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Fractales del Tipo Newton Asociados al Polinomio:

9 6 33 3 1 ,p z z z z z

Edgar Valdebenito

27-08-2018 11:22:20

Resumen

En esta nota mostramos algunos fractales del tipo Newton

asociados al polinomio: 9 6 33 3 1 ,p z z z z z .

Introducción: El polinomio 9 6 33 3 1p z z z z

Ceros del Polinomio p z :

0 , 1,2,3,4,5,6,7,8,9np z z z n (1)

Ceros reales:

3 3

10 2 1p z z z z r (2)

Ceros complejos:

2

1 13

2 2z r i

(3)

3

1 13

2 2z r i

(4)

3

4

1

2z u (5)

3

5

1

2z v (6)

36

1 13

4 4z u i

(7)

37

1 13

4 4z v i

(8)

38

1 13

4 4z u i

(9)

2

39

1 13

4 4z v i

(10)

donde

3 3 3 38 4 2 4 3 2 , 8 4 2 4 3 2u i v i (11)

El cero real de p z es el conocido radical de Ramanujan:

1/8

3 3 3 3 3 3 31 2 4 2 1

2 1 4 59 9 9 3 3

r

(12)

Una fórmula que relaciona r y es:

3

1

4 n

n

n

f r

(13)

donde

1 /2 /2

3

0 0

1 133 , 2

2 1 22 2 1

kn n n

k n

n

k k

n kf u k v k n k

n k k nk

(14)

1 /2

0 , 0,2,4,6,...

1, 1,3,5,7,...

n

n

u nn

n

(15)

1 ,

,0 ,

k nv n k

k n

(16)

3 21 13 243 387 3195

, , ,0, , , , 3,...2 4 4 40 16 112

nf

(17)

Fractales:

Algunos fractales tipo Newton asociados al polinomio p z

3

Figura 1. , 8 8 ,8 8p z z i i

4

Figura 2. , 2 2 ,2 2p z z i i

5

Figura 3. , 2 2 ,2 2p z z i i

6

Figura 4. , 2 2 ,2 2p z z i i

7

Figura 5. , 2 2 ,2 2p z z i i

8

Figura 6. , 2 2 ,2 2p z z i i

9

Figura 7. , 1.5 1.5 ,1.5 1.5p z z i i

10

Figura 8. , 1.5 1.5 ,1.5 1.5p z z i i

11

Figura 9. , 1.5 1.5 ,1.5 1.5p z z i i

12

Figura 10. , 1 1 ,1 1p z z i i

13

Figura 11. , 0.5 0.5 ,0.5 0.5p z z i i

14

Figura 12. , 0.5 0.5 ,0.5 0.5p z z i i

15

Referencias 1. Hubbard, J., Schleicher, D., and Sutherland, S.: How to find all roots of complex

polynomials by Newton’s method. Invent. Math. 146 no. 1, 2001, 1-33.

2. Peitgen, H. O., and Richter, P.H.: The Beauty of Fractals, Springer-Verlag,1986.

3. Steinmetz, N.: Rational Iteration: Complex Analytic Dynamical Systems, Walter de Gruyter,

Berlin, 1993.

4. Valdebenito, E.: Question 201 : A fractal image. http://vixra.org/pdf/1710.0131v1pdf .

5. Valdebenito, E.: Ramanujan Trigonometric Formula. http://vixra.org/pdf/1707.0241v1pdf .

6. Valdebenito, E.: Question 416: Pi , Integral Representations.

http://vixra.org/pdf/1711.0303v1pdf .

7. Valdebenito, E.: Question 1760: Euler-Mascheroni Constant.

http://vixra,org/pdf/1705.0100v1pdf .

8. Valdebenito, E.: The Cubic: 3 2 1 0x x . http://vixra.org/pdf/1705.0461v1pdf .