Fuerza electrostática sobre una esfera dieléctrica.

Electromagnetismo II: Problemas 2 y 10 de la relaci´ on 4. Eduardo Madrid Navarro Grad o en F ´ ısi ca, Universidad de Murcia [email protected] 8 de diciembre de 2015 Ejercicio 2 a) F uerza electrost´ atica producida por una l´ ınea infinita cargada sobre una esf era di el´ ect rica. En este apartado vamos a obtener una expresión anal ´ ıtica de la fuerza que una l´ ınea infinita con densidad lineal de carga λ ejerce s obre u na es fera d iel´ ectrica pequ eña de radio a , situada a una distancia s (en el eje X, por conveniencia). En lo que sigue, vamos a considerar que la esfera es muy peque˜ na en comparaci´ on con las dimensiones del problema, esto es, a s. Como sabemos, podemos modelizar la situaci´ on como un conjunto de dipolos en la esfera, orientados acordemente con el camp o el´ ectrico externo aplicado. La expresi´ on de la fuerza producida sobre un dipolo por un campo externo viene dada por: F = ( p∇) E 0 donde p es el momento dipolar. Si ahora consideramos una distribuci´ on vol um´ etrica de d ipol os ( en nuest ro caso ser´ a la esfera): F = V ( P ∇) E 0 dV donde V es el volumen de la esfera, P es el momento dipolar por unidad de volumen y E 0 es el campo el´ ectrico producido por la l ´ ınea de carga (que coincide con la direcci´ on del eje Y). Este campo tiene un valor E 0 = λ 2π 0 x ˆ x. Utilizamos ahora la f´ ormula que se vio en clase del campo el´ ectri co en una esfer a diel´ ectrica sometido a un campo externo constante (esta es la aproximaci´ on que hacemos, ya que estamos considerando que a s): E = 3 r + 2 E 0 −→ E = 3 χ e + 3 E 0 Sustit uyendo aqu ´ ı la expresi´ on del campo producido por la l´ ınea, E 0 , obtenemos: E = 3 χ e + 3 λ 2π 0 x ˆ x por lo que P será: P = 0 χ e E 0 = χ e 3 χ e + 3 λ 2πx ˆ x Ya podemos calcular el integrando de la integral de la fuerza, que resulta: ( P ∇) E 0 = χ e 3 χ e + 3 λ 2πx ∂ E 0 ∂x = − 3χ e λ 2 4π 2 x 3 (χ e + 3) ˆ x De acuerdo con la asunción de que el campo el´ ectri co es const ante respecto a las dimen sione s de la esfer a podemos sacar el integrando de la integral y ento nces nos queda que la fuerza es (parti cular izand o para x = s): F = − 4πa 2 3 3χ e λ 2 4π 2 x 3 (χ e + 3) ˆ x = − χ e λ 2 a 3 (χ e + 3) π 0 s 3 ˆ x 1

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