Fracciones Continuadas - Aula Abierta de Matemáticas · Fracciones Continuadas Edward Parra...

Fracciones Continuadas

Edward Parra Salazar

27 de junio de 2007

Sobre el artıculo

Como resultado de una investigacion y proyecto final del curso Introduccion a la Teorıa de Numeros,surge este pequeno artıculo, que realiza un breve recorrido sobre las fracciones continuadas. No preten-de ser examen exhaustivo del tema, sino pretende que el lector, en su afan de conocimiento, continuebuscando e informandose sobre las fracciones continuadas. Un reconocimiento a mis colaboradores mascercanos en el proyecto Carolina Chacon y Bryan Valverde, por su apoyo incondicional en la elaboraciondel mismo.

Cualquier observacion, crıtica o comentario sera bien recibida1.

1. Historia de las fracciones continuadas

1.1. Breve Resena historica

En el 300 aec, Euclides en su libro Elementos en el algoritmo para sacar el maximo comun divisorgenera fracciones continuadas.

En 1579, Rafael Bombelli, en su libro L ‘Algebra Opera, asocia las fracciones continuadas con sumetodo de extraccion de raıces cuadradas.

En 1613 Pietro Cadalti, en su libro “Trattato del modo brevissimo di trovare la radica quadra dellinumeri, et regole da approssimarsi di continuo al vero nelle radice de numeri non quadrati, con lecause et inuentioni loro, et anco il modo di pigliarne la radica cuba, applicando il tutto alle operationimilitari et altro” utiliza la primera notacion para las fracciones continuadas.

En 1695, John Wallis, en Opera Mathematica, introduce el termino de Fraccion Continuada.

En 1780, Joseph Louis Lagrange da la solucion a la ecuacion de Pell2 usando fracciones continuadas,similar a las usadas por Bombelli.

En 1748, Leonhard Euler, en Introductio in analysin infinitorium, volumen I, capitulo 18, prueba laequivalencia entre las fracciones continuadas y las series infinitas generalizadas.

Fue Leonhard Euler, en el siglo XVIII que uso el nombre de fractio continua para las fraccionescontinuas. En aleman las fracciones continuas se denominan kettenbruche (fracciones cadena).

En 1813, Karl Friedrich Gauss, en su libro Werke, calcula una fraccion continuada con valor complejovia series hipergeometricas.

[email protected] [Jo].

1

1 HISTORIA DE LAS FRACCIONES CONTINUADAS 2

1.2. Sobre la notacion de las fracciones continuadas

Vamos a continuacion dar una pequena resena de la historia de la notacion de las fracciones conti-nuadas3.

La notacion para fracciones continuadas usada en la actualidad, fue introducida por Alfred Prings-heim en 1898, esto es,

b0 +a1

b1 +a2

b2 +. . .

.,

pero previamente se usaron otras.El verdadero descubridor de las fracciones continuadas, el matematico italiano Pietro Antonio Cataldi

(1548− 1626), en 1613 usaba la notacion4 ·& 2

8.&

28.

,

donde los puntos significa que la siguiente fraccion es una fraccion del denominador. Esto aparece en sulibro “Trattato del modo brevissimo di trovare la radica quadra delli numeri, et regole da approssimarsidi continuo al vero nelle radice de numeri non quadrati, con le cause et inuentioni loro, et anco il modo dipigliarne la radica cuba, applicando il tutto alle operationi militari et altro”

Esto es, segun la notacion actual

4 ·& 28.

&28.

. . . = 4 +2

8 +2

8 +. . .

Carl Friedrich Gauss(1777 − 1855) en su libro Disquisitiones arithmeticae publicado en 1801 usaba lanotacion

A0 = [b0] = b0,

A1 = [b0; b1] = b1A0 + 1A2 = [b;b1, b2] = b2A1 + A0

Konrad Knopp, en el libro Theory and Application of Infinite Series de 1944, utiliza la siguientenotacion para la representacion de las fracciones continuadas infinitas4

b0 +∞K

n=1

an

bn

Maritz Abraham Stern(1807− 1894), designo las fracciones continuadas finitas por

b0 +a1||b1

+a2||b2

+ · · ·

En lo que sigue de este trabajo vamos a utilizar como notacion de las fracciones continuadas, tanto la dePrisgsteim como la de Stern.

3Basados principalmente en [Br]4Vease [Kn], pagina 105.

Fracciones Continuadas Edward Parra S.

2 LA TEORIA DE LAS FRACCIONES CONTINUADAS 3

2. La teorıa de las fracciones continuadas

2.1. Fracciones continuadas finitas e infinitas

Una expresion de la forma

2 +1

3 +5

4 +7

1 +12

es un ejemplo de una fraccion continuada. Esta fraccion puede ser evaluada calculando y simplificandolas siguientes expresiones en el orden considerado:

1 +12

=32

4 +7

1 +12

= 4 +732

=263

,

3 +5

4 +7

1 +12

= 3 +5263

=9326

2 +1

3 +5

4 +7

1 +12

= 2 +19326

=21293

;

esto es,21293

= 2 +1

3 +5

4 +7

1 +12

Una fraccion continuada es una expresion de la forma

a1 +b1

a2 +b2

a3 + · · ·· · ·+

bn−2

an−1 +bn−1

an

(1)

En general, los ai y bi, pueden ser numeros reales o complejos. Sin embargo, si cada bi es igual a 1 y cadaai es un entero mayor que cero, para i > 1, entonces la fraccion continuada se dice fraccion continuadasimple.

