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7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 1/61
Análisis de sistemas en el
dominio de la frecuenciaProf. Cesar de Prada
Dpt. Ingenieria de Sistemas y Automática
Facultad de CienciasUniversidad de Valladolid
7/17/2019 frecuencia
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Prof. Cesar de Prada
Dominio frecuencial
! "l estudio en el
dominio frecuencial
permite ver y anali#arlos sistemas de control
desde otra perspectiva.
$uc%os aspectos se
ven mas fácilmentedesde el dominio de
la frecuencia.
7/17/2019 frecuencia
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Prof. Cesar de Prada
&'(etivos
! )Como responden los sistemas ante entradas de
distinta velocidad de cam'io * cual+uier tipo de
entrada,! -as seales se pueden e/presar como valores en el
tiempo0 o como suma de seales sinusoidales de
distinta frecuencia.
! Anali#ar el comportamiento dinámico desde el
punto de vista de la frecuencia
! Filtrado de seales
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Seales sinusoidales
Alta frecuencia1
cam'io rápido
2a(a frecuencia1
cam'io lentoω 3 4π56 rad5tiempo
6
u 3 A sen7ωt8
0 20 40 60 80 100 120 140
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
7/17/2019 frecuencia
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Componentes de frecuencia
Análisis de Fourier
3
9
9
9...
8t7 (sen8tcos7ede87F8t7f t (t ( ω+ω=ωω= ω
∞
∞−
ω∫
ω
87F ω
"spectro def7t8
-a respuesta de :7s8 ante una seal cual+uiera es la suma de las
respuestas a cada una de las senoides +ue la componen
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"ntradas sinusoidales
:7s8
"studiar la respuesta de un sistema lineal esta'le ante
cam'ios tipo sinusoide a la entrada
;os centraremos en el estado estacionario
<7s8U7s8
<7s8 3 :7s8 U7s88s7D
8s7 ;8s7:
s
A8s7U
44 =
ω+ω
=
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=espuesta en frecuencia
(4
8 (7A:a8 (7D (4aA8 (7 ; (s para
(4
8 (7A:a8 (7D (4aA8 (7 ; (s para
8 (s87 (s87s7 '8s7D8 (s7a8s7D8 (s7aA8s7 ;
8s7D8 (s87 (s78 (s87 (s87s7 '8s7D8 (s7a8s7D8 (s7a
sA
8s7D8s7 ;
8s7D
8s7 '
(s
a
(s
a
s
A
8s7D
8s7 ;8s7U8s7:8s7<
44
44
ω−−=ω−ω−=ωω−ω−=
ω=ωω=ωωω=
ω−ω++ω++ω−=ω
ω−ω+
ω−ω++ω++ω−=
ω+
ω
+
ω−
+
ω+
=
ω+
ω==
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=espuesta en frecuencia
88 (7:arg78t7sen8 (7:A (4
ee8 (7:Ay
e (4
e8 (7:A
e (4
e8 (7:A
y
e (4
8 (7A:e
(4
8 (7A:8t7ylimy
1ioestacionar estadoenesta'le0esD7s8si
......e
(4
8 (7A:e
(4
8 (7A:8t7y
8s7D
8s7 '-
(s
a-
(s
a-8>s7<?-8t7y
8t7 (8t7 (
t (
(
t (
(
t (t (
t
t (t (
ω=φφ+ωω=−
ω=
ω+
ω−=
ω+
ω−−==
+ω
+ω−−
=
+
ω−
+
ω+
==
φ+ω−φ+ω
∞
ωφ
ω−φ−
∞
ωω−
∞→∞
ωω−
−−−−
7/17/2019 frecuencia
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=espuesta en frecuencia
:7s8
<7s8U7s8
88 (7:arg78t7sen8 (7:Ay ω=φφ+ωω=∞8t7Asen8t7u ω=
-a respuesta oscila con la misma frecuencia ω peroatenuada por un factor :7(ω8 y desfasada un ángulo
φ 3 arg7:7(ω88 +ue dependen de ωCStation
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=espuesta en frecuencia
-os valores de la atenuaci*n :7(ω8 y el desfase φ 3 arg7:7(ω88
