Funciónexponencial y

potencia

Miss Yanira Castro Lizana

Aprendizajes esperados:

• Analizan el comportamiento gráfico y analítico de las funciones potencia, logarítmica y exponencial.

Objetivo:

• Analizar el comportamiento gráfico y analítico de las función Potencia.

f(x) = mx + n

m: pendiente

n : coeficiente de posición

Ejemplo:

En la función: f(x) = 5x + 3

Pendiente (m)= 5

Coeficiente de posición (n)= 3

Indica el punto donde la recta intersecta al eje Y

La línea recta: La recta está representada por:

Repaso de las Funciones

Representación gráfica de: f(x) = 5x + 3

Si x = 0,

f(0) = 3

Si x = 1,

f(1) = 8

Si x = -1,

f(-1) = -2...etc.

f(0) = 5 • (0) + 3

f(1) = 5 • (1) + 3

f(-1) = 5 • (-1) + 3

Gráfica de la función

Si m > 0, entonces la función es creciente.

x

y f(x)

Función Creciente

Ejemplo:

1) f(x) = 2x - 1

Pendiente: 2 > 0 La función es CRECIENTE.

-1 1 2 3

3

1

2

4

y=f(x)

x

Coeficiente de posición: -1

La recta intersecta al eje Y en el punto (0,-1)

(0,-1)

f(x)

Si m < 0, entonces la función es decreciente.

x

y

f(x)

Función Decreciente

1 2 3

3

1

2

4

-1 x

y= f(x)

Ejemplo:

1) f(x) = -5x + 4

Pendiente: -5 < 0 La función es DECRECIENTE.

Coeficiente de posición: 4 La recta intersecta al eje Y en el punto (0,4)

(0,4)

Siempre el dominio y el recorrido de las funciones de la formaf(x) = mx + n, es el conjunto IR.

Función Constante

Si m = 0, entonces la función es constante y es de la forma:

x

y

f(x)

La representación gráfica de una función constante es una línea recta, paralela al eje x:

f(x) = c Donde c número real

1 2 3

3

1

2

4

-1

y = f(x)

x

f(x) = 3

Pendiente: 0 La función es CONSTANTE.

Ejemplo:

Coeficiente de posición: 3

La recta intersecta al eje Y en el punto (0,3)

f(x)

(0,3)

Función Potencia

Ejemplo: Expresar el área de la cara de un cubo y su volumen en términos de la arista; construir una tabla de valores, el gráfico de la función correspondiente y determinar los valores posibles que puede tomar la variable independiente.

arista (a)

Área = a2

Volumen = a3

A(a) = a2

V(a) = a3

Es de la forma: f(x) = axn.

Grafico de A(a) = a2

X-4

Y16

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

4 16

0123456789

10111213141516

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Grafico de V(a) = a3

X-2

Y-8

-1 -1

0 0

1 1

2 8

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Función Exponencial

Es de la forma: f(x) = ax con a >0, a ≠ 1 y x Є IR

Definición

Ejemplo1:

f(x) = 2x

f(0) = 20 = 1

f(1) = 21 = 2

f(2) = 22 = 4

f(3) = 23 = 8

f(-1) = 2-1 = 0,5

f(-2) = 2-2 = 0,25…

La gráfica de f(x) = 2x es:

Ejemplo2:

f(x) = (½)x

f(0) = (½)0 = 1

La gráfica de f(x) = (½)x es:

f(1) = (½)1 = ½

f(2) = (½)2 = ¼

f(-1) = (½)-1 = 2

f(-2) = (½)-2 = 4…

Dom (f) = IR

Rec (f) = IR+

Al igual que en la función anterior se tiene que:

Ley de crecimiento y decrecimiento exponencial

a) Si a > 1,

f(x)= ax es creciente en todo IR

x

y a > 1

1

b) Si 0 < a < 1,

f(x)= ax es decreciente en IR

x

y

0 < a < 1

1

Ejemplo:

Determine la función que representa el número de bacterias que hay en una población, después de x horas, si se sabe que inicialmente había 10.000 bacterias, y que la población se triplica cada una hora.

Solución:

Por lo tanto, la función que representa el número de bacterias después de x horas es:

.

Cantidad inicial = 10.000

Después de: 1 hora = 10.000·3 = 10.000·31 = 30.000

2 horas = 10.000·3·3 = 10.000·32 = 90.000

3 horas = 10.000·3·3·3 = 10.000·33 = 270.000...

