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FÍSICA 2º CURSO BLOQUE 3: ONDAS. ÓPTICA GEOMÉTRICA El estudio de la Óptica Geométrica, se restringe al marco de la aproximación paraxial. Las ecuaciones de los sistemas ópticos se presentan desde un punto de vista operativo, para proporcionar al alumnado una herramienta de análisis de sistemas ópticos complejos. Rafael Artacho Cañadas ÓPTICA GEOMÉTRICA

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FÍSICA2º CURSO

BLOQUE 3: ONDAS. ÓPTICA GEOMÉTRICA

El estudio de la Óptica Geométrica, se restringe al marco de la aproximación paraxial.Las ecuaciones de los sistemas ópticos se presentan desde un punto de vista operativo, paraproporcionar al alumnado una herramienta de análisis de sistemas ópticos complejos.

Rafael Artacho Cañadas

ÓPTICA GEOMÉTRICA

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Bloque 3: ONDAS. OPTICA GEOMÉTRICA

ÓPTICA GEOMÉTRICA ÍNDICE

1. Introducción a la óptica geométrica.2. Óptica por reflexión.3. Óptica por refracción.4. El ojo humano.5. Algunos instrumentos ópticos.

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 1. Introducción a la óptica geométrica.

1.1. Conceptos fundamentales: Objeto de la óptica geométrica

• Ley de propagación rectilínea de la luz

• Ley de independencia de los rayos luminosos

• Leyes de la reflexión y la refracción

• Aproximación del rayo

• Ley de reciprocidad

La óptica geométrica se estructura sobre las siguientes leyes:

El objeto es el estudio de laformación de imágenes porreflexión y refracción.

• Óptica por reflexión: Imágenes en sistemas de espejos planos y esféricos.

• Óptica por refracción: Imágenes formadas a través de lentes delgadas.

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 1. Introducción a la óptica geométrica.

• Objeto. Fuente de la que proceden losrayos

• Imagen. Figura formada por los rayosque convergen provenientes de lainteracción con el sistema óptico.

o Imagen real. Convergen realmente.o Imagen virtual. Convergen sus

prolongaciones.

• Eje óptico. Es el eje que une el objeto con el centro de curvatura del sistemaóptico.

• Centro de curvatura (C). Es el centro geométrico de la curva que corresponde alsistema óptico.

• Vértice (V). Es el punto de corte del sistema óptico con el eje óptico.• Radio de curvatura. Es la distancia que existe entre el centro de curvatura y el

vértice.

objeto

imagen

eje óptico

C V

r

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 1. Introducción a la óptica geométrica.

Criterios de signos DIN

Los ángulos se escriben con letras griegas minúsculas.

Las letras que hacen referencia a la imagen son las mismas que las del objeto,pero marcadas como «prima».

Se considera que la luz incide sobre el sistema óptico por su izquierda,propagándose hacia la derecha, salvo que se indique lo contrario.

El vértice V de la superficie esférica se toma como centro de un sistema dereferencia cartesiano habitual. Se denomina espacio objeto al situado a laizquierda de dicho vértice, y espacio imagen, al que queda a la derecha.

Se establecen con signo negativo todas las distancias situadas en el espacioobjeto (a la izquierda de V) y con signo positivo las distancias correspondientesal espacio imagen (a la derecha de V). Igualmente, en el caso de las distanciasperpendiculares al eje óptico, se consideran positivas las medidas por encimadel mismo y negativas las que quedan por debajo.

