REVISTA MEXICANA DE FislCA 46 SUI'LE~IENTO 2.101-107 NOVIEMBRE 2000

Fuerza termoelectromotriz estacionaria y no estacionaria en los semiconductores:una nueva teoría y nuevas aplicaciones

A.F. Carballo-Sánchez, G. Espejo, YU.G.Gurevich y J.L. SalazarDepartamento de Física, Centro de Investigación)' de Estudios Avanzados dellflstituto Politécnico Nacional

Al'artado I'0sta[ /4-740, 07000 Méxiol. D.F., Mexieo

O.Yu. TilovCl'lI/ro de Investigación ell Ciencia Aplicada J Tecll%gia AWlIIzada del IlIstituto Politécnico Nacional

José Siumb # la, Col. Alameda, 76040 Sontingo de Querétaro, Qro., Mexico

Recibido el 7 de mayo de 2O<X);aceptado el 18 de agosto de 2000

Se presenta un nuevo esquema de los fenómenos termoeléctricos como un proceso de Irnnsporte de los portadores de corriente fuera decqui¡ihrio. Por primera vez se muestra que los cuasi niveles de Fermi que caracterizan cltransporte fuera de equilibrio pueden ser funcionesIlOmonótonas de la coordenada. Se discute por vcz primera el papel de la rCl'Ombinaci6n en cl proccso de formación de los fcnómenostermoeléctricos. así como un método corrccto pam su descripción. Se propone un nucvo méLotIo pam caracLerizar materiales semiconductoreshasado en la medición de la termopolcncia. Sc mucstra la posibilitlad de utilizar los c;unpos térmicos no estacionarios (CfNE) con estos fines.Se construyó por primera vez una tcoría de los CfNE que se originan cU:lI1Jose calienta una muestm semiconductora por un pulso láser. Seinlf{xlujo el concepto de pulso corto y largo. Sc muestra que cuando los CT'NE se originan por un pulso corto. la fuerza termoelectromotrízpasa a ser una función no monótona del tiempo. Se construyó por primera vez una teoría de los CTNE para el caso cuando los portadores decorriente y los fonones tienen distintas tempcraluras.

f)('scripton's: Fcnómenos termoeléctricos; portadores fuera de equilihrio; rccombinación; cuasi neutralidad

Thc new point 01' vicw on thermoclectric phcnomena as a transpon proccss (Jf noncquilibrium charge carricrs is presented. It is shownthaL Fcrmi quasilcvels which characleri/.e lranspon in systems far from equilibrium can be nOlllnollotonic 1'unctions of coordinate. Thc role01"rccomhinaliol1 in formalion of thcrmoclcctric phenomena and a coreet way to describe recombination <lre discussed fm lhe first lime.Thc IlCWmethnJ for the chamctcrizatioll of semiconductor materizLlsconectcl! with flleasurc 01' thcrmopower is proposed. It is shown thatnonslalionary thermal fields are most appropiate for this purpose. The theory 01'nOllstalionary thermalliclds which arise due to heating laserpulse in semiconductor is crealed. The conception of a short andlong laser pulse is introduccd. It is shown th;lI thcrmopower as a function oflime is a 1l011lllonotonic one under condition of short lascr pulse. The new theory 01'Ilollst;llionary thermal ficlds in scmiconductors is createl!for the tirst lime for dilTercnt eleetron and phonon tempcratures.

Kl'YII'(m/s: Thcrmoeic,:Lric phcnomcna; Ilon-equilihrium carriers; recombinalion; quasincutrality

PAes: 72.20.-;: 72.20.Pa: 72.20.Jv

l. Introducción

Los fcnómcllos termoeléctricos, y cn primcra instancia clefeelo Seebock [1 J (fuerza IcrlllocfcclrOInOlríz, (FTEM)) pro-porcionan nucvas posihilid3dcs d~ estudio de los materialessemiconductores. El prohlema es que con la mayoría de losmétodos de estudio de materiales no cs posihle dcten~linarlos codicicntes cinéticos dc los portadores de corriente y enparticular aquellos que cmacterizan los procesos térmicos.

