f́ısica IGuillermo Carrión Santiago

12 de enero de 2013

Espero que a todos os sirva y que podáis estudiar f́ısica como un matemático lo haŕıa y sin patadas enel estomago.

Si encontráis alguna errata avisad por favor.

Índice1. Cinemática. 3

1.1. Una dimensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Posición y desplazamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Velocidad media. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Velocidad instantánea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4. Aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.5. Ecuaciones del movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Dos y tres dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Vectores posición y desplazamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Vector Velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3. Vector aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Casos particulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1. Movimiento parabólico, proyectiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2. Movimiento circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Dinámica. 72.1. Primera ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Segunda ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Tercera ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4. Tipo de fuerzas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.1. Fuerza gravitatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.2. Fuerzas de contacto: Sólidos, Muelles y Cuerdas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5. Diagrama de fuerzas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6. Sistemas inerciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7. Fuerza de rozamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7.1. Rozamiento estático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7.2. Rozamiento dinámico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.8. Ecuación del movimiento de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9. Movimiento unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Trabajo y Enerǵıas. 93.1. Trabajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. Enerǵıa cinética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2.1. Enerǵıa cinética y el trabajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3. Fuerzas conservativas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4. Enerǵıa potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4.1. Enerǵıa potencial gravitatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4.2. Enerǵıa potencial elástica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.5. Conservación de la enerǵıa mecanica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.6. Fuerzas NO conservativas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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4. Fuerzas y Enerǵıas. 104.0.1. Fuerza Nula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.0.2. Fuerza constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.0.3. Fuerza en función del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.0.4. Fuerza en función de la velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.0.5. Fuerza en función de la posición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.0.6. Enerǵıa potencial parabólica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.0.7. Sistemas con enerǵıa potencial parabólica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. Apéndice 115.1. Sistema de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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1. Cinemática.En esta sección estudiaremos la rama de la f́ısica que se encarga de dar una explicación del movi-

miento de los cuerpos sin hacer uso de las fuerzas que intervienen en este.

1.1. Una dimensión.Si nos encontramos en una sola dimensión es claro que solo pueden ocurrir dos casos, que el cuerpo

se ((mueva)) o que permanezca en reposo, es decir, no consideramos la dirección del móvil, solo el sentido.

1.1.1. Posición y desplazamiento.

La posición de un móvil es el lugar del espacioque ocupa.

Como estamos en una sola dimensión podemosrepresentar el espacio como la recta real, por tan-to, la posición se representa como el valor xi ∈ Rdonde decimos que está el móvil, normalmente, porcomodidad, representamos x0 = 0 es decir, que elvalor inicial es 0,

El desplazamiento, es lo que intuitivamente en-tendemos como ((el espacio que ha recorrido)).

Es decir el desplazamiento es M x = xf − xi

1.1.2. Velocidad media.

Supongamos x : [t0, t1] −→ R, x(t) una funciónde t ∈ R (continua), donde t representa el tiempoy x(t) la posición del móvil en el instante t, enton-ces, definimos la velocidad media del móvil comox(t1)− x(t0)

t1 − t0Gráficamente, la velocidad media es la pendien-

te de la recta que corta a nuestra función x(t) enlos puntos t0 y t1, y como se puede ver en la gráfi-ca, esta pendiente va a variar según el intervalo quetomemos.

1.1.3. Velocidad instantánea.

La velocidad media nos sirve para calcular de forma estimada la velocidad que se ha mantenido enun intervalo de tiempo, pero si tomamos el intervalo demasiado ((grande)) perdemos cierta información,para verlo más claro estudiemos el siguiente ejemplo.

℘ Supongamos dos coches que circulan por una recta de longitud lo suficientementegrande como para realizar el experimento. Sean A y B esos coches, con a(t), b(t) : [0, 14] −→ Rlas funciones que relacionan el tiempo con la posición de estos cuerpos, donde a(t) = 12 t ydonde b(t) = 0 si t ∈ [0, 7] y b(t) = t − 7 en el resto. Calcula la velocidad media de amboscoches.

