Formulas Tablas

ORGA N I Z A C I NDEL BACHILLERATOINTERNACIONAL

GRUPO 5 MATEMTICAS

FRMULAS MATEMTICAS Y TABLAS ESTADSTICAS

Para uso en la docencia y durante los exmenes de:Matemticas NS

Mtodos Matemticos NMEstudios Matemticos NM

Ampliacin de Matemticas NM

Tercera edicin: febrero de 2001Vlido para las convocatorias de exmenes a partir de mayo de 2001

Grupo 5 MatemticasFrmulas matemticas y tablas estadsticas

Primera edicin: agosto de 1998Segunda edicin: abril de 1999

Tercera edicin: febrero de 2001

Organizacin del Bachillerato Internacional, 1999

Organizacin del Bachillerato Internacional Route des Morillons 151218 Grand-Saconnex

Ginebra, SUIZA

NDICE

Frmulas para:

Estudios Matemticos NM 14

Mtodos Matemticos NM 17

Matemticas NS 112

Ampliacin de Matemticas NM 112

Tabla 1: rea bajo la curva normal estandarizada 13

Tabla 2: Valores crticos de la distribucin 14 2

Tabla 3: Valores crticos de la distribucin t de Student 15

BI Grupo 5 MatemticasFrmulas matemticas y tablas estadsticas febrero de 2001

, siendo r el radio, h la alturaV r h= 13

2Volumen del cono:

, siendo r el radioV r= 43

3Volumen de la esfera:

, siendo r el radio, h la alturaA rh= 2rea lateral del cilindro:

, siendo r el radio, h la alturaV r h= 2Volumen del cilindro:

, siendo l la longitud, a la anchura, h la alturaV l a h= Volumen del paraleleppedo:

V Bh B h= 13

, siendo el rea de la base, la alturaVolumen de la pirmide:

, siendo r el radioC r= 2Longitud de la circunferencia:

, siendo r el radioA r= 2rea del crculo:

, siendo a y b los lados paralelos, h la alturaA a b h= +12

( )rea del trapecio:

, siendo b la base, h la alturaA b h= 12

( )rea del tringulo:

, siendo b la base, h la alturaA b h= ( )rea del paralelogramo:

1 Figuras planas y del espacio

, S u rr

u rrn

n n

=

=

1 111

11

( ) ( ) r 1Suma de los n trminos de una sucesin geomtrica:

u u rnn

=

11Trmino ensimo de una sucesin geomtrica:

S n u n d n u un n= + = +22 1

21 1( ( ) ) ( )Suma de los n trminos de una sucesin aritmtica:

u u n dn = + 1 1( )Trmino ensimo de una sucesin aritmtica:

2 Sucesiones finitas

, siendo a y b dos lados, C el ngulo comprendidoA ab C=12

senrea del tringulo:

a b c bc A A b c abc

2 2 22 2 2

22

= + =+ cos ; cosRegla del coseno:

aA

bB

cCsen sen sen

= =Regla del seno:

3 Trigonometra

BI Grupo 5 Matemticas Pgina 1Frmulas matemticas y tablas estadsticas febrero de 2001

ESTUDIOS MATEMTICOS NMMTODOS MATEMTICOS NMMATEMTICAS NSAMPLIACIN DE MATEMTICAS NM

| | ,v v= + =FHGIKJv v

vv1

222 1

2siendo Mdulo de un vector:

x x y y1 2 1 22 2+ +FHG

IKJ,

Coordenadas del punto medio de un segmento quetiene por extremos :( , ) ( , )x y x y1 1 2 2 y

d x x y y= + ( ) ( )1 22

1 22Distancia entre dos puntos :( , ) ( , )x y x y1 1 2 2 y

4 Geometra

n el nmero deI C r Cn

= +FHG

IKJ 1 100 , siendo el capital, el rdito,C r %

perodos de tiempo, I el inters

Inters compuesto:

n el nmero de perodos deI Crn=100

, siendo el capital, el rdito,C r %

tiempo, I el inters

Inters simple:

5 Matemticas financieras

A A=FHGIKJ =

FHGIKJ

a bc d

a cb d

TMatriz transpuesta:

A A=FHGIKJ =

a bc d

ad bcdetDeterminante:

6 Matrices (2 2)

P PP

A B A BB

c h = ( )( )Probabilidad condicionada:

P P P( ) ( ) ( )A B A B =Sucesos independientes:

P P P( ) ( ) ( )A B A B = +Sucesos mutuamente excluyentes:

P P P P( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B = + Sucesos combinados:

P P( ) ( ) = A A1Sucesos complementarios:

P( ) ( )( )

A n An U

=Probabilidad de un suceso A:

7 Probabilidad



, calc e oe

ef f

ff2

2

=

( ) , siendo las frecuencias esperadas las frecuencias observadas fo

La prueba de la : 2

y yss

x xxyx

= 2 b gRecta de regresin de y sobre x:

, siendo rss s

x y

x y= s

x x

nxi

i

n

=

=

b g21 , s

y y

nyi

i

n

=

=

b g21Coeficiente de correlacin

producto-momento:

sx x y y

nxyi i

i

n

=

=

( )( )1

Covarianza:

z x=

Variable normal estandarizada:

sf x x

nn fn

i ii

k

ii

k

=

==

=

( )

,

2

1

1

siendo Desviacin tpica muestral:

xf x

nn f

i ii

k

ii

k

= ==

=

11

, siendo Media muestral:

=

==

=

f x

nn f

i ii

k

ii

kb g21

1

, siendo Desviacin tpica de lapoblacin:

= ===

f x

nn f

i ii

k

ii

k1

1

, siendo Media de la poblacin:

