Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2007/08 Cuatrimestre/problemas1-d.pdfde oscilación en la silla....

Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

1/28Problemas tema 1: Oscilaciones

Problemas de Oscilaciones

Boletín 1 – Tema 1

Fátima Masot Conde

Ing. Industrial 2007/08



8cm8cm

+8cm+8cm

posición de equilibrio

Una barca flota en el agua subiendo y bajando con las olas. La barca alcanza 8cm abajo y 8cm arriba de su posición de equilibrio y tarda 2.5s en pasar del puntomás alto al más bajo y viceversa. Calcular amplitud, periodo, frecuencia y frecuencia angular del movimiento.

Tarda 2.5 s en pasar del punto más alto al másbajo

Tarda el doble en repetir una oscilación completa:

La amplitud es 8 cm(máximo desplazamiento medido desde la posición de equilibrio)

Problema 1:

f =1

T= 0.20ciclos/s = 0.2Hz

= 2 f = 1.26rad/s

f =1

T= 0.20ciclos/s = 0.2Hz

= 2 f = 1.26rad/s

T = 5 sT = 5 s



Problema 2:

b)

c)

a) ¡dato!

Una masa de 0.5Kg se encuentra conectada a un muelle y oscila sin rozamiento y horizontalmente con una amplitud de 35.0cm. El oscilador repite su movimiento cada 0.5s. Calcule a) el periodo, b) la frecuencia angular, c) la constante del muelle, d) la velocidad máxima, y e) la fuerza máxima que ejerce el resorte.

x+ 2x = 0x++ 22x = 0

f =1

T= 2Hzf =

1

T= 2Hz

= 2 f = 4 rad/s= 2 f = 4 rad/s

T = 0.5 sT = 0.5 sm = 0.5 kgm = 0.5 kg

A = 35 cmA = 35 cm

posición de equilibrio

K = m 2 = 0.5(4 )2N

m= 8 2N

mK = m 2 = 0.5(4 )2

N

m= 8 2N

m

2 = K/m2 = K/m Kg(rd2)

s2m

m=N

mKg(rd2)

s2m

m=N

m

Sabemos:



Problema 2:

d)

e)

sen( t+ ) 1sen( t+ ) 1

Fuerza máxima

|F | = Kx|F | = Kxx|

maxx|

max

t =2

t =2

t =2

1

4=1

8st =

2

1

4=1

8s

x(t) = A sen( t+ )

x(t)|max

= A = (0.35m)(4 rad/s) = 1.4 m/s

x(t) = A sen( t+ )

x(t)|max

= A = (0.35m)(4 rad/s) = 1.4 m/s

¿Cuando se alcanza vmax?¿Cuando´ se alcanza vmax?

F |max

= KA

=

μ8 2N

m

¶(0.35m)

= 2.8 2N

F |max

= KA

=

μμ8 2N

m

¶¶(0.35m)

= 2.8 2N



Para medir la masa de un astronauta en ausencia de gravedad se emplea unaparato medidor de masa corporal. Este aparato consiste, básicamente en unasilla que oscila en contacto con un resorte. El astronauta ha de medir su periodode oscilación en la silla. En la segunda misión Skylab el resorte empleado tenía una constante k=605.6N/m y el periodo de oscilación de la silla vacía era de 0.90149s. Calcule la masa de la silla. Con un astronauta en la silla el periodo medido fue 2.08832s. Calcule la masa del astronauta.

T0 = 2

r

Problema 3:

msilla

Kresorte

T0TT = 2

rmsilla

KreKK sorte

Sabemos que:

x + 2x = 0x + 2x = 0

x(t) = A cos( t+ )

x(t) = A sin( t+ )

x(t) = A cos( t+ )

x(t) = A sin( t+ )

T = 2

rmsilla +mastron

Kresorte

T = 2

rmsilla +mastron

KreKK sorte

KmKKmm

DATOS

Kresorte = 605.6N/m

T0 = 0.90149 s

T = 2.08832 s

KreKK sorte = 605.6N/m

T0TT = 0.90149 s

T = 2.08832 s

mastronauta = 54.43 kgmastronauta = 54.43 kgmsilla = 12.47 kgmsilla = 12.47 kg

Sistema medidor de la masa corporal

silla

resorte

T = 2

rm

KT = 2

rrm

K



Problema 4:

a) b) Para muelles en paraleloPara muelles en serie

1

Keq=

1

K1+1

K2

1

KeqKK=

1

K1+1

K2KKKeq = K1 +K2Keq = K1 +K2

Determinar la frecuencia de oscilación de una masa m unida a dos muelles deconsantes k1 y k2 cuando a) los muelles están conectados en serie y b) los muelles están conectados en paralelo.

