F RACTALES

I.-INTRODUCCIÓN:

Desde que el hombre hace uso de razón, y por encima de cualquier religión o creencia mística, existe en él una profunda curiosidad por entender la naturaleza. De este modo, se fueron forjando los cimientos de las ciencias tal y como las conocemos hoy en día.

Cuando nos enfrentamos a un problema por primera vez, cuando queremos comprender cómo funciona una cosa, normalmente hacemos simplificaciones.

Recordemos por un instante el primer dibujo de un atardecer en la playa, que seguro hicimos en nuestra infancia: el Sol, redondo; las montañas, triángulos casi perfectos; las gaviotas, dos arcos circulares. Esta forma de comenzar a entenderse con el mundo que nos rodea es muy útil tanto en el ámbito científico como en la vida cotidiana; para qué complicarse más las cosas. Sin embargo, no siempre queda claro cuál es el mejor camino para lograrlo. Por ejemplo, empeñarse en reproducir con todo detalle un paisaje boscoso utilizando tan sólo elementos de la geometría clásica (círculos, triángulos, esferas, etc.) es una tarea ardua y muchas veces improductiva.

Cuando se está interesado en descubrir cómo surgieron las formas y estructuras tan diversas y complejas que encontramos en la naturaleza, uno se pregunta si no habrá otras maneras de representarlas.

Las figuras comunes de la geometría clásica o euclidiana no son las más adecuadas para generar formas complejas como la hoja de un helecho o el perfil de una montaña. Su limitación se debe a que tiende n a perder su estructura cuando son ampliadas; un arco de círculo se transforma poco a poco en una recta; la superficie de una esfera se hace cada vez más plana. Esto no es precisamente lo que sucede con las formas naturales; por ejemplo, la superficie rugosa de una roca mantiene prácticamente la misma complejidad a varios niveles de amplificación con el microscopio. Si analizamos una parte de la roca, y dentro de ella otra más pequeña, y así sucesivamente, no por ello nos parecerá cada vez más lisa.

De la misma manera que con la roca, podríamos fijar la atención en el ramaje de un arbusto: de una rama salen muchas ramas y en cada una de ellas se repite el mismo esquema. La ampliación de una parte del original es muy similar al original mismo.

Si así son las cosas, ¿por qué no imaginar objetos geométricos que posean la misma propiedad pero llevada al extremo? Cuerpos que mantengan prácticamente la misma estructura en cada parte, así como en las partes de todas sus partes. En estas condiciones, al ampliarlos quizá no se conserven exactamente iguales, a lo mejor su ampliación resulta ser una versión distorsionada del original pero el esquema básico permanecerá, independientemente de cuántas veces se amplíen.

A este tipo de formas geométricas que, entre otras propiedades, contienen una imagen de sí mismas en cada una de sus partes, se le llama ahora fractales, y hace ya más de una década que inundaron el mundo científico con un conjunto de nuevas reglas para enfrentarse con el reto de conocer y describir la naturaleza. Su lenguaje se permeó a campos increíblemente diversos de las ciencias naturales y sociales, y ha hecho de las matemáticas un instrumento novedoso para las artes.

Los fractales parecen encontrarse en esa frontera difusa que existe en este mundo entre el caos y el orden; están ahí donde la imaginación apenas llega.

II.-UN POCO DE HISTORIA:

Entonces, hasta el momento vimos de manera general como los sistemas dinámicos y caóticos se fueron introduciendo en el pensamiento de la comunidad científica y como fueron surgiendo nuevas necesidades para reformular teorías y crear nuevas herramientas que pudieran describir sistemas que hasta ese entonces eran considerados excepciones y a los cuales se les realizaban diferentes aproximaciones y se les aplicaban diversos “trucos” matemáticos para ajustarlos a las herramientas en esos tiempos.