Empecemos con A, vAm =142 −0

0−14 =12 y sin embargo para B, v

Bm =

142 −0

0−14 =12

Con este ejemplo vemos que claramente perdemos información al tomar un intervalo demasiadogrande, pero, si cada vez hacemos el intervalo más y más chico.

Tomemos ahora v̄(t1, t2) = x(t2)−x(t1)t2−t1 una función que dados dos valores reales (distintos) nosdevuelve la velocidad media del móvil en el intervalo. Si cada vez hacemos que la distancia de ambospuntos sea más pequeña conseguimos un resultado que se parece cada vez más a la velocidad real quelleva el cuerpo, de ah́ı concluimos que existe una función v(t) = ĺım

t1→tv(t1, t) con la cual podremos

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calcular la velocidad del móvil, además v(t) = x′(t) siempre que x(t) sea derivable en todo su dominio(Que lo será siempre por que los f́ısicos son aśı ,).

1.1.4. Aceleración.

la aceleración, es la magnitud f́ısica que mide la variación de velocidad sufre un móvil, al igual quepasaba con la aceleración podemos distinguir entre aceleración media e instantánea, definidas de lamisma forma.

aceleración media : am =v1 − v0t1 − t0

aceleración instantanea: a(t) = v′(t)

La aceleración media tiene el mismo inconveniente que la velocidad media, al hacerla sobre un intervalodemasiado grande perdemos mucha información.

Geométricamente, la interpretación de la velocidad con respecto a la velocidad es exactamente lamisma que la de velocidad con respecto a la posición.

1.1.5. Ecuaciones del movimiento.

Vamos a pasar a calcular las ecuaciones que nos ayudarán a resolver los problemas, Puede que resultealgo tedioso este calculo/, pero no es imprescindible para la realización del problemas aśı que si el lectorlo desea puede quedarse solamente con lo recuadrado y el caso particular de a(t) = a, es decir, cuandoa(t) es una función constante. ,

Los datos que tenemos son a(t) = v′(t) y v(t) = x′(t) , de esos datos deducimos que: v(t) =∫a(t)dt + C sustituyendo tenemos que x(t) =

∫ [ ∫a(t)dt + C

]dt + G =

sa(t)dtdt + Ct + G además

sabemos que v(0) = v0 y que x(0) = x0 luego sustituyendo obtenemos que x(t) =sa(t) dtdt+ v0t+x0

y que v(t) = v0 +∫a(t)dt

Un caso particular que es el que estudiaremos usualmente es cuando a(t) = a en ese caso obtenemos

que v(t) = v0 + at y también que x(t) = x0 + v0t+12at

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1.2. Dos y tres dimensiones.1.2.1. Vectores posición y desplazamiento.

Cuando nos encontramos en dimensión superior a uno tenemos un problema evidente, ¿Como vamosa representar la posición del móvil? pues es sencillo, recordemos que Rn teńıa estructura de espacio af́ınsobre el mismo, por lo que definimos la posición de un móvil como el punto en Rn que ocupa dado unsistema de referencia.

Esto parece muy complicado, pero recuerdo al lector que esto es una clase de fisica, por tanto elvalor de n será n = 2 o n = 3 como mucho, y que lo único que necesitará conocer es que dado dospuntos, solo existe un vector que una dichos puntos. ,

Tanto en clase como en los apuntes como en muchos libros (Seamos sinceros, solo he mirado el tipler)se trabaja con los vectores de la siguiente forma: v = v1i+v2j+v3k, esto es expresando constantementeel vector como combinación lineal de los vectores de la base B = {i, j, k} que no son más que unosvectores ortonormales cualesquiera, sin perdida de generalidad podemos suponer que son los vectoresde la base cartesiana y expresar los vectores de esta forma: v = (v1, v2, v3) y aśı simplificar tanto calculoscomo notación. ,(además de evitar usar la letra k, es muy fea).

