Formulas de artimetica:

Fracciones:

Número mixto

Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo

denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el

denominador más el numerador, del número mixto.

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es

igual al producto de medios.

Reducción de fracciones a común denominador

1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común

múltiplo de los denominadores.

2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los

denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador

correspondiente.

Suma y resta de fracciones Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el

denominador.

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador,

y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes

obtenidas.

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los numeradores.

Por denominador el producto de los denominadores.

División de fracciones

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los extremos.

Por denominador el producto de los medios.

.

Potencia de fracciones

Propiedades

Fracción generatriz Pasar de decimal exacto a fracción

Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el

número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos

ceros como cifras decimales tenga.

Pasar de periódico puro a fracción generatriz

Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene

como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por

denominador un número formado por tantos nueves como cifras tiene el

período.

Pasar de periódico mixto a fracción generatriz

Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene

como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera

seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un

numero formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos

de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.

Potencias:

Potencias de exponente 0

a0 = 1

50 = 1

Potencias de exponente 1

a1 = a

51 = 5

Potencias de exponente entero negativo

Potencias de exponente racional

Potencias de exponente racional y negativo

Multiplicación de potencias con la misma base

am · a n = am+n

25 · 22 = 25+2 = 27

División de potencias con la misma base

am : a n = am - n

25 : 22 = 25 - 2 = 23

Potencia de un potencia

(am)n=am · n

(25)3 = 215

Multiplicación de potencias con el mismo exponente

an · b n = (a · b) n

23 · 43 = 83

División de potencias con el mismo exponente

an : b n = (a : b) n

63 : 33 = 23

Ejercicios

33 · 34 · 3 = 38

57 : 53 = 54

(53)4 = 512

(5 · 2 · 3) 4 = 304

(34)4 = 316

[(53)4]2 = (512)2 = 524

(82)3 =[( 23)2]3 = (26)3 = 218

(93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312

25 · 24 · 2 = 210

27 : 26 = 2

(22)4 = 28

(4 · 2 · 3)4 = 244

(25)4 = 220

[(23 )4]0 = (212)0 = 20 = 1

(272)5 =[(33)2]5 = (36)5 = 330

(43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212

(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)9 = −512

(−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)5 = −32

2−2 · 2−3 · 24 = 2−1 = 1/2

22 : 23 = 2−1 = 1/2

2−2 : 23 = 2−5 = (1/2)5 = 1/32

22 : 2−3 = 25 = 32

2−2 : 2−3 = 2

Potencias de base negativa

Para determinar el signo de una potencia de base negativa tendremos

en cuenta que:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

26 = 64

(−2)6 = 64

2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

23 = 8

(−2)3 = −8

Potencias de exponente negativo

La potencia de un número con exponente negativo es igual al inverso

del número elevado a exponente positivo.

Ejercicios de potencias negativas

(−3)1 · (−3)3 · (−3)4 = (−3)8 = 6561

(−3)2 · (−3)3 · (−3)−4 = −3

3−2 · 3−4 · 34 = 3−2 = (1/3)2 = 1/9

5−2 : 53 = 5−5 = (1/5)5 = 1/3125

(−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)−4 = (−3)1 · (−3)6· (−3)−4 = (−3)3

Radicales:

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y

a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Expresión de un radical en forma de potencia

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o

los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.

Reducción de radicales a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común

índice

2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada

resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja

en el radicando.

Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del

radicando.

Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el

índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y

el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del

radical.

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando

son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e

igual radicando.

Propiedades de los radicales Producto de radicales

Radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los

radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

Cociente de radicales

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se

deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Potencia de radicales

Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el

radicando y se deja el mismo índice.

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice

es el producto de los dos índices.

Racionalizar radicales

Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite

facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.

1Del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

2Del tipo

Se multiplica numerador y denominador por .

3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio

con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del

denominador.

Proporcionalidad:

Razón

Proporción

Constante de proporcionalidad

Propiedad de las proporciones

Proporción continua

Medio proporcional

Tercero proporcional

Cuarto proporcional

Porcentajes

Repartos directamente proporcionales

Repartos inversamente proporcionales

Regla de tres simple directa

Regla de tres simple inversa

Regla de tres compuesta directa

Regla de tres compuesta inversa

Regla de tres compuesta mixta

Ejercicios

Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a

más kilos, más euros.