Keq =K1K2K1 +K2

KeqKK =K1K2KK

K1 +K2KK

En ambos casos, =

rKeqm, f =

2En ambos casos, =

rKeqm, f =

2

k1k1 k2k2

keqkeq

k1k1

k2k2

keqkeq



Una masa m=1kg está conectada a un resorte de constante K=200N/m. La masa se aleja una distancia x=+0.2m de su posición de equilibrio y a continuación se suelta, de forma que oscila horizontalmente y con rozamiento despreciable. Calcular a) ecuación del movimiento, b) velocidad máxima y mínima que alcanza la masa indicando en qué posición se alcanzan, c) velocidad y aceleración de lamasa cuando lleva recorrida la mitad de la distancia entre la posición inicial y el punto de equilibrio, d) energía total, potencial y cinética en ese punto.

Problema 5:

a) Ecuación del mov.

= 0Eleccion arbitrariat = 0 para x(0) A

= 0Eleccion arbitrariat = 0 para x(0) A

x(t) = A cos( t+ )x(t) = A cos( t+ )

K = 200 N/mA = 0.2 mm = 1 kg

K = 200 N/mA = 0.2 mm = 1 kg x(t) = 0.2 cos(14.14 t)x(t) = 0.2 cos(14.14 t)

0.2m

posición deequilibrio

Datos:=

rK

m=

s200N/m

1kg= 14.14 rad/s=

rK

m=

s200N/m

1kg= 14.14 rad/s



Problema 5

Velocidad máxima y mínima que alcanza la masa indicando en qué posición se alcanzan.

14.14rad/s0.2m

b)

x(t) = A cos( t)x(t) = A cos( t)

cos t = 1cos t = 1

sen t = 0sen t = 0

sen t = 1sen t = 1

cos t = 0cos t = 0

(x=A)(x=A)

(x = 0)(x = 0)

|x(t)| = v(t) = | A sen( t)||x(t)| = v(t) = | A sen( t)|

veloc. máx

tt3

2

3

2

vmin = 0vmin = 0

vmax = A = 2.83m/svmax = A = 2.83m/s

(módulo)

xx

xx

x = Av = 0x = Av = 0

x = +Av = 0x = +Av = 0

max

equilibrio , 0xv



Velocidad y aceleración para x a medio camino entre posición de equilibrio y extremo.

Directamente calculamosla aceleración

Para calcular la velocidad, necesitamos despejar el seno.

Resultado:Resultado:Resultado:

c)

x(t) = 0.1m

x(t) = 2.45m/s

x(t) = 20m/s

x(t) = 0.1m

x(t) = 2.45m/s

x(t) = 20m/s

t = 60o

sen 60 = 3/2

cos t =1

2

x(t) =A

2= 0.1 cm

x(t) = A cos t

x(t) = A sen t

x(t) = A 2 cos t = 2x(t) = 2A

2

ot = 60o

sen 60 = 3/2

1cos t =

1

2

x(t) =A

2= 0.1 cm

x(t) = A cos t

x(t) = AA sens tt

x(t) = A 2 cos t = 22x(t) =) 2A

2

0.20.2 14.1414.14 3/23/2

= A/2 = 0.1= A/2 = 0.1

Problema 5

El instante t en el que se alcanza esa posiciónes t=0.074 s (aprox. T/6, y T=0.444 s)



calculado apartado c)

Energía total, potencial y cinética en ese punto.d)

Datos N

Problema 5

ETOTAL =1

2KA2 =

1

2

μ200

N

m

¶(0.2m)2 = 4Nm = 4JETOTEE AL =

1

2KAAK 2 =

1

2

μ200

N

m

¶(0.2m)2 = 4Nm = 4J

Kgm

s2mKg

m

s2m

EK =1

2mv2 =

1

2m [x(t)]

2=1

2(1 kg)(2.45m/s)2 = 3J

mmEK =

1

2mv2 =

11

22m [x(t ])]

2=1

2(1 kg)(2.45m/s)2 = 3J

EP = ETOTAL EK =1

2K [x(t)]2 = 1JEP == ETOTAL EK =1

2K [[x(t ])]2 == 1J



Un resorte de masa despreciable posee una longitud de 10cm sin estirar. Se sitúa el resorte en posición vertical y, a continuación, se cuelga de su extremo una masa de 2kg. Como resultado la masa comienza a oscilar en torno a un punto situado a 11cm estirado de la base del muelle. Calcule a) constante K del muelle, b) Amplitud y periodo de movimiento.