+ue introduce un sistema lineal dependen solo de :7s8 y pueden
representarse en funci*n de la frecuencia ω en diversos tipos de
diagramas sin mas +ue sustituir la varia'le s por (ω en :7s8 y
calcular el m*dulo y argumento del comple(o :7(ω8 resultante
( ) ( ) ( )
( )4
444
4
4444
4
Barctg4arctg88 (7:arg7
C4
D@8 (7:
(B4
@ (4
4 (B (
@ (48 (7:
4sBs
@s48s7:
ω−ω
−ω=ωω+ω−
ω+=ω
ω+ω−
+ω=
+ω+ω
+ω=ω⇒
++
+=
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Prof. Cesar de Prada
Frequency (rad/sec)
P h a s e ( d e g ) ; M a g n i t u d e
( d B )
Bode Diagrams
10-1
100
101
-100
-50
0
50
T o : Y
( 1 )
-20
-10
0
10From: U(1)
Diagrama de 2ode
arg7:7(ω88
en grados
:7(ω8 en d2
ω en escala logaritmica
d2 3 4Elog . $atla'1 'ode7sys8
7/17/2019 frecuencia
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Desfase en grados
BEG 3 6
φ
"l desfase φ en grados puede traducirse a tiempo de
retardo como φ 65BE
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Prof. Cesar de Prada
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
Nyquist Diagrams
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8From: U(1)
T o : Y ( 1 )
Diagrama de ;y+uist
8 (7: ω
88 (7:arg7 ω
ω
Para cada
valor de ω0 se
di'u(a elm*dulo y
argumento de
:7(ω8
Diagrama
polar1
parametri#ado
en frecuencia$atla'1 ny+uist7sys8
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Open-Loop Phase (deg)
O p e n - L o o p G a i n ( d B )
Nichols Charts
-100 -80 -60 -40 -20 0 20
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10From: U(1)
T o : Y ( 1 )
Diagrama de ;ic%ols
Valores de :7(ω8
en d2 en funci*nde arg7:7(ω88 en
grados
$atla'1 nic%ols7sys8
7/17/2019 frecuencia
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)Por +uH diagramas
logaritmicos,
... (
log4E
(
log4E...c(log4Eelog4E log4E
87...8 (7 (
87...8c(7elog4E8 (7:log4E
87...8 (7 (
87...8c(7e8 (7:
87...8s7s
87...8cs7e8s7:
d(
d(
d(ds
++ωτ
+ω
+++ω++=
=+ωτω
+ω=ω
+ωτω+ω
=ω+τ
+=
ω−
ω−
ω−−
"n d20 el diagrama de :7(ω8 puede o'tenerse por
superposici*n de los diagramas de tHrminos elementalescorrespondientes a cada polo0 cero0 ganancia y retardo.
...88@ (57@arg78 ([email protected]@c(arg78earg78I arg788 (7:arg7 d ( ++ωτ+ω+++ω++=ω ω−
7/17/2019 frecuencia
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2ode1 polo simple
log ω
:7(ω8 en d2
log ω
arg:7(ω8 en G
5τE d2
EG
EG
τ=ω=φ
−→φ∞→ω→φ→ω
ωτ−=
+ωτ
τ=ω
ω−τ−→ωτ+−
∞→ω→ωτ+−→ω
ωτ+−=
=ωτ+−=+ωτ
5 paraGJ e0decrecientntemon*toname
GE
EE87arctg
(
arg
d28E057 por pasa+ue
y4Ed2 pendientederecta
log4Elog4E8log7E
para
E8log7EE para
edecrecientntemon*toname
8log7E
log4E (
log4E
44
44
44
44
4E d2
E5τ
Frecuencia
de corte
5τ
JG
7/17/2019 frecuencia
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Frequency (rad/sec)
P h a s e ( d e g ) ; M a g n i t u d e ( d B )
Bode Diagrams
-20
-15
-10
-5
0From: U(1)
10-1
100
101
-100
-80
-60
-40
-20
0
T o : Y ( 1 )
2ode1 polo simple
5τ
Atenuaci*n pe+uea %asta
la frecuencia 5τ0 luego
crece progresivamente
Sistemas lentos 7τ grande8
tienen frecuencias de corte
pe+ueas y atenuan los
cam'ios rápidos. Sistemas
rápidos responden a un
rango mayor de
velocidades de cam'io.
