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Fractal

En la naturaleza también aparece la geometría fractal,como en este romanescu.

Un fractal es un objeto semi geométricocuya estructura básica, fragmentada oirregular, se repite a diferentes escalas.[1]

El término fue propuesto por el matemáticoBenoît Mandelbrot en 1975 y deriva delLatín fractus, que significa quebrado ofracturado. Muchas estructuras naturalesson de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se leatribuyen las siguientes características[2]

• Es demasiado irregular para ser descritoen términos geométricos tradicionales.

• Posee detalle a cualquier escala deobservación.

• Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).• Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión

topológica.• Se define mediante un simple algoritmo recursivo.No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, larecta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece delresto de características exigidas.Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante lageometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras[3] olos copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues laspropiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límitesen el mundo natural.

Introducción

Los ejemplos clásicosPara encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del sigloXIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamosfractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto.

sucesivos pasos de la construcción de la curva deKoch

Posteriormente aparecieron ejemplos conpropiedades similares pero una definiciónmás geométrica. Dichos ejemplos podíanconstruirse partiendo de una figura inicial(semilla), a la que se aplicaban una serie deconstrucciones geométricas sencillas. Laserie de figuras obtenidas se aproximaba auna figura límite que correspondía al que hoy

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llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedadessimilares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinskiconstruyó su triángulo y, un año después, su alfombra.

Construcción de la alfombra de Sierpinski:

Paso 1 (semilla) Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5

Estos conjuntos mostraban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos comoobjetos artificiales, una "galería de monstruos", como los denominó Poincaré. Pocosmatemáticos vieron la necesidad de estudiar estos objetos en sí mismos.[4]

En 1919 surge una herramienta básica en la descripción y medida de estos conjuntos: ladimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Los conjuntos de JuliaEstos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los años 1920,surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas

.Analicemos el caso particular de funciones polinómicas de grado mayor que uno. Al aplicarsucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a . Alconjunto de valores de que no escapan al infinito mediante esta operación se ledenomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto de Julia.Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cadapixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse uncolor especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras unnúmero grande y prefijado de iteraciones.

Ejemplos de conjuntos de Julia para

En negro, conjunto de Julia rellenoasociado a fc, c=1−φ, donde φ es el

número áureo

Conjunto de Julia relleno asociado afc, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.4+0.6i

Conjunto de Julia relleno asociado afc, c=-0.835-0.2321i

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En negro, imagen del conjunto deMandelbrot superpuesto con los conjuntosde Julia rellenos representados por algunos

de sus puntos (en rojo los conjuntos deJulia conexos y en azul los no conexos).

Familias de fractales: el conjunto deMandelbrot

La familia de conjuntos de Julia , asociadas ala reiteración de funciones de la forma

presenta conjuntos de una variedadsorprendente.

Dicha familia tendrá especial relevancia al quedar parametrizada en un mapa de fractalesllamado conjunto de Mandelbrot. Este conjunto M representa un mapa en que cada pixel,correspondiente a un valor del parámetro , se colorea de modo que refleje unapropiedad básica del conjunto de Julia asociado a . En concreto, si el conjunto deJulia asociado a es conexo.

Características de un fractal

Autosimilitud

Autosimilitud exacta del copo de nieve deKoch

Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar oautosemejante si sus partes tienen la mismaforma o estructura que el todo, aunque puedenpresentarse a diferente escala y pueden estarligeramente deformadas.[5]

Los fractales pueden presentar tres tipos deautosimilitud:• Autosimilitud exacta. este es el tipo más

restrictivo de autosimilitud: exige que el fractalparezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidospor sistemas de funciones iteradas (IFS).

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Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar la escalaobtenemos copias del conjunto con pequeñas diferencias.

• Cuasiautosimilitud: exigeque el fractal parezcaaproximadamente idéntico adiferentes escalas. Losfractales de este tipocontienen copias menores ydistorsionadas de sí mismos.MatemáticamenteD.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto decuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmentede este tipo.

• Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractaltenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Losfractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-BesicovitchEntre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. Enese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma enque esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo dedensamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que nosinforman objetivamente de este tipo de cuestiones son:• La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las

bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula quecontienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero.Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa (1.2), nubes,árboles, etc, Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractalesgenerados por algoritmos matemáticos.

• La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición más compleja que la dedimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.