El estudio de la interacción energética e1ectrón-fonón enlos scmiconductores es un prohlema hastante complejo. Di-cha interacción influye de una manera considerable en el('!"cctoScchcck. cl cual es bastante sensihle a los par<.Ímetrosde los suhsistcmas de 105 portadores de corriente. La canti-dad de información que se puede oOlcller al estudiar 13FTEMcrcce de una manera considerable si en lugnr dc usar campostérmicos cSI;í1icos se utilizan campos t0rmicos v:iriablcs en elticmpo. El primcr intento de este tipo. que se describe en lasRcfs. 2 y 3. conlirllló lo dicho con :lnlcrioriJ:tJ.

Sin cmb~lfgo, el prohlema consiste en que la teoría clásicade la termoelectricidad ¡4] descrihe situaciones físicas rea-les en los semiconductores sólo en algunos casos especiales;además de que no existen teoríns adecuadas para calcular loscampos térmicos no estacionarios en materiales semiconduc-tores de dimensión finita.

El presente Irahajo estd dedicado a la construcción dc lateoría del efecto Seeheck y a la elaboración de métodos decjlculo de los campos térmicos no estacionarios en mediosscmiconductores de dimensión finita.

2. Nue\'a teoría de la termoelectricidad

Las expresiones generales para la corriente en presencia ticUIlgradiente de tcmpemturas, quedan determinadas por

( 1)

102 A.E CARHALLO-SANCHEZ. G. ESPEJO, YU.G. GUREVICH. J.L. SALAZAR y O.YV. T1TOV

FIGURA l. Circuito eléctrico para la medición de la FTEM

alambres;conectores

/ de-metal ~

b ey-Vy-

Rv

v. E = 4;;-(1, (3)

11= "0 + 611(.r), l' = Po + 61'(")'

en donde 11. = 611/TI + 61'/T" 11., = 516" + S,6P [6J, JIes la dcnsidad de carga. (1:1 es la conductividad superficial dc

j,,(ciu) = jo 'f e!l.,. jl'(cill) = cieR"

.io = cilT;~ i'P,(cill) - 'P",(cill)]

y ell las fronleras semiconductor-metal [5)

campo eléctrico interno en el semiconductor. Esta situaciónes similar al estahlecimiento del equilihrio en un semicon-ductor no homogéneo dopado. La única diferencia consisteen que en el semiconductor no homogéneo dopado realmenteexiste el equilibrio; mientras que en nuestro caso, sólo te-nemos la constancia del potencial electroquímico, lo que dacomo resultado un equilibrio no verdadero debido a que latemperatura no es constante en toda la muestra.

Como conclusión de esta primera parte. podernos decirque en la primera etapa [T(:r) = T. en un circuito cerrado]el voltaje V. la corriente total jo y la FTEM E son iguales acero. En la segunda elapa [T(,,) = T' - (Ll.T/2a),,], antes deque el potencial electroquímico sea constante en el circuito,V i- O, f i- o. jo i- OY no tenemos ningún campo eléctricodentro de la muestra. Finalmente, en la tercera etapa cuandose estahlece el "cquilibrio" (lf?Il,1' = cte.) V = O, jo = O.f = O. pero dentro de la muestra surge un campo eléctricointerno.

La segunda manifestación del gradiente de temperaturaest:í relacionada con el segundo término de la Ec. (1) Y sepresenta en forma de fuerza que mueve a las quasipartículas.Este término causa llll<lnueva redistribución de las concentra-ciones 1/0 Y]Jo dehido <lla difusión térmica de los portadores.Tamhién cambia la dislrihución de los potenciales químicosde electrones Jiu Yhuecos IIp' así corno el potencial 'P, lo cualnos lleva al surgimiento de la FTEM.

Hacemos énfasis en que las componentes proporcionalesal gradiente de temperatura también se encuentran en Vlf?n,p(la primera manifestación tlel gradiente de temperatura), perosu papel ya ha sido discutido con anterioridad.

Es importante seflalar que. mientras que los electrones yhuecos se mueven del extremo caliente al frío. las concen-traciones disminuyen cerca del calentador y aumentan cercatlel refrigerador. Esto signifka que en el nuevo modo estacio-nario jlp :f -Ey - ¡in (~jlp :f -r5jlp) Ycomo consecucnciasurgen los cuasiniveles de rermi lf?1I (.1') de electrones y lf?1,(;r)huecos fuera de equilihrio.

La existcncia de portadores fucra de equilibrio conlleva aprocesos de recomhinación dentro de la muestra.

