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Dictado por: Profesor Aldo Valcarce

2do semestre 2014

Física

Movimiento en 2 dimensiones

FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Una piedra se deja caer de un acantilado de 100 metros de altura. Si

la velocidad inicial de la piedra es nula:

a) Determinar el tiempo que demora la piedra en llegar al suelo.

b) Determinar la velocidad final de la piedra.

c) Determinar cuanta distancia recorre la piedra durante el último

segundo.

Ejemplo 1


Ejemplo 2 Una persona lanza una piedra hacia arriba desde el techo de un

edificio con una velocidad inicial de 20 m/s. Si el edificio tiene 50 m

de altura y la piedra no es agarrada por la persona cayendo hacia el

suelo calcule los siguientes datos de la piedra:

a) Tiempo necesario para alcanzar la altura máxima.

b) Altura máxima.

c) Tiempo necesario para que la piedra regrese a la altura desde

donde fue arrojada.

d) La velocidad de la piedra en el instante de c).

e) Velocidad y posición de la piedra luego de 5 s.

f) Tiempo necesario para que la piedra llegue al suelo.


Una persona se encuentra en el piso 8 de un edificio a 24 metros del

suelo y ve pasar por afuera de su ventana un objeto hacia arriba a

una velocidad de 50 metros por segundo.

a) Determine la altura máxima a la que llega el objeto.

b) Determine el tiempo en que el objeto llega a su altura máxima.

c) Determine el tiempo en que el objeto llega de vuelta al suelo.

Ejercicio Propuesto


Movimiento en 2 Dimensiones


Definición de posición y velocidad en 2D

El vector desplazamiento es

La posición de un objeto en 2-D.

El vector velocidad es

y

x 𝑟𝑓

𝑟𝑖 ∆𝑟

𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖

𝑟𝑓 = 𝑥𝑓 + 𝑦𝑓

∆𝑟 = 𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 = ∆𝑥 + ∆𝑦

∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖

∆𝑦 = 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖

𝑣 =∆𝑟

∆𝑡 𝑣𝑥 =

∆𝑥

∆𝑡 𝑣𝑦 =

∆𝑦

∆𝑡

Posición


Movimiento en 2-D: Ejemplo

Un explorador camina 10 km al norte y después 5 km en una dirección de 30° al sur del este. ¿Cuál es su desplazamiento total?

30° N

𝑟1 𝑟2

∆𝑟

Si ese desplazamiento fue

realizado en 4 horas ¿Cuál fue la

velocidad promedio?


En la figura la velocidad instantánea sería representada por la diferencia entre

a) un vector muy cercano al vector P y

b) el vector P,

dividido por el tiempo requerido para hacer ese desplazamiento.

Definición de velocidad instantánea en 2D

𝑣 = lim∆𝑡→0

∆𝑟

∆𝑡

Se define la rapidez (𝒗) como la magnitud del vector de velocidad

instantánea.

𝑣 = 𝑣 𝑣 = (𝑣𝑥,𝑓 − 𝑣𝑥,𝑖)2 + (𝑣𝑦,𝑓 − 𝑣𝑦,𝑖)

2


Pueden ocurrir varios cambios cuando un cuerpo se acelera:

1. La magnitud del vector velocidad (la rapidez 𝑣) puede cambiar con 𝑡.

2. La dirección del vector velocidad puede cambiar con 𝑡, pero su

magnitud (𝑣) permanece constante.

3. La magnitud como la dirección pueden cambiar simultáneamente.

Definición de aceleración en 2D

𝑎 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡 𝑎 =

∆𝑣

∆𝑡=

𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖

𝑡𝑓 − 𝑡𝑖


Velocidad en 2D con aceleración constante

La velocidad final 𝒗𝒇 de un cuerpo con velocidad

inicial 𝒗𝒊 y una aceleración constante 𝒂 será:

𝒗𝒇 = 𝒗𝒙,𝒊 + 𝒂𝒙 × 𝒕 𝒊 + 𝒗𝒚,𝒊 + 𝒂𝒚 × 𝒕 𝒋

𝒗𝒇 = 𝒗𝒙,𝒊 𝒊 + 𝒗𝒚,𝒊 𝒋 + 𝒂𝒙 𝒊 + 𝒂𝒚 𝒋 × 𝒕

𝒗𝒇 = 𝒗𝒊 + 𝒂 × 𝒕

𝑣𝑥,𝑓 = 𝑣𝑥,𝑖 + 𝑎𝑥 × 𝑡

Eje x

𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 + 𝑎𝑦 × 𝑡

Eje y


Posición en 2D con aceleración constante

La velocidad final 𝑣𝑓 de un cuerpo con posición

inicial 𝑟𝑖, velocidad inicial 𝑣𝑖 y una aceleración

constante 𝑎 será:

𝑟 𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 +1

2𝑎𝑥 × 𝑡2 𝑖 + 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 +

1

2𝑎𝑦 × 𝑡2 𝑗

𝑟 𝑓 = 𝑥𝑖 𝑖 + 𝑦𝑖 𝑗 + 𝑣𝑥,𝑖 𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 𝑗 × 𝑡 +1

2𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 × 𝑡2

𝑟 𝑓 = 𝑟𝑖 + 𝑣 𝑖 × 𝑡 +1

2𝑎 × 𝑡2

Eje x Eje y

𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 +1

2𝑎𝑥 × 𝑡2 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 = 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 +

1

2𝑎𝑦 × 𝑡2


Ecuaciones de Movimiento en 2D

𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =1

2𝑣𝑥,𝑖 + 𝑣𝑥,𝑓 × 𝑡

𝑣𝑥,𝑓 = 𝑣𝑥,𝑖 + 𝑎𝑥 × 𝑡

𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 +1

2𝑎𝑥 × 𝑡2

𝑣𝑥,𝑓2 = 𝑣𝑥,𝑖

2 + 2𝑎𝑥 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖

𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 =1

2𝑣𝑦,𝑖 + 𝑣𝑦,𝑓 × 𝑡

𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 + 𝑎𝑦 × 𝑡

𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 = 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 +1

2𝑎𝑦 × 𝑡2

𝑣𝑦,𝑓2 = 𝑣𝑦,𝑖

2 + 2𝑎𝑦 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖

Eje x Eje y


Ejemplo: Mov. 2D con 𝒂 constante

Una partícula parte del origen en 𝑡 = 0 con una velocidad inicial que

tiene una componente 𝒙 de 20 m/s y una componente 𝒚 de -15 m/s.

La partícula se mueve en el plano 𝑥𝑦 solo con una componente de

aceleración 𝒙, dada por 𝒂𝒙 = 4,0 m/s2.

a) Determine las componentes del vector velocidad en cualquier

tiempo y el vector velocidad total en cualquier tiempo 𝑡.

b) Calcule la velocidad y la rapidez de la partícula en 𝑡=5 s.


Proyectiles

Movimiento 2-D

Aceleración vertical

𝑎𝑦 = −𝑔

Aceleración horizontal

𝑎𝑥 = 0


𝒂 = −𝒈 𝒋 En este caso, con el sistema de coordenadas que se muestra

Componentes de 𝑣 en proyectiles


Fotografía de múltiple exposición que muestra la posición de dos esferas a intervalos iguales de tiempo. Una se dejó caer desde una posición de reposo y la otra se lanzó horizontalmente.

Se ve que la altura (y por lo tanto el desplazamiento vertical) de las esferas es la misma.

El movimiento en la dirección vertical no se entera de lo que pasa en la dirección horizontal. Los movimientos vertical y horizontal son independientes.

Independencia de las componentes


06_Projectile_independent_components.mp4

𝒗𝒙 y 𝒗𝒚 son independientes:

𝒗𝒙 es constante (𝑎𝑥= 0).

𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 − 𝑔 ∆𝑡

𝒗 = 𝒗𝒙 𝒊 + 𝒗𝒚 𝒋

Entonces, la magnitud de 𝑣

aumenta y su dirección cambia.

Componente horizontal no cambia


Proyectiles: Ejemplo 1

Una pelota rueda sobre una mesa con velocidad 2,0 m/s. Cae del borde da la mesa. ¿A qué distancia, ∆𝑥, de la mesa llega la pelota al suelo?

2,0 m/s

∆x

1,5 m



Se lanza una pelota al aire y 5,0 s después llega al suelo a una distancia horizontal de 30 m. ¿Con qué ángulo fue lanzada?

y

x ∆x=30 m

a



Se dispara un proyectil desde la orilla de un acantilado de 140 m de altura con una velocidad de 100 m/s a un ángulo de 37° con la horizontal.

b) Calcule el tiempo que tarda el proyectil en llegar al nivel del acantilado

a) Calcule el alcance ∆x, del proyectil.

c) Calcule la rapidez y la dirección de la velocidad final.

100 m/s

37°

140 m


Proyectiles: Ejercicio 4

¿Qué ángulo de lanzamiento maximiza el alcance de un proyectil? (se supone ∆y =0)

o45


Resumen

𝑟 𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 +1

2𝑎𝑥 × 𝑡2 𝑖 + 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 +

1

2𝑎𝑦 × 𝑡2 𝑗

Se definieron los vectores posición 𝑟 , desplazamiento ∆𝑟 , velocidad 𝑣 y

aceleración 𝑎 en 2 dimensiones.

El movimiento en 2 dimensiones se puede descomponer como si fuese un

vector. La posición está definida como:

En el movimiento de proyectiles:

𝒗𝒙 es constante (𝑎𝑥= 0). 𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 − 𝑔 ∆𝑡


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