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Modelamiento de Notas Musicales en el dominio de

la FrecuenciaXimena Trujillo,xf trujillo@espoch.edu.ec

Cristian Monar,c monar@espoch.edu.ec

AbstractEl presente artculo, trata de la estrecha relacionentre las matematicas y la teora musical. Partiendo desde losprincipios pitagoricos de las escalas, la estandarizacion de laescala templada y finalmente, haciendo especial enfasis en elanalisis frecuencial, mediante la utilizacion de la trasformada

de Fourier, que sirve para el analisis de las frecuencias, a partirde sus respectivas funciones en el tiempo. Para demostrar que,la escala de armonicos naturales, se relaciona con la respuestade frecuencia de una senal obtenida, mediante la trasformadadiscreta de Fourier a partir de una aplicacion desarrollada enMATLAB. ademas se comprara los resultados con instrumentosde cuerda e instrumentos de viento.

Index TermsTrasformada de Fourier, Escala de armonicosnaturales, MATLAB

I. INTRODUCCI ON

Desde la epoca de Pitagoras, grandes pensadores, filosofos,

cientficos y, a traves de los tiempos, se han intrigado de la

estructura matematica de la musica. Se hablara acerca de lasobservaciones realizadas por Pitagoras; luego se analizara las

modificaciones presentadas por J. S. Bach y su correspondiente

analisis mediante el uso de funciones logartmicas; tambien,

se comprobara que, la escala de armonicos naturales, guarda

estrecha relacion con la trasformada de Fourier que, cambia

una senal representada en el dominio del tiempo, al dominio

de la frecuencia; pero, sin alterar su contenido de informacion,

solo es una forma diferente de representarla. Para calcular los

resultados, se utilizara un programa desarrollado en MATLAB.

Como se trabaja con senales en tiempo real, solo se debe

trabajar con modelos discretos y finitos.

II . TEO RIA M USICAL

A. Escala Pitagorica

Pitagoras, fue uno de los primeros en estudiar las

propiedades matematicas de los sonidos, por ejemplo: al

mover la altura de un sonido (mas agudo o mas grave),

llega un momento en que, se repite el mismo sonido con

las mismas caractersticas; pero, en otra frecuencia (esto se

conoce como octava). Se puede ver en el Tabla 1 que, cada

nota musical duplica su frecuencia cada vez que, avanza una

octava; por lo tanto, el LA5 es el doble que el LA4 y as

sucesivamente.[1] En el rango de las frecuencias audibles.El

odo humano percibe aproximadamente desde 20 Hz hasta 20kHz en promedio. A partir de los conocimientos de la octava,

mediante el uso de relaciones de proporcion, tanto aritmeticas

como geometricas y armonicas. Se pueden obtener dentro de

la octava notas adicionales; aunque, estas no estan definidas

TABLE INOTAS MUSICALES Y SUS FRECUENCIAS

Nota Musical Frecuencia(Hz)

Do 261.63Re 293.66Mi 329.63Fa 349.23

Sol 392La 440Si 493.88

Do 523.25

en u extension actual, para ello es importante el aporte echo

Por los musicologos siglos despues de Pitagoras.

B. La escala templada

En el siglo XVII Johann Sebastian Bach(1685-1750), im-plemento ciertas modificaciones en su obra el Clave bien tem-

perad; fundamentales a la escala musical.[2] Que es escala que,

usamos en la actualidad, en esta escala existen 11 frecuencias

una nota y su octava superior. Las doce frecuencias de la escala

templada son.

dodo#rere#mifafa#solsol#lala#siLa figura.1 muestra la representacion musical actual, usando

Fig. 1. Representacion musical

un pentagrama y sus respectivas correspondencias en un piano,observandose, as que, cumplen lo ya establecido en la ley de

crculo de sonidos y en la escala templada. Todos los sonidos

sucesivos de la escala templada, estan separados entre s, a

una distancia de un semitono; es decir que, entre dos notas

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de la escala templada existen siempre exactamente el mismo

intervalo. En la escala las frecuencias fn y fn+1 se verifica

con la siguiente relacion

fm= f0Km ; m= 0, 1, 2, 3,... (1)

Esta ecuacion muestra la relacion entre las diferentes frecuen-

cias de la escala templada. Donde f0 es la frecuencia de la

nota menor o nota tonica; y La Constante K vale.

