Fuerzas a distanciaCampos de Fuerza. INTERACCIONESINTERACCIONES FUNDAMENTALESFUNDAMENTALES.

Fuerzas a distanciaCampos de Fuerza

INTERACCIONES

FUNDAMENTALES

Las fuerzas a distancia se explican aplicando un

nuevo concepto

Campo de fuerzas

A cada punto del espacio donde exista un campo de

fuerzas se le puede asignar un vector fuerza

Los campos de fuerzas pueden existir en el vacío

El concepto de campos puede aplicarse a otras magnitudes o propiedades:

Campos materiales

Campo de presiones: escalar

Campo de velocidades: vectorial

Todo cuerpo capaz de producir interacciones a distancia genera un campo de fuerzas

Si en una zona del espacio existe un campo de fuerzas, al situar un cuerpo adecuado en ese

punto se verá sometido a una fuerza

Si el campo es muy GRANDE la fuerza será grande y

si el campo es DÉBIL la fuerza será pequeña

Campo ¿GRANDE?¿DÉBIL?

El valor del campo es medible: Intensidad del campo

CAMPO GRAVITATORIO

La masa de la tierra provoca el campo de fuerzas

El valor del campo solo debe depender de la masa de la tierra

La intensidad del campo gravitatorio en un punto se define como la fuerza que

soporta la unidad de masa en ese punto

gFgm

��

CAMPO GRAVITATORIO

Una masa considerada puntual ejerce una fuerza sobre otra situada a una distancia r dada por

2

·· r

M mF G u

r

��

La intensidad del campo donde está la masa m será

2· r

Mg G u

r

��

Se le llama gravedad

http://www.esacademic.com/pictures/eswiki/70/Flamm.jpg

CAMPO GRAVITATORIO

¿Cómo calcularemos la intensidad del campo gravitatorio en el punto p

CAMPO GRAVITATORIO

Veamos: sobre un mismo punto se aplican varios vectores

Se trata de encontrar el vector resultante

Es decir aplicamos el principio de superposición

1 2 31

....n

n ii

g g g g g g

��

Suma Vectorial

CAMPO GRAVITATORIO: SUPERPOSICIÓN

Calcula la fuerza gravitatoria que dos cuerpos puntuales de 10 y 20 kg situados respectivamente en los puntos (0,0) y (10,0), sobre un tercer cuerpo de 4 kg situado en el punto (7,5).


Una vez representadas las masas y las fuerzas se trata de aplicar la ley de gravitación universal

Distancias por Pitágoras

m2

m2


Ahora toca sumar fuerzas: suma de vectores. Lo haremos por componentes. Calculamos las componentes de cada fuerza para lo que calculamos los ángulos

5arctan( ) 35,5º

7

5arctan( ) 59,04º

3

Ojo los ángulos están medidos desde distintos orígenes. Ten en cuenta que cos(α) y sen(α) son negativos

cos() es positivo y sen() es negativo


Ahora toca sumar fuerzas: suma de vectores. Lo haremos por componentes. Escribimos cada fuerzas en función de sus componentes (recuerda i componente x y j nos da la componente y):


¿Cuál sería la intensidad del campo en el punto donde se halla

situada m3?

11 115,2·10 15,6·10/

4

i jg N kg

��

3

Fg

m��

��Por definición sabemos que

Por tanto

CAMPO GRAVITATORIO

Al alejarnos de un planeta la intensidad de su campo gravitatorio (gravedad) disminuye. Está claro.

Pero, ¿qué pasa dentro del planeta? ¿Cuál será la gravedad justo en el centro?

Por lo tanto la gravedad dentro del planeta debe ir…

Exacto: ¡DISMINUYENDO!

