FÍSICA I CUADERNO Nº 01 N PRIMERA UNIDAD f...

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I

LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA

FÍSICA I

CUADERNO Nº 01 PRIMERA UNIDAD

mgsen

mgcos

W

fr

N

CICLO:

III CICLO

E.A.P.:

INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL

DOCENTE:

Ms. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY

NUEVO CHIMBOTE – PERÚ

2 0 1 3



2

MAGNITUDES Y MEDICIONES

MAGNITUD.- Esto todo aquello susceptible a ser medido.

MEDIR.- consiste en comparar 2 cantidades, un objeto a medir con una unidad de medida patrón.

Ejemplo: para medir el largo del aula, comparamos con un metro patrón.

MEDICIONES.- las mediciones pueden ser de dos formas: directas e indirectas.

MEDIDAS DIRECTAS.- son aquellas que se obtienen al realizar las mediciones directamente de

de los instrumentos de medida.

MEDICIONES INDIRECTAS.- son aquellas que se obtienen al realizar las mediciones directas y el

uso de ecuaciones matemáticas.

Al realizar las mediciones se comente errores y puede ser:

ERRORES:

En la experimentación física, aunque se proceda con el mayor cuidado en el método, y se usen

instrumentos de máxima precisión, no pueden conseguirse medidas exactas de las diferentes

magnitudes, es decir, siempre se cometerán errores. Los errores cometidos en dichas medidas

pueden ser:

Error Absoluto.- Se denomina error absoluto de una medida aproximada, a la diferencia

existente entre el valor obtenido en la experiencia y el valor exacto. A partir de la realización de

un número n de medidas, se toma como valor exacto a la media aritmética de los valores

obtenidos. La fórmula del error absoluto es

aea

Donde: ea = error absoluto a = valor aproximado, y α = valor exacto.

Error Relativo.- Se define como el cociente entre el error absoluto, y el valor exacto.

a

r

ee

Este error relativo suele expresarse en forma de tanto por ciento, y se utiliza para establecer la

mayor o menor precisión de una determinada medida. El error relativo carece de dimensiones,

siendo su expresión numérica solamente una medida de la precisión.

Otra clasificación de los errores teniendo en cuenta las causas que lo originan, considera a los

errores sistemáticos y a los errores accidentales.

Errores sistemáticos,

Son los que en principio se pueden evitar, corregir o compensar. Se les llama sistemáticos

porque dan efectos consistentes, pues cuando están presentes se obtienen valores que son más

altos o más bajos que el valor verdadero.

Ejemplos: Defectos o falta de calibración de los instrumentos de medición, el error debido al

paralaje, etc.

MEDICIONES, ESTATICA Y CINEMATICA



3

Errores accidentales, son aquellos en cuyas causas pueden influenciar factores externos a la

realización de la experiencia, y que por consiguiente resultan más difícil de eliminar.

Se deben a la suma de gran número de perturbaciones individuales y fluctuantes que se

combinan para dar lugar a que la repetición de una misma medición de en cada ocasión un valor

algo distinto.

Ejemplos: Errores de apreciación, como por ejemplo, en la estimación de la fracción de la menor

división de una escala; errores que fluctúan, como por ejemplo, variaciones en la red de energía

eléctrica.

INCERTIDUMBRE ABSOLUTA (Δx)

Representa los límites de confianza dentro de los cuales se está seguro de que el valor

verdadero se encuentra en dicho intervalo

INCERTIDUMBRE RELATIVA (Ir)

Se define como el cociente de la incertidumbre absoluta y el valor medido y se expresa así:

0x

xI r

(1)

INCERTIDUMBRE PORCENTUAL (I%)

Es el índice que más comúnmente se usa para especificar la exactitud de una medida. Se define

como la incertidumbre relativa por 100% es decir:

%100% xII r (2)

INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS DIRECTAS:

Cuando se realiza una medición directa de una magnitud y no es posible repetir la medición, o

cuando al hacer una serie de lecturas se obtienen los mismos resultados para la magnitud, a la

lectura que se obtiene se le asocia generalmente una incertidumbre absoluta, igual a la división

más pequeña de la escala del instrumento.

Ejemplo: Al hacer una medición de longitud de un objeto con una regla graduada en milímetros y

se obtiene repetidamente la magnitud de 125 mm, entonces tomaremos como Δx = ± 1 mm.

Por lo tanto el resultado para la longitud será: (125 ± 1) mm.

Es decir la longitud verdadera del objeto se encontrará dentro del intervalo de 124 mm a 126 mm.

INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS:

Las mediciones que se realizan en la ciencia y en la ingeniería, la mayoría son indirectas y para

calcular la incertidumbre de una medida indirecta Z que depende de las variables x, y y w, se

emplea la siguiente ecuación:

Sea f = f (x,y,z), la incertidumbre experimental (absoluta) de Z es:

zz

fy

y

fx

x

ff

(3)



4

Como consecuencia de los errores aleatorios (errores accidentales), al hacer repeticiones de una

medida éstas en general resultan diferentes, y dado que no se conoce la medida verdadera,

surgen dos preguntas: ¿Cuál es el valor que se debe reportar?, ¿Qué incertidumbre es la que se

debe asociar al resultado?.

ALGUNOS INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN

Los instrumentos de medición en física experimental deben reunir las condiciones siguientes:

- EXACTITUD, de un aparato es la condición por la cual la medida que realiza coincide

puntualmente con la real.

- PRECISIÓN, es la mínima variación de magnitud que dicho aparato puede registrar. Por

ejemplo, una balanza de 0,01mg de precisión puede apreciar la cienmilésima parte de un

gramo.

- SENSIBILIDAD, es la condición referida al grado de magnitud que un aparato puede registrar.

Esta condición se relaciona con la precisión por razón inversa.

Entre algunos aparatos de precisión en física podemos mencionar los siguientes:

- El tornillo micrométrico se utiliza para medir longitudes, se halla calibrado de tal forma que

cada paso de rosca viene determinada por una longitud exacta.

- El palmer sirve para medir espesores, su fundamento es el tornillo micrométrico.

- El esferómetro también consiste en un tornillo micrométrico unido a un disco graduado, se

utiliza para medir el radio de una esfera.

- El nonius está constituido por una reglilla que se desliza sobre otra regla graduada, midiendo

longitudes.

- El calibrador se utiliza para medir diámetros de tubos y espesores.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y MÉTODO DEL REDONDEO

Toda medida de una magnitud X lleva asociado un error ΔX, por lo que la expresión habitual de

valores de las magnitudes experimentales o de aquellas que se han obtenido a partir de otras

medidas experimentalmente debería ser del tipo X ± ΔX. Muy a menudo, a fin de simplificar la

notación sin perder completamente la información sobre la precisión de los datos o resultados, se

omite ΔX a la vez que se escribe el valor de X con un número limitado de cifras: todas aquellas

que se consideran bien conocidas más una de cuyo valor no se está completamente seguro. A

éstas se las conoce como cifras significativas.

