Física Computacional
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Arturo Martí, Inst. de Física, 2020
Física Computacional
(presentación 4)Arturo Martí
Instituto de Física
Facultad de Ciencias
2020
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Cálculo de integrales
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Regla trapezoidal
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Cómo funciona?
● Dividimos el intervalo (a,b) en N intervalitos● El ancho de cada intervalito h ~ (b-a)/N● El intervalito k → (a + (k-1) h, a + k h)● El área es●
● Cuando sumamos todo:
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Regla trapezoidal extendida
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Ejercicio
● Buscar trapezoidal.py● Escribir una integral definida● Implementar el programita para calcularla y
comparar con el resutado analítico
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Curioso;
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Regla de Simpson● En la regla trapezoidal aproximamos la
función por rectas en cada intervalo.● Podemos emplear polinomios de 2do orden:
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2 intervalitos → 3 puntos
● Los puntos están en X= -h, 0, h● El polinomio es Ax^2+Bx+C
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Reglo de Simpson extendida
● Sumando todo resulta (4/3, ⅔)● N par
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Cuál es el error que cometemos?
● Tenemos un error de redondeo● Pero el error importante es el error de
aproximación (aproximar una función por polinomio)
●
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Regla trapezoidal
● Desarrolando por Taylor:
●
●
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Después de varias cuentas
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En conclusión
● El método trapezoidal es de 1er orden en h y el error de aproximación es del orden de h²
● Hasta donde puedo reducir h?● Atención: el error de redondeo aumenta!● Postulamos → error de redondeo es C *
integral● Son del mismo orden si
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Integración de orden superior: Newton-Coates
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Idea: cuál es el máximo de puntos que puedo tomar?
● En general podría tomar tantos puntos como intervalos
● El orden sería N● Además: en lugar de tomar intervalos
equiespaciados tomamos intervalos separados en forma conveniente
● Cuadratura Gausiana → 2 N grados de libertad
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Vamos a buscar abscisas y pesos en forma conveniente para calcular:
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Dados N puntos xk bucamos una
función interpolante que pase por todos los puntos
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Si definimos un polinomio de grado N-1
El polinomio coincide con f en los puntos x_k (además es único):
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Sustituimos la función por la aproximación
Permuntando suma e integral vemos que se desacoplan, la parte de la integral no depende de
la función
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Cómo elegir los x_k?
● Lo bueno es que después que los encontremos sirve para cualquier función.
● Es más se puede hacer en un intervalo (-1,1) y luego mapear para un intervalo arbitrario (a,b)
●
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Se puede probar que los x_k coinciden con las raíces de P_n(x)
Los pesos resultan:
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● Función proporcionada gassxw.py
Mágico: con N=3 llegamos a resultados muy precisos!!!!!!!!!!!!
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A trabajar:
● Debye: capacidad calorífica de un sólido
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Período del oscilador no armónico
● V(x)=x², V(x)=x⁴
● T(a), a (0,2)● m=1
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●Derivadas
* relativamente simple* si conocemos la función es directo
*importancia en ODE y datos experimentales*muchos caminos para hacer lo mismo
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Cuál es el error?
Hay dos tipos: Redondeo y aproximaciónHaciendo Taylor y reordenando:
Aproximamos error relativo en la resta por 2C. Resulta el error total:
Derivamos respecto a h para minimizar:
Resulta:H ~ C^(1/2) ~ 10^-8Eps ~ C^(1/2) ~ 10^-8
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Diferencias centradas
Desarrollo de Taylor:
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En este caso el error es (redondeo más truncamiento):
H ~ C^(1/3) ~ 10^-5Eps ~ C^(2/3) ~ 10^-10
Diferenciando nuevamente:
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Problema 3
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Derivadas segundas
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Interpolación
● Significa hacer hipótesis sobre lo que no sabemos!
● Esta función:
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Dos pasos
● Encontrar una función interpolante● Evaluarla!
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Lo más simple de todo:
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Orden superior● Polinomio de grado N -1 por N puntos
Hay un algoritmo iterativo muy elegante●