FUNCIONES
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1
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
Introducció n:
Q uizá s la idea centra l en la ma tem ática sea e l concep to de
función. En la historia de la m a tem á tica , p a rece ser REN É
DESC A RTES q uien introdujo p rim era m ente en e l a ño de 1637 e l
concep to de función, p a ra sig nifica r la p otencia entera de la
va ria b le x . Posteriorm ente LE IBNIZ (1646 – 1716) utilizó d icho
concep to p a ra denota r la s ca ntida des a sociada s a una curva.
LEO N H A RD EULER (1706 – 1783) lo utilizó lueg o pa ra identifica r la
re la ción entre va ria b le y consta ntes en una fórm ula. Pero, la
definic ión q ue se usa a ctua lm ente de función es deb ida a
D IRIC H LET (1805 – 1859) la cua l describ e a una funció n com o u na
reg la de corresp ondencia entre dos conjuntos.
Intuitiva m ente se considera q ue la ca ntida d y es función de la
ca ntida d x , s i ex iste a lg una reg la, ley o p roced im iento q ue
p erm ita a sig na r un va lor único de y , p a ra ca da va lor q ue se
considere de x , dentro de c ierto conjunto p osib le de va lores.
M ucha s veces es p osib le exp resa r d icha reg la o ley p or m ed io de
una ecua ción m a temá tica com o ocurre p or e jem p lo, con e l
á rea y de un c írculo, en función del ra d io x ; 2pxy ; otra s
veces es d ifíc il o a ún imp osib le ha lla r la fórm ula m a temá tica q ue
re la ciona la s va riab les x e y a unq ue sig a siendo p osib le la
a sig na ción de un va lor único de y p a ra ca da va lor de x .
Lo q ue interesa rea lm ente es p oder determ ina r un conjunto de
p a res ordena dos yx, , indep end ientem ente de si la ley o reg la
q ue re la ciona la s va ria b les x e y es de tip o m a tem á tico,
em p írica o simp lem ente descriptiva .
A sí, tend iendo en cuenta la descrito en la colum na a nterior,
g enera lm ente se ha ce uso de las funciones rea les, (a ún cua ndo
e l ser hum a no no se da cuenta), en e l m a nejo de c ifra s
num érica s en corresp ondencia con otra , deb ido a q ue se está
usa ndo sub conjuntos de los núm eros rea les. La s funciones son de
m ucho va lor y utilida d p a ra resolver p rob lema s de la vida d ia ria,
p rob lem a s de fina nza s, de econom ía, de esta d ística, de
ing eniería , de m ed ic ina, de q uím ica y fís ica , de a stronom ía , de
g eolog ía, y de cua lq uier á rea socia l donde ha ya q ue re la ciona r
va ria b les.
C ua ndo se va a l m erca do o a cua lq uier centro com erc ia l,
s iem p re se re la ciona un conjunto de determ ina dos ob jetos o
p roductos a lim entic ios, con e l costo en p esos p a ra a sí sab er
cuá nto p odem os com p ra r; si lo lleva m os a l p la no, p odem os
escrib ir esta corresp ondencia en una ecua ción de función "x"
com o el p recio y la ca ntidad de p roducto com o "y".
E l concep to de función es e l m ejor ob jeto q ue los m a tem á ticos
ha n p od ido inventa r p a ra exp resa r e l ca m b io q ue se p roduce en
la s cosa s a l pa sa r e l tiem p o.
En este ca p ítulo com enza rem os p or p repa ra r e l ca m ino p a ra los
sig uientes a l a na liza r a sp ectos b á sicos de la s funciones ta les
com o: identifica r cuá ndo una re la ción entre dos conjuntos es una
función, visua liza r una función a tra vés de d istintos m étodos,
ob tener inform a ción de esa rep resenta ción y reconocer c iertos
conjuntos a socia dos a la s funciones ta les com o el dom inio y la
im a g en.
H a rem os hinca p ié en q ue una función p uede rep resenta rse de
d iferentes m odos: m ed ia nte una ecuación, con una g rá fica, o
con p a lab ra s.
UNID A D 1: FUNC IONES Y SUS GR A FIC A S
2
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
A cada e lemen to
del dominio le
corresp ond e un
único e lemen to d el
Ra n go.
Iny ectiva
Si
1
2
3
4
1
7
6
2
f
F. inyectiva
A B
1
2
3
4
1
7
6
f
F. n o in yectiva
A B
fCodfRan
Todos los valores de
"y" (el codominio) son
imágen de un valor
de "x" (el dominio).
Sobre yectiva
Si 8
5
7
6
6
4
f
F. sob reyectiva
A B
F. no sobreyectiva
0
5
3
6
2
6
8
f
A B
Es in y ect iva y
sob rey ec tiva a
la vez .
Biyectiva
Si
1
2
3
4
1
7
6
2
f
F. Binyectiva
A B
F. no biyectiva
0
5
3
6
2
6
8
f A B
f
)()(
domx
xfxf
f
)()(
domx
xfxf
x
y
Fu n ción pa r
x
y
Fu n ción im pa r
Par
Si
im par
Si
)()( 21
21
xfxf
xx
)()( 21
21
xfxf
xx
x
y
F . c re c ien te
x
y
F . d ecr ec ien te
C recie nte
Si
D ecrec ie nte
Si
Pu ed e ser:
Y s e les p ued e h a lla r:
D om in io Ra n g o
C on ju n to d e va lores
en los qu e p u ed e
eva lua rse la fu n ción .
Se llam a Recorrido, Rango o Imagen de
una función al conjunto de valores que
obtiene la función al reem plazar x. Este
se puede encontrar despejando x en la
función.
RELA C IÓ N
Se d efin e c om o :
C orrespond enc ia q ue hay e ntre lo s e lem entos
d e d os conjuntos A y B . e sto es A X B .
Q ue p uede ser:
FU NC IÓ N
S i se c um p le q u e :
Se a sign a a ca d a un o d e lo s e lem en tos “ x” d el
con jun to “A ” un ún ico elem en to “ y” d e l c on jun to “ B ” .
Se c la s ifica n en :
Elem ent ales tra sc e nde nte s
Polin óm ica
C on sta n te
Lin ea l
C ua d rá tica
Ra cion a l
V a lor a b s ol.
Exp on en cia l
Loga rítm ica
T rigon om etrica
T rig. in versa
H ip erb ólica
H ip erb . in versa
N o Elem e ntales
Pa rte en tera .
Pa ra ob s erva r su c om p orta m ien to e s
a d ecua d o rep r esen ta rla grá fica m en te.
Su grafica:
Pa ra gra fica rla p od em os rec urrir a :
Tabulac ión Identificación de la
func ión
Hacer tabla de
valores en dond e
están los valores
dados a x y los
correspondientes
hallados de y .
Un a vez
id en tifica d a la
fun c ión , d eterm in ar
sus ca ra cterística s y
con ba se en e llas
gra fica r.
Es el conjunto de puntos yx, en 2R para los
cuales yx, es un par ordenado de la función
f .
Sus in terseccion es con los e jes, se logra n a sí:
C on e l e je x C on e l e je y
Son los n úmeros
reales x para los
cuales 0xf . A
estos núm eros se les
llama también "ceros"
de la función f.
A q uellos n úmeros
reales p a ra lo s
cua les s e d é )0(f .
SIM ETRÍA . Ten dr á si:
La gra fica d e la fun ción es sim étrica con resp ecto a l e je y si la
func ión n o se a ltera c uan do: Se ob tiene una ecuación
eq uiva len te cuand o yx, se sustituye por yx, .
La grafica de la fun c ión es sim étrica con resp ecto a l origen si
la fun ción no se a ltera cuand o: Se obtien e un a ecuación
eq uiva len te cuand o yx, se sustituye por yx ,
No tendrá si:
La gra fica d e la fun c ión n o ten d rá sim etría si n o se
cum p le n in gun o d e lo s ca sos a n teriores.
A lg un a s p ued en ten er :
Se d en o ta n :
xfy y;x:f y f x ; , lo
q ue sign ifica q ue f en v ía x a y.
M APA CONCEPTUAL 1: FUNCIONES
3
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
G ra fica de una función : xfy
G RAFIC A
D E UN A
FUNC IÓ N
M u estra c on m ayor
clar idad , la re la ción que
existe entre las v ariab les
x e y de u na función .
Se lo gra con e l con jun to d e p a re ja s ord en a d a s 2, Ryx .
La cua l se de fin e: Sea RBRAf : una func ión re al
de v ariab le r ea l. La gráf ic a de f es el con junto d e puntos
2, Ryx ta le s qu e la par eja orden ada yx, perten ece a f.
Es d ecir, Grá fica d e fDxxfyRyxf ,/, 2 .
A lg un a s p os een f un c ion es in versa s. La s f un c ion es in versa s d e
un a f un c ión se p u ed en id en tifica r a sí (c rite rio gra fico) :
C RITE RIO D E LA REC TA H O RIZ O N TA L:
Un a fun c ión p osee in versa si a l tra zar recta s h orizon ta les ésta s
corta n a la fun c ión en un so lo p un to; en ca so con tra rio la fun c ión
a la q ue se le tra za n recta n h orizon ta les n o p osee in versa .
La fun c ión sí p osee fun c ión La fun c ión n o p osee fun c ión
In versa ya q ue a l tra za r recta s In versa ya q ue a l tra zar recta s
h orizon ta les, ésta s corta n a la h orizon ta les, ésta s corta n a la
fun c ión en un só lo p un to. f un c ión en va r ios p un tos.
La restr icc ión d a d a en la d efin ic ión d e f un c ión , d e q ue n o
exis ten 2 p a re ja s q ue ten ga n la p rim era com p on en te ig ua l , s e
tra d uc e en la gra fica d e la f un c ión d e la sig uien te m a n era :
C RITE RIO D E LA REC TA V ERT IC A L:
Un a gra fica c orresp on d e a un a fun c ión si a l tra za r recta s
vertica les ésta s c orta n a la f un c ión en un s o lo p un to .
La gra fica si es f un c ión , la
recta vertica l toca la
fun c ión en un s o lo p un to .
La gra fica n o es f un c ión , la
recta ver tica l to ca la
fun c ión en 3 p un to s.
Fig ura 1 .1 . Fig ura 1 .2 .
M APA CONCEPTUAL 2: GRAFICA DE UNA FUNCIÓN
4
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
C oncep to Func ió n
1. Determ ina r cua les de la s sig uientes re la ciones son funciones y
cua les no .
a . la re la ción BAf : donde ponmA ,,, , tsrB ,, y
sptosnrmf ,,,,,,,
b . c .
So luc ión:
a . f s i es función, ya q ue a cada elem ento de A le corresp onde
un único e lem ento de B.
b . g no es función, p ues e l e lem ento c del conjunto x está
a socia do con 2 e lem entos en e l conjunto y, y todos los
e lem entos del conjunto x no form a n pa rte del dom inio.
c . H si es función, p orq ue e n la g ra fica se ob serva q ue no ex isten
2 p a re jas ordenada s en las cua les se rep ita la seg unda
com p onente, es decir, cada e lem ento de x está a socia do
con un único e lem ento de y.
T ipo de Función:
2. Da das las sig uientes funciones, encontra r dom inio y ra ng o.
A dem á s determ ina r, si son inyectiva s (uno a uno), b iyectiva s,
sob reyectivas, pa r, im pa r, creciente, decreciente, sim étrica.
Lueg o, tra za r la g ra fica (tab ula ción).
a . 12)( xxf b. 2)( 2 xxf c . xxxf 3)(
So luc ión:
a . 12)( xxf
Dom inio : E l dom inio de 12)( xxf corresp onde a todos los
p osib les va lores de x p a ra los cua les )(xf está definida. C om o
x p uede tom a r cua lq uier va lor, se d ice q ue e l dom inio de
12)( xxf corresp onde a l conjunto de los núm eros rea les.
Dom 12)( xxf R o (en nota ción de conjuntos Rxx /
o en nota ción de interva los , .
Rango : Se ob tiene desp eja ndo x en la función 12)( xxf .
A sí; 12)( xxf
12 xy
2
1
yx
C om o y p uede tom a r cua lq uier va lor, se d ice q ue e l ra ng o de
12)( xxf corresp onde a l conjunto de los núm eros rea les.
Ra ng o de 12)( xxf R o (en nota ción de conjuntos
Ryy / o en nota ción de interva los , .
¿Función inyectiva?
La función 12)( xxf es inyectiva , p ues a ca da núm ero
d iferente del dom inio le corresp onde un único núm ero del ra ng o.
A lg eb ra ica m ente, se p uede exp lica r:
1212 2121 xxxfxf
21 22 xx
21 xx
Lo q ue m uestra q ue la ig ua lda d de imá g enes im p lica ig ua lda d
de p re imá g enes.
a
b
c
d
m
n
o
p
q
x y
Ejercicios R esueltos . M apa C onceptual 1 y 2
Fig ura 1 .3 .
5
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
¿Función Sobreyectiva?
La función 12)( xxf será sob reyectiva si e l ra ng o de la
función es ig ua l a l codom inio1 de la función, esto es, si e l
codom inio es ig ua l a los R .
C om o Ra n )()( xCodomfRxf
La función 12)( xxf es sobreyectiva .
¿Función B iyectiva?
C om o la función 12)( xxf es inyectiva y sob reyectiva,
entonces es biyectiva .
¿Función par, im par o ninguna?
La función 12)( xxf será p a r si f domx xfxf )()( .
12)( xxf
12)( xxf com o xfxf )( La función no es par .
La función 12)( xxf será imp a r si f domx xfxf )()( .
12)( xxf
12)( xxf com o xfxf )( La función no es im par .
La función 12)( xxf no es par ni im par.
¿Función C reciente, decreciente o constante ?
La función es creciente en todo su dom inio , ya q ue p a ra ca da
21 xx siem p re 21 xfxf . M á s a dela nte se trab a ja rá n unos
criterios m ás concretos sob re éste item.
1 El c o do m inio y rango de una func ió n so n d ife re nte s . Te nga pre se nte s las de finic io ne s d adas.
Co do m inio : El c o do m inio o c o njunto de lle gada de f e s e l c o njunto Y y se de nota Codf o b ie n Cf .