Cero: en ese punto los vectores del campo se deben anular

CAMPO GRAVITATORIO

Determina la expresión del módulo de g en el interior del planeta (distancia r del centro)

Pistas:1. Divide el planeta en dos esferas una de radio r y otra concéntrica hasta la superficie2. La gravedad dentro de una esfera hueca es cero. (se anula).3. La masa de una esfera se puede calcular mediante el volumen y la densidad

Investigad, buscad o razonar la solución , pero os la voy a pedir

CAMPO GRAVITATORIO: ENERGÍA POTENCIAL

Haciendo memoria: el trabajo realizado por las fuerzas conservativas no dependen del camino recorrido por la fuerza, solo depende de los estados inicial y final del sistema

Cuando el sistema va del punto 1 al punto 2 y luego regresa al punto 1, el trabajo total realizado por la fuerza es cero

O sea si para ir de 1 a 2 realizamos trabajo sobre el sistema, al volver el sistema nos debe devolver ese trabajo para que el trabajo neto sea cero

Por eso un muelle puede almacenar energía y devolverla cuando la necesitamos


Fuerzas centrales SON conservativas

La fuerza gravitatoria (central) genera un campo de fuerzas conservativo

Si hacemos trabajo sobre el sistema este trabajo queda en él en forma de

Energía Potencial

Todos los campos de fuerzas conservativos llevan asociado el concepto de energía potencial.


¿Cómo medir la energía potencial de un cuerpo en un punto? Imposible.

Pero podemos medir la diferencia de energía potencial entre dos puntos

2

1 2 2 1 1 2

1

( )g p p p p pW F dr E E E E E ��

¿Cómo? Piensa en porqué aparece el concepto de

Energía Potencial

Vale: por el trabajo realizado por nosotros cuando movemos un

cuerpo entre esos dos puntos, que es opuesto al trabajo realizado

por la fuerza conservativa.

Recuerda la definición de trabajo……. cuando la fuerza es variable

Esta superficie bajo la curva mide el trabajo realizado por la fuerza F

Recuerda el teorema del trabajo


1 2 2 1 1 2( )p p p p pW E E E E E

En el caso del campo gravitatorio originado por una masa puntual esa superficie, o sea, el trabajo realizado

por la fuerza gravitatoria al mover una masa m desde 1 a 2 viene dado por

1 2 1 22 1

· · · ·p p

GM m GM mW E E

r r

Si tomamos como referencia (punto origen) para medir las Energías potenciales un punto muy alejado del origen del campo (el infinito) esta expresión queda:

22

· · · ·p p

GM m GM mE E

r r

22

· ·p

GM mE

r2

2

· ·p

GM mE

r


Como veis la energía potencial es

negativa

Inversamente proporcional a la distancia al origen del campo y proporcional a la masa

causante del campo

Si queremos saber el trabajo exterior necesario para mover una masa de un punto 1 a un punto 2 basta con saber la diferencia de energía potencial entre ellos.

2 1( 1 2) ( 1 2) p pW exterior W gravitatorio E E

Al alejarnos del planeta nuestra energía potencial aumenta, se hace más positiva

A una distancia “infinita” el efecto del planeta no existe: La Energía Potencial es cero

CAMPO GRAVITATORIO: POTENCIAL GRAVITATORIO

De la misma forma definimos el potencial gravitatorio (V) en un punto como la energía potencial de la unidad de masa en ese punto.

Al definir la intensidad de campo el valor del campo en un punto solo depende de la masa origen del campo y de la distancia a ella.

O lo que es lo mismo: el trabajo necesario para traer la unidad de masa desde el infinito hasta ese punto.

¿Cuál sería su expresión matemática?

Pero ojo: estamos usando un punto de referencia donde Ep es 0: el infinito

01

· · ·po

E G M GM GMV W

m r r

CAMPO GRAVITATORIO: POTENCIAL GRAVITATORIOEl potencial gravitatorio creado por varias masas en un punto se calcula como suma de los potenciales creados por cada masa en ese punto.

La energía potencial es negativa y se hace 0 a distancia infinita del planeta


El campo gravitatorio se representa por las líneas de fuerza y por las superficies equipotenciales: lugar geométrico formado por puntos con idéntico potencial.

