UNIDAD 1-ESTTICASUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES Cuando tiene que obtenerse la resultante de ms de dos fuerzas , es ms fcil encontrar las componentes de cada fuerza a lo largo de los ejes especificados, sumar esas componentes algebraicamente, y luego formar la resultante, en lugar de aplicar en forma sucesiva la ley del paralelogramo. Aunque los ejes son horizontal y vertical, por lo general pueden estar dirigidos con cualquier inclinacin, siempre que permanezcan perpendiculares entre s.

En todo caso, por la ley del paralelogramo, requerimos:

F = Fx + Fy y F= FX + Fy

El sentido de cada componente de fuerza est representado grficamente por la cabeza de flecha. Sin embargo, en un trabajo analtico, debemos establecer cierta notacin, para representar el sentido de las componentes rectangulares.Esto puede hacerse de dos maneras:

NOTACIN ESCALAR. Como los ejes x Y y tienen asignadas direcciones positiva y negativa, la magnitud y el sentido direccional de las componentes rectangulares de una fuerza pueden expresarse en trminos de escalares algebraicos.

NOTACIN VECTORIAL CARTESIANA. Tambin es posible representar las componentes de una fuerza en trminos de vectores unitarios cartesianos. Cuando hacemos esto, los mtodos del lgebra vectorial son ms fciles de aplicar, lo que resulta particularmente conveniente en la solucin de problemas tridimensionales.

En dos dimensiones, los vectores cartesianos i y j se usan para designar las direcciones de los ejes x y y, respectivamente, como se muestra en la figura. Esos vectores tienen una magnitud adimensional de la unidad y sus sentidos sern descritos analticamente por un signo + -, dependiendo de si sealan a lo largo de los ejes x y positivos negativos.

La magnitud de cada componente de F es siempre una cantidad positiva, la cual est representada por los escalares (positivos) Fx y Fy . Por lo tanto, una vez establecida una notacin para representar la magnitud y direccin de cada componente vectorial, podemos expresar F como el vector cartesiano:

F = Fx i + Fy j

simplemente

F = Fx i + Fy j

RESULTANTES DE FUERZAS COPLANARES. Cualquiera de los dos mtodos descritos puede emplearse para determinar la resultante de varias fuerzas coplanares. Por ejemplo, considere las tres fuerzas concurrentes en la figura siguiente, con componentes x e y como se muestra a continuacin:

Para resolver ste problema usando notacin vectorial cartesiana, cada fuerza se representa primero como un vector cartesiano, as:

El vector resultante, es , por tanto:

S se usa notacin escalar, entonces, a partir de la figura anterior, tenemos:

En el caso general, las componentes x e y de la resultante de cualquier nmero de fuerzas coplanares pueden ser representadas simblicamente por medio de la suma algebraica de las componentes x e y de todas las fuerzas, Es decir:

Una vez que se determinan las componentes de la resultante, la fuerza resultante puede obtenerse y l ngulo de direccin, a partir de las siguientes frmulas:

EJEMPLO 5. Determinar las componentes x e y de F1 y F2 que actan sobre la barra mostrada en la figura:

EJEMPLO 6. La armella mostrada en la figura est sometida a la accin de dos fuerzas F1 y F2. Determine la magnitud y la orientacin de la fuerza resultante.

EJEMPLO 7. El extremo O de la barra en la figura mostrada abajo, est sometido a tres fuerzas coplanares concurrentes. Determine la magnitud y orientacin de la fuerza resultante.

VECTORES CARTESIANOS

Las operaciones del lgebra vectorial, al aplicarse a la resolucin de problemas en tres dimensiones, se simplifican considerablemente cuando los vectores se representan primero en la forma vectorial cartesiana.

SCD. Se dice que un sistema rectangular, sistema cartesiano es Derecho s el pulgar de la mano derecha seala en la direccin del eje z positivo, cuando los dedos de la mano derecha se enrollan alrededor de ste eje y estn dirigidos del eje x positivo hacia el eje y positivo.

Vectores Unitarios Cartesianos. En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios i, j , k, se usa para designar las direcciones de los ejes x, y y z, respectivamente.

REPRESENTACIN DE UN VECTOR CARTESIANO. Podemos escribir un vector A en la forma vectorial cartesiana como:

MAGNITUD DE UN VECTOR CARTESIANO.

DIRECCIN DE UN VECTOR CARTESIANO.

stos nmeros se conocen como cosenos directores de A. Una vez obtenidos, los ngulos directores coordenados , y pueden ser determinados entonces mediante los cosenos inversos. Una manera fcil de obtener los cosenos directores de A es formar un vector unitario en la direccin de A.

En general, si A est expresado en forma vectorial cartesiana, A = Ax i + Ay j + Az k, entonces:

Donde :

Se ve que las componentes i , j, k de uA representan los cosenos directores de A. Esto es:

Puede formularse una importante relacin entre los cosenos directores como:

Finalmente, s la magnitud y los ngulos coordenados de direccin de A son dados, A puede ser expresado en la forma vectorial cartesiana como:

*SUMA Y RESTA DE VECTORES CARTESIANOS. Las operaciones vectoriales de suma y resta de dos ms vectores se simplifican considerablemente s los vectores son expresados en trminos de sus componentes cartesianas. Por ejemplo, s A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k , entonces, el vector resultante R, tiene componentes que representan las sumas escalares de los componentes i, j, k de A y B. Es decir:

La resta vectorial, un caso especial de la suma vectorial, requiere simplemente una resta escalar de las respectivas componentes i, j, k de A B. As:

*SISTEMAS DE FUERZAS CONCURRENTES. S el concepto anterior de suma vectorial es generalizado y aplicado a un sistema de varias fuerzas concurrentes, entonces la fuerza resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas presentes en el sistema y puede escribirse como:

EJEMPLO 8. Exprese la fuerza F mostrada en la figura como un vector cartesiano.

EJEMPLO 9. Determine la magnitud y los ngulos coordenados de direccin de la fuerza resultante que acta sobre el anillo en la figura mostrada.

EJEMPLO 10. Exprese la fuerza F1 , mostrada en la figura, como un vector cartesiano.

EJEMPLO 11. Dos fuerzas actan sobre el gancho mostrado en la figura. Especifique los ngulos coordenados de direccin de F2 de modo que la fuerza resultante FR acte a lo largo del eje y positivo y tenga una magnitud de 800 N.