K=1.059

Si la nota fundamental es Do entonces

f0 = 261

Aplicando la ecuacion (1) en un intervalo m = 12 es decir suoctava tenemos

fDO

= 261 (1.059)12

El valor de la octava de do es

K=519.25

Que es una buena aproximacion, en el siglo XVII fue posible

la realizacion de estos calculos, gracias al uso de la funcion

logartmica. Descubrimiento realizado por John Neper 2 siglos

antes.[3]

C. Ley de Armonicos naturales

La ley de armonicos, se fundamenta en la serie de armonicos

naturales que, genera un sonido; es decir, cuando se toca un

sonido determinado, se generan dentro sonidos que, son menos

audibles, a los cuales, se los conoce como armonicos que,

son multiplos enteros de la fundamental (sonido Generador).Se

llama fundamental a la frecuencia mas grave y audible de la

serie de armonicos.. La figura 2 muestra la serie de armonicos

moldeados al pentagrama, tomando como referencia la nota

DO. Que siguen una regla preestablecida, conocida Ley de

Armonicos naturales para el presente artculo, solo es nece-

sario considerar las 8 primeras notas de la escala de armonicos

naturales.[4]

Fig. 2. Escala de Armonicos naturales

D. Formacion de acordes

Al grupo de notas musicales superpuestas, se las conoce

como acordes. Los acordes son fundamentales para la com-

posicion; ya que, en base de ellos se crea musica agradable

para el odo. A esto se le conoce como armona musical,

en la seccion anterior, se hablaba de la serie de armonicos

naturales, si consideramos los armonicos 4, 5 y 6 se formaun acorde mayor. Como se observa en la figura. 3(a) y si

incluimos el armonico 7 se forma un acorde de 7 de dominante

figura 3(b) ambos acordes son parte fundamental de la armona

tradicional.

(a) (b)

Fig. 3. (a) Acorde Do Mayor (b) Acorde de Do mayor septimo

III . TRASFORMADA DE F OURIER

La serie de Fourier es la suma de funciones trigonometricas

con coeficientes especficos para la funcion de modelado.Es una suma de funciones continuas, que pueden converger

puntual a una funcion discontinua, donde cada suma parcial

sera una funcion continua. Se puede utilizar para resolver

y modelar funciones complicadas, y es una solucio n a la

ecuacion de onda, que es una ecuacion diferencial. La serie

puede modelar cualquier funcion periodica, pero tambien se

puede utilizar con otras funciones. El concepto de sumas de

funciones trigonometricas para modelar otras funciones no

era nueva en el tiempo de Fourier: Bernhard Riemann hizo

algunos trabajos con funciones trigonometricas para modelar

otras funciones, al igual que Bernoulli. La trasformada de

Fourier[5,6], es una trasformacion matematica que, relacionasenales en el dominio del tiempo y las convierte al dominio

de la frecuencia, facilitando su analisis frecuencial, igualmente

es posible revertir el proceso y convertirla a su senal original.

Viene dado por la ecuacion (2).

X(f) =

x(t)ej2ft dt (2)

Esta expresion, nos permite calcular la funcion X(f) (do-

minio del frecuencia) a partir de x(t) (dominio del tiempo).

El uso de la ecuacion 2, es exclusivo para analisis de

modelos matematicos, haciendo casi imposible, utilizar la

misma ecuacion para el analisis de senales en tiempo real.La Transformada de Fourier, es una herramienta muy util,

cuando se trabaja con modelos matematicos; pero, si se quiere

trabajar con senales reales fsicas y procesarlas mediante un

computador se debe trabajar con modelos finitos y discretos.

La Transformada discreta de Fourier[7-9] se define como:

G nNT

=

N1k=1

g(kT)ejnK

N , n= 0,...,N 1 (3)

donde nNT

es la frecuencia de estudio, g(kT) es el valor decada muestra, T es el perodo de muestreo de la senal original

y N es el numero de puntos que se toman (incluyendo los

ceros).

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IV. DESCRIPCION DE LA APLICACION DESARROLLADA

En la actualidad se dispone de herramientas de software que

permiten realizar calculos complejos tales como: el analisis

de frecuencias musicales descritas en el presente artculo Lafigura. 4 muestra detalladamente el proceso realizado para la

graficacion tanto en el dominio del tiempo como en el dominio

de la frecuencia.

Fig. 4. Diagrama de bloques de la aplicacion

A. Grabacion de datos

Para el presente articulo se ha considerado dos muestra de

audio la primera muestra fue grabada conectando directamente

a un bajo electrico a la computadora la segunda muestra corre-

spondiente a un trombon. fue grabada mediante un microfono.estas diferencias pueden afectar directamente a la amplitud de

cada muestra.