No fue hasta el año 1958 cuando Benoit Mandelbrot ingresa a trabajar en los laboratorios de IBM para hacer un análisis del ruido y perturbaciones eléctricas.

Mientras realizaba dichos estudios encontró un patrón en su comportamiento y por lo tanto comenzó a descifrar una estructura escondida. Algo así como jerarquías de fluctuaciones en todas las escalas (lamento no poder detallar más este tema debido a mis pobres conocimientos en el área de electrónica, al menos por el momento!). Lo que sí es cierto es que esas fluctuaciones no podían ser descriptas por la matemática estadística que existía. Mientras seguía adelante con sus tareas empezó a imaginar en que otros sistemas podría encontrar patrones similares que no puedan ser descriptos con exactitud por la matemática existente y que se comportaran de igual manera.

De qué dependerán nuestras mediciones, entonces? Justamente de la escala que utilicemos para medirlas, y no es para nada una casualidad que estas deducciones se desprendan de los mismos patrones que encontró Mandelbrot en sus estudios sobre flujo electrónico, recordemos:”jerarquías de fluctuaciones en todas las escalas”. Esas escalas como Mandelbrot reconoció poseían un patrón, y ese patrón las relacionaba diciendo que si bien no eran iguales a diferentes escalas, si lo eran de manera estadísticamente similar.

III.- QUE ES UN FRACTAL?

El concepto de fractal se puede abordar desde varios puntos de vista, sin embargo se acepta comúnmente que un fractal es un objeto geométrico compuesto de elementos, también geométricos, de tamaño y orientación variable, pero de aspecto similar.

Los Fractales son los objetos matemáticos que constituyen la Geometría de la Teoría del Caos

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular se repite en diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En muchos casos, los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares independientemente de la escala específica. Los fractales son estructuras geométricas que combinan irregularidad y estructura.

Un objeto fractal debería tener al menos una de las siguientes características:

Existe similitud entre detalles a diferentes escalas. No se puede representar por medio de la geometría clásica. Su dimensión es fraccionaria, es decir, no es entera. Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch no es entera.  Puede ser definido recursivamente.  Tiene auto-similaridad exacta o estadística. 

Las formas fractales no solo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos (teoría del caos). Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos que a su vez forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo, que.... y las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.

Las ciencias sociales, por ejemplo, pueden utilizar muchos conceptos abstractos de los fractales y de la teoría del caos, proponiendo nuevas teorías o profundizando las clásicas, pero enriquecidas por el nuevo paradigma.

Marx, para citar un ejemplo, realizó intuitivamente el "análisis fractal" de la economía política, estudiando la "mercancía" como la pieza raíz (la ecuación fundamental), de la cual obtenía el "árbol" completo de la sociedad capitalista, esto es, el fenómeno integral. En ese sentido, Marx veía el germen del sistema capitalista en su partícula económica celular, la mercancía, mínima expresión de la cual emanan todas las contradicciones sociales que luego se iteran a través de todo el sistema, preñándolo de su esencia y contradicciones.

La "mercancía" es la quintaesencia de la sociedad "mercantil" en la que vivimos. No es extraño que así sea, aunque no debemos caer en el reduccionismo. Un sistema simple (la mercancía) repercute (recursividad), se despliega de tal forma que pare un sistema complejo, que es cualitativamente diferente de la partícula que le dio la información.

Si el aleteo de una mariposa en Pekín puede desencadenar un huracán en Miami, como postula la Teoría del Caos, ¿No puede una crisis económica repercutir en todo el sistema?

Vemos confirmar esta teoría en las crisis que generan ciertas economías particulares (nacionales) sobre el conjunto de la economía mundial.

De todas maneras, una extrapolación demasiado esquemática de la geometría fractal a las ciencias sociales será siempre una utopía, ya que la sociedad no es precisamente una abstracción matemática. En las matemáticas priman los entes estáticos, ideales: los números. Con una ecuación sumaria, o parámetros fijos, una computadora puede deducir una estructura, como pasa en el caso de las imágenes digitales que representan ecuaciones fractales, que no son otra cosa sino una ecuación iterada una cantidad determinada de veces.

