Biot y Savart llegaron a una expresión matemática que proporciona el campo magnético en algún punto en el espacio en términos de la corriente que produce el campo. He aquí algunas observaciones:

•El vector dB es perpendicular tanto a ds como al vector unitario r dirigido de ds a P.

•La magnitud de dB es inversamente proporcional a r2, donde r es la distancia desde ds hasta P.

•La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds del elemento de longitud ds.

•La magnitud de dB es proporcional a senθ, donde θ es el angulo entre los vectores ds y unitario r.

La ley de Biot-Savart

2

ˆ4 r

rsIdBd o ×=

πµ

µo: permeabilidad del espacio libre

AmT

o

⋅×= −7104πµ

Una trayectoria de corriente de la forma mostrada en la figura produce un campo magnético en P, el centro del arco. Si el arco subtiende un ángulo de 30.0º y el radio del arco es de 6.00 m, ¿cuáles son la magnitud y dirección del campo producido en P si la corriente es de 3.00 A.

A

C

dsr2

0 ˆ

4 r

rsIdBd

×=

πµ dsrsd =× ˆ

20

4 R

dsIdB

πµ=

sR

Ids

R

IdB

20

20

44 πµ

πµ

∫ == ( )θπµ

RR

IdB

20

4=

página la

de adentro hacia es B dedirección La 4

0 θπ

µR

IB =

R

)cos(cos4 21 θθπ

µ −=aI

B o

Si tenemos un alambre infinito recto: θ1 = 0 y θ2 = π.

aI

B o

πµ2

=

Campo magnético alrededor de un conductor recto delgado

VER ANIMACION

Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular

222 4

ˆ

4 axdsI

r

rsdIdB oo

+=

×=

πµ

πµ

0=∫= yy dBB

∫=∫ −=∫= θθ dBsendBdBB xx )90cos(

∫

+

+=

22224 ax

aax

dsIB o

πµ

( ) ∫+

= dsax

IaB o

2/3224πµ

( ) 2/322

2

2 ax

IaB o

+= µ

∫ = ads π2donde

Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular

( ) 2/322

2

2 ax

IaB o

+= µ

En el centro del lazo (x = 0):a

IB o

2

µ=

En puntos muy lejanos (x >> a):32 x

B o µπ

µ=

Un conductor consiste de una espira circular de radio R = 0.100 m y de dos largas secciones rectas, como se muestra en la figura. El alambre yace en el plano del papel y conduce una corriente I = 7.00 A. Determine la magnitud y dirección del campo magnético en el centro de la espira.

El campo en el centro es la superposición de un largo alambre y de un círculo.

R

I

R

IB

2200 µ

πµ +=

+=

πµ 1

12

0

R

IB

+

×××=

−

ππ 1

1100.02

00.7104 7

B

TB 5108.5 −×=

Fuerza magnética entre dos conductores paralelos

Dos alambres que conducen corriente ejercen fuerzas magnéticas entre sí .

La dirección de la fuerza depende de la dirección de la corriente.

121 LBIF = dI

Bπ

µ2

101 =

dLII

Fπ

µ2

2101 =

212 LBIF = dI

Bπ

µ2

202 =

dLII

Fπ

µ2

2102 =

Conductores paralelos que conducen corriente en la misma dirección se atraen

entre sí, en tanto que conductores paralelos que conducen corriente en

direcciones opuestas se repelen entre sí.

Si un conductor conduce una corriente estable de 1 A, entonces la

cantidad de carga que fluye por sección transversal del conductor

en 1 s es 1 C.

a

b

c

Los tramos horizontales de la espira y el alambre recto y muy largo forman una

configuración de alambres paralelos, en consecuencia la fuerza resultante sobre la

espira será:

−=

−=

ba

cIIF

cb

IIc

a

IIF

11

2

22

210

210210

πµ

πµ

πµ

Las fuerzas F3 y F4 se cancelan.

a

b

c

En la figura la corriente en el largo alambre recto es I1 = 5.00 A y el alambre se ubica en el plano de la espira rectangular, la cual conduce 10.0 A. Las dimensiones son c = 0.100 m, a = 0.150 m y l = 0.450 m. Determine la magnitud y dirección de la fuerza neta ejercida sobre la espira por el campo magnético creado por el alambre.

d

lIIF

πµ

2210=

F1

F2

c

lIIF

πµ

2210

1 = ( )ca

lIIF

+=

πµ

2210

2

21 FFF −=

+−=

cac

lIIF

11

2210

πµ

+−××××=

−

100.0150.0

1

100.0

1

2

450.000.1000.5104 7

ππ

F

izquierda. la hacia dirigido 107.2 5NF −×=

LEY DE AMPERE

La integral de línea de B·ds alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a µ0I, donde I es la corriente estable total que pasa a través de cualquier superficie delimitada por la trayectoria cerrada.

