Fracciones y nmeros mixtos

1- DefinicinUna fraccin es un nmero, que se obtiene de dividir un entero en partes iguales. Por ejemplo cuando decimos una cuarta parte de la torta, estamos dividiendo la torta en cuatro partes y consideramos una de ellas.

2- Partes de una fraccinUna fraccin se representa matemticamente por nmeros que estn escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una lnea recta horizontal llamadaraya fraccionaria.La fraccin est formada por dos trminos:elnumerador y el denominador.-El numeradores el nmero que est sobre la raya fraccionaria yel denominadores el que est bajo la raya fraccionaria.

- El numeradores el nmero de partes que se considera de la unidad o total.

-El denominadores el nmero de partesigualesen que se ha dividido la unidad o total.

3- Tipos de fraccionesHay tres tiposde fracciones:

3.1- Fracciones propias:El numerador es menor que el denominadorEjemplos:

3.2- Fracciones impropias:El numerador es mayor (o igual) que el denominadorEjemplos:

3.3- Fracciones mixtas:Un nmero entero y una fraccin propia juntosEjemplos:

Unnmero mixtoest formado por un nmero natural y una fraccin. Todas las fracciones mayores que la unidad se pueden expresar en forma de nmero mixto.

Hay dos casos:

Primero.Pasar de fraccin a nmero mixto. Ejemplo 8/5. Se hace la divisin 8:5= 1 y el resto es 3. Por tanto: 1 es el nmero natural y 3 es el numerador de la fraccin y le denominador no cambia, es decir 5.

Segundo:Pasar de nmero mixto a fraccin. El numero natural se multiplica por el denominador y se suma el numerador. Ejemplo 1 + 2/3. Operamos: 1X3 = 3+2 = 5

4- Cmo sumar dos nmeros mixtos cuyas fracciones tienen el mismo denominador:- Suma los numeradores de las dos fracciones.- Coloca el resultado sobre el comn denominador.- Si la fraccin es impropia (el numerador es ms grande o igual al denominador), entonces hay que convertirla a nmero mixto.- Suma los enteros de los dos nmeros mixtos.-Si al sumar las fracciones se crea un nmero mixto, entonces suma la parte entera al total anterior.

Ejemplo:

1Suma la parte fraccionaria de los nmeros mixtos

2Convierte 4/3 a nmero mixto 4/3 = 1 1/3

3Suma la parte entera de los nmeros mixtos4Suma el nmero entero de la suma de las fracciones 8 + 1 = 9

Establece el resultado final:

5- Cmo restar nmeros mixtos que tienen el mismo denominador - Si el primer numerador es ms pequeo que el segundo, hazlo ms grande.

- Resta el segundo numerador del primero.

- Coloca la diferencia sobre el comn denominador.

- Resta las porciones enteras de los dos nmeros mixtos.

Formula el resultado

Ejemplo:

1Haz que el primer numerador sea mayor que el segundo:

2Resta las partes fraccionarias de los nmeros mixtos

3 Resta los enteros de los nmeros mixtos:

Formula la respuesta final:

Operaciones con fracciones1-Sumade fracciones con el mismo denominadorLas fracciones constan de dos nmeros. El nmero superior es llamado numerador. El nmero inferior es llamado denominador.

1.1- Con igual denominadorSi dos fracciones tiene elmismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. Si la fraccin resultado se puede simplificar, se simplifica.

Ejemplo:

1.2- Con distintodenominadorSi las fracciones tienendistinto denominadorse reducen a comn denominador y se suman los numeradores dejando el denominador. Finalmente, si es posible se simplifica.

Ejemplo:

Para resolver esta suma podemos aplicar varios mecanismos

1Amplificamos o simplificamos todas o algunas de las fracciones dadas, para obtener fracciones con igual denominador.

Luego Sumamos los numeradores, segn corresponda y conservamos el denominador. Recuerda que para expresar los resultados obtenidos como fraccin irreductible debes simplificarlos.En nuestro ejemplo :

2Utilizar el mtodo productos cruzados. Este mtodo lo podemos aplicar slo cuando tenemos 2 fracciones.