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 2. Óptica por reflexión. Espejos

2.1. Espejos planos

Ƹ𝑖

Ƹ𝑟

ො𝛼 መ𝛽O O’

s s’

V

P

h

La ley para la reflexión:

Ƹ𝑖 = Ƹ𝑟 𝑦 ො𝛼 = Ƹ𝑖 ; መ𝛽 = Ƹ𝑟

𝑡𝑔 ො𝛼 =ℎ

−𝑠; 𝑡𝑔 መ𝛽 =

𝑠′→ 𝒔′ = −𝒔

En al figura, 𝑠 es negativo, ℎ y 𝑠′es positivos:

ො𝛼 = መ𝛽

Por tanto:

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Ƹ𝑟A A’

s s’

V

O

y

Objeto extenso finito

𝐴𝐿 =𝑦′

𝑦

El aumento lateral se define como:

Ƹ𝑖y’

B B’

De la figura:

𝑡𝑔 Ƹ𝑖 =𝑦

−𝑠=𝑦′

𝑠′

𝑠′ = −𝑠 → 𝑦′ = 𝑦 → 𝐴𝐿 = 1

Como:

Características de la imagen:

• Virtual (la imagen se forma con la prolongación de los rayos reflejados).• De igual tamaño.• Presenta inversión lateral (izquierda-derecha).

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 2. Óptica por reflexión. Espejos

ACTIVIDADES

1. Una objeto de 20 cm de altura se coloca delante de un espejo plano a unadistancia de 0,40 m. i) Utilizando el diagrama de rayos, dibuje la imagen del objetoe indique sus características; ii) Determine la posición de la imagen y el tamaño dela misma.Sol: ii) 𝑠′ = 0,40 𝑚; 𝑦′ = 20 𝑐𝑚

2. Una persona de 1,70 m de altura se coloca delante de un espejo plano a unadistancia de 0,80 m. i) ¿Qué tamaño tiene la imagen?; ii) ¿Cuál debe ser la alturamínima del espejo para que persona se vea de cuerpo entero?Sol: i) y′ = 1,70 𝑚; ii) ℎ𝑚í𝑛 = 0,85 𝑚

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 2. Óptica por reflexión. Espejos

• Se denominan rayos paraxiales a los rayos más próximos al eje óptico.• Los espejos esféricos pueden cóncavos o convexos.

𝑡𝑔𝛼 ≈ 𝛼 =ℎ

−𝑠

𝑡𝑔𝛽 ≈ 𝛽 =ℎ

−𝑟

𝑡𝑔𝜃 ≈ 𝜃 =ℎ

−𝑠′

s

s’

OC VO’

ො𝛼 መ𝛽 𝜃h

Ƹ𝑖Ƹ𝑟

r

P

ො𝛼 + 2 Ƹ𝑖 + 1800 − መ𝜃 = 1800 → ො𝛼 + 2 Ƹ𝑖 = መ𝜃

መ𝛽 + Ƹ𝑖 + 1800 − መ𝜃 = 1800 → Ƹ𝑖 = መ𝜃 − መ𝛽ො𝛼 + መ𝜃 = 2 መ𝛽 →

1

𝑠+1

𝑠′=2

𝑟

Ecuación de los espejos

2.2. Espejos esféricos

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 2. Óptica por reflexión. Espejos

Foco

Cuando un objeto se encuentra muy lejano (s = ), los rayos inciden paralelos al eje y la imagen se forma en un punto denominado foco (F), y la distancia al vértice, distancia focal:

1

∞+1

𝑠′=2

𝑟→ 𝑠′ = 𝑓 =

𝑟

2→

𝟏

𝒔+𝟏

𝒔′=𝟏

𝒇

C VF

P

f

r

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 2. Óptica por reflexión. Espejos

ACTIVIDADES

3. Un objeto se encuentra situado a 20 𝑐𝑚 del vértice de un espejo esférico convexode 25 𝑐𝑚 de radio de curvatura. Determina la posición de la imagen.Sol: 𝑠′ = 7,69 𝑐𝑚

4. Una objeto situado a 8 𝑐𝑚 de un espejo esférico cóncavo produce una imagenvirtual de 10 𝑐𝑚 de distancia por detrás del espejo. Determina: i) La distancia focaldel espejo; ii) El radio de curvatura; iii) La posición de la imagen si el objeto se alejahasta 25 𝑐𝑚 de distancia del espejo.

