FS-415 Electricidad y Magnetismo II · FS-415 Electricidad y Magnetismo II UNAH El im an est a...

FS-415 Electricidad y Magnetismo II UNAH

Universidad Nacional Autonoma de Honduras

Facultad de CienciasEscuela de Fısica

FS-415 Electricidad y Magnetismo II

Practica No.5: ”Momento Dipolar Magnetico”

1. Objetivos

Encontrar el momento dipolar magnetico producido por un iman de barra mediante el mapeo de suinduccion magnetica.

Determinar el momento dipolar magnetico de un iman por medio de oscilaciones transversales resultadode un torque magnetico.

Estudiar el comportamiento de la curva de energıa potencial cuando un iman sufre oscilaciones trans-versales.

Instrucciones

En cada seccion de esta guıa se le pide realizar diferentes actividades (las del marco teorico son las queestan en los recuadros azules). Esto es lo que usted debera presentar en su reporte de laboratorio a surespectivo instructor.

2. Introduccion

El potencial vectorial magnetico puede definirse mediante una expansion por multipolos de manera similara la expansion se realiza para el campo electrico. El primer termino de esta expansion es el dipolar, el cual seexpresa en terminos del momento dipolar magnetico. Considerando solamente este termino para imanespequenos, es decir, puntos muy alejados de la distribucion de corrientes en estudio.

Este momento dipolar magnetico puede utilizarse para definir otras cantidades mas alla del potencialvectorial, incluyendo la induccion magnetica producida y el torque magnetico experimentado por un iman.

En base a la descripcion de las actividades y la teorıa, plantee el problema y como se espera resolverlo.

Momento Dipolar Magnetico 1


3. Marco Teorico

Dipolo Magnetico

El momento dipolar magnetico m es una propiedadsingular de una distribucion de corrientes y por endeno depende de la eleccion del origen ni de otras particu-laridades de un calculo en especıfico. Como su nombrelo dice, su estudio se basa en el analisis del modelo deun dipolo magnetico.

Figura 1: Dipolo magnetico

Figura 2: Iman de barra y sus polos

¿Que es un dipolo puntual ficticio?

Un iman de barra posee un polo norte y unpolo sur, como se muestra en la figura. ¿Bajoque consideraciones podrıa modelarlo como undipolo puntual ficticio?

¿Que otras distribuciones de corriente podrıanmodelarse como este tipo de dipolo? ¿Por que ybajo que condiciones?

Induccion Magnetica

Para calcular la induccion magnetica B producida por un iman cilındrico en cualquier punto a lo largo deleje z (eje axial), consideremos la equivalencia que existe entre corrientes e imanes. Se tiene un iman cilındricode radio a y longitud L. Si se extrae una espira de ancho dl, se puede modelar como una espira que tiene unacorriente filamental dieq que circula por ella, donde ieq es la corriente que circularıa para crear B equivalente

al del iman. Esta produce en el Punto P , que esta alejado de la espira, una induccion dB.

Figura 3: Iman cilındrico



Figura 4: Induccion magnetica (dB) en el punto P

El valor de este campo dB, como lo muestra la fi-gura 4 en el punto P (en el eje), se puede encontrarutilizando la Ley de Biot-Sarvat.

dB =µ0dieq

4π

∮C′

ds× r

r3(1)

Demuestre que el valor obtenido es

dB =µ0a

2

2(a2 + x2)3/2dieqx (2)

Para una coriente filamental plana, podemos definir el momento dipolar magnetico m en terminos deun area S que delimita y una corriente I que transporta, recordando que es independiente de la induccionmagnetica y de la eleccion del origen. Solo tiene en cuenta las caracterısticas de la distribucion de corrientes.

m =I

2

∮r′ × ds′ = ISn (3)

Para el caso de la espira anterior entonces m = SIeqx, de modo que

dieq =IeqLdl =

m

πa2Ldl (4)

La induccion es entonces:

dB =µ0m

2πL(a2 + x2)3/2dlx (5)

Para poder resolver esta integral, se debe recordar que x = d + l. Resuelva la integral utilizando Mathe-matica.Recordatorio: Coloque todas las suposiciones posibles con Assuming. De lo contrario, puede que elprograma no le de solucion.

B =

∫ L

0

µ0m

2πL (a2 + (l + d)2)3/2

dlx (6)

Si se considera que la longitud del iman L es mucho mas grande que su radio a, y que ademas L es muchomas pequeno que d la solucion anterior puede aproximarse mediante

B =µ0m

2πx3x (7)

Otras expresiones utiles que pueden deducirse para un iman de barra incluyen la induccion magneticapara un punto a lo largo del eje x y del eje y para un punto P cercano o lejano al iman.