El mtodo consiste en multiplicarlos dos trminosde cada fraccinpor el denominador de la otrafraccin.

En nuestro ejemplo:

3 Mtododel mnimo comn mltiplo

Recordemos queel minimo comnes simplemente elms pequeode los mltiplos comunes.Paracalcularlo slo escribe los mltiplos de los nmeros hasta que encuentres uno que coincida.Para reducir dos o ms fracciones por el mtodo de mnimo comn mltiplo, se toma como denominador comn el m.c.m. y como numerador el resultado de multiplicar cada numerador por el cociente que resulta al dividir el denominador comn entre el denominador correspondiente.

En nuestro ejemplotenemos:

2- Resta o sustraccin de fracciones.

2.1- Con igual denominadorSi dos fracciones tiene elmismo denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Si la fraccin resultado se puede simplificar, se simplifica.

Ejemplo:

2.2- Con distintodenominadorSi las fracciones tienendistinto denominadorse reducen a cumn denominador y se restan los numeradores dejando el denominador. Finalmente, si es posible se simplifica.

Ejemplo:

En la resta se pueden aplicarlas mismas alternativas que explicamos en la suma para su desarrollo.

Multiplicacin y sus propiedades: conmutativa, asociativa y distributiva

1- Qu esuna multiplicacin ?La multiplicacin es una suma abreviada de sumando iguales.

a + a + a + a + a + a + a + a + a =n a

Por ejemplo, en la suma 4+4+4+4+4 el 4 aparece cinco veces como sumando. Esto se expresa de forma abreviada escribiendo:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 4 = 20

2- Trminosde la multiplicacinLos trminos de la multiplicacinse llamanfactoresy su resultado,producto.

Para su notacin se emplea entre losfactoresel signoxo que se lee"por".3- Propiedadesde lamultiplicacinParamultiplicarnmerosenteroshayquetenerencuentaunaseriedepropiedadesqueharmsfcillaresolucindeproblemas. Estassonlaspropiedadesconmutativa,asociativa,elementoneutroydistributiva.3.1-PropiedadconmutativaCuandosemultiplicandosnmeros, elproductoeselmismosinimportarelordende losmultiplicandos.Porejemplo: 4 2 = 2 4

3.2-PropiedadasociativaCuandosemultiplicantresomsnmeros, elproductoeselmismosinimportarcomoseagrupanlosfactores.

Porejemplo(23)4 = 2(34)

3.3-PropiedaddeelementoneutroElproductodecualquiernmeroporunoeselmismonmero.Porejemplo5 1 = 5

3.4-Propiedaddistributiva con respecto a la adicinLasumade dosnmerosporunterceroesiguala lasumadecadasumandoporeltercernmero.

Porejemplo4(6 + 3) = 46 + 43

3.5 - Propiedad del 0Todo nmero multiplicado por 0 es siempre 0.

Ejemplo:

1 0 = 0 ; 45 0 = 0 ; 28 0 = 0

3.6- Propiedad modulativa

La propiedad modulativa se refiere particularmente al producto y te indica que:

a 1= a

Ejemplos:

4 1 = 433 1 = 3312 1 = 1252 1 = 52

3.7- Propiedad clausurativa

El producto dos nmeros naturales, da como resultado otro nmero natural.

Ejemplo:

7 x 8 = 56

56 es un nmero natural.

Divisin1- Qu es la divisin?Te has dado cuenta queen ms de alguna ocasin has tenido que dividir sin saber que lo ests haciendo? Por ejemplo, cundo compartes un chocolate, o cuandoen tu casa dividen la comida segn la cantidad de habitantes.

La divisin estpresente en variosmbitos de nuestra vida y podramos definirla como una operacin aritmtica de descomposicin que consiste en averiguar cuntas veces un nmero (el divisor) est contenido en otro nmero (el dividendo).

Podemos decir entonces quela divisinforma parte de laaritmticay esinversa a la multiplicacin.

2- Trminos de la divisinEn una divisin de nmeros naturales, sus trminosse llamandividendoydivisory su resultado se llamacociente. Si la divisin no es exacta, se obtieneunrestoque esmenor que el divisor y distinto de cero.

