Funciones
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A: conjunto de partidaB: conjunto de llegada o codominio.-
Función (Definición 1)Sean los conjuntos A y B, se llama función a toda relación de A X B donde a cada elemento del conjunto A se lo relaciona con uno y sólo un elemento del conjunto B.-Toda función se la denota con las siguientes letras: f, g, h, F, G, H, etc.Teniendo en cuenta la definición, podemos asegurar que si f es una función, entonces f AXB, y se denota:
f: AB se lee “f es una función o aplicación del conjunto A en el B”
D(f)=A “dominio de la función f”I(f)B “Imagen de la función f”
abcx
fA B
Álgebra Moderna – Funciones
f(a) =f(b)
f(c)
f(x)
Función (Definición 3):Se define función como la relación entre las variables “x” e “y”, donde a cada uno de los valores que pueda tomar “x”, lo relaciona con uno y solo un valor de “y”
Función (Definición 2):La relación fAXB es una función si cumple con las siguientes condiciones de existencia y unicidad:ExistenciaTodo elemento de A se relaciona con algún elemento de B
xA,yB/(x,y)fUnicidadLos elementos de A tienen una sola imagen en B
(x,y)f (x,z)f y = z
y=f(x)
Álgebra Moderna – Funciones
)()(:,inyectiva es : 212121 xfxfxxxxBAf
212121 )()(:,inyectiva es : xxxfxfxxBAf
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES
FUNCIÓN INYECTIVAf:AB es inyectiva si y sólo si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. O sea:
Álgebra Moderna – Funciones
yxfAxByBAf )(/,vasobreyecti es :
FUNCIÓN SOBREYECTIVA O SURYECTIVAf:AB es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del Codominio tienen preimagen. O sea:
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CONCLUSIÓN:Haciendo un análisis sobre la clasificación de las funciones, podemos
concluir que:
•Una función puede ser inyectiva, solamente
•Una función puede ser sobreyectiva, solamente
•Una función puede ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)
•Una función puede no ser inyectiva ni sobreyectiva
FUNCIÓN BIYECTIVAUna función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.
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COMPOSICIÓN DE FUNCIONESSean dos funciones, f:AB g:BC, se llama composición de las funciones f y g a la función gof:AC/gof(x)=g[f(x)], siempre que exista un elemento yB tal que y=f(x), y z=g(y), con zC y xA,
x y=f(x) z=g[f(x)]
A B C
gof
f g
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POR EJEMPLO
Sean las funciones
23
1)(/: xxfRRf )2log()(/),2(: xxgRg
Determinar gof:(2,)R
xfgxgof )(
2)(log)( xfxgof
22
3
1log)( xxgof
4
3
1log)( xxgof
Álgebra Moderna – Funciones
PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN
DCh
CBg
BAf
:
:
:
ofhoggofho )()(
1. ASOCIATIVIDAD DE LAS COMPOSICIÓN DE FUNCIONESLa composición de funciones es asociativa.H) Sean las funciones
T)
D) Como la composición de funciones está definida sólo para tres conjuntos, o dos funciones, debemos trabajar éstas para poder aplicar dicha definición para las tres funciones. Para ello desarrollamos ambos miembros de la igualdad de la Tesis:
ho(gof)=(hog)of
DCh
CAgof
:
:))(( xgofho xfgho )(Axfgh
DBhog
BAf
:
:)()( xofhog )()( xfhog )(Bxfgh
Álgebra Moderna – Funciones
D) Teniendo en cuenta que y=f(x) y z=g(y) son inyectivas, entonces:
212121 )()(:, xxxfxfxx 212121 )()(:, yyygygyy
)()( 21 xgofxgof
)()( 21 xfgxfg
)()( 21 xfxf
21 xx gof:AC es inyectiva (por definición de inyectividad).-
2. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES INYECTIVASLa composición de funciones inyectivas es inyectivaH) Sea f:AB g:BC inyectivasT) gof:AC es inyectiva
Ahora
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3. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES SOBREYECTIVASLa composición de funciones sobreyectivas, es sobreyectivaH) Sea f:AB g:BC sobreyectivasT) gof:AC es sobreyectiva
yxfAxBy )(/, zygByCz )(/,
D) Como y=f(x) y z=g(y) son sobreyectivas, entonces:
zygxfgAxCz )()(/,
)()( xgofxfg
zxgof )(
Ahora, teniendo en cuenta la composición de funciones y por hipótesis y por las aseveraciones hechas anteriormente, tenemos:
Pero,
por definición de composición de funciones, lo que se tiene que
Luego, gof:AC es sobreyectiva
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4. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES BIYECTIVASLa composición de funciones biyectivas, es biyectiva
H) Sea f:AB g:BC biyectivasT) gof:AC es biyectiva
D) Por definición, una función es biyectiva solamente si es inyectiva y sobreyectiva, y teniendo en cuenta las demostraciones de composición de funciones inyectivas y composición de funciones sobreyectivas, se demuestra esta propiedad.-
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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSASUna función admite inversa si y sólo si es biyectivaf:AB admite inversa es biyectiva
Para demostrar este teorema, debemos desdoblar la doble implicación, o seaH) f:AB admite inversaT) f es biyectiva
)()( 21 xgofxgof
)()( 21 xixi AA
21 xx
D) Como la función admite inversa (hipótesis), entonces:gof(x)=iA(x)=x fog(y)=iB(y)=y
Hacemos:
Lo que significa que f es INYECTIVA
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)()(/)()(,)()( xgoffxfAxgofxixByfogyiy AB
)()( xgoffoxf
)()()( xoffogxf
)()()( xffogxf
))(()( yfogxf
yxf )(
Ahora:
Pero por la propiedad asociativa de la composición de funciones, queda:
Y aplicando la definición de composición, se tiene:
Esto demuestra que la función f es SOBREYECTIVALuego, la función f es BIYECTIVA (por definición de función biyectiva)
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D) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos encontrar una función g:BA, siempre que exista f:AB de tal forma que x=g(y), si y=f(x).-Ahora, para que g sea función debe cumplir con las condiciones de existencia y unicidad.-Bajo las condiciones descriptas anteriormente, como f es biyectiva, y en particular sobreyectiva, entonces todos los elementos de B tienen antecedente en A por f, lo que significa que todos los elementos de B tienen imagen en A por g (existencia).Por otro lado, como f es inyectiva, entonces distintos elementos de A tienen imagen distinta en B por f, lo que significa que por g, los elementos de B tienen una y sólo una imagen (unicidad).Luego g:AB es función
Demostremos ahora la segunda parte:
H) f:AB es biyectivaT) f admite inversa
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)()( xfgxgof
)()( ygxgof
)()( xixxgof A
Ahora como f y g son funciones, podemos hacer la composición de ellas y obtener una conclusión:
Pero por lo dicho anteriormente y=f(x), entonces:
Por la misma razón que la anterior x=g(y), entonces
)()( ygfyfog
)()( xfyfog
)()( yiyyfog B
Por otro lado se tiene:
Pero por lo dicho anteriormente x=g(y), entonces:
Por la misma razón que la anterior y=f(x), entonces
Luego la función f admite inversa, y es la función gHabiendo demostrado estas dos partes, quedó demostrado el teorema.-
Álgebra Moderna – Funciones
REALIZACION
Prof. LUIS ERNESTO VALDEZ
Departamento de Matemática
Instituto de Estudios Superiores de Andalgalá
2008 - 2012