Funciones

Tema VIIIFunciones Racionales

Preclculo

Variacin Directa

Una variacin directa es una relacin entre dos variables x y y que puede ser escrita de la forma y = kx, donde k 0.

En esta relacin, k es la constante de variacin.

Para la ecuacin y = kx, y vara directamente con x.

Escribiendo y Graficando Variacin Directa

Dado que y vara directamente con x y cuando x = 3.5, y = 14. Escribe y grafica la funcin de variacin directa.

Dado que y vara directamente con x y cuando x = 6, y = 27. Escribe y grafica la funcin de variacin directa.

Resolviendo Problemas de Variacin Directa

La circunferencia de un crculo C vara directamente con el radio r y C = 7 pies cuando r = 3.5 pies. Encuentra r cuando C = 4.5 pies.

El costo de un artculo en euros e varia directamente con el costo del artculo en dlares d, e = 3.85 euros cuando d = $5.00. Encuentra d cuando e = 10.00 euros.

Variacin Conjunta

Una variacin conjunta es una relacin entre tres variable que puede ser escrita de la forma y = kxz, donde k es la constante de variacin.

Para la ecuacin y = kxz, y vara conjuntamente con x y z.

Resolviendo Problemas de Variacin Conjunta

El rea A de un tringulo vara conjuntamente con la base b y la altura h, y A = 12m2 cuando b = 6m y h = 4m. Encuentra b cuando A = 36m2 y h = 8m.

El volumen V de un cono vara conjuntamente con el rea de la base B y la altura h, y V = 12 pies3 cuando B = 9 pies2 y h = 4 pies. Encuentra B cuando V = 24 pies3 y h = 9 pies.

Variacin Inversa

Una variacin inversa es una relacin entre dos variables x y y que puede ser escrita de la forma y =k/x, donde k 0.

Para la ecuacin y =k/x, y vara inversamente con x.

Escribiendo y Graficando Variacin Inversa

Dado que y vara inversamente con x, y y = 3 cuando x = 8. Escribe y grafica la funcin de variacin inversa.

Dado que y vara inversamente con x, y y = 4 cuando x = 5. Escribe y grafica la funcin de variacin inversa.

Aplicaciones

El tiempo t que le toma a un grupo de voluntarios construir una casa vara inversamente con el nmero de voluntarios v. Si 20 voluntarios pueden construir una casa en 62.5 horas, cuntos voluntarios se necesitarn para construir una casa en 50 horas?

Aplicaciones

El tiempo necesario para completar cierta carrera vara inversamente con la velocidad s promedio del corredor. Si un corredor con una velocidad promedio de 8.82 mi/h completa la carrera en 2.97 h, cul es la velocidad promedio de un corredor que completa la carrera en 3.5 h?

Variacin Combinada

Una variacin combinada es una relacin que contiene variacin directa e inversa.

Las cantidades que varan directamente aparecen en el numerador y las que varan inversamente aparecen en el denominador.

Aplicacin a Qumica

El volumen V de un gas varia inversamente con la presin P y directamente con la temperatura T. Cierto gas tiene un volumen de 10 litros (L), una temperatura de 300 kelvins (K) y una presin de 1.5 atmsferas (atm). Si el gas est comprimido a un volumen de 7.5 L y es calentado a una temperatura de 350 K, cul sera la nueva presin?

Aplicacin a Fsica

El cambio en temperatura T de un cable de aluminio vara inversamente con su masa m y directamente con la cantidad de energa calrica E transferida. La temperatura de un cable de aluminio con una masa de 0.1 kg aumenta a 5C cuando se le aplican 450 julios (J) de energa calrica. Cunta energa calrica debe ser transferida a un cable de aluminio con una masa de 0.2 kg para aumentar su temperatura a 20C?

Expresiones Racionales

Una expresin racional es un cociente de dos polinomios.

Ejemplos:

2

2

4 10 3

2 6 7

x x

x x x

Simplificando Expresiones Racionales

Simplifica. Identifica cualquier valor de x para los cuales la funcin est indefinida.

7

4

31.

2

x

x

2

2

2 32.

5 4

x x

x x

2

2

24.

2 3

x x

x x

8

4

103.

6

x

x

Simplificando Factorizando -1

Simplifica. Identifica cualquier valor de x para los cuales la funcin est indefinida.

2

2

21.

2

x x

x x

2

2

42.