Los ai en (1) se llaman los terminos de la fraccion continuada. Si el numero de terminos de una fraccioncontinuada simple es finito, se dice que es una fraccion continuada simple finita. Si el numero determinos es infinito, se dice que es una fraccion continuada simple infinita.



A continuacion enunciaremos dos teoremas muy importantes5 que fueron demostrados por L. Euleren el siglo XV III, con los cuales se puede asociar a todo numero real una fraccion continuada.

Teorema 2.1 Todo numero racional puede ser expresado como una fraccion continuada simple finita.

La representacion de un numero racional como una fraccion continuada simple finita no es unica, estepuede ser representado en exactamente dos formas; una representacion tiene un numero impar de termi-nos y la otra representacion, un numero par de terminos. Por lo tanto, podemos concluir:

Teorema 2.2 Toda fraccion continuada simple finita representa un numero racional.

Otro teorema tambien importante es el analogo a fracciones continuadas infinitas.

Teorema 2.3 Todo numero irracional puede expresarse como una unica fraccion continuada infinita.

Teorema 2.4 Toda fraccion continuada simple infinita representa un numero irracional.

De aquı, podemos entonces concluir,

Teorema 2.5 Todo numero real puede ser expresado por una fraccion continuada.

Ejemplo 2.1 Expresar√

8 como una fraccion continuada simple.

Como 2 <√

8 < 3, entonces 2 es el mayor entero menor que√

8. Ası,

√8 = 2 + (

√8− 2) = 2 +

11

√8− 2

= 2 +1

√8 + 24

2 +1

1 +

√8− 24

= 2 +1

1 +1

1 +4

√8− 2

2 +1

1 +1

√8 + 2

= 2 +1

1 +1

4 + (√

8− 2)

Podemos ver que la expresion√

8−2 aparece otra vez. El desarrollo de (√

8−2) como fraccion continuadaes otra vez:

1

1 +1

4 + (√

8− 2)

por lo tanto, √8 = [2; 1, 4, 1, 4, . . .]

Esta representacion en fraccion continuada de√

8 es un ejemplo de una fraccion continuada simple infi-nita que es periodica.

5Las demostraciones de estos teoremas pueden ser consultados en [P-B] de la pagina 150 en adelante.



2.2. Algoritmo para el calculo de fracciones continuadas

Consideremos p0 y p1, dos numeros enteros tales que p0 > p1. Por el algoritmo de la division euclıdea6,tenemos que

pk = pk+1qk + pk+2 con 0 ≤ pk+1 < pk; k = {0, 1, . . .}, qk ∈ N

Luego,

pk =pk

pk+1= qk +

1pk+1

pk+2

,

si continuamos con esta recursion, tenemos que:

q0 +1

q1 +1

q2 + · · ·

Por ejemplo, calculemos la fraccion continuada de1046343200

.

Utilizando el algoritmo de la division euclıdea, tenemos

43200 = 4 · 10463 + 134810463 = 7 · 1348 + 10271348 = 1 · 1027 + 3211027 = 3 · 321 + 64321 = 5 · 64 + 164 = 64 · 1

De aquı podemos concluir entonces,

1046343200

=1

4 +1

7 +1

1 +1

3 +1

5 +164

2.3. Convergentes

Una de las razones por las cuales las fracciones continuadas son importantes es que ellas pueden serutilizadas para obtener aproximaciones numericas de numeros irracionales7.

6Vease [Br]7Vease [Mo]



Las fracciones continuadas simples finitas

c1 = [a1] = a1,

c2 = [a1; a2] = a1 +1a2

c3 = [a1; a2, a3] = a1 +1

a2 +1a3

...

cn = [a1; a2, a3, . . . , ak] = a1 +1

a2 +1

a3 + · · ·+

1ak

Los ck se dicen los convergentes8 o reducidos de la fraccion continuada9 [a1; a2, . . .].

Ejemplo 2.2 Determinar los convergentes de la fraccion continuada simple finita dada por [1; 3, 4, 2, 3].

c1 = [1] = 1,

c2 = [1; 3] = 1 +13

=43

c3 = [1; 3, 4] = 1 +1

3 +14

=1713

c4 = [1; 3, 4, 2] = 1 +1

3 +1

4 +12

=3829

c5 = [1; 3, 4, 2, 3] = 1 +1

3 +1

4 +1

2 +13

=131100

Notese que el valor del convergente c5 es igual al valor de la fraccion continuada simple, en gene-ral, el ultimo convergente de la fraccion continuada simple finita es siempre igual al valor del racionalrepresentado por esa fraccion continuada.