Sol: i) 𝑓′ = −40 𝑐𝑚; ii) 𝑅 = −80 𝑐𝑚; iii) 𝑠′ = 66,6 𝑐𝑚

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 2. Óptica por reflexión. Espejos

Aumento

Ƹ𝑖 = Ƹ𝑟 → 𝑡𝑔 Ƹ𝑖 =𝑦

−𝑠=−𝑦′

−𝑠′

El aumento de la imagen:

𝐴𝐿 =𝑦′

𝑦= −

𝑠′

𝑠

Si el aumento es positivo, la imagen es derecha, si en negativo, invertida.

s

s’

O CV

O’

r

y

y’Ƹ𝑖Ƹ𝑟

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 2. Óptica por reflexión. Espejos

ACTIVIDADES

5. Se desea formar una imagen invertida de 30 𝑐𝑚 de altura sobre una pantalla quese encuentra a 4,2 𝑚 del vértice de un espejo esférico cóncavo. El objeto queproduce la imagen mide 5 𝑚𝑚. Determina: i) La distancia respecto al espejo a laque debe colocarse el objeto; ii) La distancia focal y el radio de curvatura delespejo.Sol: i) 𝑠 = −7 𝑐𝑚; ii) 𝑓′ = −6,88 𝑐𝑚; 𝑅 = −13,76 𝑐𝑚

6. i) ¿Qué tipo de espejo se requiere para formar una imagen, sobre la pared situadaa 3 𝑚 del espejo, del filamento de una lámpara de faro de automóvil distante10 𝑐𝑚 del espejo? Razona la respuesta; ii) ¿Cuál es la altura de la imagen si la delobjeto es 5 𝑚𝑚?Sol: ii) 𝑦′ = −150 𝑚𝑚

7. Un objeto de 10 𝑐𝑚 de altura se sitúa a 1,5 𝑚 de un espejo esférico convexo de3,5 𝑚 de distancia focal. Determina las características de la imagen formada.Sol: Virtual, de 7 𝑐𝑚 de altura, situada a 1,05 𝑚 a la derecha del espejo y derecha.

8. Se tiene un espejo esférico cóncavo de 40 𝑐𝑚 de distancia focal. Determina ladistancia que debe situarse un objeto para que la imagen sea: i) Real, invertida y dedoble tamaño que el objeto; ii) Virtual, derecha y de doble tamaño que el objeto.Sol: i) 𝑠 = −60 𝑐𝑚; ii) 𝑠 = −20 𝑐𝑚

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 2. Óptica por reflexión. Espejos

a) |s| > |r|

Real, invertida, de menor tamaño

b) |s| = |r|

Real, invertida, de igual tamaño

c) |f| < |s| < |r|

Real, invertida, de mayor tamaño

d) |s| < |f|

Virtual, derecha, de mayor tamaño

Espejos cóncavos

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 2. Óptica por reflexión. Espejos

Cualquier posición del objeto

Virtual, derecha, de menor tamaño

Espejos convexos

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 2. Óptica por reflexión. Espejos

ACTIVIDADES

9. Se dispone de un objeto de 5 𝑐𝑚. Calcule y dibuje gráficamente la imagen de eseobjeto en los siguientes casos, así como el aumento lateral: i) Situado a 0,5 𝑚 dedistancia de un espejo cóncavo de 2 𝑚 de radio; ii) Un objeto situado a la mismadistancia delante de un espejo convexo del mismo radio; iii) A 0,5 𝑚 delante de unespejo plano. Explique en cada caso las características de la imagen y compare lassituaciones.Sol: i) 𝑠′ = 1𝑚

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 3. Óptica por refracción

3.1. Refracción en una superficie esférica

n n’

O O’

C

h

s s’

r

Ƹ𝑖

Ƹ𝑟ො𝛼 መ𝛽መ𝜃

𝑛 𝑠𝑒𝑛 Ƹ𝑖 = 𝑛′𝑠𝑒𝑛 Ƹ𝑟 → 𝑛 Ƹ𝑖 = 𝑛′ Ƹ𝑟

Según la ley de Snell:

Además: 𝑡𝑔 ො𝛼 ≈ ො𝛼 =ℎ

−𝑠; 𝑡𝑔 መ𝛽 ≈ መ𝛽 =

𝑠′; 𝑡𝑔 መ𝜃 ≈ መ𝜃 =

𝑟

Ƹ𝑖 = ො𝛼 + መ𝜃; መ𝜃 = መ𝛽 + Ƹ𝑟

Ƹ𝑟 =𝑛

𝑛′ො𝛼 + መ𝜃

De la figura:

Sustituyendo: መ𝜃 = መ𝛽 +𝑛

𝑛′ො𝛼 + መ𝜃 → 𝑛 ො𝛼 + 𝑛′ መ𝛽 = (𝑛′ − 𝑛)𝜃

Sustituyendo y simplificando: −𝑛

𝑠+𝑛′

𝑠′=𝑛′ − 𝑛

𝑟

Ecuación del dioptrio esférico

Imagen de un punto

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 3. Óptica por refracción

Imagen de un objeto. Aumento lateral

n n’

O O’Cy

s s’

Ƹ𝑖Ƹ𝑟 y’

Según la ley de Snell:

𝑛 𝑠𝑒𝑛 Ƹ𝑖 = 𝑛′𝑠𝑒𝑛 Ƹ𝑟 → 𝑛 Ƹ𝑖 = 𝑛′ Ƹ𝑟

Teniendo en cuenta que:

𝑠𝑒𝑛 Ƹ𝑖 ≈ 𝑡𝑔 Ƹ𝑖 =𝑦

−𝑠;

𝑠𝑒𝑛 Ƹ𝑟 ≈ 𝑡𝑔 Ƹ𝑟 =−𝑦′

𝑠′

𝑛𝑦

−𝑠= 𝑛′

−𝑦′

𝑠′→ 𝑛

𝑦

𝑠= 𝑛′

𝑦′

𝑠′

Se obtiene:

El aumento:

𝐴𝐿 =𝑦′

𝑦=𝑛𝑠′

𝑛′𝑠

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 3. Óptica por refracción

Focos

n n’

C

f

F

n n’

f’

F’C

Foco objeto, distancia focal objeto, 𝑠′ = ∞:

−𝑛

𝑠+𝑛′

𝑠′=𝑛′ − 𝑛

𝑟→ 𝑓 = −

𝑛𝑟

𝑛′ − 𝑛

Foco imagen, distancia focal imagen, s = ∞:

−𝑛

𝑠+𝑛′

𝑠′=𝑛′ − 𝑛

𝑟→ 𝑓′ =

𝑛′𝑟

𝑛′ − 𝑛

La relación entre las distancias focales:

𝑓

𝑓′= −

𝑛

𝑛′

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 3. Óptica por refracción

3.2. Refracción en una superficie plana

s

s’

yy’

n n’

Ƹ𝑖Ƹ𝑟

En la ecuación del dioptrio, 𝑟 = ∞:

El aumento:

𝐴𝐿 =𝑦′

𝑦=𝑛𝑠′

𝑛′𝑠= 1

−𝑛

𝑠+𝑛′

𝑠′= 0 → 𝑠′ =

𝑛′

𝑛𝑠

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 3. Óptica por refracción

ACTIVIDADES

10. Una superficie convexa separa dos medios de índices 1 y 1,6, respectivamente. Siun objeto que se encuentra a 40 𝑐𝑚 del vértice en el primer medio tiene suimagen en el segundo a 64 𝑐𝑚: i) ¿Cuál es el radio de curvatura de la superficie?; ii)¿Cuáles serían las distancias focales objeto e imagen de la superficie?; iii) Indicarlas características de la imagen de un objeto de 0,5 𝑐𝑚 de alto y determinar suaumento.Sol: i) 𝑅 = 12 𝑐𝑚; ii) 𝑓 = −20 𝑐𝑚; 𝑓′ = 32 𝑐𝑚; iii) 𝐴𝐿 = −1; 𝑦′ = −0,5 𝑐𝑚