Tras esta explicación recordamos las definiciones.

Posición:Es la representación del lugar que ocupa un cuerpo con respecto un sistema de referencia, se suele

representar por p = (p1, p2, p3),

Desplazamiento:Es el (único) vector que une dos posiciones dadas, si x1, x2 son estas posiciones el desplazamiento

será M x = x2 − x1

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1.2.2. Vector Velocidad.

Para hablar del vector velocidad primero debemos tener en cuenta la existencia de una función x(t)que represente la posición del móvil en cada tiempo. esta función tendrá que ser continua, igual que enel apartado anterior, además ahora x : [t0, tf ] −→ Rn, vemos que la principal diferencia, es que ahora lafunción llega hasta Rn, recuerdo al lector que vamos a representar los vectores de la forma v = (v1, v2, v3)por tanto x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)), cada una de las componentes son funciones reales, lo que podemosdefinir velocidad instantanea y velocidad media, como las velocidades de las componentes, lo que reduceel problema a uno ya conocido.

Velocidad media:vm = ( x1(tf )−x1(t0)t0−tf ,

x2(tf )−x2(t0)t0−tf ,

x3(tf )−x3(t0)t0−tf )

Velocidad instantánea:

v(t) = ĺımt1→t

x(t1)− x(t)t0 − t

Este ultimo limite se calcula pasando a las componentes.

1.2.3. Vector aceleración.

Se define el vector aceleración media como el cociente entre la variación del vector velocidad instan-tania con respecto al tiempo.

am =v(tf )− v(t0)tf − t0

Observamos ahora que la definición de aceleración hace referencia a la VARIACIÓN del vectorvelocidad, y, como la velocidad es un vector una variación de este es tanto como una variación de sumodulo, como de su dirección, por tanto podrá descomponerse en aceleración tangencial, que será laproyección de la aceleración sobre el vector velocidad instantánea y aceleración normal que será laproyección sobre el perpendicular.

El vector aceleración instantánea se calcula similar que el vector velocidad instantánea,

a(t) = ĺımt1→t

v(t1)− v(t)t0 − t

= v′(t)

1.3. Casos particulares.1.3.1. Movimiento parabólico, proyectiles.

Supongamos que lanzamos un proyectil desdela superficie con una cierta velocidad inicial v0 ycon un cierto angulo α con respecto el suelo, en-tonces es evidente que el proyectil tendrá una tra-yectoria similar a la imagen del lateral, esto ocurreporque en el eje vertical el movimiento es similar auna cáıda libre, y en el horizontal un movimientorectiĺıneo uniforme.

De esta forma separamos el movimiento en dos que ya hemos estudiado, ,en el eje ((x)) el mo-vimiento rectiĺıneo uniforme, que tiene por ecuaciones x(t) = x0 + vxt y vx(t) = vx , en el eje ((y))

tenemos el movimiento uniformemente acelerado, que tiene por ecuaciones y(t) = y0 + vyt−12gt

2 y

vy(t) = vy − gt , donde vx = v0 cosα, vy = v0 senα y g es la gravedad terrestre

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1.3.2. Movimiento circular.

El movimiento circular es aquel en el que la aceleración normal es no nula, en este caso, el móvilsufre una cierta modificación en su trayectoria.

Por eso decimos que ahora la aceleración tiene una componente normal, perpendicular al vector velo-

cidad, que tiene por módulo ac =v2

rsi además experimenta una variación en el modulo de la velocidad,

decimos que la aceleración tiene una componente tangencial que tiene por modulo at(t) =d‖v(t)‖dt

Un caso particular de este movimiento es cuando el modulo de la velocidad no vaŕıa, en ese caso sedice que el movimiento es circular uniforme

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2. Dinámica.2.1. Primera ley de Newton.