Las concentraciones fuera de equilibrio de electrones yhuecos se descrihcn por

6.T «T', (2)

refrigeradorT2

+a xo

R,

6.T = TI - T2,

T(.r) = T' _ 6.T x,2a

semiconcluctor;bipolarcalentadorTI-a

dc donde los potenciales químicos y las concentraciones delos porladores pasan a ser funciones de la coordenada (enlos potenciales químicos de electrones y huecos aparecenlos términos r5j/.~, r5p;; proporcionales a ti.T). El potencialquímico del metal es pn.ícticarnente independiente de la tem-peratura. por lo cual la distrihución de la temperatura en elmetal no es importante. En esta etapa la condición de equi-lihrio local se cumple. ¡.e., no existe sohreflujo de portado-res de una parte del material a otra [6jl~(X) = -8¡i~Jr)1.Dehelllos enfatizar que en este caso no tenemos un equili-brio verdadero en el semiconductor. En realidad, el potencialquímico de electrones ahora es una función de la posici6n yno se ha gencrado ningún campo eléctrico interno en la mues-tra. ya que no tenemos sohreflujo de electrones y huecos. Dcesta mancra. cn csta etapa se presenta la primera propiedaddel gradiente de temperatura. denominada: la aparición de unmaterial "no homogéneo". Es importante enfatizar que llo(.r)y jl()(.r) no son concentraciones en "cquilihrio". Las comillasindican que no es posihlc usar cltérmino "equilihrio" de unamanera estricta en prcscncia de un gradiente de tempcralllra.

En la tercera etapa surgen flujos de difusi6n de electronesy huccos que tienden a establecer el "equilihrio" (i.e.• hacerqUL' el potencial electroquímico rp sea constante en el espa-cio). Como consecuencia. surgen cargas volumétricas y un

en donde an,p son las conductividadcs eléctricas de electro-nes y dc huecos, 0n,1J son los coeficientes termoeléctricosde electrones y huecos, y lpn,p son los potenciales electro-químicos de electrones y huecos.

Analizamos paso a paso el origen de la naturaleza físicadel efecto Scchcck.

El primer paso es considerar que el circuito de la Fig. Ise encuentra a la temperatura T*. En este caso, en las fron-teras metal-semiconductor surgen diferencias de potencia! decontacto idénticos.

En el segundo paso se considera que la temperatura en elextremo .r = -(t es TI y en x = +a es T2 y dentro de lamuestra semiconductora de acuerdo a

R('I'. Mex. Fú. 46 S2 (lOnO) 101-107

FUERZA TERMOELECfROMOTRIZ ESTACIONARIA y NO ESTACIONARIA. 103

electrones a través del contacto mctal~scmiconductor, y ~E('

es la diferencia entre los valores de las zonas de conduccióndel mela! y semiconductor.

Es importante subrayar que para la rccombinación lasconcentraciones en equilibrio son las concentraciones que de-terminamos en la tercera ctapa.

Hasta ahora hemos tratado con la aproximación de cuasi-neutralidad, la cual es válida si se satisface la desigualdad

En eslc caso tenemos que la ecuación de Poisson no esnecesaria [7} y bn = óp. por lo que el tiempo de vida delos portadores loera de equilibrio es T = (l/TI + I/T,)-I. Yse puede introducir la velocidad de rccombinación superficial

S = SI + S,.

3. Solución del prohlemaal » rj,

en donde rd es el radio de Dcbyc.

(5 )Al resolver la ecuación Ec. (3) con las condiciones de fron-tera (7) ohtenemos la siguiente expresión general para la co-rriente:

jo { 2 + _1, + _2_,,_ [1+ a"/a,,.] } = 2" [ El. _ E]{1;~1 (1m aH + al' a'\coth (a,\) + ,\'2TaS H/\roth ((l,\) + ,\'2TlLS

(6)

en donde

(9)~._ 0,,0'1 + 0p{11'(, - ------

all +opes decir. oblenemos un resullado hien conocido [8] .

Por el conlrario. cuando las rccornbinaciones superficial yvolumétrica son lo suficientemente débiles (í -+ 00, S -+ O),entonces oblenemos otro resultado:

~._ ,) liT1... - - •.• flO 11 d.r . ( IO)

Es importante hacer notar que el rcsullado de la El'. (10)se ohticll~ tanto para un scmiconductor tipo n como para unotipo p.