Im age n, re c o rrido o rango : La im age n, re c o rr ido o rango de f e stá fo rm ada po r lo s v a lo res que a lc anza la
m ism a. Es e l c o nju nto de to do s lo s o bje to s transfo rm ado s, se de no ta fRan o b ie n
fR y e stá de fin ida po r:
yxfXxYyR f ,/ .
¿S im étrica con respecto al e je y , sim étrica con respecto al
o rigen o ninguna?
La grafica de la función 12)( xxf es simétrica con respecto al
eje y si la función no se altera cua ndo: Se obtiene una ecua ción
equivalente cuando yx, se sustituye p or yx, ,
12)( xxf
12 xy
12 xy
12 xy C om o 12)( xxf se a ltera a l ca m b ia r yx, por
yx, no hay simetría con respecto a l eje y .
La gra fica de la función 12)( xxf es simétrica con respecto al
orig en si la función no se altera cua ndo: Se obtiene una ecua ción
equivalente cuando yx, se sustituye p or yx ,
12)( xxf
12 xy
12 xy
12 xy C om o 12)( xxf se a ltera a l ca m b ia r yx, por
yx , no ha y sim etría con respecto a l origen.
La g ra fica de 12)( xxf no p osee sim etría .
Grafica. La obtenem os a tra vés
de tab la de va lores. F ig ura 1.4.
x )(xf
2 51)2(2)2( f
1 31)1(2)1( f
0 11)0(2)0( f
3 51)3(2)3( f
4 71)4(2)4( f
Fig ura 1 .4 .
6
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
b . 2)( 2 xxf
Dom inio : E l conjunto de los núm eros rea les.
Dom 2)( 2 xxf R o (en notación de conjuntos Rxx / o
en nota ción de interva los , .
Rango : Se ob tiene desp eja ndo x en la función 2)( 2 xxf .
A sí; 2)( 2 xxf 22 xy 2 yx
y p uede toma r cua lq uier va lor en donde 02 y y+2, se d ice
q ue e l ra ng o de 12)( xxf corresp onde a l conjunto de los
núm eros rea les ta les q ue 2y .
Ra nf: 2y o (en nota ción de co njuntos 2/ yy o en
nota ción de interva los ,2 .
¿Función inyectiva?
La función 2)( 2 xxf no es inyectiva , p ues ex isten núm eros
d iferentes en e l dom inio q ue tienen la m isma im ag en, p or
e jem p lo, -1, 1. A sí, 11 s in emb a rg o, 111 ff
¿Función Sobreyectiva?
La función tiene p or ra ng o 2y y p or codom inio: R.
C om o Ra n )()( xCodomfxf
La función 2)( 2 xxf no es sobreyectiva.
¿Función B iyectiva?
C om o la función no 2)( 2 xxf es inyectiva y no es
sob reyectiva, entonces no es biyectiva .
¿Función par, im par o ninguna?
La función 2)( 2 xxf será p a r si f domx xfxf )()( .
2)(2 xxf 2)( 2 xxf
com o xfxf )( La función es par .
¿Función C reciente, decreciente o constante ?
De a cuerdo a la fig ura 1.5. la función es d ecreciente en e l
interva lo 0, y creciente en e l interva lo ,0 .
¿S im étrica con respecto al e je y , sim étrica con respecto al
o rigen o ninguna?
La gra fica de la función 2)( 2 xxf es simétrica con respecto al
eje y si la función no se altera cua ndo: Se obtiene una ecua ción
equivalente cuando yx, se sustituye p or yx, ,
2)( 2 xxf
22 xy
22 xy
22 xy Como 2)( 2 xxf no se altera al cambiar yx, por
yx, hay simetría con respecto al eje y . Además, es importante
determinar que si la grafica de una función es par, podemos concluir
que es simétrica con respecto al eje y.
Grafica. La obtenem os a tra vés de tabla de valores. F ig ura 1.5.
x )(xf
2 22222
f
1 12112
f
0 22002
f
1 12112
f
2 22)2()2( 2 f
Fig ura 1 .5 .
7
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
c. x
xf1
)(
Dom inio : E l conjunto de los núm eros rea les d iferentes de 0 (ya
q ue no está p erm itida la d ivisión entre 0).
Dom x
xf1
)( 0/ xRx o en nota ción de interva los
,00, .
Rango : Se ob tiene desp eja ndo x en la función x
xf1
)( .
A sí; x
xf1
)( x
y1
y
x1
y p uede tom a r cua lq uier va lor d iferente de 0. E l ra ng o de
xxf
1)( corresp onde a l conjunto 0/ yRy o en n ota ción
de interva los ,00, .
¿Función inyectiva?
La función x
xf1
)( es inyectiva , p ues a ca da núm ero d iferente
del dom inio le corresp onde un único núm ero del ra ng o.
¿Función Sobreyectiva?
La función tiene p or ra ng o 0y y p or codom inio: 0y .
C om o Ra n )()( xCodomfxf
La función x
xf1
)( es sobreyectiva .
¿Función B iyectiva?
C om o la función x
xf1
)( no es inyectiva y si es sob reyectiva,
entonces no es biyectiva .
¿Función par, im par o ninguna?
La funciónx
xf1
)( será p a r si f domx xfxf )()( o será
im p a r si f domx xfxf )()(
xxxf
11)(
com o xfxf )( La función es im par.
¿Función C reciente, decreciente o constante ?
De acuerdo a la fig. 1.6. la función es decreciente en todo su dominio.
¿S im étrica con respecto al e je y , sim étrica con respecto al
o rigen o ninguna?
La gra fica de la función x
xf1
)( es sim étrica con respecto a l e je y si
la función no se a ltera cuando: Se obtiene una ecuación equiva lente
cua ndo yx, se sustituye p or yx, ,
xxf
1)(
xxy
11
No e s simé tric a c o n re spe c to a l e je y .
x
xf1
)( xx
y11
Si e s sim é tric a co n re spe c to a l o rige n.
Grafica. La obtenem os a tra vés de tabla de valores. F ig ura 1.6.
x )(xf
2 2
1
2
12
f
1 11
12
f
21 2
1
21
21
f
21 2
1
21
21 f
1 11
11 f
2 2
1
2
12 f
Fig ura 1 .6 .
8
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
Dom inio y Rango .
3. Hallar el dominio y rango de cada función. Luego, trazar la grafica.
a . 13 2 xxf b . 2
1
xxg c .
4
12
x
xh
d. 3
23
x
xxi e .
xxj
4
1 f. 12 xxk
So luc ión :
a . 13 2 xxf
Dom inio : La función corresp onde a una función p olinóm ica
cua drá tica, x p uede tom a r cua lq uier va lor en e l conjunto de los
R . Lueg o RDomf
Rango : E l ra ng o de f se p uede ha lla r a sí:
13 2 xxf
13 2 xy
13 2 yx 3
1
yx
C om o no se p ueden ob tener ra íces cua dra da s de núm eros
neg a tivos, entonces determ inam os cua ndo 103
1
y
y
Ra n ,1f o 1y
G rafica:
b . 2
1
xxg
Dom inio : La función 2
1
xxg no está definida p a ra 2x
p ues 02 x cua ndo 2x . Lueg o, 2)( Rxg Dom
Rango : E l ra ng o de f se p uede ha lla r a sí:
2
1
xxg
2
1
xy
yx
12 2
1
yx
Lueg o, Rx s í y só lo sí 0y . Ra n 0 Rg
G rafica: F ig ura 1.8.
c. 4
12
x
xh
Dom inio : La función 4
12
x
xh es eq uiva lente a
22
1
xxxh , entonces )(xh no está definida p a ra 2x y
2x Lueg o, 2,2)( Rxh Dom
Rango : E l ra ng o de f se p uede ha lla r a sí:
Fig ura 1 .7 .
x )(xf
2 1312322
f
1 411312
f
0 110302
f
1 411312
f
2 1312322
f
Fig ura 1 .8 .
x )(xf
1 3
1
21
11
f
0 2
1
20
10
f
1 121
11
f
9
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
4
12
x
xh
4
12
x
y
yx
142 4
1
yx
Lueg o, Rx s í y só lo sí 0y . Ra n 0 Rh
G rafica: F ig ura 1.9.
d . 3
23
x
xxi
Dom inio : La función 3
23
x
xxi no está definida pa ra 3x
Lueg o, 3)( Rxh Dom
Rango : E l ra ng o de f se p uede ha lla r a sí:
3
23
x
xxi
3
23
x
xy
23)3( xxy 233 xyxy 233 yxxy
233 yyx 3
23
y
yx
Lueg o, Rx s í y só lo sí 3y . Ra n 3 Ri
G rafica: F ig ura 1.10.
e . x
xj
4
1
Dom inio : La función x
xj
4
1 está definida p a ra a q uello
va lores en q ue 04 x , 4x Lueg o, 4)( xxj Dom
Rango : E l ra ng o de f se p uede ha lla r a sí:
x
xj
4
1
xy
4
1
yx
14
2
14
yx
2
14
yx
Lueg o, Rx s í y só lo sí 0y . Ra n 0 Rj
G rafica: F ig ura 1.11.
Fig ura 1 .9 .
x )(xf
3 5
1
43
13
2
f
1 3
1
41
11
2
f
0 4
1
40
10
2
f
1 3
1
41
11
2
f
3 5
1
43
13
2
f
Fig ura 1 .10 .
x )(xf
10 7
32
3)10(
2)10(310
f
5 2
17
3)5(
2)5(35
f
2 83)2(
2)2(32
f
0 3
2
3)0(
2)0(30
f
5 8
13
35
2)5(35
f
Fig ura 1 .11 .
x )(xf
10 3
1
54
15
f
0 2
1
04
10
f
3
134
13
f
10
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
f. 12 xxk
Dom inio : La función 12 xxk está definida pa ra aq uellos
q ue ha cen 012 x , esto es, 2
1x Lueg o,
2
1)( xxk Dom
Rango : E l ra ng o de f se p uede ha lla r a sí:
12 xxk
12 xy
122 xy 2
12
yx
Lueg o, Ra n Rk
G rafica: F ig ura 1.12.
C ortes con e l e je x y con el e je y
4. H a lla r los p untos de corte de la función da da con los e jes
coordena dos. Lueg o g ra fica r.
a . 12)( xxf b . 1)( 2 xxf
So luc ión :
a . Pa ra ha lla r los cortes con e l e je x , es decir los p untos de la
form a )0,(x se ig ua la la función a 0 y se desp eja x .
012 x 2
1x
e l p unto de corte con e l e je x es 0,21
.
Pa ra ha lla r los cortes con e l e je y ,
es decir los p untos de la form a
),0( y se ca lcula )0(f .
1102)0( f
e l p unto de corte c on e l e je y
es 1,0 . Figura 1.13 .
b . Pa ra ha lla r los cortes con e l e je x , es decir los p untos de la
form a )0,(x se ig ua la la función a 0 y se desp eja x .
012 x 1x
los p untos de corte con e l e je x son 0,1 y 0,1 .
Pa ra ha lla r los cortes con e l e je y , es decir los p untos de la form a
),0( y se ca lcula )0(f .
110)0(2
f
e l p unto de corte con e l e je y es 1,0 . Figura 1.14 .
Fig ura 1 .12 .
x )(xf
21 012)(
21
21 k
1 1112)1( k
25 212)(
2
5
2
5 k
5 3152)5( k
Fig ura 1 .13 .
Fig ura 1 .14 .
11
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
F igura 1 .15
1. A un ta nq ue q ue tiene la forma de u n cono c ircula r recto
invertido de 4 mts. de rad io y 16 m ts. de a ltura entra ag ua a una
ra zón determ ina da. Exp resa r e l volum en de a g ua en un insta nte
da do:
a . En función de la a ltura h.
b . En función del rad io de la b ase x.
So luc ión.
En la figura 1.15 .
a p a rece e l cono con la s
d im ensiones da da s y
una p orc ión del
volum en en e l insta nte
determ ina do.
E l volum en del ag ua en
e l insta nte determ inado
viene da do p or:
C om o los triá ng ulos O DE y OBC son sem eja ntes, se tiene:
(2)
a . Si se q uiere exp resa r e l volum en en función de la a ltura h, se
deb e desp eja r x en (2) y sustituirlo en (1). A si,
Lueg o, entonces,
b . Pa ra exp resa r e l volum en en función del ra d io x, se sustituye (2)
en (1).
A si
2. Un a la m b re de 100 cm. de long itud se corta a una d ista ncia x
de uno de sus extrem os en dos pa rtes, form a ndo con una de e lla s
un c írculo y con la otra un cuadra do (figuras 1.16. y 1.17) .
a . Exp rese e l p erím etro de ca da fig ura en función de x.
b . Exp rese e l á rea tota l de la s figuras 1.16. y 1.17. en función de x.
¿C uá les son sus resp ectivos dom inios?
So luc ión .
Long itud de la c ircunferencia: xrxrlc
2
12
a . Perím etro del cua drado xLxLPc 1004
11004
xxP
xxP
1002
1
A hora : 100,021 xPDxPD (Dom inio de xP1 ).
b . Á rea del c írculo 2
2
1
2
4
1
2
1xxxArAc
Á rea del cua dra do 22
2
2 10016
1100
4
1xxxALAcua
A si q ue: xAxAxA 21 22 10016
1
4
1xxxA
donde 1000 x
Ejercicios R esueltos . Situaciones que se representan con funciones
Lon g itud d e la p erím etro d el
C ircun feren cia = x c ua d ra d o = 100 -x
Fig ura 1 .1 7 .
Fig ura 1 .16 .
Perím e tro d e la c ir cun fer en cia
Perím e tro d el c ua d ra d o
12
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
Fig ura 1 .18 .
3 . Se d isp one de
una ca rtulina
cua dra da de
la do a y se q uiere
ha cer una ca ja
sin ta p a
recorta ndo
cua dra dos
ig ua les en la s
esq uina s y
dob la ndo sus lados (Ver fig.). Exp rese e l volum en de la ca ja en
función del la do del cuadra do recorta do.
Soluc ión.