Ahora vamos a mostrar una formula para evaluar mas rapidamente los convergentes de una fraccioncontinuada.Sea cn el n−esimo convergente. Sea rn y sn el numerador y denominador, respectivamente de Cn.

c1 = a1; aquı, r1 = a1 y s1 = 18El primer matematico que investigo el metodo para calcular los convergentes fue Daniel Schwenter (1585-1636).9La fraccion continuada puede ser finita o infinita.


3 GEOMETRIA DE LAS FRACCIONES CONTINUADAS 7

c2 = a1 +1a2

=a1a2 + 1

a2donde r2 = a1a2 + 1 y s2 = a2

c3 =a3(a1a2 + 1) + a1

a3a2 + 1Note que: a1a2 + 1 + a1 = r2 a1 = r1 a2 = s2 1 = s1

Sustituyendo, tenemos que

c3 =a3r2 + r1

a3s2 + s1dado que r3 = a3r2 + r1

s3 = a3s2 + s1

De este modo, podemos ver que

cn =rn

sn=

anrn−1 + rn−2

ansn−1 + sn−2

Para que la formula anterior se valida n = 1, 2, . . ., adoptemos aquı, la siguientes definiciones:

r−1 = 0, s−1 = 1, r0 = 1 y s0 = 0

Ası, por ejemplo, los convergentes de 384157

384157

= 2 +1

2 +1

4 +1

8 +12

.

Los primeros 5 convergentes de 384157 son

n −1 0 1 2 3 4 5an 2 2 4 8 2rn 0 1 2 5 22 181 384sn 1 0 1 2 9 74 157

3. Geometrıa de las fracciones continuadas

En este capıtulo, abordaremos a las fracciones continuadas desde una perspectiva geometrica, esdecir, intentaremos demostrar o citar algunas de las principales propiedades partiendo de construccionesgeometricas. Para mas detalles puede consultarse [I], donde se elabora detalladamente la construccionde los convergentes vistos como la mejor aproximacion a un numero real α. Tambien, Harold Stark, en sulibro An Introduction to Number Theory (vease [St]), dedica el capıtulo siete a las fracciones continuadasdesde un enfoque geometrico.

Consideremos α ∈ R, podemos expresar este numero como

α = bαc+ (α),

donde (α) es la parte fraccionaria de α y bαc la parte entera de α. Si definimos inductivamente α0 = α yαn = 1

(αn−1) para n ≥ 1, obtenemos una sucesion de enteros an = bαnc, con an ≥ 1 para n ≥ 1. Es claro verque el proceso termina si (αn) = 0, y en este caso α es racional y tenemos el valor

a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3 +1

+. . .an

=pn

qn



Si (α) 6= 0, pn

qn∈ Q, es intuitivamente alguna clase de aproximacion a α.

pn

qnse llama el n-esimo convergente o aproximante de α.

Si α es irracional,lım

n→∞

pn

qn= α

y escribimos

α = a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3 +. . .

Examinemos ahora, la naturaleza de los convergentes o aproximantes de α.Decimos que una fraccion p

q (q > 0) es una mejor aproximacion a α, si para todas las fracciones p′

q′

con 0 < q′ < q, |qα − p| < |q′α− p′|, menos cuando p = p′, q = q′.Los convergentes de un numero α son caracterizados como mejor aproximacion a α del modo siguiente:

3.1. Teorema de Caracterizacion de Convergentes

Teorema 3.1 1. Si (α) < 12 , entonces la mejor aproximacion a α son los convergentes pn

qn, para n ≥ 0.

2. Si (α) > 12 , entonces la mejor aproximacion a α son los convergentes pn

qn, para n ≥ 1.

Nota:

Si (α) > 12 , entonces trivialmente la mejor aproximacion entera a α es bαc+ 1. Tenemos

1 <1

(α)= α1 < 2, a1 = 1

y tenemos dos convergentes enteros de α, p0

q0= a0 = bαc y p1

q1= a0 + 1

1 = bαc+ 1 de los cuales solo elultimo es una mejor aproximacion.

Si (α) = 12 entonces α no tiene una mejor aproximacion entera, ya que bαc y bαc+ 1 son igualmente

buenas. El primer convergente p0

q0= bαc no es estrictamente hablando(ver definicion) una mejor

aproximacion. Luego, p1

q1= α es una mejor aproximacion.

3.1.1. Demostracion del teorema

Asociaremos geometricamente la mejor aproximacion de α con los puntos en el plano, los cuales losllamaremos los puntos de mejor aproximacion. Describiremos una construccion geometrica, la cualcuando la aplicamos repetidamente, nos dara una sucesion de todos los puntos de mejor aproximacion.Finalmente computaremos las coordenadas de los puntos de mejor aproximacion y mostraremos que lamejor aproximacion a α son los convergentes dados.