B. Captura de datos del programa

El programa implementado, toma su frecuencia de muestreo

del audio con formatos WAV. Previamente, se grabo una nota

musical con una guitarra LA2. El programa grafica la senal en

el tiempo como se puede observar en la figura. 5 [10,11] Luego

Fig. 5. Do2 En el dominio del tiempo con bajo electrico.

se realiza una trasformada discreta de Fourier a el componentevectorial del tiempo, fft()[12,13] , Solo se tiene que, considerar

la parte positiva; por lo tanto, a la salida de la funcion en

frecuencia se debe aplicar el valor absoluto luego se grafica

su senal Figura 6. en el dominio de la frecuencia. La grafica

Fig. 6. Do2 En el dominio de la frecuencia con bajo electrico.

de la senal del trombon en el dominio del tiempo se muestra

en la figura 7.

Fig. 7. Do2 En el dominio del tiempo con trombon.

Se realizo el mismo proceso similar para la senal del trombon

como se muestra en la Figura. 8 a diferencia de la grafica en

frecuencia anterior se puede observar que tanto los armonicos

pares como la fundamental tienen una baja ganancia.

Fig. 8. Do2 En el dominio de la frecuencia con trombon.

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V. COMPARACI ON DE RESULTADOS

A. Comparacion de resultados experimentales con los resul-

tados teoricos

En la Tabla 2 y 3 se muestran los valores de frecuencia

obtenidos de un bajo electrico y un trombon correspondien-

temente. se puede ver que los valores de frecuencia de cada

armonico descrito en la ley de armonicos naturales Generado a

partir de Do2 se aproxima con la frecuencia de cada armonico

resultante de la senal original como se puede observar en la

Figura 6 y 8 comprobando de esta manera que, los resultados

son los esperados.

TABLE II

COMPARACION ENTREF RECUENCIAS DE LA ESCALA DE A RM ONICOS

NATURALES YE L RESULTADO DE L A TRASFORMADA DISCRETA DEFOURIER TOMANDO COMO SONIDO GENERADOR D O2 UTILIZANDO UN

BAJO ELECTRICO.

Posicion Nota Frecuencias Teoricas Frecuencias Resultantes(Hz) (Hz)

1 Do2 65.406 64.832 Do3 130.81 129.93 Sol3 196 1954 Do4 261.63 260.55 Mi4 329.63 325.36 Sol4 392 389.67 Sib4 466.16 455.5

TABLE IIICOMPARACION ENTRE F RECUENCIAS DE LA ESCALA DE A RM ONICOS

NATURALES YE L RESULTADO DE L A TRASFORMADA DISCRETA DE

FOURIER TOMANDO COMO SONIDO GENERADOR D O2 UTILIZANDO UNTROMBON .

Posicion Nota Frecuencias Teoricas Frecuencias Resultantes(Hz) (Hz)

1 Do2 65.406 67.162 Do3 130.81 133.73 Sol3 196 2004 Do4 261.63 2685 Mi4 329.63 3336 Sol4 392 4007 Sib4 466.16 465.5

B. Comparacion de los patrones de frecuencia

Al comparar tanto la senal en un instrumento de cuerda

y un instrumento de viento sus frecuencias son aproximadas

pero la ganancia de las cada frecuencia de La serie armonica

afecta el timbre, ya que cada tipo de instrumento produce un

patron distintivo de matices fuertes y suaves. Ademas a medida

que avanzamos mas lejos del tono fundamental, los armonicos

tienen una tendencia a atenuarse. Los tres primeros armonicos

en el bajo son muy fuertes, pero los armonicos restantes sondebiles. Esto es lo que da al bajo su caracterstico timbre este

tipo de patron es caracterstico de instrumentos de cuerda. En

el trombon, la fundamental y los armonicos pares son bastante

debiles. Este modelo da su correspondiente timbre al trombon.

TABLE IVCOMPARACION ENTRE I NSTRUMENTOS DE CUERDA Y DE VIENTO.

# Nota Cuerda Potencia Viento Potencia

(Hz) (dB) (Hz) (dB)1 Do2 64.83 109.8 67.16 41.552 Do3 129.9 103.5 133.7 108.63 Sol3 195 109 200 36.924 Do4 260.5 75.08 268 99.685 Mi4 325.3 74.29 333 27.626 Sol4 389.6 70.97 400 91.827 Sib4 455.5 74.81 465.5 32.73

V I. CONCLUSION

De lo expuesto en el presente artculo, se puede; decir

que, desde el punto vista matematico la musica presenta una

estructura logica y muy regular que, puede ser interpretada a

traves de varias herramientas matematicas.

REFERENCES

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[9] J. W. Cooley Applications of the fast Fourier transform method, Proc.of the IBM Scientific Computing Symp., 1966

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[11] R C. Gonzalez & P. Wintz, Digital Image Processing, Addison-Wesley,EE.UU., 1987.

[12] The MathWorks, Inc. Embedded MATLAB R. Getting Started Guide.2010.

[13] The MathWorks, Inc. Embedded MATLABR. Users Guide. 2010.