Volum en de la ca ja = Á rea de la b ase x a ltura
xxaxv .22
xaaaxxxxaxaxxaxv 222322244.44.2 p a ra
20 ax
4 . Un a b reva dero
q ue está lleno de
a g ua tiene 2 m ts.
de la rg o y sus
extrem os tienen la
form a de triá ng ulos
eq uilá teros
invertidos de 60 cm .
de la do (Ver
fig .1.17.) . ¿C uá l es e l volum en de ag ua en e l a b revadero?
Si a l ab reva dero se le a b re un orific io en e l fondo y e l ag ua se
esca p a a una razón da da . Exp rese e l volum en en un insta nte
da do p osterior en función:
a . De la b a se del triá ng ulo.
b . De la a ltura del triá ng ulo.
So luc ión.
Volum en = (Á rea de la b ase) . (a ltura)
200.2
.
BDACV
Pero 330BD
y 60AC .
Lueg o,
33180000200.2
330.60cmV
En e l insta nte p osterior en e l q ue se m ide e l volum en, las ca ra s
la tera les son triá ng ulos cuya b a se es x y cuya a ltura es h.
A si q ue hxhx
V .100200.2
.
A hora , com o los triá ng ulos A BC y M BN son segm entos, se tiene:
hxhx
3233060
a . Pa ra exp resa r e l volum en en función de la b a se del triá ng ulo,
se desp eja h en y se sustituye en
A si, xh2
3
Lueg o, xxV2
3.100
2350 xV con 600 x
00 v (e l ta nq ue está va cío)
32 318000060.35060 cmV (e l ta nq ue está lleno)
b . Ig ua lm ente, si se q uiere exp resa r e l volum en en función de
la a ltura h, de se tiene: 3
2hx
y sustituyendo en se ob tiene:2.
3
3200.
3
2100 hh
hV
Esto es, 2
3
3200hhV con 3300 h
Fig ura 1 .19 .
13
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
N ote q ue:
00 v (e l ta nq ue está va cío)
32
3180000330.3
3200330 cmV (e l ta nq ue está lleno)
5 . Los puntos A y B
están situados uno
frente a l otro y en
lados op uestos de
un rio recto de 300
m ts. de a ncho. Los
p untos Q y D está n
respectivam ente y
en la m isma orilla de
B a x mts. y a 600
m ts. (Ver fig 1.20).
Una com pa ñía de te léfonos desea tender un cab le desde A hasta
D p a sa ndo p or Q. Si e l costo p or m etro de cab les es de k4
5 p esos
b a jo e l ag ua y de k pesos por tierra ; exp rese e l costo total com o
una función x. ¿C uá l es e l dom inio de la función costo?.
So luc ión .
La función costo tota l viene da da p or:
DQdkQAdkC ,.,.4
5 con 6000 x
xkxkxC 6003004
5 22 con 6000 x
E l Dom inio de la función costo tota l es e l interva lo 600,0 .
N ote q ue:
i. kkkC 975600300
4
50 2
Esto significa que si 0x , el punto Q coinc ide con B y en este
caso, el cable se debe tender desde A hasta B p or agua y desde B
hasta D por tierra, implicando un gasto total de k975 pesos.
ii. kkkC 5.8385375300600
4
5600 22
Esto significa q ue si 600x , el punto Q coinc ide con D y en este
caso, e l cab le se deb e tender directamente desde A hasta D p or
agua, dema ndando un gasto total de aprox. k5.838 pesos.
iii. kkkC 825200300400
4
5400 22
Esto sig nifica q ue si e l p unto Q está a 400 m ts. de B y se tiende
e l ca b le p or a g ua desde A ha sta Q y p or tierra desde Q ha sta
D , dem a nda ría un g a sto m enor p a ra la comp a ñía q ue los dos
ca sos a nteriores.
M a s a dela nte se dem ostra rá usa ndo Deriva ción, q ue
cua lq uier va lor de x, x ¹ 400, dem a nda rá un g a sto m a yor p a ra
la com pa ñía .
6 . Se disp one de 1000
dólares pa ra construir un
tanque cilíndrico de altura y
p ies, rem ata do en sus
extremos p or dos semiesferas
de ra dio x p ies. (Ver fig 1.21.).
E l costo de m ateria l de la
p arte esférica es de 4 dóla res p or 2pie y e l de la pa rte c ilínd rica
es de 2 dóla res por 2pie . Expresar el volum en del tanque en
función del rad io x .
So luc ión .
En la figura 1.21.
A p a rece e l
ta nq ue q ue se
desea construir.
Fig ura 1 .20 .
Fig ura 1 .21 .
Figura 1.22.
14
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
La p arte c ilínd rica es eq uiva lente al rectá ng ulo de long itud y y
a ncho x2 .
Lueg o, e l á rea de la p a rte c ilínd rica es: xy2 y su costo 1C viene
da do p or xyC 41 .
C om o los extrem os son dos sem iesfera s, su á rea es eq uiva lente a l
á rea de una esfera de ra d io x , esto es 24 x , y su costo 2C viene
da do p or 2
2 16 xC .
A si q ue, 100021 CC
25041000164 22
21 xxyxxyCC
A hora Ect VVV (Volum en tota l)
Pero, yxVC
2 (Volum en del c ilind ro)
3
3
4xVE (Volum en de la esfera )
De esta form a :32
3
4xyxVT
C om o se deb e exp resa r e l volum en tota l en funció n de x
única m ente, se desp eja la va ria b le y en y se sustituye en
.A si, de se tiene q ue: x
xy
24250 , y sustituyendo este va lor
de y en se p uede escrib ir: 32
2
3
44250x
x
xxxV
, y
sim p lifica ndo se obtiene fina lm ente: 3
3
8250 xxxV
¿Es p osib le exp resa r e l volum en del ta nq ue en función de y?
¡Tra te de hacerlo!
7 . Una p iscina recta ng ular de 20 m ts. de la rgo p or 10 m ts. de a nch o,
tiene 4 mts. de p rofund ida d en un extrem o y 1 mts. en e l otro. La
figura a djunta ilustra una vista tra nsversa l de la p isc ina. E l ag ua pa ra
llenar la pisc ina es bombeada por el extrem o p rofundo.
a . Determine una
función q ue exprese el
volumen V de agua en
la piscina com o función
de su p rofund idad x en
el extrem o profundo.
b . C a lcula r 1V y 2V .
So luc ión .
a . Sea L la long itud de la m ed ida del nive l del a g ua desde e l
extrem o p rofundo ha sta e l m enos p rofundo.
N ote q ue L y x son los la dos de un triá ng ulo rectá ng ulo
sem eja nte a l triá ng ulo cuyos lados son 20 y 3 m ts.
De esta form a , se p uede estab lecer la sig uiente p rop orc ión:
xLx
L
3
20
3
20 con 30 x
A hora , e l volum en V en un insta nte determ inado viene dado p or :
V = (Á rea de la sección tra nsversa l) . (a ncho)
2320
3
10010.
2
.10.
2
.x
xxxLV 3
3
100xxV
b . 32 3,333
1001
3
1001 mtV ;
33,1333
4004.
3
1002 mtV
Fig ura 1 .23 .
15
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
Ya se analizó el concepto de función y sus elem entos; ahora nos
centrarem os en la grafica de funciones, no con el m étodo de
tabulación, usado en los ejercicios resueltos anteriores, sino,
determ inando el t ipo de función y sus característ icas para así poder
graficar de una m anera m ás analít ica y exacta.
Para dar in icio a la grafica de funciones por m edio de sus
característ icas, clasificarem os las funcione s.
FUNCIONES ALGEBRAICAS O ELEMENTALES .
Una función algebraica explícita o elem ental es aquella cuya variable y
se obtiene combinando un núm ero finito de veces la variable x y
constantes reales por medio de operaciones algebraicas de sum a, resta,
multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.
A este grupo pertenecen:
1. Funciones polinómicas : Son las funciones xPx , donde P es
un po linom io en x , es decir una sum a fin ita de potencias de x
m ultip licados por coeficientes reales.
1.1. Función constante : kxf , k es constante. Es un monomio de
grado 0, ya que 0kxk . ( 10 x prop. Potencias).
1.2. Función lineal : baxxf es un binom io de 1er. Grado .
1.3 . Función cuadrática : cbxaxxf 2es un tr inom io de 2do . grado.
1.4 . Función cúbica : dcxbxaxxf 23es un cua tr im onio de 3er .
grado.
1.5. Función polinómica grado 4 . 01
1
1 ..... axaxaxaxf n
n
n
n
2. Función racional: Son funciones obtenidas al d ivid ir una función
po linomial por otra, no idént icam ente nula.
3. Función valor absoluto.
4. Función raíz o radical .
FUNCIONES TRASCENDENTES
No siem pre se puede modelar con funciones del t ipo algebraico; esto
ha dado lugar al desarrollo de otro tipo de funciones, las funciones
trascendentes, las cuales se clasifican en : l as trigonom étricas y sus
inversas, relacionadas con el triángu lo rectángulo ; y las logarítmicas y
exponenciales, m ás asociadas a una variación en progresión geom étrica
(crecim iento poblacional, por ejemplo).
1. Función exponencial: xaxf
2. Función logarítm ica: xxf alog
3. Funciones trigonométricas : seno , coseno, tangente, secante,
cosecante, cotangente.
4. Funciones trigonométricas inversas : seno inverso, coseno inverso,
tangente inverso, secante inverso, cosecante inverso, cotangente inverso.
5. Funciones hiperbólicas : seno h iperbólico , coseno hiperbólico,
tangente h iperbólica, secante h iperbólica, cosecante hiperbólica,
cotangente hiperbólica.
6. Funciones hiperbólicas inversas : seno h iperbólico inverso,
coseno hiperbólico inverso, tangente hiperbólica inverso,
secante h iperbólica inverso , cosecante hiperbólica inverso,
cotangente hiperbólica inverso .
Funciones no elementales
1. Función parte entera.
1.1: C LA SIFIC A C IÓN D E FUNC IONES
“Las funciones algebraicas son a quellas c uya reg la
de correspondencia es una expresión algebraica”.
16
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
FUN C IO N ES PO LIN Ó M IC A S
Se de fine c o m o
01
1
1 ..... axaxaxaxf n
n
n
n
; c o n 0na , Zn ,...,,, 210 naaaa con s ta n tes , l la m a d a s c oefic ien tes d el
p olin om io.
De pe ndie ndo de su g rado se ide n tif ic a su g rafic a:
FU NC IÓ N C O NSTANTE
bxfy Rb
Su gra fica es
G ra do po lin om io : 0
L ínea rect a
p a ra le la a l e je x
FU NC IÓ N LINEAL
bmxxfy
Su gra fica es
G ra do po lin om io : 1
L ínea rect a
corte en e je y: b y ,
p en d ien te : m .
FU NC IÓ N C U AD RÁTIC A
cbxaxxfy 2 c o n 0a
Su gra fica es
G ra do po lin om io : 2
Pará bola
a b re h a cia a rrib a s i 0a y
a b re h a cia a rrib a s i 0a
Pa ra gra fica rla siga los sig uien tes p a sos :
G ra do po lin om io : > =3
1. Determ in e los b ra zos d e la grá fica , Esto es ,
Si n es im p a r y 0na
la g raf ica in icia con u n b ra zo ca íd o y term in a en un b ra zo leva n ta d o
Si n es im p a r y 0na
la g raf ica in icia con u n b ra zo leva n ta d o y term ina en u n b ra zo caíd o
Si n es p a r y 0na ; la g ra f ica in icia y term ina con b ra zos leva n ta d os
Si n es p a r y 0na ; la g ra f ica in icia y term ina con b ra zos ca íd os
2. Id en tifiqu e n úm ero d e va lles y cú sp ides, Esto es , Núm ero com b in ad o d e va lles y
cú spid es n o d eb e exced er a 1n a u n qu e pu ed e ser m en or.
3. H a lle los cortes con el eje x, Esto es , 0... 01
1
1
axaxaxa n
n
n
n
H ág a lo p or fa ctoriza ción o teorem a d e las ra íces ra ciona les.
Th d e la s ra íces ra ciona les : D ad o 0... 01
1
1
axaxaxa n
n
n
n,p os ibles
ceros son d e la form a q
pd on d e p es un div isor d e
0a y q es un div isor d e na
4. Id en tifiqu e la p osición d e la gra fica , con resp ecto a l eje x, Esto es , D eterm in e a
p a rtir d e los ceros s i la g ra fica se en cu en tra p or en cim a o p or d eb a jo d el eje x.
5. con la inform a ción ob ten ida en los ítem s an teriores, g ra fiq u e la fu n ción.
D om inio : Tod os los rea le s
Su gr afic a e s un a c urv a s uav e y co ntin ua , esto es , s i n cam bios br uscos
M APA CONCEPTUAL 3: FUNCIONES POLINÓM ICAS
Aplicación : Las funcio nes po lin óm icas t ienen u na g ra n ap lic ación en la
e labo rac ió n de mo de los q ue desc riben fen ómen os rea les . A lgu nos de
e llos son: la c oncen trac ión de una susta ncia en un c om puesto , la d ista ncia
reco rr id a po r un m óv il a ve loc ida d cons tan te , la co mp ra de cie rta
cant ida d de obje tos a un prec io un ita rio, e l sala rio de u n t ra bajado r más
su com is ió n, la va ria ción de la a ltu ra de u n p royec ti l, e n tre o t ros .