Autosimilitud estadística de un fractalgenerado por el proceso de agregación por

difusión limitada

Definición por algoritmos recursivosPodemos destacar tres técnicas comunes paragenerar fractales:• Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos

conjuntos se reemplazan recursivamente por suimagen bajo un sistema de aplicaciones: elconjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, eltriángulo de Sierpinski, la curva de Peano, lacurva del dragón, el copo de nieve de Koch o laEsponja de Menger, son algunos ejemplos.

• Fractales de tiempo de escape, definidos poruna relación de recurrencia en cada punto delespacio (por ejemplo, el plano complejo): elconjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, y elfractal de Lyapunov.

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• Fractales aleatorios, generados por procesos estocásticos, no deterministas: elmovimiento browniano,el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los árboles brownianos.Éstos últimos son producidos por procesos de agregación por difusión limitada..

Aspectos matemáticos

Intentos de definición rigurosaEl concepto de fractal no dispone en el año 2008 de una definición matemática precisa y deaceptación general. Intentos parciales de dar una definición fueron realizados por:• B. Mandelbrot, que en 1982 definió fractal como un conjunto cuya dimensión de

Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Él mismoreconoció que su definición no era lo suficientemente general.

• D. Sullivan, que definió matemáticamente una de las categorías de fractales con sudefinición de conjunto cuasiautosimilar que hacía uso del concepto de cuasi-isometría.

Dimensión fractalPuede definirse en términos del mínimo número de bolas de radio necesarias pararecubrir el conjunto, como el límite:

O en función del recuento del número de cajas de una cuadrícula de anchura queintersecan al conjunto:

Se demuestra que ambas definiciones son equivalentes, y que son invariantes bajoisometrías.[6]

Dimensión de Hausdorff-BesicovitchDe una definición más compleja, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch nos proporciona unnúmero , también invariante bajo isometrías, cuya relación con la dimensión fractal

es la siguiente:

Esto permite distinguir en algunos casos entre conjuntos con la misma dimensión fractal.

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Dimensión de fractales producidos por un IFSEn ese caso, cuando no haya solapamiento, se demuestra que y que ambaspueden calcularse como solución de la ecuación:

donde ci designa el factor de contracción de cada aplicación contractiva del IFS.

AplicacionesSe han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinascientíficas.

Compresión de imágenesComprimir la imagen de un objeto autosemejante como elhelecho de la figura no es difícil: haciendo uso del teoremadel collage, debemos encontrar un IFS, conjunto detransformaciones que lleva la figura completa (en negro) encada una de sus partes autosemejantes (rojo, azul celeste yazul marino). La información sobre la imagen quedarácodificada en el IFS, y la aplicación reiterada de dichastransformaciones permite obtener la imagen procesada encuestión.

Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchasimágenes reales: no esperamos, por ejemplo, que la imagende un gato presente pequeños gatitos distorsionados sobre símismo. Para solventarlo, en 1989 Arnaud Jacquin creó elesquema de sistemas de funciones iteradas particionadas: en

él se subdivide la imagen mediante una partición y para cada región resultante se buscaotra región similar a la primera bajo las tranformaciones apropiadas.[7]

El esquema resultante es un sistema de compresión con pérdidas, de tiempo asimétrico.Lamentablemente aún se tarda mucho en encontrar las transformaciones que definen laimagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy rápida. Lacompresión, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresiónJPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por uno u otrosistema.

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Modelado de formas naturales

Fracción de un fractal Mandelbrot

Las formas fractales, las formas en la que las partesse asemejan al todo, están presentes en la materiabiológica, junto con las simetrías (las formas básicasque solo necesitan la mitad de informacióngenética) y las espirales (Las formas de crecimientoy desarrollo de la forma básica hacia la ocupaciónde un mayor espacio), como las formas mássofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materiabiológica en cuanto que se presentan en procesosen los que se producen saltos cualitativos en lasformas biológicas, es decir posibilitan catástrofes(hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevasrealidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a lapequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama,que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismouna hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja).

Sistemas dinámicos

Un atractor extraño: el Atractor de Lorenz

Pero además las formas fractales no sólo sepresentan en las formas espaciales de los objetossino que se observan en la propia dinámicaevolutiva de los sistemas complejos (ver teoría delcaos). Dinámica que consta de ciclos (en los quepartiendo de una realidad establecida simple acabanen la creación de una nueva realidad más compleja)que a su vez forman parte de ciclos más complejosque a su vez forman parte del desarrollo de ladinámica de otro gran ciclo, que .... y las evoluciones dinámicas de todos estos ciclospresentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.

