8/15/2019 formulas del calculo

1/2

Càlcul vectorial

Manel Bosch

Operadors vectorials

1.Coordenades cartesianesSiguin:

f (x,y ,z) i    f (r) = f x(r)ı̂ + f y(r)ˆ  + f z(r)k̂

•   Gradient:

 ∇ · f  =   ∂ 

∂x

f,  ∂ 

∂y

f,  ∂ 

∂z

f •   Divergència:

 ∇ ·   f  =  ∂ 

∂xf  +

  ∂ 

∂yf  +

  ∂ 

∂zf 

•   Rotacional:

 ∇×   f  =

ı̂   ˆ    k̂∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z

f x   f y   f z

•   Laplacià:

∇2f  = ∂ 2f 

∂x2 +

 ∂ 2f 

∂y2  +

 ∂ 2f 

∂z2

2.Coordenades PolarsSiguin:

(x, y) → (ρ, θ);   f (ρ, φ);    f  = f ρρ̂ + f φφ̂

•   Gradient:

 ∇ · f  =  ∂f ∂ρ

 ρ̂ +  ∂ f ∂φ

φ̂

•   Divergència:

 ∇ ·   f  =  1

ρ

∂f ρ∂ρ

  + ∂ f φ

∂φ

•   Laplacià:

∇2f   =  1

ρ

∂ 

∂ρ

ρ

∂f 

∂ρ

 +

  1

ρ2∂ 2f 

∂φ2

3.Coordenades ciĺındriques

f (x,y ,z) → f (ρ,φ,z);    f (r) = (f ρ, f φ, f z)

•   Gradient:

 ∇ · f  = ∂f 

∂ρ ρ̂ +

 1

ρ

∂f 

∂φφ̂ +

 ∂ f 

∂z ẑ

•   Divergència:

 ∇ ·   f  =  1ρ

∂ (ρ · f ρ)∂ρ

  + 1ρ

∂f φ∂φ

  +  ∂ f z∂z

•   Rotacional:

 ∇×   f  =  1

ρ

ρ̂ ρφ̂   ẑ

∂/∂ρ ∂/∂φ ∂ /∂zf ρ   ρf φ   f z

•   Laplacìa:

∇2f  = 1

ρ

∂ 

∂ρ

ρ

∂f 

∂ρ

 +

  1

ρ2∂ 2f 

∂φ2 +

 ∂ 2f 

∂z

4.Coordenades esfèriques

f (x,y ,z) → f (ρ,θ,φ);    f (r) = (f ρ, f θ, f φ)

•   Gradient:

 ∇ · f  = ∂f 

∂r r̂ +

 1

r

∂f 

∂θθ̂ +

  1

r sin θ

∂f 

∂φφ̂

•   Divergència:

 ∇· f   =  1

r2∂ 

∂r

r2f r

+

  1

r sin θ

∂ 

∂θ(sin θ·f θ)+

  1

r sin θ

∂f φ∂φ

•   Rotacional:

 ∇×   f  =  1

r2 sin θ

r̂ rθ̂ r sin θφ̂

∂/∂r ∂/∂θ ∂/∂φf r   rf θ   r sin θf φ

•   Laplacìa:

∇2f   =  1

r2∂ 

∂r

r2

∂f 

∂r

+

  1

r2 sin θ

∂ 

∂θ

sin θ

∂f 

∂θ

+

+  1

r2sin2θ

∂ 2f 

∂φ2

1

8/15/2019 formulas del calculo

2/2

CORBES I SUPERFÍCIES EN  R3

Tenim r(t) = x(t)ı̂ + y(t)ˆ  + z(t)k̂

•   Equació d’una recta tangent a una corba enun punt  A(x0, y0, z0):

x − x0dx(t)/dt

  =  y − y0dy(t)/dt

 =  z − z0dz(t)/dt

•   Equació del pla normal a la corba en   A  →r − r0  ⊥ dr/dt:

dx(t)

dt  (x−x0)+

dy(t)

dt  (y−y0)+

dz(t)

dt  (z−z0) = 0

Parametritzar en funció de la longitud d’arc:r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = r(x(z), y(z), z)

•   ds =

drdt dt

•  dr

ds ≡  σ̂; lim

∆S →0

∆φ∆s = K ;   dσ̂dS   = K ̂n

•   R =  1

K ;  →

  1

R2  =

d2r

ds

2

•   b̂ = σ̂ × n̂;  db̂

ds

 = σ̂ × dn̂

ds

;  db̂

ds

 = τ n̂ =

1

T  n̂

•   τ   =  1

T   =

−R2 ·  drds

d2r

ds2 ×

 d3r

ds3

Fómules de Serret-Frenet: σ̂, b̂   i n̂   formen un sis-tema de referència mòbil ortogonal, on

•   σ̂   =  dr

ds; n̂   =

  1

z

db̂

ds  =

  1

K 

d2r

ds2;   b̂   =

1

kdr

ds  × d2r

ds2

En funció d’un paràmetre  t  qualsevol:

•   σ̂(t) =  r(t)

|r(t)|

•   b̂(t) =  r(t) × r(t)

|r(t) × r(t)|

•   n̂(t) =  (r(t) × r(t)) × r(t)

|(r(t) × r(t)) × r(t)|

•  1

R  =

drdt  × d2r

dt2

drdt3

•  1

T   =

−

drdt  ·

d2

rdt2

 × d3

rdt3

drdt  ×

 d2r

dt2

2

Diferencials

Polars

•   Posició: dr = dρρ̂ + ρdφφ̂

•   Longitud: ds2 = dρ2 + ρ2dφ2

•   Superf́ıcie dS  =  ρdρφ

Ciĺındriques

•   Posició: dr = dρρ̂ + ρdφφ̂ + dzẑ

•   Longitud: ds2 = dρ2 + ρdφ2 + dz2

•   Superf́ıcie dS  =  ρdφdz  (per  ρ  =cte.)

•  Volum dV   = ρdρdφdz

Esf̀eriques

•   Posició: dr = drr̂ + rdθθ̂ + r sin θdφφ̂

•   Longitud: ds2 = dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

•   Superf́ıcie dS  =  r2 sin θdθdφ  per a  r  =cte.

•  Volum dV   = r2 sin θdrdθdφ

2