7/17/2019 frecuencia
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Frequency (rad/sec)
P h a s e ( d e g ) ; M a g n i t u d e ( d B )
Bode Diagrams
-20
-15
-10
-5
0
From: U(1)
10-1
100
101
-100
-80
-60
-40
-20
0
T o : Y ( 1 )
ω2
Anc%o de 'anda
B d2
ω2 frecuencia a la
cual la atenuaci*n es
de B d2
Da una medida del
rango de velocidades
de cam'io de la
entrada al +ue el
sistema responde sinatenuaci*n nota'le.
Agilidad
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Diagrama de ;y+uist
τ=ω=φ −→φ∞→ω
→φ→ωωτ−=
+ωτ
→+ωτ
∞→ω
→+ωτ
→ω
ωτ+=
+ωτ
5 paraGJ e0decrecientntemon*toname
GEEE87arctg
(arg
E (
para
(
E para
edecrecientntemon*toname
(
44
8 (7: ω
7/17/2019 frecuencia
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2ode1 Cero simple
log ω
:7(ω8 en d2
log ω
arg:7(ω8 en G
5cE d2
EG
EG
4E d2
E5τ
Frecuencia
de corte
5c
JG
( )
c5 paraGJ creciente0ntemon*toname
GE
EE8c7arctgc (arg
d28E057 por pasa+ue
y4Ed2 pendientederecta
log4Eclog4E8clog7E
paraE8clog7EE para
edecrecientntemon*toname
8clog7E
clog4Ec (log4E
44
44
44
44
=ω=φ
→φ∞→ω→φ→ω
ω=+ωτ=ω
ω+→ω+
∞→ω→ω+→ω
ω+=
=ω+=+ω
-as frecuencias
altas se amplifican
7/17/2019 frecuencia
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2ode1 polo do'le
( ) ( )
( )
τ=ω−=φ
−→φ∞→ω→φ→ω
ωτ−=
+ωτ
τ=ω
ω−τ−→ωτ+−
∞→ω →ωτ+−→ω
ωτ+−=+ωτ
5 paraGE e0decrecientntemon*toname
GKE
EE87arctg4
(
arg
d28E057 por pasa+ue
yEd2 pendientederecta
logElogE8log74E
paraE8log74EE para
edecrecientntemon*toname
log4E (
log4E
4
44
44
44
4
log ω
:7(ω8 en d2
log ω
arg:7(ω8 en G
5τE d2
EG
KEG
E d2
E5τ
Frecuencia
de corte
5τ
EG
7/17/2019 frecuencia
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Diagrama de ;y+uist
( )
( )
( )
( )
τ=ω=φ −→φ∞→ω
→φ→ωωτ−=
+ωτ
→+ωτ
∞→ω
→+ωτ
→ω
ωτ+=
+ωτ
5 paraGE e0decrecientntemon*toname
GKE
EE87arctg4
(
arg
E (
para
(
E para
edecrecientntemon*toname
(
4
4
4
444
8 (7: ω
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 23/61
Prof. Cesar de Prada
2ode1 polos comple(os con(ugados
8d2E07 por pasa+ueyd2E pendientederecta
logElogElog4E.4Elog si
E.4ElogE si
4log4E
4 (
log4E
4 (
(
4 (
s4s
n
n4
n
4
n
4
n
4
4
n
4
n
4
n
4
n
4
n
4
n
4
n
4
nn
4
4
n
ω=ω
ω+ω−=ωω
−→ω>>ω
→→ω
ωδω
+
ωω
−−=
ωδω
+ωω
−
ωδω
+ωω
−=
+ωω
δ+
ωω
→ω+δω+
ω
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 24/61
Prof. Cesar de Prada
2ode1 polos comple(os con(ugados
( )
nr r
4
nr
4
n
444
n
4
n
4
4
n
4
n
44
n
4
4
n
4
4
n
4
4
n
4
n4n
4
frecuencialaa$ resonanciade pico
como conocido8:7(enmá/imoune/istirá E.LEL si4E4
EK
84
74E4
d
d
4log4E
4
(
log4E
má/imo,un)Presenta
ω≤ω
ω≤δ δ−ω=ω=ωδ+ω−ω−
=ω
ωδ+
ωω
−
ωω
−=
ωδω
+
ωω
−ω
ωδω
+
ωω
−−=
ω
δω
+ω
ω
−
4r r 4
8 (7:$
δ−δ=ω=
:7(ω8 en d2
ωn
?