2 kg 0.80 €

5 kg x €

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo

6 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros

tardarán menos horas.

3 obreros 12 h

6 obreros x h

11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho

en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de

300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

220 · 48 m² 6 días 11 obreros

300 · 56 m² 5 días x obreros

A más superficie más obreros. Directa.

A más días menos obreros. Inversa.

Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad.

¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

6 grifos 10 horas 1 depósito 400 m³

4 grifos x horas 2 depósitos 500 m³

A más grifos menos horas. Inversa.

A más depósitos más horas. Directa.

A más m³ más horas. Directa.

El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por

él si el IVA es del 16%?

100 € 116 €

1200 € x €

Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%.

¿Cuánto tenemos que pagar?

100 € 92 €

450 € x €

Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un

año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un

reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente

proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar

lo que le corresponde a la primera y tercera.

Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a

sus edades, que son 3, 5 y 6.

Sistema métrico decimal

Medidas de longitud

kilómetro km 1000 m

hectómetro hm 100 m

decámetro dam 10 m

metro m 1 m

decímetro dm 0.1 m

centímetro cm 0.01 m

milímetro mm 0.001 m

Medidas de masa

kilogramo kg 1000 g

hectogramo hg 100 g

decagramo dag 10 g

gramo g 1 g

decigramo dg 0.1 g

centigramo cg 0.01 g

miligramo mg 0.001 g

Otras unidades de masa

Tonelada métrica

1 t = 1000 kg

Quintal métrico

1 q = 100 kg

Medidas de capacidad

kilolitro kl 1000 l

hectolitro hl 100 l

decalitro dal 10 l

litro l 1 l

decilitro dl 0.1 l

centilitro cl 0.01 l

mililitro ml 0.001 l

Medidas de superficie

kilómetro cuadrado km2 1 000 000 m2

hectómetro cuadrado hm2 10 000 m2

decámetro cuadrado dam2 100 m2

metro cuadrado m2 1 m2

decímetro cuadrado dm2 0.01 m2

centímetro cuadrado cm2 0.0001 m2

milímetro cuadrado mm2 0.000001 m2

Unidades de superficie agrarias Hectárea

1 Ha = 1 Hm2 = 10 000 m²

Área

1 a = 1 dam2 = 100 m²

Centiárea

1 ca = 1 m²

Medidas de volumen

kilómetro cúbico km3 1 000 000 000 m3

hectómetro cúbico hm3 1 000 000m3

decámetro cúbico dam3 1 000 m3

metro m3 1 m3

decímetro cúbico dm3 0.001 m3

centímetro cúbico cm3 0.000001 m3

milímetro cúbico mm3 0.000000001 m3

Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa

Capacidad Volumen Masa (de agua)

1 kl 1 m³ 1 t

1 l 1 dm3 1 kg

1 ml 1 cm³ 1 g

Ejercicios resueltos del sistema métrico decimal

1 Expresa en metros:

13 km 5 hm 7 dam 3 000 m + 500 m + 70 m = 3 570 m

27 m 4 cm 3 mm 7 m + 0.04 m + 0.003 m = 7.043 m

325.56 dam + 526.9 dm 255.6 m + 52.69 m = 308.29 m

453 600 mm + 9 830 cm 53.6 m + 98.3 m = 151.9 m

51.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm 183 m + 97 m + 37 m = 317 m