17
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
Si es e l á ng ulo de inc li nac ió n de u n a re cta l , y o0 , e nto nces , la pen die nte m de l es: tanm . A d em ás , s i
),( 11 yxp y ),( 22 yxp son dos p untos distinto s de l , s e c um pl e que :
12
12
xx
yym
, ento nces ,
12
12tanxx
yym
Pendie nte y- inte rc epto
bmxy
:m Pen d ien te
:b y- in terc ep to
De te rm ina S i 1l y 2l son d os rec ta s d e p en d ien tes 1m y 2m resp ec tiva m en te, Perm ite id en t ifica r :
Ec uac io ne s pa ra la re c ta Re c tas pa ra le las Re c tas Pe rpe nd ic u la re s Re c tas se c ante s
Q ue so n
Punto - p en die nte
11 xxmyy
Si
Sus p en d ien tes s on ig ua le s
21 mm
Se cr uza n y s us p en d ien tes
son in versa s y d e sign os
con tra rio y form a n un
á n gulo d e 090
2
1
1
mm
Se cr uza n en un p un to
FUN C IÓ N LIN EA L Dom inio : R
G ráfic am e nte le c o rre spo nde P ara grafic arla p ro c e da
de la sigu ie nte m ane ra:
Si bmxy
U bique e l c o rte e n e l e je y : b . A p artir de b haga
un de splazam ie nto ve rtic al de las un idade s
e stable c idas e n e l de no m inado r de la
pe ndie nte : m , a pa rtir de a llí haga un
de splazam ie nto ho rizo nta l de las un idade s
e stable c idas e n e l num e rado r de la pe ndie nte :
m , a llí ub ique e l se gundo punto . Co n lo s do s
punto s trac e la g rafic a de la líne a re c ta.
Q ue se de te rm ina co n
L IN EA REC TA
EC UA C IÓ N C A N Ó NIC A EC UA C IÓ N G EN ERA L
Se de fine c o m o :
mxy
C ruza po r 0,0
bmxy
No c ruza po r 0,0
Si S i
Se de fine c o m o :
0 CByAx
Do nde RCBA ,,
T ie ne
Pendiente
Q ue se de fine :
S i S i
M APA CONCEPTUAL 4: FUNCIÓN L INEAL
18
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
De te rm ina
FUN C IÓ N C UA D RÁ TICA
Se de fine c o m o
cbxaxxf 2 ; c o n 0 ay R ,, cba
EC U AC IO NES C U AD RÁTIC AS
Q ue son d e la form a
02 cbxax ; con 0 ay R ,, cba
Y s e s o luc ion a n p or
Form ula gen eral pa ra
ecu aciones d e 2do g rad o. Fa ctoriza ción
C om p leta ción
d e cu ad ra d os
Q ue es
a
acbbx
2
42
Y d e term in a
El d iscrim in a n te acb 42
A p a rtir d e l c ua l se ca lc ula n la s
So lu c ion es d e la ec ua c ión
Q ue p u ed en s er
2 solu cion es rea les ,
Si 042 acb
1 solu ción rea l,
Si 042 acb 2 solu cion es com p lejas ,
Si 042 acb
Su grafic a e s
PARÁ BO LA
El eje d e sim etr ía : Es la recta con resp ecto a la cu a l la ram a d e la pa ráb ola se refleja en la
otra .
Vértice :p un to de in tersección en tre la p a ráb ola y su eje d e sim etría .
A b ertura :
Si en cbxaxxfy 2 , 0a , la pa rá b ola ab re ha cía a rrib a . En este ca so exis te
u n p u nto m ín im o llam ad o vértice .
Si en cbxaxxfy 2 , 0a , la p a rá b ola a b re ha cía a rrib a . En este ca so, el
vértice es un pu nto m á xim o.
A m p litud : El valor d e a en la fu n ción cbxaxxfy 2 , tam b ién ind ica la ab ertu ra d e
la pa rá b ola as í, s i:
1a , la pa ráb ola es + estrecha , en rela ción con la p a ráb ola d ond e 1a .
10 a
, la pa ráb ola es m ás an ch a, en rela ción con la p a ráb ola d on d e 1a .
C uyo s ele m e nto s so n
1 : 2axxfy , do nd e 0 cb
Esta p a rá b ola tien e vért ice en 0,0 . E je d e sim e tría :
e l e je y .
S i 0a la p a rá b ola a b re h a cía arrib a ; S i 0a la
p a rá b ola a b re h a cía a b a jo .
A d em á s, s i 0a ,la p a rá b ola se c ierra en re la c ión
con la p a rá b ola 2xy y si 1a ,la p a rá b ola se a b re
en re la c ión con la p a rá b ola 2xy .
2 : caxxfy 2 , donde 0b
Esta paráb ola tien e vértice en c,0 o c,0 . El e je d e
sim etría es e l e je y .
c T ra slad a la paráb ola vertica lmen te.
S i 0c la tra sla c ión es ha cia a rriba .
S i 0c la tra sla c ión es ha cia ab a jo.
S i 0a la p aráb ola ab re ha cía a rriba ;
S i 0a la p aráb ola ab re ha cía a ba jo.
3 : bxaxxfy 2 , donde 0c
o cbxaxxfy 2
Eje d e sim etría es una re cta vertica l para le la a l e je y .
El vértice es le p un to d e coord enad as yx, d ond e
a
bx
2
e y se ob tien e reemp laza nd o e l va lor
ob ten id o de x en la fun c ión da da .
S i 0a la p ará bola ab re ha cía arriba ;
S i 0a la p aráb ola ab re ha cía a ba jo.
G rafique la parábo la te n ie ndo e n c ue nta lo s sigu ie nte s 3 c aso s:
Su fo rm a
Vértic
e
E je d e
s im etría
a >0
x
y
2axy
Vértic
e
E je d e
s im etría
x
y
2axy a <0
V értic
e
a <0
x
y
caxy 2
c,0
E je d e
sim etría
a >0
x
y
E je d e
sim etría
V értic e
c,0
caxy 2
a <0 cbxaxy 2
V értic e
Eje d e
sim etrí
a
yx,
x
y
bxaxy 2
V értic e
Eje d e
sim etrí
a
a >0 cbxaxy 2
yx,
x
y
bxaxy 2
M APA CONCEPTUAL 5: FUNCIÓN CUADRÁTICA
19
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
G raficas funciones po linóm icas (TO DAS LA S FUNC ION ES
PO LIN Ó M IC AS T IEN E RDom: RRan: )
G ra fica r.
a . 3xf b . 13 xxg c . 0123 yx
d . 432 xxxf e . xxxxf 32 23 f. 50243 2 xxxf
g . 42 xxh h. 133126 24 xxxxf i. 2
1xf
j. 3
92
x
xy
So luc ión :
a . 3xf
C orresp onde a una función consta nte
(p olinóm ica de g ra do 0). Su g ra fica es
una línea recta horizonta l p a sa ndo p or
e l va lor de 3.
RDom: 3:Ran Figura 1 .25 .
b . 13 xxg
RDom: RRan:
La ecua ción corresp onde a una
función linea l (p olinom io de g ra do
1), cuya g ra fica es una línea recta .
Pa ra g ra fica rla ráp idam ente,
deb em os tener a )(xgy
desp eja da (com o en efecto lo
está ), ub ica m os e l corte en e l e je
y ( térm ino indep end iente, pa ra
este e jem p lo es 1 ) , a p a rtir de
este p unto g ra fica m os la p end iente (núm ero q ue a com p a ña a l
e je x ) , d e la sig uiente m a nera: ha cem os un desp la za m iento
vertica l de 3 unida des (num era dor de la p end iente) y a pa rtir
de a llí un desp laza m iento de 1 unida d (denom inador de la
p end iente), a llí ub ica m os e l seg undo p unto y lueg o tra zam os la
g ra fica . Figura 1 .26 .
c . 0123 yx
RDom: RRan:
La ecua ción corresp onde a una
función linea l y su g ra fica es una
línea recta , p a ra g ra fica rla
desp eja r a y .
0123 yx 2
1
2
3 xy
Ub ica m os e l corte en le e je y , esto
es, 21,0 a p a rtir de a llí ub icam os
p end iente, desp la za m iento vertica l
3 , desp lazam iento horizonta l 2 ,
a llí se ub ica e l seg undo p unto y se g ra fica la línea recta . Figura
1 .27 .
d . 432 xxxf
RDom: RRan:
La e c uac ió n c o rre spo nde a una func ió n
c uadrátic a c uya grafic a e s una
parábo la. P ara grafic arla te ne mo s e n
c uenta los va lo re s de cba ,, . P ara
nue stro ejem plo 1a , 3b y 4c .
El vértice es e l p unto de
coordena da s:
a
ba
b f22
, = 425
23
23
.23 ,, f
Eje de sim etría es la recta vertica l p a ra le la a l e je y , 23
2
abx
C om o 01a la p a rá b ola a b re ha cía a ba jo.
C ortes en e l e je :x Va lore q ue ha cen 0 a la función.
0432 xx 0432 xx 014 xx
1,4 xx Los cortes con e l e je :x 0,1,0,4
C ortes en e l e je :y H a cer )0(f . 44030)0(2
f
E l corte con e l e je :y 4,0 . Figur a 1 .28 .
Ejercicios R esueltos . M apa C onceptual 3 , 4 y 5
Fig ura 1 .25 .
Fig ura 1 .2 6 .
Fig ura 1 .27 .
Fig ura 1 .28 .
20
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
e . xxxxf 32 23
Determ ina r b ra zos de la g ra fica . C om o la función es im p a r, la
g ra fica tiene un b ra zo ca ído y otro leva ntado.
xf entre valles y cúspides t ien e máximo 2, ya qu e 2131 n .
Encontra r los ceros del p olinom io, esto es, los p untos donde
corta e l e je x . Esto es,
032 23 xxx 0)32( 2 xxx 0)1)(3( xxx
los va lores de x q ue hacen cero la función son:
0x ; 03 x 3x ; 01x 1x
Así, los co rte s co n el eje x están dado s po r lo s puntos: 0,0 , 0,3 , 0,1 .
Determinar en una recta re al po r
donde va la función, esto es:
Ubicamos los 3 punto s que cortan al
eje x en el plano cartesiano . (fig
1.29.) Esto divide el plano e n 4
intervalos. Aho ra tom amos un valor
de cada intervalo, lo evaluamos en
la función; si obtenemo s un número
positivo la
función está
por e ncima y
si obtenemos
un número
negativo la
función está
por debajo.
G ra fica m os la función teniendo en
cuenta la inform a ción de los ítem s
a nteriores.
f. 50243 2 xxxf RDom: RRan:
La ecuación corresponde a una fun ción cu adrática cu ya grafica es una
parábola . Para graficarla tenemos en cu enta
los va lores de cba ,, . Para nu estro ejemplo
3a , 24b y 50c .
El vértice es e l p unto de coordena da s:
a
ba
b f22
, = 2,44,4 f
Eje de sim etría es la recta vertica l
p a ra le la a l e je y , 42
a
bx
Como 03 a la parábola abre hacía arriba.
C ortes en e l e je :x Va lore q ue ha cen
0 a la función.
com o 0245034244 22 xxacb la funció n dentro del
conjunto de los rea les no p osee va lores q ue la ha g a n 0, lo
q ue im p lica q ue no tiene cortes con e l e je x .
C ortes en e l e je :y H a cer )0(f . 505002403)0(2
f
E l corte con e l e je :y 50,0 . Figur a 1 .31 .
g . 42 xxh RDom: RRan:
La ecuación corresponde a una función
cuadrática cuya grafica es una parábola.
Para graficarla tenemos presente que no tiene
término lineal (bx ) lo que indica que es una
parábola trasladada verticalmente -4
unidades del origen (ya que 04 c , así la
parábola tiene por vértice el punto de
coordenadas )4,0( . Abriendo hacía arriba
ya que 01a y con eje de simetría el eje y .
C o rtes en el eje :x Va lo res qu e h ac en 0 a la fu n ció n .
022042 xxx .Lo s co rtes co n el eje x so n )0,2(,0,2
C o rtes en el eje :y Hac er )0(f . 440)0(2
f El co rte
co n el eje :y 4,0 . Fig u ra 1 .32 .
Fig ura 1 .29 .
Fig ura 1 .30 .
inte rvalo N o. de l
inte rvalo signo Posic ión func ió n
3x -4 - Por d eb a jo d el e je x
03 x -1 + Por en c im a d el e je x
10 x 1 /2 - Por d eb a jo d el e je x
0x 2 + Por en c im a d el e je x
Fig ura 1 .31 .
Fig ura 1 .32 .
21
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
h. 133126 24 xxxxf
Determ ina r b razos de la g ra fica . C om o la función es pa r y
06 na la g ra fica tiene 2 b razos ca ídos.
xf entre valles y cúspides t ien e máxim o 3 ya qu e 3141 n .
Cortes c on el eje y . Ha cer 13130301206024
f
C orte en e l e je y es: )13,0(
Esta grafica (por ahora) requiere e la ayuda de
una calculadora graficadora para su modelación
o recurrir a la tabulación.
Tabla de valores para completar su análisis (más
adelante usarem os la derivada para hacer la
grafica más precisa).
G ra fica m os la función teniendo
en cuenta la inform a ción de los
ítem s a nteriores.
i. 2
1xf
Corresponde a una función constante
(polinóm ica de grado 0). Su gra fica es
una línea recta horizonta l pasa ndo p or el
valor de 21 .
RDom: 3:Ran Figura 1 .34 .
j. 3
92
x
xy
Ya q ue está determ ina do un va lor pa ra y p or ca da va lor de x
excep to 3x , e l dom inio de G consiste de todos los núm eros
rea les excep to 3. C ua ndo 3x e l num era dor y e l denom ina dor
son cero, y 0/0 no está definido.
Fa ctoriza ndo e l num era dor en )3)(3( xx tenem os
)3(
)3)(3(
x
xxy o 3 xy ,
sup oniendo q ue 3x . En otras p a la b ras, la función G consiste
de toda s la s p a re ja s ordenada s ),( yx ta les q ue
3y3 xxy
E l ra ng o de G consiste de todos los núm eros rea les excep to 6.
La g rá fica consiste de todos los p untos en la recta 3 xy
excep to e l p unto )6,3( . Figura 1.35.
Fig ura 1 .3 3 .
Fig ura 1 .34 .
x xf
-2 -29
-1 22
2 -41
Fig ura 1 .35 .
22
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
FUN C IÓ N RA C IO NA L
Se de fine c o m o
01
1
1
01
1
1
.....
.....
)(
)(
bxbxbxb
axaxaxa
xq
xpxf
n
n
n
n
m
m
m
m
; c o n q(x)y )(xp po lino m io s y 0)( xq
P ara grafic arla, siga lo s sigu ie nte s paso s:
D om inio : Tod os los rea le s e xcep to
los q ue h a ga n 0 a l d en om in a d or .