Ejemplo 1. Si la medida de la constante de Plank, h ha dado como resultado h=(6.62608x10-32

J),

no sería extraño ver tabulado el valor. Este dato debe entenderse como que el dato 8 es

impreciso. Quizá puede entenderse como que su valor está comprendido entre 6.62607x10-34

J y

6.62609x10-34

J y, pero no hay una única forma convenida. Es obvio que con esta notación se ha



5

perdido información sobre el error del dato: este ha sido el precio que se ha aceptado pagar por

simplificar la notación.

h (Js)

significado: está comprendido

expresión resultado entre y

rigurosa (6.626076 ± 0.000006)x10-34

6.626070x10-34

6.626082x10-34

con cifras significativas 6.62608x10-34

6.62607x10-34

6.62609x10

Cifras Significativas y Redondeo

1. Cualquier dígito diferente de cero es significativo.

1234.56 6 cifras significativas

2. Ceros entre dígitos distintos de cero son significativos.


3. Ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos.

000456 3 cifras significativas


4. Si el número es mayor que (1), todos los ceros a la derecha del punto decimal son

significativos.



5. Si el número es menor que uno, entonces únicamente los ceros que están al final del

número y entre los dígitos distintos de cero son significativos.


6. Para los números que contengan puntos decimales, los ceros que se arrastran pueden o

no pueden ser significativos. En este curso suponemos que los dígitos son significativos a

menos que se diga lo contrario.

1000 1, 2, 3, o 4 cifras significativas. Supondremos 4 en nuestros cálculos



7. Supondremos que cantidades definidas o contadas tienen un número ilimitado de cifras

significativas

NOTE: Es mucho más fácil contar y encontrar las cifras significativas si el número está

escrita en notación significativa.

Uso en cálculos

1. Suma y Sustracción: El número de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la

suma o la diferencia es determinada por el número con menos cifras significativas a la derecha

del punto decimal de cualquiera de los números originales.

6.2456 + 6.2 = 12.4456 redondeado a 12.4

nota: 3 cifras significativas en la respuesta



6

2. Multiplicación y División: El número de cifras significativas en el producto final o en el cociente

es determinado por el número original que tenga las cifras significativas más pequeño.

2.51 x 2.30 = 5.773 redondeada a 5.77

2.4 x 0.000673 = 0.0016152 redondeado a 0.0016

Redondeando

1. Aumente en uno al dígito que sigue a la última cifra significativa si el primer dígito es

menor que 5.

Redondear 1.61562 a 2 cifras significativas Rpt: 1.6

2. Si el primer dígito a truncar es mayor que cinco, incrementar el dígito precedente en 1.


3. Si el primer dígito a truncar es cinco y hay dígitos diferentes de cero después del cinco,

incrementa el dígito precedente en 1.



4. Si el primer dígito a truncar es cinco y hay únicamente ceros después del cinco, redondee

al número par.





7

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL

En este capitulo se dan los conocimiento básicos sobre vectores, porque su manejo se

hace indispensable en el estudio de los conceptos físicos como velocidad, fuerza,

cantidad de movimiento, etc.

Su asimilación le permitirá una comprensión más clara y genérica de un determinado

fenómeno y las leyes que lo gobiernan.

El tratamiento vectorial en el estudio de un fenómeno físico ofrece entre otras las

siguientes ventajas:

- Simplificación de procedimientos y sintetización de las expresiones matemáticas.

- Visualización de las relaciones entre las magnitudes físicas de carácter direccional y

su variación en el tiempo.

1.1. Vector:

Es una cantidad que tiene módulo o magnitud, dirección y sentido. Su

representación geométrica es un segmento de recta con flecha en un extremo. El

MÓDULO del vector está dado por la longitud del segmento medio a escala; la

DIRECCIÓN es la inclinación del vector respecto a un marco de referencia tal como

un sistema de coordenadas cartesianas. Se utilizan uno o dos ángulos para

especificar la dirección del vector según se encuentre en el plano o en el espacio. El

SENTIDO queda establecido por la flecha.

En figura, 0 es el origen del vector, A su extremo y la recta L su línea de acción, es

el ángulo que especifíca la dirección y se mide convencionalmente en sentido

antihorario empezando del lado positivo del eje X, luego Y, finalmente Z. El carácter

convencional de la dirección permite referirlo a cualquiera de los semiejes

rectangulares, inclusive puede referirse a otro vector.

Fig. Nº 01

1.2. Notación de Vector

Se utilizan diversas notaciones para escribir los vectores así por ejemplo el vector de

la figura 1, puede escribirse de la siguiente manera a

, AO

. De igual manera su

módulo se representa por: a

, AO

.

Un vector en coordenadas cartesianas queda definido por dos puntos uno de los

cuales es el origen y el otro su extremo. Si el origen del vector coincide con el origen

a

X

A



8

de coordenadas, un par ordenado representa un vector en el plano y una terna

ordenada un vector en el espacio.

Vector en el plano : yx aaa ,

Vector en el espacio : zyx aaaa ,,

(1)

Donde zyx aaa ,, se denominan componentes cartesianos del vector.

1.3. Vector Unitario

Es el vector cuyo módulo es igual a la unidad. u

es unitario si u

= 1

En cualquier dirección siempre es posible encontrar un vector unitario. Así en la fig.

2, se representan los vectores unitarios 321 ,, uuu

en las direcciones L1, L2, L3

respectivamente.

En el plano cartesiano los vectores unitarios se representan por: jyi

, cuyas

representaciones en forma de pares ordenados son:

i

= (1,0) j

= (0,1) (2)

Y en el espacio tridimensional los vectores unitarios en las direcciones de los ejes

son kyji

, o en forma de ternas ordenadas:

i

= (1,0,0) j

= (0,1,0) k

= (0,0,1)

Fig. Nº 03

Como se puede observar, los vectores unitarios kyji

, apuntan en la dirección

positiva de los semiejes coordenadas y por tanto son mutuamente perpendiculares

entre sí.

En el plano

y

x

j

i

k

z

x j

i

y

En el espacio

3u

2u

1u

0

L3 L1

L2

Fig. Nº 02.



9

Para encontrar el vector unitario en la dirección de un vector basta dividir éste vector

entre su módulo:

r

ru

(3)

urr

Lo cual significa que todo vector es igual a su módulo por el vector unitario en su dirección.

También que los vectores uyr

son paralelos.

1.4. Vector posición

Es el vector r

que tiene por origen de coordenadas rectangulares y como extremo

un punto P arbitrario de coordenadas X, Y, Z. ver fig. 4.

1.5. Expresión de un vector conociendo las coordenadas de su origen y extremo

Sea A

el vector que tiene como origen el punto P1 y como extremo el punto P2,

entonces se tiene que La expresión cartesiana de un vector se considera restando

las coordenadas de extremo final menos el de su origen y escribiendo los vectores

unitarios correspondientes:

12 rrA

(6)

kzzjyyixxA

121212 (7)

Luego el módulo del vector es igual a la distancia entre los puntos P1 y P2:

212

2

12

2

12 zzyyxxA

(8)

La posición de una partícula en movimiento, se puede describir en cualquier instante por el vector de posición que va del origen a la partícula.

