7/24/2019 Func. Vect. Problemas

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7/24/2019 Func. Vect. Problemas

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Nolan Jara Jara

2

0 0

cos( ) , , 4

t t u senu

 f t du du t u u

 entre

t=1 y t = t1 , sabiendo que 1( ) f t  es el

 punto donde 1( ) f t   es paralelo al plano

YZ (1< t1 <2).1

1

( , 0, ) ;si 0

13)Sea : ( ) ( , , 0) ;si 0

(0,0,0) ;si t=0

¿ es una curva regular t ?

t 

t 

t e t 

 f t t e t 

2

2

1

1

( , 0, ) ;si 0

14) : ( ) ( , ,0) ;si 0(0,0,0) ;si t=0

¿ es una curva regular t ?

t 

t 

t e t 

Sea f t t e t  

15) Una partícula se mueve en el espacio

R 3 partiendo en el instante t = 0 del punto

(1, 0,2e-2

). En cada instante t > _ 0 la

velocidad de la partícula es

v (t) = (-2, 2t, 4e2 (t-1)

).

i) ¿En que instante el vector velocidad es

 paralelo al vector posición de la

 partícula? ¿La partícula cruza el plano x

+ y = 0 en algún instante?

ii) Parametrice la curva C descrita por la

función  x = v  (t); t   t 0 mediante el

 parámetro longitud de arco S.

16) Sea C una curva en R³ descrita por la

función vectorial  x =   f  (t), t>0 si

1 1 1  ( ) , ( ) 1, 1,

1 1 ² 2

t  f t B t 

t t    t 

 

 para t>0, y la torsión )(t    en cada

 punto  f  (t)C es positiva, determinar

)(t   . A medida que t crece, ¿la curva

C se tuerce más o menos? Justifique

su respuesta.

17) Ver si el punto )0,52,2(Q    

 pertenece a la circunferencia de curvatura

de la curva C 3R  descrita por  x  =  f  (t),

en el punto  f  (0)= (1, 2, 0), si se sabe que

 f    (0) = (0, 3, 0) y que  f    (t) = 3tT (t) -

)2(

32t   R (t), donde  R (t)=(t

2 – 2, 2t,-2t)

es un vector paralelo para cada t al

vector normal principal  N  (t).

18) Sea la curva C1:2( ) ( , , ); o t 2, por cada punto f t t    t t 

 f   (t) se traza una recta en la dirección

del vector binormal  B (t):

i) Encontrar las ecuaciones paramétricas

de la curva C2 que se forma al interceptar

cada recta con el plano YZ.

ii) Calcular los vectores , ,T N B y la

curvatura de C2 en el punto ).6

7,

3

7,0(  

19) ¿Es plana la curva con ecuaciones

 paramétricas?

1

1 ;

)1(

1 ;

)1( 22

2

t  z 

t 

t  y

t 

t  x  

20) Halle la forma más general de la

función Ø para que la curva definida por:

 f  (u) = (a cos u, a sen u, Ø(u)) sea plana.

21) Una partícula se mueve sobre una

curva con velocidad no nula y paralela a

la aceleración. Si su rapidez en el instante

t es ,

1

12

t 

t  halle el vector posición de la

 partícula.

22) Sea C:  f  (t)=2 3

(3 ,3 , ); t R  t t t    y Q el

 plano osculador de C en el punto (3, 3, 1)

las rectas tangentes a C para t >1 cortan a

Q determinando una curva C1.En

cualquier punto de ella, hallar la

curvatura de C.

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3

23)

Sea C:3

1

2 ln

0; 0; C R 

 xy

 z x

 x z 

 

Si una partícula se desplaza sobre la

curva C con una rapidez de “t” en el

tiempo t, en t = 0 la partícula se encuentra

en el punto (1, a, b) y además la partícula

se desplaza por debajo del plano z = 0.

i) Halle la función vectorial que describe

la trayectoria de la partícula en función

del tiempo t.

ii) Halle la velocidad de la partícula en el

tiempo t = 1 y la distancia que ha

recorrido la partícula desde t = 0 hasta t =2.

24) Sea

C: 3 ² 2 1( ) 1, , ln

4

t    t t  f t t e  

 

 y

C1:1

( ) ,4 1, ln g t t t t 

. Hallar la

torsión de la curva C en el punto de

intersección de estas curvas.

25) Hallar los puntos en que la recta

tangente a la curva C:

 f  (t)=(3t - t³,3t²,3t + t³) es paralela al

 plano 3x + y + z = 5.

26) Sea C una curva en R³ que se obtiene

como intersección de las superficies y=x²

y z =3

2(xy). Calcular la longitud de esta

desde el origen hasta el punto (1,1,2/3).

27) Hallar la ecuación del plano

osculador y la curvatura de C:

  ( ) ln 1 ² , , ln 11

t  f t t t t 

t 

 en

un punto donde el vector tangente tiene

la dirección la recta: x-1= y-2 = z-5.

28) La curva C es la intersección del

cilindro x² + y² + 2(y-x) = 2 con el plano

x-y-2z = 2.Determinar la curvatura y

torsión, así como el plano osculador en el

 punto (3,-1,1).

29) Sea C:   ( ) cosh , , f t t senht t  .Hallar

la ecuación del plano osculador en el

 punto donde el radio de curvatura es

mínimo.30) Dada la curva C en términos de la

longitud de arco s;

1( ) sen ,1 cos ,4sen ; 0

2 2

 s g s s s s s

. Hallar la torsión en un punto en donde la

longitud de arco sea  2 .

31) Calcule la longitud del arco de la

curva  f  :[0,1]R 3,  f  (t)=(cosht,senht,t)

32)Demuestre que las rectas

tangentes,normal y binormal a la curva

 f  (t)=(etcost,e

tsent,e

t) forman angulos

constantes con el eje Z.