8 Estadstica



dd

yx

x y xn

C nnn

= =+

+ +1

11,Clculo de primitivas:

f x ax bx f x nax n bxn n n n( ) ( ) ( )= + + = + + 1 1 21 Derivada de un polinomio:

f x ax f x naxn n( ) ( )= = 1Derivada de :axn

y f x yx

f x f x h f xhh

= = = + FHGIKJ( ) ( ) lim

( ) ( )dd 0

Derivada de :f x( )

9 Clculo diferencial



S ur

r=

M =

FHG

IKJ

cos sinsin cos

2 22 2

Matriz de la transformacin que representauna simetra axial sobre y x= tan :

R =F

HGIKJ

coscos

sensen

Matriz de la transformacin que representauna rotacin de ngulo en torno al origen:

P P=FHGIKJ =

FHG

IKJ

a bc d ad bc

d bc a

1 1Matriz inversa:

14 Matrices (2 2)

z xn

=

/

Prueba estadstica para la media de una poblacin normal:

EE = n

Error estndar de la media:

15 Estadstica

y uv

yx

v ux

u vx

v= =

dd

dd

dd

2Derivada de un cociente:

y uv yx

u vx

v ux

= = +dd

dd

dd

Derivada de un producto:

, siendo y g u= ( ) u f x yx

yu

ux

= = ( ) dd

dd

dd

Regla de la cadena:

f x x f xx

( ) tan ( )cos

= = 12Derivada de tan :x

f x x f xx aa

( ) log ( )ln

= = 1Derivada de log :a x

f x a f x a ax x( ) ( ) (ln )= =Derivada de ax :

f x x f xx

( ) ln ( )= = 1Derivada de ln :x

f x f xx x( ) ( )= =e eDerivada de ex :f x x f x x( ) cos ( )= = senDerivada de cos :xf x x f x x( ) ( ) cos= =senDerivada de sen x:

16 Derivacin


MTODOS MATEMTICOS NMMATEMTICAS NSAMPLIACIN DE MATEMTICAS NM

( ) ( )( )

,ax b x ax ba n

C nnn

+ =+

++ z +d 11 1

e d ex xx Cz = +cosz = +x x x Cd sensen dz = +x x x Ccos1x

x x Cz = +d lnIntegrales notables:17 Integracin

x x f xf xn n

n

n+ =

1

( )( )Mtodo de Newton-Raphson:

18 Iteracin

f x x h y y y y y

h b an

y f a ih i n

a

b

n n

i

b g

b gz + + + + +

=

= + =

d

siendo

22 2 2

0 1 2

0 1 2 1

; , , , , ,

Regla del trapecio:

19 Integracin aproximada


MTODOS MATEMTICOS NMMATEMTICAS NSAMPLIACIN DE MATEMTICAS NM

nr

nr n r

FHGIKJ =

!!( )!

20 Combinaciones

i n ni

n3

22

1 41= +

=

( )Suma de los cubos de los n primeros nmeros naturales:i n n n

i

n2

1 61 2 1= + +

=

( )( )Suma de los cuadrados de los n primeros nmeros naturales:i n n

i

n

= +=

2 11 ( )Suma de los n primeros nmeros naturales:21 Series

r r n nn n(cos ) (cos ) + = +isen isenTeorema de De Moivre:

z a b r= + = +i isen(cos )

22 Nmeros complejos

a x b x R x R a b ba

cos cos( ) , , tan = = + =sen siendo 2 2Frmulas del ngulo auxiliar:

sen sen sen

sen sen

csc

( ) cos cos

cos( ) cos cos

tan ( ) tan tantan tan

tan tantan

tan sec

cot

A B A B A B

A B A B A B

A B A BA B

=

=

=

=

+ =

+ =

1

2 21

1

1

2

2 2

2 2

sen

21

2

21

2

211

=

= +

=

+

cos

cos cos

tan coscos

Identidades:

23 Trigonometra


MATEMTICAS NSAMPLIACIN DE MATEMTICAS NM

ax by cz d+ + + = 0Ecuacin cartesiana de un plano:

x xl

y ym

z zn

=

=

0 0 0Ecuacin continua de una recta:

r n a n = Ecuacin de un plano(mediante el vector normal):

r a b c= + + Ecuacin vectorial de un plano:

r a b= + Ecuacin vectorial de una recta:

A = 12

v wrea de un tringulo:

v w v w = sen

v wi j k

= v v vw w w

1 2 3

1 2 3

Producto vectorial:

cos = + +v w v w v w1 1 2 2 3 3v w

v w v w = + + =F

HGGI

KJJ =F

HGGI

KJJv w v w v w

vvv

www

1 2 2 3 3

1

2

3

1

2

3

1 , siendo ,Producto escalar:

v v= + + =F

HGGI

KJJv v v1

22

23

21

2

3

, siendovvv

Mdulo de un vector:

24 Geometra vectorial

A A=F

HGG

I

KJJ = +

a b cd e fg h k

ae fh k

bd fg k

cd eg h

detDeterminante:

25 Matrices (3 3)


MATEMTICAS NSAMPLIACIN DE MATEMTICAS NM

f x x f xx

( ) arctan ( )= =+

11 2

Derivada de :arctan x

f x x f xx

( ) arccos ( )= =

1

1 2Derivada de :arccos x

f x x f xx

( ) ( )= =

arcsen 1

1 2Derivada de :arcsen x

f x x f x x( ) cot ( )= = csc2Derivada de :cot x

f x x f x x x( ) ( ) cot= = csc cscDerivada de :csc xf x x f x x x( ) sec ( ) sec tan= =Derivada de :sec x

26 Derivacin

1 d arcsen

d

2a xx x

aC x a

xx x C

=FHGIKJ +

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