Las coordenadas del punto son exactamente las

componentes rectangulares de r

:

kzjyixr

(4)

222 zyxr (5)

P(x,y,z)

r

0

z

x

y

P2(x2,y2,z2)

2r

P1(x1,y1,z1)

1r

0

Z

X

Y

Dados los puntos P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2), sus respectivos vectores de posición son:

kzjyixr

1111

kzjyixr

2222



10

Encontrar:

a) La expresión del vector M

de módulo 10 unidades que está en la diagonal BE con origen en B.

b) La expresión del vector N

de módulo

5 unidades que está en la diagonal CA con origen en C.

Ejemplo:

Las dimensiones del paralelepípedo son 4,5 y 3 unidades.

Solución:

Las coordenadas de los vértices y los vectores son

C(0,0,3) D(4,5,0) A(4,0,0) B(0,5,0)

kjir

3541 jir

541

a) El vector unitario de M

es también vector unitario de:

25

354 kji

r

ruM

Entonces el kjiuM M

23252410

b) El vector unitario de N

es también vector unitario de

jiji

r

ruN

781.0625.0

41

54

Entonces el jijiuN N

90.312.3

41

25

41

205

1.6. Producto Escalar

Dado los vectores A

y B

su producto escalar o producto interno simbolizado por

BA , se define como: cosABBA

(9)

Donde es el ángulo entre los vectores, siendo 0 . Se debe tener presente

que el producto escalar de BA es una cantidad escalar y no un vector.

Condición de perpendicularidad: en la ecuación 9, si =90º, entonces BA =0.

Esto se expresa diciendo que si dos vectores son perpendiculares, su producto

escalar es cero, además si ninguno de los vectores es nulo, se cumple la

bicondición:

0 BABA

Condición de paralelismo; en la misma ecuación de definición vemos que si =0º,

los vectores están superpuestos, por lo que BA

// y al efectuar el producto escalar

resulta:

D

C

B

A N

M

0

z

x

y



11

ABBA

, donde si dos vectores son paralelos, su producto escalar es igual al producto

de sus módulos.

Producto escalar de los vectores unitarios

Aplicando la definición de producto escalar tenemos:

10cos11 ii

090cos11 ij

090cos11 ik

090cos11 ji

10cos11 jj

090cos11 jk

090cos11 ki

090cos11 kj

10cos11 kk

Producto escalar de dos vectores cualesquiera:

Sean los vectores: kAjAiAA zyx

y kBjBiBB zyx

el producto escalar se efectúa como si se tratara de la multiplicación de dos

polinomios:

)).((. kBjBiBkAjAiABA zyxzyx

Para facilitar los cálculos de cada paso, debe tenerse en cuenta los resultados del

producto vectorial de los vectores unitarios:

)(. zzyyxx BABABABA

1.7. Producto Vectorial

Dado los vectores A

y B

, su producto vectorial se simboliza por BxA

, es otro

vector definido por:

uABsenBxA

(10)

o ABsenBxA

Donde es el ángulo entre los vectores, siendo 0 . El vector BxA

es

perpendicular al plano determinado por A

y B

, su dirección indicada por el vector unitario u

apunta en la forma que avanzaría un tornillo de rosca derecha al ser

rotado de A

hacia B

describiendo el ángulo

BxA

B

A



12

Producto vectorial de los vectores unitarios:

Aplicando la definición de producto vectorial

0011 senixi

kksenixj

)(9011 jjsenixk

)(9011

kksenjxi

9011 0011 senjxj

iisenjxk

)(9011

jjsenkxi

)(9011 iisenkxj

)(9011 011 senkxk

Producto vectorial de dos vectores cualesquiera:

Sean los vectores: kAjAiAA zyx

y kBjBiBB zyx

el producto vectorial se efectúa como si se tratara de la multiplicación de dos

polinomios.

BxA

)( kAjAiA zyx

x )( kBjBiB zyx

Para facilitar los cálculos de cada paso, debe tenerse en cuenta los resultados del

producto vectorial de los vectores unitarios

kBABAjBABAiBABABxA xyyxzxxzyzzy

)()()(

éste mismo resultado se puede obtener resolviendo un determinante de tercer orden cuya primera fila está formada por los vectores unitarios, la segunda fila por las

componentes escalares del vector A

y la tercera fila por las componentes escalares

del vector B

:

yx

yx

zx

zx

zy

zy

zxx

zyx BB

AAk

BB

AAj

BB

AAi

BBB

AAA

kji

BxA

kBABAjBABAiBABA xyyxzxxzyzzy

)()()(



13

La estática es la parte de la Mecánica que estudia el equilibrio de los cuerpos.

1.8. FUERZA Es el resultado de la interacción de por lo menos 2 o más cuerpos.

Unidad: la fuerza se mide en Newton (N)

1kg-f = 9,81N

La idea intuitiva de fuerza la tenemos al observar los siguientes hechos:

- Cuando tiramos de una cuerda atada a un cuerpo, decimos que estamos

haciendo fuerza.

- Cuando empujamos un automóvil para ponerlo en movimiento, sentimos la

sensación de haber ejercido una fuerza.

- Al estirar o comprimir un resorte decimos que estamos empleando una fuerza.

Es decir que, en la actividad de nuestra vida diaria a menudo empleamos y vemos

actuar fuerzas en forma espontánea, observando que la fuerza es causa del

movimiento, del equilibrio, deformación de cuerpos, etc.

Un sistema de fuerzas puede sustituirse por su resultante, la misma que se

representa por una fuerza única como es el caso de las fuerzas concurrentes o

por una fuerza y un par en el caso de fuerzas no concurrentes. En todos los casos

la resultante debe ser capaz de producir el mismo efecto mecánico sobre el

cuerpo, que el que produce el conjunto de fuerzas dadas.

A. Fuerzas concurrentes: son aquellas fuerzas que pasan por un mismo punto

ya sean entrantes o salientes

4321 FFFFFR

B. Fuerzas no concurrentes: son aquellas fuerzas que pasan por un mismo

punto y pueden ser paralelas.

Representación Vectorial de Fuerza ( F

), la fuerza está representado

vectorialmente mediante:

uFF

, donde: F

: vector fuerza, F : módulo de fuerza y u

: vector unitario

4F

3F

2F

1F

E S T Á T I C A

3F

2F

1F



14

1.9. DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE

El diagrama del cuerpo libre consiste en ubicar todas las fuerzas que intervienen

en el sistema y hacer las proyecciones de éstas en sus ejes de coordenadas.



15

Ejercicios

1. Dos cables están unidos en C y cargados tal como se indica en la figura. Determinar

la tensión en AC y BC.