Problema 6:

Constante del muelle K

Y el periodo de oscilación, independientemente de la amplitud para oscilaciones pequeñas, es:

a)

K = 1962N

mK = 1962

N

m

Sabemos K l = mg en el equilibrioSabemos K l = mg en el equilibrio

K =mg

l=2kg 9.8m/s2

1 cmK =

mg

l=2kg 9.8m/s2

1 cm

T = 2

rm

K= 0.2 sT = 2

rm

K= 0.2 s=

rK

m=2

T=

rK

m=2

T

10 cm

m = 2kgl = 1 cm

m = 2kgl = 1 cm

11 cmy0= l=1cm



Problema 6

En principio, la amplitud de la oscilación vertical no tendría por quéser igual a l: La masa podría oscilar entorno a la posición de equilibrio vertical (situada a once centímetros de la base del muelle, -distinta de la posic. de equilibrio horizontal, que dista solamente 10 cm-), con una amplitud que no tendría por qué coincidir con el estiramiento que sufre el resorte en esas condiciones, (con la masa colgada, 1 cm).

Sin embargo, aquí sí coinciden, ya que en este caso se dice que simplemente “la masa se cuelga, y empieza a oscilar”. Así que el movimiento parte del reposo (condición inicial de velocidad nula), y según la definición de condiciones iniciales, el estiramiento del resorte en ese momento coincide con la amplitud de movimiento (sin incluir efectos de amortiguación). O sea: A= l

De todas formas, podemos comprobarlo, por energías. Suponiendo, primero, que no coinciden A= l



EK = 0EK = 0Epm =mg(h A)EpEE m=mg(h A)Epr =

1

2K( l+A)2EpEE r

=1

2K( l+A)2

Epr =1

2K( l)2EpEE r

=1

2K( l)2

Tierra Epm = 0Tierra EpEE m= 0

Epr =1

2K( l A)2EpEE r

=1

2K( l A)2 Epm =mg(h+A)EpEE m

=mg(h+A) EK = 0EK = 0

Epm =mg(h+ l)EpEE m=mg(h+ l)

E+TOT

= Epr +EpmE+TOTE = EpEE r

+EpEE m

ETOT

= Epr +EpmETOTE = EpEE r

+EpEE m

Epr = 0EpEE r= 0

h

ll

A

Problema 6

Diagrama de los niveles de energía en varios puntos

Antes de colgar la masa

Epm =mghEpEE m=mgh

Energ. Potencial del resorte

Energía potencial gravitatoria

Energíacinética

Energíatotal

Después de colgar la masa



Energía potencial total en el equilibrio

Energía potencial propia de la oscilación

A 6= lA 6=66 l En principio no tiene por qué ser l = A

Problema 6

E+TOTAL =1

2K( l)2 +

1

2KA2 2

1

2K l · A+mgh+mgAE+TOTAL =

1

2K( l)2 +

1

2KA2 22

1

22K ll ·· AA+mgh+mgmgAA

ETOTAL =1

2K( l)2 +

1

2KA2 + 2

1

2K l ·A+mgh mgAETOTAL =

1

2K( l)2 +

1

2KA2 + 22

1

22K ll ·A+mgh mgmgAA

ETOTAL = E+TOTAL

= ETOTAL

=1

2K( l)2 +mgh+

1

2KA2ETOTAL = E

+TOTAL

= ETOTAL

=1

2K( l)2 +mgh+

1

2KA2

La energía total en todos los puntos tiene que ser la misma (pues tanto la gravedad como el resorte son fuerzas conservativas)



mg l =1

2K( l)2 +

1

2KA2mg l =

1

2K( l)2 +

1

2KA2

mg = K lmg = K l

l Al A

Problema 6

mg l) = E+TOTAL

= ETOTAL

=1

(h +2K( l)2 +mg

1h +

2KA2mgg l) = E+

TOTAL= E

TOTAL=1

((hh +2K( l)2 +mgg

1hh +

2KA2

1

2K( l)2 =

1

2KA2

1

2K( l)22 =

1

2KA2

K( l)2 = 12K( l)2 + 1

2KA2K( l)2 = 1

2K( l)2 + 12KA

2

Igualando la ETOTAL antes y despues de colgar la masa:(La ETOTAL debe ser igual en cualquier instante)Igualando la ETOTAL antes y despues de colgar la masa:(La ETOTAL debe ser igual en cualquier instante)



Dos cuerpos con la misma masa cuelgan de dos resortes distintos de constantes recuperadoras K1 y K2. Ambos cuerpos oscilan con amplitudes tales que sus velocidades máximas son iguales. Determinar la relación existente entre ambasamplitudes.