IsdB 0µ=∫ ⋅

IaB 0)2( µπ ==

a

IB

πµ2

0=

EL CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN EL CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN LARGO ALAMBRE QUE CONDUCE LARGO ALAMBRE QUE CONDUCE

CORRIENTECORRIENTE

00)2( IrBdsBd µπ∫ ∫ ===⋅ sB

) (para 2

00 Rrr

IB ≥=

πµ

I0µ

•Un largo alambre recto de radio R conduce una corriente estable que está distribuida de manera uniforme a través de la sección transversal del alambre. Calcule el campo magnético a una distancia r del centro del alambre en las regiones r > R y r < R.

2

2

0 R

r

I

I

ππ=

02

2

IR

rI =

( )

===⋅∫ 02

2

002 IR

rIrBd µµπsB

) (para 2 2

00 RrR

rIB <=

πµ

Fuera del toroide (r<R):

00 ==∫ ⋅ IsdB µ

0=BDentro del toroide:

BsdsBBdssdB =∫=∫=∫ ⋅

NIrB 02 µπ =rNI

Bπ

µ20=

Fuera del toroide (r>R):

00 ==∫ ⋅ IsdB µ

0=B

( ) ( )

−×=×= k

x

IidxIBsdIFd B

ˆ 2

ˆ 1022 π

µ

Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide.

BxdlBBdlldB BCBC =∫=∫=∫ ⋅

NIBx 0µ=

xNI

B 0µ=

nIB 0µ=

Campo magnético producido por un solenoide en un punto de su eje:

( ) ndxax

IadB o

2/322

2

2 += µ

θθ tantan xax

a =⇒= θθ 22

cos

1tan1 =+

∫ −=2

12

θ

θθθµdsen

nIB o

)cos(cos2 12 θθµ −= nI

B o

DEBER

En el punto medio del solenoide, suponiendo que el solenoide es largo comparado con a:

nIB oµ=

En el punto extremo del solenoide, suponiendo que el solenoide es largo comparado con a:

nIB oµ21=

Vector de magnetización e intensidad de campo magnético

El estado magnético de una sustancia se describe por medio de una cantidad denominada vector de magnetización M, cuya magnitud se define como el momento magnético por unidad de volumen de la sustancia.

MBB 0ext

µ+=

El campo magnético total en un punto en una sustancia depende tanto del campo externo aplicado como de la magnetización de la sustancia.

La intensidad de campo magnético H de una sustancia representa el efecto de la corriente de conducción en alambres sobre una sustancia (Bext =µ0H)

)MH(B 0

+µ=

Clasificación de sustancias magnéticas

Ferromagnetismo

Son sustancias cristalinas cuyos átomos tienen momentos magnéticos permanentes que muestran intensos efectos magnéticos.

Todos los materiales ferromagnéticos están constituidos con regiones microscópicas llamadas dominios. Ejemplos: hierro, cobalto, níquel.

Si sobre un material ferromagnético se aplica una corriente, la magnitud del campo magnético H aumenta linealmente con I.

La curva B versus H se denomina curva de magnetización:

Este efecto se conoce como histéresis magnética.

La forma y tamaño de la histéresis dependen de las propiedades de la sustancia ferromagnética y de la intensidad del campo aplicado.

La histéresis para materiales ferromagnéticos “duros” es característicamente ancha, lo que corresponde a una gran magnetización remanente.

El área encerrada por la curva de magnetización representa el trabajo requerido para llevar al material por el ciclo de histéresis.

Paramagnetismo y diamagnetismo

Al igual que los ferromagnéticos, los materiales paramagnéticos están hechos de átomos que tienen momentos magnéticos permanentes, mientras que los diamagnéticos carecen de ellos.

Aluminio, calcio, cromo son ejemplos de sustancias paramagnéticas mientras que el cobre, oro y plomo son ejemplos de sustancias diamagnéticas.

Para las sustancias paramagnéticas y diamagnéticas, el vector de magnetización M es proporcional a la intensidad de campo magnético H:

HM

χ=

Donde χ es un factor adimensional llamado susceptibilidad magnética.

Para sustancias paramagnéticas χ es positiva y para sustancias diamagnéticas χ es negativa.

sea nulo?

7. Dos hilos conductores rectilíneos y paralelos están separados entre sí por 10 cm, y uno de ellos está recorrido por una corriente de 6 A dirigida de arriba hacia abajo, tal y como se indica en la figura. ¿Cuál ha de ser la intensidad y dirección de la corriente en el otro hilo para que el campo magnético en el punto A sea nulo?

contrariosentidodeAI

II

II oo

23/6

15

5

)5(2)510(2

2

12

21

==

=⇒

=+ π

µπ

µ

FLUJO MAGNETICO

El flujo magnético a través del plano es cero cuando el campo magnético es paralelo a la superficie del plano.

El flujo a través del plano es un máximo cuando el campo magnético es perpendicular al plano.

Un lazo rectangular de ancho a y longitud b está colocado cerca de un alambre largo que lleva una corriente I. La distancia entre el alambre y el lado más cercano del lazo es c. El alambre es paralelo al lado largo del lazo. Calcule el flujo magnético total a través del lazo debido a la corriente en el alambre.

