Función Exponencial y Logarítmica

La primera se define como

Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace

corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y

exponente x. Como para todo ,la función exponencial es una

función de en .

Propiedades de la función exponencial

Dominio: .

Recorrido: . Es continua. Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a >1.

Decreciente si a < 1. Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simétricas respecto del eje OY.

Dos puntos importantes.

Si la base de una función exponencial es mayor a uno. La función será

estrictamente creciente.

Si por el contrario la base es menor a uno; la función será estrictamente

decreciente

Observación final: cuando a = e, donde e es el número irracional cuya

representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,

la función exponencial , se llama: función exponencial de base e y,

frecuentemente, se denota por Exp(x) = . Veamos el grafico:

A continuación procederemos a resolver algunas ecuaciones exponenciales, no sin

antes enunciar al gunas propiedades de los exponenciales, que nos haran más facil

la resolución de los problemas.

Ecuación exponencial

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece

en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

1.

2.

3. Las propiedades de las potencias.

† a0 = 1 ·

† a1 = a

†

†

† am · a n = am+n

† am : a n = am - n

† (am)n = am · n

† an · b n = (a · b) n

† an : b n = (a : b) n

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

Ejemplos

Evaluemos las siguientes funciones exponenciales

Función original f(x)=3x

Veamos 2 ejemplos de aplicaciones de la función exponencial

1.

Solución

2.

3.

Función Logarítmica

Está función es la inversa de la exponencial.

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

Propiedades de las funciones logarítmicas

✷ Dominio:

✷ Recorrido:

✷ Es continua.

✷ Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica .

✷ Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

✷ Creciente si a>1.

✷ Decreciente si a<1.

Estas dos últimas características las podemos observar en el siguiente

grafico:

✷ No existe el logaritmo de un número con base negativa.

✷ No existe el logaritmo de un número negativo

✷ No existe el logaritmo de cero.

✷ El logaritmo de 1 es cero.

✷ El logaritmo en base a de a es uno.

✷ El logaritmo en base a de una potencia en base a es

igual al exponente.

✷ El logaritmo de un producto es igual a la suma de los

logaritmos de los factores.

✷ El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del

dividendo menos el logaritmo del divisor.

✷ El logaritmo de una potencia es igual al producto del

exponente por el logaritmo de la base.

✷ El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el

logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

✷ Cambio de base:

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

A continuación, empezaremos a ver ciertas propiedades descritas, ya

sea en gráficos, o en la resolución de ecuaciones

Grafiquemos la siguiente función

x

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 −1

4 −2

8 −3

Ahora se procederá a pasar de un logaritmo a su forma exponencial

Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.

Ahora aplicando todas las propiedades vistas resuelva la ecuación

logarítmica

✷

Solución

✷

✷

✷

Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Algunos ejercicios resueltos

✷

✷

✷

✷