1 . A N A LÍC E SIM ETR ÍA S
Sim etría con respecto al e je y:
S i la fun c ión n o se a ltera a l rem p lazar yx, p or yx,
Sim etría con respecto al e je x :
S i la fun c ión n o se a ltera a l rem p lazar yx, p or yx ,
Sim etría con respecto al o rigen:
S i la fun c ión n o se a ltera a l rem p lazar yx, p or yx ,
N um era d or y d en om in a d or si es p osib le y lu eg o sim p l ifiq u e
2 . FA C T O RIC E
Lín ea re cta q ue , p r o lon ga d a , se a cerca in d efin id a m en te a un a
curva , sin l le ga r a en con tra rla .
C ortes C on e l e je x: va lor es q ue h a cen 0 a l n um era d or .
C ortes c on e l e je y: es h a c er )0(f
4 . EN C U EN TRE C O RTES
C O N L O S E JES
Se ob tien en d e a cu erd o a l gra d o
d el n um era d or y d en om in a d or
m = gra d o d el n um era d or;
n = gra d o d el d en om in a d or
Pu ed en s er:
3 . D ETER M IN E A SÍN TO TA S
Ho rizo nta le s
T ien e s ó lo sí :
nm o nm
S i nm La a sín tota es 0y
S i nm La a sín tota es
n
m
b
ay
V e rtic ale s
T ien e s ó lo sí :
nm
S i nm La (s) a sín tota (s) son los
va lores d e x q u e h a cen 0 a l
d en om in a d or.
O blic uas
T ien e s ó lo sí :
nm
Pero m d eb e ser m a y or q u e n
en só lo 1 un id a d . S i esto s e
cum p le s e h a c e la d iv isión .
Eje m p lo
1)(
2
x
xxf 2m 1n
Se h a ce la d iv isión p a ra
en con tra r la a sín tota ob licua .
1
1 x
x -
1x xx-
xx
x
x 1x x
2
2
1
11
1
2
A sín tota ob licu a
O b ten ga otr os va lores si es n ece sa rio p a ra id en ti fica r p or d ón d e
va la gra fica y trá cela c on lo s p un to s ob ten id os y la s a sín tota s.
5 . G RA FIQ UE
M APA CONCEPTUAL 6: FUNCIÓN RACIONAL
23
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
Func ió n rac iona l.
1. G ra fica r la s sig uientes funciones ra ciona les.
a. 1
2
x
xxf b .
2
2
xxg c .
21
2 2
xx
xxh
So luc ión :
a . 1
2
x
xxf
Dom inio y rango.
Dom inio : Todos las R m enos los va lore q ue ha cen 0 a l
denom ina dor. 1 RDomf
Rango : Ob tenido desde la g ra fica ,04, .
S im etrías :
C on e l e je y. Sustituya m os yx, p or yx,
11
22
x
x
x
xy la función se a lte ra a l sustituir yx, p or
yx, no ha y sim etría con resp ecto a l e je y .
C on e l o rigen . Sustituya m os yx, p or yx ,
11
22
x
x
x
xy la función se a ltera a l sustituir yx, p or
yx , no ha y sim etría con resp ecto a l orig en.
Factorizac ión de la función .
La función está tota lm ente fa ctoriza da.
A sínto tas : Pa ra encontra rla s se tiene en cuenta q ue g ra do
num era dor 2m y g ra do del denom ina dor 1n
H orizontal: N o tiene ya q ue 2m > 1n .
Vertical: Va lores q ue ha cen 0 a l denom ina dor. 01x
a síntota vertica l es la recta 1x
O blicua : T iene ya q ue e l g ra do del num era dor 2m excede
a l g ra do del denom ina dor 1n en só lo 1 unida d. A hora
encontra rem os la a síntota ob licua , ha ciendo la d ivisión.
1
1
1
1
2
2
x
x
x
x
xx
x
1
11
1
2
xx
x
x
Intersecciones con los ejes.
eje x . Va lores q ue
ha cen 0 l num era dor.
02 x 0x
C orte en e l e je x. 0,0 .
eje y. Ha cer
010
00
2
f.
C orte en e l e je y . 0,0 .
Puntos estratégicos
x 1
)(2
x
xxf
2
412
2)2(
2
f
2 3
4
12
2)2(
2
f
G ra fica de la función. Figura 1.36 .
Ejercicios R esueltos . M apa C onceptual 6
A sín tota O b licu a
1 xy
Fig ura 1 .36 .
24
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
b . 2
2
xxg
Dom inio y rango.
Dom inio : Todos las R m enos los va lore q ue ha cen 0 a l
denom ina dor. 2 RDomf
Rango : 2
2
xxg
2
2
xy 22 yxy 2
2
yx
0 RRanf
S im etrías :
C on e l e je y . Sustituya m os yx, p or yx,
2
2
2
2
xy
xy la función se a ltera a l sustituir yx, p or
yx, no ha y sim etría con resp ecto a l e je y .
C on e l origen . Sustituya m os yx, p or yx ,
2
2
2
2
2
2
xy
xy
xy la función se a ltera a l sustituir
yx, p or yx , no ha y sim etría con resp ecto a l orig en.
Factorizac ión de la función .
La función está tota lm ente fa ctoriza da .
A sínto tas : Pa ra encontra rla s se tiene en cuenta q ue g ra do
num era dor 0m y g ra do del denom ina dor 1n
H orizontal: S i tiene. C om o g ra do num era dor 0m es m enor
q ue g ra do denom ina dor, entonces la a síntota horizonta l es e l
e je x ( recta 0y ) .
Vertical: Va lores q ue ha cen 0 a l denom ina dor. 02 x
A síntota vertica l es la recta 2x
O blicua : N o tiene. Ya q ue una función no p uede tener
a síntota horizonta l y ob licua a l m ism o tiemp o.
Intersecciones con los ejes.
e je x . Va lores q ue ha cen 0 a l num era dor. N o hay ning ún
va lor q ue hag a cero a l num era dor. Por lo ta nto la función no
corta a l e je x .
eje y . H a cer 120
20
f C orte en e l e je y . 1,0 .
Puntos estratég icos
x 2
2
xxg
3 2
23
2)3(
f
1 3
2
21
2)1(
f
G ra fica de la función. Figura 1.37 .
c . 21
2 2
xx
xxh
Dom inio y rango.
Dom inio : Todos las R m enos los va lore q ue ha cen 0 a l
denom ina dor. 2,1 RDomf
Rango : Desde la g ra fica en a l fig ura 1.37. ,20,(
Fig ura 1 .37 .
25
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
S im etrías :
C on e l e je y . Sustituya m os yx, p or yx,
21
2
21
2
21
2 222
xx
xy
xx
xy
xx
xy la
función se a ltera a l sustituir yx, p or yx, no ha y
sim etría con resp ecto a l e je y .
C on e l origen . Sustituya m os yx, p or yx ,
21
2
21
2
21
2 222
xx
xy
xx
xy
xx
xy la
función se a ltera a l sustituir yx, p or yx , no ha y
sim etría con resp ecto a l orig en.
Factorizac ión de la función .
La función está tota lm ente fa ctoriza da .
A sínto tas : Pa ra encontra rla s se tiene en cuenta q ue g ra do
num era dor 2m y g ra do del denom ina dor 2n
H orizontal: S i tiene. C om o g rado num era dor 2m es ig ua l a l
g ra do denom inador 2n , entonces la a síntota horizonta l es
e l e je la recta 21
2y ) .
Vertical: Va lores q ue ha cen 0 al denomina dor.
012 xx Asíntotas vertica les son las rectas 2x y 1x
O blicua : N o tiene. Ya q ue una función no p uede tener
a síntota horizonta l y ob licua a l m ism o tiemp o.
Intersecciones con los ejes.
eje x . Va lores q ue ha cen 0 a l num era dor. 002 2 xx .
C orte con e je x p unto 0,0
eje y . H a cer
0
1020
020
2
f
C orte en e l e je y . 0,0 .
Puntos estratég icos
G ra fica de la función. Figura 1.38 .
Fig ura 1 .38 .
x 21
2 2
xx
xxh
3
2
9
4
18
2313
323
2
h
2
2
4
8
2212
223
2
h
26
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
FUN C IÓ N V A LO R A BSO LUTO
Se de fine c o m o
0 xsi -
0 xsi
x
xxxf
D om inio : Tod os los rea le s
Un ión d e tod os los p un to s d e la gra fica c ua n d o 0x , con
tod o s los p un tos d e la gra fica c ua n d o 0x .
V ariac io ne s de la func ió n valo r abso luto
Su g rafic a e s
Se pue de n re alizar
Ec uac ió n
En la
G rafic a
En la
1 . A m plitud xAy
2 . D espla zam ie nto en x Bxy
3 . D espla zam ie nto en y Cxy
1 . Se a la rga vert ica lm en te. Por ca d a un
m ov im ien to en x tien e A m ov im ien to en y .
2 . S i 0B se tra sla d a B un id a d e s a la izq uierd a .
S i 0B se tra sla d a B un id a d es a la d ere ch a .
3 . S i 0C se tra sla d a C un id a d e s h a cía a rrib a .
S i 0C se tra sla d a C un id a d es h a cía a b a jo.
x es la d ista n c ia d e l origen a x . ax es la d ista n c ia d e l p un to x h a sta
a .
Ejem p lo: 43 x sign ifica q u e la d ista n c ia d el p un to x a l p un to 3 es d e
4 un id a d es . T ra b a ja n d o sob re la re cta rea l, e xis ten 2 p un tos q ue es tá n
situa d os a 4 un id a d es d e d is ta n c ia d e l p un to 3 y q ue p a ra en c on tra rlos
b a sta a va n za r 4 un id a d es a la d er ech a d e 3 o 4 un id a d es a la izq uierd a .
G rá fica m en te ,
M a tem á tica m en te ,
1 7
43 o 43
43
xx
xx
x
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
4 un id a d es 4 un id a d es
Re pre se nte la
d istanc ia, así
M APA CONCEPTUAL 7: FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
27
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
FU NC IÓ N RAD IC AL
Un a fun c ión ra d ica l es un a fun c ión
q ue con t ien e ra íce s d e va ria b les .
Por e jem p lo xxf )( ;
2
1)(
3
x
xxg ;
3
)1()(
41
xxh
D ep en d e d el ín d ice d e la ra íz .
S i e l ín d ice es p a r; la f un c ión n o está
d efin id a p a ra va lores d e x p a ra los
cua les e l ra d ica n d o e s n e ga t ivo.
S i e l ín d ice es im p a r, la fun c ión está
d efin id a p a ra tod os los n úm ero s rea les.
Su dom i nio Su Ra ng o
Pu ed e d eterm in a rse a l
tra za r su grá fica .
S i la fun c ión p os ee un
p olin om io en e l d en om in a d or,
p a ra gra fica rla se uti liza e l
tra ta m ien to d es crito p a ra la s
fun c ion es ra c ion a le s.
FU NC IÓ N SEG M E NTAD A
O A TRO ZO S
n o só lo un a f órm u la d es crib e s u c om p orta m ien to,
se lla m a n se gm en ta d a s o d efin id a s p or in terva los
Pa ra la s cua le s, nIII 21;
la grá fica d e la f un c ión eq u iva le a la
un ión d e la s grá fica s d e ca d a p a rte .
T iene l a sig uie nte fo rm a:
nn Ixsixf
Ixsixf
Ixsixf
xf
),(
),(
),(
)(22
11
Su dom i nio y
su R a ngo
El dominio de la función
es la unión de los
dominios de cada parte
y el rango de la función
es la unión de los rangos
de cada parte.
M A PA
C O N C EPTU A L
9 : FU N C IÓ N
SEG M EN TA D A
O A TR O ZO S
M A PA
C O N C EPTUA L
8: FUN C IÓ N RA D IC AL
28
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
Función Valor abso luto , función radical y .
1. G ra fica r la s sig uientes funcio nes.
a . xxf )( 12)( xxf b. 3 3)( xxg
c . 1
2)(
x
xxh d.
23
222
21
)(
xsi
xsix
xsi
xf
e . xxf )( f. 1)( 2 xxf
g . xy 5 h.
xx
xxy
1si
1si23
2
So luc ión :
a . 12)( xxf
Dom
,
2
1f , Ra n ,0f
12)( xxf no está definida si 012 x ; es decir, s i 21x .
Lueg o, la g rá fica emp ieza a pa rtir de 2
1x .
N o ex isten a síntota s vertica les, ya q ue no es una función
ra ciona l.
N o tiene intersección con e l e je y , ya q ue )(xf no está
definido p a ra 0x .
N o tiene a síntota horizonta l, ya q ue no es una función
ra ciona l.
O tros va lores y la g rá fica de la función son los sig uientes:
G ra fica de la función. Figura 1 .3 9 .
b . 3 3)( xxg
RDomg : , RRang :
3 3)( xxg está definida en todo R . Lueg o, 0)( xg s i 3x .
N o existen a síntota s vertica les.
Intersección con e l e je y: 44,1330)0( 33 g
N o tiene asíntota horizonta l.
O tros va lores y la g rá fica de la función se m uestra n a
continua ción:
Ejercicios R esueltos . M apa C onceptual 7 , 8 , Y 9
x )(xf
1 1
2 3
5 3
Fig ura 1 .39 .
29
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
Ta b la de va lores y g ra fica en la fig ura 1.40.
c . 1
2)(
x
xxh
1
2)(
x
xxh 0)( xh s i 2x . A demá s, )(xh no está
definida si 21 x .
A síntota vertica l: la recta 1x .
N o tiene intersección con e l e je y, p ues la función no está
definida pa ra 0x .
C om o el g ra do del num era dor es ig ua l a l g rado del
denom ina dor, es decir, mn , ha y una a síntota horizonta l en
1
1y , es decir, 1y .
O tros va lores y la g rá fica ( figura 1.41) de la función se
m uestra n a continua ción:
d .
23
222
21
)(
xsi
xsix
xsi
xf
),(,22,2)2,(321 DomfDomfDomfDomf
31,131,11321 RangfRangfRanfRanf
La g rá fica de f es la
unión de ca da una de
la s g rá fica s de 21, ff y
3f . Figura 1.42 .
