Fórmulas de Derivación Numérica: Aproximación de la derivada ...
Transcript of Fórmulas de Derivación Numérica: Aproximación de la derivada ...
0Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Fórmulas de Derivación Numérica:Aproximación de la derivada primera de una
función
Fórmulas de Derivación Numérica:Aproximación de la derivada primera de una
función
Prof. Alfredo LProf. Alfredo Lóópez Benitopez BenitoProf. Carlos Conde LProf. Carlos Conde LáázarozaroProf. Arturo Hidalgo LProf. Arturo Hidalgo Lóópezpez Abril, 2007
1Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
OBJETIVOSOBJETIVOS
1º. Conocer el concepto de fórmula de derivación numérica
2º. Obtener y aplicar fórmulas de derivación numérica de tipo interpolatorio para aproximar primeras derivadas de funciones.
3º. Analizar y obtener cotas del error de aproximación de derivadasprimeras mediante fórmulas de tipo interpolatorio.
4º. Conocer las principales propiedades de las fórmulas de derivaciónnumérica de tipo interpolatorio para aproximar derivadas primerasde funciones.
5º. Obtener y aplicar fórmulas de tipo interpolatorio para aproximarderivadas de orden superior al primero, y conocer sus propiedadesprincipales.
2Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
DefiniciónSe denomina FÓRMULA DE DERIVACIÓN NUMÉRICApara aproximar f’(x*) sobre el soporte {x0, x1, ..., xn} atoda expresión de la forma:
i
n
i 0if fx*'( ) . ( )xc
=
≈ ∑A los números ci se les denomina COEFICIENTES (oPESOS) de la fórmula.
Si ci = Li’(x*), siendo Li(x) (i = 0, 1, ..., n) los (n+1)polinomiosde base de Lagrange sobre el soporte {x0, x1, ..., xn} a la fórmula se la denomina fórmula de derivación numérica detipo interpolatorio (en el sentido de Lagrange).
Fórmulas de derivación numérica: definición.Fórmulas de derivación numérica: definición.
3Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
DefiniciónSiendo f(x) una función derivable en x* y dada la fórmulade derivación numérica para aproximar f’(x*) sobre elsoporte {x0, x1, ..., xn}:
i*
n
i 0if '( ) ' . ( )x* xf c f
=
≈ = ∑se denomina ERROR DE TRUNCAMIENTO de la fórmulapara la función f(x) el en punto x*, al valor:
Rf(x*) = f’(x*) – f’*NOTA:Para cada función f, f
fxR
R (x: I
)R→
→Se buscará acotar Rf(x) en el intervalo I.
Fórmulas de derivación numérica: error.Fórmulas de derivación numérica: error.
4Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Rf(x*)ci
Fórmulas de derivación numérica de tipo interpolatorio
Fórmulas de derivación numérica de tipo interpolatorio
Siendo pn(x) el polinomio interpolador de Lagrange de una función f(x) sobre el soporte {x0, x1, …, xn} se tiene que:
f(x) = pn(x) + εf(x) = n
i i fi
f(x )·L (x) (x)=
+ ε∑0n
l li i f
if'(x*) f(x )·L (x*) (x*)
=
= + ε∑0
A las fórmulas así obtenidas se las de derivación numérica de tipo interpolatorio construidas sobre elsoporte {x0, x1, …, xn}
Sea n ≥ 1.
5Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
OBSERVACIÓNEn otros términos, las fórmulas de derivación numérica de
tipo interpolatorio que aproximan el valor de f’(x*), se obtienen derivando el polinomio interpolador de la función
f(x) y particularizando la expresión de la derivada en x*.
Para ello, puede utilizarse cualquiera de las expresiones queproporcionan el polinomio interpolador
(fórmula de Lagrange, fórmula de Newton, fórmulas endiferencias finitas, ...)
Fórmulas de tipo interpolatorio: obtención.Fórmulas de tipo interpolatorio: obtención.
6Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Ejemplo: Soporte: {x0 , x1}Polinomio interpolador de f(x) en este soporte:
[ ]1 0 0 1 0(x) (x) (x )f p x ,x ·(xf )f x≈ = + −
Aproximación de f’(x*) mediante una fórmula de tipo in-terpolatorio con el soporte {x0 , x1} :
En un punto x*:
11 0
1 0
fx* (x ) fx (x )'( ) '( )x
*f px
−≈ =
− x*x0 x1
[ ] 1 00 11
1 0
f(x ) (x )'( fx) '(x) x ,f xx
p fx
−≈ = =
−
Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 1.Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 1.
7Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
11 0
1 0
fx* (x ) fx (x )'( ) '( )x
*f px
−≈ =
−
x*x0 x1
H
0 1· (x )1 1H H
f f· (x )= +−
c0 c1
h0 h1
Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 1.Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 1.
α f’(x*) = tg (α)
β p1’(x*) = tg (β)
8Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 2Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 2
a) Obtener una fórmula de tipo interpolatorio que aproximef’(x*) sobre el soporte {x0=x*-2·h, x1=x*-h, x2=x*}
b) Aplicar la fórmula a la aproximación de la primera deri-vada de la función e-x en el punto x* =0 y con pasos h = 10-1, 10-2, ……, 10-10
Solución:
0 2(x x * h)·(x x*)L (x)
2h− + −
= 01L' (x*)2h
=
1 2(x x * 2h)·(x x*)L (x)
h− + −
= − 12L' (x*)h
= −
9Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 2Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 2
01L' (x*)2h
=
2 2(x x * 2h)·(x x * h)L (x)
2h− + − +
=
( )f'(x*) f(x * h) ·f(x * h) ·f(x*)h
≈ − − − +1 2 4 32
¡APLIQUÉMOSLA !
0 2(x x * h)·(x x*)L (x)
2h− + −
=
1 2(x x * 2h)·(x x*)L (x)
h− + −
= − 12L' (x*)h
= −
23L' (x*)2h
=
10Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
EjemploEjemplo
( )f'(x*) f(x * h) ·f(x * h) ·f(x*)h
≈ − − − +1 2 4 32
x* = 0 f = x e-x f’(0) =-1 h Valor aproximado de f’(0)
0.1 -0.99640457000.01 -0.999966400010-3 -0.9999995000
10-4 -1.000000000010-9 -1.00000000009·10-10 -1.11111111111·10-10 0.0000000000
Disminuir h por debajo de un cierto umbral empeora el resultado
11Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
El error en las fórmulas de tipo interpolatorio
El error en las fórmulas de tipo interpolatorio
( ) ( ) ( )(n n
n n ii
f (x)x x ,x (x) / f(x) p (x) · x x
(n ) !
+
=
ξ∀ ∈ ∃ξ = ξ − = −
+ ∏1
001
n(n
ifi
R (x*) f ( (x*))· '(x*)· (x * x )(n ) !
+
=
⎡ ⎤= ξ ξ − +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦
∏2
0
11
n n(n
iiji j
f ( (x*))· (x * x )(n ) !
+
==≠
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+ ξ −⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∏∑1
00
11
12Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Uso de desarrollos en serie de TaylorUso de desarrollos en serie de Taylor
x0 x1 xnx*
h0 h1
h = sup(h0, h1) = sup(|x*-x0|, |x*-xn| )
xi = x* + θi·h (i = 0, ..., n) [ ]i 1,1θ ∈ −
j j n 1 n 1n( j (n 1i i
i i i ij 2
f f f f f·h ·h(x ) ( ·h) ( ) ·x * x* x* x* xh· '( ) · ( ) · ( ·h)j! (n 1)!
f *+ +
+
=
θ θ= +θ = + θ + + +δ
+∑n n
i
n
i ii
ii 0 i
i0 0
f fx* x* x'( ) · (x ) ( )· h· '( )·f fc *c c= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ = + θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑
( )j n 1n n n
( j j n 1 (n 1i i i
j 2 i 0 i 0i i
h h( )· · · · · · ( ·h)j! (n 1)!