33)Demuestre que la curva

 f  (t) = (acosht,asenht,bt) tiene curvatura

y torsion iguales en todos sus puntos

cuando a = b.

34)Consideremos el cilindro eliptico

2x² + 3y² = 1 y el plano z = 2y. Estas dos

superficies se intersectan en una elipse C.

calcular la curvatura de esta en el punto

(0,1

3

2

3, ).

35) Hallar la ecuación del plano

osculador de la curva C que resulta de la

intersección de la esfera x² + y² + z² = 6

con el paraboloide Z = x² + y² en el punto

(1,1,2).

36) Reparametrizar la curva C :

 f  3 3( ) (cos ;sen ;cos2 )t t t t   con respecto

a la longitud de arco medida desde el punto donde t  = 0 en la dirección en que

se incrementa t . Considerar los valores de

t  ubicados entre 0 y  /2, ambos incluidos.

Hallar k (5/4).

37) Una particula se mueve sobre la

circumferencia cuya ecuacion en

coordenadas polares es r = 4sen   en

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sentido antihorario, con rapidez

constante e igual a 8 unidades. Parte en el

instante t = 0 desde el punto (0,4).Defina

una funcion vectorial de R en R² en

terminos del tiempo t , que describa el

movimiento de la particula.38) a) Encontrar la longitud de la curva

definida por :

0 0

cos( ) , , 4

t t u senu

 f t du du t u u

 entre

t=1 y t = t1 , sabiendo que 1( ) f t  es el

 punto donde 1( ) f t   es paralelo al plano

YZ (1 < t1 < 2).

 b) Calcular la longitud de la poligonal

( ) f t  = (|t| , |t − 2|) para t

 [−1, 4].39) Hallar la parametrización con

respecto a la longitud de arco y utilizarla

Para calcular los vectores unitarios:

tangente, normal, binormal y la curvatura

de la hélice circular

( ) f t  = (a cos t, a sen t, bt) con t  [0, c],

siendo a, b y c Constantes.

40) Si C es la curva con representación

 parametrica 1²,,2)(     t t t t  f  

 

Hallar su torsión en el punto deintersección de la curva con el plano

x + y + z = 5.

41) Dibuje la curva

C:   ( ) (1 cos )(cos , ); 0,2 f t t t sent t      .

y calcule su longitud.

42) Calcular las longitudes de las

siguientes curvas o arcos de curvas

(suponemos que todas las constantes que

aparecen son positivas):

i) La hélice circular, dada por( ) f t   = (a cos t, a sen t, bt) con t  [0, c].

ii) La curva parametrizada por

( ) f t  = (   t e cos t,   t 

e sen t, t e ) con t[0, a].

43) Sea C la curva determinada por la

función vectorial

( ) (cos ), ( cos ),t t t  f t e t sent e t sent e

 

Hallar la longitud del arco de la curva C

desde el punto A(1,-1,1) hasta el punto

B(-e 

,e 

,e 

).44) hallar la longitud del arco de la curva

C: ( ) f t  = (t,ln(sect),ln(sect+tgt)), t 

[0, 

4].

45) Dada la curva

C:

1( ) sen ,1 cos ,4sen ; 0

2 2

 s g s s s s s

. En términos de la longitud de arco s.

Hallar la torsión en un punto en donde lalongitud de arco sea  2 .

46) Sean C1 y C2 las curvas descritas por

las funciones vectoriales siguientes:

2

2

5( ) ln( 2), 1, ;

1

5 5( ) ln 2 ,3 1,

2

t  f t t et 

t  g t t t 

 

Hallar las ecuaciones de las rectas

tangentes a cada una de estas curvas en el

 punto de interseccion.47) Hallar La longitud del arco de la

curva C definida por la función vectorial

3 3( ) cos , , cos 2 desde el

 punto f(0) hasta f(2 )

  f t t sen t t 

  

48) Reparametriza la curva3

22

( ) (cos , , ); 03

  f t t sent t t 

 por la función longitud de arco.

49) Dada la curva C determinada por la

función vectorial

( ) (2 cos , 2cos , );

0 ( ) (t)

  f t sent t t t tsent t 

t Hallar k t y     

 

50) Viajamos por el plano partiendo del

origen (0 , 0). Y lo hacemos siguiendo la

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traza de la curva  g  : [0 , 1) → R ²

(parametrizada por la función longitud

de arco) que cumple con las condiciones

siguientes:

 g  (0) = (0 , 0);

 g   (0) = (1 , 0);

Su curvatura es κ ( s) =1

1 ² s  para cada

 s  [0 , 1).

Tras recorrer una unidad de longitud (en

metros), abandonamos la curva para

seguir la Dirección de la tangente a la

curva en el punto de escape. Recorremos

así otros 3 metros. ¿A qué distancia (en

metros) del punto original (0 , 0) nos

encontraremos?

51) ¿Qué funciones diferenciables g(t )

hacen que  f  (t ) = (cosh(t ) , sinh(t ) , g (t )),

 para t ∈   R, sea una curva plana? 

52) Hallar la ecuación del plano

osculador, la curvatura y la circunferencia

de curvatura de la curva C:

  ( ) ln 1 ² , , ln 11

t  f t t t t 

t 

 en

un punto donde el vector tangente tiene

la dirección la recta: x-1=y-2=z-5.

53) Sea C una curva descrita por la

función

  3: 0,1 ; si (0) 1,0,0 y ( )

 es de la forma ( ) 2 ( ) ( ) ( )

 f R f f t 

 f t t T t t N t  

 

Calcular la longitud de la curva.