BPx =2µ0mx

4π(x2 − l2)2(8)

BPy =µ0m

4π(y2 + l2)3/2(9)

donde l corresponde a la mitad de la longitud del iman y el origen del sistema de coordenadas se encuentraen el centro del iman, como se muestra en la figura.



Figura 5: Puntos cercanos a un iman de barra

Momento de torsion magnetico

Al colocar un dipolo magnetico (iman) dentro de una region donde existe una induccion magnetica uni-forme B, ocurre una interaccion entre el dipolo y este campo B. Esta interaccion tiende a girar el dipolohasta que m se alinee con B, con el proposito de minimizar la energıa potencial y ası lograr el equilibrio.

Si colgamos entonces un iman con su respectivo m dentro del campo B producido por una configuracionde bobinas como se muestra en la figura 6, cuando el eje del iman no coincide con el eje de las bobinas elcampo B, se ejerce un momento de torsion que tiende a orientar el momento dipolar en la direccion de lainduccion magnetica producida por las bobinas.

Figura 6: Iman dentro de un campo magnetico uniforme

Justifique por que es conveniente usar una configuracion de dos bobinas como se muestra en la figura enlugar de solamente una.

La expresion matematica de este momento de torsion, que es debido a la fuerza de traslacion FD por elcambio de energıa potencial del dipolo m, esta dada por:

~τ = ~m× ~B (10)

τ = −mB sin θ (11)



El iman esta sometido a un torque mecanico restaurador y opuesto que provoca que el iman tengoun movimiento oscilatorio. Al analizar este movimiento oscilatorio del iman, la ecuacion que describe estecomportamiento es: ∑

τ = Iα (12)

donde I es el momento de inercia del iman, y α la aceleracion angular.

Investigue el momento de inercia para un imancilındrico que cuelga de su centro.

Figura 7: Iman cilındrico que cuelga de su centro

La ecuacion del movimiento oscilatorio resultante recibe contribucion no solamente del torque magneticosino tambien de la resistencia ofrecida por el hilo del que cuelga el iman, en terminos de la constante detorsion del hilo K.

Iα = −Kθ −mB sin θ (13)

Expresando esto en forma de una ecuacion diferencial y rearreglando los terminos:

d2θ

dt2+Kθ

I+mB sin θ

I= 0

d2θ

dt2+K +mB

I= 0

Se consideraran solamente oscilaciones pequenas, de modo que tenemos entonces la ecuacion diferencialpara un movimiento armonico simple de frecuencia angular dada por

ω2 =K +mB

I(14)

Energıa potencial de un dipolo magnetico

Existe una energıa potencial magnetica asociada al torque magnetico, cuando actua sobre el dipolo y estegira un determinado angulo, ya que se realiza un trabajo al ser retirado de dicha posicion inicial.

U =

∫τdθ = −mB cos θ = −~m · ~B

¿Para que valor de θ es esta energıa nula? ¿Para que valor es maxima? Explique que relevancia fısicapodrıan tener estos dos puntos.



4. Actividades

Para cada actividad utilice el applet o enlace correspondiente proporcionado por su instructor en laplataforma.

Actividad 1: Momento dipolar de un iman en forma de barra

Ejecute la animacion de la Actividad 1. Recuerde que tiene que tener instalado Java en su computadorpara poder usarla. La simulacion consta de dos pestanas: Barra Imantada y Electroiman. Para estaactividad solo trabajaremos en la primer pestana.

A continuacion de click en la casilla ”mostrar medidor de campo”, como lo ilustra la siguiente imagen:

Figura 8: Paso 1

Registro de datos

Para registrar los datos de induccion magnetica B, establecera un marco de referencia, tomando laforma de cuadricula que toman las brujulas (no hay manera de saber las unidades). Debe mover eliman de modo que el origen del sistema quede justo en el centro de este. Es decir, que tendra una filade brujulas alineadas en el eje x y una columna de brujulas alineada con el eje y de modo que el origencoincida con el centro geometrico del iman. Para ayudar a ubicarlo, de click en la casilla Ver dentro deliman, como lo muestra en la figura, pero tenga cuidado porque la cuadrıcula de referencia sera la delas brujulas fuera del iman, no estas al interior.

Figura 9: Paso 2.



Observacion: El sistema de referencia mostrado en las imagenes es una idealizacion de como debecolocar el iman ya que en la simulacion solo le aparecera el iman y medidor de campo como lo muestrala figura 9.

Una vez establecido su sistema de referencia tomara valores de la induccion magnetica a lo largo deleje x (BPx) y a lo largo del eje y (BPy) como lo muestra la figura 10.

Figura 10: Paso 3.

El medidor de campo debe trasladarse en el respectivo eje de referencia de cada componente (asu-mira que cada brujula de la cuadricula representa una unidad).