Solución

Por la ley de los senos: )4090()4090()4020(

12

sen

T

sen

T

sen

W

Entonces: T1 = 325.5N y T2= 265.4N

20º 40º B A

C

300N

W

2T

1T

40º

20º



16

2. El ángulo entre el tirante AB y el mástil es de 20º. Si se sabe que la tensión

TAB

=300N. Determinar:

a) Los componentes x, y, z de la fuerza ejercida sobre el punto B.

b) Los ángulos θx, θ

y, θ

z que definen la dirección de la fuerza ejercida en B

Solución:

?ABT

kTjTiTT zyxAB

Tx = -Tsen20ºcos40º Tx = -78.6N

Ty = Tcos20º Ty = 281.9N

Tz = -Tsen20ºsen40º Tz = -66N

= ?

300

6.78coscos

xxx TT º2.105x

300

9.281coscos yyy TT º0.20y

300

66coscos

zzz TT º7.102z

0 C

B

A

20º

40º 40º

Z

Y

X

0 C

B

A

20º

40º

40º Z

Y

X



17

3. Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 450N, calcular las componentes de la fuerza que se

ejerce sobre la placa en A.

Solución:

El ángulo BÁD (B´s la proyección vertical del punto B sobre el eje Z).

se calcula a partir del triángulo rectángulo BBÁ, recto en B´.

BB´=4m

mDADBAB 06.847´´2222

mABBBAB 906.84´´2222

Si llamamos =ángulo BÁB, su coseno respectivo es:

8955.09

06.8ćos

AB

AB

Si =ángulo B´DA

868.006.8

7

´

´0

AB

Bsen

496.006.8

4

´

0cos

AB

A

Según estos cálculos previos TAB será:

NTTx 200coscos

NTsenTy 200

NsenTTz 350cos

D

C

B

A

2m

7m

9m

4m

4m Z

Y

X

D

C

B

A

2m

7m

9m

4m

4m Z

Y

X



18

1.10. SISTEMA DE FUERZAS

1.11. TORQUE (

)

La experiencia diaria nos muestra que la capacidad de la fuerza para producir

rotación no sólo depende de dicha fuerza sino también de la ubicación de su

punto de aplicación con respecto al eje de rotación.

Se denomina TORQUE o MOMENTO DE FUERZA a la medida de la efectividad

para producir rotación. El momento o torque es un movimiento de rotación, que

es producida por una fuerza al ser aplicada a una cierta distancia de un punto fijo.

Como la rotación tiene sentido, el momento es una cantidad vectorial.

zyx

zyx

FFF

rrr

kji

Fxr

Ejercicios

1. En la siguiente figura se tienen tres fuerzas situadas en las diagonales de un

paralelepípedo, cuyo módulo es 180N. Calcular los torques de cada una de las

fuerzas con respecto al origen. Si los lados de las aristas son 3, 6 y 4m.

Solución:

a) Fuerza de la diagonal EB. Las coordenadas de los vértices son E(0,0,4) y

B(3,6,0)

La posición de la fuerza es: kjirEB

463

Fxr

: donde

torque o momento de fuerza (mN)

r

= vector posición respecto al eje de

movimiento (m)

F

= fuerza aplicada (N)

0

F

E

C

B A X

Z

Y

r

b

F



19

kjikjikji

r

ru

EB

EBEB

512.0768.0384.0

81.7

463

16369

463

kjiuFF EBEBEB

512.0768.0384.0180.

El vector fuerza : kjiFEB

16.9224.13812.69

El vector posición : kr E

40

Entonces el torque será :

16.9224.13812.69

40001

kji

Fxr EBE

24.13812.69

00

16.9212.69

40

16.9224.138

40kji

ji

48.27696.5521

1.12. CONDICIONES DE EQUILIBRIO

Para un cuerpo se encuentre en equilibrio se debe cumplir:

Primera Condición: La suma de todas las fuerzas que actúan en el sistema debe

ser igual a cero.

3

1i

iF

Es decir:

3

1i

iF

Segunda Condición: La suma de todos los torque o momento que actúan en el

sistema debe ser igual a cero.

03

1

i

i

Es decir 03

1

i

i

0xF

0yF

0zF

0x

0y

0z



20

1.13. CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA

En términos generales, un cuerpo está constituido por un gran número de

partículas, cada una de las cuales es atraída por la gravedad terrestre. Esta fuerza

de gravedad es el peso del cuerpo: W = mg.

Las fuerzas o pesos Wi que actúan en las partículas están dirigidas hacia el centro

de la tierra debiendo converger allí sin embargo por estar este punto muy distante

permite considerar a las pequeñas fuerzas como paralelas. La resultante

iWW de estas fuerzas paralelas es el peso del cuerpo y el centro de dichas

fuerzas paralelas es el centro de gravedad o punto de aplicación de la fuerza

peso.

w

wxx

ii

c

w

wyy

ii

c

w

wzz

ii

c

El centro de masa (c.m.) de un cuerpo es el punto donde se supone concentrada

toda su masa. El centro de gravedad coincide con el centro de masa si el

considera g constante.

Para hallar el centro de masa, hacemos uso de las ecuaciones kjlajkdflkjda en las

remplazamos wi = mg, obteniendo:

m

mxx

ii

c

m

myy

ii

c

m

mzz

ii

c

Ejercicios

Hallar el centro de gravedad del alambre curvado que se muestra en la figura. Las

dimensiones se dan en cm.

L3

L2

L1

30º 53º

40

Y

X

25 25



21

Solución.

Llamemos L1 y L3 las partes rectas y L2 a la semicircunferencia

cmseny

cmxcmL

16º5320

12º53cos2040

1

1

1

cmseny

cmxcmL

48/)25(2º5340

4925º53cos405.7825

2

2

2

cmseny

cmxcm

sen

senL

16º5320

7.101º30cos2

6450º53cos40

64º30

º5340

3

33

cmLLL

xLxLxLxc 37.59

321

332211

cmLLL

yLyLyLyc 76.29

321

332211

cg (59.37,29.76)



22

1.14. CINEMÁTICA

Estudia el movimiento de partículas sin dimensiones sin preocuparnos de cuales son las

causas que provocan esos movimientos.

Punto: Es un modelo físico. Se refiere a un elemento de volumen despreciable (se

considerará sin volumen) situado en el espacio (en 3D).

Posición: Llamamos posición de un punto a su localización con respecto a un sistema de

referencia (lo que en física se llama “observador”).

Tiempo: Llamamos tiempo al continuo transcurrido entre dos instantes.

Partícula puntual: Es un modelo físico. Se refiere a un elemento de tamaño diferencial

(muy pequeño) y masa concentrada en su posición.

1.15. SISTEMA DE REFERENCIA

Es aquel sistema coordenado con respecto al cual se da la posición de los puntos y el

tiempo. Un sistema de referencia contiene fijo a él un sistema de coordenadas en cuyo

origen se supone ubicado el observador

SISTEMAS DE COORDENADAS

a) Coordenadas Cartesianas

b) Coordenadas Polares

Y

P(x,y,z)

k

Z

X

j

i

Y

P(x,y,z)

k

Z

X

j

i

x = x y = y z = z

x = r cos

y = r cos

z = r cos

Y

P(r,,,) Z

X



23

c) Coordenadas Cilíndricas

d) Coordenadas Esféricas

Desplazamiento y Trayectoria La trayectoria depende del Sistema de Referencia

escogido.