Primera ley de Newton:Un objeto permanece en reposo, o movimiento rectiĺıneo uniforme a menos quesobre él actúe una fuerza externa.

Por ejemplo, si en este sistema todas las fuerzasse encuentran compensadas, el sistema, se dice, queestá en equilibrio, y este permanecerá en reposo, omovimiento rectiĺıneo uniforme, si inicialmente loestá.

Sistemas de referencia inerciales.

La primera ley de Newton no distingue si un cuerpo está en reposo o en M.R.U. esta distinción solodepende del sistema de referencia que tomemos.

Consideremos el siguiente experimento, tene-mos una caja totalmente cerrada y en ella hayuna persona dentro jugando con un yo-yo, tantosi la caja se mueve con velocidad constante comosi está quieta, el sujeto que está dentro no puedeapreciar ese cambio.

Pero si ahora aplicamos una fuerza, el sujeto dedentro puede observar como el yo-yo ya no sube ybaja, sino que, además, se desv́ıa en la direccióncontraria a la aceleración. esto es lo que se deno-mina un sistema de referencia NO inercial.

Ademas como vemos en la imagen, si el sistema de referencia lo situamos fuera de la caja, y esta semueve con velocidad constante, el movimiento es un tiro horizontal.

2.2. Segunda ley de Newton.Segunda ley de Newton:La aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él,e inversamente proporcional a su masa, aśı pues: −→F neta = m−→a

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2.3. Tercera ley de Newton.Tercera ley de Newton:Las fuerzas siempre actuan por pares iguales y opuestos. Si el cuerpo A ejerce una fuerza −→F ABsobre el cuerpo B,éste ejerce una fuerza −→F BAigual pero opuesta sobre el cuerpo A,es decir, −→F AB = −

−→F BA

Esta ley nos dice, que si empujamos la paredcon una fuerza F la pared ejerce sobre nosotrosuna fuerza F en dirección contraria a la nuestra,esto no quiere decir que estas fuerzas se anulen,porque de hecho, no lo hacen ya que las fuerzas serealizan sobre dos cuerpos distintos.

2.4. Tipo de fuerzas.En la naturaleza existen dos tipos de fuerzas, las que son de contacto, como por ejemplo un muelle,

o una persona que empuja un cuerpo pero también existen fuerzas que se producen sin la necesidad deque ambos cuerpos estén ((tocandose)) (no encuentro una palabra que suene mejor).

Aunque si nos trasladamos a escala microscopica, todas las fuerzas de contacto, son ,realmente, adistancia entre las part́ıculas de los sujetos.

2.4.1. Fuerza gravitatoria.

La fuerza gravitatoria es una fuerza a distancia,es la fuerza que realiza un cuerpo con masa sobreotro, esta fuerza siempre es atractiva, tiene direc-ción la recta que une los dos cuerpos y por sentidoel que va del cuerpo de partida hacia el otro.

Esta fuerza tiene por modulo ‖Fm,m′‖ =Gmm′

d2,

cada masa genera un campo gravitatorio que tiene

por modulo gm =Gm

d2

2.4.2. Fuerzas de contacto:Normal, Muelles y Cuerdas.

Normal

Es una fuerza de igual magnitud y dirección,pero sentido contrario, que ejerce una superficiesobre un cuerpo apoyado sobre la misma.

Esta fuerza impide que el objeto caiga a travésde la superficie y puede tomar cualquier valor ne-cesario hasta el ĺımite de ruptura de la superficie.

Muelles

Cuando un muelle se comprime aparece unafuerza sobre el, proporcional a la compresión delmismo, y de sentido contrario a esta, tiene por mo-dulo Fx = kx normalmente esta formula aparece dela forma −→F x = −k−→x

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Cuerdas

Cuerda: es cualquier dispositivo capaz de trasmitir una fuerza. Normalmente, se las considera inex-tensibles y sin masa.