Sólo los e1eclrones toman parte en la formación de laI7fEtvt en ausenciJ dc recombinación. ya que jp = Ocuan.do 11 = O I\'er Ee. (4)] y la corriente tolal jo coincide conla corrienlc de electrones jn' De esta forma la FfEM pue-de c;l:nhiar de signo eH un semiconductor tipo p cuando lasvel()cid<~desde rccombinaci6n superficial y volumétrica dis-minuycn.

--.isL- - "-"-E . 1 ' ](I',,+cJp cJp 1 Sllll/\X

+ a'\coth'\a + '\'2nTS sinh,\a .

Es de inlerés hacer notar que hasta donde tenemos cono-cimiento, los fenómenos termoeléctricos son el único caso enque los cuasi niveles de Permi se comporlan de una forma nomonótona (ver Fig. 3).

}lacemos énfasis que en e) nuevo método propuesto pa.ra el transporte lermoeléctrico la FTEM no sólo depende delas conductividades eléctricas y de los coeflcienles termo-eléctricos. sino que tamhién depende dc) tiempo de vida delos portadores dc carga y de la velocidad de recombinaciónsuperficial. Si la recombinación volumétrica y/o la superfi.cial son lo sufkientemente inlensos (í -+ OYS -+ 00 en ellímite). entonces la FTEM es

(8)

(7)

Un an<Ílisis detallado para diferentes valores de recomhina-ción superlicial (S) y volumétrica ('\a '" 1/ JT) nos m~lcstrael comportamiento de la corriente, la resistencia del scmi.conductor y los cuasi niveles de Ferllli para scmiconductorestipo J' (ver Figs. 2 y 3).

Los l'uasiniveles de Fermi para electrones y huecos tienenla siguiente forma:

El

.~ r ])u (1"+(1/. -:'.,1 :-;illh '\.1"

+ (1,\ coth /\(1.+ ,\2(ITS !"illh,\a .

E = _,,_,,_a_,_,_+_"_p_a_IJ 'VT,an + (11'

an +ap 1101)0 e:.!anap HO + po TT*

.:l. Amílisis de los resultados

en donde el primer término entre paréntesis del lado izquier-do coresponde a la resistencia de contacto, el segundo a laresistencia de los cables coneclores de longitud L con con-dlJ('tividad eléclrica arn y el tercero lo denominamos la resis-h:ncia del semiconductor.

El resultado final nos sugiere introducir una nueva defini-ción para la FfEM.

" _.) [ El ,],. - JI "Acoth ("A) + A'mS - E ,

Ypara la resislencia del semiconductor,

R/'~'.Me.\". Fr\" ...Ui S2 (2000) ¡OI-IO?

W4 A.F CARBALLO.SÁNCHEZ. G ESPEJO. YUGo GUREVICII. JL. SALAZAR y OYU. TlTOV

p-tjfp@

p-type

(n) (h)

FI(;URA 1. :1) 11.. y h) jo en función de /\/1 cuando S = ()en unidades arhitrarias

(12)R.~=

5. Campos térmicos no estacionarios

vidades eléctricas de eil:ctrones y huecos, sino que tambiéndependen de las velocidades de rccombinación (volumétricay superlkial).

La resistencia del semiconductor toma la siguiente forma:

sólo en el caso en que las recomhinaciones volumétrica y su-perlicial son lo suficientemente intensas. En general, es impo-sible calcular la resistencia tlel semiconductor independiente-mente tic la corriente total y tic la FfEM.

La f6rmula que ohtuvimos en (7) sirve para calcular laFfE!\tl estacionaria. Sin emhargo, es posible obtener mayorinforl1laci6n si conocemos la r-TEM dinárnicil. En adelantemos(rarelllOs C0l110realit .•u este cálculo, conociendo la dis-trihución lit: la temperatura IT(.r. nI dentro de la muestra.

P-'>'P"

O.oos

0.01

.o.oos

f'lGURA J. Cuasinivclcs de Fcnni par;"! huecos \pp (1) Y lp" parnelectrones. con tiempo de vida pequeño (2). mediano (3) y grande(~). cuando S = (}cn unidades <lrhilrarias

Analilamos UIU muestra semiconductora homogénea de lon-gillld ("que se expone a Ull pulso térmico rectangular en x = O(mediante absorción de un pulso láser) de duración T e inten-sidad (jo. En el extremo derecho.1: = [la temperatura es fijae igual al medio que la rodea To.