f fc cx* x *+
+ +
= = =
⎛ ⎞⎛ ⎞+ θ + θ +δ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑
Si f∈Cn+1((a, b)):
13Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Uso de desarrollos en serie de TaylorUso de desarrollos en serie de Taylorn n
i
n
i ii
ii 0 i
i0 0
f fx* x* x'( ) · (x ) ( )· h· '( )·f fc *c c= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ = + θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑
( )j n 1n n n
( j j n 1 (n 1i i i
j 2 i 0 i 0i i
h h( )· · · · · · ( ·h)j! (n 1)!
f fc cx* x *+
+ +
= = =
⎛ ⎞⎛ ⎞+ θ + θ +δ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑
Propiedad 1n
i 0i 0c
=
=∑Si ci = Li’(x*) ......
(Ver la demostración en presentación nº 16)
Propiedad 2n
ii 0
i ·1h
c=
θ =∑
Propiedad 3n
ji
i 0ic · 0
=
θ =∑ (Ver presentación nº 17)(j = 2, ..., n)
(Ver la demostración en presentación nº 17)
14Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Uso de desarrollos en serie de TaylorUso de desarrollos en serie de Taylor
( )n 1n n
n 1 (n 1i i i
i 0i i
i 0
h'( ) · (x ) '( ) · · · ( ·h)(n
f f fx* x* x1)!
c f *c+
+ +
= =
≈ = + θ +δ+∑ ∑
Si ci = Li’(x*) y se denota por hi = θi·h = xi – x*:
( )nn n
n (n 1i i i i
i 0 i 0i i
h'( ) · (x ) '( ) · · ·h · ( ·h)(n 1
x* x* xf f fc)
*c!
f +
= =
≈ = + θ +δ+∑ ∑
( )i
nn n(n 1
i ii 0 0
ii
x* xf f h'( ) · (x ) '( ) · · ( )(n 1
c)!
f f* +
= =
≈ = + ξα+∑ ∑
ξiαi
( )n n
(n 1i
i 0if
h( ) · · ( )(n 1)!
* fR x +
=
α= ξ+ ∑
( )n n
(n 1i
i 0if
h( ) · · ( )(n 1)!
* fR x +
=
α≤ ξ+ ∑
15Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Uso de desarrollos en serie de TaylorUso de desarrollos en serie de Taylor
( )n n
(n 1i
i 0if
h( ) · · ( )(n 1)!
* fR x +
=
α≤ ξ+ ∑
Luego:
LemaSi g∈C((a,b)), dados (n+1) coeficientes no negativos y no todos nulos {γ0,γ1, ...,γn} y (n+1) puntos {ξ0,ξ1, ..., ξn} de (a,b), existe algún punto ξ∈(a, b) tal que: n
i ii 0
·g( ) ·g( )=
γ ξ = γ ξ∑ donde:n
ii 0=
γ = γ∑
(Ver demostración en los apuntes)
( )n
n (n 1i 0f
i
i( ) ·h · ( )(n
f*1
R x)!