LEY DE GAUSS EN EL MAGNETISMO

A diferencia del flujo eléctrico que se refiere a cargas encerradas dentro de una superficie cerrada, el flujo magnético es cero porque las líneas de campo magnético no comienzan o terminan en un punto. El número de líneas que entran a una superficie es igual al número de líneas que salen de ella.

Las líneas de campo magnético de un imán de barra forman lazos cerrados. Note que el flujo magnético a través de una superficie cerrada que rodea uno de los polos (o cualquier otra superficie) es cero.

Corriente de desplazamiento y la forma general de la ley de Ampère

IsdB 0µ=⋅∫

Se va a mostrar que la ley de Ampere en esta forma sólo es válida si cualquier campo eléctrico presente es constante en el tiempo. Maxwell fue quien reconoció esta limitación y modificó la ley de Ampere para incluir campos eléctricos que varían con el tiempo.

IsdB 0µ=⋅∫

Los campos magnéticos son producidos tanto por campos eléctricos constantes como por campos eléctricos que varían con el tiempo.

La ley de Ampere de la forma anterior sólo es válida si el campo eléctrico es constante en el tiempo.

)II(sdB d0 +µ=⋅∫

dt

dI E

0d

Φε=

Se debe aclarar que la expresión anterior sólo es válida en el vacío. Si un material magnético está presente, se debe utilizar la permeabilidad y la permitividad características del material.

CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO

SOLUCION

( ) tsentsenVV 4max 1088.10.30 ×==∆ ω

( ) ( ) ( )[ ]tsenVdt

dFId

46 1088.10.301000.8 ××= −

( ) ( )tAId41088.1cos51.4 ×=

Determine el campo magnético en un punto P ubicado a una distancia x de la esquina de un alambre largo infinito doblado en ángulo recto, como se muestra en la figura. El alambre tiene una corriente estable I

Para el brazo 2, el alambre sólo es semi-infinito, por lo tanto:

papel. del plano al entrando 422

1 00

x

I

x

IB

πµ

πµ =

=

)cos(cos4 21 θθπ

µ −=aI

B o

(a) Un conductor tiene la forma de un lazo cuadrado de 0,400 m de lado y conduce una corriente I = 10 A como en la figura. Calcule la magnitud y dirección del campo magnético en el centro del cuadrado.

(b) Si este conductor se forma como una espira de una sola vuelta y conduce la misma corriente, ¿cuál es el valor del campo magnético en el centro?

Para una espira circular de una sola vuelta:

ππ l

RRl4

2 24 =⇒=

)cos(cos4 21 θθπ

µ −=aI

B o

Un conductor cilíndrico largo de radio R conduce una corriente I como se muestra en la figura. La densidad de corriente es J, sin embargo, no es uniforme sobre la sección transversal del conductor pero es una función del radio de acuerdo a J = br, donde b es una constante. Encuentre una expresión para el campo magnético B:a)a una distancia r1 < R yb)a una distancia r2 > R, medida desde el eje

Usando la densidad de corriente, se convierte en:

∫ ∫ ⋅=⋅ AdJsdB

0µ

∫ =⋅ IsdB 0µ

Para r<R:( ) ( )( )3

222

10

0

01

1 rbBrdrbrrB

r

µπµπ =⇒= ∫

Para r>R:( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ =⇒=RR

drrbrBrdrbrrB0

202

0

02 2 2 2 2 µπππµπ

2

30

3r

bRB

µ=

¿Qué corriente se requiere en los devanados de un solenoide largo que tiene 1000 vueltas uniformemente distribuidas sobre una longitud de 0.400m,, para producir un campo magnético de magnitud 1.00 x 10-4 T en el centro del solenoide

L

NIB 0µ=

( )( ) mA

AmT

mT

N

BLI 8.31

1000104

400.01000.17

4

0

=×⋅×

××==−

−

πµ

La figura muestra una vista de la sección transversal de un cable coaxial. El conductor del centro está rodeado por una capa de caucho, el cual está rodeado por otro conductor, el cual está rodeado de otra capa de caucho. En una aplicación particular, la corriente en el conductor del centro conduce 1.00 A saliendo de la página y la corriente en el conductor de afuera es de 3.00 A entrando a la página. Determine la magnitud y dirección del campo magnético en los puntos a y b.

( ) IrB a 0 2 µπ =

( ) TTm

AATm

B µπ

π200102

100.12

11044

3

7

=×=×

××= −

−

−Hacia arriba de la página

Para el punto a

Para el punto b: ( ) ( )120 2 IIrB b −= µπ

( )( ) T

m

AATm

B µπ

π133

1000.32

00.100.3104

3

7

=×

−×= −

−Hacia abajo de la página.

Considere la superficie hemisférica cerrada en la figura. El hemisferio está dentro de un campo magnético uniforme el cual forma un ángulo θ con la vertical. Calcule el flujo magnético a través de:a)La superficie plana S1

b)La superficie curva S2

( ) ( )θπ

θπ

cos

180cos 2

2

RB

RBABplanaB

−=

=−=⋅=Φ

Como el flujo neto de la superficie cerrada debe ser cero:

( ) ( ) 0=Φ+Φ curvaBplanaB

( ) θπ cos 2RBcurvaB +=Φ