FPO Unidad 2 - Tópicos de Matemáticas Financieras

FINANZAS PARA LAS

OPERACIONES

UNIDAD 2

Tpicos de

Matemticas

Financieras

Logro de la Unidad

Al finalizar la segunda unidad, el alumno

reconoce las operaciones de actualizacin y

capitalizacin de dinero a travs del tiempo.

I. Valor del dinero en el tiempo

II. Concepto y tipos de tasa de inters

III. Valor futuro y valor presente

IV. Anualidades

V. Modalidades de pago de deuda

VI. Clculo del costo efectivo de deuda

VII. Inflacin y devaluacin

Temario

... indispensables para el clculo de las

operaciones financieras, tanto para el

anlisis del costo del financiamiento, como para evaluar la rentabilidad de la inversin.

Matemticas Financieras

Se agrupan en operaciones de inversin y

operaciones de financiamiento.

Operaciones Financieras

Una operacin financiera implica un

intercambio de flujos de dinero que son

equivalentes a una determinada tasa de inters.


Se componen de:

Ingresos Egresos Plazo Tasa de inters

Tasa de inters:

INVERSIN: Tasa Interna de Retorno

(TIR).

FINANCIAMIENTO: Tasa de Costo del

Crdito (TCEA).


P F

I

i'

n

Valor del Dinero en el Tiempo

La tasa de inters efectiva se denota como: i

El tiempo / plazo transcurrido se denota como: n

Al capital originalmente invertido se le llama: - Presente (P) o Valor Presente (VP) - Principal

- Capital (C) - Valor Actual

Al monto que se devuelve se le conoce como: - Futuro (F) o Valor Futuro (VF)

- Monto o Stock (S) - Valor Acumulado

Y a su diferencia: - Inters (I)

Terminologa

1 + 1 = 3

Tasa Nominal, Capitalizacin y Tasa

Efectiva

Al transcurrir un perodo de tiempo,

se generan INTERESES; si stos

pasan a formar parte del CAPITAL

INICIAL formando uno NUEVO

ocurre la figura de la

CAPITALIZACIN

Supongamos el caso de

un banco que paga a sus

ahorristas una tasa de

inters de 7% anual

CAPITALIZABLE CADA AO

Qu significa esto?

Que slo despus

de transcurrido un

ao es posible

cobrar el inters

generado.

En este caso al 7% se le llama

TASA DE INTERS NOMINAL ANUAL

y tambin,

TASA DE INTERS EFECTIVA ANUAL

Falta un ao

Sin embargo,

en la vida real

existen perodos

cortos (menores a

1 ao) en los

cuales es posible

ganar intereses.

Estos perodos

pueden ser

semestrales,

trimestrales,

mensuales, etc.

Supongamos ahora el caso de otro

banco que paga a sus ahorristas la

misma tasa de inters de 7% anual,

pero esta vez ...

CAPITALIZABLE CADA TRES MESES

Qu significa esto?

En este caso, el 7% sigue siendo la


pero dado que se capitaliza en

perodos menores a un ao.

Qu sucede con la

TASA DE INTERS EFECTIVA?

dado que se capitaliza en perodos menores

a un ao, existe una

TASA DE INTERS EFECTIVA POR PERODO

(TRIMESTRAL)

y otra


Faltan cuatro trimestres

0 1 2 3 4

La tasa de inters efectiva por

perodo se obtiene dividiendo la

tasa de inters nominal anual entre

el nmero de perodos que tenga

el ao:

TASA DE INTERS TASA NOMINAL ANUAL EFECTIVA = ------------------------------------- POR PERODO # PERODOS POR AO

Si la


es 7%, la

TASA DE INTERS EFECTIVA TRIMESTRAL

ser:

0.07 / 4 = 0.0175 = 1.75%

Luego, la


se obtiene aplicando:

TASA DE INTERS

EFECTIVA = ( 1 + i ) n - 1 ANUAL

Donde: i = Tasa de inters efectiva por perodo n = Nmero de perodos

En nuestro caso, si: i = 1.75% n = 4

entonces:

TEA = ( 1+0.0175 )4 -1

= 0.07185903129

= 7.185903129%

donde:

TEA = Tasa de Inters Efectiva Anual

Observe que:

Capitalizar en periodos menores de un

ao hace que la

TASA DE INTERS EFECTIVA ANUAL (TEA) sea mayor que la

TASA DE INTERS NOMINAL ANUAL (TNA)

TEA > = TNA

Por tanto si a la

TASA DE INTERS NOMINAL

se aade el efecto de la

CAPITALIZACIN, resulta la

TASA DE INTERS EFECTIVA

Es la variacin neta de dos cantidades

de dinero en un perodo determinado

de tiempo.

Es decir, es la tasa de inters que

efectivamente

ocurre en una operacin financiera.

Tasa de Inters Efectiva

Dos o ms tasas de inters efectivas correspondientes a diferentes unidades de tiempo

son equivalentes cuando producen la misma tasa de

inters efectiva para un mismo horizonte temporal

Donde:

TEP2 = tasa de inters efectiva que se quiere hallar TEP1 = tasa de inters efectiva que se tiene como dato N das Periodo2 = nmero de das de la tasa que se quiere hallar N das Periodo1 = nmero de das de la tasa que se tiene como dato

11

2

112

odasPeriadN

odasPeriodN

TEPTEP

Tasas Equivalentes

Equivale a llevar una cantidad de dinero a

un tiempo adelante.

F = P * ( 1 + TN/m ) n

Valor Futuro

F = P * ( 1 + i ) n

Equivale a traer una cantidad de dinero

de un tiempo futuro a la actualidad.

P = F / ( 1 + TN/m ) n

Valor Presente

P = F / ( 1 + i ) n

Desarrollar los siguientes ejercicios.

Es una serie de flujos de caja idnticos que se

espera ocurran peridicamente para un nmero

especfico de los mismos.

Por ejemplo:

Pagos por el crdito para la compra de auto o casa

Alquiler de una vivienda Pago de cupones de bonos

Anualidad

Son aquellas cuyas condiciones se conocen de

antemano y se establecen previamente, en

general, por contrato entre deudor y acreedor.

t=1 t=6t=5t=4t=3t=2

P St=0

R RRRRR

i iiiii

HoyFinal del cuarto

perodo

Inicio del quinto

perodoTasa

Anualidad.................

Anualidades Ciertas

Son aquellas cuyas condiciones no se conocen

de antemano ni se establecen previamente y

cuya fecha de inicio o trmino depende de

algn suceso previsible, pero cuya fecha de

realizacin no se puede especificar con

exactitud, por estar en funcin de algn otro

acontecimiento no previsible.

Por ejemplo: los seguros de vida, en los cuales se

conoce la renta, pero su duracin e inicio son

inciertos.

Anualidades Eventuales o Contingentes

Cuando el horizonte de la anualidad es un plazo

determinado.

Por ejemplo, cuando se contrae un crdito a

travs del sistema financiero u otra modalidad

especfica.

1 65432

P0

R RRRRR

i iiiii

Anualidad Temporal

Cuando el horizonte de la anualidad es un plazo

indeterminado o no tiene nunca fin, y es constante e

infinita si los importes de capital son siempre iguales.

Por ejemplo, un ttulo de deuda pblica a perpetuidad

a tipo fijo.

Al igual que las temporales, las perpetuas pueden ser

vencidas (los importes se originan al final de cada

perodo) o adelantadas (se originan al inicio de los

perodos).

1 65432

P0

R RRRRR

i iiiii.........

Anualidad Perpetua o Perpetuidad

Das, Meses, Bimestres, Aos, etc.

1 65432

P S0

R RRRRR

i iiiii

Anualidad Vencida

Cuando las rentas se inician al FINAL de cada

periodo de renta.

