Funcion de Spline cubica

Hector Sanchez Jimenez

Octubre 27

i

Interpolar los siguientes datos mediante una spline cubica:

x 1 2 3 5y 3 6 19 99

Definimos un polinomio cubico en cada uno de los intervalos que se forman:

s(x) =

a1x

3 + b1x2 + c1x + d1 si x ∈ [1, 2]

a2x3 + b2x

2 + c2x + d2 si x ∈ [2, 3]a3x

3 + b3x2 + c3x + d3 si x ∈ [3, 5]

Acontinuacion, hacemos que se cumpla la condicion de que la spline debe pasarpor los puntos dados en la tabla. Ası, tenemos que:

s(1) = a1(1)3 + b1(1)2 + c1(1) + d1 = 3 (1)

s(2) = a1(2)3 + b1(2)2 + c1(2) + d1 = 6 (2)

s(2) = a2(2)3 + b2(2)2 + c2(2) + d2 = 6 (3)

s(3) = a2(3)3 + b2(3)2 + c2(3) + d2 = 19 (4)

s(3) = a3(3)3 + b3(3)2 + c3(3) + d3 = 19 (5)

s(5) = a3(5)3 + b3(5)2 + c3(5) + d3 = 99 (6)

Ahora calculamos la primera derivada de s(x):

s′(x) =

3a1x

2 + 2b1x + c1 si x ∈ [1, 2]3a2x

2 + 2b2x + c2 si x ∈ [2, 3]3a3x

2 + 2b3x + c3 si x ∈ [3, 5]

Vemos que hay casos en los que se pudieran presentar discontinuidad en los cam-bios de intervalo. Para evitar una posible discontinuidad, para este caso en particular,x = 2 y x = 3, igualamos ambas funciones evaluadas en x.Por lo tanto, tenemos que:

3a1(2)2 + 2b1(2) + c1 = 3a2(2)2 + 2b2(2) + c2

12a1 + 4b1 + c1 = 12a2 + 4b2 + c2 (7)

para x = 2, y:

3a2(3)2 + 2b2(3) + c2 = 3a3(3)2 + 2b3(3) + c3

27a2 + 6b2 + c2 = 27a3 + 6b3 + c3 (8)

en x = 3.

i

Analogamente procedemos con la segunda derivada:

s′′(x) =

6a1x + 2b1 si x ∈ [1, 2]6a2x + 2b2 si x ∈ [2, 3]6a3x + 2b3 si x ∈ [3, 5]

Para lograr que s′′(x) sea continua, volvemos a igualar las fuciones evaluadas en x.Teniendo ası:

6a1(2) + 2b1 = 6a2(2) + 2b2

12a1 + 2b1 = 12a2 + 2b2 (9)

para x = 2, y:

6a2(3) + 2b2 = 6a3(3) + 2b3

18a2 + 2b2 = 18a3 + 2b3 (10)

en x = 3.

En este punto contamos con 10 ecuaciones y 12 incognitas, por lo tanto tenemos2 grados de libertad;en general, se agregan las siguientes 2 condiciones:

s′′(x0) = 0 y s′′(xn) = 0

de lo cual vamos a obtener:

s′′(1) = 0⇒ 6a1(1) + 2b1 = 0 (11)

s′′(5) = 0⇒ 6a3(5) + 2b3 = 0 (12)

Con lo cual, hemos completado un juego de 12 ecuaciones y 12 incognitas:

a1 + b1 + c1 + d1 = 3

8a1 + 4b1 + 2c1 + d1 = 6

8a2 + 4b2 + 2c2 + d2 = 6

27a2 + 9b2 + 3c2 + d2 = 19

27a3 + 9b3 + 3c3 + d3 = 19

125a3 + 25b3 + 5c3 + d3 = 99

12a1 + 4b1 + c1 − 12a2 − 4b2 − c2 = 0

27a2 + 6b2 + c2 − 27a3 − 6b3 − c3 = 0

12a1 + 2b1 − 12a2 − 2b2 = 0

18a2 + 2b2 − 18a3 − 2b3 = 0

ii

6a1 + 2b1 = 0

30a3 + 2b3 = 0

Cuya forma matricial es:

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 08 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 8 4 2 1 0 0 0 00 0 0 0 27 9 3 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 27 9 3 10 0 0 0 0 0 0 0 125 25 5 112 4 1 0 −12 −4 −1 0 0 0 0 00 0 0 0 27 6 1 0 −27 −6 −1 012 2 0 0 −12 −2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 18 2 0 0 −18 −2 0 06 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 30 2 0 0

a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d3

=

366191999000000

Obteniendo las siguientes soluciones:

a1 = 1.43478261

b1 = −4.3043478

c1 = 5.86956522

d1 = −8.3 ∗ 10−12

a2 = 2.82608696

b2 = −12.652174

c2 = 22.5652174

d2 = −11.130435

a3 = −2.1304348

b3 = 31.9565217

c3 = −111.26087

d3 = 122.695652

iii

Sustituyendo estos valores en nuestra funcion inicial, vemos que la spline cubicapara la tabla de datos dada, queda definida como sigue:

s(x) =

1.43478261x3 − 4.3043478x2 + 5.86956522x− 8.3 ∗ 10−12 si x ∈ [1, 2]2.82608696x3 − 12.652174x2 + 22.5652174x− 11.130435 si x ∈ [2, 3]−2.1304348x3 + 31.9565217x2 − 111.26087x + 122.695652 si x ∈ [3, 5]

Mostrando la grafica correspondiente a este ejercicio,

iv