- Dividendo: es el total que vamos a dividir

- Divisor: es la cantidad por la cual se va a dividir al total

- Cociente: es el resultado de la operacin. ste indica la cantidad der veces que el divisor cabe dentro del dividendo

- Resto: es la parte que no se ha podido distribuir.Si el resto es diferente de cero, decimos que es unadivisin inexacta.

3- Divisin de un nmero de dos cifras por uno de una cifra

Vamos a dividir 64 entre 4:

Lo que debemos hacer es tomar la primera cifra por la izquierda del dividendo.

Importante:Esa primera cifra que tomamos (en este caso el6) tiene que ser igual o mayor que el divisor.Si fuera menor, tendramos que tomar dos cifras (64).

Buscamos el nmero de la tabla del divisor (4) cuyo resultado ms se aproxime a 6 sin pasarse. Ese nmero es1, porque 1 x 4 = 4 (esel que ms se aproxima a 6 sin pasarse).

El 2 no nos servira porque 2 x 4 = 8 (se pasa)

Luego multiplicamos 1 x 4 y el resultado se lo restamos a 6.

La resta da 2.

Ahora bajamos la siguiente cifra del dividendo, el4.

Volvemos a realizar el mismo proceso.Buscamos el nmero de la tabla del 4 cuyo resultado ms se aproxime a24sin pasarse. Ese nmero es6porque 4 x 6 = 24 (entonces es el que ms se aproxima a 24 sin pasarse).

El 7 no nos sirve porque 7 x 4 = 28 (se pasa)El 5 tampoco nos serviraporque 5 x 4 = 20 (se aproxima menos que el 6)

Multiplicamos6 x 4y se lo restamos a24.

La resta da 0.

Como ya no hay ms cifras del dividendo que bajar la divisin ha finalizado.

El cociente es 16 y el resto es 0.

Nota:El resto puede ser:

- Cero (si la divisin es exacta), es decir todo el dividendo queda distribuido perfectamente entre el divisor y no sobra nada.

-Nmerodistinto de cero, peroSIEMPRE menor que el divisor.Es la parte del dividendo que no se ha podido distribuir.

4-Comprobarla divisin:Para comprobar que una divisinest bien resuelta aplicamos la siguiente regla:

Vamos a ver si en la divisin que acabamos de realizar se cumple:

Nmeros primos y compuestos1- Nmeros primosUn nmeroaesprimosi slo tiene como divisores el1yl mismo. Para saber si un nmero es primo hallamos sus divisores y si nicamente tiene dos divisores, el 1 y l mismo, entonces dicho nmero es primo.

Los primeros nmeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97...

Ejemplo:

Si calculamos los divisores de19:

Div(19)= { 1 , 19 } 19 slo tiene dos divisores, as pues es un nmero primo.

2- Nmeros compuestos

Un nmero es compuesto cuando no es primo, es decir, cuando tiene ms de dos divisores.

Ejemplo:

Div(33)= { 1 , 3 , 11 , 33 } 33 tiene ms de dos divisores, por lo tanto es un nmero compuesto.

- El nmero 1 no se considera ni primo ni compuesto. Cualquier otro nmero natural o bien es primo o bien es compuesto.

-El 2 es el nico nmero primo y par a la vez.

3- Cmo averiguar si un nmero es primo

Para averiguar si un nmero es primo o compuesto, se divide por la serie de nmeros primos 2, 3, 5, 7, 11, ... hasta llegar a una divisin cuyo cociente sea igual o menor que el divisor. Si todas las divisiones tienen el resto distinto de cero, el nmero propuesto es un nmero primo.

Ejemplo: Vamos a ver si el nmero 101 es un nmero primo.

101 no es divisible por 2.

101 no es divisible por 3.

101 no es divisible por 5.

- Si dividimos el nmero 101 por 7:

- Si dividimos 101 por 11:

Entonces:

Basta con dividir el nmero por los nmeros primos menores que l hasta llegar a un cociente menor que el divisor.

Si ninguna de estas divisiones es exacta, el nmero es primo.