R = P * i * ( 1 + i ) n

( 1 + i ) n - 1

Anualidad Vencida

R = F * i

( 1 + i ) n - 1

Anualidad Vencida

das, meses,

bimestres, trimestres

semestres, aos, etc.

1 65432

P S0

Ra RaRaRaRaRa

i iiiii

Anualidad Anticipada o Adelantada

Cuando las rentas se inician al COMIENZO de

cada periodo de renta.

Ra = P * i * ( 1 + i ) (n-1)

( 1 + i ) n - 1

Anualidad Anticipada o Adelantada

Ra = R

( 1 + i )

Anualidad Perpetua o Perpetuidad

R = P * i

Se revisarn tres modalidades de pago de

deuda:

- El mtodo Ingls o Americano

- El mtodo Francs

- El mtodo Alemn

Modalidades de Pago de Deuda

Saldo = Deuda - Amortizacin

Cuota = Amortizacin + Inters

Inters = i * Deuda

Principales Identidades

Ejemplo

Se tiene un prstamo de S/.100,000.00 el

cual se pagar mediante 12 cuotas

mensuales considerando una tasa de

inters efectiva mensual de 0.86%.

El Mtodo Ingls o Americano

Este mtodo

contempla slo el

pago de intereses

(constantes) hasta el

vencimiento de la

ltima cuota donde se

realiza la amortizacin

(devolucin del

principal).

No Deuda Amortizacin Inters Cuota Saldo

1 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00

2 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00

3 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00

4 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00

5 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00

6 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00

7 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00

8 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00

9 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00

10 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00

11 100,000.00 0.00 860.00 860.00 100,000.00

12 100,000.00 100,000.00 860.00 100,860.00 0.00

100,000.00 10,320.00 110,320.00

El Mtodo Ingls

El Mtodo Francs

Este mtodo

contempla el pago de

cuotas constantes.

Para ello se debe

calcular la anualidad

correspondiente.


1 100,000.00 7,946.48 860.00 8,806.48 92,053.52

2 92,053.52 8,014.82 791.66 8,806.48 84,038.70

3 84,038.70 8,083.75 722.73 8,806.48 75,954.96

4 75,954.96 8,153.27 653.21 8,806.48 67,801.69

5 67,801.69 8,223.38 583.09 8,806.48 59,578.31

6 59,578.31 8,294.11 512.37 8,806.48 51,284.20

7 51,284.20 8,365.43 441.04 8,806.48 42,918.77

8 42,918.77 8,437.38 369.10 8,806.48 34,481.39

9 34,481.39 8,509.94 296.54 8,806.48 25,971.45

10 25,971.45 8,583.12 223.35 8,806.48 17,388.33

11 17,388.33 8,656.94 149.54 8,806.48 8,731.39

12 8,731.39 8,731.39 75.09 8,806.48 -0.00

100,000.00 5,677.74 105,677.74

El Mtodo Francs

El Mtodo Alemn

Este mtodo

contempla montos

constantes de

amortizacin.

Para ello se divide la

deuda original entre el

nmero de cuotas o

perodos pactados.


1 100,000.00 8,333.33 860.00 9,193.33 91,666.67

2 91,666.67 8,333.33 788.33 9,121.67 83,333.33

3 83,333.33 8,333.33 716.67 9,050.00 75,000.00

4 75,000.00 8,333.33 645.00 8,978.33 66,666.67

5 66,666.67 8,333.33 573.33 8,906.67 58,333.33

6 58,333.33 8,333.33 501.67 8,835.00 50,000.00

7 50,000.00 8,333.33 430.00 8,763.33 41,666.67

8 41,666.67 8,333.33 358.33 8,691.67 33,333.33

9 33,333.33 8,333.33 286.67 8,620.00 25,000.00

10 25,000.00 8,333.33 215.00 8,548.33 16,666.67

11 16,666.67 8,333.33 143.33 8,476.67 8,333.33

12 8,333.33 8,333.33 71.67 8,405.00 0.00

100,000.00 5,590.00 105,590.00

El Mtodo Alemn

Plazo: 12 meses

Cuota: S/.71.02

Tasa: 3.19%

Gracia Parcial o Normal

Periodo en donde se pagan los intereses, pero no se

amortiza el capital.