Cuando un objeto está siendo arrastrado poruna cuerda, ésta ejerce una fuerza sobre el objetollamada tensión, esta tiene la dirección de la cuer-da, y su sentido siempre es saliendo del objeto.

2.5. Fuerza de rozamiento.Cuando un objeto se mueve sobre una superficie, o a través de un medio viscoso, existe una

fuerza que se opone al movimiento debida a que el objeto interactúa con su entorno. Éstas son lasfuerzas de rozamiento.

Cuando el cuerpo aun no ha comenzado a moverse, pero ya se le está aplicando una fuerza, aparecelo que se conoce como el rozamiento estático, que va aumentando conforme se aumenta la fuerza, unavez el cuerpo comienza a moverse este rozamiento decrece rápidamente, hasta estabilizarse entorno alvalor Fr = µN

El valor de la fuerza de rozamiento estáticomáximo es Fe = µeN y la fuerza de rozamientodinámico es Fd = µdN donde µe es el coeficien-te de rozamiento estático, µd el dinámico y N lanormal.

2.6. Ecuación del movimiento de Newton.

2.7. Movimiento unidimensional.

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3. Trabajo y Enerǵıas.3.1. Trabajo.

El trabajo es la transferencia de enerǵıa mediante una fuerza.Sea F (x) la función que relaciona el espacio con la fuerza, entonces definimos el trabajo entre dos

puntos x1 y x2 como W =∫ x2

x1

F (x)dx , un caso particular, es cuando la fuerza es constante, en ese

caso W = F (X2 − x1) , esta fuerza es siempre en la dirección del movimiento, en caso de no serlo nosquedamos con la componente de dicha fuerza a favor del movimiento.

3.1.1. Potencia

En la definición de trabajo no se dice nada sobre cuanto tiempo se tarda en realizar el trabajo.En f́ısica, el ritmo al cual una fuerza realiza un trabajo se denomina potencia, esta magnitud mide elritmo con la que la fuerza trasmite la enerǵıa, la potencia se puede calcular mediante dos formulas

P = ∆W∆t = Fv

3.2. EnerǵıaEl concepto de enerǵıa es uno de los más importantes en la ciencia. En todos los procesos f́ısicos

está presente la enerǵıa, esta unidad mide la capacidad de un sistema de hacer trabajo, por eso esintuitivo que el trabajo sea el incremento de la enerǵıa

3.2.1. Enerǵıa cinética.

La enerǵıa cinetica es la que posee un cuerpo por el hecho de estar en movimiento, y vale Ec =12mv

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El teorema trabajo-enerǵıa cinetica a lo largo de una curva arbitraria nos dice que Wtotal = Ec(2)− Ec(1)

3.2.2. Fuerzas conservativas.

Se dice que una fuerza es conservativa si el tra-bajo total realizada sobre una part́ıcula es cero siésta describe cualquier camino cerrado.

Esto es que si tratamos de mover una part́ıculadesde el punto 1 hasta el punto 2 por los caminosS1 o S2 necesitaremos hacer el mismo trabajo.

3.2.3. Enerǵıa potencial.

Enerǵıa potencial gravitatoria.

Enerǵıa potencial elástica.

3.2.4. Conservación de la enerǵıa mecanica.

3.3. Fuerzas NO conservativas.

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4. Fuerzas y Enerǵıas.4.0.1. Fuerza Nula.

4.0.2. Fuerza constante.

4.0.3. Fuerza en función del tiempo

Fuerza de impulsión.

4.0.4. Fuerza en función de la velocidad.

Fuerza de rozamiento.

4.0.5. Fuerza en función de la posición.

4.0.6. Enerǵıa potencial parabólica.

4.0.7. Sistemas con enerǵıa potencial parabólica.

Muelle elástico.

Péndulo simple.

Circuito LC.

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5. Apéndice5.1. Sistema de coordenadas.

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