Para describir cinemáticamente el movimiento de una partícula es necesario conocer su

posición en cualquier instante. Por tanto, es un problema estrechamente relacionado con

las nociones de tiempo y espacio.

Para situar la posición de una partícula se suele elegir un sistema de referencia formado

por tres ejes perpendiculares entre sí, x,y,z, y dibujar un vector que tenga como origen el

sistema de referencia y como extremo la posición de la partícula en cada instante. Si en

lugar de trabajar en tres dimensiones trabajamos en un plano sólo sería un sistema de

referencia x,y.

Se denomina Trayectoria al camino seguido por el móvil en su movimiento. Es escalar

El espacio (S) que recorre un cuerpo en su movimiento se define como la longitud de la

trayectoria recorrida y es también un escalar. Se mide en metros

x = cos

y = r sen z = z

x = r sen cos

y = r sen sen

z = r cos

P(r,,,) z

y

x

P(r,,)

y

z

x

X

Y

Desplazamiento

Trayectoria

Los vectores de posición determinan las diferentes

posiciones del movimiento, y podemos llamarlos y 1r

y

2r

si consideramos las posiciones como posición 1 y

posición 2.

12 rrr

mide la variación de posición

(incremento) es decir la diferencia entre la posición

final y la inicial y determina el desplazamiento del móvil



24

El vector 12 rrr

(posición final menos posición inicial) se denomina vector

desplazamiento.

Su módulo representa la distancia entre dos posiciones que ocupa el cuerpo durante el

movimiento.

El vector kzjyixr

definido en cada punto se denomina vector de posición. Vector

de posición es el vector que une el origen del sistema de referencia con la posición

en que se encuentra el cuerpo en cada momento.

La partícula se mueve variando de posición con el tiempo, por lo tanto el vector de

posición es una función del tiempo trr

. Conocer tr

es conocer el movimiento

desde un punto de vista cinemático.

El desplazamiento de un cuerpo que se mueve no tiene por que coincidir con la distancia

recorrida Δs sobre la trayectoria. Esta es siempre mayor y sólo se igualan cuando el

movimiento es rectilíneo. El módulo del vector desplazamiento en un movimiento

rectilíneo es igual al espacio recorrido según la trayectoria.

Pero el desplazamiento y la trayectoria no sólo coinciden cuando el movimiento es

rectilíneo sino también cuando estudiamos desplazamientos muy pequeñitos,

infinitesimales o diferenciales:

Velocidad

La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en

función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por

tanto son: m/s, cm/s o Km / h, etc.

Supongamos que cierto punto P se traslada en un intervalo de tiempo Δt desde el punto 1 hasta el

punto 2, caracterizados por los vectores de posición 1r

y 2r

:

Se define vector desplazamiento como la distancia entre dos puntos inicial y final del recorrido. Se calcula restando los vectores de posición final e inicial. Se mide en metros

El desplazamiento es el vector que une dos puntos de la trayectoria del móvil (recta que une dos posiciones de su movimiento, en el sentido de su movimiento) por lo tanto es una magnitud vectorial mientras que la trayectoria describe el camino seguido por el móvil en su movimiento, que puede ser rectilíneo, circular, en zig-zag, ondulatorio, oscilatorio, por lo que la trayectoria no es una magnitud vectorial.

El movimiento de cualquier móvil queda perfectamente determinado si se conoce como varían las componentes del vector

desplazamiento en función del tiempo

dSrd

Trayectoria

Se define velocidad media como el cambio de posición de un cuerpo en un intervalo de tiempo:

12

12

tt

rr

t

rvm

2r

1r

Desplazamiento 12 rrr

X

Y

Trayectoria



25

La dirección y sentido de la velocidad media coincide con r

(vector desplazamiento).

Puesto que el cociente entre un vector y un número da siempre otro vector está

claro que la velocidad va a ser un vector.

En ocasiones también se puede calcular la velocidad media respecto de la trayectoria S

entre dos posiciones inicial y final (es decir también en un intervalo) es lo que en algunos

libros se llama celeridad o rapidez aunque es preferible llamarlo velocidad media respecto

de la trayectoria. En este caso es un escalar.

Rapidez: espacio recorrido por intervalo de tiempo:

12

12

tt

ss

t

Svm

La Velocidad Instantánea se define como la velocidad que lleva un móvil en un

instante de tiempo determinado.

Pero ¿como podemos obtener la velocidad de un móvil en un instante?. Esto a simple

vista es bastante difícil ya que equivaldría a hacer una "foto" al móvil en un instante y

obtener de alguna manera su velocidad, se trataría de obtener cambios instantáneos de

posición y el tiempo que tardó en estos cambios instantáneos (un instante) prácticamente

imposible de medir de forma directa.

Debemos recurrir a aproximaciones si queremos saber la velocidad de un móvil en un

punto determinado, el truco consiste en ir tomando puntos cada vez más próximos a aquel

cuya velocidad queremos medir, calculando cada vez la velocidad media entre esos

puntos, al irnos acercando cada vez más al punto que queremos medir, el intervalo en que

calculamos la velocidad media es cada vez más pequeño, con lo que las variaciones se

convierten en diferenciales. La operación que estamos haciendo es una derivada.

Este vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria y su sentido es el del

movimiento.

Si tenemos en cuenta que tanto Δr como Δt están ligados al camino recorrido ΔS, y que

cuando el cambio es diferencial el módulo (valor numérico) de dr es igual que dS la

expresión de la velocidad puede desarrollarse en la forma siguiente:

Por supuesto en módulo:

dt

dS

dt

rdv

Conociendo el vector de posición en función del tiempo ¿se puede saber la trayectoria del

móvil y la ecuación del movimiento, S en función de t?. Y ¿conociendo la ecuación del

La velocidad instantánea es el cambio de posición de un cuerpo en movimiento en cada instante.

dt

rd

t

rv

rm

0lim

Desplazamiento = dr en un tiempo dt

X

Y

Trayectoria



26

movimiento se puede determinar la trayectoria y el vector de posición en función del

tiempo?.

Puesto que la velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto,

cuyo sentido es el del movimiento, a partir de ella se podría obtener un vector unitario

tangente a la trayectoria en cada punto y según el sentido del movimiento, que nos

puede ser de mucha utilidad.

Aceleración

Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo. Sus

unidades por tanto serán m/s2

o Km/h2

etc.

Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay

aceleración.

Como el cociente de un vector entre un número es siempre otro vector está claro

que la aceleración es una magnitud vectorial.

Igual que hacíamos con la velocidad se pueden considerar dos tipos de aceleración según

estudiemos el movimiento en un intervalo o en un punto.

Para conocer la aceleración en cada instante, necesitamos conocer intervalos de tiempo

Δt cada vez más pequeños.

CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO a) Según la trayectoria

Rectilíneos: cuándo su trayectoria es una línea recta.