Utilizaremos P = (b, a) para puntos en el plano y vectores.La malla generada por dos vectores P y Q es el conjunto de todos los puntos mP + nQ con m y n

enteros.El (P,Q)-cono positivo (cerrado) con vertice U es el conjunto de puntos U + aP + bQ, con a ≥ 0,

b ≥ 0.(Ver figura 1) La distancia de un punto A a la lınea ` en la direccion P (no paralela a `) es el largodel segmento que une A al unico punto A + aP en `.



Figura 1: (P,Q)-cono positivo con vertice U

3.1.2. Interpretacion geometrica de la mejor aproximacion

Sea ` la recta y = αx. La interpretacion geometrica de que pq es una mejor aproximacion a α es

que entre todos los puntos (q′, p′) de la malla entera Z2 (i.e. la malla generada por (1, 0) y (0, 1)) con lacoordenada x que satisface 0 < q′ ≤ p, (q, p) es la unica mas cercana a `. Llamaremos a (q, p) un punto demejor aproximacion para `.

3.1.3. Construccion de un punto exterior

Dado un numero real α y dos puntos de una malla entera A,B. Deseamos construir un punto C, elcual llamaremos punto exterior de A,B y lo denotaremos por C = C(A,B;α).

Figura 2: Punto exterior C = C(A,B, α)

La construccion del punto exterior es la siguiente: Sea ` la recta y = αx. Suponga que ` atraviesa alparalelogramo OBFA en el origen y en el punto P que es interior al lado BF . Sea ` la extension de AFen el punto Q; entonces, P = θA + B, para algun θ, 0 < θ < 1, y Q = A + 1

θB. Aquı, Q se encuentra en elborde de la malla entre C = A + b1

θcB y G = B + C. Esto concluye con la construccion del punto exteriorC = (A,B;α).



3.1.4. Repitiendo la construccion del punto exterior

Vamos a iterar la construccion del punto exterior y al hacerlo, es importante observar dos hechos:

La malla generada por A y B es precisamente como la malla generada por B y C (porque C =A + b1

θcB, A = C − b1θcB y bθc es entero).

A algun vertice, el (A,B)-cono positivo, abierto a lo largo del borde A, contiene al (B,C)-cono posi-tivo, abierto a lo largo del borde B (porque C = A + b1

θcB y b1θc ≥ 1).

Iniciemos con un numero real α y dos puntos enteros de la malla V−1 = (0, 1) y V0 = (1, a0), dondea0 = bαc. Entonces para cada n = 1, 2, 3, . . ., sea Vn = C(Vn−2, Vn−1;α).

En la figura 3 se ilustra la construccion de V1, V2, V3 cuando α =√

5− 1 = [0; 1, 1, 1, . . .]

Figura 3: V1, V2, V3 cuando α =√

5− 1 = [0; 1, 1, 1, . . .]

Si (α) < 12 , p0

q0es una mejor aproximacion para α. Para n ≥ 1, usando las observaciones acerca de

mallas y conos positivos, podemos decir que si (q′, p′) es un punto en Z2 con q′ > 0 y si ` es no mas cercanode (q′, p′) que de Vn, entonces (q′, p′) esta en el (V−1, V0)-cono positivo con vertice Vn, abierto a lo largo delborde Vn−1.

Ası, por la interpretacion geometrica, pn

qnes una mejor aproximacion a α. Tambien, ` es mas cercano

a Vn−1 que algun punto de Z2 con coordenada x entre qn−1 y qn. Ası, no existe una mejor aproximacion pq

con qn−1 < q < qn. Deducimos entonces, que la unica mejor aproximacion es pn

qn, n ≥ 1, y p0

q0para (α) < 1

2 .

3.1.5. Mejor aproximacion como convergente

Lo que queda es mostrar que nuestro pn

qn, satisface

a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3 +1

+. . .an

=pn

qn.

Sea `′ la recta y =pn

qnx.



Primero note la importancia del hecho que, para 0 ≤ r ≤ n, la sucesion inductiva de construccionesproduce precisamente los mismos puntos Vr y los enteros ar tanto para la recta `′ como para ` (cuando` = `′ obtenemos una sucesion de numeros θ′r reemplazando θr). Esto es porque, para 0 ≤ r ≤ n, `′

interseca el interior de la segmento que une Vr con Vr + Vr+1 (desde luego ` lo hace tambien). Ası, si `′

no lo hace, entonces uno de los puntos de la malla Vr o Vr + Vr−1 separa ` y `′ en el medio plano x > 0.Cualquiera de los puntos tiene coordenada x ≤ qn, esto es mas cercano a ` que a Vn y esto contradice elhecho que pn

qnes una mejor aproximacion a α.