+=≤ ξ+
α∑
β
n (n 1i· ( )f·h += β ξ
16Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Uso de desarrollos en serie de TaylorUso de desarrollos en serie de Taylor
Propiedad 1n
i 0i 0c
=
=∑Si ci = Li’(x*):
Demostración:Interpolando la función f(x) = 1 (polinomio de grado 0 que se inter-polará sin error sea cual sea el valor de n) se tiene
1 = L0(x) + L1(x) + …….+Ln(x)n
ii 0
1 L (x)=
= ∑Derivando la identidad anterior y particularizándola en x = x* se tiene demostrada esta propiedad
(Demostración de las propiedades usadas en la presentación nº 13)
17Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Uso de desarrollos en serie de TaylorUso de desarrollos en serie de Taylor
Propiedad 2Si ci = Li’(x*):
Demostración:Interpolando la función f(x) = x (polinomio de grado 1 que se inter-polará sin error sea cual sea el valor de n ≥1) se tiene
x = L0(x)·x0 + L1(x)·x1 + …….+Ln(x)·xn
n
i ii 0
x L (x)·x=
= ∑Derivando la identidad anterior en x* resultará que:
(Demostración de las propiedades usadas en la presentación nº 13)
n
ii 0
i ·1h
c=
θ =∑
n n n n
i i ii 0 i 0
ii 0
i ii 0
i1 ·x ·(x * h) x *· h·c c c c·= = = =
= = +θ = + θ∑ ∑ ∑ ∑Se anula por Propiedad 1
de donde se tiene la igualdad que se quería demostrar
18Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Uso de desarrollos en serie de TaylorUso de desarrollos en serie de Taylor
nji
i 0ic · 0
=
θ =∑
Propiedad 3Si ci = Li’(x*) y j < n:
Demostración:Interpolando la función f(x) = (x – x*)j (polinomio de grado j que seinterpolará sin error con los (n+1) puntos de soporte) se tiene
(x-x*)j = L0(x)·(x0–x*)j + L1(x)·(x1–x*)j + …….+Ln(x)·(xn–x*)j
( )n
j j ji i
i 0x x * h L (x)·
=
− = θ∑
(Demostración de las propiedades usadas en la presentación nº 13)
de donde se tiene la igualdad que se quería demostrar
Derivando la identidad anterior y particularizando en x* resultará que:n
j ji i
i 00 h c·
=
= θ∑
19Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
EJEMPLOEJEMPLO
x0 x1x*
1 0 1 0
1 0
(x ) (x ) (x ) (x )( )x
f f fxf *x H
f− −≈ =
−H
h0 h1
h= sup(h0, h1)
Sean θ0 y θ1 tales que:
x0 – x* = θ0·h x1 – x* = θ1·h
Se verifica que: H = x1 – x0 = (x1 - x*) - (x0 - x*) = θ1·h – θ0·h = (θ1 – θ0)·h
y:2 21
1 1 1 1·h(x ) ( ·h) ( ) ·h· '( ) · '(x * x* ·h)f f f f x* x2
*fθ= +θ = + θ + +δ
2 20
0 0 0 0·h(x ) ( ·h) ( ) ·h· '( ) · '(x * x* ·h)f f f f x* x2
*fθ= +θ = + θ + +δ
1·H1·
H−
1 0f f(x ) (x )H−
=f(x*) ≈( )1 0 ·h
· '( )H
f x*θ − θ
( )2
2 21 1 0 0
h · · "( ·h) · "( ·h)2·
x * x *fH
f+ θ +δ − θ +δ
Si f∈C2((a, b)):
20Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
EJEMPLO (cont.)EJEMPLO (cont.)
f(x*) ≈ ( )1 0 ·h· '( )
Hf x*
θ − θ ( )2
2 21 1 0 0
h · · "( ·h) · "( ·h)2·
x * x *fH
f+ θ +δ − θ +δ
x0 x1x*
H
h0 h1h= sup(h0, h1)
= γ·h
1
f(x*) ≈ f '(x*) ( )2 21 1 0 0
h · · "( ·h) · "( ·h)2·
x * xf f *+ θ +δ − θ +δγ
Error de orden h
Casos particulares:
x* = x0 h = H; γ = 1; θ0 = 0; θ1 = 1; f 0hR ( ) · "( )2
fx* = ζ 0(h)
x* = x1 h = H; γ = 1; θ0 = -1; θ1 = 0; f 1hR ( ) · "*2
x f ( )= − ζ 0(h)
21Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
EJEMPLO (cont.)EJEMPLO (cont.)
x* = (x0+x1)/2 H = 2·h; γ = 2; θ0 = - ½; θ1 = ½ ;
f 1 0h 1 1R ( ) · "( ) "(x* )4
f4
f4
ζ ζ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
Casos particulares (cont.):
En este caso, si f ∈C3((x0, x1)):2
1
3
1 x * x* x* h h(x ) ( h) ( ) h· '( ) · "( ) · '''( )2
f f f f f f*6
x= + = + ξ+ +
2
0
3
0 x * x* x* h h(x ) ( h) ( ) h· '( ) · "( ) · '''( )2
f f f f f f*6
x= − = − ξ+ −
1·H1·H
−
( h) (x * x * hf f )2·h
+ − − ( )2
1 0h'( ) · '''( )f f f ''' )6
* (x= + ξ + ξ
( )2 2
fh hR ( ) · 2· "'x* f ( ) · "'( )6 3
f= − = −ξ ξ
Pero ….
22Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Definición
i*
n
i 0if '( ) ' . ( )x* xf c f
=
≈ = ∑Se dice que la fórmula de derivación numérica:
es exacta para la función f(x) en el punto x* cuando Rf(x*) =0Definición
i*
n
i 0if '( ) ' . ( )x* xf c f
=
≈ = ∑Se dice que la fórmula de derivación numérica:
es exacta de orden k cuando es exacta para cualquier polinomio de grado menor o igual que k y en cualquierpunto x* de la recta real.
Fórmulas de tipo interpolatorio: orden de exactitud.
Fórmulas de tipo interpolatorio: orden de exactitud.
23Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
EJEMPLO:La fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorioconstruida sobre el soporte {x0 , x1}:
1 0
1 0
(x ) (f x )( )x x
* ff x −≈
−
tiene un error de truncatura verificando: |Rf(x*)| < M·H
donde: ( )0 1x x xsupM (x)f "< <
=
Si f(x) es un polinomio de grado < 1, se verifica que M = 0.
En consecuencia, la fórmula anterior es exacta de orden 1.
Fórmulas de tipo interpolatorio: orden de exactitud.
Fórmulas de tipo interpolatorio: orden de exactitud.
24Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
TeoremaLas condición necesaria y suficiente para que una fórmulade derivación numérica construida sobre un soporte de (n+1) puntos {x0, x1, ..., xn} sea exacta de orden n es quesea una fórmula de tipo interpolatorio.Demostración:
a) Demostremos que si i
n
i 0if fx*'( ) . ( )xc
=
≈ ∑ es de tipo interpolatorioentonces la fórmula es exacta de orden n.
Si f(x) es cualquier polinomio de grado < n y denotamos por pn(x) a su polinomio interpolador de Lagrange sobre el soporte {x0, x1, ..., xn} severifica para cualquier punto x*:
f(x) = pn(x) i
n
ii 0
(x )· (x)f L=
= ∑ i
n
ii 0
'( ) (x )·x* x*L 'f ( )f=
= ∑ i
n
ii 0
x(c )f.=
= ∑
Fórmulas de tipo interpolatorio: orden de exactitud.
Fórmulas de tipo interpolatorio: orden de exactitud.
25Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
b) Demostremos que si i
n
i 0if fx*'( ) . ( )xc
=
≈ ∑ es exacta de orden n, entonces
es de tipo interpolatorio
Si es exacta de orden n, para cualquier polinomio de grado < n y encualquier x* es exacta.
En particular lo será para cada uno de los polinomios de base de Lagrange Lj(x) (j = 0, 1, ....n)
n
ij
0i ijL c L'( ) . ( )x* x
=
= ∑Recordando que Lj(xi) = δi,j se tiene que:
n
ij j j,ii 0
'( ) .L c cx*=
= δ =∑
(j = 0, 1, ..., n)
(j = 0, 1, ..., n) c.q.d.
Fórmulas de tipo interpolatorio: orden de exactitud.
Fórmulas de tipo interpolatorio: orden de exactitud.
26Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
PropiedadEn toda fórmula de derivación numérica construida sobreel soporte de (n+1) puntos {x0, x1, ..., xn} y que sea de tipointerpolatorio
i
n
i 0if fx*'( ) . ( )xc
=
≈ ∑se satisface que:
n
i 0i 0c
=
=∑Demostración:
ii
n
0x : (x)L 1
=
∀ =∑i
i
n
0L (x) ' 0
=
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
n
ii
0(x) 0L '
=
=∑
n
ii
0'( )L 0x*
=
=∑n
i 0i 0c
=
=∑c.q.d.