Curvilíneos: cuándo su trayectoria es curva. Dentro de estos se encuentran

movimientos tan importantes como: circular, elíptico, parabólico, ondulatorio

b) Según el módulo de la velocidad

Movimiento Uniforme: cuando al transcurrir el tiempo la velocidad no cambian.

Movimiento Uniformemente Variado: cuando la velocidad cambia al transcurrir

el tiempo. Este cambio es constante. Puede ser acelerado (aceleración positiva) y

retardado (aceleración negativa).

La aceleración media estudia el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo. Es un vector con la misma dirección y sentido que el vector resultante de restar la velocidad inicial y final vectorialmente, en cierto Δt se define como:

12

12

tt

vv

t

va

Se trata por tanto de una magnitud vectorial

con la dirección y sentido de v

1v

1v

2v

2v

12 vvv

y en esa misma

dirección y sentido de sale ma

X

Y



27

1.16. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

Como la trayectoria es recta, la velocidad no cambia en ningún momento de dirección y no

hay aceleración normal.

Como es un movimiento uniforme la velocidad no cambia de valor (módulo) por lo que

tampoco existe aceleración tangencial.

Luego este movimiento no tiene aceleración.

Al ser la trayectoria rectilínea el desplazamiento (r) y la trayectoria (S) coinciden.

Como la velocidad es constante la velocidad media y la instantánea coinciden.

t

xx

t

x

dt

dS

dt

rdv 0

Despejando 0xxvt , luego vtxx 0

Las gráficas del MRU son los siguientes:

vtxx 0 ; donde la pendiente es la velocidad

1.17. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

Al ser un movimiento rectilíneo no tiene aceleración normal, pero la velocidad va

cambiando en módulo (aceleramos o frenamos) y por lo tanto hay aceleración tangencial.

El ritmo de cambio de la velocidad es constante, la velocidad varía proporcionalmente al

tiempo (a doble tiempo doble velocidad etc.)

Por lo que la aceleración es constante en módulo.

Además de ser constante el módulo de la aceleración, también es constante su dirección y

el sentido, ya que el movimiento es rectilíneo.

Como la aT

es constante y la única de este movimiento, la aceleración tangencial coincide

con la aceleración media del movimiento ya que si la aceleración es constante es la misma

en un punto que en un intervalo.

t

vv

t

v

dt

vda 0

Como la trayectoria es rectilínea el desplazamiento y la trayectoria coinciden.

La ecuación del espacio también se puede obtener del área de la gráfica velocidad frente

a tiempo igual que en el movimiento anterior.

x0 t(s)

x(m)

v0

t(s)

v(m/s)



28

Ecuación del movimiento uniformemente acelerado:

2

02

1attvx , si hay espacio inicial S0 se añade

Derivando se obtiene la velocidad: dt

dsv atvv 0 axvv f 22

0

2

Ejemplos:

1) La aceleración de una partícula que se mueve en el eje x está dado por la ecuación

tta 168 3 . Suponiendo que la partícula parte del reposo en el origen. Calcular:

a) La velocidad instantánea en función del tiempo

b) El desplazamiento en función del tiempo

c) El valor máximo del desplazamiento para t > 0

d) El valor máximo de la velocidad para t > 0

Solución

a) tv

adtdv00

t

dtttv0

3 168 =24 82 tt

24 82 ttv ; m/s

b) tx

vdtdx00

t

ttx0

24 82 3

8

5

2 35 ttx

;m

c) Xmáx.=?

Xmáx. si 0dt

dx

082 24 tt 0422 tt

02 t 042 t

d) Vmáx.=?

Vmáx. si 0dt

dv

0168 3 tt

022 tt

0t 2t

24

2822 máxv 8máxv ; m/s

2t



29

2) Un móvil parte del reposo y durante 10s varía su velocidad a razón de 1.2m/s en cada

segundo. Después se mueve con velocidad constante durante 1min y por último

desacelera a razón de 2.4m/s hasta que se detiene. Calcular la distancia total

recorrida.

Solución:

Hay tres tramos: la velocidad Vf del 1er

tramo es la velocidad cte del 2do

tramo y esta es la velocidad V0 del 3

er

1er

Tramo

V1 = 0 2

012

1attvx

t = 10s mxx 60)10)(2.1(2

1 2

1

a = 1.2m/s2 atvv 0

smvv /12)10)(2.1(0

2do

Tramo

V0 =V = 12m/s vtx 2

a = 0 mxx 720)60)(12(2

t = 1min=60s

3

er Tramo

V0 =12m/s 3

2

0

2 2axvv

a = -2.4m/s2 mx

a

vvx 30

)4.2(2

)12()0(

23

222

0

2

3

vf = 0

mxxxxx TT 810321

X2 X1 X3

V=0 V0



30

3) El movimiento de una partícula en el plano YZ está dado por las ecuaciones ay=3sent,

az=2cost. Si t=0 cuando y=0, z=2, vy=0, vz=5. Encontrar la ecuación de la trayectoria

de la partícula.

Solución:

ay=3sent donde sentdt

dvy3 ; integrando

tv

y sentdtdvy

003

0coscos3cos30

ttvt

y

3cos3 tvy

3cos3 tdt

dyvy

tv

y dttdvy

003cos3

tsenty 33

az= 2cost donde tdt

dvz cos3 ; integrando

tv

z tdtdvz

05cos2

sentsentvt

z 2250

52 sentvz

52 sentdt

dzvz

dtsentdztz

02

52

tt

ttz00

5cos22

45cos2 ttz



31

1.18. CAÍDA LIBRE Tenemos dos movimientos, el debido a nuestro lanzamiento (hacia arriba o hacia abajo) y el de la gravedad que tira del cuerpo hacia abajo. Vamos a ver los vectores de posición que se obtienen cuando el tiro es hacia arriba y cuando es hacia abajo:

1.19. LANZAMIENTO DE PROYECTILES La velocidad de lanzamiento es horizontal, el cuerpo queda sometido a dos movimientos simultáneos:

1) SOBRE EL EJE X: (MRU) un movimiento horizontal rectilíneo y uniforme debido a la velocidad de lanzamiento, ninguna aceleración actúa horizontalmente, este es el MOVIMIENTO DE AVANCE (si no hubiera ninguna otra acción sobre el cuerpo este seguiría indefinidamente

en línea recta).

2) SOBRE EL EJE Y: (MRUA) un movimiento vertical rectilíneo y hacia abajo, sin velocidad inicial porque la velocidad inicial es horizontal y uniformemente acelerado (aceleración de

la gravedad) debido a la atracción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo haciéndolo caer, MOVIMIENTO DE CAÍDA.

El resultado de ambos movimientos actuando a la vez da lugar a la trayectoria curvilínea que sigue el cuerpo.