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 25/61
Prof. Cesar de Prada
2ode1 polos comple(os con(ugados
GKE si
GE si
EE si
4
arctg4
(
arg
4 (
(
4 (
s4s
n
4
n
4
n
n
4
n
4
n
4
n
4
n
4
n
4
nn
4
4
n
−→φ∞→ω−=φω=ω
→φ→ω
ωω
−
ωδω
−=
ωδω
+ωω
−
ωδω
+ωω
−=
+ωω
δ+
ωω
→ω+δω+
ω
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 26/61
Prof. Cesar de Prada
Caso δ M E.LEL
:7(ω8 en d2
log ω
arg:7(ω8 en G
ωnE d2
EG
KEG
E d2 por
dHcada
EG
=esonancia1 -a
amplitud de la salida se
ve amplificada a ciertas
frecuencias y es má/ima para ωr00 creciendo
inversamente con δ
ωr
Frecuencia de
transici*n
ωn
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 27/61
Prof. Cesar de Prada
"(emplo
Frequency (rad/sec)
P h a s e ( d e g ) ; M a g n i t u d e ( d B )
Bode Diagrams
10-1
100
101
-100
-50
0
50
T o : Y ( 1 )
-20
-10
0
10From: U(1)
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
Nyquist Diagrams
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8From: U(1)
T o : Y ( 1 )
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 28/61
Prof. Cesar de Prada
Caso δ N E.LEL:7(ω8 en d2
log ω
arg:7(ω8 en G
E d2
EG
KEG
E d2
E ωn
EG
ωnSin =esonancia0
la atenuacion en
mon*tonamentedecreciente0 con
pendiente Ed2
por dHcada para
frecuencias
superiores a ωn
Frecuencia detransici*n
ωn
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 29/61
Prof. Cesar de Prada
2ode1 0 retardo
π= o E8 arg7
log4E es una cte.
d8earg7
Elog4Eelog4E
d (
d (
ω−=
==ω−
ω−
log ω
:7(ω8 en d2
log ω
arg:7(ω8 en G
E d2
EG
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 30/61
Prof. Cesar de Prada
Primer orden mas retardo
s
e s4
+
−
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Nyquist Diagram
Real Axis
I m a g i n
a r y A x i s
s
+
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Nyquist Diagram
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 31/61
Prof. Cesar de Prada
=etardos
! Cuando e/isten retardos es difOcil aplicar ciertastHcnicas de análisis0 tales como el lugar de lasraices
! "sta tHcnica re+uiere apro/imar el retardo porPade mediante ceros y polos
! Sin em'argo0 en el dominio de la frecuencia0 elanálisis con diagramas de ;y+uist o 2ode no
presenta especial dificultad.