Problema 7:

Sabemos:

A1A1

A1A1

A2AA2

A2A2mm

mm

K1K1 K2K2

Dato: vmax|1 vmax|2Dato: vmax|1 vmax|2Hay que calcular

A1A2

Hay que calcularA1A2

x(t) = A sen( t)x(t) = A sen( t)

x(t) = A cos( t)x(t) = A cos( t)

=

rK

m=

rK

m

vmax = Avmax = A



velocidades máximas iguales (dato, condición del problema)

A1A2

=2

1=

rK2

K1

A1A2

=2

1=

rK2KK

K1

A1 1 = A2 2A1 1 = A2 2

Problema 7

vmax|1 = A1 1vmax|1 = A1 1

vmax|2 = A2 2vmax|2 = A2 2

1 =

rK1

m1 =

rK1

m

2 =

rK2

m2 =

rK2

m



Problema 8:

Sabemos:

para un resorte:

en el equilibrio:

Por tanto:Po aannto:oPoPP nnnnaanntntntn ototooooPo nto:

Un resorte vertical de masa despreciable soporta una masa que le produce unalargamiento l0. Demostrar que el periodo de las oscilaciones verticales es el mismo que el de un péndulo simple de longitud l0.

T = 2

rm

K= 2

rm

mg/l0= 2

sl0g

or taaaaaaannnto:

T = 2==

rrm

K= 2

rm

mg/l0= 2

sl0g

K11

m

l00

mg = Kl0 K =mg

l0mg = Kl0 K =

mg

l0

T =2, =

rK

mT =

2, =

rK

m

Idéntico al periodo de oscilación de un péndulo de longitud l0 para pequeñas oscilacionesg 0 p p qIdéntico al periodo de oscilación de un péndulode longitud l0ll0l00 para pequeñas oscilacionesIdéntico al periodo de oscilación de un péndulo de longitud l0 para pequeñas oscilaciones

,,



mm

ll

Un explorador espacial desea conocer la aceleración de la gravedad en un planeta en el que acaba de aterrizar. Para ello, construye un péndulo simple con una cuerda de longitud 50.0cm y una masa de 2kg. El explorador determina que elpéndulo efectúa 100 oscilaciones completas en 136s. ¿Cuánto vale g en ese planeta?

Problema 9:

Sabemos:

100 oscilaciones en 136s

D t i i L il ió d é d l NO d d d l asa D t i i L il ió d é d l NO d d d l asaDato innecesario: La oscilación de un péndulo NO depende de la masa (Galileo). El funcionamiento del reloj de péndulo se basa en esto.

g =4 2(0.5m)

(1.36s)2= 10.7m/s2g =

4 2(0.5m)

(1.36s)2= 10.7m/s2

T = 2

sl

gg = 4 2 l

T 2T = 2

sl

gg = 4 2 l

T 2

T = 136100 = 1.36sT = 136100 = 1.36s

l = 50 cml = 50 cm

l = 50 cml = 50 cm

m = 2kgm = 2kg

Datos



En el sistema de la figura el muelle tiene una constante K=8N/m y m=1.50kg.La fuerza de amortiguamiento es del tipo F=-bv con b=230g/s. Suponiendo que el bloque se desplaza a 12.0cm de su posición de equilibrio y se suelta, calcule: a) tiempo necesario para que la amplitud de las oscilaciones se reduzca a un tercio de su valor inicial, b) ¿Cuántas oscilaciones realiza el bloque en ese tiempo?

Problema 10:

Ecuación del movimientoamortiguado:

Solución: x(t) = A0e(b/2m)t cos( 0t+ )x(t) = A0e(b/2m)t cos( 0t+ )

0 = 0

s1

μb

2m 0

¶20 = 0

s1

μb

2m 0

¶2

Kx bdx

dt= m

d2x

dt2Kx b

dx

dt= m

d2x

dt2

Amplitud sin amortiguar(dato: 12 cm)

Frecuencia de amortiguación

Amplitudamortiguada

Frecuencia sin amortiguar =

rK

m, K, m datos=

rK

m, K, m datos



A = A0e

b

2mt=A03

A = A0e

b

2mt=A03

a)

e

b

2mt=1

3e

b

2mt=1

3

b

2mt = ln

1

3= 1.0986

b

2mt = ln

1

3= 1.0986

t = 1.09862 · 1.5 kg230 g/s

103g

1 kg= 14.3 st = 1.0986

2 · 1.5 kg230 g/s

103g

1 kg= 14.3 s

Problema 10

Tiempo transcurrido para que A decaiga aA03

Tiempo transcurrido para que A decaiga aA03



Oscilaciones transcurridas hasta ese momento.

b)

=t 0

2' 5.25osc.=

t 0

2' 5.25osc.no de oscilaciones=

t

Tno de oscilaciones=

t

T

con amortiguación

sin amortiguación

0 =

rK

m=

s8N/m

1.5 kg= 2.31 rad/s0 =

rK

m=

s8N/m

1.5 kg= 2.31 rad/s

Problema 10

=t 0

2= 5.25osc.=

t 0

2= 5.25osc.