Sea d′r la distancia perpendicular desde Vr a `′. Entonces, d′rd′r−1

= θ′r (esto es porque la distancia CQOB = ϕ

en la construccion geometrica).De aquı,

d′r−2

d′r−1

=1

θ′r−1

= ar + θ′r = ar +d′r

d′r−1

para 1 ≤ r ≤ n y tambiend′r−1

d′r−2

=1

ar +d′r

d′r−1

Ahora,d′0d′−1

=(

pn

qn

)y d′n = 0

Sustituyendo sucesivamente por los radios

d′1d′0

, . . . ,d′n−1

d′n−2

obtenemos que (pn

qn

)= 0 +

1

a1 +1

a2 +1

a3 +1

+. . .an

.

y ası,pn

qn= a0 +

1

a1 +1

a2 +1

a3 +1

+. . .an

lo que demuestra el teorema.De este teorema se deducen importantes corolarios, ası por ejemplo:

Definicion 3.1 Dos expansiones de fracciones continuadas [ao, a1, . . .] y [b0, b1, . . . ] son eventualmenteidenticas si para algun M ≥ 0 y N ≥ 0, aM+i = bN+i para todo i ≥ 1

Teorema 3.2 Dos numeros irracionales son equivalentes si y solo si sus expansiones en fracciones conti-nuadas son eventualmente identicas.


4 APLICACIONES 12

4. Aplicaciones

4.1. Calculo de fracciones continuadas de raıces cuadradas

Rafael Bombelli, un ingeniero y arquitecto italiano, que nacio en Bologna, Italia en 1526, y murio en1572, fundador de los numeros imaginarios, nos da un algoritmo para calcular las raıces cuadradas, estees:

Considere √A =

√a2 + r = a + x

o,a2 + r = a2 + 2ax + x2

or = 2ax + x2

Si al realizar la primera aproximacion no obtenemos x2, entonces consideramos

r = 2ax

y √A = a +

r

2aPero x = r

2a o x = rx2a . Ası,

r = 2ax +rx

2a=

(2a +

r

2a

)x

Usando esta nueva aproximacion de x, obtenemos√

A = a +r||2a

+r||2a

.

Este proceso se puede hacer indefinidamente, obteniendo la fraccion continuada infinita√

A = a +r||2a

+r||2a

+ · · ·

Otro modo de explicar como Bombelli podrıa haber obtenido ese metodo es escribiendo

A− a2 = (√

A + a)(√

A− a) = r

Ası, √A = a +

r

a +√

A

Reemplazando√

A por su expresion repetidamente en el denominador llegamos a la fraccion continuada.Por ejemplo, consideremos

(√

2− 1)(√

2 + 1) = 1√

2− 1 =1

√2 + 1

√2 = 1 +

1√

2 + 1√

2 = 1 +1

1 + 1 +1√

2Luego,

√2 = 1 +

1

2 +1√

2


4 APLICACIONES 13

4.2. Resolucion de ecuaciones diofanticas lineales mediante fracciones continuadas

Las fracciones continuadas simples nos permiten encontrar las soluciones particulares de una ecua-cion diofantica lineal10.

Ejemplo 4.1 Resolvamos la siguiente ecuacion11

17x− 15y − 2 = 0

Como mcd(17, 15) = 1, la ecuacion diofantica tiene solucion. Para hallar una solucion particular escriba-mos la fraccion 17

15 como fraccion continuada:

1715

= 1 +215

= 1 +1152

= 1 +1

7 +12

Eliminando la ultima fraccion del termino de la derecha y calculando la fraccion resultante, es decir,eliminando la fraccion 1

2 :

1 +17

=87.

Restamos la fraccion obtenida a la fraccion original y obtenemos:

1715

− 87

=17 · 15− 15 · 8

15 · 7=

−115 · 7

Trabajando solamente con los numeradores del segundo y tercer termino de la igualdad anterior, tene-mos:

17 · 7− 15 · 8 = −1

Como la ecuacion original esta igualada a 2, y notando que el termino de la izquierda posee los coeficientesde x y y de la ecuacion original, multiplicamos por −2 a ambos lados de la igualdad:

−2 · 17 · 7− (−2) · 15 · 8 = (−2) · −1,

obtenemos la expresion:17 · (−14) + 15 · 16 = 2

la cual nos da una solucion particular de la ecuacion diofantica lineal, esto es, x = −14, y = 16.La solucion general de la ecuacion es:

x = −14 + 15n, y = 16− 17n, n ∈ Z

Ejemplo 4.2 Resolvamos la siguiente ecuacion

20x− 15y = 30

Como mcd(20, 15) = 5 y 5|30 la ecuacion diofantica tiene solucion.Dividamos primero la ecuacion por el mcd, para obtener una ecuacion donde los coeficientes de x y y

sean primos relativos.4x + 3y = 6

Escribamos ahora, la fraccion43

como una fraccion continuada

43

= 1 +13.

10En honor al celebre Diofanto de Alejandrıa (c. 200-284)11Vease [Ba], pagina 40.


4 APLICACIONES 14

Eliminando13

y restando 1 a la fraccion original tenemos

43− 1 =

4 · 1− 1 · 33 · 1

=13

Trabajando solamente con el denominador del segundo y tercer termino de la igualdad anterior, tenemos:

4 · 1− 1 · 3 = 1

Ahora bien, como la ecuacion original esta igualada a 6, y notando que la ultima ecuacion tiene loscoeficientes de la ecuacion original, multiplicamos por 6 la ecuacion anterior. Luego,

6 · 4 · 1− 6 · 1 · 3 = 6 · 1;

de ahı,4 · 4− 6 · 3 = 6

De aquı, podemos concluir que x = 6 y y = −6 es una solucion particular de 20x− 15y = 30.Como ejercicio al lector,

Ejemplo 4.3 Resolver la siguiente ecuacion 124x− 72y = 16.