Fórmulas de tipo interpolatorio: PropiedadFórmulas de tipo interpolatorio: Propiedad
27Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Ejercicios propuestos:
i
n
i 0if fx*'( ) . ( )xc
=
≈ ∑
1º) Considérese la fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio:
y sea m un entero tal que 0 < m < n.
Demuéstrese que entonces:
( )n m 1*m
ii
i0
c ·x m· x−
=
=∑
Fórmulas de tipo interpolatorio: EjerciciosFórmulas de tipo interpolatorio: Ejercicios
28Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
2º) Demuéstrese que para toda función f∈C1((x0,x1)) siempre existe algúnpunto x* ∈(x0 , x1) para el que es exacta la fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio construida sobre el soporte {x0, x1}:
Obsérvese que según lo anterior, para cualquier valor no negativodel entero k existe algún punto x* para el que la fórmula de derivaciónnumérica de tipo interpolatorio construida sobre el soporte {x0, x1}proporciona el valor exacto de la derivada de cualquier polinomio degrado k en x*.
00 1 1'( ) '(x*)· (x ) '(x*)L L ·x*f )f f(x≈ +
¿Quiere ello decir que la fórmula de derivación considerada es deorden k para cualquier valor no negativo del entero k?
¿ Se contradice el teorema sobre el orden de exactitud de las fórmulasde derivación numérica de tipo interpolatorio?
Fórmulas de tipo interpolatorio: EjerciciosFórmulas de tipo interpolatorio: Ejercicios
29Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
a) Soporte con 1 punto {x0}
0 0(x) (xf p f) (x )≈ = 0f '( ) 'x* xp ( 0*)≈ =
b) Soporte con 2 puntos {x0, x1}[ ] ( )01 0 1 0f p f f(x) (x) (x ) x ,x · x x≈ = + − [ ]0 0 1'( ) '(f p f x*)x x x* ,≈ =
x0 x1x*
1 0(x ) )H
f(xf −=H
x* = x00 0
0(x H) (x )' )f (x f f
H+ −
≈ (Fórmula en adelanto o backwind)
x* = x11 1
1(x )f f(x H)'(xf )
H− −
≈ (Fórmula en retroceso o upwind)
x* = (x0+x1)/2H H
2 2( )x * x *x f f(*'( )H
f )+ − −≈ (Fórmula centrada)
Fórmulas de tipo interpolatorio: fórmulas usuales
Fórmulas de tipo interpolatorio: fórmulas usuales
30Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
c) Soporte con 3 puntos {x0, x1 , x2}[ ] ( ) [ ] ( ) ( )0 0 1 0 0 1 2 0 11(x) (x) (x ) x ,x · x x x ,x ,x · xf p f f f x · x x≈ = + − + − −
[ ] [ ] ( ) ( )( )0 0 1 0 1 2 0 1'( ) '( ) x ,x x ,x ,x · x * x x * xf p f fx* x*≈ = + − + −
( ) ( )( )1 02 1
1 0 2 1 1 00 1
1 0 2 0
(x ) (x )(x ) (x )(x ) (x )
f ff ff f x x x x · x * x x * x
x x x x
−−−
− − −= + − + −
− −
Primer caso particular: soporte equidistante y x* = x0
x0 x1 x2
x*
h h
( 2·h) 4·x * x( * xh) 3· ( )'( )2·h
f ff *x f* − + + + −≈
(Fórmula en adelanto con 3 puntos)
Fórmulas de tipo interpolatorio: fórmulas usuales
Fórmulas de tipo interpolatorio: fórmulas usuales
31Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Tercer caso particular: soporte equidistante y x* = x2
x0 x1 x2
x*
h h
x* xf f ff * x *x 3· ( ) 4· ( h)* 3· ( 2·h)'( )2·h
− − + −≈
(Fórmula en retroceso con 3 puntos)
Segundo caso particular: soporte equidistante y x* = x1
x0 x1 x2
x*
h h
( h)f ff x * x *x ( h)' *( )2·h
+ − −≈
(Fórmula centrada con 3 puntos)
Fórmulas de tipo interpolatorio: fórmulas usuales
Fórmulas de tipo interpolatorio: fórmulas usuales