2 Expresa en litros:

13 kl 5 hl 7 dal 3 000 l + 500 l + 70 l = 3 570 l

27 l 4 cl 3 ml 7 l + 0.04 l + 0.003 l = 7.043 l

325.56 dal + 526.9 dl 255.6 l + 52.69 l = 308.29 l

453 600 ml + 9 830 cl 53.6 l + 98.3 l = 151.9 l

51.83 hl + 9.7 dal + 3 700 cl 183 l + 97 l + 37 l = 317 l

3. Expresa en gramos:

15 kg 3 hg 4 g 5 000 g + 300 g + 4 g = 5 304 g

24 hg 8 dag 2 g 5 dg 400 g + 80 g + 2 g + 0.5 g = 482.5 g

32 dag 3 g 8 dg 7 cg 20 g + 3 g + 0.8 g + 0.07 g = 23.87 g

435 dg 480 cg 2 600 mg 3.5 g + 4.8 g + 2.6 g = 10.9 g

4. Expresa en centilitros:

13 dal 7l 5 dl 4 cl 5 ml

3 000 cl + 700 cl + 50 cl + 4 cl + 0.5 cl = 3 754.5 cl

26 hl 8 l 2 ml

60 000 cl + 800 cl + 0.2 cl= 60 800.2 cl

30.072 kl + 5.06 dal + 400 ml

7 200 cl + 5 060 cl + 40 cl = 12 300 cl

4 0.000534 kl + 0.47 l

53.4 cl + 47 cl = 100.4 cl

5. Expresa en centígramos:

13 dag 7 g 5 dg 4 cg 5 mg

3 000 cg + 700 cg + 50 cg + 4 cg + 0.5 cg = 3 754.5 cg

26 hg 8 g 2 mg

60 000 cg + 800 cg + 0.2 cg = 60 800.2 cg

30.072 kg + 5.06 dag + 400 mg

7 200 cg + 5 060 cg + 40 cg = 12 300 cg

6. Expresa en metros:

15 km 3 hm 4 m 5 000 m + 300 m + 4 m = 5 304 m

24 hm 8 dam 2 m 5 dm 400 m + 80 m+ 2 m + 0.5 m = 482.5 m

32 dam 3 m 8 dm 7 cm 20 m+ 3 m + 0.8 m + 0.07 m = 23.87 m

435 dm 480 cm 2 600 mm 3.5 m + 4.8 m + 2.6 m = 10.9 m

7. Pasa a decímetros cuadrados:

10.027 dam2

0.027 · 10 000 = 270 dm2

20.35 m2

0.35 · 100 = 35 dm2

3438 cm2

438 : 100 = 4.38 dm2

490 000 mm2

90 000 : 10 000= 9 dm2

8. Expresa en metros cuadrados:

15 hm2 24 dam2 60 dm2 72 cm2 =

= 50 000 m2 + 2 400 m2 + 0.60 m2 + 0.0072 m2 =

= 52400.6072 m2

20.00351 km2 + 4 700 cm2 =

= 3510 m2 + 0.47 m2 = 3510.47 m2

30.058 hm2 − 3.321 m2 =

= 580 m2 − 3.321 m2 = 576.679 m2

9. Expresa en hectáreas:

1431 943 a

431 943 : 100 = 4 319.43 ha

2586 500 m2

586 500 : 10 000 = 58.65 hm2 = 58.65 ha

30.325 km2

0.325 · 100 = 32.5 hm2 = 32.5 ha

47 km2 31 hm2 50 dam2

7 · 100 + 31 + 50 : 100 = 731.5 hm2 = 731.5 ha

551 m2 33 dm2 10 cm2 =

51 : 10 000 + 33 : 1 000 000 + 10 : 100 000 000=

0.00513310 hm2 = 0.00513310 ha

10. Calcula y expresa el resultado en forma compleja:

10.03598 km2 + 96.45 ha + 5 000 a =

= 3.5698 hm2 + 96.45 hm2 + 50 hm2 =

= 150.0198 hm2 = 1 km2 50 hm2 1 dam2 98 m2

2179.72 m2 − 0.831 dam2 =

=176.72 m2 − 83.1 m2 = 93.62 m2 = 93 m2 62 dm2

352 dam2 31 m2 500 cm2 =

= 5 200m2 + 31 m2 + 0.05 m2 = 5 231.05 =

= 52 dam2 31 m2 5 dm2

11. Pasa a metros cúbicos:

10.000005 hm3

0.000005 · 1 000 000 = 5 m3

2 52 dam3

52 · 1000 = 52 000 m3

3 749 dm3

749 : 1000 = 0.749 m3

4 450 000 cm3

450 000 : 1 000 000 = 0.45 m3

12. Pasa a centímetros cúbicos:

1 5.22 dm3 =

5.22 · 1000 = 5 22 0 cm3

2 6 500 mm3

6 500 : 1000 = 6.5 cm3

3 3.7 dl =

= 3.7 · l00 = 370 ml = 370 cm3

4 25 cl =

= 0.25 l = 0.25 dm3 = 250 cm3

13. Calcula y expresa el resultado en metros cúbicos:

17 200 dm3 + (3.5 m3 4 600 dm3) =

= 7.2 m3 + 3.5 m3 + 4.6 m3 = 15.3 m3

20.015 hm3 − (570 m3 5.3 dm3 ) =

= 15 000 m3 − 570.0053 m3 = 14 429.9947 m3

Divisibilidad:

Un número es divisible por :

2, si termina en cero o número par.

24, 238, 1024.

3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.

36, 564, 2040.

5, si termina en cero o cinco.

45, 515, 7525.

7, cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el

doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.

343

34 - 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7

105

10 - 5 · 2 = 0

2261

226 - 1 · 2 = 224

Volvemos a repetir el proceso con 224.

22 - 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7.

11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los

lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11.

4224

(4 + 2) - (2 + 4) = 0

Otros criterios de divisblilidad

4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

36, 404, 1 028.

6, si es divisible por 2 y por 3.

72, 324, 2 400

8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

4000, 1048, 1 512.

9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.

81, 900, 3 663.

10, si la cifra de las unidades es 0.

130, 1440, 10 230

25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.

500, 1025, 1875.

125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.

1000, 1 125, 4 250.

Factorización de un número

Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos

sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como

cociente.

Para realizar las divisiones util izaremos una barra vertical, a la derecha

escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.

432 = 24 · 33

Divisores:

Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente.

4 es divisor de 12; 12 : 4 = 3.

A los divisores también se les llama factores.

Número de divisores de un número

Se obtiene sumando la unidad a los exponentes y multiplicando los

resultados obtenidos:

Número de divisores de 2 520= (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 48

Cálculo de todos los divisores de un número

Se escribe una primera fila formada por la unidad y todas las potencias

del primer factor, hasta la que aparezca en el desarrollo, trazando una línea

horizontal.

Formación de todos los divisores de 2 520

1 2 4 8

Se escribe una segunda fila, con los productos del segundo factor por la

fila anterior. Si el segundo factor se haya elevado a exponentes superiores a

la unidad, por cada unidad del exponente se escribe otra fila . Se traza

otra línea horizontal.

1 2 4 8

3 6 1

2

2

4

9 1

8

3

6

7

2

Se escriben ahora otras filas con los productos del tercer factor (con

las potencias correspondientes) por todos los números obtenidos hasta el

momento.

1 2 4 8

3 6 1

2

2

4

9 1

8

3

6

7

2

5 1

0

2

0

4

0

1

5

3

0

6

0

1

2

0

4

5

9

0

1

8

0

3

6

0

Se continúa de igual modo con otros posibles factores.

1 2 4 8

3 6 12 24

9 18 36 72

El último divisor obtenido debe coincidir con el número.

Criba de Eratóstenes:

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos

los números primos menores que un número natural dado.

Partimos de una lista de números que van de 2 hasta un determinado

número.

Eliminamos de la lista los múltiplos de 2.

Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue eliminado (el 3)

y eliminamos de la lista sus múltiplos, y así sucesivamente.

5 10 20 40

15 30 60 120

45 90 180 360

7 14 28 56

21 42 84 168

63 126 252 504

35 70 140 280

105 210 420 840

315 630 1260 2520

El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como

primo es menor que el número final de la lista.

Los números que permanecen en la lista son los primos.

Vamos a calcular por este algoritmo los números primos menores que 40.

1. Escribimos los números, en nuestro caso serán los comprendidos entre 2

y 40.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

2. Eliminamos los múltiplos de 2.

2 3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

3. El siguiente número es 3, como 32 < 40 eliminamos los múltiplos de 3.

4. El siguiente número es 5, como 52 < 40 eliminamos los múltiplos de 5.

2 3 5 7 11 13 17 19

23 29 31 37

5. El siguiente número es 7, como 72 > 40 el algoritmo termina y los números que

nos quedan son primos.