En manifestaciones artísticas

Imagen generada con el programaApophysis.

Se usan tanto en la composición armónica y rítmicade una melodía como en la síntesis de sonidos. Estose debe al uso de lo que en composición se llaman"micromodos", o pequeños grupos de 3 notas, apartir de los cuales uno puede trabajarlos demanera horizontal (melódica), o vertical (armónica).A su vez, el ritmo puede ser trabajado en sucesionestemporales especificas, que son determinadas porsucesiones de fractales.

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Literatura y poesíaSe usan también como punto de unión entre el arte y la ciencia, un ejemplo de eso es elcientífico-poeta chileno-alemán Mario Markus.

Artes gráficasCon programas informáticos como Apophysis o Ultra Fractal se pueden hacer imágenes contécnicas diversas; cambiando parámetros, geometría de triángulos o con transformacionesaleatorias (a veces llamadas "mutaciones").

Extrapolación de conceptos a Ciencias SocialesVarias ciencias particulares pueden hoy aprovechar los conceptos de la teoría de fractalesen sus respectivas áreas de conocimiento. Un ejemplo lo encontramos en las cienciassociales.[8]

Una extrapolación demasiado esquemática de la geometría fractal a las ciencias socialesserá siempre una utopía, ya que la sociedad no es precisamente una abstracciónmatemática. Una sociedad no puede hallar una ecuación sumaria que genere unaestructura determinada, por el simple hecho de que los pilares de una sociedad son máselásticos que simples coordenadas ideales. Sí que se da lo que la teoría del caos sedenomina "sensibilidad extrema" a los "estados iniciales" de un proceso, que puedenredundar en drásticos cambios pasado un tiempo del inicio, como postula la Teoría delCaos, ¿No puede una crisis económica (nacional) repercutir sobre todo el sistema de laeconomía mundial?Con el estudio del genoma humano, lo que se está tratando de hacer es sacar las leyes querigen el desarrollo del ser humano, haciendo posible predecir fenómenos que antes eranimposibles de estudiar. Sin embargo, la sociedad no tiene un "ADN" tan rígido como el serhumano. El análisis del "ADN social", o sea, de todas sus tendencias internas de desarrollo,puede realizarse siguiendo los parámetros de esta teoría. Dicho de otra manera, es unaforma novedosa que puede tomar el método dialéctico que funda Marx.Marx también estudió otras ecuaciones sumarias que engendraban a la estructuracapitalista mundial: Una de ellas era la propiedad privada de los medios de producción.Estudió cómo se desarrollaría este fenómeno histórico. Y sacó la conclusión de que lapropiedad privada tendía al monopolio. Pero no pudo determinar "exactamente" el porvenirdel sistema, ya que el capitalismo no tiene un ADN que permita predecir con exactitud sudesarrollo diacrónico, histórico. Y si lo tuviera, en tiempos de Marx nadie lo entendería aún.Por ello, las ciencias sociales se baten entre las ciencias duras y las blandas. No llega a seruna "ciencia dura" por esta imposibilidad de hallar leyes precisas. Pero puede hallar leyeselásticas, que acerquen al objeto de estudio sin renunciar a la ciencia. El método que puedeservir para ello es la teoría del caos y los fractales.En esto se relacionan la teoría de fractales y la teoría del caos, las cuales son parte de unmismo y novedoso paradigma emergente en la Ciencia. La teoría de Sistemas de Ludwigvon Bertalanffy también tiene sus aportes para hacer, al igual que la Teoría de lascatástrofes, de René Thom.

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Referencias[1] Benoît Mandelbrot, La Geometría Fractal de la Naturaleza, Tusquets, ISBN 84-8310-549-7[2] Falconer, Kenneth ;(2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons,

Ltd., pp. XXV. ISBN 0-470-84862-6.[3] ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?[4] Stewart, Ian. De aquí al infinito. Crítica, Grijalbo Mondadori, S.A., 1998. ISBN 84-7423-853-6.[5] B. Mandelbrot. Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión. Tusquets Editores, S.A., 1993. ISBN

978-84-7223-458-1[6] Barnsley, M. Fractals everywhere.Academic Press Inc, 1988. ISBN 0-12-079062-9. (Cap 5)[7] Jacquin, A.E.;Image coding based on a fractal theory of iterated contractive image transformations. Image

Processing, IEEE Transactions on Volume 1, Issue 1, Jan. 1992 Page(s):18 - 30[8] Tesis doctoral: La Dimensión Fractal en el Mercado de Capitales Jesús Muñoz San Miguel. Facultad de

Ciencias Económicas y Empresariales. Universidad de Sevilla. Julio de 2002.