Si alguna de las divisiones es exacta el nmero es compuesto y podemos interrumpir el proceso.

4- Criba de Eratstenes

Lacriba de Eratsteneses un algoritmo que permite hallar todos los nmeros primos menores que un nmero natural dadon. Se forma una tabla con todos los nmeros naturales comprendidos entre 2 yn, y se van tachando los nmeros que no son primos de la siguiente manera: Comenzando por el 2, se tachan todos sus mltiplos; comenzando de nuevo, cuando se encuentra un nmero entero que no ha sido tachado, ese nmero es declarado primo, y se procede a tachar todos sus mltiplos, as sucesivamente. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor nmero confirmado como primo es mayor que n.

Tipos de fracciones: Fraccin propia, fraccin impropia y nmero mixto1- Tipos de fraccionesDebes recordar que existen distintos tipos de fracciones:

- Fraccinigual a la unidad- Fraccin propia- Fraccin impropia- Fracciones decimales- Fracciones equivalentes- Fracciones irreducibles- Fracciones inversas

2- Fraccin igual a la unidadEs aquella fraccin donde el numerador y el denominador son iguales.

Por ejemplo:

2 ,5,6,102 5 610

Al representar la fraccin grficamente tenemos:

Ejemplo:

3- Fracciones propiasLas fracciones propias son aquellas cuyonumeradoresmenorque eldenominador. Su valor es menor que la unidad ya que se ubica entre cero y uno en la recta numrica.

Por ejemplo:

1,1 ,3,4.3 6 48

Al representar la fraccin grficamente tenemos:

Ejemplo:

4- Fracciones impropiasLas fracciones impropias son aquellas cuyonumeradoresmayorque eldenominador. Su valor es mayor que 1.

Al representar la fraccin grficamente tenemos:

Ejemplo:

4.1- Nmero mixto

Las fracciones impropias se pueden escribir como numero mixto.

El nmero mixto o fraccin mixta est compuesto de unnmero enteroy unafraccin propia.En el ejemplo anterior tenemos:

a )Para poder transformar unafraccin impropia en nmero mixtolo que debemos hacer es:

Dividirelnumeradorpor eldenominador. Elcociente o resultadode esa operacines elentero del nmero mixtoy elresto el numeradorde lafraccin, siendo eldenominadorelmismo

Ejemplo :

En la fraccin 8 / 5

Por tanto: 1 es el nmero natural y 3 es el numerador de la fraccin yel denominador no cambia, es decir 5.

83

----=1----

55

b )Para poder transformar unnmero mixto a fraccionimpropialo que debemos hacer es:

El numero natural se multiplica por el denominador y se suma el numerador.

.Ejemplo :

En la fraccin:

5- Fracciones decimalesUnafraccin decimales aquella que tiene por denominador la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1000...

Ejemplo

5.1- Cmo se escribe una fraccin decimal en forma de nmero decimal?

Para escribir un fraccin decimal en forma de nmero decimal, se escribe el numerador y se separan con una coma, hacia la derecha, tantas cifras decimales como ceros tenga el denominador. si es necesario se aaden ceros.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Otros ejemplos:

5.2- Cmo se escibe un nmero decimal en forma de fraccin decimal?Para escribir un nmero decimal en forma de fraccin decimal, se escribe como numerador de la fraccin el nmero decimal sin coma, y como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el nmero decimal.

Ejemplos:

6- Fracciones equivalentesDos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismovalor decimal. Las fracciones equivalentes representanla misma partede una unidad o entero.Si las representamos en la recta numrica, corresponden al mismo punto.

Ejemplo:

Si lo graficamos tenemos :

Por qu son lo mismo?Porque cuando multiplicas (amplificas) o divide (simplificas)a la vezarriba y abajo por el mismo nmero, la fraccin mantiene su valor. La regla a recordar es:

Lo que haces a la parte de arriba de la fraccin tambin lo tienes que hacer a la parte de abajo!

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes, se multiplican sus trminos en cruz. Si los productos obtenidos son iguales, las fracciones son equivalentes.