El problema de la aproximación d~ una temperatura sediscutió con detalle en la ReL 10. por lo que pasamos al estu-dio del prohlema en el cual la tcmperalUra de los electronesno coincide con la de los fOllones.

Para el caso de un semiconductor no degenerado condos subsistemHs UC cuasiparlículas (electrones y fonones) lasccu:lCiollcs a resolver son las siguientes [11]:

0"'1'" + l.' (7' T ) _ 1 D7'"D.I:1. '11 ,. - JI - nI' DI- •

Es posihle reescrihir las rccomhinaciones volumétrica(T » TO) y superfkial (S « So) oc la siguiente forma:

1 IVT,,«,\- y 5«-, (11)"

en donde 1 es la longitud lihre de impulso y {'l' es!J velocidadtérmica media.

En la RcL l.) se mostró que la velocidad dc rCl'omhill:l-ción superfkial en películas cpitaxblcs n-CdrH'_J" Te esS ....•l(f{ cm/s a temperatura <ll11bicntc. Como VI' '" 107 CJl1/~.;y 1",,-, 10-;'-10-(; cm, la velocidad tic rccomhinaci(Ín super-ficial es despreciahle si 2" « 10-' em [ver Ec. (1X)\ (si seloma ('11 cU(:llla la aparición (k los porl<tdorcs fu!:r" tle ('q~li.¡ihrin). Si la condición 2a « ,\-1 se cun~ple. los portadoresfuer;¡ de ('quili hrin jugarán el papel principal en la formaci6nde In FfEM.

Haccmos énfasis que en los semiconductores hipoJ¡ucsla resistencia y la FTEM no s610 (il:pcnc1ellde las conducti-

¿)'7',. _ /'-'(7'D.,) ,.,.r-

7' ) _ 1 D7',.- T' - ~ DI'

( 13)

R{'~'.Mex. F{f. 46 S2 (20lX») 10 1-1 07

FUERZA TERMOELECTROMOTRIZ ESTACIONARIA y NO ESTACIONARIA ... 105

en donde 13" = (2/l + 1)"./21, con /l = O, 1,2,3, ...

"'r Hf~KeO, n" = (pe)p'/l

n, " (pe)__ ' ____ 1' .......104-10Ü (14 )0'1' (pe), "p

De esta forma obtenemos que en un semiconductor no de-generado la difusividad térmica de electrones es mucho ma-yor que la difusividad térmica de los fonones.

Para este caso las condiciones iniciales en la superficie.r = ()deben ser las siguientes,

T (.. ) _ 'r Q, Sillh[k,([ - ,e)]f •• 1.t -.LO+-------"e k, cosh(k,1)

2Q, ;:.- cos(;3"x) [ ., .']- ¡;:- L k2+ ;3' exp -n,(k; + ;3~)1,('n=O r 11

T,,(.r, t) = To, O:,:: t :'::T, (16)

T ( . ) _ 'r _ 2Q, ;:.- cos(;3"x)c 1.1, -..LO -- L -2---

["., k. + ;3n2n=O •..

X {1 - exp [ne(k; + ;3~)Tl}exp [-u,. (k; + ;3~)tJ,T¡,(:r1 t) = To, T :s: 1, < 00,

6. Casos límites

Ahora vayamos a la discusión de los resultados obtenidoshasta ahora para muestras semiconductoras no degeneradas.Está claro que dchido a la interacción electr6n-fonón se ob-serva que existe una longitud característica k;l (que es lalongitud de enfriamiento), en la cual el subsistema de elec-trones entrega la energía adquirida del pulso láser, al subsis-tema de fonones el cual tiene una temperatura To igual a ladel medio ambiente.

En el caso de una muestra semi conductora masiva(k;1 « f) el suhsistema de electrones entregará toda laenergía que recibió del pulso láser al subsistema de fonones.y es claro que en este caso el tiempo característico de rela-jación de la temperatura de los electrones T% será el tiempode relajación energética Té' En este caso el flujo de calor delsubsistema de electrones hacia el termostato en la superficie;t = [ seni nulo.