Vectorialmente la aceleración de la gravedad queda: jg

8.9 ;m/s2

con el sistema de referencia que hemos tomado. El cuerpo sube siendo frenado por la atracción gravitatoria terrestre que acaba por pararle y le hace caer. En todo momento la gravedad actúa hacia abajo y es la velocidad la que cambia de sentido (primero sube y luego baja). Como la aceleración de la gravedad es un valor constante estamos con un movimiento uniformemente acelerado y su ecuación de movimiento

es : 2

02

1. attvs

Como la trayectoria es rectilínea el valor del desplazamiento y el espacio recorrido coinciden por lo que el vector de posición del móvil en cada instante es:

mjgttvhr ;)2

1.( 2

00

y la velocidad se saca derivando: jgtvv

)( 0 ;m/s

En este caso la velocidad inicial tiene diferente sentido y por lo tanto diferente signo:

mjgttvhr ;)2

1.( 2

00

y la velocidad se saca derivando: jgtvv

0;m/s

La gravedad acelera en todo momento al movimiento. Si en lugar de lanzarlo hacia abajo lo dejamos caer la velocidad inicial es cero:

mjgthr ;)2

1( 2

0

y la velocidad se saca derivando: V = ( – g.t ) j m/s

El vector de posición tiene componente x (MRU: S=V. t ; avance del proyectil) y componente y donde se mide la caída y por lo tanto las

alturas (MRUA sin velocidad inicial 2

02

1atss ) queda:

mjgthitvr ;)2

1().( 2

00

y la velocidad se saca derivando: jgtivv

()0;m/s

Alcance

v0

y

h0

x

hmáxima

v0

h0

x

y vf = 0

h0

v0

x

y



32

ALCANCE DEL PROYECTIL: es la distancia horizontal que recorre hasta llegar al suelo. En el suelo

la altura es cero luego

y=0 entonces: )2

1(0 2

0 gth

sacando el valor de t es posible obtener el alcance tvX .0

La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo de cada, ES UNA

TRAYECTORIA PARABÓLICA.

e) Movimiento Horizontal (X):

cos00 vvv xx

tvtvX x .cos. 00 tvX .cos0 (1)

f) Movimiento Vertical (Y):

gtsenvgtvv yy 00 gtsenvv y 0

(2)

2

0

2

02

1.

2

1. gttsenvgttvY y 2

02

1. gttsenvY (3)

Despejando t de (1) y reemplazando en (3)

2

22

0

.cos2

xv

gxtagY

ecuación de la parábola (4)

g) Altura Máxima (H): es alcanzada cuando 0yv , en (2)

gtsenv 00 g

senvt

0 (5)

Reemplazando (5) en (3)

2

00

02

1

g

senvg

g

senvsenvHY

g

senvH

2

22

0 (6)

h) Alcance Máximo (R): se consigue cuando Y=0, en (3)

2

02

1.0 gttsenv

g

senvtT

02 , tiempo total de vuelo (7)

Vemos que en (7) = 2 (5), es decir el tiempo total de vuelo es dos veces el tiempo de subida.

tvRX .cos0

g

senvvR

0

0

2cos

g

senvR

22

0 , alcance total (8)

tv

x

0

sustituyendo en y queda: tvX .0

)2

1( 2

0 gthY

2

2

0

0 .2

xv

ghY

Ecuación de la trayectoria



33

Ejemplos

1) Una partícula es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 92pie/s y 2seg más

tarde otra partícula es proyectada verticalmente hacia arriba desde el mismo punto y con una

velocidad de 68pie/s. Hallar la altura sobre el punto de partida en la que se encuentran y el

tiempo el cual ha transcurrido desde el lanzamiento de la 1ra

partícula. g=32pie/seg

Solución:

Y el tiempo de la 2da partícula será ( t – 2 )seg

Además: CBABACym

2

22

32

92

22

2)2(68

322

92

t

gt

gt

segt 5

Luego la altura en la que se encuentran será:

mABtg

tAB 6022

)2(682

2) Un bombardero vuela horizontalmente con una velocidad v y a una altura h¸ debe acertar a un tren que se mueve con una velocidad constante v0 en la misma dirección y sentido y en el

mismo plano vertical. Determinar la expresión del ángulo que debe formar la visual al blanco con la horizontal en el instante de soltar la bomba. Solución:

h

vv

g

hctg 02

0002

222vv

gharcctgvv

ghvv

gh

h

V1=92pie/s

V2=68pie/s

(t-2) (t-2)

(t-v1/g)

encuentro

C

A

B

ym

)32(2

92

2

9222

myAC

Tiempo que tarda en alcanzar ym donde:

V=V1 +gtm =0

32

921 g

vtm

Si el tiempo total de A a C y de C a B es t seg.

Entonces el tiempo C a B será segg

vt

0

hctgxctgh

x (1)

0

0vv

xttvvx

(2)

g

htgth

2

2

1 2 (3)

Igualando (2) y (3) g

h

vv

x 2

0

Reemplazando x de (1) en (2) g

h

vv

hctg 2

0

(4)

h

x



34

1.20. DINÁMICA RECTILÍNEA

Parte de la mecánica clásica que estudia el movimiento relacionado con las fuerzas que lo

originan.

LEYES DE NEWTON:

1) Primera Ley de Newton : LEY DE LA INERCIA

“Todo cuerpo mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos

que una fuerza exterior modifique dicho estado”. 0a

Conclusiones:

- Toda fuerza es causa de movimiento o su presencia es necesaria para alterar el estado

de reposo o movimiento.

- El estado de reposo o de movimiento (MRU) son enteramente equivalentes (son estados

naturales).

2) Segunda Ley de Newton : LEY FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA

“La variación del movimiento es proporcional a la fuerza aplicada y tiene la dirección de la

fuerza”.

En la terminología de Newton movimiento significa cantidad de movimiento, que viene a

ser:

vmp

)( vmdt

d

dt

pd

dt

vdm

Conclusiones:

- La dirección de la aceleración es la misma de la fuerza.

- La razón F/a es constante, independiente de la masa.

a

F

a

F

a

F

2

2

´

´

- El término “Fuerza motriz” empleado por Newton se refiere a una fuerza resultante o

fuerza no equilibrada que al actuar sobre un cuerpo le comunica una aceleración. En

general el cuerpo está sometido a la acción simultánea de un número cualquiera de

fuerzas, cuya resultante diferente de cero es causa de la aceleración. Matemáticamente

esto queda expresado como:

amF ii

O equivalente en componentes rectangulares:

xix maF yiy maF ziz maF

amF



35

3) Tercera Ley de Newton : LEY DE LA ACCIÓN Y REACCIÓN.

“Para cada acción hay una reacción de igual módulo pero de sentido opuesto”

1 kg-f = 9.81N

1 lb-f = 4.448N

Masa y Peso

La fuerza más común en la experiencia diaria es la fuerza de gravedad o atracción que

ejerce la tierra sobre todos los cuerpos que están sobre ella. Esta fuerza se llama peso del

cuerpo.

Cuando un cuerpo es abandonado y se deja caer libremente, la única fuerza que actúa

sobre él es su peso W y su aceleración es la de cualquier cuerpo que cae libremente, es

decir la aceleración de la gravedad cuyo valor promedio es g=9.8m/s2 o 32pies/s

2.