11. Un extremo de una barra cilíndrica de vidrio (𝑛’ = 1,5), que se encuentra en elaire, está limitado por una superficie esférica de radio 2 𝑐𝑚. i) Calcúlese ladistancia imagen de un objeto de 1 𝑚𝑚 de altura situado a 8 𝑐𝑚 a la izquierda delvértice; ii) Determine las distancias focales de la superficie; iii) El tamaño de laimagen y sus características de la misma.Sol: i) 𝑠′ = 12 𝑐𝑚; ii) 𝑓 = –4 𝑐𝑚, 𝑓’ = 6 𝑐𝑚; iii) 𝑦’ = – 1 𝑚𝑚

12. ¿A qué profundidad real estaría una piedra del fondo de un río (índice derefracción 1,33) si la vemos como si se hallase a 40 𝑐𝑚 de la distancia con respectoa la superficie? Indique las características de la imagen.Sol: 𝑠 = – 53,2 𝑐𝑚

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 3. Óptica por refracción

3.3. Lentes delgadas

• Una lente es un sistema óptico centrado formado por dos superficies esféricasde los cuales una, por lo menos, acostumbra a ser esférico, y los medios externosque limitan la lente y tienen el mismo índice de refracción.

• Si el grosor de la lente es despreciable en comparación con los radios de curvaturade las caras que la forman, recibe el nombre de lente delgada.

• Desde el punto de vista óptico cada cara es una superficie de refracción.

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 3. Óptica por refracción

O

P

O’

P’

O”

P”s1

s1’

s2

e

s2’

nn’ n

Aplicando la ecuación del dioptrio esférico a cada una de las superficies y si n = 1:

−1

𝑠1+

𝑛′

𝑠1′=𝑛′ − 1

𝑟1−𝑛′

𝑠2+

1

𝑠2′=1 − 𝑛′

𝑟2

En las lentes delgadas, e 0 y, por tanto, s2 = s1’, sumando ambas expresiones:

−1

𝑠1+

1

𝑠2′= 𝑛′ − 1

1

𝑟1−

1

𝑟2→ −

1

𝑠+1

𝑠′= 𝑛′ − 1

1

𝑟1−

1

𝑟2

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 3. Óptica por refracción

Focos y distancias focales. Ecuación de Gauss

F

f

F’

f’

F’

f’

Lentes convergentes

Lentes divergentes

Distancias focales

1

𝑓= − 𝑛′ − 1

1

𝑟1−

1

𝑟2

1

𝑓′= 𝑛′ − 1

1

𝑟1−

1

𝑟2

f

Ecuación de Gauss de las lentes delgadas

−1

𝑠+1

𝑠′=

1

𝑓′

Potencia de una lente

𝑃 =1

𝑓′(𝑑𝑖𝑜𝑝𝑡𝑟í𝑎𝑠)

𝑓′ = −𝑓

F

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 3. Óptica por refracción

Aumento de una lente

F

f

F’

f’s s’

y

y’

መ𝜃መ𝜃

𝑡𝑔𝜃 =𝑦

−𝑠=−𝑦′

𝑠′

𝐴𝐿 =𝑦′

𝑦=𝑠′

𝑠

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 3. Óptica por refracción

Diagrama de rayos

Posición del objeto entre el infinito y 2 f

s>2f

F

F’

Real, invertida, menor tamaño

f

Posición del objeto a una distancia s = 2 f

s=2ff

F

F’

Real, invertida, igual tamaño

Posición del objeto a una distancia 2 f > s > f

2f>s>f

f

FF’

Real, invertida, mayor tamaño

Posición del objeto a una distancia s = f

s=f

fF

F’