En una película delgada semiconductora (1.:; 1 » t). lainteracci6n electrón-fonón es prácticamente nula y toda laenergía recibida del pulso láser la transmitirá el subsistemade electrones hacia el termostato por la superficie x = (. Esclaro que en estc caso el término k;(Te - Tp) de la prime-ra ecuación del sistema (13) puede ser omitido y entoncesla ecuación para determinar la temperatura de los electronescoincide con la descrita cn [10] para la aproximación de unatemperntura. por lo cual en el caso keC « 1 todas las con-clusiones hechas en la sección anterior son correctas parael suhsistema de electrones si se entiende que en este casoTe = TI' = f'l/n, .. Por lo tanto, no analizaremos estc caso ypasaremos a analizar el caso k(~C» 1.

Analicemos ahora el caso de una muestra semiconducto-ra masiva kJ » 1 (k,~l « 1'), en donde el subsislema deelectrones cntrega en cada punto la energía rccibida al sub-sistema de fonones, dehido a que la interacción energéticaentre los suhsistemas de electrones y fonones es muy fuertc.En este caso el tiempo característico es (O'ek;)-1 = Te. De ladependencia espacial de la temperatura en un mismo instantcde tiempo, se puede observar que el calor generado durante cltiempo que actúa el pulso no es suficientc para calentar todala muestra. Solo calienla la región U < l' < :re Jet" T dela mueslra (xJ » 1) Y la región k; 1 < ,e < e no llega asentir el calor del pulso y en este momento la temperatura semantendrá constante e igual aTo.

En este caso se ve que surge una nueva definición de pul-so corto o largo: si :r(' < 1.:;:1, [T « (uel.:;)-l], la regiónde interacción energética entre los electrones y los fononesno alcanza a calentarse durante el tiempo de acción del pul-so (pulso corto); si ;l.c > 1.:;:1, [T » (Ot.k;)-l). la regiónde interacci6n elcctrón-fonón en el momcnto de desactivar elpulso si se calienta (pulso largo). Analicemos amhos casos.

De tal manera que cuando se cumple la condición (14)(para un semiconductor no degenerado), el subsistema deelectrones se calienta mucho más que el sistema de fonones.

( 15)O:'::I:'::T,O :':: t :':: T.

Q(.r,I),lx~o = Q~,Q(.r, t)"lx~o = Q~,

Las soluciones del sistema de Rcs. (14) son:

en donde 0",,1' = ";'C,IJ/(PC)e,p. k;,p = n/('ef{,e,p). k;:~es lalongitud de enfriamiento de electrones y fonones l11J, "e,1I

es la conductividad térmica de electronc's y fonones, n es laconcentración de electrones y Te es el tiempo de relajaciónenergética en el suhsistema de electrones [12].

Es posihle describir a un semiconductor no degeneradocon ayuda de un modelo de dos temperaturas. basándonosen el hecho de que por lo general la interacción eleclrón-fOllón tiene un car<-Íctcr cuasi elástico [12], con lo cual, sila concentraci6n dc electrones es lo suficientemente grande(/1 ~ 1014 cm-:J) [13]. entonces los subsistemas de electro-nes y de fOllones se caracterizarán por su propia temperatura,que se determina por el sistema de ecuaciones (14). Notemosque si TI' -t O(interacción electrón-fonón inelástica) el sis-tema de ecuaciones (13) se transforma en una ecuación quedescrihe la aproximación de una temperatura [10j.

La relación entre las conductividades térmicas de elec-lrones y t()Jlones satisface [14]: "-1"1' - 10-3. De la de-finici6n de la longitud de enfriamiento de electrones k; 1 yfonones 1.:;-;1 tenemos que 1.:/; » 1.:1" ],:-1 = k;l. Usando laleoría cinética del gas de electrones, en la Ref. 15 se mostróque la capacidad calorífka de electrones es igual a la densi-daJ tle eleclrones en un semiconductor no degenerado, ¡.í'.,(pC)f: = H '"'" 101.1_1016 cm-3, mientras que para un gas defonones [16] (pe)!, '"'" 1023 cm-3. Bajo estas condiciones, seobtiene el siguiente resultado para la difusividad térmica deelectrones y fonones:

ReI'. Mo. FÍ<. 46 S2 (2000) \O 1-107

1U6 A,F. CARHALLO-SÁNCHEZ, G. ESPEJO, YU.G GlJKEVICIl,lL. SALAZAR y OYU. T1TOV

o. ,

0.075

,..(a)

,.. ,..(l,:

(a),"

,..(b)

u ,.. o ,

(b)O,;

PI(iURA 4. Dislrihución espacial de la temperatura (O, J'/f) en elintervalo, a) O < f ~ T. Y b) T :s t. T » Te. en dondeH = [T,(l.,I) - Tolrr'~'¡2Q,1

FIGURA 6. Dislrihución espacial de la temperatura (O,.rjf) en elinlervnlo,:1) () < I :s T. y b) T :S: t. T« Te

: .f "FrGURA 5. Distrihución temporal de la temperatura (8. 'IT),T» T~.

l. Cuando T » {O'.,I.:;)-I

La dependencia espacial de la temperatura en cualquiermomento será exponencial (ver Fig. 4).