Fig ura 1 .40 .
x )(xg
-2 7,153
1 2,123
4 1
11 2
Fig ura 1 .41 .
)(xh
-3 58,1
2
5
-2 2
3
2
1
4 63,0
5
2
D om ,2)1,( h R an 1,0 h
Fig ura 1 .4 2 .
30
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
e. xxf )(
E l dom inio de la función es e l conjunto de los núm eros rea les;
RDonf
E l ra ng o de la función es e l conjunto de los núm eros rea les
p ositivos y e l cero; Ra n ,00R f .
La ta b la de va lores y la g rá fica se m uestra n en la figura 1.43 .
f. 1)( 2 xxf .
La función 1)( 2 xxf se p uede escrib ir en form a
eq uiva lente com o:
0)1)(1(si)1(
0)1)(1(si1)(
2
2
xxx
xxxxf
Pa ra e l ca so 0)1)(1( xx la so luc ión de la inecua ción
determ ina q ue entre ),1(y1, la g rá fica
corresp onde a la curva de la p a rá b ola 12 x .
Pa ra e l ca so 0)1)(1( xx la so luc ión de la inecua ción
determ ina q ue en e l interva lo 1,1 la g rá fica corresp onde a
la curva de la pa rá b ola )1( 2 x .
La g rá fica de la función
1)( 2 xxf se m uestra en la
figura 1.44 .
g . xy 5
El dom inio de f es e l conjunto
de todos los núm eros rea les
m enores q ue o ig ua les a 5, e l
cua l es 5, y e l ra ng o de
f es e l con junto de todos los
núm eros rea les no neg a tivos,
e l cua l es ,0 . Figura 1.45 .
h.
xx
xxy
1si
1si23
2
E l dom inio de F es ),( , y e l ra ng o
de F es ),( . Figura 1.46 .
x -2 -1 0 1 2
)(xf 2 1 0 1 2
Fig ura 1 .43 . xxf )(
1)( 2 xxf Figur a 1 .44 .
xy 5 F igura 1.45.
Fig ura 1 .46 ,
xx
xxy
1si
1si23
2
31
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
O PERAC IO NES ARITM ÉTIC A S
O PERA C IO N ES EN TRE FUN C IO N ES
Dadas 2 func io ne s )(xf y )(xg , se c o m binan a travé s de :
DomgDomfgfioDo
xgxfgf x
min
Producto
0/min
xgDomgDomfg
fioDo
xg
xfx
g
f
C ociente
DomgDomfgfioDo
xgxfgf x
min
Resta
DomgDomfgfioDo
xgxfgf x
min
Sum a
C O M PO SIC IÓ N
La fu n ción com p u esta d en ota da p or fg está d ef in id a
p or xfgfg x y el d om in io d e fg es el
con ju nto d e tod os los n úm eros x d el d om in io d e g ta les
q u e )(xg está en el d om in io d e f .
xfgxfg S ign if ica a p l ica r
p rim ero f y de spué s g .
xgfxgf S ign if ica a p l ica r
p rim ero g y de spué s f .
x
xf
xfg
Do m in io de f
D om in io d e g
Ra n g o d e f
Ra n g o d e g
Pa ra h a lla r la f un c ión in versa d e un a f un c ión
se p ro ced e a sí
1. se escrib e xfy .
2 . Se com p ru eb a s i la fun ción d a da es b iyectiva .
3 . Se d esp eja x d e la ecu a ción xfy en
térm in os d e y , pa ra ob ten er un a e4cu a ción d e
la form a yfx 1 .
4 . Se in tercam bia x p or y p u esto q u e n o im p orta
el s ím b olo q u e se use pa ra la va ria ble.
5 . Se com p ru eb an las cond icion es:.
xxff 1 p a ra tod o x en el d om in io d e f . y
xxff 1 p a ra tod o x en el d om in io d e 1f .
INV ERSA S
S i f es un a f un c ión un o a un o
con sid era d a c om o e l con jun to d e p a res
ord en a d os yx, , en ton ce s e xis te un a
fun c ión in versa 1f , lla m a d a in versa d e
f , q u e es e l c on jun to d e p a res
ord en a d os xy, d efin id a p or xyf 1 sí
y só lo sí xfy . El d om in io d e 1f es e l
ra n go d e f y e l Ra n g o d e 1f es e l
d om in io d e f .
A d em á s:
Si f es u na fu n ción u n o a un o y tien e a 1f com o
el su in versa , en ton ces 1f es u na fu n ción u n o a u n o
y tien e a f com o su inversa. Ad em ás,
xxff 1 p a ra tod o x en el d om in io d e f . y
xxff 1 p a ra tod o x en el d om in io d e
1f .
M APA CONCEPTUAL 10 :
OPERACIONES ENTRE FUNCIONES
32
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
O peraciones entre funciones :
S i 1)(3)( xxgyxxf , ha lla r la s funciones f + g, 3f – g ,
g
f y g – g, estip ula ndo e l dom inio de ca da uno de e lla s.
Sea 25)( xxf y xxg 5log)( H a lla r:
a . xgf b . xfg
H a lla r la inversa de la función f(x) = Ln2x. Lug o, traza r la g rá fica
de f(x) y )(1 xf .
4. Determ ina r si la s funciones a. 1)( 3 xxfy y b .
12 xxfy tienen función inversa , en ca so de tenerla ,
encontra rla ; en ca so de no tenerla , ind ica r si es p osib le ha cer
a lg o p a ra q ue la tenga .
So luc ión
1 . S i 1)(3)( xxgyxxf , ha lla r la s funciones f + g, 3f
– g , g
f y g – g, estip ula ndo e l dom inio de ca da uno de e lla s.
Pa ra em p eza r, ob servam os q ue e l dom inio de f es toda la recta
rea l y e l de g es e l conjunto de todos los x 1 . A hora,
13))(( xxxgf C on }1/{)( xxgfDom
1931)3(3))(3( xxxxxgf ; }.1/{)3( xxesgfDom
1
3
)(
)()(
x
x
xg
xfx
g
f }1/{)( xxxgDom
011))(( xxxgg
A unq ue la exp resión fina l está definida pa ra todo x , e l dom inio
dep ende de los p asos interm ed ios. En este ca so, e l dom inio de
gg es }.1/{ xx
2 . Sea 25)( xxf y xxg 5log)( H a lla r:
b . xgf b . xfg
255(f(x)))(x)o(g
255.5logff(g(x))g)(x)o(f
)2(
5
)2(
2)2(log
55
xLogggf
xxx
xx
x
3 . H a lla r la inversa de la función xxf 2ln . Lueg o, traza r la
g rá fica de xf y )(1 xf
H a lla ndo la función inversa de xxf 2ln
Paso 1°: xy 2ln
Paso 2°: se com p rueba si f es b iyectiva
2121 2ln2ln)( xxxfxf Definic ión
21 ln2lnln2ln xx A p lica ndo p rop log a rítm os
21 lnln xx O p era ndo
21 lnln xxee Exp onencia l a a m b os la dos
21 xx Def. Función inversa
Lueg o, f es inyectiva.
22ln
yexxy RRanf es sob reyectiva
es b iyectiva
Ejercicios R esueltos . M apa C onceptual 10
33
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
Paso 3°: 2
)(2
2ln 1yy e
yfe
xxy
Paso 4°: 2
)(2
)( 11xy e
xfe
yf
Paso 5°: Se com p rueba n la s
cond ic iones
xeee
fxffb
xxe
xfxffa
xxx
x
ln2
2ln2
))(()
2
2
22ln))(()
1
2ln11
Lueg o, 2
)(1xe
xf es la función inversa
d e xxf 2ln)(
La s g rá fica s de xxf 2ln)( y 2
)(1xe
xf se m uestra n En fig.1.47.
4. D eterm ina r si la s funciones a . 1)( 3 xxfy y b .
12 xxfy tienen función inversa , en ca so de tenerla,
encontra rla ; en ca so de no tenerla, ind ica r si es p osib le ha cer
a lg o p a ra q ue la tenga .
Para 1)( 3 xxfy RranfDomf .
Usa ndo e l criterio de la recta vertica l p a ra determ ina r si una
función tiene o no funció n inversa ( figura 1.48) ob serva m os q ue la
función 1)( 3 xxfy p osee función inversa , ya q ue la s recta s
toca n a la función en un solo p unto.
A l desp eja r x en la ecua ción se obtiene: 3 1 yx
Por la form a q ue p resenta esta ecua ción, se sab e q ue da do
cua lq uier va lor de y , toma do del ra ng o de f (esto es, de R ) ,
ex iste uno y so lo un va lor de x situa do en e l dom inio de f . En
consecuencia , la ecua ción nos define otra fu nción cuyo
dom inio es e l ra ng o de f y cuyo ra ng o es e l dom ino de f .
A si p or e jem p lo, la ecua ción a sig na a l va lor x = 2 , un único
va lor de y , en este ca so, y = 23 – 1 = 7.
La seg unda ecua ción, efectúa la op era ción inversa , esto es a l
va lor 7y , le asig na e l va lor de 2173 x .
Si se quiere ahora rep resentar, com o es
usua l, con x a la variable indep end iente
y con y
a la dependiente, se
interca mbia x con y en la ecuación
y así se obtiene:3 1 xy .
Es decir, 313 11)( xxfxxfy
La función definida por
31 1 xf es
la función inversa de 1)( 3 xxfy
.
Las gra ficas de 1)( 3 xxfy
y 31 1 xf se rep resentan en la fig. 1.48.
C onsidere a hora la función 12 xxfy
cuya g rá fica se m uestra en la figura 1.49.
RDomf y e l ,1Ranf .
A l desp e ja r x , se ob tiene: 1 yx .
Esta últim a ecua ción, d ice q ue p a ra cada
va lor q ue se le a sig ne a la va ria b le y , le
corresp onden 2 va lores a la va ria b le x , y en
consecuencia , esta últim a ecua ción no
define una función.
En este ca so se d ice q ue la funció n 12 xxfy no tiene
inversa o q ue 1f no existe.
Fig ura 1 .47 .
Fig ura 1 .48 .
Fig ura 1 .49 .
34
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
C onsiderem os nueva m ente la función 12 xxfy . C om o
se m encionó a ntes, la función :
12 xxfy RDomf y e l ,1Ranf
N o tiene inversa (p ues f no es inyectiva o uno a uno , p or lo
ta nto no es b iyectiva , cond ic ión necesa ria p a ra q ue una función
teng a inversa ).
Sin em b a rg o, la función 12 xxfy g enera 2 funciones:
,10,: randomf s iendo 1)( 2 xxf
y ,1,0: Randomg s iendo 1)( 2 xxg
En do nde f y
g so n func io ne s
uno a uno e n sus
re spe c tivo s
do m in io s ( fig . 1.50 )
y e n c o nse c ue nc ia
tie ne n inve rsa.
Pa ra la función
f se tiene:
,10,: randomf s iendo 1)( 2 xxf
Por función inversa a:
1)(1 xxf 0,,1: randomf
La s g rá fica s de f y 1f Se m uestra en la figura 1 .61 .
Ig ua lm ente, p a ra la función g se tiene:-
1)( 2 xxg con ,1,0 Random
Por función inversa a: 1)(1 xxg ,0,,1: randomf
La s g rá fica s de g y 1g Se m uestra en la figura 1 .6 2 .
A dem á s,
xxxxxxfxff 222211 111
Es decir, xxff 1 p a ra ca da fDx 0, .
Ig ua lm ente,
xxxxfxff 111112
1
Es decir, xxff 1 p a ra ca da 1,1 fDx .
Se deja p a ra e l lector e l ha cer las m ism a s considera ciones pa ra la
función g y 1g .
O b servaciones Im p orta ntes:
A l p roceso a p licado a la función 1)( 2 xxf ( función q ue no
tiene función inversa p a ra todo su dom inio) p a ra q ue sí tenga
función inversa , se le conoce restricc ión de l dom in io p ara la
exis tenc ia de fu nc ión inve rsa .
N ótese en la s fig ura s 1.61. y 1.62. q ue las g rá ficas de ( f y 1f ) y
( g y 1g ) son sim étrica s con resp ecto a la recta xxfy ;
A sí, una func ión y su in ve rsa sie m pre se ven re fle ja da s en la
func ión iden tida d xxfy .
Fig ura 1 .50 .
Fig ura 1 .62 .
Fig ura 1 .61 ..
35
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
Aplicacion es d e a lgunas d e las func iones trascen den tes.
Función logarítm ica
La geología com o cienc ia req uiere del plan teamien to de ecuacion es logarítm icas para el
cálculo de la in tensid ad de un evento, tal como es e l caso de un sism o. La ma gn itud R
de un terrem oto está d efinida com o
0
logA
AR
en la esca la de Rich ter, dond e A es la
intensidad y 0A es una constante. ( A es la amp litud d e un sismógra fo estánda r, q ue está
a 100 kilómetros del epicentro de l terrem oto).
Los a strón omos p ara d eterm inar una ma gnitud estelar de una estrella o planeta utilizan
ciertos cá lculos d e cará cter logarítm ico. La ecuación logarítm ica les perm ite determ inar la
brillan tez y la ma gn itud .
En la física la func ión logarítm ica tien e muchas ap licaciones entre la s cuales se p uede
mencionar el cálculo del volum en " L " en d ecibeles d e un sólido, para e l cual se emplea
la siguien te ecuación
0
log.10I
IL
, d ond e I es la intensidad d el son id o (la en ergía
cayend o en una unid ad de área p or segund o), 0I es la intensidad d e sonid o má s baja
que e l oíd o h um ano pued e oír ( lla mad o umbra l a ud itivo). Una conversa ción en voz alta
tiene un ruid o d e fon do d e 65 d ecibeles.
Función Exponencial
Se aplica a la química y física. En algun os elemen tos rad ioa ctivos son de tal na turaleza
que su can tidad dism in uye con respecto a l tiemp o, se cump le la ley expon encial y se dice
que el elemen to d ecrece o d ecae.