Dividamos primero por el mcd(124, 72) = 4 ambos lados de la ecuacion, notando que 4|16 y por lo tanto, laecuacion diofantica tiene soluciones enteras. Ahora, tenemos que resolver

31x− 18y = 4

Separemos la parte entera de la fraccion3118

3118

= 1 +1318

luego, cambiamos1318

, por otra equivalente 1 +11813

, obtenemos entonces:

3118

= 1 +11813

Realizando nuevamente el mismo proceso con la fraccion1813

:

1813

= 1 +513

= 1 +1135

Ahora, la fraccion inicial tiene la forma3118

= 1 +1

1 +1135

Realizando el mismo proceso con la fraccion135

:

135

= 2 +35

= 2 +153


4 APLICACIONES 15

tenemos entonces que:3118

= 1 +1

1 +1

2 +1

1 +132

Al continuar con el proceso, llegamos finalmente a que

3118

= 1 +1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +12

Suprimiendo el ultimo termino de esta fraccion continuada, es decir,12

, transformamos la fraccion conti-

nuada en una fraccion ordinaria y le restamos la fraccion original3118

:

3118

= 1 +1

1 +1

2 +1

1 +11

= 1 +1

1 +1

2 +12

= 1 +1

1 +15

= 1 +57

=127

3118

− 127

=31 · 7− 18 · 12

18 · 7=

118 · 7

Reduciendo la expresion obtenida a un denominador comun y suprimiendo este denominador, obtenemos:

31 · 7− 18 · 12 = 1

Multiplicando por 4 a ambos lados de la igualdad, tenemos:

31 · 28− 18 · 48 = 4

Finalmente obtenemos31x− 18y = 4

donde x = 28 y y = 48. Por lo tanto, todas las soluciones de la ecuacion diofantica estaran dadas por

x = 28− 18n, y = 48− 31n, n ∈ Z

4.3. Fracciones continuadas y geometrıa

Vamos a considerar ahora la relacion existente entre las fracciones continuadas y la geometrıa. Estoes, vamos a mostrar que

√2 es irracional usando las fracciones continuadas12. Dado un cuadrado con lado

igual a 1 y un arco indicado como en la figura. Tenemos

AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 12 = 2 luego, AC =√

212Vease [Ol]


4 APLICACIONES 16

AC

BC=

√2

1por

√2 =

AC

BC=

CD + AD

BC

= 1 +AD

BC= 1 +

1BC

AD

= 1 +1

2 +AD

AB

Aquı tenemos que AD y AE son segmentos de una secante que pasa por el circulo con centro C. ABes tangente al arco con centro C. Luego, de las nociones de geometrıa plana, tenemos lo siguiente:

AB2 = AE ·AD, oAB

AD=

AE

AB;

AE = AD + DE = AD + 2BC, y BC = AB

BC

AD=

AB

AD=

AE

AB=

AD + 2BC

AB=

AD + 2AB

AB= 2 +

AD

AB

Ahora bien, tenemos entonces

1 +1

2 +AD

AB

= 1 +1

2 +1

AB

AD

= 1 +1

2 +AD

AB

= 1 +1

2 +1

2 +AB

AD

Podemos ver que esta sera una fraccion continuada infinita, luego, representara a un numero irracional.Por lo tanto, concluimos que

√2 es un numero irracional.

4.4. Algunas fracciones continuadas

Vamos a realizar un viaje a traves de la historia, mostrando las fracciones continuadas mas famosasy quienes las descubrieron13. Ası por ejemplo:

13Vease [Mo]


4 APLICACIONES 17

Bombelli, en 1572, con la notacion moderna, descubrio que esencialmente

√13 = 3 +

4

6 +4

6 +. . .

Cataldi, en 1613, expreso la fraccion continuada de√

18 como:

√18 = 4 ·& 2

8.&

28.

&28.

. . . = 4 +2

8 +2

8 +2

8 +. . .

Lord Brouncker, alrededor de 1658,

4π

= 1 +1

2 +9

2 +25

2 +49

2 +81

2 +. . .

Esta expansion esta ligada historicamente con el producto infinito

π

2=

2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · 8 · 81 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 9

· · ·

dada por Wallis en 1655; ambos descubrieron importantes pasos en la historia de π14

Leonhard Euler, en 1737 encontro la siguiente expresion, que lleva

e = 2,7182818284590 . . . = lımn→∞

(1 +

1n

)n

la base de los logaritmos naturales

e − 1 = 1 +1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +1

4 +. . .

= [1; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8 . . .]

Ası por ejemplo,

e − 1 = 1, 71828;1

1 +1

1 +12

= 1, 66667

14π es la primera letra de la palabra περιϕερια(perımetro).