Observacion: Cuando registre los datos de manera axial debe empezar en la brujula numero 4, ya quecomo pudo apreciar desde el sistema de referencia le quedaran 3 brujulas dentro del iman, ası como lomuestra la figura 10.

Tanto a lo largo del eje x como del eje y, ¿que valor debera tener By y Θ? Utilice esto como indicadorde que esta tomando la medicion en el lugar adecuado.

Presente el registro de datos de la siguiente forma:

x (unidades) BPx (T)45. . .14

Tabla 1: Datos de los valores de induccion magnetica tomados de manera axial.

y (unidades) BPy (T)12. . .10

Tabla 2: Datos de los valores de induccion magnetica tomados de manera ecuatorial.



Nota: El applet da el valor de la induccion magnetica en Gauss. Debe pasarlo a Teslas para el respectivotratamiento de datos.

Obtencion del momento dipolar magnetico del iman

Con los datos registrados en las tablas anteriores, realice un ajuste lineal sin intercepto de la formaY = αX, usando: las ecuaciones 8 y 9 del marco teorico.

Para el eje x utilizara la ecuacion 8, donde Y = BPx y X = x(x2−l2)2 .

Observacion: Recuerde que l es la mitad de la longitud del iman, la cual debera determinar contandoen termino del numero de brujulas (en el exterior, no el interior) que abarca.

Para el eje y utilizara la ecuacion 9, donde Y = BPy y X = 1(y2+l2)3/2

.

Observacion: recuerde colocar los valores de y en las unidades apropiadas.

A partir de la pendiente y su incertidumbre obtenga el valor del momento magnetico del iman con surespectivo error.

A lo largo del eje x

=⇒ mPx =4παPx

2µ0=⇒ ∆mPx = mPx

∆αPx

αPx

A lo largo del eje y

=⇒ mPy =4παPy

µ0=⇒ ∆mPy = mPy

∆αPy

αPy

Nota: α es el valor de la pendiente obtenida en cada ajuste.

Compare los resultados obtenidos por ambos metodos. ¿Son congruentes sus resultados? Justifique surespuesta, tanto de manera grafica, con un grafico de discrepancia, y de forma analıtica.

¿Por que para obtener el valor del momento dipolar en esta actividad no se uso el modelo de la ecuacion7 del marco teorico? Explique.

Actividad 2: Oscilaciones transversales de un iman

Descargue el archivo de la actividad 2, proporcionado por su instructor. Descomprima el archivo utili-zando la contrasena fisicaunah.

De click en el archivo Chrome HTML document : oscilaciones 1. Recuerde tener instalado Java y AdobeFlash en su ordenador.

La simulacion consta de un iman cilındrico, el cual se introduce en una bobina de configuracion deHelmholtz como lo muestra la figura 6. Se genera una induccion magnetica.

Datos del iman:masa: 0.0511 kg

longitud: 0.125 mradio: 0.0046 m

Con estos datos, determine el momento de inercia I del iman con la ecuacion investigada en el marcoteorico.



Figura 11: Simulacion de oscilaciones transversales de un iman

Registro de datos

En la casilla de campo magnetico (B) puede variar la magnitud de la induccion magnetica que se deseautilizar desde 1 a 15 Gauss. Escoja el valor que desea utilizar.

Para empezar la simulacion de click en la casilla Nuevo y despues de click en la casilla Play (I).

Figura 12: Paso 1.

Figura 13: Paso 1: Simulacion de la oscilacion del iman.



El iman empezara a oscilar transversalmente. El applet le mostrara la direccion del momento magnetico~m(color rojo), la direccion de la induccion magnetica ~B producido por las bobinas (color azul) y elperıodo de la oscilacion como se aprecia en la siguiente figura.

Aumentando B desde 2 hasta 14 Gauss, en intervalos de 2 en dos, registrara el valor del perıodo (T )de las oscilaciones del iman por la accion del torque magnetico. Presente sus datos como lo muestra lasiguiente tabla:

No. B (T) T (s)1 22 4. . .N 14

Tabla 3: Datos de induccion magnetica en Tesla y Periodo en segundos de las oscilaciones del iman.

Observacion: Recuerde que B en la simulacion esta en Gauss; tiene que pasarlo a las unidades apro-piadas.

Obtencion del momento dipolar del iman por medio del torque magnetico

Con los datos registrados en la tabla 3, usando el modelo presentado en el marco teorico, realice unajuste lineal con intercepto de la forma y = α+ βx, con sus respectivas incertidumbres, para encontrarel momento dipolar magnetico del iman m y la constante de torsion del hilo K.

ω2 =K

I+mB

I

Donde: y = ω2 y x = B. (Recuerde la relacion entre perıodo y frecuencia angular).

Grafique sus datos junto con la funcion de ajuste encontrada por el ajuste.