Véase también• Anexo:Fractales por dimensión de Hausdorff• Caos y fractales• ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?• Dimensión• Paisaje fractal• Recursividad• Sistema de funciones iteradas• Sistema-L

Enlaces externos• Curso de fractales (http:/ / matap. dmae. upm. es/ cursofractales/ index. htm) Información

extensa y detallada sobre fractales.• Geometría Fractal (http:/ / www. geometriafractal. com/ )• Fractovía (http:/ / www. fractovia. org/ art/ es/ what_es1. shtml) Información sobre

fractales.

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre fractales.CommonsArte fractal • Fractalina Galerías de Arte Fractal (http:/ / www. fractalina. com/ )• Galerías de arte fractal en el Open directory Project (http:/ / www. dmoz. org/ Science/

Math/ Chaos_and_Fractals/ Fractal_Art/ )• Replayer (http:/ / www. usenet-replayer. com/ webrings/ fractals. html) El archivo de

Fractales que se publicó en USENET.• Música fractal en el Open Directory Project (http:/ / www. dmoz. org/ Arts/ Music/ Styles/

E/ Experimental/ Fractal_Music/ )• Museo de Arte Fractal de Argentina (http:/ / www. fractalia. com. ar)Libros con licencia CC• Música fractal: el sonido del caos (http:/ / www. dlsi. ua. es/ ~japerez/ pub/ pdf/

mfsc2000. pdf); introducción general sobre fractales y aplicación a la composiciónautomática de música

• Codificación fractal de imágenes (http:/ / www. dlsi. ua. es/ ~japerez/ pub/ pdf/mastertesi1998. pdf); analiza la aplicación de técnicas fractales a la compresión conpérdidas de imágenes

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Software• Borlandia (http:/ / www. borlandia. net/ fractals) Applets en java que generan Fractales

interactivos• UltraFractal (http:/ / www. ultrafractal. com/ ) Programa shareware pero completamente

funcional (únicamente mantiene una marca de agua si se quieren exportar imágenes)• Apophysis (http:/ / www. apophysis. org/ index. html) Programa de código libre para la

creación de fractales (en inglés)• IFS Illusions (http:/ / illusions. hu/ index. php?task=16& lang=3& sort=3) generador IFS

freeware, para Windows• FractInt (http:/ / spanky. triumf. ca/ www/ fractint/ fractint. html) generador fractal

freeware, para DOS, Windows y existe un porte a Linux (http:/ / www. sdboyd56. com/xfractint/ index. html) disponible. (en inglés)

• Sterling2 (http:/ / soler7. com/ Fractals/ Sterling2. html) generador fractal freeware, paraWindows (en inglés)

• XaoS (http:/ / xaos. sourceforge. net/ ) zoomer interactivo de fractales para linux.Vídeos • "Fractales y Violines" Vídeo de fractales (http:/ / www. youtube. com/

watch?v=cNBggiKph74)• Documental reportaje "Armonía Fractal" del Programa Tesis, Canal Sur 2 Andalucía

(http:/ / www. cedecom. es/ cedecom-ext/ noticia. asp?id=765)• (http:/ / www. youtube. com/ watch?v=uas_HJNAzfw)Vídeo que ilustra la definición de

fractal.

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Fuentes y contribuyentes del artículoFractal  Fuente: http://es.wikipedia.org/windex.php?oldid=27229582  Contribuyentes: .José, 672, Adriana3d, Airunp, Alejandrosanchez, Alexan, Alexav8,AlfonsoERomero, Alvaro qc, Angel GN, Aqualung, Ascánder, Axxgreazz, Camilo, Carlos Quesada, Carmin, Chabacano, Cinabrium, Cobalttempest,CommonsDelinker, Cookie, Coren, Coroliano, Daunis, Deodato, Dermot, Dodo, DokiDoki, Ejrrjs, Elkie, Factotum, Farisori, Fcueto, Fibonacci,Fullgigapower, Gato ocioso, Gerwoman, Godelart, Gsrdzl, Homo logos, JorgeGG, Josepmbf61, KnightRider, Leoz, Llull, Lucianosoda, Marianov,Matdrodes, Matiasasb, McMalamute, Miguel.izquierdo.garcia, Milu, Moriel, Mortadelo2005, Nicop, Numbo3, Orco70, Orgullomoore, Pabloallo, Paz.ar,Pilaf, PoLuX124, Qbit, RafaelGV, Rankawito, Roc21, Rodriguín, Romero Schmidtke, Rondador, Santiperez, Sergio Rodrgz. Labra, Taichi, Tano4595,Tegin, Tony Rotondas, Tortillovsky, Unf, Wewe, Wricardoh, Youandme, Youssefsan, Zuirdj, Zupez zeta, conversion script, 216 ediciones anónimas