Sin embargo, una sociedad no puede hallar una ecuación sumaria que genere una estructura determinada, por el simple hecho de que los pilares de una sociedad son más elásticos que simples coordenadas ideales. Entonces se da lo que la teoría del caos denomina "sensibilidad extrema" a los "estados iniciales" de un proceso, que pueden redundar en drásticos cambios pasado un tiempo del inicio. De este modo, en las ciencias sociales priman los elementos móviles, la sociedad en un movimiento incesante. Sin embargo, el análisis del "ADN social", o sea, todas sus tendencias internas de desarrollo, pueden ser estudiadas siguiendo los parámetros de esta teoría, que no es otra cosa que una teoría integral del desarrollo, del devenir. Dicho de otra manera, es una forma novedosa que puede tomar el método dialéctico que funda Marx, sobre la base de Hegel y Heráclito.

La teoría de fractales y la teoría del caos son parte de un mismo y novedoso paradigma emergente en la Ciencia.

IV.-CARACTERÍSTICAS:

-Autosimilitud:

Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma que el todo a diferente escala, y pueden estar ligeramente deformadas.

Recursividad

Es una característica de todo sistema viable y se refiere a que todo sistema contiene dentro de sí a varios otros sistemas, llamados subsistemas, los cuales poseen funciones y características similares al sistema superior en que están contenidos

Los fractales pueden presentar tipos de autosimilitud:

Autosimilitud exacta. El fractal debe de ser idéntico a diferentes escalas.

Autosimilitud exacta del copo de nieve de Koch.

Cuasiautosimilitud: el fractal debe de parecer idéntico a diferentes escalas.

Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos.

-Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch:

La dimensión fractal. Sirve para comparar objetos del mundo real con fractales generados por conjuntos matemáticos. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: costas, nubes, árboles, etc.

La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición más compleja que la de dimensión fractal. No se utiliza para compararlo con objetos reales.

V.-TIPOS DE FRACTALES:

Existen dos tipos bien de finidos de fractales. Los lineales y los no lineales.

Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un simple cambio en la variación de sus escalas. Esto implica algo muy importante, los fractales lineales son exactamente idénticos en todas sus escalas hasta el infinito.

El triángulo y la alfombra de Sierpinski y la curva de Ko ch son ejemplos de fractales

lineales.

Alfombra de Sierpinski

Curva de Koch y Copo de nieve de Koch

Triángulo de Sierpinski

:

Los fractales no lineales , en cambio, son aquellos que se generan a partir de distorsiones complejas o justamente como lo dice su nombre, y usando un término proveniente de la matemática Caótica, distorsiones no lineales . La mayoría de los objetos fractales puramente matemáticos y na turales son no lineales.

Ejemplos de ellos son: Conjunto de Mandelbrot o el Conjunto de Julia.

VI.-NATURALEZA FRACTAL:

Primero, hay que remarcar que el estudio de los fractales no es algo privativo o exclusivo de las Matemáticas. El estudio y origen de distintos fenómenos que se explican mediante modelos fractales corresponde determinarlo a las disciplinas científicas donde se planteen. También debemos señalar el potencial interdisciplinar de estos objetos, como elementos que pueden constituir el eje sobre el cual distintas disciplinas pueden trabajar coordinadamente.

Los fractales, desde su primera formulación tuvieron una vocación práctica de servir como modelos para explicar la naturaleza. El propio Benoit Mandelbrot tuvo el mérito de intuir la potencia de los fractales para construir modelos que explicas en la realidad, esto lo hizo desde su primera formulación y desde sus primeros trabajos que, con un notable afán práctico y divulgador, estuvieron dedicados al problema de medir la cost a de Gran Bretaña. En su tan citada obra The Fractal Geometry of Nature, Mandelbrot razonó que la naturaleza entiende mucho más de geometría fractal que de geometría diferenciable. A partir de ahí, muchos científicos se han encontrado fractales en sus campos de estudio (el título de uno de los libros sobre el tema es bastante sugerente, Fractals Everywhere).