Determine el coeficiente de correlacion (r) del ajuste lineal.

Con el valor de la pendiente y su incertidumbre determine la magnitud del momento magnetico y suincertidumbre absoluta.

=⇒ m = Iβ =⇒ ∆m = m

(∆β

β

)Con el valor del intercepto determinar el valor de la constante K y su respectiva incertidumbre absoluta.

=⇒ K = Iα =⇒ ∆K = K

(∆α

α

)Nota: Recuerde expresar sus resultados en la notacion adecuada y segun las reglas de redondeo.

Curva de la Energıa potencial

Haciendo uso de la simulacion de la actividad 2, escoja una magnitud de induccion magnetica.

De click en la casilla Nuevo. Seguidamente de click en la casilla de Play (I). Inmediatamente despuesde ello de click en la casilla de Pause q. Le aparecera entonces en el boton de paso a paso > | comolo muestra la siguiente figura 14. Podra apreciar en la simulacion como cambia el angulo en grados deoscilacion del iman segun transcurre el tiempo (figura 15).



Figura 14: Paso 1.

Figura 15: Paso 2: Registro del angulo.

Registro de datos

Con el boton de paso a paso > | registrara el valor del angulo cada 0.3 segundos transcurridos, hastaque el iman deje de oscilar.Observacion: Recuerde que empieza a contar el tiempo justo cuando da click en la casilla de pausa q.

Grafica de la curva de Energıa Potencial

Haciendo uso de la ecuacion de energıa potencial vista en el marco teorico U = −mB cos θ, con el valorde m que obtuvo en el inciso anterior y la magnitud de induccion magnetica que dejo fija, evalue laenergıa potencial en funcion del angulo.

Presente en forma de tabla los respectivos puntos de la siguiente forma

No. θ (rad) U (J)12. . .N

Tabla 4: Energıa potencial en funcion del angulo.

Grafique los puntos anteriores. Recuerde trabajar en radianes y en Teslas.

5. Cuestionario

El momento dipolar mangnetico se relaciona con el termino dipolar del desarrollo multipolar del poten-cial vectorial magnetico. ¿Por que no se considera un termino monopolar para la induccion magneticaque producirıa el iman? ¿Por que no se considera el termino cuadripolar?

Para observar los fenomenos del momento magnetico en los imanes, estos se suelen colocar bajo lainteraccion de una induccion magnetica para que este produzca un momento de torsion sobre el iman.¿Que cuidados se debe tener con el campo que se aplicara sobre el iman?

¿Cual es el efecto que tiene el momento dipolar magnetico cuando se somete en una region donde existeuna induccion magnetica? Explique.

¿Que diferencia habra al ubicar el iman en un induccion magnetica uniforme y un induccion magneticano uniforme, seguira observando el comportamiento oscilatorio y si es ası de que forma?



6. Conclusiones

Elaborar tres conclusiones en forma de parrafo, en base a los objetivos y resultados obtenidos que con-tengan lo siguiente:

Conclusion 1:

1. Reporte los valores del momento dipolar magnetico encontrado por medio de regresion linealusando la primera simulacion con sus respectivas incertidumbres absolutas.

2. ¿Considera que estos resultados son congruentes?

3. ¿Cual es la repercusion de estos resultados en base al modelo utilizado?

Conclusion 2:

1. Comente acerca del comportamiento de los datos obtenidos. ¿Siguen el comportamiento de lafuncion de ajuste? ¿Cual es el valor de correlacion obtenido y que indica ese valor acerca delmodelo utilizado?

2. Reporte el valor obtenido para el momento dipolar magnetico de un iman usando la simulacion deoscilaciones transversales con su respectiva incertidumbre absoluta.

3. Reporte el valor obtenido para el la constante de la cuerda K, usando la simulacion de oscilacionestransversales con su respectiva incertidumbre absoluta.

4. ¿Cual es la repercusion de estos resultados en base al modelo utilizado?

Conclusion 3:

1. Segun su curva de energıa potencial obtenida usando el valor del momento dipolar calculado en laActividad 2, senale donde se observaron los valores maximos y mınimos.

2. Segun los valores mostrados en el ıtem anterior, ¿donde se espera que la fuerza de torsion seanmaxima y donde sea mınima? ¿Que nos dice lo anterior acerca de la orientacion del iman enrelacion al campo magnetico cuando la fuerza es maxima y cuando la fuerza es mınima?

3. En vista a los ıtem anteriores, ¿que puede decir de los resultados del momento magnetico obtenidoen la Actividad 2?


FS-415 Electricidad y Magnetismo II · FS-415 Electricidad y Magnetismo II UNAH El im an est a...

Documents

Transcript of FS-415 Electricidad y Magnetismo II · FS-415 Electricidad y Magnetismo II UNAH El im an est a...