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Copyingwith changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying inother respects.If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover,and continue the rest onto adjacent pages.If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copyalong with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a computer-network location from which the general network-using public hasaccess to download using public-standard network protocols a complete Transparent copy of the Document, free of added material. If you use the latteroption, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy willremain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents orretailers) of that edition to the public.It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them achance to provide you with an updated version of the Document.4. MODIFICATIONSYou may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the ModifiedVersion under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of theModified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version:1. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there

were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that versiongives permission.

2. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, togetherwith at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has fewer than five), unless they release you from thisrequirement.

3. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher.4. Preserve all the copyright notices of the Document.5. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices.6. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this

License, in the form shown in the Addendum below.7. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice.

Licencia 14

8. Include an unaltered copy of this License.9. Preserve the section Entitled "History", Preserve its Title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the

Modified Version as given on the Title Page. If there is no section Entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, andpublisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence.

10. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the networklocations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a networklocation for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to givespermission.

11. For any section Entitled "Acknowledgements" or "Dedications", Preserve the Title of the section, and preserve in the section all the substance andtone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein.

12. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not consideredpart of the section titles.

13. Delete any section Entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version.14. Do not retitle any existing section to be Entitled "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section.15. Preserve any Warranty Disclaimers.If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from theDocument, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in theModified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles.You may add a section Entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example,statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard.You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of CoverTexts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by)any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entityyou are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added theold one.The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or implyendorsement of any Modified Version.5. COMBINING DOCUMENTSYou may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions,provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as InvariantSections of your combined work in its license notice, and that you preserve all their Warranty Disclaimers.The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there aremultiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, inparentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the sectiontitles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work.In the combination, you must combine any sections Entitled "History" in the various original documents, forming one section Entitled "History"; likewisecombine any sections Entitled "Acknowledgements", and any sections Entitled "Dedications". You must delete all sections Entitled "Endorsements."6. COLLECTIONS OF DOCUMENTSYou may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of thisLicense in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatimcopying of each of the documents in all other respects.You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License intothe extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document.7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKSA compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distributionmedium, is called an "aggregate" if the copyright resulting from the compilation is not used to limit the legal rights of the compilation's users beyondwhat the individual works permit. When the Document is included in an aggregate, this License does not apply to the other works in the aggregate whichare not themselves derivative works of the Document.If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one half of the entireaggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that bracket the Document within the aggregate, or the electronic equivalent of coversif the Document is in electronic form. Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole aggregate.8. TRANSLATIONTranslation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing InvariantSections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections inaddition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License, and all the license notices in the Document,and any Warranty Disclaimers, provided that you also include the original English version of this License and the original versions of those notices anddisclaimers. In case of a disagreement between the translation and the original version of this License or a notice or disclaimer, the original version willprevail.If a section in the Document is Entitled "Acknowledgements", "Dedications", or "History", the requirement (section 4) to Preserve its Title (section 1) willtypically require changing the actual title.9. TERMINATIONYou may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify,sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have receivedcopies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance.10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSEThe Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will besimilar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http:/ / www. gnu. org/ copyleft/ .Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "orany later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that hasbeen published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose anyversion ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation.How to use this License for your documentsTo use this License in a document you have written, include a copy of the License in the document and put the following copyright and license noticesjust after the title page:

Copyright (c) YEAR YOUR NAME.Permission is granted to copy, distribute and/or modify this documentunder the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2or any later version published by the Free Software Foundation;with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts.A copy of the license is included in the section entitled "GNUFree Documentation License".

If you have Invariant Sections, Front-Cover Texts and Back-Cover Texts, replace the "with...Texts." line with this:with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with theFront-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST.

If you have Invariant Sections without Cover Texts, or some other combination of the three, merge those two alternatives to suit the situation.If your document contains nontrivial examples of program code, we recommend releasing these examples in parallel under your choice of free softwarelicense, such as the GNU General Public License, to permit their use in free software.