8s87BsBs7
8BsBs7
s
e4
4s4
++++−
≈+
−
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 32/61
Prof. Cesar de Prada
2ode1 integradores
log ω
:7(ω8 en d2
log ω
arg:7(ω8 en G
GE (arg
log4E (
log4E
−=
ω
ω−=ω
E d2
EG
EG
recta de pendiente 4E d2
+ue pasa por 7ω 30 E d28
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 33/61
Prof. Cesar de Prada
Primer orden mas integrador
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
Nyquist Diagrams
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
From: U(1)
T o : Y ( 1 )
( )@ss
@
+
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 34/61
Prof. Cesar de Prada
Filtros
Filtro
<7s8U7s8
3
9
9
:7(ω8
E d2 ωUn filtro es un
dispositivo +ue permite eliminar
frecuencias no
deseadas en una
seal
Introduce un
retardo
Filtros
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 35/61
Prof. Cesar de Prada
-ead5-ag Cero5polo
-15
-10
-5
0
M a g n i t u d e ( d B )
10-2
10-1
100
101
102
-60
-30
0
P h a s e ( d e g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
@sJ
@s
+
+
0
2
4
6
8
M a g n i t u d e ( d B )
10-2
10-1
100
101
0
5
10
15
20
P h a s e ( d e g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
sJ
sE
++-a posici*n del cero
determina el comportamiento
a altas frecuencias
Cero dominantePolo dominante
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 36/61
Prof. Cesar de Prada
=espuesta en frecuencia en la#o cerrado
:7s8=7s8U7s8
9
<7s8Q7s8 "7s8
8s7V8s7= 8s7:
8s7D8s7Q
8s7= 8s7:
8s7= 8s7:8s7<
++
+=
D7s8V7s8
8 (7= 8 (7:
8 (7D
8 (7= 8 (7:
8 (7= 8 (7:
ωω+ω
ωω+ωω
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 37/61
Prof. Cesar de Prada
=espuesta en frecuencia en la#o cerrado
:7s8=7s8U7s8
9
<7s8Q7s8 "7s8
D7s8V7s8
8 (7= 8 (7:
8 (7D
8 (7= 8 (7:
8 (7= 8 (7:
ωω+ω
ωω+ωω
log ω
Puede estudiarse el rec%a#o de
ruidos o pertur'aciones0 asO como
la rapide# de respuesta con el
anc%o de 'anda
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 38/61
Prof. Cesar de Prada
6eorema del argumento
s F7s8
Contorno cerrado +ue no pasa porninguna singularidad de F7s8
P nG de polos de F7s8 dentro del contornoR nG de ceros de F7s8 dentro del contorno
; nG de rodeos al origen de F7s8 en el sentido
%orario ; 3 R P
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 39/61
Prof. Cesar de Prada
:7s8=7s8U7s8
9
<7s8Q7s8 "7s8
8s7V8s7= 8s7:
8s7D8s7Q
8s7= 8s7:
8s7= 8s7:8s7<
+++=
D7s8V7s8
"sta'ilidad en la#o cerrado
)Cuantas raices de 9 :7s8=7s8 3 E son positivas,
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 40/61
Prof. Cesar de Prada
Criterio de ;y+uist
9 :7s8=7s8
(ω ∞
Contorno +ue
encierra el
semiplano derec%o s
Den ;umDen
Den ;um:= +=+=+ P 3 nG de polos inesta'les de :=
R 3 nG de ceros de 9:= en el
semiplano derec%oPolos de 9:= 3
polos de :=
8 (7= 8 (7:@ ωω+
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 41/61
Prof. Cesar de Prada
Criterio de ;y+uist
9 :7s8=7s8
(ω ∞
P 3 nG de polos inesta'les de :=
R 3 nG de ceros de 9:= en elsemiplano derec%o
; 3 nG de rodeos al origen de
9:7(ω8=7(ω8 en sentido %orario
; 3 R P
Para la esta'ilidad
del sistema en la#ocerrado R 3 E
; 3 P
8 (7= 8 (7:@ ωω+
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 42/61
Prof. Cesar de Prada
Criterio de ;y+uist
"s igual considerar losrodeos al origen de
9:7(ω8=7(ω8 +ue los
rodeos de :7(ω8=7(ω8
al punto
Si el sistema es esta'le en la#o a'ierto P 3 E0 y la
