Función continua
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Función continua De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegación , búsqueda En matemáticas , una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua . Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología . El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real. Discontinuidad Una función es discontinua en u n punto, x = a , si: 1. El punto, x = a, no tiene imagen . La función e s discontinua en x = 2 porque no existe imagen .
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Función continua
De Wikipedia, la enciclopedia libre
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En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos
cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si lafunción no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es
aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo
describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
Di s cont i nu i dad
Una función es discontinua en un punto, x = a , s i:
1.El punto, x = a, no tiene imagen .
La función es discontinua en x = 2 porque no existe
imagen .
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2. Que no exista el límite de la función en el punto x =
a.
La función es discontinua en x = 2 porque no tiene
límite.
3. Que la imagen del punto no coincida con el límite de
la función en el punto.
La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la
imagen con el l ímite .
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Ti pos de d i s cont i nu idad
Existen tres t ipos de discont inuidad:
1. Discontinuidad evitable
Una discontinuidad es evitable en un punto x = a s i existe
y éste es f in i to.
Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad
evitable:
1. La función no está definida en x = a .
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2. La imagen no coincide con el l ímite.
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Cuando una función presenta una discontinuidad evitable
en un punto se puede redefinir en dicho punto para
convertirla en una función continua.
La dos func iones estudiadas anter iormente las redef in imos
de modo que:
2. Discontinuidad inevitable
Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si
ex isten los l ímites latera les en x = a, pero son dist intos.
Salto
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Salto es la diferencia en valor absoluto de los l ímites
laterales.
Según el t ipo de sa lto nos encontramos con dos t ipos de
discontinuidad inevitable:
1. Discontinuidad inevitable de salto f inito
La diferencia entre los l ímites laterales es un número
real.
En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto
finito 3.
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2. Discontinuidad inevitable de salto infinito
La diferencia entre los l ímites laterales es infinito.
En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto
infinito.
3. Discontinuidad esencial
Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si
no existe a lguno de los l í mites latera les en x = a.
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En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no
tiene l ímite por la derecha.
En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no
tiene l ímite por la izquierda.
[editar] Funciones reales de una variable real
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Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la
curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está
constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni
"saltos", como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f , definido como el conjunto de los
valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f , el conjunto de los
valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igualque el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)
El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su
mínimo absoluto en el dominio I.
[editar] Continuidad de una función en un punto
Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función
si: tal que para toda x en el dominio de la función:
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Otra manera más simple:Si xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en xo si y
sólo si . Cuando xo no es de acumulación del dominio, la función es
continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una
función es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la
izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).
Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:
1. existe el límite por la derecha:
2. existe el límite por la izquierda:
3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1
4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:
5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la funcióntiene límite en este punto:
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6. Existe f(x1):
7. El límite y el valor de la función coinciden:
La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continuaen todos sus puntos.
Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:
parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los
límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo
abierto I, centrado en x1, tal que .
Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I
alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior alsalto de f , no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I
alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valoresdistintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.
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[editar] Continuidad lateral
Una función es continua por la izquierda en el punto si el límite lateral por laizquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:
como en la figura.
Una función es continua por la derecha en el punto si su límite lateral por laderecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:
Una función es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua porla derecha. Esto es:
[editar] Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b)
Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b,
representado I= (a,b) si:
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Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función escontinua en todos los puntos del intervalo, es decir:
[editar] Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b]
Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b,
representado I= [a,b] si:
Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en elintervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b:
[editar] Algunas funciones continuas importantes
Funciones seno y coseno.
Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y loslogaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.
La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo detodo el dominio real.
En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el dominoreal, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar
la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.
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[editar] Funciones definidas por intervalos
Artículo principal: Función definida a trozos.
Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntosde cambio de intervalo, como por ejemplo:
La Función parte entera de x, E( x), donde E( x) es el mayor número entero inferior oigual a x, tal que:
E( x) ≤ x < E( x) + 1.
Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no escontinua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero
es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.
Otras funciones definidas por intervalos son:
Función escalón unitario Función signo
[editar] Función racional
Artículo principal: Función racional.
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Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es lafunción inverso de x:
Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos,
efectivamente es continua en todo el dominio porque no está
definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dándole un valor arbitrario a
f(0)) la función será discontinua.
[editar] Clase de continuidad
Una función , se dice:
de clase si está definida en todo el dominio junto con sus derivadas hasta
orden y todas ellas son continuas.
Una función continua aunque no diferenciable en todo el domino, se dice que es de
clase .
Una función es de clase si tiene derivadas continuas de cualquier orden.Aunque muchas sí lo son, no toda función de este tipo es analítica.
Una función es de clase si es la derivada en el sentido de las
distribuciones de una función de clase .
Una función generalizada se dice de clase si es la derivada k -ésima en el
sentido de las distribuciones de una función de clase .
[editar] Funciones continuas en espacios topológicos
Sean e dos espacios topológicos. Una aplicación sedice que es continua si:
es un abierto de , cualquiera que sea el abierto de . Esta es la
continudad vista globalmente, la que sigue es la continuidad en un punto deldominio.
Con la misma notación, si , diremos que es continua en cuando se obtiene que
es un entorno de , cualquiera que sea el entorno de .
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Es "inmediato" entonces comprobar que es continua si y solo si es continua en ,cualquiera que sea éste, es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su
dominio.