2 8

x x

x x

Multiplicando Expresiones Racionales

1. Factoriza completamente el numerador y el denominador.

2. Divide los factores en comn del denominador y el numerador.

3. Multiplica los numeradores. Luego multiplica los denominadores.

4. Asegrate que el numerador y el denominador no tengan factores en comn diferentes de 1.

Multiplicando Expresiones Racionales

Multiplica. Asume que todas las expresiones estn definidas.

4 5 2

2 3 2

2 151.

3 8

x y x

x x y 2

2 42.

3 12 4

x x

x x

5 3 3 4

3 7 2 5

3 103.

2 9

x y x y

x y x y

2

3 54.

4 20 9

x x

x x

Dividiendo Expresiones Racionales

Divide. Asume que todas las expresiones estn definidas.

3

2 5

4 161.

9 9

x

x y y

5 3 5 4 3

2 2

4 22.

2 1

x x x x x

x x x

4

2 2 5

5 153.

8 8

x

x y y

4 2 4 3 2

2 2

9 2 84.

4 3 16

x x x x x

x x x

Resolviendo Ecuaciones Racionales Simples

Resuelve. Coteja tu solucin.2 9

73

x

x

2 3 45

1

x x

x

2 2514

5

x

x

2 3 107

2

x x

x

Sumando y Restando Expresiones Racionales

Suma o resta. Identifica los valores para los cuales la expresin no est definida.

2

2

2

3 4 2 51)

3 3

1 42)

3 2

13)

3 2 1

2 16 44)

4 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

2

2

46) 1

1

17)

1

x

xx

x

x

xx

x

1 1

28) 4

2

x xx

x

Funciones Racionales

Una funcin racionales una funcin cuya regla puede ser escrita como una razn de dos polinomios.

Su grfica se conoce como una hiprbola

1

Su "parent function" es .f xx

Asntota vertical x = 0

Asntota horizontal y = 0

Funciones Racionales

Una funcin discontinua es una funcin cuya grfica tiene uno o ms saltos, interrupciones u hoyos. Ej. Funciones racionales

Una funcin continua es una funcin cuya grfica es una lnea recta o curva continua, sin espacios ni interrupciones. Ej. Funciones lineales, cuadrticas, polinomiales,

exponenciales, etc.

Ceros y Asntotas Verticales

Si , donde y son funciones polinomiales en forma estndar

sin factores en comn, diferente de 1, entonces la funcin tiene:

ceros en cada valor real de para el cual 0.

una asntota

p xf x p q

q x

f

x p x

vertical en cada valor real de para el cual 0.x q x

Graficando Funciones Racionales con Asntotas Verticales

Identifica los ceros y asntotas verticales de la siguiente funcin. Luego grafcala.

2 2 3

2

x xf x

x

Serie 1

x=2

Serie 2

f(x)=(x^2-2x-3)/(x-2)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y



2 7 6

3

x xf x

x

Serie 1

x=-3

f(x)=(x^2+7x+6)/(x+3)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y



2 3 4

3

x xf x

x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8-7-6

-5-4-3

-2-1

12

345

678

9

x

y

Asntotas Horizontales

Sea , donde y son funciones polinomiales en forma

estndar sin factores en comn, diferente de 1. La grfica de tiene,

como mximo, una asntota horizontal.

Si el grado de grado de , n

p xf x p q

q x

f

p q

o hay asntota horizontal.

Si el grado de grado de , la asntota horizontal es la recta 0.

Si el grado de grado de , la asntota horizontal est dada por la

coeficiente lider de recta

p q y

p q

y

.coeficiente lider de

p

q

Graficando Funciones Racionales con Asntotas Verticales y Horizontales

Identifica los ceros y asntotas de cada funcin. Luego grafica.

2 6x x

f xx



21x

f xx



2

2

2 2

4

xf x

x



2 3 4x x

f xx



22

1

xf x

x



4 12

1

xf x

x

Ecuacin Racional

Una ecuacin racional es una ecuacin que contiene una o ms expresiones racionales.

Resolviendo Ecuaciones Racionales

8Resuelve la ecuacin 6x

x


10 4Resuelve la ecuacin 2

3 x


6 5 7Resuelve la ecuacin

4 4x


18Resuelve la ecuacin 3x

x


Resuelve cada ecuacin.3 2 3

3 3

x x

x x

2 9 5

7 2 7

x x

x x

5 3 4

2 2

x x

x x

2 5 11

8 2 8

x x

x x

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