Un cuerpo se mueve por la superficie equipotencial 1 y otro similar se mueve por la superficie equipotencial 2 ¿En qué caso es mayor el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria?

Efectivamente en ambos casos el trabajo es nulo. El trabajo gravitatorio viene dado por la diferencia entre los potenciales inicial y final, y en una superficie equipotencial estos valores son iguales


Una partícula de masa m1 = 2 kg está situada en el origen de un sistema de referencia y otra partícula de masa m2 = 4 kg está colocada en el punto A(6,0). Calcula el potencial gravitatorio en los puntos de coordenadas B(3,0) y C(3,4). ¿Qué trabajo se realiza al transportar una masa de 5 kg desde el punto B hasta el punto C?

m1 m2

Coloquemos las masas en el sistema de ejes de coordenadas

B

C Marcamos los puntos donde queremos calcular el potencial


m1 m2B

C

Los potenciales se calculan por separadoEl potencial total se calcula como la suma de los potenciales individualesRecuerda que V es un escalar

1 2 1 2

1 2 1 2

· · 2 4

3 3b

Gm Gm m mV G G

r r r r

1 2 1 2

1 2 1 2

· · 2 4

5 5c

Gm Gm m mV G G

r r r r

Distancia desde C hasta las masas vale 5 m


m1 m2B

C

Haciendo los cálculos tenemos

10

11

1,334·10 /

8,004·10 /

B

C

V J Kg

V J K

¿Qué trabajo se realiza al transportar una masa de 5 kg desde el punto B hasta el punto C?

10 11

10

( ) 5· 1,334·10 ( 8,004·10 )

2,668·10

B C B C

B C

W m V V

W J

El trabajo de la fuerza gravitatoria es negativo: el cuerpo no se mueve solo, va de un punto de menor a otro de mayor energía potencial

Recordemos que el trabajo realizado por una fuerza conservativa viene dado por la variación de la Ep cambiada de signo (Terorema del trabajo)


Como ya sabemos la energía mecánica no desaparece ni se

crea de la nada, solo se transforma

Si aplicamos una fuerza a un cuerpo a lo largo de una trayectoria en una superficie equipotencial el trabajo gravitatorio es 0

Sin embargo el cuerpo se ha movido bajo la acción de una fuerza, se ha realizado trabajo ¿qué ha pasado con la energía que hemos invertido?

Muy bien: fuerza, por tanto aceleración, por tanto incremento de velocidadHa aumentado la energía cinética del cuerpo: Teorema de las Fuerzas Vivas

21·

2Ec m v

1 2 2 1c cW E E

CAMPO GRAVITATORIO: POTENCIAL GRAVITATORIOEste trabajo puede hacerlo la fuerza gravitatoria y estamos ante un hecho evidente: cuando un cuerpo cae su velocidad aumenta.

Energía mecánica

E. Potencial

E. cinética

La energía potencial disminuye y aumenta la cinética

La energía mecánica total no varíaSolo que cada vez hay más cinética

y menos potencial

Por supuesto sin fuerzas no conservativas presentes

CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE

El siguiente paso es aplicar todo lo aprendido al planeta donde vivimos

CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE

Masa de la Tierra: 5,974·1024 Kg

Radio medio de la Tierra: 6,371·106 m

Toca trabajar un poquito: Calculad la gravedad a una altura de la superficie de 340 Km

La estación Espacial Internacional orbita a 340 Km de media ¿porqué los astronautas flotan en la estación si la gravedad es bastante elevada?

¿Qué energía potencial posee un cuerpo de 1 kg de masa en la superficie terrestre? ¿Qué energía habría que darle para que su energía potencial pase a ser 0?

Esa energía se la podemos proporcionar en forma de energía cinética ¿qué velocidad habría que comunicarle al cuerpo?¿Influye la masa?

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