esta'ilidad en la#o cerrado se logra si el diagrama
de ;y+uist no envuelve al punto 70E8
8 (7= 8 (7:@ ωω+
8 (7= 8 (7: ωω
Sys+uae
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 43/61
Prof. Cesar de Prada
$edidas de ro'uste#
:7s8T u y
=7s8
Si el modelo no es correcto0
cam'ia o se modifica la
sintonOa0 )seguirá el
sistema siendo esta'le enla#o cerrado,
)Cuan cerca está el sistema
en la#o cerrado de la
inesta'ilidad,
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 44/61
Prof. Cesar de Prada
$argen de fase $F
Diagrama de ;y+uist
&
ϕ
:7(ω8=7(ω8ωf
ϕ+π−=ωωϕ
=ωωω
88 (7= 8 (7:arg7 verifica+ueangulo
@8 (7= 8 (7: +uelaafrecuenciamayor
f f
f f f
$argen
de fase
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 45/61
Prof. Cesar de Prada
$argen de fase
t
y
"l margen de fase ϕ esta relacionadocon el so'repico y la esta'ilidad
-a frecuencia ωf esta relacionada con
la velocidad de respuesta
:7s8T u y
=7s8
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 46/61
Prof. Cesar de Prada
Sistemas de mayor orden relativo
Diagrama de ;y+uist
&
ϕ:7(ω8=7(ω8
ωf
$argen
de fase
8 (7
8 (7= 8 (7:
+ωτωωϕ Sistemas con polos
adicionales 7por
aadir un filtro0 etc.8son mas dificiles de
controlar 7mas
cercanos a la
inesta'ilidad8
Al aumentar el nmero de
polos so're el de ceros se
aumenta el desfase
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 47/61
Prof. Cesar de Prada
$argen de fase0 4G orden
pU7s8
9
<7s8Q7s8 "7s8
84s7s
n
4
n
δω+ω
4n pn
4
4n p
p
p
s4s
8s7:
8s7:
ω+δω+ω
=+
"n la#o cerrado1
)Cual es el $F de este sistema,
ue relaci*n tiene el comportamiento
en la#o cerrado y el $F,
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 48/61
Prof. Cesar de Prada
$argen de fase 0 4G orden
pU7s8
9
<7s8Q7s8 "7s8
8 474
87
E
87 84s7s
4 p
444n
n
4 p
444n
44n
4
4
n
4 p
444n
4
44
n
4
n
4
p
4
44n
4444n p
(sn
4n p
−δ±δ−ω=ω−ωδ±ωδ−
=ω
=ω−ωωδ+ωωωδ+ω=ω
ωωδ+ω−=ω⇒=δω+ω
ω=
Si el margen de fase corresponde a la frecuencia ω 1
84s7s
n
4
n
δω+ω
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 49/61
Prof. Cesar de Prada
$argen de fase0 4G orden
δ
−δ±δ−−
π=
δω
ω−
π−π=
δω+
ω+π=ϕ
ω= 4
4arctg
44
arctg
484s7s
arg
4 p
44
n (sn
4n p
8 47 4 p
444n
4 −δ±δ−ω=ω
Way una relaci*n directa entre el $argen de Fase ϕ y el
amortiguamiento δ en un sistema de 4G orden. Para *rdenes mas
altos la relaci*n solo es apro/imada.
$F
δ
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 50/61
Prof. Cesar de Prada
$F
tiempo
y
A mayor ϕ menor so'repico
Valores mayores de ωf dan respuestas mas rápidas
y controles mas activos
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 51/61
Prof. Cesar de Prada
$argen de ganancia
π−=ωω
ωω=
88 (7= 8 (7:arg7
8 (7:8 (7=
$:
gg
gg
ωg
$: 3 factor en el +ue se
puede incrementar la
ganancia antes de +ue el
sistema en la#o cerrado se
%aga inesta'le
$edida de ro'uste#
=7(ω8:7(ω8
;o conviene
tra'a(ar con
ganancias altas
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 52/61
Prof. Cesar de Prada
Funciones de transferencia
99
=
Proceso
u
v
y
:
T
v:= @
@T
:= @
:= y
+
+
+
=
v:= @
= T
:= @
= u
+
−
+
=
STy Svy
STu Svu
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 53/61
Prof. Cesar de Prada
=ec%a#o de pertur'aciones
@S si
ES E si
integralacciontiene= si
8 (7= 8 (7:@
@
:= @
@S
vy
vy
vy
→∞→ω
→→ω
ωω+
=
=
+
=
Svy7(ω8 en d2
ω
"n un rango de frecuencias0
el regulador puede
empeorar el rec%a#o de pertur'aciones.