4 APLICACIONES 18

lo cual nos brinda una buena aproximacion a pesar de trabajar con una fraccion continuada pe-quena.

Luego,e − 1e + 1

=1

2 +1

6 +1

10 +1

14 +. . .

e − 12

=1

1 +1

6 +1

10 +1

14 +. . .

Esta ultima expansion permite rapidamente aproximar a e. Por ejemplo, el setimo convergente esaproximadamente:

e =1084483398959

= 2,71828182458 . . . ,

el cual difiere del valor de e en el doceavo decimal.

Lambert, en 1766, mostro que

ex − 1ex + 1

=1

2x

+1

6x

+1

10x

+1

14x

+. . .

y ademas que

tan(x) =1

1x−

13x−

15x−

17x− . . .

Lambert uso estas expresiones para concluir que

a. Si x ∈ Q, x 6= 0, entonces e no es racional.b. Si x ∈ Q, x 6= 0, entonces tan(x) no es racional.

Tambien Lambert, en 1770, mostro que

π = 3 +1

7 +1

15 +1

1 +1

292 +. . .


4 APLICACIONES 19

= [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 84, 2, . . .]

Si calculamos aquı el tercer convergente, tenemos

3 +11

7 +115

= 3, 14151

lo cual nos da 4 cifras de exactitud.

√a2 + b = a +

b

2a +b

2a +b

2a +. . .

, a2 + b > 0

√2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +. . .

1 +√

52

= 1 +1

1 +1

1 +1

1 +. . .

Los convergentes son11,21,32,53,85· · · ,

ambos, numerador y denominador empiezan formando la sucesion de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .).

Stern, en 1833, expreso como fracciones continuadas a π2

π

2= 1−

1

3−2 · 3

1−1 · 2

3−4 · 5

1−3 · 4

3−6 · 7

1−5 · 6

3− . . .

sin(x) =x

1 +x2

(2 · 3− x2) +2 · 3x2

(4 · 5− x2) +4 · 5x2

(6 · 7− x2) +. . .


4 APLICACIONES 20

Calculemos los primeros 2 terminos de la serie de potencias de la funcion sinx. Esto es:

sinx = x− x3

6+ · · ·

Luego, el convergente de orden 2 de la funcion sinx es

x

1 +x2

6− x2

= x− x3

6

Lambert, en 1770

tan(x) =x

1−x2

3−x2

5−x2

7− . . .

Gauss, en 1812

tanh(x) =x

1 +x2

3 +x2

5 +. . .

Lambert en 1770 y Lagrange en 1776

arctan(x) =x

1 +x2

3 +4x2

5 +9x2

7 +16x2

9 +. . .

, |x| < 1

Lambert en 1770 y Lagrange en 1776

log(1 + x) =x

1 +12x

2 +12x

3 +22x

4 +22x

5 +32x

6 +32x

7 +. . .

, |x| < 1

Lagrange en 1813

log(

1 + x

1− x

)=

2x

1−x2

3−4x2

5−9x2

7−16x2

9− . . .

, |x| < 1


4 APLICACIONES 21

Lagrange en 1776

(1 + x)k =1

1−kx

1 +

1 · (1 + k)1 · 2

x

1 +

1 · (1− k)2 · 3

x

1 +

2(2 + k)3 · 4

x

1 +

2(2− k)4 · 5

x

1 +

3(3 + k)5 · 6

x

1 +. . .

, |x| < 1

Laplace, en 1805 y Legendre en 1826, descubrieron la fraccion continuada de la integral de probabi-lidad, usada en la Teorıa de Probabilidad y Estadıstica. Esto es,∫ x

0e−u2

du =√

π

2−

12e−x2

x +1

2x +2

x +3

2x +4

x +. . .

, x > 0.

Si calculamos mediante algun paquete computacional, por ejemplo Mathematica 5.2, podemos verque ∫ 1

0e−x2

dx = 0, 746824

Ahora, usemos la expansion en fracciones continuada de∫ x

0e−u2

du, con u variando entre 0 y 1. De

aquı, tenemos ∫ 1

0e−x2

dx =√

π

2−

12e−12

1 +1

2 · 1 +2

1 +3

2 · 1

= 0, 615158

lo cual es una aproximacion valida tomando en consideracion que los paquetes computacionalesaplican algoritmos muy complejos para el calculo de esta integral y solo hemos calculado 3 conver-gentes.

4.5. Fracciones continuadas ascendentes

Otra curiosidad que nos da la teorıa de las fracciones continuadas es la de la fracciones continuadasascendentes.


4 APLICACIONES 22

Consideremos ahora, una variacion de las fracciones continuadas, las fracciones continuadas ascen-dentes15 que datan de Leonardo de Pisa16.

Siguiendo a Fibonacci, tenemos:e c a

f d b=

a

b

=adf + cf + e

bdf=

a

b+

c

d

1b

+e

f

1b

1d

Luego,

e c a

f d b=

a

b=

a +c +

e

f

db

Ası por ejemplo, una fraccion continuada ascendente para π es

π = 3 +1 +

4 +1 +

1 +5 + · · ·

1010

1010

10

4.6. El problema del calendario

Sabemos que nuestro ano, segun el calendario Gregoriano tiene

1 ano= 365 dıas 5 horas 48 minutos 46 segundos.