Después de x horas = 10.000 · 3x

.

f(x)= 10.000 · 3x

En general si

Dominio: R Recorrido Monotonía Estrictamente creciente Acotación Acotada inferiormente por 0 Puntos de corte con los ejes Y (0,1)

X ninguno

a 1

(0, )

En general si

Dominio R Recorrido Monotonía Estrictamente decreciente Acotación Acotada inferiormente por 0 Puntos de corte con los ejes Y (0,1)

X ninguno

0 a 1

(0, )

x y

-4 0,2

-3 0,3

-2 0,44

-1 0,67

0 1

1 1,5

2 2,25

3 3,375

4 5,06

a 1x

3f(x)

2

x y

-4 39,1

-3 15,625

-2 6,25

-1 2,5

0 1

1 0,4

2 0,16

3 0,064

4 0,0256

0 a 1 x

2f(x)

5

EJERCICIOS

Otras funciones con a > 1 (crecientes):

y = 2y = 2xx

y = 3y = 3xx

y = 5y = 5xx

Otras funciones con 0 < a < 1 (decrecientes):

y = (y = (½½))xx

y = (1/3)y = (1/3)xx

y = (1/5)y = (1/5)xx

Analizaremos la función y = k . axx

Si k = - 1 y a > 1 , por ejemplo: y = - 2 Si k = - 1 y a > 1 , por ejemplo: y = - 2

xx yy

-2-2- - 1/41/4

-1-1- - 1/21/2

00 - 1- 1

11 - 2- 2

22 - 4- 4

33 - 8- 8

44 - 16- 16

y = 2y = 2xx

y = -2y = -2xx

xx

En esta misma función y = k . a

xx

Si k = - 1 y 0 < a < 1 , por ejemplo: y = - Si k = - 1 y 0 < a < 1 , por ejemplo: y = - ((½)½)xx

xx yy

-2-2 - 4- 4

-1-1 - 2- 2

00 - 1- 1

11 - 1/2- 1/2

22 - 1/4- 1/4

33 - 1/8- 1/8

44- - 1/161/16

y = (y = (½)½)xx

y = - (y = - (½)½) xx

Resumiendo para y = k . a | k | = 1xx

k > 0 k > 0 a > 1 a > 1k > 0 k > 0 0 < a < 1 0 < a < 1

k < 0 k < 0 a > 1 a > 1k < 0 k < 0 0 < a < 1 0 < a < 1

y = 2y = 2xx

y = -2y = -2xx

y = (y = (½)½)xx

y = - (y = - (½)½)xx

Si | k | > 1 hay expansión de la función:

y = k . ay = k . axx

y = 2y = 2xx

y = - 3 . 2 y = - 3 . 2 xx

y = 3 . 2y = 3 . 2xx

Si | k | < 1 hay contracción de la función:

y = k . ay = k . axx

y = 2y = 2xx

y = - y = - ½½ . 2 . 2 xx

y = y = ½ ½ . 2. 2xx

Si aplicamos desplazamientos horizontales a :

y = ay = axx

y = ay = ax – bx – b

y = 2y = 2xx

y = 2y = 2x + 4x + 4

y = 2y = 2x – 3 x – 3

Si aplicamos desplazamientos verticales a:

y = ay = axx

y = a + cy = a + cxx

y = 2y = 2xx

y = 2 - 1y = 2 - 1xx

y = 2 + 3y = 2 + 3xx

y = 3y = 3

y = 0y = 0

y = - 1y = - 1

La función exponencial completa tiene la forma:

y = k . a + cy = k . a + cx – b x – b

y = - 3 . (y = - 3 . (½½)) + 3 + 3x + 2 x + 2

Traslaciones Función Exponencial

La función exponencial tiene como fórmula general  f(x)= ax , con a real positivo distinto de 1.

Si realizamos una suma o una resta en el exponente  la curva de la función expresa un movimiento horizontal con respecto al eje x.

Si a la función se le suma un número  en el exponente   la curva de la función se mueve hacia la izquierda con respecto al eje x, representado en la curva roja con la función .

Si a la función se le resta un número  en el exponente  la curva de la función se mueve hacia la derecha con respecto al eje x,  representado en la curva azul con la función 

De otra forma si nosotros sumamos o restamos a la función en si obtenemos una traslación vertical con respecto al eje y.

-          Si a la función se le suma un número   la curva de la función se mueve hacia arriba con respecto al eje y, representado en la curva roja con la función .

-          Si a la función se le resta un número   la curva de la función se mueve hacia a abajo con respecto al eje y, representado en la curva azul con la función .

Función Potencial

Una función potencial es una función de la forma:

En donde el exponente n es un número real fijo.

El dominio, las características y la forma de la gráfica de una función potencial dependen

mucho de cuál sea el exponente.

El dominio, las características y la forma de la gráfica de una función potencial dependenmucho de cuál sea el exponente. A continuación se presentan los casos más relevantes:

Función LogarítmicaDefinición

La inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por:

.

y = loga(x) ay = x

a) Si a > 1, f(x)= loga(x) es creciente para x >0

x

y

x > 0

(Con a y x, distinto de cero, a 1).

Rec (f) = IR

Dom (f) = IR+

b) Si 0 < a < 1, f(x)= loga(x) es decreciente para x >0

x

y

x > 0

Dom (f) = IR+

Rec (f) = IR