=

s20

μb

2m

¶2=

s20

μb

2m

¶2



Problema 11:Una canica pequeña de masa m se desliza sin rozamiento por el interior de un cuenco esférico de radio r. a) Demostrar que el movimiento de la canica es el mismo que si estuviese sujeta a un péndulo de longitud r. b) Una cánica de masa m1 se desplaza del centro del cuenco a una distancia s1. Otra canica de masa m2se desplaza en dirección opuesta una distancia s2=3s1, siendo s1 y s2 muchomenores que r. Si se sueltan las canicas en el mismo instante, ¿dónde seencontrarán?. Explicarlo.



La ecuación de movimiento es la misma en los dos casos:

mg sen = md2s

dt2mg sen = m

d2s

dt2

espacio recorrido sobre la superficie del cuenco (arco)

ángulo

~N

=mgcos

~N

=mgcos

mgcos

mgcosm

g sen

mg sen

P = mgP = mg

rl

rl

rr

a) Movimiento de la canica movimiento de un pendulo de radio r.Movimiento de la canica movimiento de un pendulo de radio r.

Problema 11



Problema 11

Idéntica a la del péndulo, con ‘longitud’=‘r’

¿¿radio del cuenco

d2s

dt2= r

d2

dt2d2s

dt2= r

d2

dt2

• El peso ~P = m~g y el angulo son identicos en los dos casos• El peso ~P = m~g y el angulo son identtticos en los dos casos

• El radio del cuenco r longitud del pendulo l• El radio del cuenco r longitud del pendulo´ l

• La normal ~N tension de la cuerda ~T• La normal ~N tension de la cuerda ~T

' d2

dt2=

g

r' d2

dt2=

g

rd2

dt2=

g

rsen

d2

dt2=

g

rsen

Transformamos s :TrTT ansforff mamos s :

s r



Las dos se encuentran en el punto más bajo delrecipiente (¡llegan al punto más bajo al mismo tiempo!)

b)

Problema 11

La solucion a la ecuacion anterior (para pequenos) es la

de un M.A.S., con un periodo definido: T = 2

rr

gque NO

depende ni de m ni de la altura de la que cae la bola.

La solucion a la ecuacion anterior (para pequenos) es la

de un M.A.S., con un periodo definido: T = 2

rr

gque NO

depende ni de m ni de la altura de la que cae la bola.

Do e ma m1 y m2, quecaen desde dos distancias distintas s1 y s2, s2 = 3s1, s1, s2 ¿ rDo e ma m1 y m2, quecaen desde dos distancias distintas s1 y s2, s2 3s1, s1, s2 ¿ r



(siempre que s1, s2 ¿ r)(siempre que s1, s2 ¿ r)

00

Problema 11

Esto parece contradictorio, pues

• Las bolas son distintas m1 6= m2

• y una recorre un camino tres veces menor (s2 = 3s1)

Esto parece contradictorio, pues

• Las bolas son distintas m1 6=66 m2

• y una recorre un camino tres veces menor (s2 = 3s1)

La explicacion esta en que, cuando los angulosson pequenos (garantizado porque s1, s2 ¿ r)estamos bajo la aproximacion de infinitesimosequivalentes y los angulos recorridos y 0 sonaproximadamente iguales: ' 0 ' sen ' 0

La explicacion esta en que, cuando los angulos´son pequenos (garantinn zado porque s1, s2 ¿ r)estamos bajo la aproximacion de infinitesi´ mosequivavv lentnn es y los angulos´ recorridos y 0 sonaproximadamentnn e iguales: ' 0 ' sen ' 0



La diferencia de alturas desde la que caen:

' 1' 1Aproximadamente caendesde la misma altura.Por otro lado, el tiempode caída no depende dela masa.

00

s1s1 s2s2

r cos 0r cos 0rr

r cosr cos

h1 = r r cos

h2 = r r cos 0

h1 = r r cos

h2 = r r cos 0

' 1' 1h = h1 h2 = r(cos

0 cos ) ' 0h = h1 h2 = r(cos0 cos ) ' 0' 0' 0

Problema 11

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