Gracia Total

Periodo en donde no se pagan los intereses ni se

amortiza el capital. Los intereses no pagados se capitalizan, es decir, los

intereses del periodo de gracia total se suman a la

deuda del siguiente periodo.

Perodo de Gracia

El principal componente del costo de una

operacin de crdito es la Tasa de Inters

Efectiva (tasa de inters compensatoria).

Sin embargo, hay otros factores que debemos

considerar y que determinan el costo efectivo

del crdito o del dinero.

Costo Efectivo de Deuda

Factores que afectan el costo efectivo:

Comisiones: de evaluacin, de activacin, de

desembolso, de prepago, de cobranza, de

renovacin, etc.

Gastos: gastos administrativos, fotocopias, portes, mantenimiento de cuenta, gastos de protesto,

gastos notariales, etc.

Seguros: de desgravamen, seguro del bien financiado

Retenciones (remuneradas y sin remunerar): saldos mnimos, fondo garanta inmovilizado


Penalidades: tasa de inters moratoria por pago fuera de fecha

Forma de cobro/pago de los intereses (adelantados, a fin de periodo)

Comportamiento del tipo de cambio (prstamos en ME)

Modificacin de plazos


El Costo Efectivo de un prstamo se determina comparando el Flujo Neto Recibido (P) con el Flujo

Neto a Pagar (F) para el plazo pactado de la

operacin, y se expresa como una tasa de inters

efectiva a la cual se le denota como TCEP.

Para simplificar se presenta a continuacin el caso

con un solo flujo de pago:

Tasa de Costo Efectivo

0 n

Periodos

TCEP = i

Monto del prstamo

Menos: Intereses compensatorios pagados al

inicio

Retenciones o fondos garanta Comisiones pagadas al inicio Gastos administrativos pagados al inicio Seguros pagados al inicio

Monto del prstamo

Menos: Devolucin de retenciones o fondos

garanta

Ms: Intereses compensatorios pagados al final Intereses moratorios Comisiones pagadas al final Gastos administrativos pagados al final Seguros pagados al final

Flujo Neto Recibido (P) Flujo Neto a Pagar (F) vs


P F


TCEP = i = F - 1 * 100% P

TCEA = ( 1 + TCEP ) 360/n - 1

Se define Inflacin como el aumento

sostenido y

continuo de los

precios de los

bienes y servicios de una economa,

ocasionando una

reduccin en el

poder de compra

de la unidad

monetaria.

Inflacin

Hoy

El ndice de Precios al Consumidor (IPC) es un

parmetro de los cambios

de precios en nuestra

economa.

El IPC mide el comportamiento de precios

que pagan los consumidores: canasta bsica familiar.

El IPC de Lima Metropolitana en el ao base es 100. En

nuestro caso es 2009.

Inflacin

La estructura de consumo de la canasta bsica familiar con la

cual se calcula el IPC, es la

siguiente:

8 grandes grupos 30 grupos 54 sub-grupos 157 rubros 449 variedades

Ejemplo:

Gran Grupo: Alimentos y Bebidas

Grupo: Alimentos

Sub-Grupo: Tubrculos

Rubro: Papa

Variedad: Papa amarilla

Inflacin

La estructura por grandes Grupos, es la siguiente:

Inflacin

Las tasas de inflacin se calculan en base al ndice de Precios al Consumidor (IPC).

= IPCt IPC0 - 1 t El responsable de la elaboracin de los IPC es el INEI. El IPC se calcula con la frmula de Laspeyres.

Inflacin

Fuente: INEI, http://www.inei.gob.pe

Se tienen los siguientes IPC de

Per (base 2001).

Encuentre la Inflacin del

tercer trimestre y

la Inflacin

Proyectada

para el ao 2004

segn el INEI.

Periodo IPC 2004 Inflacin

Mensual Inflacin

Trimestral

Diciembre

2003 102.66

Enero 103.23 0.56%

2.14% Febrero 104.30 1.04%

Marzo 104.86 0.54%

Abril 104.83 -0.03%

0.76% Mayo 105.17 0.32%

Junio 105.66 0.47%

Julio 105.95 0.27%

0.31% Agosto 105.90 -0.05%

Septiembre 105.99 0.08%

Octubre 106.07 0.08%

0.41% Noviembre 106.38 0.29%

Diciembre 106.42 0.04%

Inflacin

Po = Precio unitario del bien X

Qo = Capacidad adquisitiva con el

monto Mo

Qo = Mo / Po Mo

Tasa de inters: i

M1 = Mo * ( 1 + i )

Tasa Corriente y Tasa Real

Si la Inflacin es constante en el periodo de anlisis:

Tasa Corriente y Tasa Real

Flujos Corrientes a Reales Deflactar Flujos Reales a Corrientes Inflactar

1 t n

St

P

icorr 1 t n

Ct

P ireal

Flujos Corrientes Flujos Constantes o Reales

Efectos de la Inflacin

Si se desea pasar el FC de valores corrientes a reales (deflactacin) es necesario conocer la inflacin

acumulada desde el momento cero 0 hasta cualquier momento t.

As tenemos:

Ct = Flujo Constante o

Real

St = Flujo Corriente

0t = Inflacin acumulada desde 0 hasta t


Dado el siguiente flujo de caja corriente, y sabiendo que la tasa de inters corriente es 12% anual, calcular

el Valor presente y el Valor futuro.

Ao 0 1 2 3 4

St 800 800 1000 1000

Inflacin 3% 3% 3% 4% 5%

Si se pretende ahorrar en un banco a una tasa pasiva de 12% mensual y la tasa de inflacin anual es 20.4%,

cunto se tendr en trminos reales al final del ao?


Al final del mes de diciembre de 2012, Jorge otorg a Manuel un prstamo a 4 meses, estimando que obtendra

una rentabilidad real del 3.5% mensual en esta operacin de crdito. Para ello Jorge estim que la inflacin en los

meses de enero a abril del 2013 sera del 2% mensual.

Jorge le ofreci a Manuel que la modalidad de pago fuera mediante cuotas mensuales de enero a abril del

2013, con aumentos del 10% mensual a partir de febrero.

Manuel le plante a Jorge que l prefera pagar cuotas iguales durante enero a marzo, y que en abril podra

pagar el doble de la cuota anterior. Jorge le manifest

que aceptaba su propuesta porque el iba a calcular las cuotas de tal manera que su rentabilidad real segua

siendo 3.5% mensual.


Han transcurrido los cuatro meses, Manuel cumpli con todos los pagos acordados en diciembre y ahora, en mayo,

Jorge est evaluando el resultado de su operacin de

crdito.

La inflacin oficial ocurrida en estos cuatro meses fue la siguiente:

Enero Febrero Marzo Abril

2.8% 2.3% 2.5% 1.8%

Jorge calcula que si el monto del prstamo otorgado a Manuel lo hubiera depositado al final de diciembre 2012 en

su libreta de ahorros en el banco, que paga 0.5% mensual,

hoy da (1ro. de mayo) tendra S/.9,293.53, del mismo poder

adquisitivo de diciembre de 2012.

Por otro lado, est analizando cunto realmente gan en esta operacin.


a. Cul fue el monto del prstamo que recibi Manuel? b. Cul fue el monto de las cuotas pactadas?

c. Cul habra sido el monto de las cuotas pactadas si se

hubiera aceptado la propuesta de Jorge?

d. Cul fue el costo corriente de las operaciones indicadas

en b) y c).

e. Por qu Jorge afirm que con su planteamiento o con

la propuesta de Manuel l igual obtena un rendimiento

real del 3%. Determine el costo real de las operaciones b

y c. f. Plantee la rentabilidad real obtenida por Jorge en esta

operacin.

g. Plantee la rentabilidad real de Jorge de haber

mantenido su planteamiento. Qu le hubiera convenido

proponer a Manuel?


Si se asume una deuda en una moneda extranjera, se tendr una tasa de inters en esa moneda.

Sin embargo, tambin tendr un equivalente en otra moneda (por ejemplo: soles).

Para ello es necesario conocer cmo estn relacionadas ambas monedas: Tipo de Cambio (TCo).

No obstante, este TCo no permanece constante en el tiempo, producindose un efecto conocido como la devaluacin o

depreciacin de la moneda.

Devaluacin o Depreciacin

La devaluacin o depreciacin es la variable macroeconmica que mide la variacin del tipo de cambio

en el tiempo.

Es la prdida de valor de la moneda blanda (Ej.: nuevo sol), con respecto a la moneda fuerte (Ej.: dlar americano,

euro).

Es decir, el nuevo sol se devala o deprecia respecto al euro porque cada vez se va a requerir ms soles para

adquirir un euro. En este caso es una devaluacin o depreciacin del nuevo sol respecto al euro (Nuevo sol/Euro).

La devaluacin o depreciacin desde el tiempo 0 al momento t:

TCt

TC0 1 =


Ejemplo:

Ao Tipo de

Cambio

Devaluacin

Anual

Devaluacin

Acumulada

0 2.50 -- --

1 2.65 6.00% 6.00%

2 2.90 9.43% 16.00%

3 3.20 10.34% 28.00%

4 3.50 9.38% 40.00%

TCt = TC0 ( 1 + 0t)


Si bien la devaluacin o depreciacin del nuevo sol, por

ejemplo, con respecto a una

divisa (Ej.: el dlar americano)

ocurre cuando se necesitan ms

soles para adquirir esa divisa,

qu sucede cuando se

comienza a necesitar menos soles

para comprar la misma divisa?

Este fenmeno es contrario a la devaluacin o depreciacin y se

denomina revaluacin o

apreciacin.


Cmo realizar la conversin de un flujo de fondos en dlares americanos a un flujo de

fondos en soles?

Ejemplo: Si recibo US$1,200 y debo

cancelarlos en tres aos, con cuotas anuales de: US$500, US$600,

y US$700. Se pide: Elaborar el flujo de fondos para

usted.

Calcular el costo de su deuda.

Costo en dlares americanos: 21.92%.


Para la conversin es necesario tener el tipo de cambio en cada periodo, o la devaluacin por

periodo y un tipo de cambio.

Ejemplo: Si el tipo de cambio al inicio fue de

TCo = 3.50 soles/dlar americano, y la devaluacin anual es constante y

equivale a 10%: Elaborar el flujo de fondos en soles. Calcular el costo de su deuda en soles.

Costo en soles: 34.11%.


Si se tiene una devaluacin constante en todos los periodos.


Si se tiene una devaluacin constante en todos los periodos.

P = St / ( 1 + i$ ) t P x TC0 = [ St x TC0 x ( 1 + )t / ( 1 + iS/. )

t ]


Para la conversin de los flujos de fondos, se tendrn las siguientes frmulas:

i S/. = (1 + i$ ) * ( 1 + ) - 1

i $ = ( iS/. - ) / ( 1 + )

con constante


El tipo de cambio hoy es de 3.45 soles por dlar americano. Por

razones coyunturales, usted estima que el nuevo sol se devaluar

0.75% en los prximos 15 das. La empresa a la cual usted asesora

tiene la alternativa de financiarse e invertir el monto de un milln

de dlares o su equivalente en soles, para el prximo periodo de

30 das, segn las siguientes tasas de inters:

Dadas las condiciones mencionadas: es posible obtener

rentabilidad?, cules son las operaciones que usted realizara?,

cul sera la ganancia en soles si se cumpliera con la

devaluacin esperada? y cul sera la rentabilidad que se

obtendra?


FINANZAS PARA LAS

OPERACIONES

FPO Unidad 2 - Tópicos de Matemáticas Financieras

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