FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Profa. Carmen Batiz UGHS

FUNCIONES EXPONENCIALES

La forma standard es: y = abx, donde a es la constante , a ≠ 0,

b es la base , b >0 b ≠ -1 y x es el exponente, x = Reales.

GRÁFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

Si a > 0 y b > 1

y = 2x

y = 4x

y = 7x

La función crece

xaby

GRÁFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

Si a > 0 y 0 < b < 1

y = 1/2x

y = 1/4x

y = 1/7x

La función decrece

xaby

DOMINIO Y CAMPO DE VALORES

Dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos y el campo de valore también será el conjunto de todos los números reales positivos. Se requiere que b sea positiva para evitar números imaginarios (-2)1/2

PROPIEDADES BÁSICAS DE F(X) = BX B > 0 , B ≠ 1

Todas las gráficas que pasan por el punto (0,1). b0 = 1 Todas las gráficas son continuas, sin huecos ni saltos. El eje x es una asíntota horizontal. Si b > 1, entonces bx aumenta conforme aumenta x. Si 0 < b< 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x. La función de f es uno a uno.

OTRAS PROPIEDADES

x

xx

b

a

b

a

yxx

x

aa

a

Para a y b positivos, a ≠ 1 , b ≠ 1 y x y y reales: Leyes de exponentes

1. ax ∙ ay = ax + y 2. (ax)y = axy

3. (ab)x = axbx

4.

5.

6. ax = ay si y sólo si x = y7. Para x ≠ 0 , entonces ax = bx si y sólo sí

a = b

EJEMPLO

4x-3 = 8 22(x-3)= 23 se expresa el 4 y el 8 como

potencia de 2

2(x – 3) = 23 Propiedad 6

2x – 6 = 8 eliminación de paréntesis y

exponentes

2x = 14 P. suma de igualdad

x = 7 P. multiplicación de la igualdad

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

La forma standard es: logby = x, si y = bx

Y se lee:

log de b y como “log base b de y”

EJEMPLO:

25 = 52 y = bx función exponencial

x = log by función logarítmica2 = log 525 función logarítmica

ESCRIBE EN FORMA LOGARÍTMICA.

1.½ 3 = 1/8

2. 32 = 9

ESCRIBE EN FORMA LOGARÍTMICA.

1.½ 3 = 1/8

2. 32 = 9

Log ½ 1/8 = 3

Log 3 9 = 2

ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL

1. log264 = 6

2. log 61296 = 4

ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL

1. log264 = 6

2. log 61296 = 4

26 = 64

64= 1296

Ejercicios de práctica 7. 3Examples ExercisesMixed Exercises

EVALÚA LOG 816

Sea x = log 816 entonces:

8x = 16(23)x = 24

23x = 24

3x = 4

3 3

3x = 4

x = 4

3

Por lo tanto log 816 =4/3

EVALÚA LOG 5125

EVALÚA LOG 5125

Sea x = log 5125 entonces:

5x = 125 5x = 53

x = 3

Por lo tanto log 5125 =3

EJERCICIOS DE PRÁCTICA:

7.3 Examples ExercisesMixed Exercises

PARA TODO NÚMERO POSITIVO ; SE ESTABLECE QUE:

1. logbMN = logb M + logbNPropiedad de productos

2. logbM = logb M - logbN N

Propiedad de cocientes

1 b b,y NM,

CONTINUACIÓN...

3. logbMk = k logb M

Propiedad de potencia

EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo.

1. log3 20 – log 3 4

2. 3log2 x + log 2 y

3. log 8 – 2 log 2+ log 3

EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. 1. log3 20 – log 3 4

log 3 20 4log 3 5

EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo.

2. 3log2 x + log 2 y

log 2 x3y

log (8 ) 3 22log 6

EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. 3. log 8 – 2 log 2+ log 3

log (8 ) 3 22

log 6

EXPANDE CADA LOGARÍTMO

1. log 5 x y

2. log 3r4

EXPANDE CADA LOGARÍTMO

1. log 5 x y

2. log 3r4

log 5 x – log5 y

log 3 + 4log r

EJERCICIOS DE PRÁCTICA:

7.4 Examples ExercisesMixed Exercises

RESUELVE 4 + X3/2 = 31

4 + x3/2 = 31

x3/2 = 31 -4 x3/2 = 27

x 2723

x ( )33 23 x = 9

323/2

23

7

x

RESUELVE 3Y4/3=768

RESUELVE 3Y4/3=768

3y4/3=768

y = 64

y4/3=768 3

y4/3=256

y =2563/4

y 25634

y ( )28 34

y 26

RESUELVE 73X = 20

RESUELVE 73X = 20

73x = 20log 73x = log 20

3xlog 7 = log 20x = log 20 3log 7

Utilizando la calculadora x = 0.513

RESUELVE LOG (3X + 1) = 5

RESUELVE LOG (3X + 1) = 5

log (3x + 1) = 5

3x + 1 = 105

3x + 1 = 100,000

3x = 99,999x = 33,333

RESUELVE 2LOG X- LOG 3 = 2

RESUELVE 2LOG X- LOG 3 = 2

2log x- log 3 = 2

log x2 = 2 3

x2 = 102

3x2 = 1003

x2 = 300

x 300

x 10 3

EJERCICIOS

7.5

Examples Exercises

Mixed Exercises