 3.17 3.33 3.44 3.53 3.6 3.66 3.71 3.75

19 2.86 3.15 3.31 3.42 3.5 3.57 3.63 3.68 3.72

20 2.85 3.13 3.29 3.4 3.48 3.55 3.6 3.65 3.69

24 2.8 3.07 3.22 3.32 3.4 3.47 3.52 3.57 3.61

30 2.75 3.01 3.15 3.25 3.33 3.39 3.44 3.49 3.52

40 2.7 2.95 3.09 3.19 3.26 3.32 3.37 3.41 3.44

60 2.66 2.9 3.03 3.12 3.19 3.25 3.29 3.33 3.37

120 2.62 2.85 2.97 3.06 3.12 3.18 3.22 3.26 3.29

∞ 2.58 2.79 2.92 3 3.06 3.11 3.15 3.19 3.22

128


d0,05 (α ― 1,f) Comparaciones de una cola


f 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 2.02 2.44 2.68 2.85 2.98 3.08 3.16 3.24 3.3

6 1.94 2.34 2.56 2.71 2.83 2.92 3 3.07 3.12

7 1.89 2.27 2.48 2.62 2.73 2.82 2.89 2.95 3.01

8 1.86 2.22 2.42 2.55 2.66 2.74 2.81 2.87 2.92

9 1.83 2.18 2.37 2.5 2.6 2.68 2.75 2.81 2.86

10 1.81 2.15 2.34 2.47 2.56 2.64 2.7 2.76 2.81

11 1.8 2.13 2.31 2.44 2.53 2.6 2.67 2.72 2.77

12 1.78 2.11 2.29 2.41 2.5 2.58 2.64 2.69 2.74

13 1.77 2.09 2.27 2.39 2.48 2.55 2.61 2.66 2.71

14 1.76 2.08 2.25 2.37 2.46 2.53 2.59 2.64 2.69

15 1.75 2.07 2.24 2.36 2.44 2.51 2.57 2.62 2.67

16 1.75 2.06 2.23 2.34 2.43 2.5 2.56 2.61 2.65

17 1.74 2.05 2.22 2.33 2.42 2.49 2.54 2.59 2.64

18 1.73 2.04 2.21 2.32 2.41 2.48 2.53 2.58 2.62

19 1.73 2.03 2.2 2.31 2.4 2.47 2.52 2.57 2.61

20 1.72 2.03 2.19 2.3 2.39 2.46 2.51 2.56 2.6

24 1.71 2.01 2.17 2.28 2.36 2.43 2.48 2.53 2.57

30 1.7 1.99 2.15 2.25 2.33 2.4 2.45 2.5 2.54

40 1.68 1.97 2.13 2.23 2.31 2.37 2.42 2.41 2.51

60 1.67 1.95 2.1 2.21 2.28 2.35 2.39 2.44 2.48

120 1.66 1.93 2.08 2.18 2.26 2.32 2.37 2.41 2.45

∞ 1.64 1.92 2.06 2.16 2.23 2.29 2.34 2.38 2.42

129


d0,01 (α ― 1,f)

Comparaciones de una cola


f 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 3.37 3.9 4.21 4.43 4.6 4.73 4.85 4.94 5.03

6 3.14 3.61 3.88 4.07 4.21 4.33 4.43 4.51 4.59

7 3 3.42 3.66 3.83 3.96 4.07 4.15 4.23 4.3

8 2.9 3.29 3.51 3.67 3.79 3.88 3.96 4.03 4.09

9 2.82 3.19 3.4 3.55 3.66 3.75 3.82 3.89 3.94

10 2.76 3.11 3.31 3.45 3.56 3.64 3.71 3.78 3.83

11 2.72 3.06 3.25 3.38 3.48 3.56 3.63 3.69 3.74

12 2.68 3.01 3.19 3.32 3.42 3.5 3.56 3.62 3.67

13 2.65 2.97 3.15 3.27 3.37 3.44 3.51 3.56 3.61

14 2.62 2.94 3.11 3.23 3.32 3.4 3.46 3.51 3.56

15 2.6 2.91 3.08 3.2 3.29 3.36 3.42 3.47 3.52

16 2.58 2.88 3.05 3.17 3.26 3.33 3.39 3.44 3.48

17 2.57 2.86 3.03 3.14 3.23 3.3 3.36 3.41 3.45

18 2.55 2.84 3.01 3.12 3.21 3.27 3.33 3.38 3.42

19 2.54 2.83 2.99 3.1 3.18 3.25 3.31 3.36 3.4

20 2.53 2.81 2.97 3.08 3.17 3.23 3.29 3.34 3.38

24 2.49 2.77 2.92 3.03 3.11 3.17 3.22 3.27 3.31

30 2.46 2.72 2.87 2.97 3.05 3.11 3.16 3.21 3.24

40 2.42 2.68 2.82 2.92 2.99 3.05 3.1 3.14 3.18

60 2.39 2.64 2.78 2.87 2.94 3 3.04 3.08 3.12

120 2.36 2.6 2.73 2.82 2.89 2.94 2.99 3.03 3.06

∞ 2.33 2.56 2.68 2.77 2.84 2.89 2.93 2.97 3

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Gráfica de probabilidad de aceptación de la hipótesis

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Ceneval, A.C. Camino al Desierto de los Leones (Altavista) 19,

Col. San Ángel, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01000, México, D.F. www.ceneval.edu.mx

El Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior es una asociación civil sin fines de lucro que quedó formalmente constituida el 28 de abril de 1994, como consta en la escritura pública número 87036 pasada ante la fe del notario 49 del Distrito Federal. Sus órganos de gobierno son la Asamblea General, el Consejo Directivo y la Dirección General. Su máxima autoridad es la Asamblea General, cuya integración se presenta a continuación, según el sector al que pertenecen los asociados, así como los porcentajes que les corresponden en la toma de decisiones: Asociaciones e instituciones educativas Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior, A.C. (ANUIES); Federación de Instituciones Mexicanas Particulares de Educación Superior, A.C. (FIMPES); Instituto Politécnico Nacional (IPN); Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM); Universidad Autónoma del Estado de México (UAEM); Universidad Autónoma de San Luis Potosí (UASLP); Universidad Autónoma de Yucatán (UADY); Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM); Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla (UPAEP); Universidad Tecnológica de México (UNITEC). Asociaciones y colegios de profesionales Barra Mexicana Colegio de Abogados, A.C.; Colegio Nacional de Actuarios, A.C.; Colegio Nacional de Psicólogos, A.C.; Federación de Colegios y Asociaciones de Médicos Veterinarios y Zootecnistas de México, A.C.; Instituto Mexicano de Contadores Públicos, A.C. Organizaciones productivas y sociales Academia de Ingeniería, A.C.; Academia Mexicana de Ciencias, A.C.; Academia Nacional de Medicina, A.C.; Fundación ICA, A.C. Autoridades educativas gubernamentales Secretaría de Educación Pública. • Ceneval, A.C.®, EXANI-I®, EXANI-II® son marcas registradas ante la Secretaría de

Comercio y Fomento Industrial con el número 478968 del 29 de julio de 1994. EGEL®, con el número 628837 del 1 de julio de 1999, y EXANI-III®, con el número 628839 del 1 de julio de 1999.

• Inscrito en el Registro Nacional de Instituciones Científicas y Tecnológicas del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología con el número 506 desde el 10 de marzo de 1995.

• Organismo Certificador acreditado por el Consejo de Normalización y Certificación de Competencia Laboral (CONOCER) (1998).

• Miembro de la International Association for Educational Assessment. • Miembro de la European Association of Institutional Research. • Miembro del Consortium for North American Higher Education Collaboration. • Miembro del Institutional Management for Higher Education de la OCDE.

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