Importante minimi#ar el
ma/imo Svy7(ω8
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 54/61
Prof. Cesar de Prada
$argen de $*dulo
@
vyS:= @ ;$
8 (7= 8 (7:&$ ;$@
−
=+=
ωω==+−
;
$
Diagrama de ;y+uist
&
min ;$ = −7 7 8 8ma/ S (vy ω@
=∞
−S (vy 7 8ω
@
Un margen de m*dulo mayor me(ora el rec%a#o de pertur'aciones
$argen de m*dulo 3 min ;$
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 55/61
Prof. Cesar de Prada
)Por +uH es dificil el control de un
sistema con retardo, &
ϕ
:7(ω8=7(ω8
ωf
$argen
de fase
&
:7(ω8ed(ω=7(ω8
ωf
$argen
de fase 5$argen de
modulo
menor
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 56/61
Prof. Cesar de Prada
Sistemas de fase nomOnima
87...8 (7 (
87...8c(7elog4E
87...8s7s
87...8cs7e8s7:
d(ds
+ωτω±ω
+τ±
=ω−−
...88@ (57@arg78 ([email protected]@c(arg78earg78I arg788 (7:arg7d (
++ωτ+ω+++ω++=ω ω−
"l m*dulo
no se
modifica
...88@ (57@arg78 ([email protected]@c(arg78earg78I arg788 (7:arg7d ( ++ωτ+ω++−ω++=ω ω−
log ω
arg
EG
EG
5c
JG
log ω
arg
EG
EG
5c
JG
"l cero desfasa en
lugar de adelantar
la fase
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 57/61
Prof. Cesar de Prada
)Por +uH es dificil el control de un
sistema con fase nomOnima, &
ϕ
:7(ω8=7(ω8
ωf
$argen
de fase
&
:7(ω8 =7(ω8
ωf
$argen
de fase 5$argen de
modulo
menor
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 58/61
Prof. Cesar de Prada
)Por +uH0 ante la duda0 se de'e escoger
una ganancia mayor del proceso,
ωg
=7(ω8:7(ω8
Si de(amos un margen de
ganancia pe+ueo0 y luego la
ganancia del proceso es menor
siempre se está en el ladoseguro.
Para el mismo margen de
ganancia0 si la ganancia del
proceso se escoge la menor setendrá un regulador +ui#á con
e/cesiva ganancia0 si la del
proceso resulta ser mayor
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 59/61
Prof. Cesar de Prada
"sfuer#os de control
8 (7:=
8 (7= log4E8 (7:log4E
8 (7:=
8 (7:= log4E
S::=
= :
:=
:= S TuTy
ω+ω
=ω−ω+
ω
=+
=+
=
logω4Elog .
:=
:=
+
: esfuer#os de controlUn anc%o de 'anda
grande implica
esfuer#os de control
elevados
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 60/61
Prof. Cesar de Prada
=o'uste# del diseo
99
=
Proceso
u
v
y
:
T
v:= @
@T
:= @
:= y
+
+
+
=
:= @
:= 6
:
6
6
:
:
:6
6
adSensi'ilid+
=∂∂
=∂
∂
) Cuanto varOa la respuesta en la#o cerrado
cuando varian los parámetros del proceso,
7/17/2019 frecuencia
http://slidepdf.com/reader/full/frecuencia-568f8b3dcd13c 61/61
=o'uste# del diseo
99
=
Proceso
u
v
y
:
T
Sv6T
v:= @
@T
:= @
:= y
+=
+
+
+
=
vy44S
8:= @7
@
8:= @7
=
=
:= @
8:= @7
:== = 8:= @7
:=
8:= @7:
:= @
:=
:6
:=
+=
++
=+
−++=
+∂
∂
Funci*n de sensi'ilidad Svy 3 sensi'ilidad frente a errores en :
6
8:= @7
:=
8:= @7
8= 7
@
8:= @7:
:= @
@
:S
:4
−=
+
−=
+
−+=
+∂
∂
6Hrmicos