FÍSICA PARA FISIOTERAPEUTAS

Jesús Planella

Daniel Marcos

Jordi Bonastre

2020

dr. jesus planella-morató (jesus.plantella@udg.edu) es profesor de EUSES, centro

adscrito a la Universitat de Girona (UdG). En el ámbito universitario es también profesor asocia-

do del Departamento de Física, Escuela Politécnica Superior (EPS), UdG, desde 2003. Durante

estos años ha ejercido como docente en diversos grados en el ámbito de la Ingeniería y las Cien-

cias. Actualmente imparte clase en los Grados de Ingeniería Eléctrica, Electrónica Industrial y

Automática, Ingeniería Mecánica e Ingeniería Química. Es también coordinador, en el ámbito de

Física, del curso de Física Básica que se ofrece a los estudiantes de primer curso de la EPS. En el

ámbito docente también da clase en el Máster Universitario en Formación de Profesorado de

Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, en el área científico-tecnológica. A otros niveles

educativos, colabora como profesor externo de la Universidad en el Instituto Jaume Vicens Vives

desde 2012, donde asiste a los alumnos que cursan la asignatura de Física en el Bachillerato In-

ternacional y en el marco del Programa CiMs+Cellex en el campo de las Ciencias y Matemáticas.

daniel marcos ruiz (daniel.marcos@cadscrits.udg.edu) es profesor de la Escola Universi-

tària de la Salut i l’Esport d’EUSES, centro adscrito a la Universitat de Girona (UdG), donde se

graduó en Fisioterapia con premio extraordinario de la tercera promoción del Grado (2011-2015).

Actualmente imparte asignaturas del ámbito clínico de cadenas musculares y del ámbito rehabili-

tador y técnico de ortesis-prótesis.

Máster de Salut i Esport en la especialidad de rehabilitación y readaptación deportiva por el Insti-

tut Nacional d’Educació Física de Catalunya (INEFC), Universitat de Barcelona (2015-2016), con

mención honorífica al TFM.

A otros niveles profesionales trabaja como fisioterapeuta, osteópata y biomecánico.

dr. jordi bonastre-muñoz (jordi.bonastre@udg.edu) es profesor de EUSES, centro

adscrito a la UdG, doctor en Tecnología por la Universitat de Girona, con amplia experiencia

docente tanto presencial como no presencial en la UdG, UOC y UNED, en asignaturas del ám-

bito de la Física y la Ciencia de «Materials». Autor de diversos textos docentes.

5

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Magnitudes y unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.1 Magnitudes fundamentales y derivadas . . . . . . . 111.1.2 Magnitudes escalares y vectoriales . . . . . . . . . . 12

1.2 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Representación de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Descomposición de vectores . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Suma y resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Notación científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Factores de conversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. LEYES DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Cinemática vs cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Primera y segunda leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Primera ley de Newton (ley de la inercia) . . . . . 222.2.2 Segunda ley de Newton (ley de la aceleración) . 22

2.3 Fuerza gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1 Aceleración de la gravedad y peso . . . . . . . . . . 25

2.4 Tercera ley de Newton (acción-reacción) . . . . . . . . . 272.5 Fuerzas de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.1 Fuerza de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5.2 Fuerza normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Primer par acción-reacción . . . . . . . . . . . . . . . . 29Segundo par acción-reacción . . . . . . . . . . . . . . 29Tercer par acción-reacción . . . . . . . . . . . . . . . . 29¿Qué fuerzas actúan sobre la bola? . . . . . . . . . 29¿Qué fuerzas actúan sobre la mesa? . . . . . . . . . 29

2.5.3 Fuerza de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6

2.6 Fricción en fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.1 Fuerza de arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.2 Velocidad terminal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7 Poleas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.7.1 Poleas en el cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. MOMENTOS Y PALANCAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Definición de momento de fuerza y sus propiedades . 373.1.1 Definición del momento de una fuerza . . . . . . . 373.1.2 Propiedades del momento de fuerza . . . . . . . . . 383.1.3 Momento de fuerza como vector . . . . . . . . . . . 39

3.2 Momento resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.1 Definición del momento resultante de un sistema de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.2 Equilibrio mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Palancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.1 Definición y propiedades de las palancas . . . . . 473.3.2 Clasificación de las palancas . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.3 Palancas en el cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . 49

Ejemplos de palancas en el cuerpo humano . . . 51La importancia de una buena ergonomía . . . . . 53