2 3 5 7 11 13 17 19

23 29 31 37

2 3 5 7 11 13 17 19

23 25 29 31 35 37

Tabla de Números Primos:

2 3 5 7 11 13 17 19

23 29 31 37

41 43 47 53 59

61 67 71 73 79

83 89 97

101 103 107 109 113

127 131 137 139

149 151 157

163 167 173 179

181 191 193 197 199

Máximo común divisor

El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el mayor

número que divide a todos exactamente.

Cálculo del máximo común divisor

1. Se descomponen los números en factores primos.

2. Se toman los factores comunes con menor exponente.

Ejemplo

Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.

1.

72 = 23 · 32

108 = 22 · 33

60 = 22 · 3 · 5

2.

m. c. d. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12

12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d.

El número 12 es divisor de 36.

m. c. d. (12, 36) = 12

Mínimo común múltiplo

Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el

cero.

Cálculo del mínimo común múltiplo

1. Se descomponen los números en factores primos

2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor

exponente.

Ejemplo

72 = 23 · 32

108 = 22 · 33

60 = 22 · 3 · 5

m. c. m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5 = 1 080

2160 es el menor número que puede ser dividido por: 72, 108 y 60.

Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.

El número 36 es múltiplo de 12.

m. c. m. (12, 36) = 36

Relación entre el m. c. d. y m. c. m.

m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b

Ejercicios

Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:

1428 y 376

428 = 22 · 107

376 = 23 · 47

m. c. d. (428, 376) = 22 = 4

m. c. m. (428, 376) = 23 · 107 · 47 = 40 232

2148 y 156

148 = 22 · 37

156 = 22 · 3 · 13

m. c. d. (148 , 156) = 22 = 4

m. c. m. (148 , 156) = 22 · 3 · 37 · 13 = 5772

3600 y 1 000

600 = 23 · 3 · 52

1000 = 23 · 53

m. c. d. (600 , 1000) = 23 · 52 = 200

m. c. m. ( 600 , 1000) = 23 · 3 · 53 = 3000

Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:

11048, 786 y 3930

1048 = 23 · 131

786 = 2 · 3 · 131

3930 = 2 · 3 · 5 · 131

m. c. d. (1048, 786, 3930) = 2 ·131 = 262

m. c. m. (1048, 786, 3930) = 23 · 3 · 5 · 131 = 15 720

23120, 6200 y 1864

3210 = 24 · 3 · 5 · 13

6200 = 23 · 52 · 31

1864 = 23 · 233

m. c. d. (3210, 6200, 1864) = 23 = 8

m. c. m. (3210, 6200, 1864) = 24 ·3 · 52 · 13 · 31 · 233 =

= 112 678 800

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero

cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.

Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.

12 = 22 · 3

18 = 2· 32

60 = 22 · 3 · 5

m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 · 32 · 5 = 180

180 : 60 = 3

Sólo a las 6.33 h.

Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado

los dos en Barcelona.

¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?

18 = 2 · 32

24 = 23 · 3

m. c. m. (18, 24) =23 · 32 = 72

Dentro de 72 días.

¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y

48 en cada caso dar de resto 9?

m. c. m. (15 , 20, 36, 48) = 24 · 32 · 5 = 720

720 + 9 = 729

En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l,

y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales.

Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden

envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas

que se necesitan.

m. c. d.(250, 360, 540) = 10

Capacidad de las garrafas = 10 l.

Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25

Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36

Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54

Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.

El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y

3 m de ancho.

Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas

que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5

5 m = 50 dm 50 = 2 · 52

A = 30 · 50 = 1500 dm2

m. c. d. (30 , 50) = 2· 5= 10 dm de lado

A b = 102 = 100 dm2

1500 dm2 : 100 dm2 = 15 baldosas

Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.

m. c. d. (12 028, 12 772) = 124

124 naranjas en cada caja.

Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103

Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97

Cajas necesarias = 103 + 97 = 200

¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de

veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas

se necesitan?

8 m = 80 dm 80 = 24 · 5

6.4 m = 64 dm64 = 26

m. c. d. (80, 64) = 24 = 16 dm de lado

A b = 162 = 256 dm2

A = 80 · 64 = 5120 dm2

5120 dm2 : 256 dm2 = 20 baldosas