En la q uím ica, el PH d e es la con cen tra ción de H +, d onde H + una sustan cia se d efine
com o : logH ion es d e una sustan cia expresada en moles p or litro. El PH del a gua
destilada es 7. Una sustancia con un PH m enor q ue 7, se d ice que es ácida , m ientras q ue
su PH es ma yor q ue 7 , se d ice q ue es base. Los amb ien ta listas m id en constan tem en te el
PH del agua d e lluv ia deb id o al efecto dañin o de la "lluv ia ácida" q ue se origina p or las
emisiones de dióxid o d e azufre de las fá bricas y plan ta s e léctrica s q ue traba jan con
carbón .
Otras d e la a plica ción d e la s func ion es exp onen cia l fue con el descubrim iento del Polonio
(elem ento radioa ctivo) descub ierto por Marie C urie en 1 898 d eca e expon encialm en te
de acuerdo a la fun ción: tmm 005,0
0
, dond e 0m es la masa in icial de l Polonio,
m es la masa al cab o d e un tiemp o y t es e l tiem p o en día s.
El crecimiento poblacional (Demogra fía) d e un a región o p ob lac ión en añ os, parece estar
sobre una curva d e cara cterística exp on encial q ue sugiere el m od elo ma temático da do
por: ktNN 0
, don de 0N es la p obla ción inicia l, t es e l tiemp o transcurrid o en añ os y
k es una constante. (En 1798, e l econ omista in glés Th omas Malth us ob servó que la relac ión
ktNN 0 era válida para determ inar el crec im iento d e la p obla ción m und ial y
establec ió, ad emás, q ue com o la cantidad de a lim entos crecía d e manera lineal, el
mund o n o p odía reso lver e l problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenid o un
impacto tan imp ortan te en el p ensam ien to econ ómico, q ue e l m odelo exp onen cia l de
crecim ien to p ob lac iona l se con oce con e l n ombre d e m odelo Ma lth usian o).
En la m edicina, m uch os medicamen tos son utilizad os para e l cuerp o h um ano, d e m anera
que la can tida d presente sigue una ley exp on encial de d ism inución .
En M atemática Financiera (Admin istra ción), para el cálculo de interés comp uesto se
emplean las fun ciones exp onen ciales. Por ejem plo: sup on gam os q ue se tien e c ierta
cantidad inic ial de d inero P0 q ue se coloca a un in terés an ual d el i% . A l fina l d el primer año
se tendrá e l ca pital inic ial más lo q ue se ha ganado de interés P0i, si este proceso se
con tin úa p or n añ os, la expresión q ue se ob tiene está dad a por: nipp 10, d onde P
es el cap ita l final si los intereses se acum ulan en un p eríod o d e tiempo, P0 es e l capital
inic ial, i es la tasa de in terés (an ual, m ensual, diaria) y n es el p eríodo d e tiemp o (añ o,
meses, día s, etc.).
Funciones trigo nométricas
Las razon es trigonométricas se pued en utilizar, fun dam enta lmen te, para reso lver trián gulos,
así com o para reso lver diferen tes situa ciones prob lemática s en otra s c ien cia s.
En Top ografía se p uede determ inar la altura d e un edificio, teniend o la base y el án gulo.
Por ejemp lo, la torre d e Pisa , fue con struida sobre una base de arena p oco consisten te;
debid o a ello ésta se aparta cada vez má s de su vertical. Origina lmen te tenía una a ltura
de 54 ,6m, aproximadam en te. En 1990 un ob serva dor situad o a 46 m d el cen tro de la ba se
de la torre , determ in ó un án gulo de eleva ción de 54º a la pun ta de la torre, e l ob serva dor
para determ inar al desplazamiento (h undim ien to en e l sue lo es m uy peq ueño, compara do
con la a ltura d e la torre) aplicó la ley del sen o para d eterm inar el án gulo d e inc lina ción y la
ley del cosen o para determ inar el desplazamiento de la torre .
En Óptica , en las disp ersion es en prisma o cuand o un ra yo de luz a trav iesa un a pla ca de
cierto material.
En la Avia ción, si dos aviones parten de una ba se a érea a la m ism a velocidad forman do
un án gulo y siguien do en tra yectorias rectas, se p ued e d eterm inar la distancia q ue se
encuentran en tre los m ism os.
El capitán d e un barco p uede d eterm inar el rumb o eq uivocad o del barco, siempre en
línea recta, ord enand o m odificar e l rumb o en grado para d irigirse directam en te a l p un to
destin o correcto.
FUNC IONES TR A SC END ENT ES
36
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
FU NC IÓ N LO G ARITNO N ATU RAL
FU NC IÓ N EXPO NE NC IAL N ATU RAL
T ie ne po r func ió n inve rsa
1 . C orta e l e je x en 0,1 2 . D om in io: R , Ra n go : R
3 . E je y es un a a s ín to ta d e la f un c ión .
4 .S i 1a , xy alog crecien te. Si 10 a , xy alog d ecrecien te.
La f un c ión n o está d efin id a p a ra n úm er os n e ga tivos .
C uyas c arac te rístic as so n
1. nmmn aaa logloglog 2 . nmn
maaa logloglog
3 . mpm a
p
a loglog 4 . 01ln 5 . 1ln 6 . 0ln (a s íntota )
Se a p lican tam b ién para xxf ln
C uyas pro pie dade s so n
FUN C IÓ N LO G A RÍTM IC A
Se d efin e c om o
0 ,1 ,log aaxy a
xy ln
Se d efin e c om o
C uya gra fica C uya gra fica
2,71con , xy
Se d efin e c om o
FUN C IÓ N EXPO N EN C IA L
Se d efin e c om o
1y , aRaay x
C uya gra fica C uya gra fica
C orta e l e je y en 1,0 2 . D om in io : R , Ra n g o: R
3 . El e je x es un a a sín tota d e la fun c ión .
4. S i 1a , xay es creciente. Si 10 a ,
xay es d ecrecien te.
5 . N o tien e cortes con e l e je x . 6 . nm ba sí y s ó lo sí nm
C uyas c arac te rístic as so n
1 . yxyx aaa . 2 . yx
y
x
aa
a 3 . xxxbaab
4 . x
xx
b
a
b
a
5 . xyyx aa 6 . 10 a
C uyas pro pie dade s so n
xaxa
log y
xa x
a log
o xx ln y
xxln
P o r é sta pro pie dad, se c um ple :
M APA CONCEPTUAL 11 : F. EXPONENCIAL
Y F. LOGARÍTM ICA
37
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
FUN C IO N ES C IRC ULA RES
Se de fine c o m o
tx cos y tx cos
S iem p re q ue Rt y ),( yxp es e l p un to d e in terse cción d e la c irc un feren cia
un ita ria con e l la d o f in a l d e l á n g ulo cu ya m ed id a es t ra d ia n es. Segm en tos c uya lon gitud c oin c id e c on e l
va lor a b solu to d e la s s e is fun c ion es
tr ig on om é trica s d e un á n g ulo d a d o.
Las g rafic as de las
FU NC IO N ES TRIG O NO M ÉTRIC A S
Q ue so n
Se trazan
Las lín eas trigo nom étric as
Se utilizan para e labo rar
Son fun c ion e s c u ya s im á g en es se r ep iten e xa cta m en te en e l
m ism o ord en a igua les in terva lo s d e s u d om in io .
Y a que
Se C arac te rizan po r se r
Fu nc io nes peri ódic as
Se analizan
D om in io y Ra n go
Ec uac ió n
En la
Se pue de n re alizar
V a ria c ion e s d e la s fun c ion es
tr ig on om é trica s
G rafic a
En la
1 . A m plitud Asenxy
2 . Período senBxy
3 . D espla zam ie nto de fase
CBxseny
1 . S e a la r ga vert ica lm en te .
2 . Se rep ite la gra fica d e la fun c ión la s v eces q ue d iga
B en e l p eríod o.
S i 1B se com p rim e h oriz on ta lm en te.
S i 10 B se a la r ga h orizon ta lm en te .
3 . S i 0C se tra sla d a C un id a d e s a la izq uierd a .
S i 0C se tra sla d a C un id a d es h a cía la d er ech a .
Se re stringe para de fin ir
La s f un c ion es tr igon om étrica s
in versa s
Q ue so n
A rcos en o: Arcsenx ó xsen 1
A rc oco sen o : xArcos ó x1cos
A rc ota n gen te : xArc tan ó x1tan
A rc oco ta n g en te : xArccot ó x1cot
A rc ose ca n te : xArcsec ó x1sec
A rc oco seca n te: xArccsc ó x1csc
M APA CONCEPTUAL 12 : FUNCIONES
C IRCULARES
38
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
senxxf )( xxf cos)( xxf tan)(
1. RDom 2 . 1,1Ran .
3 . Fu n ción im pa r, pu es senxxsen es
s im étrica con resp ecto a l orig en .
4 . Es u n fun ción p eriód ica , con p eríod o 2 ; es d ecir,
kxsensenx 2 .
1 . RDom 2. 1,1Ran .
3 . Es pa r, pu es xx coscos es s im étrica con resp ecto a l eje y .
4 . Fun ción p eriód ica, con p eríod o 2 ; es d ecir, kxx 2coscos .
5 . In terseccion es con los ejes : nx 2
; 1y
1 . ZnnRDom 2
2. RRan .
3 . Fun ción p eriód ica, con p eríod o ; es u na fun ción im p a r.
4 . As íntotas vertica les Znnx ,2
;
5 . In terseccion es con los ejes nx , 0y
xxf cot)( xxf sec)( xxf csc)(
1. ZnnRDom 2. RRan .
3 . Fun ción p eriód ica, con p eríod o ; es u na fun ción
im p a r.
4 . As íntotas vertica les Znnx , ;
5 . In terseccion es con los ejes nx 2
, y n o tien e
1. ZnnRDom 2
2. ,11,Ran .
3 . Fun ción p eriód ica, con p eríod o 2 ; es u na fu n ción pa r.
4 . As íntotas vertica les Znnx ,2
;
5 . In terseccion es con los ejes x n o tien e , 1y
1. ZnnRDom 2. ,11,Ran .
3 . Fun ción p eriód ica, con p eríod o ; es u na fun ción im p a r.
4 . As íntotas vertica les Znnx , ;
5 . In terseccion es con los ejes x n o tien e, y n o tien e
FU NC IO N ES TRIG O NO M ÉTRIC A S M APA CONCEPTUAL 13 : FUNCIONES
TRIGONOM ÉTRICAS
39
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
Función exponencial, func ió n logarítm ica y Funciones
tr igonom étricas.
G ra fica r:
a . )2ln()( xxf b . )1()( xLogxf e
c . 3)( Lnxxf d . xxf 3
e .
x
xf
3
1)( f. senxxf 3)(
g . xsenxf2
2)( h. xxf 3cos)(25
i. xsenxf 32)(
So luc ión :
a . )2ln()( xxf
Sa b em os q ue: 1ln ; 0ln no esta definido y 01ln teniendo
en cuenta esto determ inem os:
71,422 xxx
Por lo ta nto la función p a sa p or e l p unto 1,71.4
22002 xxx
Por lo ta nto la función tiene p or a síntota la recta 2x
32112 xxx
Por lo ta nto la función p a sa
p or e l p unto 0,3 .
Desp ués de determ ina r
esto ub ica m os la asíntota
com o una línea p untea da ,
ub ica m os los 2 p untos y
lueg o g ra ficam os. Figura
1.63 .
b . )1()( xLogxf e
71,111 xxx
Por lo ta nto la función p a sa
p or e l p unto 1,71.1
101 xx
Po r lo tanto la fun ción t ien e
po r asín tota la recta 1x
01111 xxx
Por lo ta nto la función p a sa
p or e l p unto 0,0 .
G ra fica , la figura 1 .64 .
c . 3)( Lnxxf
Por p rop ieda d de los loga ritm os:
LnxLnxxf 3)( 3
A sí, g ra fica r esta función es g ra fica r
la función xxf ln)( p ero
m ultip lica da p or 3. Es decir la
g ra fica tiene p or a m p litud 3
unida des. A sí s i la función
xxf ln)( p a sa p or e l p unto de
coordena da s 1, , la función
3)( Lnxxf p a sa p or e l p unto de
coordena da s 3, Figura 1.65 .
Ejercicios R esueltos . M apa C onceptual 11, 12 Y 13
Fig ura 1 .63 .
Fig ura 1 .64 .
40
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
d . xxf 3
La grafica de la función corta al e je
y en e l punto 1,0 , ya que 130
xxf 3 es creciente ya q ue 13 .
La función no corta a l e je x .
La función tiene p or a síntota e l
e je x o la recta 0y .
La g ra fica de la función se m uestra en la figura 1 .66 .
e .
x
xf
3
1)(
La grafica de la fun ción corta al eje y en
el punto 1,0 , ya que 1
3
10
x
xf
3
1)( es decreciente ya q ue
13
10 .
La función no corta a l e je x .
La función tiene p or a síntota e l e je x o la recta 0y .
La g ra fica de la función se m uestra en la figura 1 .67 .
f. senxxf 3)(
La g ra fica de la función senxxf 3)( se p uede ob tener a pa rtir de
la g ra fica de senxxf )( m ultip lica ndo ca da va lor de senx p or 3 .
En p a rticula r, e l va lor m á xim o de senxxf 3)( es 3 y e l va lor
m ínim o es 3 . Entonces la a m p litud de senxxf 3)( es 3 .
A sí, 333 senx
E l p eríodo de senxxf 3)( es , es decir, la g ra fica de
senxxf 3)( se rep ite ca da veces.
Los ceros de la función está n
Znnx , , es decir, la g ra fica
de senxxf 3)( corta e l e je x
en ,....3,2,
La g ra fica de la función se
m uestra en la figura 1.68 .
g . xsenxf2
2)(
Pa ra xsenxf2
2)( , se tiene:
A m p litud: 22 A y
Período: 422
2
BT
La g rafica de la fun ción se m u estra
en la fig u ra 1 .69 .
h. xxf 3cos)(25
Pa ra xxf 3cos)(25 , se tiene:
A m p litud: 2
5
2
5 A y
Período: 3
22
BT
La g rafica de la fun ción se m u estra
en la fig u ra 1 .69 .
i. xsenxf 32)(
A m p litud: 2A y
Período: 3
22
BT
Desfase
3
B
C
La g rafica de la fun ción se m u estra
en la fig u ra 1 .69 .