4. CENTRO DE MASAS Y EQUILIBRIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1 Centro de masas y centro de gravedad . . . . . . . . . . . 554.1.1 Centro de masas (CM o CoM) . . . . . . . . . . . . . 554.1.2 Centro de gravedad (CG o CoG) . . . . . . . . . . . 564.1.3 Centro de masas y centro de gravedad en el cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.4 Localización del CM y CG . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.5 Localización del CM según método matemático- algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.1.6 Cálculo del CM en una dimensión (1D) . . . . . . 594.1.7 Cálculo del CM en dos dimensiones (2D) . . . . 604.1.8 Localización del CM/CG según método gráfico o geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.9 Método experimental para localización del CM/ CG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.10 Método experimental para localización del CM/CG basado en el cálculo de momentos . . . . . . . . . . . 62

4.2 Equilibrio estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.1 Condiciones o principios del equilibrio . . . . . . . 644.2.2 Tipos de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7

4.3 Factores que afectan la estabilidad . . . . . . . . . . . . . 664.3.1 Área de soporte o apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3.2 Base de sustentación (BS) . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3.3 Posición del CM/CG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.4 Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.5 Línea de gravedad (LG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Ejemplo de BS más grande y centro de masas más bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5. ESTÁTICA DE FLUIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1.1 ¿Qué es un fluido? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1.2 Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Cálculo de la densidad de una parte del cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Densidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Peso específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2.1 ¿Qué es la presión? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2.2 La presión hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Sistema de vasos comunicantes . . . . . . . . . . . . . 785.3 Presión en líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3.1 El principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . 79Cuerpos totalmente sumergidos . . . . . . . . . . . . 80Cuerpos parcialmente sumergidos . . . . . . . . . . 81

5.4 Presión en gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4.1 Gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Consecuencias de la ley de los gases ideales . . . 835.4.2 Presión atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Unidades de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Presión manométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.5 Aplicaciones en Fisioterapia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.5.1 Hidroterapia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6. DINÁMICA DE FLUIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.1 Flujos en fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.1.1 Tipos de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Según las características de su velocidad . . . . . . 90Según las características del fluido . . . . . . . . . . 90

6.1.2 Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Características generales de la velocidad en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1.3 Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8

6.2 Flujos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.2.1 Resistencia hidrodinámica. Viscosidad . . . . . . . 98

Características de los fluidos que presentan vis-cosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98¿Cuáles son los parámetros de los que depende la resistencia hidrodinámica? . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2.2 Fluidos reales y aplicaciones en fisioterapia . . . 101Laserterapia y efectos sobre la viscosidad de la sangre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7. FUERZAS DE COHESIÓN EN LÍQUIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.1 Fuerzas entre moléculas: cohesión y adhesión . . . . . 1057.2 Tensión superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.2.1 Concepto de tensión superficial . . . . . . . . . . . . 1067.2.2 La ley de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.2.3 Aplicaciones en el cuerpo humano . . . . . . . . . . 113

Funcionamiento de los alveolos pulmonares . . . 1137.4 Capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.4.1 Concepto de capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.4.2 La ley de Jurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.4.3 Aplicaciones en el cuerpo humano . . . . . . . . . . 118

Ascenso de la sangre en los capilares sanguíneos . . 118Fisioterapia respiratoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8. ELECTROSTÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.1 Fuerza electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.1.1 Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.1.2 Fuerza entre cargas puntuales: la ley de Coulomb . . 122

Cálculo de la fuerza eléctrica entre dos cargas pun-tuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.1.3 Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.2 Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.2.1 Concepto de campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . 126Campo eléctrico generado por una carga pun-tual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.2.2 Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.3 Líneas de campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.3 Potencial eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.3.1 Concepto de potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . 1378.3.2 El potencial eléctrico debido a una carga pun- tual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.3.3 El potencial eléctrico debido a una distribución de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9

8.4 Campos eléctricos uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.4.1 Propiedades de los campos eléctricos uniformes . . 1388.4.2 Estimación de campos eléctricos . . . . . . . . . . . . 139

8.5 Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.5.1 Definición y propiedades de los condensadores 1418.5.2 Condensador de placas plano-paralelas . . . . . . 1428.5.3 Condensadores y fisioterapia: el efecto capaci- tivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9. CIRCUITOS ELÉCTRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.1 Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.1.1 Generación de corriente eléctrica . . . . . . . . . . . 1479.1.2 Intensidad de corriente y densidad de corriente 1489.1.3 Resistencia eléctrica y ley de Ohm . . . . . . . . . . 149

Factores que afectan a la resistencia . . . . . . . . . 149Resistencia eléctrica en el cuerpo humano . . . . 150

9.2 Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.2.1 Asociaciones de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . 1529.2.2 Potencia eléctrica y efecto Joule . . . . . . . . . . . . 153

Potencia disipada por efecto Joule . . . . . . . . . . 153Potencia eléctrica generada . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.2.3 Aparatos de medida: voltímetro y amperímetro 154 9.3 Aplicaciones en fisioterapia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9.3.1 Diatermia resistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.3.2 Estimulación muscular con terapia de corrientes . . 158

10. MAGNETISMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10.1 El campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.1.1 Origen del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . 161

Imanes permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

10.1.2 Propiedades del campo magnético . . . . . . . . . . 162Similitudes respecto a las líneas de campo eléc- trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Diferencias respecto a las líneas de campo eléc-trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

10.2 Efectos del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.2.1 Fuerza magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Similitudes respecto a la fuerza eléctrica . . . . . . 163Diferencias respecto a la fuerza eléctrica . . . . . 164

10.2.2 Movimiento de una partícula en un campo mag- nético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Características del movimiento de ciclotrón . . . 165

10

10.3 Efecto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.4 Generación de campos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.4.1 Ejemplos de campos magnéticos generados por corrientes eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Hilo rectilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Espira circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.5 Inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.6 Aplicaciones en fisioterapia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

10.6.1 Hipótesis de la resonancia iónica ciclotrónica . . 17510.6.2 Diatermia inductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

11. ENERGÍA Y ONDAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

11.1 Energía y calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.1.1 ¿Qué es la energía? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.1.2 Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

11.2 Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18111.2.1 Concepto de onda y clasificación . . . . . . . . . . . 18111.2.2 Descripción matemática de las ondas . . . . . . . . 183

Amplitud (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Período (T ) y frecuencia (f ) . . . . . . . . . . . . . . . 184Longitud de onda (λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Velocidad de propagación (v) . . . . . . . . . . . . . . 184

11.3 Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18811.3.1 Intensidad sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18811.3.2 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18911.3.3 Ultrasonidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Ultrasonografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Ultrasonidos terapéuticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

11.4 Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

RELACIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . 193

11

1

INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS

1.1 Magnitudes y unidades

Una magnitud física es cualquier propiedad natural que pueda ser cuantificada mediante una medi­ción o un cálculo. Las magnitudes se expresan mediante un número y una unidad de medida:

Ejemplos: 3 metros, 2 horas, 50 km/h, 30 N, 550 litros, 70 mA, 12 V, 85 kg, etc.

Una excepción son las magnitudes relativas, que no necesitan unidad de medida, ya que expresan una proporción respecto a otra magnitud de referencia.

1.1.1 Magnitudes fundamentales y derivadas

Las magnitudes fundamentales son magnitudes básicas dimensionalmente independientes entre ellas. El Sistema Internacional de Unidades (SI) define siete unidades básicas correspondientes a siete magnitudes fundamentales.

Magnitud SI Unidad SI Símbolo de la unidad SI

Longitud metro m

Tiempo segundo s

Masa kilogramo kg

Temperatura kelvin K

Intensidad de corriente eléctrica amperio A

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Tabla 1.1 Magnitudes fundamentales

12

El resto de magnitudes y unidades se consideran derivadas, ya que se pueden obtener a partir de las otras mediante expresiones matemáticas asociadas a leyes físicas.

Ejemplos de magnitudes derivadas:

• Velocidad (depende de la longitud y del tiempo).

• Aceleración (depende de la velocidad y del tiempo).

• Fuerza (depende de la masa y de la aceleración).

• Trabajo (depende de la fuerza y la distancia).

1.1.2 Magnitudes escalares y vectoriales

Las magnitudes también se pueden clasificar en escalares o vectoriales.

Las magnitudes escalares quedan completamente definidas con la cantidad y la unidad de medida.

Ejemplos: tiempo, volumen, temperatura, trabajo, potencial, etc.

Las magnitudes vectoriales requieren que se defina, además de la cantidad y la unidad, su orien­tación (es decir, la dirección sobre la que actúa y el sentido de actuación) y el punto de apli ca­ción:

Ejemplos: fuerza, campo eléctrico, campo magnético, etc.

Fig. 1.1 Ejemplo de magnitud escalar (volumen) y de magnitud vectorial (fuerza)

Ejercicio resuelto

1.1 En los ejemplos siguientes, indica qué magnitud se está expresando, de qué tipo es (fundamen­tal o derivada, escalar o vectorial) y si la unidad utilizada es del SI:

13

Magnitud¿Fundamental

o derivada?¿Escalar

o vectorial?¿Unidad SI?

t = 30 horas Tiempo Fundamental Escalar NO

m = 63 kg Masa Fundamental Escalar SÍ

v = 50 km/h Velocidad Derivada Vectorial NO

F = 30 N Fuerza Derivada Vectorial SÍ

T = 37 °C Temperatura Fundamental Escalar NO

V = 2 m3 Volumen Derivada Escalar SÍ

Tabla 1.2 Solución del ejercicio 1.1 con ejemplos de magnitudes

1.2 Vectores

1.2.1 Representación de vectores

Podemos definir una magnitud vectorial de dos maneras:

1. Conociendo su módulo y su orientación (dirección y sentido):

Fig. 1.2  Definición de un vector a partir de su módulo y su orientación

Módulo

Dirección

Sentido

10

5

00 5 10 15

13

23°

Ejemplo:

2. Conociendo sus componentes o coordenadas algebraicas:

x

y v = (x,y)

(–5, 5)

(x, y)

(10, 5)

(5, –3)

x

y

Fig. 1.3  Definición de un vector a partir de sus componentes o coordenadas

Ejemplo:

14

En ambos casos podemos representar los vectores gráficamente:

Ejemplos:

y

x

v = (1, 2)v = (0, –2)v = (–3, 1)

v 1: módulo 2 y ángulo 30°v 2: módulo 3 y ángulo 105°v 3: módulo 4 y ángulo 290°

y

x

Fig. 1.4  Ejemplos de representación gráfica de vectores

1.2.2 Descomposición de vectores

Podemos encontrar las coordenadas o componentes de un vector si conocemos su módulo y orien­tación. A este procedimiento se le llama descomposición:

Ejemplo:

ángulomódulo

ax = a · cos

ay = a · sin

FN = F · cos

FH = F · sin

FN

FHx

y

a

ay a

ax

Fig. 1.5 Cálculo de las componentes de un vector a partir del módulo y el ángulo (descomposición)

También podemos realizar el procedimiento inverso: encontrar el módulo y el ángulo de orientación de un vector a partir de sus componentes:

(x,y)

√���x2 + y 2

y

x

θ

Módulo: = √���x2 + y 2

Ángulo: = arctan yx

Fig. 1.6 Cálculo del módulo y el ángulo a partir de las componentes

F

15

1.2.3 Suma y resta de vectores

Los vectores se pueden sumar y restar entre ellos de dos maneras:

1. Algebraicamente, sumando o restando sus componentes respectivas:

Ejemplos: (1,2) + (–2,2) = (–1,4)

(1,2) – (–2,2) = (3,0)

2. Gráficamente, a partir del paralelogramo que dibujan los dos vectores en el plano:

Fig. 1.7  Suma gráfica de dos vectores

Ejercicios resueltos

1.2 Descomponer el vector velocidad de la figura en sus componentes horizontal (x) y vertical (y):

v =

50 m

/s

60°

vx = 50 · cos60° = 25 m/s

vy = 50 · sin60° = 43 m/svy = 43 m/s

vx = 25 m/s

v =

50 m

/s

60°

1.3 �Calcular el módulo y el ángulo de orientación respecto al eje x del vector de la figura:

= √���x2 + y 2 = √

���42 + 32 = 5

= arctan 34 = 36,9°

3

2

1

00 1 2 3 4

v = (4, 3)

4

3

36,9°

5

3

2

1

00 1 2 3 4

16

1.4 Representar gráficamente los vectores v1 = (2, 5) y v2 = (–5, –3) y calcular sus respectivos mó­dulo y ángulo (respecto al eje x):

Cálculo del módulo y el ángulo:

= √�����(–5)2 + (–3)2 = 5,8

= arctan –3–5 = 210,9°

Cálculo del módulo y el ángulo:

= √���22 + 52 = 5,4

= arctan 52 = 68,2°

(2, 5)

5,4

210,9°68,2°

5,8

(–5, –3)

1.5 �Representar gráficamente un vector de módulo 8 orientado a 135º respecto al eje x y calcular sus coordenadas respectivas:

Cálculo de las coordenadas:

x = 8 cos 135° = –5,7

y = 8 sin 135° = 5,7

(–5,7, 5,7)

135°

1.6 Sumar gráficamente los tres vectores de la figura:

17

1.7 Determinar la fuerza resultante de los cuádriceps sobre la rótula, en el ejemplo de la figura 1.8:

FQ

F

FT

Fig. 1.8 Ejemplo de magnitud escalar (volumen) y de magnitud vectorial (fuerza)

1.3  Notación científica

Para expresar cifras muy grandes o muy pequeñas utilizamos la notación científica, que se basa en el uso de potencias de 10:

< núm> · 10<exponente>

Ejemplos: 300 3 · 102

2.350 2,35 · 103

357.000 3,57 · 106

0,0045 4,5 · 10–3

notación científica

Cuando se trata de magnitudes físicas con unidades del SI, podemos sustituir la potencia de 10 por un prefijo correspondiente que se coloca delante de la unidad e indica un múltiplo de ella.

notación científica sustitución prefijo

Ejemplos: 2000 m 2 · 103 m 2 km («2 kilómetros»)

0,005 A 5 · 10–3 A 2 mA («2 miliamperios»)

0,00000025 s 250 · 10–9 s 250 ns («250 nanosegundos»)

Algunos de estos prefijos se utilizan habitualmente en la vida cotidiana y son muy conocidos, pero otros no tanto. En la tabla siguiente encontramos una lista completa: