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Física I

Apuntes de clase 6, 2018

módulo II

Turno H

Prof. Pedro Mendoza Zélis

Ondas

Estudiar ondas viajeras y estacionarias.

Ondas viajeras Ondas estacionarias

¿Qué es una onda? Al tirar una piedra a la superficie en reposo de un lago, se observa que del punto donde cayó la piedra se generan perturbaciones circulares que avanzan con velocidad finita

Las partículas del medio, al se

alcanzadas por la perturbación, son

desplazadas de su posición de

equilibrio y las fuerzas de

restauración tienden a volverlas a

su posición original.

DEFINICIÓN:

Las ondas mecánicas son perturbaciones (señales) que viajan, de un punto a otro de un medio material, con una velocidad característica, sin que exista un transporte neto de materia.

Las ondas transportan energía y cantidad de movimiento.

1) La perturbación se desplaza a velocidad constante.

2) No cambia de forma durante su desplazamiento (medio no disipativo).

3) No hay transporte neto de materia.

4) Transportan energía y cantidad de movimiento.

Clasificación de ondas

1) Según su naturaleza

2) Según la dirección de desplazamiento de las

partículas

3) Según su propagación

4) Según las dimensiones en que se propaguen

5) Según su periodicidad

1) según su naturaleza Ondas mecánicas: necesitan un medio elástico para propagarse (¿ejemplos?). Las partículas del medio son desplazadas de su posición de equilibrio y sufren fuerzas de restauración que tienden a volverlas a su posición inicial.

Ondas electromagnéticas: se propagan en el espacio sin necesidad de un medio. Las ondas electromagnétcias son producidas por las oscilaciones de los campos eléctricos y magnéticos.

Ondas gravitacionales: es una perturbación del espacio-tiempo producida por un cuerpo masivo acelerado. LIGO (9/2015) formado por dos detectores separados 3000km en Luisana-EEUU. Fusión de dos agujeros negros hace 1300 millones de años y de 29-36 masas solares.

Onda transversal: el desplazamiento de las partículas es perpendicular a la dirección de propagación de las ondas

2) Según la dirección de desplazamiento de las partículas

desplazamiento de las partículas

Propagación de la onda

Onda longitudinal: el desplazamiento de las partículas

está en la misma dirección en que se propaga la onda

desplazamiento de las partículas Propagación de la onda

3) Según su propagación

• Ondas viajeras

son todas aquellas ondas se

propagan libremente en el

espacio.

• Ondas estacionarias

son todas aquellas ondas

que no se propagan

libremente en el espacio.

4) Según las dimensiones en que se propaguen

Ondas bidimensionales o superficiales:

son ondas que se propagan en dos

dimensiones (olas superficie del agua).

Ondas tridimensionales: se propagan en

tres dimensiones (sonido).

Ondas unidimensionales:

son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dimensión del espacio (cuerda).

5) según su periodicidad

Ondas no periódicas: la perturbación que las

origina se da aisladamente (pulso).

Ondas periódicas: la perturbación local que

las origina se produce en ciclos repetitivos.

Ecuación de onda

)(),( vtxftxy vtxz

x

txy ),(

2

2

2

2

2

2)()()(),(

z

zf

x

z

z

zf

z

zf

xx

txy

2

2

2

2

2

2

2)()()(),(

z

zfv

t

z

z

zfv

z

zfv

tt

txy

t

z

z

zf

t

txy )(),(

1

x

z

vt

z

x

z

z

zf )(

z

zf

)(

z

zfv

)(

2

2

2

2

2

)(),(1

z

zf

t

txy

v

Ecuación de onda

2

2

2

2

2

2)()()(),(

z

zf

x

z

z

zf

z

zf

xx

txy

2

2

22

2),(1),(

t

txy

vx

txy

Ecuación diferencial, ecuación de ondas

2

2

2

2

2

)(),(1

z

zf

t

txy

v

Se perturba a una cuerda según

2)(1

3),(

vtxtxy

s

m5,0v

¿Es una onda?, ¿Es viajera o estacionaria?

¿Es longitudinal o transversal?

¿Es un pulso o es periódica?

¿En cuántas dimensiones se propaga?

¿Cuál es la dirección y sentido de propagación?

Ecuación de onda para una cuerda

x

y

dxx

T

xT

yT

´T

´x

T

´y

T ´ )sin´(sin´ TTTyy

Los ángulos

son pequeños

dxadmaFyyy

2

2

t

ya

y

2

2

2

2

t

y

Tx

y

2

2

22

2),(1),(

t

txy

vx

txy

Relacionado

con la velocidad

de la onda

Tv

x

)( dxxy

)(xy

0)cos´(cos´ TTTxx

x

y

tansin

x

txy

x

tdxxyTF

y

),(),(

dx

dm

),(),(

2

2

t

y

dx

x

txy

x

tdxxy

T

Velocidades de las ondas mecánicas Depende exclusivamente de las características elásticas

e inerciales del medio en que se propagan

Tv

CUERDA

Tensión

Densidad lineal

SÓLIDO

Módulo de Young

Yv

Densidad volumétrica

Bv

FLUIDO

Densidad volumétrica

Módulo de

compresibilidad

Ondas armónicas

0max

sin),( vtxkytxy

y

x

A = Ymax

l

Número de onda (k) ),(),( txytxy l

0max0max

)(sin)(sin l vtxkyvtxky

00

)(2)( l vtxkvtxk

l

2k

0max

sin),( vtxkytxy

m

m

radk

l

Unidades SI

y

xx lx

Período (τ): tiempo que le toma a una onda

completa pasar por un punto fijo ),(),( txytxy

0max0max

)(sin)(sin tvxkyvtxky

00

)(2)( tvxkvtxk

0max

sin),( vtxkytxy

s

Unidades SI

vvk

l

2

Frente de onda: Los puntos que poseen el mismo estado

de movimiento o vibran en fase definen una superficie que se

llama frente de onda.

La velocidad de propagación es perpendicular la frente de onda

Velocidad de una partícula

Desplazamiento de la partícula

0max

sin),( tkxytxy

Velocidad de la partícula

0max

cos ),(

),(

tkxy

t

txytxu

Aceleración de la partícula

0max

2sin

),(),(

tkxy

t

txutxa

FII-G27-2018 Ondas estacionarias

Reflexión en extremo fijo

La pulsación llega al extremo, ejerce una fuerza hacia arriba. El apoyo ejerce una fuerza igual y contraria sobre la pulsación que regresa en sentido contrario. La reflexión tiene el desplazamiento vertical invertido.

Reflexión en extremo libre

La pulsación llega al extremo, ejerce una fuerza hacia arriba. El apoyo ejerce una fuerza igual y contraria sobre la pulsación que regresa en sentido contrario. La reflexión tiene el mismo desplazamiento vertical.

Dos ondas gaussianas viajando en direcciones opuestas

)(),(2

vtxftxy

)(),(1

vtxftxy

Superposión de on de ondas

Efecto combinado de dos o más

ondas viajeras superpuestas en el

mismo medio

La amplitud de la onda resultante es la suma instantánea de las amplitudes de cada una de las ondas individuales con el signo correspondiente.

Se dice que las ondas interfieren.

),(),(),(

),(),(

21

21

txytxytxy

txytxy

Superposición de ondas

Interferencias

Constructiva y destructiva

Las interferencias pueden ser constructivas o destructivas. En la

primera las amplitudes se suman, a esto se conoce como ondas en

fase.

Si las ondas son destructivas se restan, pudiendo llegar a anularse,

aquí se dice que las ondas están en desfase.

tkxytxytkxytxy sin),(sin),(max2max1

tkxytxy cossin2),(max

Amplitud

No es una onda viajera, es una onda estacionaria

Ondas Estacionarias Dos ondas armónicas en direcciones opuestas con la

misma frecuencia y amplitud

Onda estacionaria

Su forma no se desplaza ni hacia la derecha ni

hacia a la izquierda.

Existen puntos para los cuales su elongación es

siempre cero: NODOS

Existen puntos para los cuales su elongación es

máxima: ANTINODOS O VIENTRES

NODOS

ttkxytxy 0cossin2),(max

0)( kxsen2

ln

k

nx

ANTINODOS O VIENTRES

ttytkxytxy cos2cossin2),(maxmax

1)( kxsen

4

122

12 l

n

k

nx

....2,1n

....2,1n

N A N A N A N A N

Cuerda con los extremos fijos

tkxytxy cossin2),(max

l

2k

f 2

Cond. de contorno

0),(),0( tLytyX=0 X=L

mkL

0kLsen

m

Lm

2l

m

m

vf

l

L

vmf

m2

1mff

m

....2,1m

L

Ondas estacionarias en una cuerda

L

vf

L

2

2

1

1

l

Modo fundamental o primer armónico

L

vf

L

22

2

2

l

Segundo armónico L

vf

L

23

3

2

3

3

l

Tercer armónico

L

vf

L

24

2

4

4

l

Cuarto armónico

m=1 m=2 m=3 m=4

Lm

m

2l

m

mL l

2M-ésimo armónico

21

l2

l

V N N

N

N

N N

N

N N N

N V V V V V V V V V

23

3l

42l

Cuerda con un extremo fijo y otro libre

tdx

txdy

Lx

0),(

Cond. de contorno

0),0( ty

X=0 X=L

tkxytxy cossin2),(max

0cos kL

2)12(

mkL

2)12(

2

l

mL

)12(

4

m

Lm

lL

vmf

m4

)12( m

m

vf

l

l

2k f 2

....2,1m

L

Ondas estacionarias en una cuerda

Modo fundamental o primer armónico Segundo armónico

Tercer armónico Cuarto armónico

M-ésimo armónico

m=2 m=3 m=4

L

vf

L

4

4

1

1

l

L

vf

L

43

3

4

2

2

l

L

vf

L

45

5

4

3

3

l

L

vf

L

47

7

4

4

4

l

)12(

4

m

Lm

l

41

l

43

2l

N N

N

N

N N

N

N N N

N V V V V V V

45

3l

474

l

m=1