De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, la expresión del peso es:

gmW

o escalarmente

mgW , donde m=masa del cuerpo.

El W

, actúa verticalmente dirigido hacia el centro de la tierra, el peso de cuerpo también

varía en los diversos lugares de la tierra, siendo mayor en los polos y mínimo en el

Ecuador, en tanto que la masa permanece constante.

gwm /

ALGUNAS APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON

Las tres leyes de Newton son suficientes para el estudio de cualquier problema de

mecánica, con auxilio de algunas definiciones complementarias.

Ejemplos:

1) Un bloque de masa m1=10kg que está sobre una superficie horizontal sin fricción, es jalado

mediante una cuerda que pasa por una polea y sostiene a otro bloque de masa m2=40kg, tal

como se muestra en la figura. Suponiendo que la masa de la cuerda es despreciable y la polea

sin fricción, calcular la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda.

Solución:

(a) DCL(m1) DCL(m2)

BAAB FF

m1

m2

m1g

m1

N

T

m2g

m2

T



36

El bloque m1 no tiene movimiento vertical (ay =0) pero horizontalmente tiene una

aceleración de igual módulo que la aceleración vertical del bloque de masa m2. Luego

aplicando la 2da ley de Newton tenemos:

)0(11 mgmN (1)

gmN 1

amT 1 (2)

amTgm 22 (3)

De (2) y (3), tenemos:

21

2

mm

gma

a = 7.84 m/s2

Y de (2), se tiene: T = 78.4 N

2) La máquina de Atwood es un dispositivo que empezó a emplearse en el siglo XVIII

para realizar las primeras mediciones de la aceleración de la gravedad. Se compone

de dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda delgada de peso despreciable que pasa

por una polea ligera con una fricción despreciable.

Solución:

Si m1= m2, el sistema permanece en reposo en cualquier posición equilibrándose entre

sí.

Si m1> m2, m2 se acelera hacia abajo y m1 hacia arriba, la aceleración es constante.

Y si m2= m1, la aceleración es pequeña y se puede medir con facilidad obteniéndose

su valor, a partir del cual se calcula g.

En la actualidad, conociéndose el valor de la aceleración de la gravedad, la Máquina

de Atwood puede servirnos para encontrar las aceleraciones de los cuerpos y con la

ecuación de la cinemática encontramos la velocidad y la posición de los cuerpos en

cualquier momento.

T

T

m2

m1

m2g

m2

T

m1g

m1

T

T

T

m2

m1



37

De la 2da Ley de Newton tenemos:

amgmT 11 (1)

amTgm 22 (2)

De (2) y (3), tenemos:

g

mm

mma

21

12

En (1) reemplazamos el valor de “a” y despejando para T se tiene:

gmm

mmT

21

212

1.21. FUERZAS DE FRICCIÓN

La fuerza de fricción, es la fuerza que aparece en la superficie de contacto de dos

cuerpos, oponiéndose al movimiento relativo de

estos.

La fricción se debe a las fuerzas intermoleculares en la superficie libre de los cuerpos,

interviene la adhesión y cohesión. En realidad, observando microscópicamente, las

superficies en contacto no descansan por completo la una sobre la otra sino en partes

prominentes. Ésta es la razón por que la fuerza de fricción no dependa del área en

contacto.

1) Fuerza de Rozamiento Estático (fs) :

Este es la fuerza de rozamiento estático y es proporcional a la fuerza normal, esto es:

Nf ss

donde: N: es la fuerza normal o fuerza de contacto

s : es el coeficiente de rozamiento estático

2) Fuerza de Rozamiento Cinético (fk) :

f F

Movimiento

Si gradualmente intentamos el movimiento de un cuerpo

sobre otro, mientras el cuerpo está en reposo, la fuerza de

rozamiento va creciendo desde cero hasta un valor

máximo fs en que el movimiento es inminente.

fs

mg

N

F



38

Este es la fuerza de rozamiento cinético y es proporcional a la fuerza normal, esto es:

Nf kk

donde: N: es la fuerza normal

k : es el coeficiente de rozamiento cinético

La experiencia nos indica que es más fácil mantener el movimiento de un cuerpo

sobre otro que iniciarlo, por esto, en general k < s y consecuentemente fk < fs

En un plano inclinado, cuando el movimiento es inminente por acción de una

componente de su peso para un ángulo , tenemos que el cuerpo está en equilibrio

(=s,k)

Si se inicia el movimiento es necesario disminuir un tanto la inclinación del plano

inclinado para mantener el movimiento a velocidad constante (a=0). En tal caso las

ecuaciones conducen al siguiente resultado:

k = tg.k ( k < s )

Ejemplos:

1) Encontrar la aceleración de la masa m=10kg si el coeficiente de fricción cinético

es 0.2 y la fuerza es constante como se indica en la figura. Determine también la

fuerza de contacto con el piso.

DCL

En el diagrama del cuerpo libre se muestran todas las fuerzas que actúan sobre el

bloque en movimiento. Las ecuaciones escalares del movimiento son:

mafF k º37cos (1)

fk

mg

N

F

Estando el cuerpo en movimiento, siempre existe la

fuerza de rozamiento, la misma que se llama fuerza de

rozamiento cinético

Entonces tenemos: N – mg.coss = 0

w.sens - fs = 0

de donde: mg.sens = fs

mg.coss = N

tg.s = fs/N = s N/ N

s = tg.s

F = 30N

37º

m fk

N

w=mg

F = 30N

37º

m

Solución:

mgsen

mgcos

W

fr

N



39

0º37 mgNFsen (2)

de la definición de fuerzas de fricción:

Nf kk (3)

De la ecuación (2) despejamos el valor de la fuerza de contacto (N)

º37FsenmgN (4)

Reemplazando datos; m=10kg, g=9.8m/s2, F=30N, obtenemos:

N = 80N

En la ecuación (3) reemplazamos k = 0.2 y N = 80N, obtenemos:

Nfk 0.16

De (1) la aceleración de la masa es:

10

0.16)5/4(30º37cos

m

fFa k a = 0.8m/s

2

2) Dos cuerpos cuyas son “m” y “2m” están unidas en los extremos de una cuerda

rígida inextensible que pasa por una polea sin fricción situada en la parte más alta

de un plano inclinado =30º con la horizontal y sin fricción. El cuerpo de masa

“2m” está en contacto con el plano y cuerpo de masa “m” está suspendida

libremente. Hallar el tiempo tomado por la masa “m” para caer por él 20 pies, si

su velocidad inicial es 8pie/s hacia abajo.

Solución:

Para la masa “2m” se tiene que:

2mgsen30º -T =2ma (1)

T-mg = ma (2)

Sumando: (1) + (2) :

2mgsen30º -mg =3ma donde a = 0

Luego las masas caen con movimiento uniforme por consiguiente si:

X=20pies; V0= 8pie/s

t=x / V0 = 20 / 8 t = 2.5seg

30º

2mgsen30º

T

mg

T

30º 2mg

FÍSICA I CUADERNO Nº 01 N PRIMERA UNIDAD f...

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