Figura 1 .66.
Fig ura 1 .67 .
Fig ura 1 .68 .
Fig ura 1 .69 .
Fig ura 1 .70 .
Fig ura 1 .71 .
41
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
senxy
C o m o po r e jem plo a:
2,
2
Se tie ne la funció n inve rsa
xseny
ó arcsenxy
1
C o n
1,1Dom
2,
2
Ran
C uya grafic a e s
FUN C IO N ES TR IG O N O M ÉTRIC A S INV ER SA S
Exis ten sólo si se restring e el d om in io d e las fu n cion es trig on om étrica s, ya qu e ésta s n o son
fun cion es b iyectiva s, p u es n ing un a es in yectiva (cond ición p a ra qu e u na fun ción ten ga in versa ).
Se restri ng e e l dom i nio de :
Si
xy cos
,0
xy
ó xy
1cos
arccos
,0,1,1 RanDom
C o m o po r e jem plo a:
Se tie ne la funció n inve rsa
C o n
C uya grafic a e s
xy tan
C o m o po r e jem plo a:
2,
2
Se tie ne la funció n inve rsa
xy
ó xy
1tan
arctan
C o n
DomR
2,
2
Ran
C uya grafic a e s
xy cot
,0
xy
ó xarcy
1cot
cot
,0, RanDomR
C o m o po r e jem plo a:
Se tie ne la funció n inve rsa
C o n
C uya grafic a e s
2
,0,1,1 RanDomR
xy sec
2
,0
xy
ó xary
1sec
sec
C o m o po r e jem plo a:
Se tie ne la funció n inve rsa
C o n
C uya grafic a e s
xy csc
0,22
xy
ó xarcy
1csc
csc
C o m o po r e jem plo a:
Se tie ne la funció n inve rsa
0,,1,122 RanDomR
C o n
C uya grafic a e s
M APA CONCEPTUAL 14 : F.
TR IGONOM ÉTR ICAS INVERSAS
42
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
FUN C IO N ES HIPERBÓ LIC A S
com b in a cion es d e x y x
Su g raf ica es
Se ob tien en d e com b in a cion es d e x y x
Son a n á log as a las fun cion es trig on om étrica s. Los va lores d e esta s fu n cion es están rela cion ad os con las coord en a da s d e
los pu ntos d e un a h ip érb ola equ ilátera d e m an era sem eja nte a la form a en q u e los va lores d e las fu n cion es
trig on om étricas corresp on d ien tes está n rela cion ad os con las coord ena da s d e los p un tos d e un a circu nferen cia .
Se d ef in en a s í
2
xx
senhxy
RRanRDom :,:
Su grafic a e s
arcsenhxy
T ien e p or fun c ión in versa
C on
Su g raf ica es
Se d ef in en a s í
2cosh
xx
xy
,1:,: RanRDom
Su grafic a e s
hxy arccos
T ien e p or fun c ión in versa
Su g raf ica es
Se d ef in en a s í
xx
xx
x
senhxxy
coshtanh
1,1:,: RanRDom
Su grafic a e s
hxy arctan
T ien e p or fun c ión in versa
C on
Su g raf ica es
Se d ef in en a s í
xx
xx
x
senhxxy
coshcoth
,11,:
,,00,:
Ran
Dom
Su grafic a e s
xarcy coth
T ien e p or fun c ión in versa
C on
Su g raf ica es
Se d ef in en a s í
xxxhxy
2
cosh
1sec
Su grafic a e s
hxarcy sec
T ien e p or fun c ión in versa
Se d ef in en a s í
xxsenhxhxy
21csc
Su grafic a e s
hxarcy csc
T ien e p or fun c ión in versa
C on
2
,0:1,1: RanRDom
C on
Su g raf ica es Su g raf ica es
0,:1,1:22 RanRDom
43
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
Función parte entera o m ayor entero
Es a q uella función ZR:f definida m ed ia nte
xxxf donde)( es e l m a yor entero m enor o ig ua l q ue x, es
decir; Z,1)( nnxnnxxf .
E l dom inio de la función es e l conjunto de los núm eros rea les;
RDomf .
E l ra ng o de la función es e l conjunto de los núm eros enteros,
ZRanf .
La ta b la de va lores se m uestra a continua ción.
La g rá fica de la función se rep resenta en la figura 1.72 .
E jem p lo: g ra fica r xxxg
So luc ión :
C om o g está definida p a ra todos los va lores de x , su dom inio es
, a p a rtir de la definic ión de x se obtiene lo sig uiente.
Si
xxGtoporxxsi
xxGtoporxxsi
xxGtoporxxsi
xxGtoporxxsi
xxGtoporxxsi
2)(,tan;232
1)(,tan;121
)(,tan;010
1)(,tan;101
2)(,tan;212
y a sí sucesiva m ente. De m odo m ás g enera l, s i n es cua lq uier
núm ero entero, entonces
xnxGtopornxnxnsi )(,tan;,1
C on estos va lores de función se p uede d ib uja r la g rá fica G,
m ostra da en la fig ura. A p a rtir de la g rá fica se observa q ue e l
contra dom inio es (-1,0]. A l tra za r la g rá fica de xxINTxG )()(
se ob tiene la fig ura 1.72. a ., lo cua l ap oya la resp uesta .
Fig ura 1 .72 . xxf )(
x … 12 x 01 x 10 x 21 x 32 x 43 x …
)(xf … -2 -1 0 1 2 3 …
FUNC IÓN PA R TE ENT ER A
Fig ura 1 .72 .a .
44
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
1. Si A ={1,2,3} y B={4,5,6,7}. H a lla r la s p a re jas q ue cump len
ca da re la ción. Lueg o, ha lla r su dom inio y su ra ng o.
a . R 1 : “La sum a de la p rim era com p onente con la seg unda
com p onente es m a yor q ue 7”.
b . R 2 : “E l p roducto de la p rim era com p onente con la
seg unda com p onente es un núm ero im p a r”.
c . R 3 : “La p rim era com p onente eq uiva le a la seg unda
com p onente d ism inuida en uno”.
d . R 4 : “La seg unda com p onente es e l dob le de la p rim era
com p onente”.
2. Ind ica r cuá les de la s sig uientes re la ciones son funciones.
Lueg o justifica r la resp uesta.
a . )},(),,(),,{(1 zcybxaR
b . )},3(),,1(),,1{(2 zyxR
b . }1/),{(,, 2
3 xyyxRRYRXSi
3. Eva lua r ca da función p a ra los va lores q ue se ind ica n.
a . 32)( 2 xxf ; p a ra f( -2), f(0), f(1)
b . 2
36)(
xxf ; p a ra f(-1), f(3m +1), f
2
m
c. 53)( xxf ; p a ra
4
1f , f 12 aa
4. En ca da uno de los sig uientes e jerc ic ios, la función es el
conjunto de todas las pa re ja s (x , y) q ue sa tisfa cen la
ecua ción da da . Encontra r e l dom inio y e l ra ng o de la
función y tra za r la g rá fica de la función.
a . 13)( xxf b . 43)( xxg c . 23)( xxh
d .
xsix
xsixxh
312
34)(
2
e.
56
1031)(
2
2
xx
xxxxf
f. 2
2)(
23
x
xxxg g . 1)( 2 xxg
h. x
xxf )( i.
02
0)(
xsi
xsixxh
j. xxxf 16)( 3 k. 32)( 2 xxxg
m . 311)( xxxxh n. 231)(2
xxxxh
l. 43)( 3 xxxf o. 31224)( 234 xxxxxg
p . 13)( xxxxh
5. En los e jerc ic ios sig uientes, la s funciones f y g está n definida s.
En ca da p rob lem a definir la s sig uientes funciones y determ ina r
e l dom inio de la función resulta nte: 1) f+g; 2) f -g; 3) f.g ;
4)f/g; 5) g /f ; 6) g /f; 7) f o g; 8) g o f.
a . 1)(;5)( 2 xxgxxf
b . x
xgx
xxf
1)(;
1
1)(
c . 1)(;1)( 2 xxgxxf
6. Da das las sig uientes funciones, encontra r dom inio y ra ng o.
A dem á s determ ina r, si son inyectiva s (uno a uno), b iyectiva s,
sob reyectivas, pa r, im pa r, creciente, decreciente, sim étrica.
Lueg o, tra za r la g ra fica (tab ula ción).
1
1)())()
15)()132)() 724
x
xxhd xxgc
xxfb xxxfa
Ejercicios Propuestos : C apítulo 1
45
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
6. Dem ostra r q ue si f y g son funciones imp a res, entonces f.g y
f/g son funciones p a res.
7. Si 22)( 2 xxxf , encontra r dos funciones g p a ra las
cua les 54)( 2 xxxgof
8 . Eva lu ar la expresió n
h
xfhxf )()( para las sig u ien tes fu n cion es:
2)()53)()
2)()3)()
3
2
xxhd xxgc
xxfb xxxfa
9. H a lla r una fórm ula p a ra la función f cuyo g rá fico consta de
los p untos yx, q ue sa tisfa cen ca da una de la s sig uientes
ecua ciones.
044)2
2)024) 225
yxyxc
y
yxb xyxa
10. Resolver p a ra x:
a ) 7.15 x b )
212 75 xx
11. En los sig uientes e jerc ic ios encontra r la inversa de f(x).
a ) 2
3)(
xxf b )
3)( xxf c) 12)( 3 xxf
12. Determ ina r la a mp litud, p eriodo y desfa sa m iento de ca da
función. Lueg o, tra za r la g rá fica q ue se describ e en un
p eriodo.
a )
34
xseny b ) xseny 2 c)
3
23
xseny
d )
2sec
xy e) xy
2
1tan4 f)
3csc
xy
14. G ra fica r la s sig uientes funciones log a rítm ica s y exp onencia les:
a ) xxf 2)( b)
x
xf
2
3)( c) xxg 5ln)( d) 1log)( 2
2 xxf
1. a. )7,3(),6,3(),5,3(),7,2(),6,2(),7,1{(1 R };
Dom R 1 ={1,2,3}; Ra n R 1 ={5,6,7}
b. R 2 = {(1,5),(1,7),(3,5),(3,7)}; Dom R 2 ={1,3}; Ra n R 2 ={5,7}
c . R 3 = {(3,4)}; Dom R 3 ={3}; Ra n R 3 ={4}
d. R 4 = {(2,4),(3,6)}; Dom R 4 :={2,4}; Ra n R 4 :={3,6}
2. a. Sí p orq ue a ca da elem ento del dom inio le corresp onde uno
y só lo un e lem ento en e l ra ng o.
b. N o p orq ue a un e lem ento del dom inio le corresp onden dos
e lem entos en e l ra ng o.
c . Sí p orq ue a cada elem ento del dom inio le corresp onde uno
y só lo un e lem ento en e l ra ng o.
3. a. f(-2)=5; f(0) =3 y f(1) =5
b. 2
3)1( f ;
2
91813
mmf ;
2
33
2
mmf
c . 4
17
4
1
f
4. a. dom inio: , ; ra ng o ,
13)( xxf
b . dom inio:
,
3
4; ra ng o ,0
43)( xxg
R espuestas Ejercicios Propuestos: C apítulo 1
46
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s
c. dom inio: , ; ra ng o ,0
23)( xxh
d . dom inio: , ; ra ng o ,4
,0
xsix
xsixxH
312
34)(
2
e . dom inio: todos los núm eros rea les
excep to -5 y -1; ra ng o todos los
núm eros rea les excep to -7 y -3. ,0
56
1031)(
2
2
xx
xxxxf
f. dom inio: todos los núm eros rea les excep to 2;
ra ng o ,0 ,0 2
2)(
23
x
xxxg
5. a. 1) 62 xx , dom inio: ,
2) 42 xx , dom inio ,
3) 55 23 xxx , dom inio: ,
4) 1/5 2 xx ,dom: todos los núm eros rea les excep to -1 y 1
5) 5/12 xx , dom inio: todos los núm eros rea les excep to 5
6) 62 x , dom inio ,
7) 24102 xx , dom inio ,
b . 1)xx
xx
2
2 12 , dom inio: todos los núm eros rea les excep to 0 y 1
2) xx
x
2
2 1, dom inio: todos los núm e ros rea les excep to 0 y 1
3)
xx
x
2
1 , dom inio: todos los núm eros rea les excep to 0 y 1
4) 1
2
x
xx , dom inio: todos los núm eros rea les excep to 0 y 1
5) xx
x
2
1 , dom inio: todos los núm eros re a les excep to -1, 0 y 1
6) x
x
1
1, dom inio: todos los núm eros rea les excep to 0 y 1
7) x
x
1
1, dom inio: todos los núm eros rea les excep to -1 y 1
c . 1) 112 xx , dom inio: ,1
2) 112 xx , dom inio: ,1
3) 11 xx , dom inio: ,1
4) 1x , dom inio: ,1
5)
1
1
x, dom inio: ,1
6) 2x , dom inio: ,2
7) 112 x , dom inio: ,22, y
6. a ) p a r; b) ning una ; c) pa r; d ) ning una
8. g(x) = x – 3; g (x) = 1 - x
9. a ) hx23 b)
xhx 22
2
c) 3 d) 22 33 hxhx
10. a ) 5
42)(
x
xxf
b )
1
12)(
x
xxf c) f(x) = 2x
11. a ) 33.0x b ) 325.4x
47
C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es
12. a ) x
xxf
23)(1 b) 31 )( xxf
c) 31
2
1)(
x
xf
13. a) 3
:,2,4
desfaseTA
34
xseny
b ) :,2,2 desfaseTA
xseny 2
c) 3
2:,2,3
desfaseTA
3
23
xseny
d ) 2
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desfaseTtienenoA
2sec
xy
e) haynodesfaseTtienenoA :,4,
xy2
1tan4
f) 3
:,2,
desfaseTtienenoA
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14. a ) xxf 2)( b )
x
xf
2
3)(
c) xxg 5ln)( d ) 1log)( 2
2 xxf