No se forma imagen

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 3. Óptica por refracción

Posición del objeto a una distancia s < f de una lente convergente

s<f

f

FF’

Virtual, derecha y mayor tamaño

Objeto visto a través de lentes divergentes

s

fFF’

Virtual, derecha y menor tamaño

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 3. Óptica por refracción

ACTIVIDADES

13. En una lente biconvexa, cuando un objeto de 15 𝑚𝑚 de altura se sitúa a 5 𝑐𝑚 de lalente su imagen, real e invertida, aparece a 3,5 𝑐𝑚 detrás de la misma. Determinarla distancia focal, el aumento lateral, la potencia de la lente y el tamaño de laimagen. Realizar una diagrama de rayos.Sol: 𝑓′ = 2,06 𝑐𝑚; 𝐴𝐿 = −0,7; 𝑃 = 48,57 𝑑𝑝; 𝑦′ = −10,5 𝑚𝑚

14. Con una lente convergente, de un objeto real se obtiene también una imagentambién real, invertida y aumentada 4 veces. Al mover el objeto 3 𝑐𝑚 hacia lalente, la imagen obtenida es virtual, derecha y con el mismo aumento en valorabsoluto. Determina: i) La distancia focal imagen y la potencia de la lente; ii) Ladistancia del objeto a la lente en los dos casos; iii) Las respectivas distanciasimagen; iv) Las construcciones geométricas correspondientes.Sol: i) 𝑓’ = 6 𝑐𝑚; 𝑃 = 16,67 dp; ii) 𝑠 =– 7,5 𝑐𝑚 y 𝑠 =– 4’5 𝑐𝑚; iii) 𝑠’ = 30 𝑐𝑚 y𝑠’ =– 18 𝑐𝑚

15. Situamos un objeto de 2 𝑐𝑚 de altura a 15 𝑐𝑚 de una lente de 5 dioptrías: i)Dibuja un esquema de la posición del objeto, la lente y la imagen; ii) Calcula laposición de la imagen; iii) ¿Cuál es el aumento?Sol: i) 𝑓’ = 20 𝑐𝑚; ii) 𝑠’ = – 60 𝑐𝑚; iii) 𝐴𝐿 = 4, 𝑦’ = 8 𝑐𝑚

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 4. El ojo humano

Anatomía

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 4. El ojo humano

Defectos comunes

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 4. El ojo humano

Defectos comunes

Es un problema refractivo que se produce cuando el cristalino (la lente natural del ojo) pierde parte de su capacidad de enfoque debido al paso del tiempo.

La catarata es una opacidad de la lente natural (o cristalino) del ojo, que se encuentra detrás del iris y la pupila.

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 4. El ojo humano

Corrección de los defectos comunes

Miopía Hipermetropía Astigmatismo

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 5. Algunos instrumentos ópticos.

La lupa

Punto remoto

Punto próximo Años xp cm

10 7

20 10

30 14

40 22

50 40

60 200

Para un ojo sano está en el infinito

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 5. Algunos instrumentos ópticos.

Xp

y 𝜽y’

f

y 𝜽′

y’

Aumento angular de la lupa:

𝑀 =𝜃′

𝜃=

𝑦−𝑓𝑦

−𝑥𝑃

=𝑥𝑃𝑓

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 5. Algunos instrumentos ópticos.

Microscopio compuesto

objetivo

ocular

fobjetivo focular

objeto

Imagen objetivo

Imagen ocular

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 5. Algunos instrumentos ópticos.

Telescopio

𝜃 =−𝑦′

𝑓𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜

𝜃′ =−𝑦′

−𝑓𝑜𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

fobjetivo foculary

y’𝜽 𝜽′

𝑀 =𝜃′

𝜃= −

𝑓𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜

𝑓𝑜𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟Aumento angular

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ÓPTICA GEOMÉTRICA 5. Algunos instrumentos ópticos.

Cámara fotográfica