Los fractales abren la puerta a numerosas conjeturas sobre la complejidad del mundo. Las pautas de generación de fractales son extremadamente sencillas si se comparan con los resultados obtenidos. Es posible que num erosos comportamientos de la naturaleza que hoy día se nos antojan extremadamente complicados respondan de igual forma a mecanismos de enorme sencillez. La geometría fractal es una rama muy joven cuyos progresos deben repercutir muy directamente en una creciente utilidad de la geometría fractal para el estudio de la realidad

VII.-QUÉ RELACIÓN TIENEN LOS FRACTALES CON EL CAOS?

Caos no es sinónimo de fractal, aunque a veces se hable de los temas conjuntamente, o se ilustren trabajos de caos con imágenes fractales. La geometría fractal suele considerarse como la geometría que describe los sistemas caóticos que encontramos en la naturaleza. Los fractales son un lenguaje, una manera de describir una geometría. La geometría fractal describe en algoritmos, cómo crear el fractal. Los computadores traducen estas instrucciones a los magníficos patrones que vemos como imágenes fractales.

Los sistemas caóticos no son aleatorios, ni desordenados, solo lo parecen. Detrás de su comportamiento aparentemente aleatorio hay un sentido de orden y patrones. Los verdaderos sistemas aleatorios no son caóticos. Los sistemas caóticos son determinísticos, significa que tienen una ecuación determinando su comportamiento.

Las palabras claves del caos son: impredictibilidad, sensibilidad a las condiciones iniciales, en tanto que el grupo de ecuaciones determinístico describe el fenómeno.

Las palabras claves de los fractales son: autosimilitud e invarianza en la escala. Muchos fractales no son caóticos como el Triángulo de Sierpinski, o las curvas de Koch. Aun así, partiendo de bases distintas, los dos ámbitos tiene n mucho en común: muchos fenómenos caóticos exhiben estructuras fractales (en los atractores extraños por ejemplo; la estructura fractal también es obvia en fenómenos caóticos con sucesivas bifurcaciones como las ecuaciones logísticas o de población).

El carácter fractal se manifiesta en el caos en varios aspectos. En primer lugar la geometría de los atractores extraños es fractal. Si se representan las órbitas de un atractor extraño y se amplían sucesivamente se puede observar la autosimilaridad propia de los fractales, en la que aparece y reaparece la misma estructura.

Hasta no hace mucho tiempo un código implícito entre los científicos era que los sistemas sencillos se comportan de modo sencillo y que el comportamiento complejo era el resultado de causas complejas. La aparición de la Teoría del Caos viene a desmontar este prejuicio: los sistemas sencillos pueden dar lugar a comportamientos complejos y los sistemas complejos no necesariamente llevan asociados respuestas complejas. Este conocimiento sin duda contribuye a una mejor comprensión de nuestro mundo, pero al mismo tiempo aleja la posibilidad de poder controlarla.

Gracias a los descubrimientos de la teoría del caos y de la geometría fractal, los científicos han podido comprender cómo sistemas que anteriormente se creían totalmente caóticos, ahora exhiben patrones predecibles.

VIII.-BIBLIOGRAFIA:

1.-http://suite101.net/article/fractales-y-mariposas-la-increible-y-compleja-belleza-del-caos-a24883

2.-http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates89/opciones/investigaciones%20matema ticas%200809/Trabajo%20Investigacion%20Fractales%20Entorno%20Mayordomo%20y%20Badri.pdf

3.-http://www.docentes.unal.edu.co/cibermudezs/docs/CursoGeometriaFractal.pdf