La dependencia temporal de la temperatura tielle uncomportamiento exponencial en el intervalo O < t <(0,:1,:;)-1, En el intervalo (((1'1.:;)-1 < t < Tiatemperatura deja de depender del tiempo (estado CUtl-

siestático) y en el intervalo t > T la temperatura dis-minuye exponencialmente en un tiempo del orden dc(oek;)-l, ver la Fig. 5.

2. Cuando T « (o,kn-lLa dependencia espacial de la temperatura en un mis-mo instante de tiempo siempre es una función que dis-minuye y es más compleja que un comportamiento ex-ponencial, lo cual se rencja cn las Fig. 6.

Para la dcpendencia temporal en un mismo punto, lc-IlCl110Squc en el intervalo O < t < T la temperaluraaUlllenla cxponencialmente y en el intervalo T < f <00 hay una región en la que la temperatura solamcntedisminuye l11o!lótonarnente(O < ;[ < ;fc) y olra no 1ll0-

FIGURA 7. Distrihución temporal de la temperatura (O,ljT).T « T,

nótolla cn la que la tcmpcratura primero continuaaumcntando y luego disminuye (.1' > .fe), (ver [oigo7).La causa de este comportamiento se explicó anterior.mente.

7. Conclusiones

El análisis arriha descrito muestra que utilizar un pulso láserde duraci6n linita para calentar una muestra semiconductoray medir la FTEf\.l que se originó en ella nos permitc:

l. l\1cdir todos los parámctros físicos de los portadores deC<HTicntcen películas scmiconductoras delgadas.

2. Con la medición de la FTEM en muestras scmiconduc-toras masivas se puede determinar experimentalmen-te cl ticmpo caracteríslico de la inlcracción energéticaclt.:'ctnlll- r()f1ÓIl.

3. Medir el tiempo de vida de los portadores principales ysecundarios de corriente en los semiconductorcs y lasvelocidades de rccolllbinaci<Ín de los electrones y hue-cos.

Re\'. Mi''\' Fú. 46 S2 (2000) 101-107

FUERZA TERMOELECTRO,,"10TRIZ ESTACIONAR.IA y N(l ESTAC[()NAR.IA . 107

Es interesante seii.alar que el área de aplicación de la tc-oría :lIlles cxpuesla es m;ís amplia y aharca prohlemas m;:íscompletos que los resueltos en el presente trahajo. Por ejem-plo. cuando pasa corricnle en un circuito cerrado que conslade una fuente dc corricnlc. un semiconduclor l¡pO p (o unamueslra cercana a un semiconductor propio) y cahles conec-tores mctálicos. es nccesario tomar en cuenta los efectos des-critos cn la Seco 2.

Cuando se estudian las características térmicas de los die-/cctricos o metales, el prohlema para determinar los CTNEpuede ser resuelto (,:onel mélodo descrito en la Scc. 5.

Por vcz primera sc loma en cucnla la influencia de losprocesos tic rccomhinaci6n en la teoría lineal de la termoe-leclricidad. Se propuso un modelo consislCnle y corrccto delos procesos de rccomhinación-generaci6n en semiconducto-res calientes no homogéncos.

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Finalmenle, la teoría expuesta con anterioridad, muestraque aumentos considerahles en la temperatura en un semi-conductor tipo 11 con liempos de vida grandes y velocidadesde rccnrnhinaci6n superficial pequcños. no conduce a cam-hios aprcciahles en la FfEl\1, puesto que los huecos (aun enel caso en que su conccntración sea considerable) no aportancontrihuci6n alguna en la formación del efecto Seebeck. Estehecho puede ser considerahle para aumentar los parámetrosde los aparalos tCl"lnocléctricos (Icrmogencradores, termorc-frigcral!()res).

A¡.:radccimicntos

Expresamos nuestro agradecimiento al CONACyT-Méxicopor el apoyo parcial hrindado.

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