FUNCIÓN EXPONENCIAL - Definición - Gráfica - Propiedades FUNCIÓN LOGARÍTMICA - Definición -...
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FUNCIÓN EXPONENCIAL- Definición
- Gráfica
- Propiedades
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
- Definición
- Gráfica
- Propiedades
(Ir)
(Ir)
(1º BACHILLERATO CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y DE LA SALUD/TECNOLOGÍA)
EJERCICIOS (Ir)
Sea a R, a >0, a 1
xayx
RRf
}0{:
Función exponencial de base “a”, a 1, es la aplicación de R en los reales estrictamente positivos que hace corresponder a cada “x” real una imagen ax real positiva.
Para cualquier “a” se cumple que
f(0) = a0 =1 y f(1) = a1 = a
Estudiamos la gráfica cuando a>1 y cuando 0<a<1
FUNCIÓN EXPONENCIALSea a R, a >0, a 1
Veamos la gráfica de y = 2 xx -3 -2 -1 0 1 2 3y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
1
0
2
3
4
1 2-1-2-3 3
y=2x
Propiedades:
Gráfica de y = e x
1
10
a
2-1-2-3 3
y=ax; a>1
La gráfica de la función
con a R, a>1 es:
y=ax
Dominio:R
Recorrido: R*+ (ax >0, x R)
a0 =1; a1
=a (0,1) y (1,a) pertenecen a la gráfica
Estrictamente creciente
Inyectiva
Continua en todo su dominio
Está acotada inferiormente, pero no superiormente
)/,( 212121
xx aaxxRxx
)( 2121 xxaa xx
Rbaalim bx
bx
,)(
)( x
xalim
izquierdalaporhorizontalasíntotaesyalim x
x00)(
PROPIEDADES
Veamos la gráfica de y = (1/2) x
x -3 -2 -1 0 1 2 3y 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8
0
1
1
2
2
3
4
-1-2-3 3
y=(1/2)x
1
10
a
y=ax
0<a<1
Propiedades:
La gráfica de la función y=ax con a R, 0<a<1 es:
Dominio:R
Recorrido: R*+ (ax >0, x R)
a0 =1; a1
=a (0,1) y (1,a) pertenecen a la gráfica
Estrictamente decreciente
Inyectiva
Continua en todo su dominio
Está acotada inferiormente, pero no superiormente
)/,( 212121
xx aaxxRxx )( 21
21 xxaa xx
Rbaalim bx
bx
,)(
)( x
xalim
derechalaporhorizontalasíntotaesyalim x
x00)(
PROPIEDADES
xyx
RRf
alog
}0{:1
Para cualquier “a” se cumple que
f -1(1) = loga 1 = 0 y f -1(a) =loga a = 1
Estudiamos la gráfica cuando a>1 y cuando 0<a<1
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función exponencial f(x) = ax, a 1 es inyectiva, podemos
entonces definir la función f -1 recíproca de f
Dom(f -1) = Im(f) = R+-{0}; Im(f -1) = Dom(f) = R; f -1(x) = y f(y) = x
Función logarítmica de base “a”, a 1 , es la aplicación de R+-{0} en R que hace corresponder a cada “x” real >0 una imagen loga x real tal que y = loga x ay = x
Veamos la gráfica de
y = log2 x
1
10
2
2
3
4
-1-2-3 3
y=2x
x -3 -2 -1 0 1 2 3y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
1
10
2
2
3
4
-1-2-3 3
y=log2x
-1
-2
x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8y -3 -2 -1 0 1 2 3
4
y=log2x
Gráfica simétrica respecto
de la bisectriz
del primer cuadrante
de la de y = 2 x
y =log ax ; a>11
10
a
a
y=ax; a>1
Propiedades
y =log ax con a R, a>1 es:
La gráfica de la función
Gráfica de y = log x
Gráfica de y = Ln x
Dominio: R +-{0} =
Recorrido: R
log a1 = 0; log a1 = 0 (1,0) y (a,1) pertenecen a la gráfica
Estrictamente creciente
Biyectiva
Continua en todo su dominio
No acotada
*R
)loglog/,( 2121*
21 xxxxRxx aa
*,log)(log Rbbxlim aa
bx
)(log xlim ax
verticalasíntotaesxalim x
x0)(
0
PROPIEDADES
1
10
a
y=ax
0<a<1
a
y=logax0<a<1Propiedades
La gráfica de la función y=logax
con a R, 0<a<1 es:
Dominio: R +-{0} =
Recorrido: R
log a1 = 0; log a1 = 0 (1,0) y (a,1) pertenecen a la gráfica
Estrictamente decreciente
Biyectiva
Continua en todo su dominio
No acotada
)loglog/,( 2121*
21 xxxxRxx aa
*,log)(log Rbbxlim aa
bx
)(log xlim ax
verticalasíntotaesxalim x
x0)(
0
*R
PROPIEDADES
EJERCICIOS
1.- El cero de la función f(x) = log2 x - 2x es:
a) 0 b) no existe c) 2
)( xx
xeelim2.-
a) + b) 0 c) -
3.- La función f(x) = log1/3 x es una función:
a) Creciente y no acotada
b) Positiva y no acotada
d) Decreciente y no acotada
4.- La función f(x) = a |x|, con 0<a<1, es:
a) Creciente y no acotada
b) Decreciente y acotada inferiormente
c) Acotada
6.- En cualquier función logarítmica f(x) = loga x:
a) La gráfica siempre pasa por el punto (0,1)
b) La gráfica siempre pasa por el punto (1,0)
c) f(x) = f(- x)
5.- La función inversa respecto de la composición (recíproca) de
f(x) =ln[(1+x)/2] es:
a) f -1(x)= e 2x -1 b) f -1(x)= 2ex -1 c) f -1(x)= e (1+x) /2