Tratemos de expresar esa relacion como una fraccion continuada17. Para esto, consideremos la siguienteproporcion:

5 horas 48 minutos 46 segundos1 dıa

=20926 segundos86400 segundos

=1046343200

Luego, utilizando el algoritmo de la division euclıdea, tenemos

43200 = 4 · 10463 + 134810463 = 7 · 1348 + 10271348 = 1 · 1027 + 3211027 = 3 · 321 + 64321 = 5 · 64 + 164 = 64 · 1

De aquı, podemos concluir entonces que la fraccion continuada que expresa 1 ano, esta dada por:

1 ano = [365; 4, 7, 1, 3, 5, 64];

15De ascending continued fractions. Para mas informacion consultese [Br].16Fibonacci fue un mercantil italiano que viajo principalmente a Egipto, Siria, Grecia y Silicia. En 1202 escribio Liber Abaci.

Ahı, el introduce las fracciones continuadas ascendentes.17Vease [Be], pagina 93.


REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 23

esto es,

1 ano = 365 +1

4 +1

7 +1

1 +1

3 +1

5 +164

4.7. Observaciones

Al realizar el estudio sobre las fracciones continuadas, podemos ver que la matematica a traves de lostiempos, conceptos esencialmente elementales, muestran un interes entre la comunidad matematica. Ası,podemos ver que en el desarrollo de la teorıa de las fracciones continuadas, los mas grandes matematicosde la historia se han visto envueltos. Matematicos como Cadaldi, Bombelli, Brounker, Euler, Lagrange,Lambert, Gauss, han sido participes en el desarrollo de esta teorıa: la teorıa de las fracciones continuadas.

Podemos ver, que la idea de la matematica acabada es erronea. Ya Euclides en 300 aec hacia uso de unamanera implıcita de las fracciones continuadas. Pasaron mas de 1800 anos y volvieron a resurgir con todosu potencial las fracciones continuadas. Aquı, Cadaldi, Bombelli, entre otros, siguieron desarrollandolas.Mas adelante, Euler, Lagrange, Lambert, Gauss continuaron con este topico.

Ademas, las fracciones continuadas jugaron un papel muy importante en la demostracion de la tras-cendencia de π.

Actualmente, la teorıa de las fracciones continuadas se usa por ejemplo en expansiones de Engel18.Otros trabajos importantes sobre fracciones continuadas son: Music and Ternary Continued Frac-

tions de J. M. Barbour en The American Mathematical Monthly, Vol. 55, No. 9. (Nov., 1948), pp. 545-555.Corrections to Continued Fractions for the Incomplete Beta Function de Leo A. Aroian en TheAnnals of Mathematical Statistics, Vol. 30, No. 4. (Dec., 1959), p. 1265. On Some Recent Developmentsin the Theory and Application of Continued Fractions de P. Wynn en Journal of the Society for In-dustrial and Applied Mathematics: Series B, Numerical Analysis, Vol. 1. (1964), pp. 177-197. y el trabajode Irvin, en [I].

Esto lo que nos refleja, es que las fracciones continuadas no es un tema muerto, es un tema de granaplicabilidad a la matematica y sus aplicaciones.

Sin lugar a dudas, la parte mas importante de las fracciones continuadas es que, aun al ser muysencillo, el gran potencial que posee a la hora de realizar aproximaciones.

Referencias Bibliograficas

[Ba] Barrantes, H. Introduccion a la Teorıa de Numeros. EUNED. San Jose. 1998.

[Be] Beskin, Fracciones Maravillosas. Editorial MIR. Moscu. 1985.

[Br] Brezinski, C. History of Continued Fractions and Pade Approximants. Springer Verlag.U.S.A. 1991

[I] Irwin, M. Geometry of Continued Fractions. The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No.8. (Oct., 1989), pp. 696-703. 1989

[Kn] Knopp, K. Theory and Applications of Infinite Series. Blackie and Son Limited. Great Britain.1944.

18Kraaikamp y Wu en el 2004 observaron que toda expansion de Engel puede expresarse como una fraccion continuadaascendente. Sobre expansiones de Engel, vease por ejemplo http : //en.wikipedia.org/wiki/Engelexpansion


REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 24

[Jo] Jones, B. The Theory of Numbers. Holt, Rinehart and Winston. New York. 1964.

[Mo] Moore, C. An Introduction to Continued Fractions. The National Council of Teachers of Mat-hematics. Washington. 1964.

[Ol] Olds, C.D. Continued Fractions. The L.W. Singer Company. Yale University. 1963.

[P-B] Pettofrezzo, A., Byrkit, D. Introduccion a la Teorıa de Numeros. Editorial Prentice-Hall Inter-nacional. New Jersey. 1972.

[St] Stark, Harold. An Introduction to Number Theory. MIT Press. Cambridge, Massachusetts.1998.


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