Por ejemplo:

7- Fracciones irreduciblesSe caracterizan porque su denominador y numerador son primos entre s y no se pueden reducir o simplificar.Recuerda que dos nmeros son primos entre s cuando no tienen ningn divisor comn, es decir, si no es posible encontrar un nmero por el que podamos dividir cada uno de ellos y obtener como resultado un nmero entero.

Ejemplos:

Para encontrar lafraccin irreducible equivalentea una dada, divide el numerador y el denominador de la fraccin entre elmximo comn divisorde ambos nmeros.

Ejemplo:

8- Fracciones inversasComo su nombre lo indica, son las fracciones que se obtienen a partir de otra ya dada, en donde se ha invertido el denominador y numerador. La fraccin de valor0es la nica que no tiene inversa.

Ejemplos:

- El producto de una fraccin por su inversa siempre es 1

Ejemplo:

Fracciones equivalentes: amplificacin y simplificacin de fracciones1- Qu son las fracciones equivalentes?Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismovalor decimal. Las fracciones equivalentes representan lamisma parte de una unidad o entero.

Si las representamos en la recta numrica, corresponden al mismo punto.Ejemplo:Si lo graficamos tenemos :

Por qu son lo mismo?Porque cuando multiplicas o dividesa la vezarriba y abajo por el mismo nmero, la fraccin mantiene su valor. La regla a recordar es:

Lo que haces a la parte de arriba de la fraccin tambin lo tienes que hacer a la parte de abajo!

2- Amplificacin defraccionesAmplificaruna fraccin consiste en encontrar una fraccin equivalente pero con sus trminos (numerador y denominador)mayores.Para amplificar una fraccin basta con multiplicar el numerador y el denominador por el mismo nmero

Ejemplo :

Luego lasfracciones3 y18son equivalentes. 5 30

3- Simplificar una fraccinSimplificaruna fraccin consiste en encontrar una fraccin equivalente pero con sus trminos(numerador y denominador)ms pequeos.

Para simplificar una fraccin debe existir un nmero entre el que podamos dividir el numerador y el denominador de manera exacta.Es decir, para poder simplificar una fraccin el numerador y el denominador tienen que tener algn divisor comn (no pueden ser primos entre s)

Ejemplos de los dos casos:

Las fraccionesquenose puedensimplificarms se les llamairreducibles, esto sucede cuando elnumerador y el denominadorsonprimosentre s.

- Aunque se puede empezar a simplificar dividiendo por cualquier nmero, se debe seguir un orden lgico (por ejemplo los primos: 2, 3, 5, ..), es decir, probamos dividir ambos entre 2 mientras se pueda, despus pasamos al 3 y as sucesivamente.

4- Datos importantes:-El numeradoryel denominadorde la fraccin siempre deben ser nmeros enteros.

-Las operaciones que podemos hacer son multiplicar y dividir (siempre las dos partes a la vez). Si sumamos o restamos un nmero arriba y abajo,notendremos una fraccin equivalente.

-El nmero que elijas para dividir las dos partes no debe dejar ningn resto en las divisiones.

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes, se multiplican sus trminos en cruz. Si los productos obtenidos son iguales, las fracciones son equivalentes.

Por ejemplo:

Ordenar y comparar fracciones1- Cmo se comparan las fracciones?1.1- Fracciones con igual denominadorDe dosfraccionesque tienen elmismo denominadoresmenorla que tienemenor numeradorEjemplo:

1.2- Fracciones con igual numeradorDedos fraccionesque tienen elmismo numeradoresmenorel que tienemayor denominadorEjemplo:1.3- Con numeradores y denominadores distintosPara comparar fracciones que tienen distintos denominadores y distintos numeradores, puedes seguir los siguientes pasos:

1 Encontrar fracciones equivalente a las fracciones dadas, donde ambas tengan el mismo denominador.

2 Comparar los nmeros de las fracciones encontradas.

Ejemplo: Para comparar las fracciones 2/5 y 3/7, obtenemos el minimo comn multiplo entre los denominadores que es 35 y amplificamos cada una de las fracciones para que tengan el mismo denominador.

2x7=143x5=15 Como 14